NOWE KIERUNKI W ANALIZIE ODPORNOŚCI ORAZ MODELOWANIU PREFERENCJI W WIELOKRYTERIALNYM WSPOMAGANIU DECYZJI

Transkrypt

1 Politechnika Poznańska Wydział Informatyki Instytut Informatyki Streszczenie rozprawy doktorskiej NOWE KIERUNKI W ANALIZIE ODPORNOŚCI ORAZ MODELOWANIU PREFERENCJI W WIELOKRYTERIALNYM WSPOMAGANIU DECYZJI Miłosz Kadziński Promotor prof. dr hab. inż. Roman Słowiński Poznań, 2012

2

3 Spis treści 1 Wprowadzenie Kontekst tematu badawczego Cel i zakres pracy Notacja i podstawowe pojęcia 7 3 Zasada odpornej regresji porządkowej dla metod opartych na relacji przewyższania ELECTRE GKMS : zasada odpornej regresji porządkowej dla metod z rodziny ELECTRE PROMETHEE GKS : zasada odpornej regresji porządkowej dla metod z rodziny PROMETHEE Zasada odpornej regresji porządkowej dla metod wielokryterialnego sortowania opartych na relacji przewyższania Zasada odpornej regresji porządkowej dla decyzji grupowych UTA GMS -GROUP: zasada odpornej regresji porządkowej dla grupowych problemów porządkowania i wyboru UTADIS GMS -GROUP: zasada odpornej regresji porządkowej dla grupowych problemów sortowania Zasada odpornej regresji porządkowej dla decyzji grupowych w przypadku łącznego rozważenia informacji preferencyjnej decydentów Analiza wyników skrajnych dla problemów porządkowania 35 6 Dezagregacja preferencji dotyczących pożądanego rankingu wariantów 39 7 Wybór reprezentatywnej instancji modelu preferencji 43 8 Dezagregacja preferencji dotyczących pożądanych liczności klas decyzyjnych 49 9 Podsumowanie Realizacja celów rozprawy Perspektywy dalszych badań Literatura 59 I

4

5 Rozdział 1 Wprowadzenie 1.1 Kontekst tematu badawczego Wielokryterialne wspomaganie decyzji. Wielokryterialne wspomaganie decyzji (WWD) jest specjalnością naukową wywodzącą się z teorii decyzji i badań operacyjnych. Dyscyplina ta wyposaża decydentów w narzędzia umożliwiające rozwiązywanie złożonych problemów decyzyjnych, w których zbiór potencjalnych wariantów ocenia się z wielu, często konfliktowych punktów widzenia [5, 23, 58, 76]. Mnogość i różnorodność punktów widzenia na jakość alternatywnych wariantów dojścia do celu decyzyjnego, powodują, że najczęściej nie jest możliwe wskazanie jednego wariantu, który byłby najlepszy z wszystkich punktów widzenia. Punkty widzenia na jakość wariantów decyzyjnych są sformalizowane przez kryteria oceny, stąd klasę problemów decyzyjnych, w których uwzględnia się wiele punktów widzenia nazywa się wielokryterialnymi problemami decyzyjnymi. Celem wspomagania decyzji w obecności wielu kryteriów jest rekomendacja decyzji najbardziej spójnych z systemem wartości uczestników procesu decyzyjnego oraz pomoc w uzyskaniu odpowiedzi na pytania stawiane przez te podmioty [62]. Uczestnicy procesu decyzyjnego. Głównymi uczestnikami procesu decyzyjnego są decydent oraz analityk. Decydent to podmiot (pojedynczy lub zbiorowy), w imieniu którego lub dla którego realizowane jest wspomaganie decyzji. Określa on cele procesu, wyraża preferencje i ocenia rekomendowane rozwiązanie. Analityk pełni funkcję pomocniczą wobec decydenta, będąc odpowiedzialnym za postęp procesu decyzyjnego. Dokonuje on wyboru narzędzi i procedur analizy wielokryterialnej, a następnie współpracuje z decydentem, wyjaśniając konsekwencje określonych działań i wspomagając go w wyborze rozwiązania kompromisowego. Zbiór wariantów decyzyjnych. Zbiór wariantów A, które mają być poddane ocenie w ramach analizy wielokryterialnej, definiuje rozwiązania lub czynności, wobec których osoby zaangażowane w proces przejawiają zainteresowanie i które potencjalnie można zrealizować. Zbiór wariantów może być zdefiniowany z góry lub podlegać zmianom wraz z postępem procesu decyzyjnego. W przykładowych problemach decyzyjnych wariantami są wnioski kredytowe, kandydaci na określoną pozycję, pacjenci w oczekiwaniu na leczenie lub projekty prac badawczo-rozwojowych. Rodzina kryteriów. W procesie decyzyjnym czynniki niezależne od decydenta są zazwyczaj warunkami ograniczającymi decyzję. Mają one wpływ na określenie zbioru wariantów dopuszczalnych. Z drugiej strony, czynniki, które są zależne od decydenta i pozwalają na miarodajne porównywanie wariantów decyzyjnych nazywamy kryteriami. Każde kryterium jest funkcją rzeczywistą g j 1

