NUMERYCZNE WYZNACZENIE WSPÓŁ CZYNNIKÓW MASY WODY TOWARZYSZĄ CEJ OKRĘ TU PODWODNEGO

Transkrypt

1 ZEZYTY NAUKOWE AKADEMII MARYNARKI WOJENNEJ ROK XLVI NR 2 (161) 25 Adam Pawlę dzio NUMERYCZNE WYZNACZENIE WPÓŁ CZYNNIKÓW MAY WODY TOWARZYZĄ CEJ OKRĘ TU PODWODNEGO TREZCZENIE W pracy przedstawiono wyniki obliczeń numerycznych współczynników mas wody towarzyszącej okrętu podwodnego w zależności od jego zanurzenia. Obliczenia przeprowadzono dla obiektu znajdującego się w określonej odległości od powierzchni akwenu. W rezultacie otrzymano przebiegi zmian współczynników mas wody towarzyszącej w zależności od zanurzenia. Współczynniki określano na podstawie pola potencjału wyznaczanego metodą elementów brzegowych. Wyniki otrzymane za pomocą metody numerycznej zweryfikowano na przykładzie elipsoidy oraz porównano z wynikami badań eksperymentalnych [4]. WTĘP Określenie prawidłowych wartości współczynników hydrodynamicznych obiektu pływającego jest jednym z trudniejszych zadań teorii okrętu. Poszukując rozwiązania tego zagadnienia, przyjmuje się założenia upraszczające: ciecz jest idealna; przepływ jest potencjalny; spełnione jest równanie ciągłości. W literaturze podaje się rozwiązania analityczne dla brył geometrycznych o prostych kształtach, takich jak kula, walec czy elipsoida, poruszających się w obszarze nieograniczonym. Natomiast gdy obiekt porusza się w sąsiedztwie swobodnej powierzchni cieczy lub dna, brak jest rozwiązań ścisłych. W takiej sytuacji rozwiązania problemu można poszukiwać za pomocą metod numerycznych. 115

2 Adam Pawlędzio Do analizy rozpatrywanych zagadnień najbardziej przydatna jest metoda elementów brzegowych. Umożliwia ona poprawne rozwiązanie zagadnienia potencjału, gdy znane są warunki brzegowe. tanowią one główny problem w zadaniach dotyczących przepływów potencjalnych. W przypadku ruchu okrętu podwodnego z dala od swobodnej powierzchni wody i dna, warunki brzegowe określa się tylko na powierzchni obiektu, gdyż warunki omerfelda wynikają z założeń metody elementów brzegowych. W miarę wynurzania się okrętu podwodnego, uwidacznia się wpływ swobodnej powierzchni na rozkład potencjału prędkości. Wówczas rozpatrywany obszar wody ograniczony jest brzegiem składającym się ze swobodnej powierzchni, dna i fikcyjnych ścian wody. Decydujący wpływ na wyniki rozwiązania ma poprawność przyjęcia warunków brzegowych na swobodnej powierzchni. Rozpatrując ruch okrętu podwodnego, założenie upraszczające w postaci płaskiej powierzchni akwenu wprowadza niewspółmiernie mniejszy błąd w porównaniu do okrętu nawodnego. GEOMETRIA OBIEKTU Obiektem badań numerycznych jest hipotetyczny model okrętu podwodnego, którego kształt przedstawiono na rysunku 1. Wymiarami jest on zbliżony do średniej wielkości rzeczywistego okrętu podwodnego. Długość całkowita modelu wynosi 4,2 m, a wysokość 5,6 m. Obiekt traktuje się jako sztywną bryłę ograniczoną powierzchnią. Powierzchnię poddano dyskretyzacji. W rezultacie otrzymano 1258 elementów cztero- i trójwęzłowych. z x L = 4,2 m Rys. 1. Model dyskretny okrętu podwodnego 116 Zeszyty Naukowe AMW

