Wstęp Wiadomości wstępne...4

Transkrypt

1 Spis treści Wstęp Wiadomości wstępne Komputer w nauczaniu Multimedialne programy edukacyjne w nauczaniu matematyki Internet w nauczaniu matematyki Zintegrowane nauczanie matematyki i informatyki Zagrożenia wynikające z wykorzystania komputera w nauczaniu Przykłady zagadnień z zakresu matematyki szkolnej realizowanych w pracowni informatycznej Punkt, prosta, półprosta, odcinek C.a.R Trójkąt i jego punkty szczególne Monotoniczność ciągu liczbowego Komputer w pracy nauczyciela matematyki Przykład wykorzystania komputera przez nauczyciela na lekcji matematyki Pomoce multimedialne z matematyki Wybrane strony internetowe z materiałami dla nauczycieli Wybrane programy matematyczne Bibliografia

2 Wstęp Reforma edukacji, wprowadzona w Polsce, kładzie szczególny nacisk na zapewnienie każdemu uczniowi warunków niezbędnych do jego rozwoju1, a wszechobecna komputeryzacja skłania nauczycieli, każdego przedmiotu do wykorzystania komputera w wielu aspektach nauczania. Komputer wyposażony w multimedialne programy edukacyjne oraz połączenie z globalną siecią internet, szybko wyszukuje informacje, co pozwala na przeniesienie kształcenia na rozwój umiejętności, nie zaś na pamięciowe przyswajanie informacji. Dzięki komputerowi można stawiać hipotezy oraz je weryfikować, rozpatrywać wiele przypadków danego zagadnienia, przeprowadzać symulacje zjawisk, szybko wykonywać żmudne obliczenia oraz rysować z dużą precyzją wykresy nawet najbardziej skomplikowanych funkcji. Wykorzystanie komputera na zajęciach edukacyjnych w poszczególnych etapach nauczania gwarantuje Rozporządzenie Ministra Edukacji Narodowej z dnia 23 sierpnia 2007 r. zmieniające rozporządzenie w sprawie podstawy programowej wychowania przedszkolnego oraz kształcenia ogólnego w poszczególnych typach szkół2. W myśl tego rozporządzenia zadaniem szkoły jest wdrożyć uczniów do korzystania z nowoczesnych narzędzi jakimi są komputery oraz takich źródeł informacji jak zasoby sieciowe3. Możliwość wykorzystania komputera na lekcjach matematyki celem wdrożenia umiejętnego posługiwania się nowoczesnymi narzędziami jest też motywem podjęcia tematu mojej pracy magisterskiej. Przedstawia kilka wybranych zagadnień z zakresu matematyki szkolnej, które zrealizować wykorzystując komputer. W rozdziale pierwszym znajduje się podstawa prawna uwzględniająca możliwość wykorzystania Programowej komputera wychowania w szkole, przedszkolnego oraz wynikająca z Podstawy kształcenia ogólnego w poszczególnych typach szkół, rola komputera w nauczaniu, ogólne informacje na temat multimedialnych programów edukacyjnych, rola internetu w nauczaniu matematyki, informacja odnośnie zintegrowanego nauczania matematyki i informatyki oraz zagrożenia wynikające z wykorzystania komputera w szkole. 1 Ustawa z dnia 7 września 1991 o systemie oświaty, Dz.U. z 1996 Nr 67, poz. 329 tekst jednolity 2 Dz.U. z dnia 31 sierpnia 2007 r. Nr 157, poz Załącznik 2 i Załącznik 3 Rozporządzenia Ministra Edukacji Narodowej z dnia 23 sierpnia 2007 r. 2

3 W rozdziale drugim znajdują się przykładowe zagadnienia z zakresu szkoły podstawowej oraz liceum, których realizację można przeprowadzić w pracowni komputerowej. Jako przykłady zagadnień wybrałem jednostki lekcyjne takie jak punkt, prosta, i monotoniczność półprosta, ciągu odcinek, trójkąt liczbowego. Do oraz jego realizacji punkty szczególne danych zagadnień wykorzystałem program do wykonywania konstrukcji oraz arkusz kalkulacyjny. Oprócz wymienionych zagadnień, w rozdziale drugim znajdują się podstawowe instrukcje użytkowania wybranego przeze mnie oprogramowania oraz sposoby prezentacji zagadnień z zakresu wybranych jednostek lekcyjnych w danym oprogramowaniu. W rozdziale trzecim znajduje się przykładowe zagadnienie z zakresu liceum, którego realizację można przeprowadzić w sali lekcyjnej wykorzystując komputer przenośny oraz rzutnik multimedialny. Do prezentacji wykorzystałem jednostkę lekcyjną: pochodna funkcji w punkcie i jej interpretacje. Przy realizacji danego zagadnienia wykorzystałem oprogramowanie z funkcją rysowania wykresów zadanych funkcji oraz graficznej interpretacji ilorazu różnicowego funkcji. Oprócz tego w rozdziale trzecim znajdują się informacje o pomocach multimedialnych, które nauczyciel może wykorzystać w swojej pracy oraz wybrane strony internetowe z materiałami dla nauczycieli oraz wybrane oprogramowanie matematyczne. W trakcie realizacji tematu wykorzystałem akty prawne dostępne na stronie internetowej Ministerstwa Edukacji Narodowej4, podręczniki do nauczania matematyki oraz informatyki w szkole podstawowej i liceum, literaturę fachową dla nauczycieli matematyki i informatyki, artykuły prasowe oraz materiały dostępne na stronach internetowych. Opracowania książkowe oraz adresy stron internetowych z materiałami, z których korzystałem, podane są w bibliografii. Pragnę podziękować dr Gabrieli Adamczyk, której rady pomogły mi zrealizować wybrany temat

4 1. Wiadomości wstępne 1.1. Komputer w nauczaniu Zastosowanie komputera w nauczaniu zgodne jest z zasadą poglądowości5, która jest najwcześniej wprowadzoną zasadą nauczania oraz z zasadą świadomego i aktywnego uczestnictwa6. W pamięci komputera znajdować się może bardzo duża ilość planszy, modeli, schematów, wykresów lub tabel. Jest to wygodne i znacznie zmniejsza ilość potrzebnej przestrzeni. Dodatkowym atutem wyświetlania informacji na komputerze jest możliwość wprowadzenia animacji, której brak na tradycyjnych planszach czy schematach. Uczniowie widząc ruch są bardziej skupieni na tym co będzie za chwilę. Światło i ruch przyciągają wzrok. Wykonanie animowanych prezentacji można również powierzyć uczniom, co zwiększy ich aktywność w procesie dydaktycznym. Przygotowanie prezentacji nie powinno sprawić problemów, a może przynieść wiele korzyści. Wizualizacja rozwiązań zadań matematycznych zwiększa możliwość aktywnego prowadzenia zajęć. Uczniowie mogą samodzielnie przeprowadzać badania i w ten sposób odkrywać skomplikowane pojęcia. Rozwiązania zadań geometrycznych wykonane za pomocą komputera są często zaskakujące. Komputer można również wykorzystać jako narzędzie do symulacji występujących zjawisk i procesów. Schematy rozwiązywania można oglądać oraz samodzielnie zmieniać i poprawiać. Możliwość ingerencji w symulację rozwiązania rozwija umiejętność rozumowania i wykorzystania posiadanej wiedzy na temat zachodzących procesów. Dzięki temu uczeń może aktywnie uczestniczyć w procesie nauczania. Komputer może być narzędziem do wykonywania dużych ilości obliczeń na dużych zbiorach liczb oraz porządkującym i przekształcającym zawarte w nim dane. Komputer można wykorzystać do rozrywki, nawet na lekcjach matematyki. Ważne jednak, aby ta rozrywka jednocześnie kształciła zgodnie z celami lekcji. Należy jednak pamiętać, żeby komputer nie stawiać na pierwszym miejscu lecz wykorzystać tylko wtedy, gdy daje lepsze szanse na przekazanie zachodzących procesów. 5 Franciszek Urbańczyk, Zasady Nauczania Matematyki, str Franciszek Urbańczyk, Zasady Nauczania Matematyki, str. 81 4

5 1.2. Multimedialne programy edukacyjne w nauczaniu matematyki Do tego, wcześniejsze aby wykorzystać zainstalowanie na komputer dysku na lekcjach odpowiedniego potrzebne jest oprogramowania. Oprogramowanie wykorzystywane na lekcjach można podzielić na gry edukacyjne oraz na multimedialne programy edukacyjne. Gry edukacyjne są programami, w których cele edukacyjne realizowane są pośrednio, scenariusz gry odwraca uwagę dziecka od właściwych treści kształcenia. Ćwiczenia komputerowe zbliżone zaś są do tradycyjnych szkolnych ćwiczeń, realizując wprost określone cele. Programami edukacyjnymi są w szczególności słowniki i encyklopedie multimedialne. Natomiast programami użytkowymi są na przykład edytory grafiki, edytory tekstu i arkusze kalkulacyjne. Wybór programu komputerowego uzależniony jest od celów lekcji oraz od poziomu wiedzy uczniów. Aby w pełni wykorzystać możliwości wybranego programu należy wcześniej ocenić jego przydatność w procesie nauczania, związek bezpośredni z aktualną lekcją, poprawność merytoryczną i dydaktyczną oraz atrakcyjność wyglądu i obsługi. Dobry program nie powinien sprawiać uczniom trudności w obsłudze oraz musi być atrakcyjny dla uczniów. W przeciwnym razie uczniowie będą stosować go pod przymusem, co nie przyniesie dydaktycznych korzyści. Natomiast jeśli program uczniom się spodoba, chętnie będą używali dany program nie tylko w szkole, ale również w domu. Ważne jest również to, aby program umożliwiał indywidualizację nauczania. Nauczyciele powinni zachęcać rodziców do kupna swoim dzieciom programów multimedialnych i udzielać wskazówek odnośnie pracy z programem, gdyż tylko wtedy zakup danego oprogramowania ma szansę na jak najlepsze wykorzystanie w domu przez uczniów. 5

