ROLA SUBIEKTYWNYCH PRAWDOPODOBIEÑSTW W DECYZJACH Z RYZYKIEM

Transkrypt

1 DECYZJE nr 0 grudzeń 2008 ROLA SUBIEKTYWNYCH PRAWDOPODOBIEÑSTW W DECYZJACH Z RYZYKIEM Katarzyna Domurat* Akadema Leona KoŸmñskego Unwersytet Warszawsk Streszczene: Nnejszy artykuł stanow krótk przegląd sposobów nterpretowana traktowana prawdopodobeństwa w decyzjach z ryzykem. W szczególnośc zajęto sę w nm pojęcem subektywnego prawdopodobeństwa oraz wag decyzyjnych wprowadzonych przez teorę perspektywy. Zarówno kedy zajmowano sę subektywnym odchylenam ocen od obektywnych prawdopodobeństw, jak równeż subektywną transformacją prawdopodobeństw w postac wag decyzyjnych, zaobserwowano specjalne traktowane przez ludz nskch prawdopodobeństw. Zarówno w percepcj jak w transformacjach prawdopodobeństwa na wag decyzyjne ludze mają skłonność przeszacowywać zdarzena, które pojawają sę rzadko. W ostatnm jednak okrese pojawły sę donesena, że w decyzjach opartych na bezpośrednej obserwacj częstośc zdarzeń zmnejsza sę przeważane nskch prawdopodobeństw. Słowa kluczowe: decyzje w warunkach ryzyka, prawdopodobeństwo subektywne, wag decyzyjne, teora perspektywy, nske prawdopodobeństwa. SUBJECTIVE PROPABILITY IN RISKY DECISIONS Abstract: The artcle s a short revew of nterpretaton of probablty and ts sgnfcance for rsky decsons. It especally deals wth a concept of subjectve probablty and decson weghts ntroduced by the prospect theory. Whle dealng wth both subjectve devaton from objectve probabltes as well as subjectve probablty transformaton as probablty weghtng functon t was observed that people treat low probabltes dfferently. In both stuatons people tend to overestmate rare events. Recently t has been sad, that n the decson based on drect observatons of frequency of events, overestmaton s much weaker. * Katarzyna Domurat, Centrum Psycholog Ekonomcznej Badań Decyzj, Akadema Leona Koźmńskego, ul. Jagellońska 59, Warszawa, e-mal: kdomurat@wspz.edu.pl; Instytut Studów Społecznych Unwersytetu Warszawskego, ul. Stawk 5/7, Warszawa. Badana fnansowane z grantu SAFE nr LSHB-CT (6 Program Ramowy Un Europejskej). 5

2 ROLA SUBIEKTYWNYCH PRAWDOPODOBIEŃSTW W DECYZJACH Z RYZYKIEM Keywords: decsons under rsk, subjectve probablty, decson weghts, prospect theory, low probabltes.. Prawdopodobeństwo obektywne. Teora oczekwanej użytecznośc (expected utlty theory, EUT) Idea prawdopodobeństwa od początku powstana w XVII w. zwązana była z podejmowanem decyzj. Chocaż wywodz sę z rozważań praktycznego problemu, jakm były gry hazardowe, to na przestrzen weków ulegała welu metamorfozom nterpretacjom, które raz odchodzły, a raz przyblżały sę do problemów zwązanych z rzeczywstoścą. Samo pojęce budzło od zawsze wele kontrowersj do dzś ne jest określone jednoznaczne, czym prawdopodobeństwo jest. Równeż jego udzał w decyzjach ryzykownych czy też nepewnych poddawany był różnym dyskusjom teoretycznym, praktycznym modyfkacjom. Nnejszy artykuł stanow krótk przegląd () głównych poglądów nt. nterpretacj prawdopodobeństwa (2) rol prawdopodobeństwa w podejmowanu decyzj. Ideę prawdopodobeństwa datuje sę na rok 654, kedy to francusk matematyk Blase Pascal oraz Perre Fermat wymenal lsty na temat problemów zwązanych z gram hazardowym, które zadawał m notoryczny hazardzsta lew salonowy, Chevaler de Me re. Wymana ta zaowocowała koncepcją matematycznego oczekwana, które w tym czase było uważane za naturę racjonalnego wyboru (Hackng, 975). Gry hazardowe można rozumeć jako modelowy przykład decyzj ryzykownych. Ogólne decyzje ryzykowne defnowane są jako wybór spośród opcj (dzałań) ryzykownych, które prowadzą do określonego zboru możlwych wynków (konsekwencj), przy czym każdy z tych wynków ma znane prawdopodobeństwo pojawena sę. Pascal sformułował perwszą zasadę wyboru w warunkach ryzyka tzw. zasadę maksymalzacj oczekwanej wartośc (expected value, EV). Zgodne z tym kryterum decydent dokonuje wyboru mędzy ryzykownym opcjam przez porównane ch oczekwanej wartośc, czyl ważonej sumy uzyskanej przez dodane wartośc wynków pomnożonych przez odpowedne prawdopodobeństwa z nm zwązane. Jeżel oznaczymy opcję ryzykowną (możemy traktować ją jako loterę lub grę penężną) przez: L = (x n n n p =, p ; K; x, p ; K; x, p ), gdze = (tzn. każdemu możlwemu wynkow x przypsane jest prawdopodobeństwo p jego uzyskana) wówczas zapszemy formułę oczekwanej wartośc jako: 6

3 Katarzyna Domurat EV = Decydent pownen wybrać spośród dostępnych tę opcję, której wartość oczekwana jest najwększa. Powyższa zasada spotkała sę z krytyką w postac tzw. paradoksu Petersburskego, który dotyczy następującej gry: Uczestnk rzuca symetryczną monetą (powedzmy polską złotówką) tak długo, aż wypadne reszka. Jeżel reszka wypadne po raz perwszy w n-tym rzuce, wówczas gracz dostaje nagrodę równą 2 n złotych. Ile zapłac uczestnk za udzał w takej grze? Zauważmy, że jej wartość oczekwana wynos: EV = K = K = Okazuje sę, że ludze, mając możlwość udzału w grze o neskończonej oczekwanej wartośc, skłonn są zapłacć za ten udzał jedyne newelką sumę penędzy. Danel Bernoull rozważając to zagadnene, doszedł do wnosku, że ludze ne stosują sę do zasady maksymalzacj oczekwanej wartośc. Dzeje sę tak dlatego, że kerują sę subektywną, a ne obektywną marą wartośc konsekwencj (738/954). Bernoull zastąpł pojęce oczekwanej wartośc pojęcem oczekwanej użytecznośc (expected utlty, EU). Za sprawą von Neumanna Morgensterna koncepcja ta stała sę w 944 roku formalnym modelem podejmowana decyzj w warunkach ryzyka z dobrze określonym postulatam racjonalnego zachowana (944/990). Formułę oczekwanej użytecznośc zapszemy jako: EU( L ) = n = p u( x gdze funkcja użytecznośc u () opsana na zborze wypłat (wynków) merzy subektywną wartość końcowych stanów bogactwa, a jej kształt determnuje stosunek jednostk do ryzyka. W teor oczekwanej użytecznośc przyjmuje sę, że wększość ludz wykazuje awersję do ryzyka, co wyrażone jest przez wklęsłą funkcję użytecznośc. To, co różn modele EV EU, to obektywne versus subektywne oceny wartośc wynków. To, co łączy oba modele, to założene obektywnego rozkładu prawdopodobeństw na zborze możlwych konsekwencj dzałań. Przyjmuje sę, że decydent zna ten rozkład keruje sę nm w swoch wyborach. Pojawa sę jednak pytane, jak należy nterpretować owo (obektywne) prawdopodobeństwo. n = p x. ), 7