6 2 Wprowadzenie zdefiniowaną na zbiorze A, która nadaje ocenę każdemu wariantowi z określonego punktu widzenia w ten sposób, że aby porównać parę wariantów a, b A z tego punktu widzenia, wystarczy porównać oceny g j (a) i g j (b). Oznacza to, że zbiory możliwych ocen na poszczególnych kryteriach są uporządkowane zgodnie z rosnącym lub malejącym porządkiem preferencji. Zbiór kryteriów rozważanych w kontekście konkretnego problemu decyzyjnego tworzy spójną rodzinę kryteriów, o ile jest kompletna (tj. uwzględnia wszystkie możliwe punkty widzenia), nienadmiarowa, a poszczególne kryteria są monotoniczne. Kategorie problemów wielokryterialnych. W zależności od celu procesu decyzyjnego wyróżnia się cztery podstawowe kategorie wielokryterialnych problemów decyzyjnych: opis, porządkowanie, wybór oraz sortowanie [62]. Pierwsza z nich ma na celu uzyskanie opisu danych analizowanych w ramach procesu decyzyjnego. Istotą problemów porządkowania jest narzucenie na zbiór wariantów porządku, tj. uszeregowanie ich od najlepszego do najgorszego [79]. Uzyskany w ten sposób ranking może być zupełny lub częściowy. W tym drugim przypadku dopuszczalna jest nieporównywalność niektórych par wariantów. Problemy porządkowania są często rozważane w dziedzinie zarządzania, edukacji, ekonomii, czy inżynierii [75]. Czasopisma specjalistyczne regularnie publikują rankingi uniwersytetów, szpitali lub miast. Państwa porównuje się pod względem jakości życia, konkurencyjności lub innowacyjności. Coraz większą popularność zyskują też rankingi różnorodnych instytucji, w których kryteria oceny dotyczą stopnia ich obecności w sieci Internet. W problemach wyboru zadanie polega na wskazaniu podzbioru najlepszych wariantów. Relacja pomiędzy problemami porządkowania i wyboru jest bardzo bliska, ponieważ bardzo często jako najlepsze wskazywane są warianty, które znajdują się na szczycie porządku zupełnego wszystkich wariantów. Sytuacja taka ma miejsce podczas konkursów muzycznych, które wymagają wskazania ostatecznego zwycięzcy, rekrutacji kandydatów na określone stanowisko lub przydziału ograniczonej liczby stypendiów. W niektórych problemach decyzyjnych wykorzystuje się jednak procedury ściśle dedykowane dla wyboru najlepszego wariantu. Przykładami takich problemów mogą być wybór lokalizacji elektrowni lub wskazanie wariantu budowy drogi. W problemach sortowania zadanie polega na przydziale wariantów do predefiniowanych klas decyzyjnych. Klasy te są uporządkowane pod względem preferencji. Problemy wielokryterialnego sortowania należą do najczęściej spotykanych w medycynie, marketingu, finansach, ochronie środowiska oraz turystyce [21, 30, 82]. Instrumenty finansowe są przydzielane do kategorii ryzyka finansowego. Firmy przyznają swoim pracownikom premie o różnej wysokości, biorąc pod uwagę efekty ich pracy, zaangażowanie, doświadczenie i kwalifikacje. W turystyce kategorie gwiazdkowe pozwalają na ocenę hoteli i restauracji. Wreszcie w medycynie pacjenci są przydzielani do klas odzwierciedlających stopień zaawansowania ich choroby. Model preferencji. Wypracowanie ostatecznej rekomendacji wymaga agregacji wektora ocen wariantów na poszczególnych kryteriach w sposób zgodny z preferencjami i systemem wartości decydenta. W tym celu metody wspomagania decyzji wykorzystują modele agregacji, które - ze względu na narzucenie na zbiór wariantów relacji preferencji - nazywane są również modelami preferencji. W WWD wyróżnia się trzy podstawowe rodziny modeli preferencji: funkcję użyteczności [46], relację przewyższania [63] oraz zbiór reguł decyzyjnych [31, 69]. W tej rozprawie rozpatrujemy jedynie dwa pierwsze modele. Podstawy teoretyczne dla konstrukcji funkcji użyteczności daje wieloatrybutowa teoria użyteczności. Jej celem jest agregacja wszystkich rozpatrywanych kryteriów do jednej funkcji użyteczności [46]. Funkcja użyteczności nadaje każdemu wariantowi pojedynczą wartość liczbową (tzw. globalną użyteczność), która reprezentuje jego jakość przy wzięciu pod uwagę wszystkich

7 1.1. Kontekst tematu badawczego 3 kryteriów. Użyteczność ta jest następnie wykorzystywana jako indeks, który determinuje pozycję w rankingu, przynależność do podzbioru najlepszych wariantów lub przydział do określonej klasy. Teoria użyteczności zakłada, że wszystkie pary wariantów są porównywalne, tzn. decydent zawsze będzie preferował jeden z wariantów lub uzna dwa warianty za nierozróżnialne względem problemu decyzyjnego. Najczęściej wykorzystywaną postacią funkcji użyteczności jest forma addytywna. Model preferencji w postaci relacji przewyższania został zaproponowany przez Roy [62]. Model ten umożliwia reprezentowanie czterech podstawowych sytuacji dla pary wariantów: nierozróżnialności, słabej preferencji, silnej preferencji oraz nieporównywalności. Relacja przewyższania S jest sumą relacji nierozróżnialności, słabej i silnej preferencji. Stwierdzenie, że jeden wariant przewyższa inny wariant jest równoważne powiedzeniu, że jest on co najmniej tak samo dobry. Weryfikacja prawdziwości relacji przewyższania bazuje na analogii do procedur głosowania, tzn. aby uznać jeden wariant za niegorszy od drugiego, większość kryteriów musi dostarczyć wystarczająco silnych argumentów wspierających hipotezę o przewyższaniu. Jednocześnie pozostałe kryteria nie mogą wskazywać na znaczące powody za odrzuceniem tej hipotezy. Po weryfikacji prawdziwości relacji S dla wszystkich par wariantów ze zbioru A, stosowana jest procedura eksploatacji relacji przewyższania, która pozwala na wypracowanie ostatecznej rekomendacji w kategoriach problemu porządkowania, wyboru lub sortowania. Dwa podstawowe pola rozwoju metod wielokryterialnego wspomagania decyzji dotyczą modelowania preferencji oraz analizy odporności. Pierwsze z nich wymaga opracowania procedur pozwalających na wyrażenie preferencji decydenta w kategoriach parametrów modelu preferencji. Drugie pole odnosi się do badania wpływu wyrażonych preferencji na zmienność zaproponowanej przez metodę rekomendacji. Informacja preferencyjna. Relacja dominacja, która jest jedynym obiektywnym wnioskiem wynikającym z analizy ocen wariantów na spójnej rodzinie kryteriów, jest zwykle niewystarczająca do wypracowania ostatecznej rekomendacji. W związku z tym, rekomendacja zależy w znacznym stopniu od informacji preferencyjnej, którą dostarcza decydent. W przypadku wykorzystania wieloatrybutowej teorii użyteczności informacja preferencyjna dotyczy przebiegu oraz formy cząstkowych funkcji użyteczności; natomiast w przypadku wykorzystania relacji przewyższania - wag kryteriów oraz progów nierozróżnialności, preferencji i veta, które determinują strukturę preferencji. Informacja preferencyjna może być wyrażona przez decydenta w sposób bezpośredni lub pośredni. W tym drugim przypadku, ma ona postać przykładów decyzji dla podzbioru wariantów A R A, które są nazywane wariantami referencyjnymi. Dezagregacja preferencji. Doświadczenie w wykorzystaniu metod wielokryterialnego wspomagania decyzji wskazuje, że dostarczenie informacji preferencyjnej w formie bezpośredniej jest zadaniem zbyt wymagającym dla większości decydentów. W związku z tym, coraz większą wagę przykłada się do procedur wykorzystujących informację pośrednią, której postać jest spójna z intuicyjnym rozumowaniem decydentów [37]. Procedury te implementują tzw. paradygmat dezagregacji (regresji), którego istotą jest określenie instancji modelu preferencji, odtwarzających dostarczone przez decydenta przykłady decyzji. Instancje takie określa się mianem kompatybilnych (spójnych) z preferencjami decydenta. Podejście to jest wykorzystywane od ponad pięćdziesięciu lat w dziedzinie analizy wielowymiarowej. W ramach WWD po raz pierwszy wykorzystano je do określenia wag funkcji użyteczności cząstkowych o charakterze liniowym [71].

