Metoda symboliczna Zad. 1.1 Znaleźć zespolone wartości skuteczne następujących prądów i napięć:

Transkrypt

1 Metoda symboliczna ad.. naleźć zespolone wartości skuteczne następujących prądów i napięć: 7 a) ut ( ) sin 5t V, b) it () 5 cos5t, 4 c) ut ( ) sin t cost V, d) it () 5sint 4cost. 4 Wynik: 7 j a) e V, 5rad/s, b) c) j 6 j 5 j j ozwiązanie d: Wyznaczamy wartości skuteczne składowych napięcia 5 j 5sin t e, 4 j 4cos t e 4. 4 Wykonujemy działanie: 5e 5e 5e, 5rad/s -j,9rad, 47e V, = rad/s, d) 6,e, = rad/s. j j 5 4 -j,9rad 5e 4e j j 5,8 7,59 j 8,94e, następnie przedstawiamy wynik w postaci funkcji czasu, tzn. it ( ) 8,94sin(t,9 rad). Mając do dyspozycji kalkulator np. TEN S-5, który ma dwa rejestry a i b oraz tryb pracy PX, powyższe działania można wykonać następująco (włączamy PX i upewniamy się czy jest włączony tryb pracy deg):. 5 a,. 6 b,. P, a, 6. 5 b P P Po wykonaniu działań od do 9 na wyświetlaczu powinniśmy otrzymać 8,99587, naciskając b otrzymujemy: -5,8666. Natomiast wykorzystując kalkulator firmy SO (np. fx-57ms) powyższe działania można wykonać następująco (włączony mode: MPX i tryb pracy D): r. Po naciśnięciu znaku = otrzymujemy: , naciskając SHFT i = otrzymujemy na wyświetlaczu

2 ad.. Przedstawić jako funkcję czasu następujące prądy i napięcia: a) j V, rad/s, b) j, rad/s, j j c) (8e 4 e ) V, 4 rad/s 4 j4, /. Wynik: a) u( t) sin t V b) i ( t) sin t, 4 c) u( t) 4 sin 4t V d) i 4 ( t) sin t,4rad. ad.. Do węzła dopływają trzy prądy,,. nane są moduły (wartości skuteczne) tych prądów oraz wiadomo, że faza początkowa prądu jest równa. Obliczyć fazy początkowe i. Narysować wykres wskazowy., d) 5,,5, 7,5,. ozwiązanie: prawa Kirchhoffa wynika, że. ówność ta będzie spełniona, jeśli odpowiednio część rzeczywista i urojona będzie równa zero, tzn.. cos cos cos,. sin sin sin. by rozwiązać powyższy układ równań należy zrobić następujące przekształcenia:. coscos cos. sinsinsin coscossinsin. cos( ) oraz cos cos sin sin. cos cos cos. sin sin sin B. cos( ). i B otrzymujemy cos , cos -.9.

3 atem 57.65, Są więc dwa różne rozwiązania: ) 87.65, , ) -7.65, Wykres wskazowy wykonany za pomocą Matlaba (instrukcja compass)dla pierwszego rozwiązania przedstawiono poniżej (rys..). m e 4 7 ys.. ad..4 adany jest przebieg sinusoidalny symbolicznie f( t) j,. apisać postać symboliczną pochodnej i całki tego przebiegu. ozwiązanie: d f( t) j( j) 4 j, dt j f()d t t j5. j ad..5. Obliczyć impedancję i admitancję dwójników z rys..5 dla częstotliwości f. Wynik przedstawić w postaci algebraicznej i wykładniczej. 5 Ω, 5μF, mh, f khz. a) b) c) ys..5

4 Wynik (tylko postać algebraiczna): a) 5 j 5 j, Y 8,6 + 5,78jmS, b) Y j j7,958ms, 4,7 j7,8 Y, c) Y j,7+ 6,4jmS, j. j ad..6a Dane są wartości: s i s ( r i r ) oraz częstotliwość f sygnału sinusoidalnego. Wyznaczyć wartość rezystancji równoważnego. ( ) i pojemności r s r ( s ) odpowiedniego dwójnika r s Wynik: 4 s s f s r 4 rr f r, ;,. r s s 4 s s f 4 ss f 4 r r f 4 r r f ad..6b Dwójnik pasywny zasilany jest napięciem sinusoidalnym ut (). Przebieg wartości chwilowych prądu dwójnika jest it (). Wyznaczyć impedancję i admitancję, impedancję zespoloną i admitancję zespoloną oraz rezystancję, reaktancję, konduktancję i susceptancję dwójnika, a także kąt przesunięcia fazowego pomiędzy prądem i napięciem. a) ut ( ) sin 4 tv ; it ( ) cos4 t, b) ut ( ) cos(68t,68) V ; it ( ) sin(68t,56), c) u() t cost,4 V ; it ( ) sin(68 t ). 5 Wynik: a) X,, Y, S, j, Y, e S j, j 6, G S, B, S, rad ; b), Y, S, e, j 6 Y, e S, 5 8,66, X 5, G,87 S, B,5 S, rad ; c) brak 6 rozwiązania - przebiegi mają różną pulsację (nie są synchroniczne). ad..7 Dwójnik o impedancji zespolonej zasilany jest prądem sinusoidalnym it (). Wyznaczyć wartość skuteczną zespoloną oraz przebieg wartości chwilowych ut () napięcia dwójnika. a) ( j) ; it ( ) 5cos(4 t / 4) ; j /6 b) e ; it ( ) sin(5 t / ).,89 Wynik: a) 5 j75 79 e j V, ut ( ) 79 sin(4t,89) V, j s b) e V, ut ( ) sin(5 t / ) V. r 4