3 Numeryczne wyznaczenie współczynników masy wody towarzyszącej okrętu podwodnego WARUNKI BRZEGOWE Obszar wody otaczający okręt ma kształt prostopadłościanu o wymiarach: L = 426 m, B = 24 m, H = 12 m (rys. 2.). Brzeg tego obszaru składa się z dwóch części: wewnętrznej oraz zewnętrznej. Część wewnętrzną stanowi powierzchnia okrętu, natomiast zewnętrzną swobodna powierzchnia akwenu oraz fikcyjne ściany służące do określenia granic obszaru. Ściany te umieszczono w takiej odległości od okrętu, aby przyjęte na nich warunki brzegowe, odpowiadające wartościom potencjału prędkości w nieskończoności, były spełnione z przyjętą dokładnością. Ze względu na rozmiary okrętu podwodnego, szczególnie istotny jest wymiar L rozpatrywanego obszaru. Z eksperymentu numerycznego wynika, że jest to odległość równa w przybliżeniu czterem długościom modelu. iatka elementów brzegowych na powierzchni wody została zagęszczona ze względu na wyeliminowanie błędu metody, który ma miejsce podczas obliczeń wartości potencjału w punkcie położonym od brzegu w odległości mniejszej niż długość samego elementu. Dno i fikcyjne ściany zdyskretyzowano pojedynczymi elementami. W sumie na obu częściach brzegu zastosowano 273 elementy, na których określono warunki brzegowe. z y x H B L Rys. 2. Kształt rozpatrywanego obszaru wodnego 2 (161)

4 Adam Pawlędzio Na części zewnętrznej obszaru wodnego warunki brzegowe pozostają niezmienne podczas całego procesu obliczeń. Warunki brzegowe na fikcyjnych ścianach obszaru odpowiadają wartościom potencjału prędkości, jaki istnieje w nieskończoności. Dla danych wymiarów obszaru zapisać je można następująco: ϕ( L/2, y, z) = ; ϕ(l/2, y, z) = ; ϕ(x, B/2, z) = ; ϕ(x, B/2, z) =. Warunki brzegowe na swobodnej powierzchni zależą między innymi od jej kształtu, który jest trudny do zamodelowania. W przypadku rozpatrywania ruchu okrętu podwodnego założenie, iż powierzchnia ta jest płaska, nie wprowadza błędu dyskwalifikującego rozwiązanie. Ruch swobodnej powierzchni akwenu nie jest ograniczony żadnymi oddziaływaniami. Wynika stąd wniosek, że na brzegu obszaru nie można przyjąć warunku zerowej wartości prędkości. Rzeczywistość znacznie lepiej odzwierciedla warunek zerowej wartości potencjału prędkości: ϕ(x, y, ) =. Taka postać warunku brzegowego zostanie przyjęta do obliczeń. Warunki brzegowe na wewnętrznej powierzchni obszaru zależą od kształtu okrętu podwodnego. Określa się je przy założeniu jednostkowej prędkości okrętu dla wszystkich stopni swobody. Odpowiadają one wartościom rzutów tych prędkości na kierunek normalny do powierzchni elementu. Dla poszczególnych stopni swobody przedstawia się je następującymi wzorami [3, 4, 6, 7]: = n x, = n y, = n z ; (1) = ynz zn y, = znx xnz, = xn y yn x, (2) gdzie: ϕ i jednostkowy potencjał prędkości dla i-tego stopnia swobody; n kierunek normalnej do powierzchni elementu; n x, n y, n z cosinusy kierunkowe normalnej do powierzchni elementu; x, y, z współrzędne środka elementu. W ten sposób sformułowane warunki brzegowe kompletują dane konieczne do rozwiązania zagadnienia potencjału. 118 Zeszyty Naukowe AMW

5 Numeryczne wyznaczenie współczynników masy wody towarzyszącej okrętu podwodnego RÓWNANIE MACIERZOWE METODY ELEMENTÓW BRZEGOWYCH Na elementach brzegu obszaru zostały określone warunki brzegowe w postaci funkcji ϕ lub jej pochodnej. Znane wartości funkcji ϕ możemy zapisać w wektorze U, natomiast jej pochodnej w wektorze Q: u1 u 2 U = u 3... u N q1 q 2 Q = q 3. (3)... q N Wyrazy w wektorach zapisane są w ten sposób, że jeżeli znana jest wartość funkcji w wektorze U, to wartość pochodnej w wektorze Q jest niewiadomą. Wynika to z faktu, iż tylko jedna z tych wartości jest określona na elemencie brzegu. W metodzie elementów brzegowych zagadnienie potencjału sprowadza się do następującego zapisu macierzowego [1, 2, 7, 8]: HU = GQ. (4) Kwadratowe i symetryczne macierze H i G mają wymiar NxN (N liczba elementów brzegu Ω). Zawierają one tzw. współczynniki wpływu, które oblicza się w postaci całek: ĥ i j g h i j = = j d n j ) h = h i i j ) ϕ d i j j ; (5) dla i j, (6) dla i = j gdzie: ϕ 1 = 4π r rozwiązanie fundamentalne dla zadania przestrzennego. 2 (161)

6 Adam Pawlędzio Po uporządkowaniu równania (4) względem wiadomych i niewiadomych powstaje następujące równanie macierzowe: AX = F. (7) Po rozwiązaniu równania (7) otrzymujemy nieznane wartości potencjału i jego pochodnej na brzegu obszaru. Znajomość tych wartości jest warunkiem kontynuacji obliczeń współczynników mas wody towarzyszącej. WPÓŁCZYNNIKI HYDRODYNAMICZNE Współczynniki mas wody towarzyszącej są funkcją jednostkowych potencjałów prędkości oraz ich pochodnych na kierunku normalnym do powierzchni obiektu. Jednostkowe potencjały prędkości ϕ oblicza się dla sześciu stopni swobody okrętu podwodnego. Otrzymujemy je z rozwiązania zagadnienia potencjału za pomocą metody elementów brzegowych. Natomiast pochodne potencjału prędkości są równe wartości rzutu prędkości jednostkowej na kierunek normalny do powierzchni. Otrzymujemy je z warunków brzegowych. Zapis matematyczny tych współczynników ma następującą postać [4, 5]: m ij i = ρ ϕ j d, (8) Ω gdzie: m ij masa wody towarzyszącej dla i, j = 1, 2,, 6; ρ gęstość wody; ϕ j potencjał prędkości podczas ruchu obiektu z prędkością jednostkową w kierunku osi układu współrzędnych (j = 1, 2, 3) lub podczas obrotu wokół tej osi (j = 4, 5, 6); i pochodna potencjału prędkości, określonego dla i-tego stopnia swobody na kierunku normalnym do powierzchni elementu; Ω powierzchnia zwilżona obiektu pływającego. Macierz współczynników m ij jest kwadratowa i symetryczna. tąd też może istnieć maksymalnie 21 niezerowych wyrazów. Część z nich dla obiektów o symetrycznych kształtach zeruje się. Przykładem jest kula, dla której istnieją tylko trzy 12 Zeszyty Naukowe AMW

7 Numeryczne wyznaczenie współczynników masy wody towarzyszącej okrętu podwodnego wyrazy diagonalne. W literaturze dostępne są analityczne rozwiązania zagadnienia potencjału dla obiektów symetrycznych. Wzory analityczne na współczynniki mas wody towarzyszącej dla elipsoidy można znaleźć między innymi w pracy [5]. W celu weryfikacji poprawności metody numerycznej z rozwiązaniem analitycznym przeprowadzono obliczenia dla elipsoidy, której półosie mają następujące długości: a = 2, m, b = 1,5 m, c = 1, m. Zestawienie wyników obliczeń otrzymanych z obydwu metod przedstawiono w tabeli 1., przy założeniu jednostkowej gęstości wody. Tabela 1. Masy i momenty towarzyszące dla elipsoidy (ρ = 1 kg/m 3 ) Rozwiązanie analityczne Rozwiązanie numeryczne m 11 m 22 m 33 m 44 m 55 m 66 3,36 5,49 11,78 1,53 3,77,618 3,283 5,49 11,76 1,16 3,79,65 Różnice pomiędzy rozwiązaniem analitycznym i numerycznym wynikają między innymi z gęstości siatki elementów oraz zastosowania elementów typu stałego. Lepsze rezultaty można uzyskać, stosując jednocześnie większą liczbę elementów wyższego rzędu, na których funkcja ma nieliniowy przebieg [9]. Prowadząc obliczenia współczynników mas wody towarzyszącej dla okrętu podwodnego, zastosowano również elementy typu stałego, lecz z odpowiednio gęstą siatką. W pierwszej kolejności przeprowadzono obliczenia dla okrętu znajdującego się w obszarze nieograniczonym. Wyniki dla tego punktu obliczeniowego naniesiono na wykresach na rysunku 3. dla zanurzenia T równego 1 metrów, w celu podkreślenia zmian wartości współczynników powyżej określonego zanurzenia. m 11 m 44 2 (161)