8 4 Wprowadzenie Najczęściej wykorzystywaną formą informacji pośredniej dla problemów porządkowania i wyboru są porównania parami wariantów referencyjnych, a dla problemów sortowania - przykładowe przydziały do klas. Pomimo że preferencje tego typu były już wykorzystywane w przeszłości w wielu metodach WWD, indukcja wartości parametrów kompatybilnych z preferencjami decydenta dla metod opartych na relacji przewyższania jest wciąż zagadnieniem otwartym. Co więcej, można wskazać formy informacji preferencyjnej, które nie zyskały dotychczas należnej uwagi w WWD. Przykładami takich preferencji są pożądane pozycje wariantów referencyjnych dla problemów porządkowania oraz pożądane liczności klas decyzyjnych dla problemów sortowania. Wymagania takie są często formułowane w stosunku do oczekiwanych wyników zastosowania procedury wielokryterialnej. Dodatkowa motywacja dla ich wykorzystania wypływa z gotowości decydentów do wykorzystywania tego typu preferencji oraz niepożądanych właściwości rekomendacji uzyskanych z wykorzystaniem istniejących metod WWD. Analiza odporności. Przebieg procesów decyzyjnych często wymusza uwzględnienie niepewności, skrzywień oraz obciążeń. Wiążą się one z identyfikacją zbioru wariantów i kryteriów, wyborem modelu preferencji i metody wspomagania decyzji, a także niepewnościami o charakterze wewnętrznym i zewnętrznym. Ocena wpływu zmienności i braku precyzji w definicji danych wejściowych na zmienność wypracowanej rekomendacji ma ogromne znaczenie dla ostatecznego sukcesu wspomagania decyzji. Konieczność uwzględnienia niepewności związanych ze specyfiką problemu decyzyjnego, środowiskiem, w którym decyzja musi zostać podjętą, czy też systemem wartości decydenta oraz jego preferencjami, doprowadziła do rozwoju metod pozwalających na przeprowadzenie tzw. analizy odporności [73]. Pomimo że pojęcie odporności jest powszechnie używane w WWD, nie posiada ono jednoznacznej definicji. Jest to konsekwencją różnorodności kontekstów, w ramach których występują odniesienia do odporności. Jak zauważył Vincke [78], odporność jest istotna dla procesów decyzyjnych, rozwiązań, metod lub wniosków (zobacz np. [1, 35, 57]). Przykładowo, konkluzja jest odporna jeżeli obowiązuje dla wszystkich lub większości dopuszczalnych parametrów modelu. Z kolei odporna metoda pozwala na wypracowanie rekomendacji, która jest uzasadniona przy wzięciu pod uwagę wszelkich niepewności odnośnie danych oraz parametrów modelu. Niepewności oraz brak precyzji w określeniu zbioru parametrów modelu preferencji kompatybilnych (spójnych) z preferencjami decydenta są naturalną konsekwencją wykorzystania informacji preferencyjnej w formie pośredniej. Zwykle istnieje bowiem więcej niż jedna kompatybilna instancja modelu preferencji, która odtwarza preferencje decydenta w postaci przykładowych decyzji dla wariantów referencyjnych. W wielu wypadkach ostateczna rekomendacja silnie zależy od tego, która z kompatybilnych instancji jest przedmiotem analizy. Co więcej, wnioski płynące z wykorzystania różnych instancji mogą się znacząco różnić. Tradycyjne metody wspomagania decyzji zakładały wybór jednej kompatybilnej instancji. Jako przeciwwagę dla tych podejść zaproponowano zasadę odpornej regresji porządkowej (ang. robust ordinal regression) [34, 68]. Postuluje ona uwzględnienie podczas wypracowania rekomendacji wszystkich instancji modelu preferencji kompatybilnych z preferencjami decydenta. Zasada ta została wykorzystana w metodach wspomagania wielokryterialnego porządkowania oraz sortowania opartych na wieloatrybutowej teorii użyteczności. Zaproponowane dotychczas metody - UTA GMS [32], GRIP [25] oraz UTADIS GMS [33] - dedykowane są dla decydentów indywidualnych. Rekomendacja wypracowana przy użyciu tych metod ma podstać koniecznych oraz możliwych relacji preferencji lub przydziałów do klas. Ich prawdziwość wymaga potwierdzenia przez, odpowiednio, wszystkie lub co najmniej jedną funkcję użyteczności kompatybilną z preferencjami decydenta.

9 1.2. Cel i zakres pracy 5 Pożądana jest adaptacja zasady odpornej regresji porządkowej do metod opartych na relacji przewyższania przeznaczonych do wspomagania problemów wielokryterialnego wyboru, porządkowania i sortowania. W związku z faktem, że większość rzeczywistych problemów angażuje wielu decydentów [51], rozumowanie w kategoriach konieczny oraz możliwy powinno zostać rozszerzone także do przypadku decyzji grupowych. Umożliwi to wskazanie obszarów jednomyślności oraz braku zgodności między decydentami. W przypadku metod dedykowanych dla problemów porządkowania należy rozszerzyć charakterystykę każdego wariantu o jego najlepszą oraz najgorszą pozycję oraz globalną ocenę. Wyniki takiej analizy, zakładającej zestawienie wariantu z wszystkimi pozostałymi wariantami, wzbogacają rezultaty przeprowadzenia szeregu oddzielnych porównań parami. Wreszcie pożądane jest również wyznaczenie reprezentatywnej kompatybilnej instancji modelu preferencji. Jej rolą powinno być reprezentowanie wszystkich kompatybilnych instancji, ułatwienie decydentowi interpretacji wyników koniecznych, możliwych i skrajnych oraz dostarczenie precyzyjnej, reprezentatywnej rekomendacji. 1.2 Cel i zakres pracy Celem ogólnym niniejszej rozprawy jest opracowanie metod analizy wielokryterialnej, pozwalających na uwzględnienie informacji preferencyjnej nowego typu oraz analizę odporności rozwiązań wypracowanych z wykorzystaniem modelu preferencji w postaci addytywnej funkcji użyteczności lub relacji przewyższania. Realizacja następujących szczegółowych celów pracy opisana jest w oddzielnych rozdziałach rozprawy: 1. Opracowanie zasady odpornej regresji porządkowej dla metod opartych na relacji przewyższania. Zaproponowanie modeli regresji, pozwalających na wykorzystanie przykładów decyzji w postaci porównań parami lub przydziałów do klas do określenia wartości parametrów wykorzystywanych w metodach ELECTRE [24] oraz PROMETHEE [4, 9]. Zdefiniowanie oraz analiza własności koniecznych i możliwych relacji przewyższania oraz przydziałów do klas. Uogólnienie definicji cząstkowych funkcji zgodności oraz cząstkowych funkcji preferencji do przypadku specyfikacji przedziałów dozwolonych wartości dla progów nierozróżnialności i preferencji. 2. Opracowanie zasady odpornej regresji porządkowej dla decyzji grupowych. Zdefiniowanie oraz analiza własności grupowych relacji preferencji oraz przydziałów do klas dla przypadku indywidualnej lub łącznej analizy informacji preferencyjnej wyrażonej przez wielu decydentów. Zaproponowanie procedur wykrywania niespójności w informacji preferencyjnej dostarczonej przez wielu decydentów. 3. Opracowanie schematu analizy skrajnych wyników dla problemów wielokryterialnego porządkowania. Zaproponowanie modeli matematycznych, pozwalających na wyznaczenie dla każdego wariantu najlepszych i najgorszych pozycji oraz globalnych ocen w zbiorze wszystkich instancji modelu preferencji kompatybilnych z informacją preferencyjną decydenta. Wykorzystanie skrajnych wyników do wyznaczenia porządków przedziałowych, wskazania podzbioru najlepszych wariantów oraz decyzji grupowych. 4. Opracowanie wielokryterialnej metody wspomagania problemów porządkowania, w której informacja preferencyjna ma postać pożądanych pozycji w rankingu dla wariantów referencyjnych. Zaproponowanie modeli regresji, pozwalających na wykorzystanie pożądanych pozycji wariantów do określenia wartości parametrów addytywnej