5 ad..8 W obwodzie panuje stan ustalony (rys..8). Obwód zasilany jest napięciem zmiennym. Woltomierz (V) pokazuje = 6V (wartość skuteczna), amperomierz () natomiast = (również wartość skuteczna). Wyznaczyć wartość indukcyjności.,, / 4. ozwiązanie: Elementy,, połączone są równolegle, zatem wygodnie jest opisać obwód za pomocą admitancji Y j. j 5 treści zadania wynika, że Y Y. Drugiej strony 8 5 Y V Wynik: ys atem. ozwiązując równanie otrzymuje się wynik. 6 4 ad..9 Jaka powinna być wartość rezystancji aby wartość skuteczna prądu i(t) wynosiła? Dane: et () = 4sin( t+ p) V, i(t) = ¼ F. e(t) Wynik: = ad.. Wyznaczyć napięcie u(t) na kondensatorze. Narysować wykres wskazowy napięć i prądów w obwodzie. u (t) u (t) Dane: et ( ) sin( t 5 9 ), F, 5 Ω. i(t) e(t) 5

6 ozwiązanie Obliczymy symboliczną wartość prądu, napięcia na rezystorze oraz napięcia na kondensatorze: j5 9 j,85rad j,85rad e, 65e,,64e V, 5 j 6 Wykres wskazowy pokazano na rysunku. j,85rad 6,5e V. 5 j Przebiegi czasowe prądu i napięć są następujące: it ( ), 8945sin( t,85), u ( t) 4, 47sin( t,85) V, u ( t) 8,9449sin( t, 85) V. E ad.. Gałąź szeregową ( 8, 5,78 F ) załączono na napięcie o wartości skutecznej V o pulsacji 4 rad/s. Obliczyć jakie będzie napięcie na kondensatorze jeżeli gałąź zostanie odłączona od zasilania: a) w chwili gdy wartość chwilowa napięcia zasilającego przechodzi przez zero: ) rosnąc, ) malejąc; b) w chwili gdy osiąga ona maksimum: ) dodatnie, ) ujemne. Wynik: a) ) 49.4 V, ) 49.4 V b) ) -.89 V, ).89 V. ad.. W celu wyznaczania parametrów i cewki rzeczywistej przeprowadzono dwa pomiary: jeden przy zasilaniu jej napięciem stałym, drugi przy zasilaniu napięciem zmiennym. Mierzono wartości prądu i napięcia, a przy zasilaniu napięciem zmiennym także częstotliwość. Otrzymano następujące wyniki: a) zasilanie napięciem stałym: 4 V, 6, a) zasilanie napięciem zmiennym: 4 V, 4,8, f 5 Hz. Wyznaczyć indukcyjność i rezystancję cewki. ad.. Dla obwodu o schemacie z rys.. wyznaczyć indukcyjność woltomierza wynosi: V. Dane: Wynik: 4, 9,55 mh it ( ) sin 5 t,,5 mf, mh,. x, jeżeli wskazanie u(t) i(t) V x Wynik stnieją dwa rozwiązania : ' x 6mH, '' x mh. 6

7 ad..4 Przyrządy podłączone do dwójnika zasilanego napięciem zmiennym sinusoidalnym pokazują 65V, 5, P W (rys..4). Wszystkie przyrządy są idealne (nie obciążają obwodu, a więc nie zmieniają wartości przez siebie mierzonych). Woltomierz i amperomierz mierzą wartości skuteczne. Watomierz mierzy iloczyn wartości skutecznej prądu przepływającego przez jego cewkę prądową, wartości skutecznej napięcia przyłożonego do jego cewki napięciowej i kosinusa kąta pomiędzy nimi. Wyznaczyć zespoloną impedancję dwójnika N w przypadku, gdy : a) arg ; b) arg. W V N ys..4 ozwiązanie: Moduł i argument impedancji dwójnika N wyznaczamy za pomocą wzorów: 65 P, cos,9. 5 Stąd,6. a) arg, j e j5, j b) arg e j5. ad..5 Dwójnik N z rys..4 zasilono napięciem sinusoidalnym o częstotliwości f 5 Hz. Wiemy, że dwójnik składa się z szeregowo połączonych rezystora, cewki i kondensatora. Wskazania przyrządów: V,, P kw Następnie ten sam obwód zasilono napięciem o częstotliwości dwukrotnie wyższej. Wskazania przyrządów jednak wówczas nie uległy zmianie. Wyznaczyć wartości rezystancji (), indukcyjności () i pojemności (). Wynik: 6,5, 4,4 F, 5,86 mh. ad..6 W obwodzie o schemacie z rysunku.4 przy częstotliwości f 5 Hz mierniki wskazują P W, V, 5. Dwójnik N składa się z szeregowo połączonego rezystor i kondensatora. Wyznaczyć parametry ( i ) dwójnika N. Wyznaczyć także wskazania mierników gdy częstotliwość napięcia zasilającego wzrośnie dwukrotnie (ale wartość skuteczna napięcia pozostanie ta sama). Wynik: 4,,74 P 49,6 W, ( X 9,65 ) mf, ( X 8, ); gdy częstotliwość wzrośnie: 5,6, 7