6 1.3. Internet w nauczaniu matematyki Do wymienionych możliwości korzystania z komputera należy dodać możliwość zastosowania Internetu. Dzięki dostępowi do globalnej sieci mamy możliwość skorzystania z już istniejących danych i innych materiałów dostępnych na różnych serwerach. Uczeń może również uzyskać dogłębną analizę podanego przez nauczyciela zagadnienia. Uzyskuje dzięki temu wiedzę zarówno przedmiotową, jak i związaną posługiwaniem się nowoczesnymi środkami technologii informacyjnej. Istnieje wiele witryn internetowych poświęconych konkretnym dziedzinom wiedzy jak również określonym tematom oraz strony zawierające elektroniczne książki i czasopisma. Znalezione na tych stronach zbiory informacji można wykorzystać zarówno na lekcjach jak również w życiu codziennym. Najciekawszą możliwością Internetu jest stała aktualizacja informacji takich jak pogoda, notowania giełdowe czy kursy walut oraz dostęp do archiwów tych informacji. Oprócz tego istnieją witryny, które oferują zbiory obrazów, dźwięków i animacji, które mogą stanowić ciekawe urozmaicenie zajęć. Jednak wyszukiwanie informacji musi nastawione być na celowość i systematyczność, z postawionym w wyraźny sposób celem. Bezcelowe krążenie po zbiorach informacji może zająć dużo czasu i przynieść słabe skutki. Dlatego przed podjęciem poszukiwań należy ustalić wcześniej cel poszukiwań, miejsce poszukiwań oraz narzędzie komputerowe, z którego należy skorzystać. Jednak to uczniowie sami powinni mieć wpływ na wybór metod i form. Ale Internet poza tym, że jest zbiorem informacji oferuje również wymianę informacji. Materiały wykorzystane na lekcji nauczyciel może udostępnić uczniom na stronach internetowych, tak by mieli możliwość obejrzenia ich jeszcze lub stworzyć zestaw testów, które uczniowie wykonają w określonych terminie. Również materiały stworzone przez uczniów mogą być umieszczone na stronach internetowych. Dzięki temu uczniowie mają możliwość kształtowania umiejętności dzielenia się informacją pomiędzy sobą. 6

7 Poza tym Internet oferuje komunikację pomiędzy nauczycielem i uczniami oraz ich rodzicami. Stały kontakt można zapewnić sobie udostępniając własne adresy mailowe lub zakładając grupy dyskusyjne na stronie internetowej szkoły. Nauczyciel może dać za zadanie wyszukanie potrzebnej informacji lub wykonania określonego zadania i przesłania na swój adres owy. Istnieją również witryny internetowe, które oferują możliwość założenia wirtualnej szkoły. Uczniowie po zalogowaniu się na daną platformę mogą przejrzeć powierzone im zadania i przesyłać rozwiązania. Rodzice również mogą mieć swoje konta, gdzie mają możliwość stałej kontroli postępów w nauce swoich dzieci, na przykład sprawdzając oceny w wirtualnym dzienniku lekcyjnym. Praca z Internetem jest istotnym elementem nauczania zamieniając encyklopedyczną wiedzę na umiejętność wyszukiwania informacji. Najtrudniejsze jednak w wyszukiwaniu informacji w Internecie jest mnogość informacji. Daje jednak ogromne pole do popisu umiejętności segregacji oraz wyboru odpowiednich informacji, które będą naprawdę użyteczne. Dzięki stale wzrastającej popularności Internetu, dostępności i wciąż rozwijanych możliwości technicznych możliwe jest również jeszcze większe zindywidualizowanie pracy ucznia. Samodzielna praca przy komputerze w domu daje możliwość uczniom słabszym zwiększenie czasu przeznaczonego na wykonanie zadania. Natomiast uczniom uzdolnionym matematycznie możemy zaoferować większą ilość zadań, jak również wskazać ciekawe źródła informacji. Taki środek dydaktyczny daje większe szanse na uzyskiwanie jeszcze lepszych osiągnięć zarówno uczniom mniej zdolnym jak i tym uzdolnionym matematycznie. 7

8 1.4. Zintegrowane nauczanie matematyki i informatyki Dzięki nowoczesnym programom nauczania matematyki, takim jak: 1. Matematyka i Komputery, Program nauczania matematyki z elementami informatyki w gimnazjum, (Program dopuszczony do użytku szkolnego przez Ministra Edukacji Narodowej, Nr dopuszczenia DKW /01) 2. Matematyka, Kalkulatory i Komputer, Program nauczania matematyki w gimnazjum z wykorzystaniem kalkulatorów graficznych i komputera, (Program dopuszczony do użytku szkolnego przez Ministra Edukacji Narodowej. Nr dopuszczenia DKW /99) stworzonym przez grupę roboczą Stowarzyszenia Nauczycieli Matematyki, Matematyka i Komputery przy współpracy z pracownikami naukowo - dydaktycznymi Pracowni Informatyki Akademii Pedagogicznej im. Komisji Edukacji Narodowej w Krakowie, można z powodzeniem zrealizować w jednym bloku tematycznym matematykę i informatykę. Założeniem programu nauczania Matematyka i Komputer jest wykorzystanie komputera jako środka dydaktycznego tam, gdzie spotykamy się z trudnościami, które są nie do pokonania przy użyciu tradycyjnych metod nauczania. Natomiast założeniem programu Matematyka, Kalkulatory i Komputer jest wykorzystanie komputera i kalkulatorów, w trakcie procesu kształtowania pojęć matematycznych, prowadzenia rozumowań matematycznych, rozwiązywania zadań i problemów oraz kształcenia języka matematycznego. Zaletami stosowania zintegrowanego nauczania matematyki i elementów informatyki są wzrost zainteresowania uczniów matematyką, łagodzenie i likwidacja trudności napotykanych w trakcie realizacji treści matematycznych, stosowanie komputera w innych obszarach edukacyjnych oraz w życiu codziennym jak również odejście od metod podających na rzecz metod poszukujących i nauczania problemowego. 8

9 1.5. Zagrożenia wynikające z wykorzystania komputera w nauczaniu Komputery posiadają znaczny potencjał magazynowania i przetwarzania informacji. Jednak wprowadzenie ich do szkół nie powinno zmieniać podstawowej struktury kształtowania umiejętności uczniów. Nie można zastąpić pozostałych umiejętności uczniów, umiejętnością posługiwania się komputerem. Komputer powinien wspierać proces realizacji programów nauczania ze wszystkich dziedzin wiedzy. Zbyt częsty kontakt z technologią komputerową może mieć zły wpływ również na osobowość ucznia. Świat uczniów nie może być tylko i wyłącznie światem wirtualnym. Zastępowanie rzeczywistości może wpłynąć na zachowania, które nie są oczekiwane przez społeczeństwo. Modelowanie komputerowe nie może całkowicie zastąpić umiejętności, które musi nabyć uczeń. Komputer nie może również stać się celem samym w sobie zastępując rolę nauczyciela. Sprzęt nie może zastąpić kontaktów międzyludzkich, które charakteryzują relacje w społeczeństwie. Istnieją przesądy związane z komputerem, że komputer jest dobry na wszystko i wszystko może oraz, że nigdy się nie myli. Nauczyciele powinni przypominać uczniom, że to właśnie człowiek stworzył komputer i to człowiek pisze programy. Komputer działa wykonując polecenia uruchomionego programu. Jeśli jest to arkusz kalkulacyjny będzie w stanie operować na podanych wartościach. Jeśli będzie to program graficzny, będzie edytował lub wyświetlał rysunki. Natomiast jeśli będzie to encyklopedia, wtedy komputer będzie w stanie wyszukać i wyświetlać informacje znajdujące się w bazie danych. Koniecznością jest nauczenie dzieci i młodzieży korzystania z komputerów jako narzędzia i przekazywanie im właściwego odniesienia do maszyny, gdyż inaczej nie rozwinie się ich możliwości intelektualnych. Internet będący ogromnym zbiorem informacji jest też niebezpiecznym źródłem, które oprócz użytecznych informacji zawiera informacje niebezpieczne. Niebezpieczna również może być zbyt duża ilość informacji, której nadmiar może 9