4 ROLA SUBIEKTYWNYCH PRAWDOPODOBIEŃSTW W DECYZJACH Z RYZYKIEM Istneje klka nterpretacj tego pojęca: matematyczna, częstoścowa (statystyczna) logczna. Najbardzej abstrakcyjne jest pojęce matematyczne. Defnuje sę tu prawdopodobeństwo poprzez zbór aksjomatów traktuje sę je jako marę na zborze zdarzeń losowych. W dużym uproszczenu możemy powedzeć, że jest to funkcja na skończonym zborze zdarzeń, która spełna następujące warunk: przyjmuje tylko neujemne wartośc, prawdopodobeństwo zdarzena pewnego wynos (równe jest jednośc), prawdopodobeństwo sumy wzajemne wykluczających sę zdarzeń jest równe sume prawdopodobeństw tych zdarzeń (tzw. zasada addytywnośc). Nełatwo jest odneść tę koncepcję do rzeczywstośc. Po perwsze, każdą marę spełnającą powyższe warunk możemy nazwać prawdopodobeństwem. Po druge, defncja powyższa zakłada, że prawdopodobeństwa znane są a-pror. Jednak w rzeczywstym śwece trudno jest w wększośc przypadków określć szanse zdarzeń losowych przed ch wystąpenem. Łatwej jest dokonać tego a-posteror, po przeprowadzenu odpowednej lczby eksperymentów [eksperyment w rozumenu dzałana generującego zdarzena]. W myśl tego zaproponowana została nna nterpretacja prawdopodobeństwa tzw. częstoścowa, która w odróżnenu od poprzednej jest empryczne sprawdzalna. Zgodne z teorą częstośc (frekwencj) prawdopodobeństwo jest marą względnych frekwencj poszczególnych zdarzeń. Pogląd ten dowodz, że prawdopodobeństwo poszczególnego zdarzena w określonej próbe równe jest względnej częstośc pojawena sę tego zdarzena w skończonej sekwencj (powtórzeń) podobnych prób. Defncja ta równeż napotyka szereg (praktycznych) problemów. Po perwsze, pewne zdarzena możemy poklasyfkować na wele sposobów, np.: przepowadając szanse pojawena sę deszczu następnego dna trudno jest odpowedzeć na pytane, jake zdarzena pownnśmy brać pod uwagę? Względna częstość zdarzena będze zależała zatem od klasy nnych zdarzeń, do której je porównujemy. Drugą wadę tego podejśca lustruje następujący przykład: powtarzamy rzut monetą 0 razy, 7 razy wypadła reszka, a 3 razy orzeł. Czy w zwązku z tym słuszne jest sądzć, że prawdopodobeństwo wypadnęca orła wynos 3/0, a reszk 7/0? Z tym drugm problemem poradzła sobe pewna modyfkacja częstoścowej defncj prawdopodobeństwa zwązana z prawem welkch lczb (PWL) J. Bernoullego (73). Zgodne z ną prawdopodobeństwo ne jest obserwowaną częstoścą, a raczej grancą, którą obserwowane częstośc by osągnęły, gdyby próby były powtarzane odpowedno dużą lość razy. Dokładnej mówąc, PWL mów, że jeżel zdarzene pojawa sę k razy w n dentycznych nezależnych próbach, a lczba powtórzeń jest arbtralne duża, to welkość k/n pownna być dostateczne blska wartośc obektywnego prawdopodobeństwa. Trzeba zauważyć, że nterpretacja częstoścowa prawdopo- 8

5 Katarzyna Domurat dobeństwa dobrze radz sobe w sytuacjach powtarzalnych zdarzeń. Jest jednak bezradna w przypadku zdarzeń pojedynczych. Stanowsko odmenne od powyższych reprezentuje podejśce logczne. Tym razem defncja prawdopodobeństwa jest odnoszona ne do zdarzeń, a do zdań (sądów). Opera sę na założenu, że mędzy sądem w postac pewnej hpotezy a danym, uzasadnającym tę hpotezę zachodz określony zwązek logczny. Prawdopodobeństwo logczne merzy stopeń uzasadnena hpotezy poprzez dane. Poneważ stneje jeden tylko jeden tak stopeń uzasadnena, to w tym sense prawdopodobeństwo jest obektywne. Jeżel dwe osoby przypsują różne prawdopodobeństwo temu samemu twerdzenu, to co najwyżej jedna może meć rację. Nekedy prawdopodobeństwo logczne traktuje sę jako zakresowo tożsame z prawdopodobeństwem statystycznym, oznaczającym względną częstotlwość zjawsk mających odrębne własnośc. Powyższa nterpretacja odwołuje sę do pojęca losowośc, które (zgodne z tym stanowskem) ne jest zjawskem obektywne merzalnym, a raczej zjawskem wedzy (knowledge phenomenon). Przykładowo, zgodne z tym poglądem sam rzut monetą ne jest zdarzenem losowym. Jeżel znamy kształt monety, jej wagę, słę rzucającego, warunk atmosferyczne w pokoju, dystans od ręk rzucającego do zem (mejsca upadku monety) tp., wówczas możemy przewdzeć z pewnoścą, czy wypadne orzeł czy reszka. Jednakże, gdy te nformacje są nam neznane, możemy przyjąć, że rzut jest zdarzenem losowym przypsać to samo prawdopodobeństwo orłow reszce. Prawdopodobeństwa są zatem marą braku wedzy ( lack of knowledge ) o warunkach, które mogą wpływać np. na rzut monetą dlatego reprezentują tylko nasze przekonane o danym eksperymence (Keynes, 92/97). Wedza ta jest neuceleśnona neosobsta, zatem w logcznym sense prawdopodobeństwo ne jest subektywne! Każda z wyżej wymenonych nterpretacj prawdopodobeństwa napotyka jakeś trudnośc. Ich wspólną cechą jest natomast obektywność tego pojęca. Pojawa sę jednak pytane, czy przy podejmowanu decyzj ludze wykorzystują take obektywne prawdopodobeństwa. Model EU dopuszcza subektywne wartoścowane wynków rozważanych opcj. Czy ne byłoby słusznym, aby uwzględnać równeż subektywne wartośc prawdopodobeństw? Idea subektywnego prawdopodobeństwa mała początkowo zwązek z trudnoścą w określenu obektywnych prawdopodobeństwo w welu rzeczywstych sytuacjach (np. prawdopodobeństwa tego, czy jutro będze padał deszcz?). W zwązku z tym perwsza nterpretacja uwzględnająca subektywność w ocene prawdopodobeństw zwązana była z decyzjam w warunkach nepewnośc, kedy to neznane są prawdopodobeństwa zdarzeń. Druga natomast nawązywała bardzej do subektywnych odchyleń od danych prawdopodobeństw. Przedstawmy oba te podejśca (w odwrotnej kolejnośc). 9