8 ad..7 Dla obwodu o schemacie z rys..7 wyznaczyć wskazania przyrządów. Dane: i ( t) cos t,,, 5 F. W u(t) Hz V i (t) ys..7 Wynik: f 59,5 Hz, P 5 W,,4 V,,8. W ad..8 Dla obwodu o schemacie z rys..8 wyznaczyć wskazania przyrządów. Dane: i ( t) 6 cos68 t,, 5,9 mh, 59,4 F. u(t) Hz V W i (t) ys..8 Wynik: f Hz, P 6 W, 6 V, 8,48, 6. W ad..9 Obliczyć taką wartość rezystancji rezystora, aby =, 5, k =,. k. Do obliczeń przyjąć ys..9 8

9 ozwiązanie Obliczymy transmitancją układu j j T. j j j Kwadrat modułu transmitancji k ( ) ( ) ( ) Po rozwiązaniu równania ze względu na otrzymujemy k k k k k k k k k k 7,9 7,9. atem należy przyjąć = 7,9. ad.. Moc chwilowa dostarczona do odbiornika ze źródła o napięciu sinusoidalnym zmienia się w przedziale kv do 5 kv. Napisać wyrażenie na prąd i napięcie w funkcji czasu, jeżeli u() = 5 V, m = 85 V oraz częstotliwość zmian mocy wynosi f p = Hz. ozwiązanie ałóżmy, że ut ( ) sin( t ) oraz it ( ) sin( t ). Oznaczmy m u u i (prąd jest przesunięty w fazie względem napięcia o kąt ). treści zadania 85 wynika, że wartość skuteczna napięcia m 97,54 V. Moc chwilowa Pu() t i() t mmsintusinti mmcos costu i coscos( tp). tego wzoru wynika, że moc chwilowa ma dwie składowe: mm składową stałą cos cos, mm składową zmienną cos( tp) cos( t p), gdzie p u i. W powyższej zależności skorzystano ze wzoru: sin( )sin( B) cos( B) cos( B). Moc chwilowa przy przebiegach sinusoidalnych oscyluje, sinusoidalnie z częstotliwością f = f p ( f 5 ) wokół wartości stałej cos, a jej amplituda wynosi. Moc chwilowa osiąga maksymalną wartość dla t k p i wynosi Pmax cos oraz wartość minimalną dla t i wynosi Pmin cos. Mając te dwa równania p m. i 9

10 można wyznaczyć oraz cos, tzn. Pmax Pmin 5 Pmax Pmin.79, cos ,54 Pmax Pmin Stąd, rad. Można zauważyć, że moc czynna P cos 9kW i jest Pmax Pmin równa średniej wartości. Ponieważ ut ( ) msin( t u), więc dla t = sin( u ) = 5, a stąd u, rad (mniejsza wartość). Kąt i wyznaczamy ze 85 wzoru i u, rad. Ostatecznie, więc: ut ( ) sin( t ) 85sin(t, rad) V, ad.. m u it ( ) sin( t ) 5.5sin t rad. m Wyznaczyć wartościami elementów obwodu, by T nie zależało od częstotliwości? i T (rys..). Jaka musi zachodzić zależność pomiędzy ys.. ozwiązanie Oznaczymy j, j j j napięcia, zatem. Stąd T j j j. Korzystamy z dzielnika będzie zależało od jeśli j j, czyli. Wówczas T. Jest to tzw. dzielnik skompensowany.. Wyrażenie to nie ad.. Jaka powinna być wartość rezystancji, aby prąd płynący przez elementy i opóźniał się w fazie względem przyłożonego napięcia o (rys..). Przyjąć następujące dane: = 5, =, =, = 5.