10 ograniczyć umiejętność logicznego myślenia oraz samodzielnego działania. Jak mówi autor artykułu w Polityce: Internet to wprowadzony w czyn anarchistyczny model publikacji: każdemu wolno się tu wyeksponować. (...) 7. W dalszej części tego samego artykułu autor przypomina również słowa proroctwa Umberto Eco: Dawniej ktoś, kto musiał zająć się jakimś badaniem, szedł do biblioteki, znajdował dziesięć tytułów na dany temat i czytał; dzisiaj naciska klawisz swojego komputera, otrzymuje bibliografię złożoną z dziesięciu tysięcy tytułów, więc rezygnuje (albo, jeśli jest mądry, wyrzuca ją i wraca do biblioteki). Więc zanim skorzystamy z Internetu należy się wcześniej zastanowić, czy nie ma łatwiejszego sposobu na uzyskanie odpowiedzi na interesujące nas zagadnienie. Mamy wtedy również większą pewność, że tekst jest napisany przez eksperta z danej dziedziny. Wypowiedź na forum dyskusyjnym nie zawsze musi pochodzić od zaufanego i pewnego człowieka, który posiadł dogłębną wiedzę na dany temat. Źle zastosowany komputer może zamiast rozwijania zdolności myślenia, rozwiązywania problemów w sposób twórczy, rozwijania sprawności umysłowych, rozwijania pamięci czy też podejmowania samodzielnych decyzji nauczyć korzystania tylko z gotowych rozwiązań, algorytmów lub wypowiedzi. Równie poważnym problemem jest też uzależnienie od komputera i Internetu. Wielogodzinne przesiadywanie przed komputerem powoduje rosnące uzależnienie do komputera. Młody człowiek nie szuka związków emocjonalnych z innymi osobami - wszystko czego potrzebuje dostarcza mu komputer i sieć, a świat rzeczywisty zaczyna napawać go lękiem. Ale to dopiero początek uzależnienia, kolejnym krokiem jest doznawanie poczucia bezpieczeństwa tylko przy komputerze. Następuje utrata chęci do kontaktów z rówieśnikami, gorsze wyniki w nauce, rozkojarzone i lekceważenie innych spraw. Uzależnienie jest jeszcze bagatelizowane w naszym społeczeństwie. Rodzice często uważają wspomniane zachowania jako niegroźne i traktują to jako przejaw umiejętności i zainteresowań informatycznych. Dlatego warto też rozmawiać z uczniami oraz z rodzicami o rosnącej skali tego zjawiska, w początkowym stadium tego uzależnienia. 7 Marek Oramus: Mózg w malinach, Polityka 18/ by możliwa była pomoc

11 2. Przykłady zagadnień z zakresu matematyki szkolnej realizowanych w pracowni informatycznej Aby zrealizować podstawę programową nauczyciel zobowiązany jest do wybrania zatwierdzonego przez Ministerstwo Edukacji programu nauczania lub stworzenie własnego. Przez program nauczania rozumieć należy opis sposobu realizacji zadań edukacyjnych ustalonych w podstawie programowej kształcenia ogólnego 8. Jednak wybór metody realizacji programu nauczania pozostaje nauczycielowi. Dzięki temu możliwe jest wprowadzenie do nauczania różnorodnych środków dydaktycznych, a wśród nich również komputera Punkt, prosta, półprosta, odcinek W programie nauczania matematyki w klasach IV-VI szkoły podstawowej Matematyka krok po kroku9, w części programu przeznaczonej dla klasy IV szkoły podstawowej, rozdziale 4: Geometria figury płaskie znajduje się temat Punkt, prosta, półprosta, odcinek. Uczniowie po zakończeniu zajęć, związanych z tą częścią powinni wyróżniać prostą, półprostą i odcinek, punkty na prostej oraz wskazywać odcinki i półproste wyznaczone przez te punkty. Nauczyciel powinien dążyć do swobodnego posługiwania się przez uczniów pojęciami punktu, prostej, półprostej i odcinka. Realizację tematu zacząć należy od pojęć podstawowych. Pojęcia prosta i punkt traktujemy jako pojęcia pierwotne, czyli takie, których nie definiujemy. Punkty z reguły oznaczamy dużymi literami alfabetu, natomiast proste - małymi. 8 Rozporządzenie Ministra Edukacji Narodowej i Sportu z dnia 5 lutego 2004r. w sprawie dopuszczania do użytku szkolnego programów wychowania przedszkolnego, programów nauczania i podręczników oraz cofania dopuszczenia Dz.U. Z 2004, Nr 25, poz Numer dopuszczenia: DKW /99 11

12 Prawdziwe są następujące twierdzenia: Dla dowolnych dwóch punktów A, B istnieje prosta a, zawierająca oba te punkty Dla dowolnych dwóch różnych punktów A, B istnieje co najwyżej jedna prosta zawierająca oba te punkty. Twierdzenia oraz należą do zestawu aksjomatów geometrii euklidesowej, zwanego aksjomatami Hilberta. Do prezentacji danych zagadnień na lekcji można wykorzystać program C.a.R. O ile jest to możliwe, każdy uczeń powinien siedzieć sam przy komputerze. Uczniowie korzystając z instrukcji nauczyciela, powinni sami przeprowadzić następujące kroki. Kroki ucznia korzystającego z programu C.a.R.: Uczniowie zaczynają od zaznaczenia dwóch punktów A i B. Aby wstawić punkt należy skorzystać z narzędzia zaznaczenia punktów. Rys. 1 Ikona symbolizująca narzędzie zaznaczania punktów Następnie zmieniamy nazwy punktów, klikając na punkcie prawym klawiszem myszy. W nowo otwartym okienku należy wpisać nazwę obiektu oraz zaznaczyć opcję pokazywania nazw obiektów. Rys. 2 Okno edycji punktu 12

13 Rys. 3 Ikona symbolizująca pokazywanie nazw obiektów prowadzimy prostą, narzędziem rysowania prostych, klikając po kolei na punkcie A i punkcie B. Rys. 4 Ikona symbolizująca narzędzie rysowania prostych W wyniku przeprowadzonych kroków uczniowie powinni otrzymać rysunek, na którym znajdować się będzie prosta przechodząca przez punkty A i B. Uczniowie powinni zauważyć, że istnieje tylko jedna taka prosta przechodząca przez punkty A i B. Rys. 5 Prosta zawierająca punkty A i B Do zdefiniowania półprostej należy wcześniej zdefiniować uporządkowanie prostej oraz zwrot prostej. Definicja O prostej a mówimy, że jest uporządkowana, jeśli na prostej istnieje relacja poprzedzania taka, że dla dowolnych punktów A, B, C leżących na prostej a zachodzą następujące warunki: i. Jeśli A poprzedza B, to B nie poprzedza A, ii. Jeśli A B, to ( A poprzedza B lub B poprzedza A), iii. Jeśli (A poprzedza B i B poprzedza C), to A poprzedza C. Definicja O prostej a mówimy, że posiada zwrot jeśli dowolne uporządkowane punkty A, B, C leżące na prostej a takie, że A poprzedza B i B poprzedza C są różnymi punktami. Każda prosta posiada dwa zwroty wzajemnie odwrotne. 13

14 Każdy punkt A należący do prostej a wyznacza dwie półproste. Definicja Półprostą nazywamy zbiór utworzony z punktu A leżącego na prostej a oraz ze wszystkich uporządkowanych punktów leżących na prostej a o zwrocie takim, że punkt A poprzedza wszystkie te punkty. Dany punkt A nazywamy początkiem półprostej. Oznaczając półproste zapisujemy najpierw punkt będący jej początkiem, następnie dowolny inny punkt, przez który ta półprosta przechodzi i rysujemy strzałkę. Kroki ucznia prowadzące do przedstawienia półprostych w programie C.a.R. narysowanie prostej, zaznaczenie na prostej dowolnego punktu A, zaznaczenie dwóch punktów P i R na prostej, leżących po obu stronach punktu A. W wyniku wykonanych kroków, uczniowie otrzymają rysunek prostej z zaznaczonymi punktami P, A, R. Rys. 6 Półproste AP i AR Do zdefiniowania odcinka potrzebna nam jest definicja leżenia pomiędzy punktami. Definicja Punkt C leży pomiędzy punktami A i B jeśli, punkty A, B i C są punktami leżącymi na prostej a oraz A poprzedza C i C poprzedza B. Dwa punkty A i B leżące na prostej a wyznaczają odcinek. Definicja Odcinkiem AB nazywamy zbiór utworzony z punktów A i B oraz wszystkich punktów prostej a leżących między punktami A i B. Punkty A i B nazywamy końcami odcinka. 14

15 Kroki ucznia prowadzące do przedstawienia odcinka w programie C.a.R. narysowanie prostej, zaznaczenie na prostej dwóch różnych dowolnych punktów A i B. Rys. 7 Odcinek AB Jako pracę domową dla uczniów chętnych, można zadać, aby przygotowali przedstawienie graficzne w programie C.a.R. oraz przesłali na adres pliki z kolejnymi, wybranymi przez nauczyciela aksjomatami, na przykład: Na dowolnej prostej leżą co najmniej dwa różne punkty. Istnieją co najmniej trzy różne punkty, nie leżące na jednej prostej Jeżeli punkt B leży pomiędzy punktami A i C, to punkty A, B, C są różnymi punktami leżącymi na jednej prostej. Powyższe przykłady zagadnień z zakresu geometrii w szkole podstawowej ilustrują możliwość wykorzystania programu komputerowego C.a.R.. Zanim przytoczę więcej przykładów, kilka słów o samym programie C.a.R C.a.R, czyli Compasses and Ruler (z angielskiego: Cyrkiel i linijka) jest programem napisanym przez Rene Grothmanna10. Wspomaga naukę geometrii euklidesowej i analitycznej oraz rozwiązywanie zadań konstrukcyjnych. Programem można zastąpić tradycyjne rysunki wykonywane cyrklem i linijką. Możliwości tego programu są bardzo szerokie. Pogram wykorzystany może być zarówno do konstrukcji wykonywanych przez uczniów, jak również do tworzenia modeli i prezentacji przez nauczyciela