6 ROLA SUBIEKTYWNYCH PRAWDOPODOBIEŃSTW W DECYZJACH Z RYZYKIEM 2. Pojęce prawdopodobeństwa subektywnego jego odmany 2.. Subektywne prawdopodobeństwo jako subektywna transformacja obektywnego prawdopodobeństwa Wkrótce po pojawenu sę modelu EU (tj. w latach 50.), psychologów zantrygowała kwesta, czy podejmując decyzje w warunkach ryzyka, kedy znane są obektywne prawdopodobeństwa, ludze uwzględnają je zgodne z obektywną skalą czy raczej subektywne znekształcają? Perwsze badana na ten temat przeprowadzł Word Edwards. Edwards obserwował, jak ludze obstawają różne zakłady. Służyła mu do tego maszyna podobna do gry w Pnball, na dole której znajdowało sę osem ponumerowanych otworów. Do każdego z nch z takm samym prawdopodobeństwem /8 mogła wpaść tocząca sę z góry kulka. Edwards zadawał badanym wybory mędzy dwema gram, których wynk zależne były od tego, do jakch otworów traf kulka. Okazało sę, że: () różn ludze różne skalowal te same obektywne prawdopodobeństwa oraz (2) badan przejawal pewne preferencje, co do nektórych welkośc prawdopodobeństw (953, 954a, 954b). W jednym z badań dawano do wyboru zakłady o tej samej wartośc oczekwanej, tak że z obektywnego punktu wdzena ne było powodu, dla którego jeden zakład małby być preferowany nad drug. A jednak badan przejawal wyraźne preferencje mędzy zakładam. Musały one być wynkem albo awersj do ryzyka, albo subektywnego traktowana prawdopodobeństw. W eksperymence tym badan mel wybór mędzy param zakładów trzech typów: z dodatną, ujemną zerową wartoścą oczekwaną. Otrzymane wynk pokazały, że dwa czynnk mały stotny wpływ na wybór gry w parze. Po perwsze, ogólna skłonność osoby do ryzyka np. strata wększej lośc penędzy, ale z mnejszym prawdopodobeństwem była preferowana nad stratę mnejszej lośc penędzy, ale z wększym prawdopodobeństwem. Po druge wybór był determnowany przez specyfczne preferencje, co do pewnych welkośc prawdopodobeństw, nezależne od welkośc wypłat w grze. Badan systematyczne preferowal zakłady zawerające prawdopodobeństwo wygranej 4/8 nad każde nne oraz unkal ger zawerających wygraną z prawdopodobeństwem 6/8 (odwrotny rezultat zaobserwowany był w przypadku strat, czyl par ger z negatywną wartoścą oczekwaną). Podsumowując, badana Edwardsa pokazały, że wybór w warunkach ryzyka nekoneczne jest determnowany przez obektywne prawdopodobeństwa. Badan raczej bral pod uwagę pewne subektywne wartośc prawdopodobeństw. Oprócz badań Edwardsa były nne próbujące wyznaczyć dokładną skalę subektywnego prawdopodobeństwa (Preston Barata, 948 czy Mosteller Nogee, 95). To, co 0

7 Katarzyna Domurat można było z nch wywnoskować, to m.n. stnene odchyleń od obektywnego prawdopodobeństwa oraz to, że subektywna skala nekoneczne spełnała zasady matematycznego prawdopodobeństwa. Na przykład badan mogl ocenć szansę na węcej nż 50% zarówno dla zastnena danego zdarzena, jak dla jego nezastnena. Edwards (954c, 962) zwracał jednak uwagę, że eksperymenty te mały znaczne czasem problemy metodologczne. Zbyt rzadko były przeprowadzane w odpowedno kontrolowanych warunkach. Brakowało też spójnej teor opsującej prawa rządzącego składanem subektywnych wartośc wypłat zwązanych z nm prawdopodobeństw Subektywne prawdopodobeństwo jako stopeń przekonana osoby Oprócz badań nad subektywną transformacją obektywnego prawdopodobeństwa pojawła sę też całkowce nna koncepcja subektywnego prawdopodobeństwa. W realnym śwece w sytuacjach decyzyjnych zwązanych ze zdarzenam nepewnym ne łatwo jest poradzć sobe z określenem szans zajśca tych zdarzeń. Z behaworalnego punktu wdzena, poza grą w kasyne czy w toto-lotka, obektywna nterpretacja prawdopodobeństwa jest w welu przypadkach mało użyteczna. Wydaje sę, że ludze borą pod uwagę przy podejmowanu decyzj własne przekonana na temat możlwośc wystąpena jakegoś zdarzena. Naturalnym wydawało sę węc rozszerzyć modele oczekwanej użytecznośc przez włączene do analzy ne tylko subektywnej oceny dotyczącej wartośc konsekwencj możlwych opcj wyboru, lecz także subektywnego traktowana prawdopodobeństw, zwązanych z tym konsekwencjam. Klasycznym modelem, który rozwnął tę deę, jest model subektywne oczekwanej użytecznośc (subjectve expected utlty, SEU), którego fundamenty znajdzemy już w orygnalnej pracy Ramseya z 929 roku. Ramsey ne zgodzł sę ze stanowskem logcznym dotyczącym nterpretacj prawdopodobeństwa. Twerdzł, że zamast przypsywać prawdopodobeństwo neuceleśnonej wedzy samej w sobe, należy odneść je do wedzy posadanej przez poszczególne jednostk osobno. W tłumaczenu Ramseya to osobste przekonana (personal belef) na temat prawdzwośc jakegoś stwerdzena lub szansy zajśca nepewnych zdarzeń determnują wartośc prawdopodobeństw. Ocena tych szans może operać sę na własnych przekonanach na posadanej wedzy, włączając nformacje na temat obektywnych częstośc zdarzeń. Różn ludze posadają różny zasób wedzy, stąd dopuszczalne są odmenne welkośc prawdopodobeństw przypsane temu samemu zdarzenu. Prawdopodobeństwo jest zatem subektywne! Jak merzyć osobsty stopeń przekonana? Ramsey zaproponował wyprowadzene spójnej teor wyboru w warunkach nepewnośc, która mogłaby odzolować przekonana

8 ROLA SUBIEKTYWNYCH PRAWDOPODOBIEŃSTW W DECYZJACH Z RYZYKIEM od preferencj pozostając przy koncepcj subektywnego prawdopodobeństwa. Rozwnął deę pomaru stopn przekonana na drodze behaworalnej. Podobne nezależne zrobł to Bruno de Fnett (937). Obaj twerdzl, że subektywne prawdopodobeństwa mogą być wnoskowane z obserwacj ludzkch zachowań. Zaproponowal wyprowadzene stopna pewnośc, co do prawdzwośc jakegoś stwerdzena, z analzy zachowań decydentów podczas podejmowana zakładów wylczene tego stopna jako prawdopodobeństwa. Zlustrujmy ch deę na prostym przykładze. Przypuśćmy, że pewna osoba napotyka ryzykowne przedsęwzęce z dwoma możlwym wynkam x y, przy czym perwszy jest bardzej pożądany od drugego. Załóżmy, że osoba ta sto przed problemem wyboru mędzy dwema loteram P Q zdefnowanym na zborze tych dwóch wynków x y. Nc węcej o tych loterach ne we. Jeżel jednak wyberze loterę P nad loterę Q, to można z tego wnoskować, że mus być przekonana (mus werzyć), ż lotera P zapewna wększe szanse uzyskana wynku x względem wynku y, a Q przypsuje nższe prawdopodobeństwo wynkow x względem y. Poneważ x jest bardzej pożądane nż y, to odwrotny wybór oznaczałby zachowane nezgodne z preferencjam. Pełny model wyboru w warunkach nepewnośc, który uwzględnałby subektywne prawdopodobeństwa został przedstawony w słynnej pracy L. Savage a: The Foundaton of Statstcs (954). Savage zsyntezował osągnęca Ramseya de Fnettego oraz model oczekwanej użytecznośc von Neumanna-Morgensterna. Wyprowadzł nową, analtyczną strukturę oraz warunk koneczne stotne na stnene subektywnych prawdopodobeństw oraz na wyjątkowe ch połączene z użytecznoścam wynków dostępnych opcj wyboru. Scharakteryzował ndywdualny wybór jako maksymalzujący subektywne oczekwaną użyteczność. Model Savage a osadzony jest w warunkach nepewnośc, która reprezentowana jest przez zbór wzajemne wykluczających sę wyczerpujących stanów natury (podzborem tego zboru są zdarzena) oraz arbtralny zbór konsekwencj. Obektam wyboru są elementy zboru dzałań (acts), gdze każde dzałane prowadz do szczególnego zboru konsekwencj, zależnych od wystąpena któregoś ze stanów natury. Przyjmuje sę, że decydenc mają określone preferencje na zborze dzałań. Struktura preferencj wyznaczona jest przez system aksjomatów pozwalający na numeryczne wyrażene oceny konsekwencj w postac funkcj użytecznośc, jak równeż przekonań w postac mary subektywnego prawdopodobeństwa, które Savage nazywa prawdopodobeństwem osobstym. Ogólne aksjomaty zaproponowane w teor Savage a zapewnają spójną uporządkowaną relację preferencj oraz pozwalają na rozdzelene subektywnych prawdopodobeństw od subektywnych użytecznośc (pozostała część aksjomatów pełn funkcje technczne). Mając uporządkowaną relację preferencj na zborze dostępnych dzałań, osoby dążą do wyboru tego dzałana, którego subektywne oczekwana użyteczność zdefnowana ponżej jest najwększa: 2