11 ys.. ozwiązanie Oznaczmy j jx, j jx,. Prąd, gdzie we oznacza impedancję wejściową we dwójnika. Przez impedancję płynie prąd, którego wartość wyznaczamy z dzielnika prądowego, tzn., gdzie T ma T wymiar impedancji ale nią nie jest, można ją nazwać impedancją przejściową (transimpedancją). Prąd będzie opóźniał się względem przyłożonego napięcia o 9, jeśli impedancja przejściowa będzie czysto urojona (znak dodatni). Wyznaczmy część rzeczywistą i urojoną tej impedancji: jx jx T j( X X) XX X X jx X. zęść rzeczywistą powyższego wyrażenia przyrównujemy do zera XX XX 5 5, stąd 5. Sprawdzenie, jeśli 5 5 j j5 55 5, to T 5 j j5 j. 5 ad. Wykazać, że dla wartość skuteczna prądu płynącego przez cewkę (rys..) wynosi dla dowolnych wartości, natomiast argument tego prądu przy zmianie, zmienia się w odpowiednio między w przedziale,.

12 ys.. ozwiązanie j Prąd. we j j j Moduł tego prądu (wartość skuteczna) dla podanej pulsacji wynosi:. rgument prądu wyznaczamy jako (zakładamy, że argument napięcia jest równy zero) arg arg jarg j arctg arctg tego wyrażenia wynika, że gdy, to arg, a gdy, to arg. ad..4 Parametry obwodu pokazanego na (rys..4) są następujące: = 4, = 4,. Wiadomo, że element o impedancji jest kondensatorem lub induktorem. naleźć wartość reaktancji tego elementu, jeśli = = V, a = =.75. Wynik: j ,98 j (cewka) lub j ,98 j (kondensator) ad..5 Dwójnik N zasilany jest napięciem zmiennym. Występuje stan ustalony. Wyznaczyć moc czynną wydzieloną w dwójniku N (obwód ). Ta metoda pomiaru mocy nazywa się metodą trzech woltomierzy. Do obliczeń przyjąć dane: V, 96 V, 8 V, p.

13 V p V V P =? ys..5 N P 6W Wynik: p Wskazówka: Narysować poprawnie wykres wskazowy, zastosować wzór na cos cos cos sin sin oraz wzory arnota. ad..6 Odbiornik energii (charakter indukcyjny) pobiera moc czynną P W przy napięciu zasilającym V i cos, 65, f 5 Hz. naleźć pojemność i moc bierną baterii kondensatorów, które włączone równolegle do odbiornika zwiększą cosw,9 (nadal zostanie charakter indukcyjny wypadkowego obciążenia). o się stanie, jeśli będziemy chcieli poprawić cos. ozwiązanie Narysujmy wykres wskazowy (rys..6). w w ys..6 Przed włączeniem kondensatora wartość skuteczna prądu wynosiła P,779. Po włączeniu kondensatora płynie prąd sumaryczny w. cos rysunku.6 wynika, że cos cos w w. Stąd cos w 9, 668. ównież z cos rys..6 wynika, że sin sin cos ( ) cos ( ) 5,9548V. w w w w Prąd płynący przez kondensator j, zatem j. Stąd w

14 8,4F. Moc bierna Q 5, ,6War cos w, 8, 69, sin. sin,66. Tak, więc. Jeśli atem w w w 4,7 F. Wówczas Q,66 8,War. powyższego przykładu wynika wniosek: poprawa współczynnika cos, tak aby był on bliski jedności wymaga znacznego zwiększenia pojemności baterii w stosunku do uzyskanych korzyści. ad.. 7 Dla obwodu o schemacie zastępczym z rysunku.7 obliczyć całkowity współczynnik mocy cos. Odbiornik ma charakter rezystancyjno-indukcyjny. Dane : odbiornika: on V, Pon, 6 kw, coson,6, kondensatora: 4. u(t) i(t) Odbiornik liniowy pasywny on ys..7 Wynik: cos,87 ad..8 Dwie równoległe gałęzie podłączono do źródła napięcia zmiennego (rys..8). Wyznaczyć prądy, oraz. Wyznaczyć moc czynną (P) i bierną (Q)pobieraną przez każdą gałąź oraz całego obwodu. Ponadto wyznaczyć moc zespoloną (S) i pozorną (S) dla całego obwodu. Przyjąć następujące dane: V, X 6, X 5, 8,. ys..8 4

15 ozwiązanie:, 69 j7,, 8, 67 j4,, jx jx,5 j,97, jx jx P 59 W, P 7 W, Q X 949 War, Q X 56 War, S P jq646w j86 War, S 674 V. ad..9 Obliczyć impedancję wejściową układu. Dane: = = 5, = 5, = 5, =, S. d E d ozwiązanie. W celu obliczenia impedancji wejściowej wprowadzimy dodatkowe źródło napięcia E d i obliczymy prąd wejściowy d. Wtedy E d we. d by obliczyć prąd d musimy najpierw wyznaczyć napięcie, gdyż Ed d,natomiast j. Dla napięcia można ułożyć równanie ( prawo Kirchhoffa dla węzła ) Ed j j. j Po podstawieniu danych otrzymujemy Ed Ed ( j), ( j) 5 i ostatecznie Ed Ed E d 5 ( j) ( j) 5 E d we. 5 5 Tak więc 5 Ω. we we 5