10 6 Wprowadzenie funkcji użyteczności. Adaptacja istniejących metod analizy wielokryterialnej do wykorzystania nowego typu informacji preferencyjnej. 5. Opracowanie procedur wyboru reprezentatywnej funkcji użyteczności oraz reprezentatywnego zbioru parametrów. Analiza własności wyników koniecznych, możliwych i skrajnych. Zdefiniowanie interaktywnych procedur wyboru reprezentatywnej instancji modelu preferencji z uwzględnieniem specyfiki problemu wielokryterialnego (wybór, porządkowanie lub sortowanie), liczby decydentów (podmiot indywidualny lub grupowy) oraz charakterystyki wykorzystywanego modelu preferencji (addytywna funkcja użyteczności lub relacja przewyższania). Porównanie z alternatywnymi procedurami wyboru pojedynczej instancji modelu preferencji. 6. Opracowanie wielokryterialnej metody wspomagania problemów sortowania, w której informacja preferencyjna ma postać pożądanych liczności klas decyzyjnych. Zaproponowanie modeli regresji, pozwalających na wykorzystanie przykładowych przydziałów do klas oraz pożądanych liczności klas decyzyjnych do określenia wartości parametrów modelu preferencji w postaci addytywnej funkcji użyteczności lub relacji przewyższania. Zaproponowanie deterministycznych procedur wyboru pojedynczej instancji modelu preferencji kompatybilnej z nowym typem informacji preferencyjnej. 7. Przeprowadzenie eksperymentów obliczeniowych, sprawdzających wyniki i ilustrujących sposób działania opracowanych metod na rzeczywistych zbiorach danych. Słowa kluczowe: wielokryterialne wspomaganie decyzji, zasada odpornej regresji porządkowej, modelowanie preferencji decydentów, analiza odporności, relacja przewyższania, addytywna funkcja użyteczności.

11 Rozdział 2 Notacja i podstawowe pojęcia W tym rozdziale przedstawiono podstawowe pojęcia oraz wprowadzono notację wykorzystywaną w rozprawie: A = {a 1, a 2,..., a i,..., a n } - skończony zbiór n wariantów. W rozprawie założono, że jest on znany a priori. A R = {a, b,...} - skończony zbiór wariantów referencyjnych. dla których decydent jest gotowy wyrazić swoje preferencje. G = {g 1, g 2,..., g j,..., g m } - rodzina m kryteriów oceny. W rozprawie założono, że g j : A R dla j J = {1, 2,..., j,..., m}. X j = {g j (a i ), a i A} - zbiór różnych ocen wariantów na kryterium g j, j J. W rozprawie założono rosnący kierunek preferencji wszystkich kryteriów, tzn. im większa ocena g j (a i ), tym lepszy wariant a i na kryterium g j, dla j J. C 1, C 2,..., C p - zbiór p predefiniowanych klas decyzyjnych, gdzie klasa C h+1 jest preferowana nad klasę C h, h = 1,..., p 1; co więcej, H = {1,..., p}. Relacja dominacji. Jedynym obiektywnym wynikiem analizy ocen wariantów na wszystkich kryteriach jest relacja dominacji. Wariant a A dominuje w sensie słabym wariant b A (a b) wtedy i tylko wtedy, gdy g j (a) g j (b) dla wszystkich j J. Z kolei a dominuje w sensie silnym b, jeżeli co najmniej jedna z powyższych nierówności ma charakter ostry. Relacje preferencji. Wzbogacenie relacji dominacji wymaga specyfikacji przez decydenta informacji preferencyjnej. Informacja ta jest następnie tłumaczona do parametrów modelu preferencji wykorzystywanego w konkretnej metodzie WWD, co pozwala na narzucenie na zbiór wariantów A relacji preferencji w sposób zgodny z przedstawionymi preferencjami. Relacja słabej preferencji dla pary wariantów a, b A jest interpretowana w następujący sposób: a b a jest co najmniej tak dobry jak b. Weryfikując prawdziwość relacji słabej preferencji a b oraz b a, można uzyskać relacje silnej preferencji, nierozróżnialności i nieporównywalności: a b [a b oraz not(b a)] a jest silnie preferowany nad b, a b [a b oraz b a] a jest nierozróżnialny z b, a?b [not(a b) oraz not(b a)] a jest nieporównywalny z b. 7

12 8 Notacja i podstawowe pojęcia W metodach opartych na relacji przewyższania, relacja słabej preferencji jest tradycyjnie oznaczana symbolem S, a jej negacja symbolem S c. Funkcja użyteczności. Celem wieloatrybutowej teorii użyteczności [46] jest reprezentowanie preferencji decydenta na zbiorze A, za pomocą funkcji użyteczności U(g 1 ( ),..., g m ( )): R n R, takiej, że a b, jeżeli U(a) > U(b) oraz a b, jeżeli U(a) = U(b). Podstawowym modelem wykorzystywanym w tym podejściu jest wieloatrybutowa addytywna funkcja użyteczności: m U(a) = u j (a) = u 1 (a) + u 2 (a) + + u m (a), dla a A, (2.1) j=1 gdzie u j, j J, są cząstkowymi funkcjami użyteczności. Dla uproszczenia notacji wykorzystano zapis U(a) zamiast U((g 1 (a),..., g m (a))) oraz u j (a), j J, zamiast u j (g j (a)). Informacja preferencyjna wykorzystywana w metodach z rodziny ELECTRE. Konstrukcja relacji przewyższania w metodach z rodziny ELECTRE [26] wymaga przeprowadzenia testów zgodności oraz niezgodności. Niech k j oznacza wagę kryterium g j, j J, a q j, p j oraz v j reprezentują progi nierozróżnialności, preferencji i veta na tym kryterium. Intuicyjna interpretacja tych progów zakłada, że definiują one różnicę w ocenach pary wariantów, która jest odpowiednio: zaniedbywalna, istotna lub krytyczna dla porównania tych wariantów na kryterium g j, j J [66]. Test zgodności dla pary a, b A polega na obliczeniu całkowitego współczynnika zgodności C(a, b). Reprezentuje on siłę koalicji kryteriów, które wspierają hipotezę o przewyższaniu asb. Współczynnik C(a, b) oblicza się jako średnią ważoną cząstkowych współczynników zgodności ψ j (a, b), z których każdy wskazuje stopień z jakim kryterium g j, j J, potwierdza, że a jest co najmniej tak dobry jak b. Test zgodności ma wynik pozytywny, jeżeli C(a, b) λ, gdzie λ [0.5, 1] jest tzw. progiem zgodności (odcięcia). Test niezgodności dla pary wariantów (a, b) A A ma wynik pozytywny, jeżeli nie istnieje kryterium g j, j J, dla którego wariant a byłby krytycznie gorszy od b, tzn. g j (b) g j (a) v j. Informacja preferencyjna wykorzystywana w metodach z rodziny PROMETHEE. Struktura preferencji w metodach z rodziny PROMETHEE [4, 9] opiera się na porównaniach wariantów parami. Na każdym kryterium g j, j J, rozważa się funkcję preferencji, która dla każdej pary wariantów a, b A określa cząstkowy stopień preferencji. Jego wartość zależy od różnicy ocen wariantów d j (a, b) = g j (a) g j (b), tj.: π j (a, b) = F j (d j (a, b)) [0, 1]. (2.2) W metodzie PROMETHEE predefiniowano sześć typów funkcji preferencji. Spełniają one następujące warunki: π j (a, b) = 0, jeżeli d j (a, b) q j, gdzie q j jest progiem nierozróżnialności, oraz π j (a, b) = 1 jeżeli d j (a, b) > p j, gdzie p j jest progiem preferencji na kryterium g j. Aby obliczyć całkowity stopień preferencji wariantu a nad wariantem b korzysta się z następującej formuły: m π(a, b) = π j (a, b) k j, dla (a, b) A A, (2.3) j=1 gdzie k j jest wagą kryterium g j. Przewaga lub słabość wariantu a w stosunku do wszystkich pozostałych wariantów jest wyrażona za pomocą stopni przewyższania. Dodatni przepływ przewyższania Φ + (a) odzwierciedla, w jakim

13 Notacja i podstawowe pojęcia 9 stopniu wariant a przewyższa pozostałe n 1 wariantów: Φ + (a) = 1/(n 1) b A π(a, b). (2.4) Ujemny przepływ przewyższania Φ (a) wyraża stopień, w jakim wariant a jest przewyższany przez pozostałe warianty: Φ (a) = 1/(n 1) b A π(b, a). (2.5) Różnica dodatniego i ujemnego przepływu przewyższania definiuje całkowity przepływ przewyższania: Φ(a) = Φ + (a) Φ (a). (2.6) Im wyższa jest jego wartość, tym wyższa jakość wariantu, biorąc pod uwagę preferencje decydenta.

14

15 Rozdział 3 Zasada odpornej regresji porządkowej dla metod opartych na relacji przewyższania Dwa podstawowe pola rozwoju metod wielokryterialnego wspomagania decyzji opartych na relacji przewyższania dotyczą modelowania preferencji oraz analizy odporności. Pierwsze z nich wymaga opracowania procedur pozwalających na wyrażenie preferencji decydenta w kategoriach parametrów modelu przewyższania. Bezpośrednie określenie wartości takich parametrów jest zadaniem zbyt wymagającym dla większości decydentów. Stwierdzenie to dotyczy w szczególności tzw. parametrów międzykryterialnych, tj. wag kryteriów oraz progów veta [16, 19]. W związku z tym, w przeszłości zaproponowano procedury dezagregacji preferencji, które pozwalają na określenie wartości wag oraz progów wymaganych do skonstruowania relacji przewyższania w sposób pośredni [18, 54, 65]. Analiza odporności dla metod opartych na relacji przewyższania dotyczy weryfikacji prawdziwości tej relacji dla zadanych par wariantów. Problem ten był dotychczas rozważany w kontekście skrajnych wartości przypisanych do progów nierozróżnialności i preferencji oraz wag, ignorując jednak efekt veta. Zasugerowano również analizę różnych kombinacji skrajnych wartości parametrów [59, 63, 78] lub wszystkich możliwych kombinacji [16, 17, 19]. W tym rozdziale, rozważono nowe możliwości rozwoju metod opartych na relacji przewyższania pod względem modelowania preferencji oraz analizy odporności. Po pierwsze, wybór pojedynczej instancji modelu przewyższania, tj. precyzyjnych wartości progów nierozróżnialności, preferencji i veta, wag oraz progu zgodności, jest w wielu sytuacjach zbyt arbitralny. Zamiast bezpośredniego wskazania precyzyjnego modelu przewyższania przez decydenta, w tym rozdziale postulowane jest wzięcie pod uwagę wszystkich zbiorów parametrów kompatybilnych z informacją preferencyjną dostarczoną przez decydenta w sposób pośredni i nieprecyzyjny, a następnie analiza konsekwencji ich zastosowania na zbiorze wariantów A. Dokładniej, rozważono zbiory kompatybilnych parametrów o charakterze wewnątrzkryterialnym oraz międzykryterialnym. Te pierwsze - jako łatwiejsze do określenie przez decydenta - mogą być wyrażone w spośób bezpośredni, przy czym dopuszczono specyfikację przedziału zmienności dla progów nierozróżnialności i preferencji zamiast precyzyjnych wartości. Alternatywnie, informacja odnośnie różnicy w ocenach wariantów, która jest dla decydenta zaniedbywalna lub znacząca, może być podana w sposób pośredni poprzez porównanie par wariantów referencyjnych na określonym kryterium. Specyfikacja informacji preferencyjnej o charakterze międzykryterialnym, tj. wartości wag, progów veta oraz zgodności, jest znacznie trudniejsza. W związku z tym, o dozwolonych przedziałach zmienności tych parametrów wnioskuje się z przykładów decyzji dostarczonych przez decydenta. 11

16 12 Zasada odpornej regresji porządkowej dla metod opartych na relacji przewyższania W przypadku problemów porządkowania i wyboru decydent proszony jest o przedstawienie porównań parami wyrażających prawdę lub fałsz relacji przewyższania dla podzbioru wariantów referencyjnych. Dla problemów sortowania, oczekuje się, że dostarczy on przykładowych (możliwie nieprecyzyjnych) przydziałów do klas. W ten sposób odniesiono się również do trudności w analizie relacji między modelem przewyższania oraz uzyskanymi wynikami, co jest wadą wielu istniejących metod opartych na relacji przewyższania. Dostarczenie informacji preferencyjnej w postaci przykładowych decyzji jest naturalne i spójne z intuicyjnym rozumowaniem decydentów. Co więcej, pozwala na zwiększenie interakcji z decydentem, który może przedstawiać swoje preferencje w sposób przyrostowy i kontrolować wpływ tak wyrażonych przekonań na ostateczny wynik. Klasa cząstkowych funkcji zgodności w metodach z rodziny ELECTRE jest ograniczona do funkcji odcinkami liniowych. Niektóre metody oparte na relacji przewyższania, np. PROMETHEE, rozszerzają zbiór rodzajów funkcji preferencji, z których decydent może wybierać, by zamodelować strukturę preferencji, o pewne predefiniowane przebiegi i kształty. W rozprawie zaproponowano wykorzystanie cząstkowych funkcji zgodności oraz cząstkowych funkcji preferencji, które są monotoniczne w sensie nieścisłym. Propozycja ta jest konsekwencją dopuszczenia braku precyzji w określeniu wartości progów nierozróżnialności i preferencji. Funkcje cząstkowe są zdefiniowono w duchu tradycyjnych metod opartych na relacji przewyższania z wyraźnie wyróżnionymi obszarami silnej preferencji, słabej preferencji oraz nierozróżnialności. Jednocześnie wykorzystanie takich funkcji cząstkowych zwiększa stopień swobody metod w określeniu instancji modelu przewyższania kompatybilnych z preferencjami decydenta. Każda kompatybilna instancja modelu preferencji narzuca na zbiór wariantów A relację przewyższania. Odwołując się do zbioru wszystkich kompatybilnych instancji, zdefiniowano dwa rodzaje wyników (relacji przewyższania lub przydziałów do klas): konieczne oraz możliwe. Wyniki konieczne określają najbardziej pewną rekomendację wypracowaną na podstawie wszystkich kompatybilnych instancji modelu przewyższania rozważanych jednocześnie. Wyniki możliwe precyzują wszystkie możliwe rekomendacje, tj. rezultaty potwierdzone przez co najmniej jedną kompatybilną instancję modelu przewyższania. Dostarczając koniecznych oraz możliwych rezultatów, proponowane metody odnoszą się do zagadnienia analizy odporności. Metody zaprezentowane w tym rozdziale powinny być wykorzystywane interaktywnie poprzez dostarczanie informacji preferencyjnej w sposób przyrostowy. Co więcej, wyposażono je w moduł pozwalający na identyfikację podzbioru informacji preferencyjnej odpowiedzialnego za potencjalną niespójność. Proponując nowe metody, które wpisują się w nurt podejść opartych na zasadzie odpornej regresji porządkowej, pokazano, że zasada ta jest niezależna od rodzaju modelu preferencji. Poza tym uogólniono istniejące podejścia z rodziny ELECTRE oraz PROMETHEE pod wieloma względami, istotnie rozwijając je zarówno w obszarze elicytacji informacji preferencyjnej, jak i analizy odporności wypracowanej rekomendacji. Wyniki badań przedstawione w tym rozdziale zostały opublikowane w [27] oraz [40]. 3.1 ELECTRE GKMS : zasada odpornej regresji porządkowej dla metod z rodziny ELECTRE W tym rozdziale zaprezentowano ogólny schemat metody ELECTRE GKMS, która implementuje zasadę odpornej regresji porządkowej dla metod z rodziny ELECTRE przeznaczonych do wspomagania problemów wielokryterialnego wyboru i porządkowania. Informacja preferencyjna. Decydent jest proszony o porównanie wybranych par wariantów