9 Katarzyna Domurat SEU = = π( E )u( x ), gdze u() użyteczność -tej konsekwencj x, π() subektywne prawdopodobeństwo -tego zdarzena E. Model SEU jest wydealzowanem sytuacj wyboru w warunkach nepewnośc, podobne jak EU był w warunkach ryzyka. Oba dopuszczają subektywne wartoścowane konsekwencj oraz dodatkowo założena w modelu Savage a zapewnają stnene ndywdualnego prawdopodobeństwa, co przyblża drug model do lepszego opsu rzeczywstego zachowana Wag decyzyjne. Teora perspektywy (prospect theory, PT) W latach 50. następnych psychologowe opsal mnóstwo odstępstw od teor EU, charakteryzujących zachowana ludz. Ne byl jednak w stane zaproponować alternatywnej teor. Uczynl to dopero Kahneman Tversky (979), formułując teorę perspektywy. Pokazal najperw klka głównych efektów wskazujących, jak model EU systematyczne zawodz jako model deskryptywny. Dwa z tych efektów dotyczące nelnowego traktowana prawdopodobeństw są pewną modyfkacją słynnego paradoksu Allas (953). Perwszy to efekt wspólnej konsekwencj pokazujący, że użyteczność ne zawsze jest lnową funkcją prawdopodobeństw, zwłaszcza gdy prawdopodobeństwa te są blsko 0 lub. Badan, mając wybór (problem ) mędzy otrzymanem 2400$ z pewnoścą a 2500$ z szansą 0.33 lub 2400$ z szansą 0.66, częścej wyberal opcję perwszą, natomast w drugej parze opcj badan bardzej preferowal szansę otrzymana 2500$ z prawdopodobeństwem 0.33 nad 2400$ z prawdopodobeństwem 0.34 (problem 2). Zgodne z modelem EU (po dokonanu prostych przekształceń) zaobserwowany wybór w probleme mplkuje, że 0.34u (2400)>0.33u (2500), podczas gdy w probleme 2 otrzymujemy odwrotną nerówność: 0.34u (2400)<0.33u (2500). Tak stan rzeczy jest nezgodny z zasadą nezależnośc przyjętą w modelu EU. Zgodne z tą zasadą wycągnęce wspólnego składnka z obu opcj w probleme, tzn. szansy otrzymana 2400$ z prawdopodobeństwem 0.66, ne pownno prowadzć do zaobserwowanych preferencj w parze drugej. Na podstawe tych wynków sformułowano efekt pewnośc, czyl skłonnośc do przypsywana wększego znaczena tym wynkom, które są pewne względem tych, które są zaledwe prawdopodobne. Drug efekt wskazujący na nelnowe traktowane danych prawdopodobeństw to tzw. efekt wspólnej proporcj. Odnos sę do obserwacj, gdze bardzej ryzykowna sposród dwóch prostych opcj postac (x, p; 0, -p) x>0, staje sę bardzej atrakcyjną, gdy prawdopodobeństwo wygrana w obu opcjach zredukowane jest w tej samej proporcj. 3

10 ROLA SUBIEKTYWNYCH PRAWDOPODOBIEŃSTW W DECYZJACH Z RYZYKIEM Kolejna obserwacja wskazująca na nezgodność modelu EU z wzorcem obserwowanych wyborów dotyczyła wypłat opcj ryzykownych. W teor oczekwanej użytecznośc przyjęto, że ludze wykazują ogólne awersję do ryzyka, bez względu na to, czy ryzyko jest w sferze zysków czy strat. Kahneman Tversky stwerdzl, że awersja do ryzyka owszem jest częścej obserwowana, ale tylko w dzedzne zysków. W dzedzne strat natomast przeważa skłonność do ryzyka. Obserwacje te klka nnych zaowocowały nowym podejścem do wyborów w warunkach ryzyka. W Teor Perspektywy rozróżna sę dwe fazy procesów decyzyjnych: fazę edytowana fazę oceny. Tu jednak zajmemy sę tylko drugą z tych faz. Przyjmuje sę, że ocena opcj ryzykownych zależy od dwóch funkcj: funkcj wartośc oraz funkcj wag decyzyjnych. Funkcja wartośc v() odpowada funkcj użytecznośc w EU, z tą różncą, że ne jest zdefnowana na końcowych pozomach bogactwa, a raczej zdetermnowana przez zmany w zasobach zależne od punktu odnesena [zmany te przyjęło sę nazywać zyskam powyżej punktu odnesena stratam ponżej tego punktu]. Punktem odnesena może być beżący zasób, który jednostka posada. Na wybór tego punktu może meć równeż wpływ tzw. efekt sformułowana problemu, który ma mejsce w perwszym etape procesu decyzyjnego, wspomnanej faze edytowana. Przyjmuje sę, że funkcja wartośc jest wklęsła dla zysków a wypukła dla strat oraz że jest bardzej stroma dla strat nż dla zysków własność ta nazywana jest awersją do straty. Założena te prowadzą do asymetrycznej, S-kształtnej funkcj wartośc. Drugm elementem wchodzącym w skład oceny opcj ryzykownej jest funkcja wag decyzyjnych. Kahneman Tversky postulują, że decydent waży wartośc wynków opcj ne poprzez same prawdopodobeństwa (obektywne jak w modelu EU, albo subektywne jak w modelu SEU), ale raczej przez wag decyzyjne będące pewną transformacją prawdopodobeństw. Tak węc funkcja wag decyzyjnych ne jest an obektywnym prawdopodobeństwem, an stopnem przekonana w rozumenu Savage a. Po perwsze, ne spełna ona aksjomatów matematycznego prawdopodobeństwa, a po druge ne tłumaczy, jak te prawdopodobeństwa są generowane. Wyraża raczej lość uwag, jaka jest przypsana danemu wynkow wyberanej opcj. Gdy znane są decydentow obektywne prawdopodobeństwa, to wykorzystywane są od razu do przypsywana wag wartoścom konsekwencj, z którym są zwązane. Gdy decydent dzała w warunkach nepewnośc, to najperw ocena prawdopodobeństwa zdarzeń zgodne z własnym przekonanam, a dopero wówczas wykorzystuje je do tworzena wag (Fox Tversky, 995). Hpotetyczna funkcja wag decyzyjnych π() w orygnalnej Teor Perspektywy ma klka głównych własnośc. Po perwsze, określona jest na przedzale (0,) oraz π(0) = 0, π() =. Po druge, wag zdarzeń przecwnych ne sumują sę tak, jak zwykłe praw- 4