16 Rys. 8 Okno programu C.a.R. Okno programu C.a.R. składa się z następujących elementów: 1. Wybór funkcji programu. 2. Opis elementów konstrukcji, na przykład współrzędne punktów, długości odcinków. 3. Pole wykonania konstrukcji. Najważniejsze narzędzia programu C.a.R to (od lewej strony): Rys. 9 Okno programu C.a.R. postaw punkt, prosta wyznaczona przez dwa punkty, półprosta wyznaczona przez dwa punkty, pierwszy punkt jest początkiem półprostej, natomiast drugi punkt wyznacza jej kierunek, odcinek o wyznaczonych końcach, okrąg najpierw podajemy punkt będący środkiem okręgu, a następnie podajemy jego promień, 16

17 okrąg dany przez odcinek długości promienia i środek - korzystając z tego narzędzia najpierw pokazujemy punktami długość odcinka, a następnie środek okręgu, prosta równoległa aby narysować prostą równoległą najpierw musimy wskazać prostą do której chcemy narysować prostą równoległą, a następnie wskazujemy punkt przez, który prosta równoległa ma przechodzić, prosta prostopadła sposób rysowania analogiczny jak w przypadku prostej równoległej, środek odcinka punktami wskazujemy końce odcinka, którego środek chcemy wyznaczyć, kąt punktami wskazujemy kolejno pierwsze ramię kąta, wierzchołek i drugie ramię kąta, kąt o stałej mierze rysujemy analogicznie jak poprzednio, różnica polega na tym, że kąt rysowany jest z drugim ramieniem, przesuń punkt. Warto wrócić jeszcze do okna edycji właściwości obiektu, którego przykład ilustruje okno edycji punktu (rys. 3). W zależności z jakim obiektem mamy do czynienia zmieniają nam się opcje. Niezmienne są takie opcje jak nazwa obiektu, kolor obiektu, grubość obiektu oraz opcje: Rys. 10 Najważniejsze opcje edycji obiektu czyli (od lewej) ukrywanie obiektu, pokazanie nazwy obiektu, pokazanie właściwości obiektu takich jak długość odcinka, czy rozwartość kąta, pogrubiona czcionka, powiększona czcionka, 17

18 rysowanie w tle, przełącz wstrzymywanie. Dodatkowym atutem programu jest fakt, że przygotowane i zapisane konstrukcje można przeprowadzać wielokrotnie. Po otwarciu zapisanej konstrukcji wybierając z menu polecenie Specjalne mamy opcję Przeprowadź ponownie konstrukcję. Po jej wybraniu pojawia nam się nowe okno Rys. 11 Okno odtwarzania zapisanej konstrukcji Do odtworzenia konstrukcji wyświetlając każdy element po kolei służy przycisk Rys. 12 Krok naprzód natomiast, aby przejść do następnego obiektu, który ma zaznaczoną opcję Przełącz wstrzymywanie w edycji obiektu, służy przycisk Rys. 13 Idź do następnego wstrzymania Aby lepiej zapoznać się z możliwościami programu można skorzystać z przewodnika autorstwa Rene Grothmanna znajdującym się na oficjalnej stronie programu11 w dziale Tutorial

19 2.3. Trójkąt i jego punkty szczególne12 W programie nauczania matematyki dla liceum ogólnokształcącego (w zakresach podstawowym i rozszerzonym), liceum profilowanego i technikum (w zakresie podstawowym) Matematyka Wydawnictwa Pedagogicznego Operon13, w części programu przeznaczonej dla klasy I, rozdziale Geometria znajduje się jednostka lekcyjna o nazwie Trójkąt i jego punkty szczególne. Uczniowie po zakończeniu zajęć, związanych z tą częścią powinni umieć wpisywać w trójkąt okrąg i opisywać na trójkącie okrąg oraz powinni znać i umieć wykazać twierdzenia o istnieniu wymienionych punktów szczególnych trójkąta metodą miejsc geometrycznych. Jednak przed rozpoczęciem danego tematu nauczyciel powinien przypomnieć zagadnienia związane z odległością punktów na płaszczyźnie oraz wzajemnym położeniu dwóch okręgów realizowanych na poprzednich jednostkach lekcyjnych. Płaszczyzna, obok punktu i prostej jest pojęciem pierwotnym. Płaszczyzny oznaczamy na ogół greckimi literami alfabetu. Niech dana będzie płaszczyzna π. Niech punkty A i B będą dowolnymi punktami płaszczyzny π oraz niech dana będzie funkcja działająca w zbiór liczb rzeczywistych. Definicja Odległością punktów na płaszczyźnie π nazywamy funkcję, która punktom A i B, przyporządkowuje liczbę AB o własnościach: i. AB 0, przy czym AB = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy A=B, ii. AB = BA, iii. Jeśli C jest dowolnym punktem płaszczyzny, to AB AC + CB, przy czym AB = AC + CB wtedy i tylko wtedy, gdy punkty A, B, C leżą na jednej prostej i punkt C leży pomiędzy punktami A i B. Tak zdefiniowana odległość na płaszczyźnie π jest przykładem metryki. 12 Henryk Pawłowski, Matematyka 1, Operon Wydawnictwo Pedagogiczne, Gdynia 2003, Rozdział 8.9, strony Numer dopuszczenia: DKW /01 19

20 Definicja Długością odcinka AB nazywamy odległość punktów A i B. Definicja Środkiem odcinka AB nazywamy punkt C taki, że AC = CB. Niech dana będzie płaszczyzna π. Niech punkt O będzie dowolnym punktem tej płaszczyzny oraz niech dana będzie dowolna dodatnia liczba rzeczywista r. Definicja Okręgiem o środku w punkcie O i promieniu r nazywamy zbiór wszystkich punktów P płaszczyzny π, których odległość od punktu O jest równa r. Okręgi oznaczamy symbolicznie P(O,r). Rys. 14 Okrąg o środku w punkcie O i promieniu r. Okręgi P1(O1,r1) i P2(O2,r2) nazywamy współśrodkowymi albo koncentrycznymi, gdy O1=O2. Okręgi P1(O1,r1) i P2(O2,r2) nazywamy niewspółśrodkowymi albo ekscentrycznymi, gdy O1 O2. Prostą przechodzącą przez punkty O1 i O2, nazywamy linią środkową tych okręgów. Twierdzenie Okręgi P1(O1,r1) i P2(O2,r2) przecinają się dokładnie w dwóch punktach wtedy i tylko wtedy, gdy r1 r2 < O1O2 < r1+r2. Dowód Niech okręgi P1(O1,r1) i P2(O2,r2) przecinają się w dwóch punktach Q1 i Q2 (rys. 15). Łączymy środki O1 i O2 z punktem przecięcia się Q1. Ponieważ punkty O1, Q1 i O2, nie leżą na jednej prostej więc mamy, że O1O2 < O1Q1 + Q1O2 = r1 + r2. Ponieważ zawsze r1 - r2 < r1 + r2 rozważyć możemy również przypadek następujący O1O2 > O1Q1 - Q1O2 = r1 r2. Mamy więc r1 r2 < O1O2 < r1 + r2. 20

21 Rys. 15 Załóżmy, że r1 r2 < O1O2 < r1 + r2 oraz nie zmieniając ogólności, że r1 > r2 (rys. 16). Rys. 16 Więc O1O2 > r1 r2. Prowadząc prostą przechodzącą przez środki okręgów P1(O1,r1) i P2(O2,r2) otrzymujemy dwa punkty przecięcia się prostej z okręgiem P2(O2,r2). Oznaczmy te punkty więc O1O2 > r1 O2B, stąd O1O2 przez A i B. Mamy, że O 2B = r2, + O2B > r1, więc ostatecznie O1B > r1, co dowodzi, że punkt B leży poza okręgiem P1(O1,r1). Jednocześnie mamy, że O1O2 < r1 + r2. Jeżeli O1O2 > r2. Otrzymujemy, że O1O2 r2 < r1, czyli O1A < r1, co oznacza, że punkt A leży wewnątrz okręgu P1(O1,r1). Jeżeli O1O2 = r2. Otrzymujemy, że punkt A jest środkiem okręgu P1(O1,r1). Jeżeli O1O2 < r2. Otrzymujemy, że O1A = O2A O1O2 < O2A, czyli O 1 A < r2, więc również O1A < r1 ponieważ r1 > r2. Zatem punkt A również leży wewnątrz okręgu P1(O1,r1). 21

22 Łatwo już teraz zauważyć, że okręgi P1(O1,r1) i P2(O2,r2) przecinają się w dwóch punktach i leżą po obu stronach prostej przechodzącej przez środki tych okręgów. Jako bezpośredni wniosek z twierdzenia, otrzymujemy wniosek Wniosek Punkty przecięcia się okręgów P1(O1,r1) i P2(O2,r2) leżą symetrycznie względem prostej przechodzącej przez środki tych okręgów. Definicja Prostą prostopadłą do odcinka i przechodzącą przez jego środek nazywamy symetralną tego odcinka. Konstrukcja symetralnej odcinka. Niech dany będzie odcinek AB. Wykreślamy okręgi o środkach A, B i równych promieniach r takich, że r AB. Zgodnie z twierdzeniem okręgi przecinają się w dwóch punktach. Oznaczmy je literami P, Q (Rys. 17). Przez punkty prowadzimy prostą. Punkt przecięcia się prostej z odcinkiem oznaczmy przez S. Na mocy wniosku otrzymujemy, że trójkąty ASP i BSP są trójkątami prostokątnymi. Ponieważ promienie okręgów są równe, więc AP = BP, natomiast z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy równość AS2 + SP2 = BS2 + SP2, więc AS = BS. Otrzymujemy, że punkt S jest środkiem odcinka AB. Stąd też prosta przechodząca przez punkty P, Q jest symetralną odcinka AB. Rys. 17 Konstrukcja symetralnej odcinka 22

23 Kroki ucznia prowadzące do przedstawienia symetralnej odcinka w programie C.a.R: narysowanie odcinka AB, narzędziem rysowania odcinków Rys. 18 Ikona symbolizująca rysowanie odcinków Aby zmienić nazwę odcinka należy po kolei klikać prawym klawiszem na punktach, będących końcami odcinka i wpisać nazwy ich nazwy14. wyznaczenie środka odcinka AB i oznaczenie go literą S. Do wyznaczenia środka odcinka służy narzędzie środek odcinka. Rys. 19 Ikona symbolizująca narzędzie środek odcinka poprowadzenie przez punkt S prostej prostopadłej do odcinka AB. Do narysowania prostej prostopadłej służy narzędzie prosta prostopadła Rys. 20 Ikona symbolizująca narzędzie środek odcinka Po wybraniu danego narzędzia, należy klikając na odcinku wskazać względem jakiego obiektu prosta ma być prostopadła, a następnie wskazać punkt S, czyli punkt przez, który prosta ta ma przechodzić. Efektem tych działań, będzie symetralna odcinka AB (rys. 21) Rys. 21 Symetralna odcinka AB 14 zobacz strona 12 23

24 Twierdzenie Symetralna odcinka jest zbiorem wszystkich punktów płaszczyzny równo odległych od końców tego odcinka. Dowód Każdy punkt P symetralnej odcinka AB jest równo odległy od końców A i B, ponieważ jest on punktem przecięcia się pewnych dwóch okręgów o środkach w punktach A oraz B oraz równych promieniach. Mamy więc, że AP = BP. Rozważmy teraz dowolny punkt P nie leżący na symetralnej. Odcinek AP albo odcinek BP przecina się z symetralną. Niech R będzie punktem przecięcia się odcinka AP z symetralną. Ponieważ R należy do symetralnej, więc RA = RB. Wówczas AP = PR + RA = PR + RB > PB, ponieważ punkty P, R, B są niewspółliniowe. Jeśli więc P należy do symetralnej odcinka AB, to PA = PB, natomiast jeśli P nie należy do symetralnej, to PA PB. Dany dowód uczniowie mogą przedstawić w programie C.a.R. następująco: część pierwsza dowodu (Rys. 23) Uczeń: rysuje dowolny odcinek AB, wyznacza symetralną odcinka AB, na symetralnej zaznacza dowolny punkt P, rysuje odcinki AP i BP. Aby pokazać, że punkt P jest równo oddalony od punktów A i B, należy w oknie edycji odcinków zaznaczyć opcję pokazywania wartości obiektu (rys. 22). Rys. 22 Pokazuj wartości obiektu Efektem tego może być poniższy przykład (rys. 23) na którym widać, że odcinki AP i BP są równe. 24

25 Rys. 23 Punkt P symetralnej Jednak wykonany rysunek nie musi być rysunkiem statecznym. Uczeń, aby przekonać się, że równość odcinków AP i BP nie zależy od wyboru tego konkretnego punktu P może zmieniać dowolnie położenie punktu P na prostej. Do zmiany położenia punktu służy narzędzie przesuń punkt (rys. 24). Rys. 24 Ikona symbolizująca narzędzie przesuń punkt Ponieważ punkt P narysowany był na prostej prostopadłej do odcinka AB, więc zmiana położenia punktu będzie odbywała się tylko wzdłuż danej prostej. Wraz ze zmianą położenia punktu P będą również zmieniały się wartości oznaczające długości odcinków AB i BP. Jednak cały czas zachodzić będzie równość AP = BP. Część druga dowodu (Rys. 25). Uczeń: rysuje dowolny odcinek AB wyznacza symetralną odcinka AB15, zaznacza punkt P nie należący do symetralnej, rysuje odcinki AP i BP. Efektem tych działań ucznia może być poniższy przykład (rys. 25) na którym widać, że odcinki AP i BP nie są równe. 15 zobacz strona 23 25

26 Rys. 25 Punkt nie należący do symetralnej Podobnie jak w części pierwszej, można zmieniać położenie punktu P. Tylko tym razem punkt P można przenieść w dowolne miejsce na płaszczyźnie, nie tylko wzdłuż prostej jak to miało miejsce w poprzednim przypadku. Twierdzenie W każdym trójkącie symetralne boków przecinają się w jednym punkcie. Dowód Niech dany będzie trójkąt ABC. Prowadzimy symetralne dowolnych dwóch jego boków, na przykład AB i BC. Ponieważ odcinki AB i BC są bokami trójkąta, więc nie są równoległe, a co za tym idzie ich symetralne również nie są równoległe. Ponieważ symetralne nie są równoległe, więc się przecinają. Punkt przecięcia się prostych oznaczmy przez O. Z twierdzenia wynika, że zachodzą równości OA = OB i OB = OC. Stąd wynika również, że OA = OC co oznacza, że punkt O jest również punktem symetralnej odcinka AC. Ponieważ punkt przecięcia się symetralnych boków trójkąta jest równoodległy od wierzchołków tego trójkąta, więc okrąg o środku w tym punkcie i promieniu równym odległości dowolnego wierzchołka od punktu przecięcia się, przechodzi przez wszystkie wierzchołki trójkąta. Okrąg taki nazywamy okręgiem opisanym na trójkącie. Z przeprowadzonego dowodu twierdzenia otrzymujemy następujący wniosek: Wniosek Na dowolnym trójkącie można opisać jeden i tylko jeden okrąg. 26

27 Uczeń, aby przedstawić twierdzenie w programie C.a.R. powinien: narysować dowolny trójkąt ABC narzędziem rysowania odcinków, wyznaczyć symetralne odcinków AB, BC i AC16, zaznaczyć punkt O będący punktem przecięcia się prostych. Po wykonaniu kolejnych kroków uczeń powinien otrzymać jeden punkt O przecięcia się symetralnych boków trójkąta ABC (rys. 26). Rys. 26 Symetralne boków trójkąta Dodatkowo uczeń możne jeszcze przedstawić wniosek z twierdzenia. Aby tego dokonać powinien użyć narzędzie rysowania okręgów danych przez odcinek długości promienia i środek. Rys. 27 Ikona symbolizująca narzędzie okrąg dany przez odcinek długości promienia i środek Uczeń musi wskazać jaki będzie promień klikając najpierw na punkcie O, a później na dowolnie wybranym wierzchołku, następnie wskazując punkt O, będący środkiem okręgu. W ten sposób otrzyma okrąg opisany na trójkącie ABC (rys. 28). Aby jednak uczeń miał większą pewność, że punkt O nie zależy od narysowanego przez niego trójkąta może zmienić położenie punktów A, B, C17. Uczeń zmieniając położenie punktów zaobserwować może, że zmienia się od razu punkt przecięcia się symetralnych oraz okrąg opisany na trójkącie ABC. Promień okręgu zmienia się dlatego, że promień został zadany poprzez długość odcinka łączącego punkt O z dowolnym wierzchołkiem trójkąta ABC. 16 zobacz strona zobacz strona 25 27

28 Rys. 28 Okrąg opisany na trójkącie Definicja Półprostą o początku w wierzchołku kąta i dzielącą ten kąt na połowy nazywamy dwusieczną kąta. Konstrukcja dwusiecznej kąta Niech dany będzie dowolny kąt o wierzchołku w punkcie O. Z wierzchołka kreślimy okrąg o dowolnym promieniu r. Punkty przecięcia okręgu z ramionami kąta oznaczmy przez A, B. Z punktów A i B kreślimy łuki okręgów o tym samym promieniu r. Punkt przecięcia się tych łuków oznaczmy przez C. Rysujemy półprostą OC OC o początku w punkcie O przechodzącą przez punkt C. Półprosta jest dwusieczną danego kąta (Rys. 29). Rys. 29 Konstrukcja dwusiecznej kąta 28

29 Ponieważ OA = OB = AC = BC = r, więc z OAC oraz OBC są przystające, a zatem kąty AOC oraz COB są równe. Z tej konstrukcji wynika, że istnieje tylko jedna dwusieczna danego kąta. Co więcej ponieważ AOC oraz COB, więc prawdziwa jest też równość EC DC =, więc odcinki EC i DC są równe, a co za tym idzie odległości punktów OC OC dwusiecznej kąta od ramion tego kąta są równe. Uczeń, aby wykonać dwusieczną kąta w programie C.a.R. powinen wykonać następujące kroki: zaczyna od narysowania kąta. Aby narysować kąt, musi zacząć od narysowania półprostej, następnie narzędziem rysowania kątów o stałej mierze (rys.29) narysować drugie ramię kąta, klikając najpierw na punkcie, przez który przechodzi narysowana półprosta, następnie na początku danej półprostej, a na końcu wybiera położenie drugiego ramienia kąta. Rys. 30 Ikona symbolizująca narzędzie kąt o stałej mierze następnie wykorzystując narzędzie dwusieczna kąta (rys. 30) po kolei klikając najpierw na jedno ramię kąta, później na wierzchołek i na drugie ramię kąta, wyznaczyć dwusieczną kąta. Rys. 31 Ikona symbolizująca narzędzie kąt o stałej mierze Efektem tych działań będzie wyznaczenia dwusiecznej narysowanego kąta. Rys. 32 Dwusieczna kąta 29