8 Adam Pawlędzio m 22 m 55 m 33 m 66 Rys. 3. Charakterystyka zmian współczynników masy wody towarzyszącej przy założeniu zerowej wartości potencjału prędkości na swobodnej powierzchni akwenu Otrzymane wartości współczynników mas wody towarzyszącej mają tendencję malejącą w miarę wynurzania się okrętu. Charakter przebiegu zmian współczynników pokrywa się z wynikami eksperymentalnymi przedstawionymi w pracy [4]. Wartości współczynników zmieniają się płynnie dla początkowych wartości zanurzenia, a następnie po przekroczeniu określonego zanurzenia zachowują stałą wartość. W przypadku współczynnika m 44 nie występują już żadne zmiany po przekroczeniu zanurzenia 15 metrów. Największe różnice zauważalne są natomiast dla współczynnika m 11. Nawet przy zanurzeniu 5 metrów jego wartość nie ustabilizowała się. Procentowy wzrost wartości tego współczynnika wynosi ponad 9%. Kształt obiektu badań wpływa na istnienie pozadiagonalnych współczynników mas wody towarzyszącej, które informują o występowaniu sprzężeń pomiędzy danymi stopniami swobody. W przypadku okrętu podwodnego największe sprzężenia występują pomiędzy ruchem w kierunku osi y i obrotem wokół osi x. Macierz 122 Zeszyty Naukowe AMW

9 Numeryczne wyznaczenie współczynników masy wody towarzyszącej okrętu podwodnego wszystkich współczynników otrzymaną dla zanurzenia 15 metrów, która obrazuje proporcje pomiędzy poszczególnymi współczynnikami, przedstawiono poniżej m ij = WNIOKI Prezentowane wyniki obliczeń są zbieżne z rezultatami badań eksperymentalnych [4]. Współczynniki mas wody towarzyszącej maleją wraz ze zbliżaniem się okrętu podwodnego do swobodnej powierzchni akwenu. Po przekroczeniu zanurzenia 5 55 metrów wartości współczynników można traktować jako stałe. Poszczególne współczynniki masy wody towarzyszącej zmieniają się nieproporcjonalnie w zależności od zanurzenia. Dla rozpatrywanego okrętu podwodnego największe różnice występują w przypadku współczynnika obliczonego dla obiektu poruszającego się wzdłuż osi wzdłużnej, leżącej w płaszczyźnie symetrii okrętu. BIBLIOGRAFIA [1] Burczyński T., Metoda elementów brzegowych w mechanice, WNT, Warszawa [2] Brebbia K, Telles Ż., Wrobel L., Metody granicznych elementow, Izdatelstwo Mir, Moskwa [3] Dobrociński., zturomski B., Świtek J., Numeryczne wyznaczenie pola ciśnienia w otoczeniu bryły sztywnej poruszającej się w cieczy, Zeszyty Naukowe AMW, 1995, nr 2, Gdynia [4] Gniewszew J., Wpływ swobodnej powierzchni wody na towarzyszące masy i momenty bezwładności okrętu podwodnego przy pływaniu w położeniu podwodnym, Zeszyty Naukowe WMW, 1982, Nr 72A, Gdynia (161)

10 Adam Pawlędzio [5] Pawłowski M., Dynamika płynów idealnych, raport techniczny nr 44, PR, Gdańsk 21. [6] Pawłowski M., Reakcje hydrodynamiczne, raport techniczny nr 45, PR, Gdańsk 22. [7] Świtek J, zturomski B., Numeryczne wyznaczenie pola prędkości cieczy wokół okrętu podwodnego przy zastosowaniu metody elementów brzegowych, Zeszyty Naukowe AMW, 1994, nr 2, Gdynia [8] Świtek J., Wyznaczenie ciśnienia indukowanego ruchem okrętu na dnie akwenu o ograniczonej głębokości, Marine Technologi Transactions, 1995, Vol. 6, Polish Academy of cience, Gdańsk [9] Zienkiewicz O. C., Metoda elementów skończonych, Arkady, Warszawa ABTRACT The paper presents the results of numerical calculations of hydrodynamic coefficients carried out with the boundary elements method for a submarine. The calculations were made for an object at some distance from the surface. As a result obtained were courses of coefficients of accompanying water masses, depending on the depth. The coefficients were calculated on the basis of field potential calculated with the edge element method. The results obtained with the numerical method were verified against an ellipsoid and compared with the results of the experimental investigations. Recenzent prof. dr hab. inż. Jan zantyr 124 Zeszyty Naukowe AMW