11 Katarzyna Domurat dopodobeństwa do jednego, czyl π(p) + π( p) < dla każdego p (0,). Jest to własność tzw. subpewnośc funkcj π(). Kolejna własność to: subproporcjonalność (subproportonalty) wag decyzyjnych zwązana z opsanym wcześnej efektem wspólnej proporcj (common-rato effect), która mów, że dla ustalonego stosunku prawdopodobeństw, stosunek wag decyzyjnych jest blższy jednośc, gdy prawdopodobeństwa te są nske, nż gdy są wysoke π( pq ) π( π( p ) π( pqr ) pr ) ). Mów sę także o subaddytywnośc (subaddtve) funkcj wag decyzyjnych wynkającej z efektu wspólnej konsekwencj oznaczającej wrażlwość na zmany prawdopodobeństw blsko punktów 0. Przyjmując hpotetyczną funkcję wag decyzyjnych Kahnemana Tversky podkreślal, że ne zachowuje sę dobrze na końcach obektywnego prawdopodobeństwa. 3. Problem nskch prawdopodobeństw w decyzjach z ryzykem Zarówno kedy zajmowano sę subektywnym odchylenam ocen obektywnych prawdopodobeństw, jak równeż subektywną transformacją prawdopodobeństw w postac wag decyzyjnych, pojawły sę obserwacje wskazujące na specjalne traktowane przez ludz nskch prawdopodobeństw. Obserwacje wskazują na podobną śceżkę znekształceń zarówno w percepcj, jak w transformacjach prawdopodobeństwa na wag decyzyjne. 3.. Badana na pozome percepcj Jednym z perwszych badań na pozome percepcj prawdopodobeństwa było badane Attneave (953). Respondenc pytan byl o oszacowane względnych częstośc, z którym różne ltery alfabetu pojawały sę w tekstach angelskch (gazetach, ksążkach). W badanu posłużono sę lteram z dwóch powodów: po perwsze, względna częstotlwość pojawana sę poszczególnych znaków była stablna w próbkach tekstów, po druge, proporcja ta była obserwowana przez wększość członków badanej społecznośc. Wynk badań pokazały dość wysoką korelację mędzy rzeczywstym częstoścam a oszacowanam badanych. Zauważono jednak systematyczną prawdłowość: badan przeszacowywal frekwencje lter, które pojawają sę rzadko (np. X, V, Q) w porównanu z lteram występującym częścej (A, E, T). Wele lat późnej Lchtensten, Slovc, Fschhoff, Layman, and Combs (978) pytal uczestnków swojego badana o ocenę lośc zgonów w cągu roku spowodowanych 5

12 ROLA SUBIEKTYWNYCH PRAWDOPODOBIEŃSTW W DECYZJACH Z RYZYKIEM przez 4 różnych zdarzeń śmertelnych (jak rak płuc, astma, porażene prądem, utonęce, tornado, zatruce tp.), dla których były dostępne roczne statystyk. Badanym prezentowano dwa różne formaty oceny częstośc: () porównane param, gdze należało wybrać tę przyczynę śmerc, którą badan uważal za bardzej prawdopodobną, że spowoduje śmerć losowo wybranej osoby z amerykańskej populacj w cągu roku; dodatkowo proszono o wskazane, o le razy wydaje m sę to bardzej prawdopodobne; () w drugm formace badan oszacowywal bezpośredno całkowtą roczną frekwencję wymenonych przyczyn śmerc w Stanach Zjednoczonych. Oszacowana badanych z obu zadań były porównane z beżącym statystykam częstośc zdarzeń śmertelnych. Zaobserwowano, że oszacowana te ulegają pewnym systematycznym trendom. Częstośc relatywne rzadkch zdarzeń były systematyczne przeszacowywane, podczas gdy frekwencje relatywne częstych zdarzeń były systematyczne nedoszacowywane. Rysunek przedstawa uzyskaną zależność mędzy ocenam a aktualnym frekwencjam pojawana sę zdarzeń śmertelnych. Rysunek. Zależność mędzy ocenam a aktualnym frekwencjam pojawana sę zdarzeń śmertelnych w badanu Lchtensten n. (978) Źródło: Lchtensten n. (978), s Tak węc w percepcj zdarzeń, które pojawają sę rzadko, ludze mają skłonność przeszacowywać ch względną częstość. 6

13 Katarzyna Domurat 3.2. Badana na pozome wyboru Nezależne od badań na pozome percepcj prowadzono też badana nad stosowanem przez ludz wag prawdopodobeństwa przy podejmowanu decyzj w warunkach ryzyka. Interesujące badane na ten temat przeprowadzl Preston Baratta (948). W swoch badanach przyjęl on prosty model, wg którego ludze maksymalzują subektywne oczekwaną wartość (subjectve expected value, SEV), tzn.: gdze s() psychologczne prawdopodobeństwo zwązane z -tym wynkem x. Jednocześne model zakładał, że wartośc wypłat opcj ryzykownych są przez ludz traktowane w sposób lnowy. Przy tych założenach badacze stwerdzl, że psychologczne prawdopodobeństwo przeważało (overweghtng) prawdopodobeństwo obektywne dla p = 0.0 p = 0.05 względem ln dentycznośc oraz nedoważało (underweghtng) prawdopodobeństwa obektywne dla p = 0.25, 0.50, 0.75, 0.95, Punkt przecęca psychologcznego prawdopodobeństwa z lną dentycznośc znajdował sę ponżej p = Badany przez Preston Baratta model ne przyjął sę z powodu braku teoretycznych przesłanek, jednak wskazał na możlwy sposób traktowana przez ludz nskch prawdopodobeństw na pozome wyboru. Najwęcej badań, które pokazały skłonność ludz do zawyżana nskch prawdopodobeństw, uzyskano przy założenach rozszerzonego modelu teor perspektywy, tj. skumulowanej teor perspektywy (cumulated prospect theory, CPT) Tversky ego Kahnemana (992). Nazwa modelu CPT zwązana jest ze sposobem, w jak tworzone są wag decyzyjne jest to jedna z podstawowych cech, która odróżna go od modelu PT. Dzęk pewnym modyfkacjom model CPT radz sobe dobrze z możlwym naruszenem stochastycznej domnacj mającym mejsce w modelu PT pozwala badać gry z węcej nż jedną nezerową wypłatą. Zgodne z CPT całkowta użyteczność opcj P = (w, p ;...; x n, p n ), gdze x... x r 0 x r +... x n wynos: V CPT ( P ) = SEV = r = n = s( p )x, π v( x ) + n + π j j= r+ W modelu CPT wag π () ne tylko zależą od samych prawdopodobeństw, ale równeż od uporządkowana wypłat oraz od tego, czy prawdopodobeństwa zwązane są z zyskam czy ze stratam. Wag decyzyjne dla strat zysków zdefnowane są odpowedno przez: v( x j ). W modelu CPT π oznacza wag decyzyjne zaś funkcja wag decyzyjnych oznaczana jest przez w(). 7