30 Z konstrukcji dwusiecznej kąta wynika, że każdy punkt dwusiecznej kąta jest równo oddalony od ramion tego kąta. Przeprowadzimy teraz formalny dowód tego faktu, lecz wcześniej podamy go w następującej formie: Twierdzenie Dwusieczna kąta jest zbiorem wszystkich punktów wewnętrznych tego kąta równo oddalonych od jego ramion. Dowód Niech punkt P leży wewnątrz kąta, ale nie jest punktem dwusiecznej (rys. 32). Poprowadźmy z punktu P odcinki PS i PT prostopadłe do ramion kąta. Niech punkt R będzie punktem przecięcia się odcinka PS z dwusieczną kąta. Z punktu R poprowadźmy odcinek RU prostopadły do ramienia kąta (Rys. 33). Ponieważ odcinek PU nie jest odległością punktu P od ramienia kąta, mamy wówczas, że: PT < PU < PR + RU = PR + RS = PS, zatem PT PS. Rys. 33 Punkt P nie będący punktem dwusiecznej Wykazaliśmy, że jeśli punkt P jest punktem dwusiecznej kąta to jest równo oddalona od ramion kąta, a jeśli jest punktem wewnętrznym kąta nie będącym punktem dwusiecznej, to odległości od ramion są różne. Kroki ucznia zmierzające do przedstawienia twierdzenia w programie C.a.R.: rysuje kąt o wierzchołku w punkcie O i wyznacza dwusieczną tego kąta, zaznacza punkt P będący punktem dwusiecznej, wyznacza proste prostopadłe do ramion kąta i przechodzące przez punkt P, łączy odcinkami punkt P z punktami przecięcia się prostych z ramionami kąta, tak aby uzyskać odległości punktu P od ramion kąta, 30

31 narzędziem ukrywania obiektów (rys. 34), może ukryć proste prostopadłe, tak aby konstrukcja była bardziej czytelna, Rys. 34 Ikona symbolizująca narzędzie ukrywanie obiektu następnie klikając prawym przyciskiem myszy na odcinkach otwiera właściwości odcinków i wybiera opcję pokazywania wartości elementów. W ten sposób powinien uzyskać na rysunku, że odległości punktu P od ramion kąta są równe (rys. 35). Dodatkowo używając narzędzia przesuwania punktów może zauważyć, że wynik nie zależy od wyboru punktu P. Przesunięcie punktu P odbywa się, tylko po dwusiecznej kąta, a odległości od ramion są równe. Rys. 35 Twierdzenie W każdym trójkącie dwusieczne kątów przecinają się w jednym punkcie. Dowód Weźmy dowolny trójkąt ABC. Poprowadźmy dwusieczne dwóch dowolnych kątów wewnętrznych trójkąta ABC, na przykład ABC i BCA (rys. 36). Suma miar tych dwóch kątów jest mniejsza niż 180O, więc ich dwusieczne przecinają się. Oznaczmy ten punkt przez O. Z twierdzenia mamy, że punkt O jest równo oddalony od boków AB i BC oraz BC i CA. Stąd wynika, że punkt O jest też równo odległy od boków CA i AB, leżących na ramionach kąta. Z dowodu twierdzenia wynika, że punkt przecięcia się dwusiecznych kątów trójkąta jest równo odległy od wszystkich jego boków. Okrąg o środku w punkcie przecięcia się dwusiecznych trójkąta i o promieniu równym odległości tego punktu od boków trójkąta jest styczny do tych boków. Okrąg taki nazywamy okręgiem wpisanym w trójkąt. 31

32 Rys. 36 Punkt O przecięcia się dwusiecznych kątów trójkąta Wniosek W każdy trójkąt można wpisać jeden i tylko jeden okrąg Aby przedstawić twierdzenie i wniosek w programie C.a.R. uczeń powinien wykonać następujące kroki: narysować dowolny trójkąt ABC narzędziem rysowania odcinków i oznaczyć wierzchołki trójkąta, wyznaczyć dwusieczne kątów w wierzchołkach A, B i C, oznaczyć punkt przecięcia się dwusiecznych przez O, wyznaczyć proste prostopadłe do boków AB, BC i CA trójkąta przechodzące przez punkt O, dodatkowo może narzędziem rysowania kątów (rys. 37) wyznaczyć kąty pomiędzy bokami i prostymi prostopadłymi oraz w oknie własności kąta zaznaczyć opcję pokazywania wartości kąta. Rys. 37 Ikona symbolizująca narzędzie kąt Aby narysować kąt uczeń musi wskazać kliknięciem po kolei punkt znajdujący się na pierwszym ramieniu kąta, wierzchołek kąta i punkt znajdujący się na drugim ramieniu kata. połączyć odcinkami punkt O i punkty przecięcia się prostych z bokami trójkąta oraz ukryć proste prostopadłe dla czytelności rysunku, narzędziem rysowania okręgów okręgów danych przez odcinek długości promienia i środek, narysować okrąg o środku w punkcie O i promieniu równym odległości punktu O do dolnego boku trójkąta, 32

33 Rys. 38 Dwusieczne kątów trójkąta Uczeń może przesuwać wierzchołki trójkąta, a punkt O dalej będzie punktem przecięcia się dwusiecznych, natomiast okrąg zmieniać będzie tylko swój promień, tak by pozostać okręgiem wpisanym w okrąg. Definicja Wysokością trójkąta nazywamy odcinek prostej prostopadłej do boku trójkąta przechodzącej przez naprzeciwległy wierzchołek trójkąta, o końcach w wierzchołku i punkcie przecięcia się prostej prostopadłej z bokiem trójkąta. Koniec wysokości należący do boku nazywamy spodkiem wysokości. Wprost z definicji wysokości otrzymujemy wniosek Wniosek W każdym trójkącie istnieją trzy wysokości Aby wyznaczyć wysokości trójkąta w programie C.a.R., uczeń powinien wykonać następujące kroki: narysować proste, linią przerywaną, wybierając w oknie własności prostych opcję linia przerywana (rys. 39) Rys. 39 Ikona symbolizująca opcję linia przerywana punkty przecięcia się prostych oznaczyć przez A, B, C i narysować trójkąt ABC, wyznaczyć proste prostopadłe do prostych zawierających boki trójkąta przechodzące przez naprzeciwległe wierzchołki trójkąta, 33

34 połączyć odcinkami wierzchołki z punktami przecięcia się prostych z bokami trójkąta, proste prostopadłe możemy ukryć, Otrzymane odcinki są wysokościami trójkąta. Rys. 40 Wysokości trójkąta ostrokątnego Rys. 41 Wysokości trójkąta rozwartokątnego Twierdzenie W każdym trójkącie wysokości (lub ich przedłużenia) przecinają sie w jednym punkcie. Dowód Jeśli Trójkąt ABC jest prostokątny, to teza jest oczywista ponieważ wysokości przecinają się w wierzchołku przy kącie prostym. Niech trójkąt ABC nie będzie trójkątem prostokątnym (rys. 41). Poprowadźmy przez wierzchołki trójkąta ABC proste, równoległe do przeciwległych boków. Punkty przecięcia się prostych oznaczmy przez A', B' i C', tak aby A' był punktem leżącym naprzeciw wierzchołka A, B' na przeciw B i C' naprzeciw C. Boki A'B', B'C' i C'A' trójkąta A'B'C' są równoległe odpowiednio do boków AB, BC i CA 34

35 trójkąta ABC, ponieważ czworokąty ABA'C, BCB'A i CAC'B są równoległobokami. Co więcej równoległoboki te mają parami wspólny bok, więc wierzchołki trójkąta ABC są środkami trójkąta A'B'C'. Zatem wysokości trójkąta ABC leżą na symetralnych boków trójkąta A'B'C', natomiast z twierdzenia mamy, że symetralne przecinają się w jednym punkcie. Rys. 42 Punkt przecięcia się wysokości trójkąta Definicja Punkt przecięcia się wysokości trójkąta nazywamy ortocentrum trójkąta. Uczeń, by przedstawić to twierdzenie w programie C.a.R., powinien wykonać następujące kroki: narysować proste, linią przerywaną, punkty przecięcia się prostych oznaczyć przez A, B, C i narysować trójkąt ABC, poprowadzić proste prostopadłe do prostych zawierających boki trójkąta, tak by przechodziły przez przeciwległe wierzchołki trójkąta. Proste prostopadłe najlepiej jest narysować liniami przerywanymi i zmienić ich kolor w oknie własności prostej, wyznaczyć odcinkami wysokości trójkąta oraz zaznaczyć punkt przecięcia się prostych zawierających wysokości trójkąta, W ten sposób uczeń powinien otrzymać, w przypadku trójkąta rozwartokątnego, punkt leżący na przedłużeniu wysokości trójkąta (rys. 43). W przeciwnym przypadku, punkt ten może nie być widoczny. 35