17 3.1. ELECTRE GKMS : zasada odpornej regresji porządkowej dla metod z rodziny ELECTRE 13 (a, b) B R ze zbioru referencyjnego A R. Porównania takie wyrażają prawdę (as DM b) lub fałsz (asdm c b) relacji przewyższania. W przypadku informacji wewnątrzkryterialnej decydent może podać dozwolone przedziały zmienności progów nierozróżnialności [q j,, qj ] oraz preferencji [p j,, p j ]. Alternatywnie możliwe jest porównanie par wariantów referencyjnych na określonym kryterium g j, j J, które prowadzą do stwierdzenia, że różnica w ich ocenach jest zaniedbywalna (a j b) lub znacząca (a j b). Model preferencji. W przypadku wykorzystania ELECTRE GKMS kompatybilne modele przewyższania to zbiory współczynników zgodności C(a, b), progów zgodności λ, nierozróżnialności q j, preferencji p j oraz veta v j, dla wszystkich a, b A, j J, spełniające następujące warunki: Spójność z porównaniami parami, wyrażającymi prawdę lub fałsz relacji przewyższania dla wariantów referencyjnych a, b A R. Dla porównania as DM b należy zagwarantować spełnienie testu zgodności oraz brak veta na którymkolwiek kryterium. Aby wymusić as c DM b, konieczne jest spełnienie co najmniej jednego z dwóch warunków: niespełnienie testu zgodności lub veto na co najmniej jednym kryterium. Ograniczenia dotyczące wartości parametrów międzykryterialnych, tj. specyfikacja dozwolonego przedziału zmienności dla progu odcięcia, normalizacja wag oraz definicja dozwolonych przedziałów wartości progów veta. Ograniczenia dotyczące wartości cząstkowych funkcji zgodności ψ j (a, b), j J, odwołujące się do sytuacji, w której przedział dozwolonych wartości dla progów nierozróżnialności i preferencji jest podany w sposób bezpośredni lub pośredni. Rozróżnia się przy tym cztery typy sytuacji, w których wariant a na pewno jest (nie jest) co najmniej tak samo dobry jak (ściśle gorszy od) b. Monotoniczność cząstkowych funkcji zgodności ψ j (a, b), j J, odwołująca się do porównania ocen pary wariantów w przypadku, gdy wartości progów nie są zależne od oceny lub do porównania ocen dwóch par wariantów w przypadku, gdy wartości progów zależą od tych ocen. Niech zbiór ograniczeń definiujących niepusty zbiór instancji modelu przewyższania S GKMS A kompatybilnych z informacją preferencyjną decydenta będzie oznaczony przez ES GKMS (szczegółowa R definicja tego zbioru ograniczeń znajduje się w rozprawie w języku angielskim w Rozdziale 2.2, s. 29). Konieczna i możliwa relacja przewyższania. W odniesieniu do zbioru kompatybilnych instancji modelu przewyższania S GKMS A, zdefiniowano dwie relacje przewyższania na zbiorze wariantów R A: a koniecznie przewyższa b (as N b) jeżeli a przewyższa b dla wszystkich kompatybilnych instancji modelu przewyższania należących do S GKMS A R, a możliwie przewyższa b (as P b) jeżeli a przewyższa b dla co najmniej jednej kompatybilnej instancji modelu przewyższania należącej do S GKMS A R. W celu weryfikacji prawdziwości koniecznej relacji przewyższania, należy udowodnić, że ograniczenia odpowiadające relacji nieprzewyższania as c b są w sprzeczności ze zbiorem ograniczeń E GKMS S, tj. rozwiązać następujący problem:

18 14 Zasada odpornej regresji porządkowej dla metod opartych na relacji przewyższania p.o.: E GKMS S, max ε (3.1) C(a, b) = m j=1 ψ j(a, b) + ε λ + M 0 (a, b) oraz g j (b) g j (a) v j (a) δm j (a, b), m j=0 M j(a, b) m, M j (a, b) {0, 1}, j = 0,..., m. E GKMS SN (a, b) gdzie δ jest duża dodatnią liczbą rzeczywistą, a M j (a, b), j = 0,..., m, są zmiennymi binarnymi. Niech ε N (a, b) będzie maksymalną wartością ε otrzymaną dla powyższego problemu (tj., ε N (a, b) = max ε, p.o. E GKMS S (a, b)). Relacja as N b jest prawdziwa, jeżeli zbiór ograniczeń E GKMS N S (a, b) jest N sprzeczny lub ε N (a, b) nie jest większe od 0. W przypadku sprawdzenia, czy zachodzi relacja możliwa as P b, do zbioru ograniczeń E GKMS S dodaje się warunki odpowiadające relacji asb, a następnie weryfikuje się, czy mogą one być odtworzone, tj.: max ε (3.2) p.o.: E GKMS S, C(a, b) = m j=1 ψ j(a, b) λ oraz g j (b) g j (a) + ε v j (a), j J. EGKMS SP (a, b) Niech ε P (a, b) będzie maksymalną wartością ε otrzymaną dla powyższego problemu (tj., ε P (a, b) = max ε, p.o. E GKMS S (a, b)). Relacja as P b jest prawdziwa, jeżeli zbiór ograniczeń E GKMS P S (a, b) jest P niesprzeczny oraz ε P (a, b) jest większe od 0. Zdefiniowano również binarne relacje odzwierciedlające konieczność lub możliwość nieprzewyższania: a koniecznie nie przewyższa b (as cn b) jeżeli a nie przewyższa b dla wszystkich kompatybilnych instancji modelu przewyższania należących do S GKMS A R, a możliwie nie przewyższa b (as cp b) jeżeli a nie przewyższa b dla co najmniej jednej kompatybilnej instancji modelu przewyższania należącej do S GKMS A R. Własności koniecznych i możliwych relacji przewyższania. Binarne relacje S N oraz S P posiadają następujące własności. Formalne dowody wszystkich twierdzeń przedstawionych w niniejszym streszczeniu znajdują się w rozprawie w języku angielskim. Twierdzenie S P S N. Uwaga S P oraz S N są zwrotne i w ogólności nie są ani przechodnie ani zupełne, gdyż dziedziczą własności relacji przewyższania S. Twierdzenie Dla wszystkich a, b A, as N b not(as cp b). Twierdzenie Dla wszystkich a, b A, as P b not(as cn b). W związku z tym, dla każdej pary wariantów (a, b) A A, jedynie prawdziwość relacji as N b oraz as P b musi być weryfikowana w sposób bezpośredni. Istnieją zatem dwa źródła informacji o czterech relacjach w zbiorze A: S N, S cn, S P oraz S cp. Twierdzenie S cp S cn.

19 3.1. ELECTRE GKMS : zasada odpornej regresji porządkowej dla metod z rodziny ELECTRE 15 Na podstawie relacji S N oraz S P, można otrzymać konieczne oraz możliwe relacje nierozróżnialności, preferencji oraz nieporównywalności?. W rozprawie rozważono także możliwość zajścia tradycyjnie rozumianych relacji, oraz? w zależności od prawdy lub fałszu relacji S N oraz S P. Analiza niespójności. Informacja preferencyjna podana przez decydenta jest niespójna, gdy nie istnieje żadna instancja modelu przewyższania odtwarzająca dostarczone przez decydenta porównania parami wariantów referencyjnych przy zadanych ograniczeniach dotyczących parametrów wewnątrzkryterialnych. W tym wypadku, należy zidentyfikować minimalne podzbiory przykładów decyzji dostarczonych przez decydenta, które mogłyby zostać przedstawione mu jako potencjalne przyczyny niespójności. Wykorzystując binarne zmienne v a,b skojarzone z pojedynczym porównaniem (a, b) B R, zbiór ES GKMS przepisywany jest do ES,v GKMS, zastępując ograniczenia tłumaczące porównania as DM b oraz asdm c b ich odpowiednikami o następującej postaci: m as DM b C(a, b) = ψ j (a, b) + δv a,b λ oraz g j (b) g j (a) + ε v j (a) + δv a,b, j J, (3.3) j=1 as c DM b C(a, b) = m ψ j (a, b)+ε λ+m 0 (a, b)+δv a,b oraz g j (b) g j (a)+δv a,b v j (a) δm j (a, b), j=1 gdzie M j (a, b), j = 0, 1,..., m, są zmiennymi binarnymi, a δ jest dużą dodatnią liczbą rzeczywistą. Następnie rozwiązywany jest problem: min f = (3.4) (a,b) B R v a,b, p.o. E GKMS S,v. (3.5) Porównania parami odpowiadające zmiennym v a,b = 1 tworzą podzbiór porównań parami S i o liczności fi, które decydent musi usunąć lub zmienić, aby wyeliminować niespójność. Pozostałe takie podzbiory mogą być znalezione po dodaniu do zbioru ograniczeń następującej nierówności: v a,b fi 1. (3.6) (a,b) S i Zapobiega ona znalezieniu podzbioru porównań zidentyfikowanego już jako przyczyna niespójności w i-tej iteracji. Przyrostowa specyfikacja informacji preferencyjnej. Informacja preferencyjna w ELECTRE GKMS powinna być podawana w sposób przyrostowy. Charakter prezentowanych wyników wspomaga taką interakcję z metodą, ponieważ sugerowany sposób postępowania polega na analizie relacji S N, S cn, S P oraz S cp, a następnie wymuszeniu przez decydenta w kolejnych iteracjach zajścia relacji asb lub as c b dla par (a, b), dla których prawdziwa była relacja możliwa, ale fałszywa była relacja konieczna. Niech B R 1 B R 2... B R s będą zagnieżdżonymi zbiorami porównań parami podanymi w iteracjach t = 1,..., s. Dla każdej iteracji t można określić konieczną St N relację przewyższania. oraz możliwą S P t Twierdzenie St N oraz St P, t = 1,..., s, stanowią zagnieżdżone relacje: St 1 N St N oraz St 1 P St P, t = 2,..., s. Oznacza to, że wraz z przyrostem informacji preferencyjnej konieczna relacja przewyższania staje się coraz bogatsza, a możliwa relacja przewyższania coraz uboższa.

20 16 Zasada odpornej regresji porządkowej dla metod opartych na relacji przewyższania Wartościowane konieczne i możliwe relacje przewyższania. Niech θ t będzie poziomem pewności przypisanym porównaniom parami podanym w iteracji t = 1,..., s (założono, że 1 = θ 1 > θ 2 >... > θ s > 0). Na podstawie zagnieżdżonych porównań parami B R 1 B R 2... B R s oraz odpowiadających im poziomów pewności θ t, t = 1,..., s, można zdefiniować wartościowane relacje przewyższania dla a, b A, w następujący sposób: wartościowana konieczna relacja przewyższania S N val : A A {θ 1, θ 2,..., θ s, 0}: jeżeli istnieje co najmniej jedno t takie, że as N t b, to S N val (a, b) = max{θ t : as N t b, t = 1,..., s}, jeżeli nie istnieje t takie, że ast N b, to Sval N (a, b) = 0. Jeżeli w określonej iteracji a koniecznie przewyższa b, to relacja ta będzie prawdziwa również w kolejnych iteracjach. W związku z tym, wartość Sval N powinna być tym większa, im wcześniej ast N b stanie się prawdziwe. wartościowana możliwa relacja przewyższania S P val : A A {1 θ 1, 1 θ 2,..., 1 θ s, 1}: jeżeli istnieje co najmniej jedno t takie, że as P t b, to S P val (a, b) = min{1 θ t : not(as P t b), t = 1,..., s}, jeżeli ast P b dla wszystkich t, to Sval P (a, b) = 1. Jeżeli w określonej iteracji, a możliwie nie przewyższa b, to możliwa relacja przewyższania nie będzie prawdziwa również w kolejnych iteracjach. W związku z tym, wartość S P val powinna być tym większa, im później as P t b stanie się fałszywe. Podstawowe procedury eksploatacji koniecznych i możliwych wyników. Konieczne oraz możliwe relacje przewyższania powinny być eksploatowane jak relacja przewyższania zdefiniowana w tradycyjny sposób. Przykładowo, aby wypracować rekomendację dla problemu wyboru, sugerowane jest odwołanie się do wyników najbardziej stabilnych przez znalezienie jądra grafu relacji koniecznej S N w duchu metody ELECTRE Is [64]. Możliwe jest również wskazanie wariantów a A, takich, że dla wszystkich b A, b a zachodzi not(bs P a). Jeżeli takie warianty istnieją, to znalazłyby się one w jądrze grafu przewyższania niezależnie od tego, która z kompatybilnych instancji byłaby podstawą analizy. W przypadku wypracowania rekomendacji dla problemów porządkowania, sugerowane jest wykorzystanie metody Net Flow Score [8]. Przypisuje ona każdemu wariantowi miarę jakości, zdefiniowaną jako różnica jego siły oraz słabości. W kontekście ELECTRE GKMS, dla każdego wariantu a A istnieją dwa rodzaje argumentów wspierających jego siłę: liczba wariantów b A, b a, takich, że as N b lub not(bs P a) bs cn a, oraz dwa rodzaje argumentów wspierających jego słabość: liczba wariantów b A, b a, takich, że bs N a lub not(as P b) as cn b. 3.2 PROMETHEE GKS : zasada odpornej regresji porządkowej dla metod z rodziny PROMETHEE W tym rozdziale zaprezentowano ogólny schemat metody PROMETHEE GKS, która implementuje zasadę odpornej regresji porządkowej dla metod z rodziny PROMETHEE przeznaczonych do