14 ROLA SUBIEKTYWNYCH PRAWDOPODOBIEŃSTW W DECYZJACH Z RYZYKIEM π π + j = w = w + ( ( n k = j k = p k p k ) w ) w ( k = p n + ( pk k= j+ k ) dla ) dla 2 oraz π j n oraz π = w ( p ) = w ( p W formule CPT przez funkcję wag decyzyjnych w() transformowane są prawdopodobeństwa skumulowane dla zysków (czyl take, które opsują prawdopodobeństwo otrzymana danej wypłaty pozytywnej lub jakejkolwek lepszej) oraz zdekumulowane dla strat (czyl prawdopodobeństwo otrzymana danej wypłaty negatywnej lub jakejkolwek gorszej). Stąd wag decyzyjne dla zysków strat otrzymuje sę jako różnce pomędzy transformowanym wartoścam odpowedno skumulowanych zdekumulowanych prawdopodobeństw. Model CPT przyjmuje odwróconą S-kształtną funkcję wag decyzyjnych w() na skal obektywnego prawdopodobeństwa, najperw wklęsłą, a późnej wypukłą. Zwązane jest to z zasadą malejącej wrażlwośc, która oznacza, że ludze stają sę mnej wrażlw na zmany prawdopodobeństw wraz z oddalenem od punktów odnesena (w przypadku funkcj wag decyzyjnych są to punkty 0, nterpretowane odpowedno: z pewnoścą sę ne zdarzy z pewnoścą sę zdarzy ). Według tej zasady przyrosty blsko końców przedzału [0,] mają wększe znaczene nż przyrosty na środku skal. Ponadto, funkcja ta jest regresyjna, tj. przecnająca lnę dentycznośc obektywnego prawdopodobeństwa asymetryczna, z punktem przegęca w punkce blsko /3. Wele badań emprycznych potwerdzło powyższe własnośc funkcj wag decyzyjnych, zwłaszcza nedoważane nskch przeważane średnch wysokch prawdopodobeństw (Camerer Ho, 994; Tversky Kahneman, 992; Tversky Fox, 995; Wu Gonzales, 996; Gonzalez Wu, 999; Abdellaou, 2000; Blechrodt Pnto, 2000). Badana te różnły sę przyjętym postacam funkcj wag decyzyjnych oraz metodą pomaru. Podstawową metodą pomaru służącą do analzy wyborów ryzykownych jest metoda ekwwalentu pewnego 2. Ekwwalentem pewnym opcj ryzykownej nazywamy taką wartość wypłaty, dla której decydentow jest obojętne czy wyberze otrzymane jej z pewnoścą czy tę opcję. W termnach użytecznośc oznacza to, że użyteczność ekwwalentu pewnego jest równa użytecznośc alternatywy zawerającej ryzyko. Przyjmując model CPT można porównać do sebe wartość (użyteczność) opcj ryzykownej oraz jej ekwwalentu pewnego (certanty equvalent, CE). Zgodne z tym mo- + n + n ). 2 Przykładem nnej, mnej czasochłonnej procedury jest metoda dwuetapowa, która w perwszym kroku wykorzystuje tzw. metodę trade-off do wyznaczena funkcj wartośc (Wakker Deneffe, 996), a następne metodę ekwwalentu pewnego do wyznaczena funkcj wag decyzyjnych (Abdellaou, 2000; Blechrodt Pnto, 2000). 8

15 Katarzyna Domurat delem otrzymalbyśmy nastepujące równane dla np. dwuwynkowej loter L = (x, p; x 2, p), gdze x > x 2 > 0: v( CE ) = w( p )v( x ) + ( w( p ))v( x2 ). Po przyjęcu postac funkcyjnej funkcj v() w() możemy łatwo oszacować ch parametry za pomocą technk nestandardowej regresj lnowej. Kahneman Tversky (992) użyl tej metody do oszacowana funkcj wag decyzyjnych z jednym parametrem γ : w( p ) = γ [ p p γ γ + ( p ) ] γ, oddzelne dla loter z dodatnm ujemnym wypłatam. Uzyskal parametr γ = 0.6 dla zysków γ = 0.69 dla strat, z punktem przegęca p = Podobne wynk choć uzyskane nną metodą pomaru uzyskał Abdellaou (2000). Przyjmując taką samą postać funkcj wag decyzyjnych otrzymał oszacowane parametru γ = 0.60 dla zysków γ = 0.69 dla strat. Inną parametryczną specyfkację funkcj wag decyzyjnych przyjęl Gonzales Wu (999). Transformacj obektywnego prawdopodobeństwa dokonywal za pomocą dwu parametrów δ γ : w( p) = δp γ γ δp + ( p) γ. Okazało sę, że dodane drugego parametru zasadnczo ne poprawa jakośc dopasowana danych, pozwala natomast modelować heterogenczność ndywdualnych wynków. Parametr γ kontroluje stopeń wykrzywena (curvature) funkcj wag decyzyjnych, natomast δ stopeń wznesena (elevaton) względem prostej dagonalnej. Parametr γ < δ < mplkują odwróconą S-ksztaltną funkcję wag decyzyjnych. W badanu Wu Gonzalesa w dopasowanu do średnch danych uzyskano parametry: γ = 0.77 δ = 0.44, co ponowne potwerdzło przeważane nskch nedoważane średnch wysokch prawdopodobeństw. Rysunek 2 ponżej przedstawa empryczny kształt funkcj wag decyzyjnych uzyskwany w wymenonych badanach. 9

16 ROLA SUBIEKTYWNYCH PRAWDOPODOBIEŃSTW W DECYZJACH Z RYZYKIEM Rysunek 2. Typowa empryczna funkcja wag decyzyjnych Źródło: Opracowane własne. 4. Problem nskch prawdopodobeństw w decyzjach z opsu dośwadczena W badanach opsanych w poprzednm paragrafe modelowym zadanem używanym w badanach był wybór mędzy opcjam ryzykownym (loteram), o których charakterystykach (wypłatach ch prawdopodobeństwach) respondenc byl nformowan poprzez odpowedn ch ops. Zwykle zarówno wypłaty, jak prawdopodobeństwa z nm zwązane dostarczane były badanym w postac numerycznej lub czasem w przypadku prawdopodobeństw, wzualne. Przykładowo decydentow stawano wybór mędzy udzałem w grze z szansą wygrana 00zł równą 0.5 lub 0 zł w przecwnym wypadku, a otrzymanem 30 zł z prawdopodobeństwem równym. Istneje wele rozmatych formatów prezentowana prawdopodobeństw: ułamk, proporcje, dagramy grafczne czy lczba kul w urne tp. Decyzje z ryzykem opsane z wykorzystanem tych różnych formatów będzemy nazywać decyzjam z opsu (descrptve decsons, DD). W ostatnm jednak czase pewna grupa badaczy skupła sę na nnej klase decyzj. Nazwano je decyzjam bazującym na dośwadczenu (experence based decsons, ED). Idea podzału decyzj na DD ED wzęła sę z próby porównana wyborów w warunkach laboratoryjnych wyborów podejmowanych w śwece rzeczywstym. W realnym 20