36 Rys. 43 Punkt przecięcia się przedłużeń wysokości trójkąta rozwartokątnego Definicja Odcinek łączący wierzchołek trójkąta ze środkiem przeciwległego boku nazywamy środkową trójkąta. Wprost z definicji środkowej trójkąta otrzymujemy wniosek Wniosek Każdy trójkąt ma trzy środkowe Przed przejściem do twierdzenia o środkowych w trójkącie, przypomnimy wcześniej definicję stosunku podziału odcinka i udowodnimy lemat potrzebny do dowodu. Definicja Stosunkiem podziału odcinka AB punktem P leżącym na prostej przechodzącej przez punkty A i B oraz różnym od B, nazywamy liczbę: a) AP, gdy punkt P należy do odcinka AB PB b) AP, gdy punkt P należy należy do prostej AB, ale nie leży pomiędzy PB punktami A i B. Lemat W każdym trójkącie odcinek łączący środki dwóch boków jest równoległy do trzeciego boku i równy jego połowie. Dowód Niech dany będzie trójkąt ABC. Środek boku AC oznaczmy przez B', a środek boku BC przez A' (rys. 44). Na prostej przechodzącej przez punkty B' i A', szukamy punktu A, takiego, by B'A' = A'A oraz A B'. Czworokąt B'BA C jest równoległobokiem, ponieważ jego przekątne przecinają się w połowie. Czworobok 36

37 ABA B' jest również równoległobokiem, ponieważ jego przeciwległe boki AB' i BA są równoległe. Wobec tego odcinek B'A' jest równoległy do AB oraz B'A' = 1 1 B'A = AB. 2 2 Rys. 44 Twierdzenie W każdym trójkącie środkowe przecinają sie w jednym punkcie. Punkt ten dzieli, każdą środkową w stosunku 2:1. Dowód Niech ABC będzie dowolnym trójkątem. Poprowadźmy dwie jego środkowe AA' i BB' (rys. 45). Punkt przecięcia się środkowych oznaczmy przez O. Przez A oznaczmy środek odcinka AO, B środek odcinka BO. Z lematu wynika, że odcinki A B i B'A' są równoległe do boku AB i równe jego połowie. Zatem są one równolegle i równe. Wobec tego A B A'B' jest równoległobokiem, więc jego przekątne dzielą się na połowy. Stąd A O = OA' i B O = OB', zatem ostatecznie AO = AA + A O = 2A O = 2OA' oraz BO = BB + B O = 2B O = 2OB'. Więc punkt O dzieli każdą ze środkowych AA' i BB' w stosunku 2:1. Analogicznie pokazujemy, że środkowe AA' i CC' przecinają się w punkcie O', który dzieli je w stosunku 2:1. W ten sposób dochodzimy do tego, że punkty O i O' dzielą środkową AA' w stosunku 2:1. Punkty O i O' muszą się być równe, gdyż każdy odcinek dzielony jest w danym stosunku dodatnim tylko jednym punktem wewnętrznym. Definicja Punkt przecięcia się środkowych trójkąta nazywamy środkiem ciężkości tego trójkąta. 37

38 Uczeń, aby zaprezentować twierdzenie w programie C.a.R., powinien wykonać następujące kroki: narysować trójkąt ABC, narzędziem rysowania odcinków, wyznaczyć środki boków AB, BC, CA, narzędziem wyznaczania środka odcinka. Środki może zaznaczyć odpowiednio przez C', A', B', połączyć odcinkami punkty A i A', B i B' oraz C i C', zaznaczyć punkt przecięcia się odcinków AA', BB', CC', narzędziem zaznaczania punktu i oznaczyć przez O. Odcinki AA', BB', CC' są środkowymi trójkąta ABC, natomiast punkt O jest środkiem ciężkości trójkąta (Rys. 45). Używając narzędzia przesuń punkt i przesuwając wierzchołki, uczeń może zaobserwować, że odcinki AA', BB' i CC' dalej są środkowymi oraz punkt O dalej jest środkiem ciężkości, zmieni się co najwyżej położenie punktów. Rys. 45 Środkowe trójkąta ABC Przytoczone przykłady wykorzystania komputera na lekcjach matematyki z programem C.a.R. podstawowej, są tylko zarysem możliwości. Zarówno w szkole gimnazjum jak i w liceum uczeń poznaje bardzo dużo treści geometrycznych. Przypomnienie ich zajęłoby znacznie więcej czasu, a przykłady te można jedynie traktować jako impuls do wykorzystania komputera oraz programu C.a.R.. Oczywiste jest również to, że obserwacją skończonej liczby przykładów, można nie Jednak graficzna prezentacja zastąpić może formalnego ukierunkować dając obraz hipotez, które należy udowodnić. 38 do dowodu twierdzenia. dalszego myślenia,

39 2.4. Monotoniczność ciągu liczbowego W programie nauczania matematyki dla liceum ogólnokształcącego (w zakresach podstawowym i rozszerzonym), liceum profilowanego i technikum (w zakresie podstawowym) Matematyka Wydawnictwa Pedagogicznego Operon, w części programu przeznaczonej dla klasy II, rozdziale Ciągi liczbowe znajduje się jednostka lekcyjna o nazwie Monotoniczność ciągu liczbowego. Uczniowie po zakończeniu zajęć, związanych z tą częścią powinni definiować ciąg rosnący, malejący oraz stały, podawać przykłady ciągów monotonicznych i sprawdzać, czy dany ciąg liczbowy jest monotoniczny. Przed rozpoczęciem danego tematu nauczyciel powinien przypomnieć pojęcie ciągu liczbowego, które realizowane były na wcześniejszej jednostce lekcyjnej. Definicja Ciągiem nieskończonym nazywamy funkcję określoną na zbiorze ℕ liczb naturalnych dodatnich. Niech funkcji a będzie funkcją określoną na zbiorze ℕ. Wartość a dla argumentu n nazywamy n-tym wyrazem ciągu i oznaczamy a n an. Jeśli wyrazy ciągu są liczbami, to ciąg taki nazywamy ciągiem liczbowym. Analogicznie, funkcję a : {1, 2,..., k } ℝ nazywamy ciągiem skończonym k - wyrazowym. Ciąg o n-tym wyrazie a n oznaczamy a n lub k a n n=1, gdy ciąg jest ciągiem k - wyrazowym. Definicja Ciąg a n nazywamy: a) ciągiem rosnącym wtedy i tylko wtedy, gdy a a n ℕ n n 1 b) ciągiem malejącym wtedy i tylko wtedy, gdy a a n n 1 n ℕ c) ciągiem niemalejącym wtedy i tylko wtedy, gdy a a n ℕ n n 1 d) ciągiem nierosnącym wtedy i tylko wtedy, gdy a a. n ℕ n n 1 39

40 Do prezentacji graficznej ciągów najlepiej wykorzystać arkusz kalkulacyjny. Arkusz kalkulacyjny jest programem, który umożliwia przedstawienie danych, głównie liczbowych, w postaci zestawu dwuwymiarowych tabel, automatyczną obróbkę tych danych oraz na prezentację tych danych, na przykład w postaci wykresów. Dane prezentowane w postaci wykresów pozwalają łatwiej zorientować się we wzajemnych zależnościach i tendencjach. Do najważniejszych narzędzi arkusza kalkulacyjnego należą funkcje, które automatycznie przetwarzają wprowadzone do arkusza dane. Każda dwuwymiarowa tabela zwana jest arkuszem. Arkusz składa się z kolumn oznaczonych literami i z wierszy oznaczonych liczbami (rys. 46). Rys. 46 Okno arkusza kalkulacyjnego Na okno arkusza kalkulacyjnego składają się między innymi: 1. pojedyncza komórka arkusza, 2. adres komórki, w którym podaje się najpierw literę oznaczającą kolumnę, a następnie liczbę oznaczającą wiersz, 3. pasek wprowadzania danych, takich jak liczby, tekst, formuły, funkcje. Do popularnych arkuszy kalkulacyjnych należy Microsoft Excel z pakietu biurowego Microsoft Office oraz OpenOffice.org Calc z pakietu OpenOffice.org. Do prezentacji na lekcji w pracowni informatycznej można użyć arkusza kalkulacyjnego OpenOffice.org Calc. Prezentowane przeze mnie przykłady będą przedstawione w wyżej wymienionym arkuszu. 40

41 Przykład Niech dany będzie ciąg a n o wyrazie ogólnym a n=3n 1, n ℕ. Uczeń, powinien wykonać następujące kroki, aby zaprezentować elementy danego ciągu w arkuszu kalkulacyjnym: w komórce A1 wprowadzić literę n, w komórce B1 wprowadzić zapis an = 3n -1. Symbolem an zastąpimy w komórkach od A2 do A11 wprowadzić kolejne liczby naturalne, w komórce B2 wprowadzić formułę przetwarzającą wprowadzone dane. an. Aby wprowadzić w komórce formułę trzeba zacząć od wprowadzenia znaku =, a następnie 3*A2-1. Po zatwierdzeniu formuły uczeń powinien uzyskać wynik, który jest liczbą 2. następnie skopiować zawartość komórki B2, zaznaczyć komórki od B3 do B11 i wkleić skopiowaną do schowka formułę. W wyniku tych kroków uczeń powinien otrzymać następujący wynik: Rys. 47 Do graficznej prezentacji elementów ciągu wykorzystać można wykres, który otrzymamy po zaznaczeniu komórek z danymi, w naszym przypadku komórki od A1 do B11, wciśnięciu przycisku wstaw wykres (rys. 48), który znajduje się w pasku narzędzi oraz po wybraniu obszaru, w którym ten wykres ma powstać. Rys. 48 Wstaw wykres 41

42 Otworzy się nowe okno Autoformatowanie wykresu. W pierwszym oknie auto formatowania (rys. 49) należy zostawić włączoną opcję Pierwszy wiersz jako etykieta i kliknąć przycisk Dalej. Rys. 49 W drugim oknie auto formatowania wykresy (rys. 50) w części Wybierz typ wykresu należy zaznaczyć kliknięciem myszy Wykres XY i klikąć na przycisk Utwórz. Rys. 50 Uczniowie w ten sposób powinni uzyskać wykres punktowy, w których oś odciętych to kolejne liczby naturalne od 1 do 10, wprowadzone w komórkach od A2 do A11, a w osi rzędnych wartości kolejnych elementów ciągu z komórek B2 do B11 (rys. 51). 42

43 Tytuł główny 30 27, , ,5 an = 3n ,5 10 7,5 5 2, Rys. 51 Ponieważ dla kolejnych liczb naturalnych n = 1,...,10 wartości ciągu są coraz większe, więc uczniowie mogą sformułować hipotezę, że ciąg a n jest rosnący. Przykład a n= Niech dany będzie ciąg a n o wyrazie ogólnym 2, n ℕ. n2 Uczeń, aby zaprezentować ten ciąg w arkuszu kalkulacyjnym powinien: w komórce A1 wprowadzić literę n, w komórce B1 wprowadzić zapis an = 2/n^2, w komórkach od A2 do A11 wprowadzić kolejne liczby naturalne, w komórce B2 wprowadzić formułę przetwarzającą wprowadzone dane. Aby wprowadzić w komórce formułę trzeba zacząć od wprowadzenia znaku =, a następnie 2/A2^2. Po zatwierdzeniu formuły uczeń powinien uzyskać wynik, który jest liczbą 2. następnie skopiować zawartość komórki B2, zaznaczyć komórki od B3 do B11 i wkleić skopiowaną do schowka formułę. Następnie przedstawić graficznie, za pomocą wykresu punktowego, kolejne elementy tego ciągu (rys. 52). Ponieważ dla kolejnych liczb naturalnych n = 1,..., 10 wartości ciągu są coraz mniejsze, więc uczniowie mogą sformułować hipotezę, że ciąg a n jest malejący. 43

44 Tytuł główny 2 1,8 1,6 1,4 1,2 an = 2/n^2 1 0,8 0,6 0,4 0, Rys. 52 Przykład Niech dany będzie ciąg a n o wyrazie ogólnym n a n= 2, n ℕ. Uczeń, aby zaprezentować ten ciąg w arkuszu kalkulacyjnym powinien: w komórce A1 wprowadzić literę n, w komórce B1 wprowadzić zapis an = (-2)^2, w komórkach od A2 do A11 wprowadzić kolejne liczby naturalne, w komórce B2 wprowadzić formułę = (-2)^A2. Po zatwierdzeniu formuły uczeń powinien uzyskać wynik, który jest liczbą -2, skopiować zawartość komórki B2, zaznaczyć komórki od B3 do B11 i wkleić skopiowaną do schowka formułę. Następnie przedstawić graficznie, za pomocą wykresu punktowego, kolejne elementy tego ciągu (rys. 53). Ponieważ dla kolejnych liczb naturalnych n = 1,..., 10 wartości ciągu są mniejsze lub większe, więc uczniowie mogą sformułować hipotezę, że ciąg a n jest nie jest ani malejący, ani rosnący. 44

45 Tytuł główny an = (-2)^n Rys. 53 Oczywiście, tak jak w przypadku przykładów wykorzystania programu C.a.R., przytoczone przykłady są tylko próbką możliwości arkusza kalkulacyjnego. Nie ograniczają się one tylko i wyłącznie do prezentacji wartości elementów ciągu. Arkusz kalkulacyjny wykorzystać również na lekcjach, gdy prezentowane będą funkcje oraz ich wykresy lub elementy statystyki opisowej. 45

46 3. Komputer w pracy nauczyciela matematyki 3.1. Przykład wykorzystania komputera przez nauczyciela na lekcji matematyki W programie nauczania matematyki dla liceum ogólnokształcącego (w zakresach podstawowym i rozszerzonym), liceum profilowanego i technikum (w zakresie podstawowym) Matematyka Wydawnictwa Pedagogicznego Operon, w części programu przeznaczonej dla klasy III, rozdziale Elementy analizy matematycznej znajduje się jednostka lekcyjna o nazwie Pochodna funkcji w punkcie i jej interpretacje. Nauczyciel w trakcie lekcji powinien wprowadzić podstawowe pojęcia: ilorazu różnicowego, pochodnej oraz podać interpretacje geometryczne tych pojęć oraz zwrócić także uwagę na związek istnienia pochodnej funkcji z ciągłością. Niech f będzie funkcją zmiennej x określona w przedziale X. Niech x i x 0 będą punktami przedziału X. Tworzymy wyrażenie postaci: f x f x 0, x x 0 (1) gdzie f(x) f(x0) nazywamy przyrostem wartości funkcji (lub przyrostem zmiennej zależnej), natomiast x x0 przyrostem argumentu (lub przyrostem zmiennej niezależnej), zaś iloraz (1) nazywamy ilorazem różnicowym. Przyrost wartości funkcji może być dodatni, ujemny lub zerowy, przyrost argumentu może być dodatni albo ujemny. Jeśli x0 jest ustalone, x zmienne, to iloraz różnicowy (1) jest funkcją zmiennej x x0. Jeżeli iloraz różnicowy (1) posiada granicę właściwą w punkcie x0, to granicę tę nazywamy pochodną funkcji f w punkcie x0 i oznaczamy symbolem f'(x0). Tak więc: f ' x 0 =lim x x 0 46 f x f x 0. x x 0

47 O funkcji f mającej pochodną w punkcie x0 mówimy, że jest różniczkowalna w tym punkcie. Funkcję, która posiada pochodną w każdym punkcie pewnego otwartego przedziału nazywamy różniczkowalną w tym przedziale. Przyporządkowanie każdemu punktowi x wartości pochodnej f'(x) nazywamy pochodną f' funkcji f. Wyznaczanie pochodnej funkcji określamy też mianem różniczkowania tej funkcji. Jeżeli iloraz różnicowy (1) ma w punkcie x0 granicę jednostronną, to tę granicę nazywamy pochodną jednostronną funkcji f w punkcie x0 i oznaczamy ją odpowiednio symbolem f'+(x0) pochodna prawostronna oraz f'_(x0) pochodna lewostronna. Tak więc: f ' x 0 =lim x x 0 f x f x 0, x x 0 f ' x 0 =lim x x 0 f x f x 0. x x 0 Funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x0 wtedy i tylko wtedy, gdy jest różniczkowalna w tym punkcie prawostronnie i lewostronnie oraz gdy obie jej pochodne jednostronne są równe. Funkcję nazywamy różniczkowalną w przedziale domkniętym [a; b] gdy jest: różniczkowalna w przedziale otwartym (a; b), prawostronnie różniczkowalna w punkcie a oraz lewostronnie różniczkowalna w punkcie b. Twierdzenie Jeżeli funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x0, to jest ciągła w tym punkcie. Dowód Dla każdego x x0 zachodzi równość: f x = f x f x 0 x x 0 f x 0. x x0 Z założenia istnienia różniczkowalności funkcji f w punkcie x0, istnieje granica: lim x x 0 f x f x 0 x x 0 lim x x f x =lim x x 0 oraz lim x x x x 0, więc: 0 0 [ ] f x f x 0 x x0 f x 0 =f ' x 0 0 f x 0 =f x 0, x x 0 a to oznacza, że funkcja f jest ciągła w punkcie x0. 47

48 Interpretacja geometryczna pochodnej Niech dana będzie funkcja f(x) = x2 oraz punkt x0 = 0,5. Dziedziną funkcji f jest zbiór liczb rzeczywistych. Do przedstawienia interpretacji geometrycznej pochodnej funkcji f nauczyciel w trakcie lekcji może posłużyć się programem komputerowym Graphic Calculus w wersji 4.0, używając na przykład komputera z projektorem multimedialnym. Po uruchomieniu programu w menu głównym programu wybieramy opcję Calculus następnie Gradient. W nowo otwartym oknie Zdefiniuj osie (rys. 54) wybieramy jako typ oznaczenia osi oznaczenie przez x, y i akceptujemy wybór. Rys. 54 Okno Zdefiniuj osie Kolejne okno, które się otworzy to Edycja funkcji (rys. 55). Ponieważ chcemy zinterpretować wykres funkcji f(x) = x2, więc w części Formula po znaku y = wpisujemy x^2 i zatwierdzamy Rys. 55 Okno Edycja funkcji 48

49 W wyniku tych kroków trzymamy wykres funkcji f(x). Ponieważ chcemy Rys. 56 Wykres funkcji pokazać uczniom interpretację geometryczną ilorazu różnicowego funkcji f w punkcie x0 = 0,5, to w oknie zmieniamy wartość x na 0,5. Wartość x możemy pozostawić bez zmian. Naciskając na przycisk Start (rys. 57) uruchamiamy animację pokazującą kolejne etapy szukania wartości ilorazu różnicowego f x f x 0, funkcji f(x) = x2 dla stałego punktu x0 = 0,5. x x 0 Rys. 57 Wniosek jako może się nasunąć uczniom, po wyświetleniu animacji to, że iloraz różnicowy określa nachylenie siecznej wykresu przechodzącej przez punkty (x0,f(x0)) oraz (x0,f(x0+ x)). Im mniejsza jest wartość x, tym bardziej sieczna zbliża się do stycznej do wykresu w punkcie (x0,f(x0)). Wnioski, te prowadzą do prawidłowej interpretacji geometrycznej pochodnej w punkcie x0: Pochodna f'(x0) jest równa tangensowi kąta nachylenia, jaki tworzy z osią x styczna do wykresu funkcji określonej wzorem y = f(x) w punkcie o odciętej x0. 49