16 ad.. Obliczyć impedancję wejściową poniższego dwójnika. i(t) i() t =,5, =, =, =, =. ozwiązanie. Symboliczny układ zastępczy z dołączonym dodatkowym źródłem prądowym pokazano na rysunku.. d d d j j4, j j. ys.. mpedancja wejściowa Na podstawie rysunku obwodu Tak więc Ostatecznie Po podstawieniu danych w d, d,. d d. d d w d ( ). w 4.. 6

17 ad. W obwodzie panuje stan ustalony. Obliczyć prąd i(t) posługując się metodą prądów oczkowych. i(t) u(t) e(t) i () t ut () et ( ) cos( t), i( t) sin( t),,, 5,,,5. z ozwiązanie. Symboliczny obwód zastępczy pokazano na rysunku.. m m m4 E it () m E j, z, j j j, j j,, j j. 4 ys.. Po wybraniu drzewa T r (jako koniecznego warunku rozwiązalności obwodu - lina pogrubiona czerwona) można wybrać system oczek niezależnych (oczka tworzą elementy dopełniające do drzewa T r ) oraz zbiór prądów oczkowych i ułożyć układ równań metody prądów oczkowych.. 4 m4m 4m E,. 4m 4m4 m m4 E,. m 4. m4. ównanie sterowania: 5. m. Wstawiając równanie (5) do () otrzymujemy m m. atem można zapisać następujący układ równań liniowych: m E m E. Podstawiając dane otrzymujemy: j m j m -j, j j stąd 7

18 j j -j - j + j m j= e j j j - j j Ostatecznie it ( ),948sin t,948cos( t). ad.. W obwodzie pokazanym na rysunku panuje stan ustalony. Obliczyć napięcie u(t) posługując się metodą symboliczną oraz metodą napięć węzłowych. et ( ) sin( t) V, iz ( t),5sin( t ), u(t),, e(t) i z (t), 6 mh,, 65 F, f khz. ozwiązanie. Symboliczny schemat zastępczy obwodu, obowiązujący w stanie ustalonym, pokazano na rysunku poniżej., 5 j E, z e,, z E j j, j. j Dla węzła można zapisać E, stąd E E. Po podstawieniu danych j,5 6,554e. 8

19 Ostatecznie ut ( ) 6,554sin( t,5 ) 8,56sin( t,5 ). ad.. Prąd i(t), o którym mowa w adaniu., obliczyć metodą napięć węzłowych. ozwiązanie Symboliczny obwód zastępczy z wybranymi napięciami węzłowymi pokazanymi rysunku. V V V it () E Słuszny jest następujący układ równań metody napięć węzłowych:. V( ) V V z,. V V ( ) V, 4. V E. ównanie sterowania: 4. V V. Po rozwiązaniu równań otrzymuje się V j, V j. Ponieważ EV, więc j. Przebieg czasowy prądu i(t) jest oczywiście taki sam jak w rozwiązaniu adania.. 9

20 ad..4 W obwodzie występuje stan ustalony. Korzystając z metody prądów oczkowych znaleźć wszystkie zaznaczone prądy gałęziowe. i (t) i (t) i 5 (t) e(t) i (t) i 4 (t) i (t) et () sin t, i () t cos, t, F, /6H Wynik i( t) sin( t,97), i( t), 6sin( t, 466), i( t),86sin( t,44), i4( t), 65sin( t,8), i ( t).4sin( t,844). 5 ad..5 W sieci panuje stan ustalony. naleźć prąd i (t) metodą prądów oczkowych. i(t) i (t) F, H,, et () sintv, i () t cos t. e(t) i (t) i(t) Wynik: i () t sin t. ad..6 W sieci panuje stan ustalony. naleźć napięcie u (t). i (t) e(t) i (t) u (t) et () sintv, i () t cos t 4, i () t sin t,, H, F.