17 Katarzyna Domurat śwece rzadko wemy o możlwych konsekwencjach opcj ryzykownych prawdopodobeństwach z nm zwązanych. Czy dane uzyskane z badań emprycznych są adekwatne do rzeczywstych zachowań ludz? W zwązku z tym pytanem rozwnęto metodę badana wyborów mędzy opcjam ryzykownym (loteram) taką, że uczestnkom eksperymentu dostarcza sę nformacj nt. alternatyw poprzez ch własne dośwadczene. Badan poberają tu próbk z rozkładu wypłat charakteryzującego daną loterę. Wybory oparte na takej procedurze nazywa sę decyzjam z dośwadczena (Hertwg n., 2006). Badana bazujące na powyższej metodze pokazały pewne stotne różnce pomędzy rezultatam uzyskanym z decyzj z opsu dośwadczena, zwłaszcza w traktowanu rzadkch zdarzeń (Barron Erev, 2003; Hertwg n., 2004; Weber, Shafr Blas, 2004; Barron n., 2008). Wynk pokazują manowce, że w przecweństwe do zawyżana nskch prawdopodobeństw w decyzjach z opsu, w decyzjach z dośwadczena ludze raczej je nedoważają. W eksperymence Hertwg n. (2004), uczestncy dokonywal wyboru mędzy dwema ryzykownym alternatywam, które reprezentowane były przez dwa przycsk na ekrane komputera. Badan mogl dośwadczać rozkładu wypłat przypsanego do jednego z dwóch wdzanych przycsków, przez nacskane na nego tak długo, jak chcel. Nacskane powodowało losowe pokazywane sę wypłat zgodne z ch rozkładem. Jak tylko respondenc poczul sę wystarczająco przekonan o wedzy na temat pokazywanych ger, proszen byl o dokonane wyboru. Każdy z uczestnków zapoznawał sę (dośwadczał) z sześcoma problemam decyzyjnym. Każda decyzja składała sę z dwóch loter, dla rozróżnena: perwsza z wyższą (H), a druga z nższą (L) wartoścą oczekwaną. Respondenc podzelen byl na dwe grupy, gdze w jednej dokonywal wyboru w warunkach decyzj z opsu, a w drugej w warunkach decyzj z dośwadczena. W obu grupach porównano procent odpowedz, gdze respondenc wybral loterę z wyższą wartoścą oczekwaną. Wynk prezentuje tabela. Uzyskane stotne różnce mędzy grupam w wyborze opcj H (przecętna różnca w każdym z sześcu problemów wynosła 36 punktów procentowych) pokazują dość odmenne śceżk wyboru w jednej drugej grupe. W ostatnej kolumne tabel przewdywany przez autorów kerunek wyboru jest zgodny z przypuszczenem, że w warunkach decyzj z dośwadczena rzadke zdarzena będą mały mnejszy wpływ na wybór, nż na to zasługują w przecweństwe do decyzj z opsu. Według autorów to właśne nedoważane nskch prawdopodobeństw jest odpowedzalne za tak duży rozdźwęk mędzy wyboram z opsu dośwadczena. Analzując tendencję do nedoważana nskch prawdopodobeństw uzyskaną w badanu Hertwg n., Fox Hadar (2006) doszl do wnosku, że można ją przypsać błę- 2

18 ROLA SUBIEKTYWNYCH PRAWDOPODOBIEŃSTW W DECYZJACH Z RYZYKIEM Tabela. Podsumowane zadanych problemów wyboru wynk badana (na podstawe tabel w Hertwg n., 2004). Procent badanych, którzy wybral grę H Gry a Problem (z podzałem na grupy) Predykcja wyborów H b wyboru Decyzje Decyzje Rzadke H L z opsu z dośwadczena zdarzene Wybory H 4, ,.2Wyższy 2 4, 0.2 3, ,.2 Nższy , ,. Nższy , ,.2 Wyższy 5 32, ,. Nższy 6 32, , ,.025 Nższy a Gry dwuwynkowe z jedną wypłatą nezerową postac (x, p). Komórk z pogruboną czconką oznaczają gry zawerające rzadke zdarzene. H gra z wyższą, a L gra z nższą wartoścą oczekwaną. b Pozycje w tej kolumne dentyfkują rzadke zdarzene oraz wskazują, czy procent respondentów, którzy wybral grę H w poszczególnych parach, był przewdywany jako wyższy czy nższy w grupe dokonującej decyzj z dośwadczena od tej dokonującej decyzj z opsu, przy założenu nedoważana rzadkch zdarzeń w grupe decyzj z dośwadczena. dow poberanej próbk (samplng error). Rzeczywśce, badan w tym eksperymence losowal zazwyczaj bardzo małą próbkę z rozkładu wypłat opcj ryzykownych. Średna lczba obserwowanych wypłat oscylowała wokół 5. To prowadzło do uzyskana przez badanych dwumanowego rozkładu (bnomal dstrbutons), w którym bardzo rzadke zdarzena były reprezentowane w nedostatecznym stopnu. (W małych próbkach jest bardzej prawdopodobne, że badan zaobserwują relatywne mnej rzadkch zdarzeń nż to wynka z rozkładu). Fox Hadar twerdzą, że jeżel będzemy rozważal uzyskane wynk w badanu Hertwg n. (2004) w kontekśce zaobserwowanego rozkładu wypłat, to nekoneczne uzyskamy nedoważane nskch prawdopodobeństw. Barron n. (2008) postanowl przebadać rolę błędu próby w decyzjach bazujących na dośwadczenu. Chcel sprawdzć, czy nedoważane rzadkch zdarzeń znkne, jeżel wyelmnuje sę ten błąd. W badanu Barron n. respondenc dokonywal wyboru mędzy tzw. opcją bezpeczną (o dużym prawdopodobeństwe, ale nższej wygranej) a opcją ryzykowną (o nskm prawdopodobeństwe, ale wyższej wygranej) w dwóch zadanych problemach. Badan podzelen zostal na dwe grupy: w perwszej dokonywal wyboru w warunkach decyzj z opsu, a w drugej w warunkach decyzj z dośwadczena. Aby wyelmnować wpływ błędu próby na wynk, w grupe drugej, badan dośwadczal całe spektrum stanów śwata, czyl pełnej sekwencj 00 wypłat (w kolejnośc losowej). (Przykładowo dla loter dającej szansę wygrana 40$ z prawdopodobeństwem 0. oraz 0$ w przecwnym przypadku, uczestncy obserwowal w losowej kolejnośc 0 razy wypłaty o wartośc 40$ 90 razy wypłatę równą 0$.) Wynk badana pokazały, że w warunkach decyzj z opsu 56% respondentów wybrało opcję ryzykowną 44% wybrało opcję bezpeczną. W warunkach decyzj z dośwadczena efekt był odwrotny, tj. 38% badanych wybrało opcję ryzykowną, a 62% 22

19 Katarzyna Domurat wybrało opcję bezpeczną. Wybory te wskazują, że w grupe podejmującej decyzje z dośwadczena znaczne mnejsza waga przypsana była zdarzenom rzadkm nż w grupe decyzj z opsu. Uzyskany wynk sugeruje, że nawet jeżel wyelmnowany zostane błąd próby, to śceżka wyboru będze różnła sę mędzy decyzjam na podstawe dośwadczena opsu. Czy rezultat ten można jakoś wyjaśnć? Sawck Tyszka (w przygotowanu) badal ocenę ryzyka, korzystając z różnych formatów nformacj nt. prawdopodobeństw. Użyl czterech różnych formatów, takch jak: frekwencje, kule w urne, dagramy kołowe oraz format bazujący na dośwadczenu. W warunkach tego ostatnego formatu badan obserwowal serę 00 obrazków przedstawających dzec z bez choroby genetycznej (syndrom Downa). Podobne jak w badanu Barron Ursno (2008) został wyelmnowany błąd próby. Należy dodać, ze Sawck Tyszka zanteresowan byl traktowanem nskch prawdopodobeństw ne na pozome wyboru a na pozome percepcj. Zastosowal pęć różnych welkośc prawdopodobeństw {0.0, 0.03, 0.06, 0.2, 0.20}, stąd skoncentrowan byl na nskch frekwencjach zdarzeń (prawdopodobeństwach wystąpena choroby genetycznej u nowo narodzonego dzecka). Odkryl, że korzystając z formatu prawdopodobeństwa bazującego na dośwadczenu, ocena rzadkch zdarzeń była mnej przeszacowana (overrated), nż w przypadku pozostałych formatów zastosowanych w eksperymence. Jednocześne badan byl bardzej wrażlw na zmany prawdopodobeństw, kedy częstośc były obserwowane, nż kedy przedstawane były w sposób opsowy. Wynk te wskazują, że ludze mogą zanżać nske prawdopodobeństwa w wynku bardzej podstawowych procesów poznawczych nż ogranczony wysłek poznawczy (jak sugerowal Fox Hadar (2006). Może być to raczej zwązane z odmennym przetwarzanem nformacj w warunkach, kedy ludze dośwadczają szanse zdarzeń nż kedy są one m opsywane. Czy wększa wrażlwość na zmany nskch prawdopodobeństw potwerdz sę równeż w kształce funkcj wag decyzyjnych? Gdyby tak było to funkcja wag decyzyjnych dla decyzj z dośwadczena pownna być blżej ln dentycznośc nż funkcja wag decyzyjnych dla decyzj z opsu. Wstępne wynk badana Domurat (2008) zdają sę potwerdzać tę hpotezę. W badanu tym, podobne jak w badanu Barrona n. (2008), prawdopodobeństwo każdego z dwu wynków loter było prezentowane w ten sposób, że uczestncy dośwadczal w kolejnośc losowej pełnej sekwencj 00 wypłat. Rysunek 3 pokazuje, że funkcje wag decyzyjnych dla decyzj z dośwadczena decyzj z opsu różną sę w przewdywanym kerunku. Wyższe parametry γ (zarówno na wykrese A, jak B) uzyskano dla decyzj z dośwadczena nż dla decyzj z opsu. W efekce kształt funkcj wag dla decyzj z dośwadczena blższy jest ln dentycznośc nż dla decyzj z opsu. Oznacza to dwe rzeczy: () w decyzjach opartych na bezpośrednej obserwacj częstośc zdarzeń, ludze wykazują wększą wrażlwość 23