21 3.2. PROMETHEE GKS : zasada odpornej regresji porządkowej dla metod z rodziny PROMETHEE 17 wspomagania problemów wielokryterialnego wyboru i porządkowania. Informacja preferencyjna. Decydent jest proszony o porównanie wybranych par wariantów (a, b) B R ze zbioru referencyjnego A R. Porównania takie mogą wyrażać prawdziwość relacji słabej preferencji (a b), silnej preferencji (a b) lub nierozróżnialności (a b). Odwołując się do założeń metody PROMETHEE, zdefiniowano relacje dwóch rodzajów: relacje na poziomie konstrukcji relacji przewyższania (oznaczone przez a π b, a π b oraz a π b), które odwołują się do porównania ocen wariantów a oraz b i są tłumaczone do ograniczeń na wartości stopni preferencji π(a, b) oraz π(b, a); w związku z tym, poziom konstrukcji relacji przewyższania zestawia siłę argumentów za wariantem a w porównaniu z b i vice versa; relacje na poziomie eksploatacji relacji przewyższania (oznaczone przez a Φ b, a Φ b oraz a Φ b), które odwołują się do porównania pozycji wariantów a oraz b w końcowym porządku wariantów i są tłumaczone do ograniczeń na wartości przepływów przewyższania Φ(a) oraz Φ(b). Rozróżnienie pomiędzy poziomami konstrukcji i eksploatacji nie musi być widoczne dla decydenta i jego preferencje mogą być domyślnie tłumaczone do ograniczeń reprezentujących dwa rodzaje porównań. Jest to uzasadnione, gdyż przy stwierdzeniu a jest co najmniej tak dobre jak b decydent zazwyczaj odnosi się do bezpośredniego zestawienia siły argumentów za wariantem a oraz b, a także do porównania ich ostatecznej pozycji w rankingu. W metodzie PROMETHEE GKS powyższa interpretacja jest domyślna, ale by opisać wszystkie możliwości oferowane przez to podejście w kolejnych akapitach kontynuowane jest rozróżnienie pomiędzy poziomem konstrukcji oraz eksploatacji. W przypadku informacji wewnątrzkryterialnej - podobnie jak w metodzie ELECTRE GKMS - decydent może bezpośrednio podać dozwolone przedziały zmienności progów nierozróżnialności [q j,, qj ] oraz preferencji [p j,, p j ]. Alternatywnie możliwe jest porównanie wariantów referencyjnych na określonym kryterium, prowadzące do stwierdzenia, że różnica w ich ocenach jest zaniedbywalna (a j b) lub znacząca (a j b). Model preferencji. W przypadku wykorzystania PROMETHEE GKS kompatybilne modele przewyższania to zbiory współczynników preferencji π(a, b), a, b A, cząstkowych współczynników preferencji π j (a, b), j J, przepływów przewyższania Φ(a), Φ + (a) oraz Φ (a), progów nierozróżnialności q j i preferencji p j, j J, spełniające następujące warunki: Spójność z porównaniami parami, wyrażającymi słabą preferencję, silną preferencję lub nierozróżnialność na poziomie konstrukcji lub eksplotacji relacji przewyższania dla par wariantów referencyjnych (a, b) B R. Sposób tłumaczenia tych relacji do zbioru ograniczeń, bierze pod uwagę specyfikę metody PROMETHEE I lub PROMETHEE II. Ograniczenia dotyczące wag kryteriów. Ograniczenia dotyczące wartości cząstkowych funkcji preferencji π j (a, b), j J, odwołujące się do sytuacji, w której zakres zmienności progów nierozróżnialności i preferencji jest podany w sposób bezpośredni lub pośredni. Rozróżnia się przy tym cztery typy sytuacji, w których wariant a na pewno jest (nie jest) ściśle lepszy (nielepszy) od b.

22 18 Zasada odpornej regresji porządkowej dla metod opartych na relacji przewyższania Monotoniczność cząstkowych funkcji preferencji π j (a, b), j J, odwołująca się do porównania ocen pary wariantów. Niech zbiór ograniczeń definiujących zbiór instancji modelu przewyższania S GKS A kompatybilnych R z informacją preferencyjną decydenta będzie oznaczony przez ES GKS (szczegółowa definicja tego zbioru ograniczeń znajduje się w rozprawie w języku angielskim w Rozdziale 2.3, s. 41). Konieczna i możliwa relacja przewyższania. W odniesieniu do zbioru kompatybilnych instancji modelu przewyższania S GKS A R, zdefiniowano dwie relacje przewyższania na zbiorze A: a koniecznie przewyższa b (as N b) jeżeli a przewyższa b dla wszystkich kompatybilnych instancji modelu przewyższania należących do S GKS A R, a możliwie przewyższa b (as P b) jeżeli a przewyższa b dla co najmniej jednej kompatybilnej instancji modelu przewyższania należącej do S GKS A R. Implementacja tych relacji jest różna w zależności od poziomu (konstrukcji lub eksploatacji), na którym są rozważane oraz metody (PROMETHEE I lub PROMETHEE II), której założenia są przyjęte na potrzeby analizy wielokryterialnej. Pomysł sprawdzenia prawdziwości tych relacji jest analogiczny jak dla metody ELECTRE GKMS. W związku z tym, weryfikacja prawdziwości relacji koniecznej wymaga rozwiązania następującego problemu: max ε (3.7) p.o.: E GKS S jeżeli weryfikowana jest prawda relacji przewyższania na poziomie eksploatacji: jeżeli przyjęto założenia metody PROMETHEE II: Φ(a) + ε Φ(b) jeżeli przyjęto założenia metody PROMETHEE I: E GKS N (a, b) Φ + (a) Φ + (b) oraz Φ (a) Φ (b) oraz Φ + (a) Φ (a) + ε Φ + (b) Φ (b) jeżeli weryfikowana jest prawda relacji przewyższania na poziomie konstrukcji: π(a, b) + ε π(b, a).