21 Wynik Należy zastosować metodę prądów oczkowych i prawo Ohma, otrzymujemy u () t sint 4. ad..7 naleźć impedancję wejściową poniższego dwójnika. we M 6,, 8,, M 4, 8. ozwiązanie Do analizy obwodu z cewkami sprzężonymi zaleca się stosowanie metody prądów oczkowych. Sposób rozwiązywania obwodu jest taki sam, jak w przypadku obwodu bez sprzężeń. Należy tylko nieco inaczej wyznaczyć impedancje własne i wzajemne oczek. we M we E we we E we m E we m m Wybieramy oczka (w przykładzie nie wybrano celowo oczek optymalnie). Orientację oczek najlepiej przyjąć tak, aby prądy oczkowe wpływały do zacisków jednoimiennych cewek (). Najpierw układamy równania wynikające z metody prądów oczkowych tak jak nie byłoby sprzężeń, tzn.. j j j mj m Ewe,. j mj m. Następnie modyfikujemy te równania zgodnie z zasadą: jeśli istnieją sprzężenia pomiędzy cewkami należącymi do tego samego oczka, to w impedancji własnej pojawi się dwukrotna wartość impedancji indukcyjności wzajemnej. nak podwojonej impedancji indukcji wzajemnej jest + (plus) jeśli prąd oczkowy w tym oczku wpływa (wypływa) jednocześnie do (z) zacisków jednoimiennych obydwu cewek sprzężonych. jeśli istnieją sprzężenia pomiędzy cewkami to do impedancji wzajemnej należy jeszcze dodać (zwrot obu prądów oczkowych względem zacisków jednoimiennych cewek jest zgodny) lub odjąć (zwrot obu prądów oczkowych względem zacisków

22 jednoimiennych cewek jest przeciwny). atem równania i zostają uzupełnione w następujący sposób:. j j j jm mj jm m Ewe,. j jm mj m. Podstawiając dane, otrzymujemy 8 j + j6 m Ewe E we we 4j. +j6 +j m m W przypadku, gdy cewki sprzężone są połączone tak, że spotykają się we wspólnym węźle można zastosować układy równoważne, trzy cewki ale bez sprzężeń (4 możliwe kombinacje,, i V- rys. poniżej). B B M B -M -M M +M B +M B B M M M V -M Stosując schemat równoważny, analizowany obwód można narysować w następujący sposób (rys. poniżej). atem +M -M we j M j +M we +j M-jM +j M-jM +j6-j4 6 j - j8 + j4 +j6-j4

23 ad..8 W obwodzie panuje stan ustalony. Obliczyć wartość napięcia. 4 m 5 m E M m M 5 E 5 5 M M ,5,,,, 5, 5, E, E,. ozwiązanie. W obwodzie występują induktory sprzężone polem magnetycznym; zalecaną metodą analizy obwodu jest metoda prądów oczkowych. Można ułożyć następujące równania:. ( j j j j ) m( j j -jm) m ( j j jm jm 5) m E,. ( j jm ) ( j j jm ) j m j 4 m j j M m E,. ( j j jm jm5) m j jm m ( j j 5 j j 5 5 j jm 5) m E. Podstawiając dane otrzymuje się układ równań j - -+ j m - + j - j m m -+ j - j - j ozwiązując ten układ otrzymuje się m,878 j, 68, m,47 j,58, m, 688 j, 499. Napięcie jest sumą trzech składowych j ( m m) jmm j Mm. Wartość numeryczna napięcia j,765rad, 498 j.94,578e.

24 ad..9 Wyznaczyć wartości elementów szeregowego połączenia, X równoważnego 5 układowi jak na rysunku poniżej. Dane: mh, M mh,,5 kω, rd/s. Wynik, 4 kω, X, 5 kω. waga: Wykorzystać symetrię obwodu można zauważyć, że nic się zmieni, jeśli połączenie się usunie. ad..4 Obliczyć napięcie u(t). u (t) M X e(t) u (t) M u (t) Dane:,, M H, et () cos()v, t Wynik ut ( ) sin t+8,4 V. 5 ad..4 W obwodzie występuje stan ustalony. Wyznaczyć prąd i () t. e (t) i (t) e (t) Dane: e () t,8sin t 4 V, e () t sin t V, Ω, Ω, H, F, F. Wynik Stosujemy metodę napięć węzłowych! i () t sint. 4

25 ad..4 naleźć napięcie u ( t) metodą napięć węzłowych. i (t) Dane: i () t cos(), t,,, /. i(t) i(t) Wynik u ( t) 5,96sin t,49rv. ad..4 Wyznaczyć stosunek T dla poniższego układu w dwóch przypadkach ) współczynnik wzmocnienia idealnego wzmacniacza operacyjnego k jest skończone oraz ) gdy k. _ k + Dane. ys..4a nalizowany układ k wy = k( ) + _ wy + ys..4b Schemat równoważny idealnego wzmacniacza operacyjnego. 5

26 ozwiązanie Narysujmy układ do analizy. ux ux adanie rozwiążemy metodą napięć węzłowych. Do zacisków wejściowych należy dołączyć pobudzenie. Poszukiwany stosunek T nie może zależeć od wartości pobudzenia ( ). kładamy następujący układ równań liniowych (równania wynikające bezpośrednio z metody):. j j,., oraz równanie sterowania:. k. ozwiązując ten układ równań (z. wyznaczamy +, z. - i wstawiamy do.) otrzymujemy: k j k j T. k j k j Gdy k jest skończone, wówczas k, otrzymujemy: T ad..44 Wyznaczyć stosunek T k j k T j j. Natomiast gdy k k j j j=e j + j j dla poniższego układu w przypadku gdy k.. _ k + Wynik T j 6

27 ad..45 W obwodzie występuje stan ustalony. Wyznaczyć napięcie stosując metodę napięć węzłowych. E 4 Dane E, E j, 4 j4,, 4,, /. E Wynik j ozwiązanie Nie można bezpośrednio zastosować metody napięć węzłowych, gdyż nie można wybrać węzła odniesienia (zgodnie z tą metodą źródła napięciowe powinny mieć wspólny węzeł). Należy zatem przekształcić obwód stosując zasadę ruchliwości źródeł. Poniżej pokazano sposób postępowania. Oznaczmy jako j oraz j. E 4 E E E / naczej przerysowany obwód. V V 4 V E E Napiszmy teraz równania wynikające z metody napięć węzłowych. 7

28 E. V V V, 4. V E,. V E. Oczywiście szukane V. Podstawiając dane i rozwiązując ten układ otrzymujemy : V j ad..46 W obwodzie występuje stan ustalony. Wyznaczyć napięcie ut ( ). i (t) e(t) u(t) Dane: et ( ) sin( t 4) V, i () t cos(t 4), Ω, 5Ω, F, H. ozwiązanie Należy zastosować zasadę superpozycji (pulsacje pobudzeń są różne). E Wyznaczamy przyczynek napięcia ' pochodzący od pobudzenia E : 5 5 -j,988rad ' E j, 69e, r/s. j 6 Wyznaczamy przyczynek napięcia ' pochodzący od pobudzenia : j 5 j,976rad '' 7j, e, r/s. j 9 Ostatecznie ut ( ),9858sin( t,9879),857sin(t,976) V. 8

29 ad..47 W obwodzie występuje stan ustalony. Wyznaczyć napięcie ut ( ). u(t) e (t) e (t) e (t) Dane: e () t Vconst, e () t sin()v, t e () t sin()v, t F, Ω, H. Wynik: ut ( ),5 sin( t) 5 sin t,895rv ad..48 W obwodzie występuje stan ustalony. Wyznaczyć napięcie ut (). u (t) e(t) i (t u (t) u(t) Dane: et () sin t V, i () t cos t 4, F, Ω, H, /V. Wynik ut ( ), 68sin t, 65 rad,5sin t,6 rad V. ad..49 W obwodzie występuje stan ustalony. Wyznaczyć napięcie ut () stosując zasadę superpozycji. Dane: et () sin()v, t i () t sin t, 4 u(t) Ω, Ω, H, H. e(t) i (t) Wynik: ut () sint V. 9

30 ad..5 Wyznaczyć schemat równoważny dwójnika (rys..5a) wynikający, z tw. Thevenina. et ( ) cos t, 5,,, 5, /. et () it () i() t Wynik: E g g 8 j j5 ozwiązanie: ys..5a p Wyznaczenie napięcia biegu luzem E g E j ys..5b Napięcie Eg ' E. W obwodzie (rys..5b) są dwa niezależne oczka. E atem prąd, p, j j j E 8 a E g E j. j j 5 5 Wyznaczenie zastępczej impedancji generatora g Wyłączając autonomiczne źródło napięciowe (w miejsce E wstawiamy zwarcie, rys.5b), przez gałąź, nie może płynąć prąd. atem = oraz = tak, więc źródło sterowane jest również wyłączone. powyższych spostrzeżeń wynika, że j g wej j j j 5 5. ys..5c wej g

31 ad.. 5 Wyznaczyć schemat równoważny dwójnika (rys..5a) wynikający, i ( t) cos t 45,,, /, / 4,,. z tw. Nortona. Dane: i () t ys..5a ozwiązanie: Wyznaczenie prądu zwarcia it () i() t Wynik: Y g g 5 j5, j 8 8 Prąd ' g (rys..5b). Na gałęzi występuje napięcie, czyli prąd. ówność ta jest możliwa tylko dla. atem źródło sterowane j j jest wyłączone (stanowi zwarcie). Prąd źródła autonomicznego płynie dwoma drogami, część przez kondensator i część przez (tzn. ). Przez kondensator płynie prąd, gdyż prąd =. atem ' 5 j5. g 5 j5 ys..5b

32 Wyznaczenie zastępczej impedancji generatora g ys..5b we we Podłączamy do zacisków źródło prądowe o wydajności we (rys..5b), we stosunek określa impedancję we wejściową we dwójnika. Prąd, zatem napięcie we we j we j. we Tak więc we j, a we Y we j we j 4 j4 8 8 ad..5 Obliczyć prąd i(t). astosować twierdzenie Thevenina. i(t) i (t) e(t) et ( ) sin( t) V, i ( t),4sin( t), 4,, 5, 6 H, 5μF. ozwiązanie. godnie z twierdzeniem Thevenina można skonstruować obwód zastępczy pokazany na rysunku. E W W SEM E z można obliczyć przy rozwartych zaciskach kondensatora Ez z( j ) E 6, 4 j6,976. mpedancja w to impedancja przy rozwartych zaciskach kondensatora i wyłączonych źródłach w j 587,5 j. j Tak więc E z (7,98 j, 765). w Prąd jest zatem równy it ( ) 4, sin(t,9).

33 ad..5 Obliczyć moce wydzielone w obciążeniu o impedancji. Jakie wartości winny mieć elementy i aby w obciążeniu wydzieliła się maksymalna moc czynna. Obliczyć wartość tej mocy. a E b E V, 5,,, H,,5μF, rad/s. ozwiązanie. Na zaciskach a,b obciążenia zastosujemy twierdzenie Thevenina. Obwód zastępczy pokazano na rysunku. W E j E E z E 9 j6. j j mpedancję w obliczymy w obwodzie pokazanym na rysunku poniżej. a b d E d Ed Ed,, j j d E d E d j E d. j Stąd w Ed j 46 j8, j d j j 6 j8. Prąd i napięcie na obciążeniu E z,49 j, 58, 5,865 j7, 749. w espolona moc pozorna S, 696 j,848. Moc czynna i bierna, wydzielone w obciążeniu P, 696 W, Q,848 Vr. by w obciążeniu wydzieliła się maksymalna moc czynna, impedancja obciążenia winna mieć wartość w 46 j8. dmitancja takiego obciążenia winna być równa

34 Y, j, 67, skąd m{ Y} 47,9,,67 μf. e{ Y } Maksymalna moc czynna w warunkach dopasowania energetycznego E z Pmax 4, 79W. 4e{ } w ad..54 Na rysunku pokazano schemat zastępczy pewnego rzeczywistego źródła prądowego. Jaką mocą czynna dysponuje takie źródło? i(t) i(t) i (t) v(t) iz ( t) 5sin(4 t),,,85h, = nf, 5, 5, k. ozwiązanie. najdziemy obwód zastępczy wynikający z twierdzenia Nortona. W skąd Po zwarciu zacisków wyjściowych, dla symbolicznej wartości napięcia v(t) można zapisać V V( ) z, j j V 9, 469 j4, 6. V, 5678 j, 5. zw Po rozwarciu źródła prądowego można obliczyć impedancję w kierunku strzałki na rysunku w 69,6 j55, 45. j mpedancja wewnętrzna ( w ) j w 67, j549,89. w j 4

35 Moc dysponowana źródła zw w Pd,97 W. 4e( w) ad..55 W celu dopasowania rezystora = do źródła o rezystancji wewnętrznej w = zastosowano układ, pokazany na rysunku. Obliczyć jakie parametry muszą mieć kondensator oraz induktor aby w układzie wystąpiło dopasowanie. E W ozwiązanie. mpedancja wejściowa układu od strony zacisków obciążenia w j w j. w j W warunkach dopasowania e{ w}, m{ w}. ozwiązanie pierwszego równania daje wartość pojemności kondensatora w 5μF, w rozwiązanie drugiego równania indukcyjność induktora w,h. ( ) w ad..56 naleźć strukturę i wartości elementów dwójnika N, tak aby wydzieliła się w nim maksymalna moc czynna. Obliczyć tę moc. Dane: =, =, H, F, et () cost V N e(t) Wyniki: B 4 g j, Y g -j, 5 E g +j V, g 7 4j, 5 P max W. 5

36 ad..57 naleźć strukturę i wartości elementów dwójnika N, tak aby wydzieliła się w nim maksymalna moc czynna. Obliczyć tę moc. e(t) B N Dane: =, =, H, F, et () 5cos t V Wynik 5 Eg j/ V, g 4j, g j, P max W. 6 ad..58 Dobrać tak i by w tym dwójniku wydzieliła się maksymalna moc czynna. Wyznaczyć tę moc. e(t) B Dane: et () sin t V, Ω, F, H Wynik:, F, P max W. 6 4 ad..59 Obliczyć elementy ( i lub i ), dwójnika N, które zapewnią dopasowanie tego dwójnika na maksymalną moc czynną. Obliczyć tę moc. u(t) e(t) 4 et () sin t,, N 4 5 u(t),,,. B 5 Wynik: g 5j, Yg j S, Pmax. Dwójnik N to np. równoległe połączenie rezystora oraz kondensatora 4F. 6

37 ad..6 Obliczyć elementy ( o i o lub o i o ), dwójnika N, które zapewnią dopasowanie tego dwójnika na maksymalną moc czynną. Obliczyć tę moc. it () i () t sin t, 4 i () t it () N,, F,, 4 H. Wynik: E g 6jV, g j, Pmax W. Dwójnik N składa się np. z szeregowo połączonego rezystora i kondensatora F. Opracował i napisał: zesław Michalik zeslaw.michalik@pwr.wroc.pl nstytut Telekomunikacji i kustyki -8 Politechnika Wrocławska Wybrzeże Wyspiańskiego 7 Mile widziane uwagi dotyczące dostrzeżonych błędów. 7