20 ROLA SUBIEKTYWNYCH PRAWDOPODOBIEŃSTW W DECYZJACH Z RYZYKIEM na zmany prawdopodobeństw; (2) zmnejsza sę nedoważane nskch prawdopodobeństw przeważane wysokch prawdopodobeństw. Trzeba jednak podkreślć, że ten ostatn wynk wymaga jeszcze dalszej weryfkacj. Rysunek 3. Dwe funkcje wag decyzyjnych (z jednym z dwoma parametram) oszacowane na podstawe decyzj bazujących na dośwadczenu (krzywe przerywane z badana Domurat, 2008) oraz na podstawe decyzj z opsu (krzywe cągłe: z badana Kahnemana Tverky ego, 992 wykres A oraz z badana Gonzales Wu, 999 wykres B). Źródło: Opracowane własne. Bblografa Abdellaou, M Parameter-free elctaton of utlty and probablty weghtng functons. Management Scence 46: Allas, M Le comportement de l homme ratonnel devant le rsque: crtque des postulats et axomes de l école Amércane. Econometrca 2: Attneave, F Psychologcal probablty as a functon of experenced frequency. Journal of Expermental Psychology 46: Barron, G., Erev, I Small feedback-based decsons and ther lmted correspondence to descrpton-based decsons. Journal of Behavoral Decson Makng 6: Barron, G. Ursno, G., Yecham, E Underweghtng rare events n experence-based decsons: Beyond sample error. HBS Workng Paper, (Academy of Management, OB Dvson, Makng Connectons Award). Bernoull, D. 738/954. Exposton of a new theory on the measurement of rsk, translated by Louse Sommer. Econometrca (pre-986) 22: Blechrodt, H., Pnto, J.L A Parameter-Free Elctaton of the Probablty Weghtng Functon n Medcal Decson Analyss. Management Scence 46:

21 Katarzyna Domurat Camerer, C.F., Ho, T.H Volatons of the betweenness axom and nonlnearty n probablty. Journal of Rsk and Uncertanty 8: Domurat, K Probablty weghtng functon for experence based decsons. W: IAREP Conference Proceedngs. Rome, Italy, 3-6th September 2008, (CD). Edwards, W Probablty-preferences n gamblng. Amercan Journal of Psychology 66: Edwards, W. 954 a. Probablty-preferences among bets wth dfferng expected values. Amercan Journal of Psychology 67: Edwards, W. 954 b. The relablty of probablty-preferences. Amercan Journal of Psychology 67: Edwards, W. 954 c. The theory of decson makng. Psychologcal Bulletn 4: Edwards, W. 96. Behavoral decson theory. Annual Revew of Psychology 2: De Fnett, B La Prévson: Ses Los Logques, Ses Sources Subjectves. Annales de l Insttut Henr Poncaré, 7: -68; przetłumaczone jako Foresght. Its Logcal Laws, Its Subjectve Sources. w: Kyburg, Jr. H.E. Smokler, H.E. (eds.) Studes n Subjectve Probablty. New York: Robert E. Kreger Publshng Co., 980. Fox, C., Hadar, L Decsons from experence= samplng error + prospect theory: Reconsderng Hertwg, Barron, Weber & Erev (2004). Judgment and Decson Makng : Gonzales, R., Wu, G On the shape of probablty weghtng functon. Cogntve Psychology 38: Hackng, I The emergencje of probablty. New York: Cambrdge Unversty Press. Hertwg, R., Barron, G., Weber, E.U., Erev, I Decsons from experence and the effect of rare events. Psychologcal Scence 5: Hertwg, R., Barron, G., Weber, E.U., Erev, I Rare rsky prospects: Dfferent when valued through a wndow of sampled experences. In: K. Fedlerand, P. Jusln (eds.), Informaton Samplng As a Key to Understandng Adaptve Cognton n an Uncertan Envronment (pp. 72-9). New York, NY: Cambrdge Unversty Press. Kahneman, D., Tversky, A Prospect theory: an analyss of decson under rsk. Econometrca 47: Keynes J. M. 92/97. Treatse on probablty. London: MacMllan St. Martn's Press. Lattmore, P.K., Baker, J.R., Wtte, A.D The nfluence of probablty on rsky choce: a parametrc examnaton. Journal of Economc Behavor and Organzaton 7: Lchtensten, Slovc, Fschoff, layman, Combs Judged frequency of lethal events. Journal of Expermental Psychology: Human Learnng & Memory 4: Mosteller, F., Nogee, P. 95. An expermental measurement of utlty. The Journal of Poltcal Economy 59: von Neumann, J., Morgenstern, O. 944/990. Theory of games and economc behavor. Prnceton: Prnceton Unversty Press. 25

22 ROLA SUBIEKTYWNYCH PRAWDOPODOBIEŃSTW W DECYZJACH Z RYZYKIEM Preston, M.G., Baratta, P An expermental study of the aucton value of an uncertan outcome. Amercan Journal of Psychology 6: Ramsey, F.P Truth and Probablty, n Ramsey, 93, The Foundatons of Mathematcs and other Logcal Essays, Ch. VII, p , edted by R.B. Brathwate, London: Kegan, Paul, Trench, Trubner & Co., New York: Harcourt, Brace and Company. Savage, J.L The foundatons of statstcs. New York: John Wley & Sons, Inc. Sawck, P., Tyszka T. (n preparaton). Affectve and cogntve factors nfluencng senstvty to probablstc nformaton. Tversky, A., Fox, C.R Weghng rsk and uncertanty. Psychologcal Revew 02: Tversky, A., Kahneman, D Advances n prospect theory, cumulatve representaton of uncertanty. Journal of Rsk and Uncertanty 5: Wakker, P., Deneffe, D Elctng von Neumann-Morgenstern utltes when probabltes are dstorted or unknown. Management 42: Weber, E.U., Shafr, S., Blas, A.R Predctng rsk-senstvty n humans and lower anmals: Rsk as varance or coeffcent of varaton. Psychologcal Revew : Wu, G., Gonzalez, R Curvature of the probablty weghtng functon. Management Scence 42: