BUDOWA I WŁASNOŚCI CZĄSTECZKOWE GAZÓW

Transkrypt

1 BUDOWA I WŁASOŚCI CZĄSTECZKOWE GAZÓW

2 ATOMY I CZĄSTECZKI Jednostka masy: u ( unit) = masy izotou 6C =, kg Jednostkę u rzyjęło się także nazywać daltonem (Da) na cześć twórcy wsółczesnej teorii atomowej Johna Daltona. John Dalton ( ) Masa atomowa lub cząsteczkowa (wielkość bezwymiarowa): µ = masa atomu lub molekuł y u Gramoatom lub gramocząsteczka (inaczej mol): µ wyrażyra w gramach Stała Avogadro = liczba atomów lub cząsteczek w molu substancji A g.kg 3 mol = mol = = mol u.66 kg Masa mola substancji wyrażona w kg: m = A µ u µ Amadeo Avogadro ( ) Koncentracja molekuł = liczba molekuł w jednostce objętości (w jednostkach cm -3, m -3 ): n = ρ m A µ g ρ = gęstość masowa substancji w jednostkach 3 cm kg lub 3 m

3 Siły międzyatomowe w cząsteczkach oraz międzycząsteczkowe są siłami elektromagnetycznymi. Atomy, cząsteczki oddziaływują orzez trwałe lub indukowane elektryczne momenty diolowe. Są to tzw. siły van der Waalsa (siły odychające rzy małych odległościach między atomami, cząsteczkami oraz rzyciągające na odległościach dużych). U (r) siły odychające r Johannes D. van der Waals (837-93) agroda obla: 9 siły rzyciągające 3

4 CIŚIEIE GAZU A ŚCIAKI ACZYIA (MODEL GAZU DOSKOAŁEGO) Gaz idealny jest modelowym rzybliżeniem gazu doskonałego. W gazie idealnym atomy (molekuły) zachowują się jak ciała doznające nieustannie zderzeń srężystych ze sobą i ściankami naczynia. W jednorodnym gazie wszystkie molekuły osiadają tę sama masę m. Ciśnienie jest równe liczbowo sile działającej na jednostkę owierzchni naczynia, ciała: Jednostki ciśnienia: Pa (ascal) = /m ( = niuton) atm (atmosfera techniczna) = Atm = 5 Pa = hpa (zależność rzybliżona) Atm (atmosfera normalna) = ciśnienie hydrostatyczne słua rtęci o wysokości h = 76 mm =.76 m, ρ = 3.6 g/cm 3 = 3 6 kg/m 3 - gęstość rtęci, = F S g = 9.8 m/s - rzysieszenie ziemskie = ρgh 4

5 Podczas zderzenia ze ścianką naczynia i ta molekuła osiadająca ęd (mv i ) oddziałuje na ściankę siłą doznając zmiany ędu w czasie t: F i (mv = t Ciśnienie wywierane rzez gaz na ścianki naczynia, zawierający i ) z liczbę molekuł, jest równe sumie ciśnień cząstkowych i wywieranych rzez ojedyncze molekuły. Koncentracja molekuł wynosi: n = V F v = S 3 i i i Można udowodnić, że: i = = nm = nm < v > i= i 3 ivi < v >=, i - liczba molekuł o rędkościach v i, <v > - średnia kwadratu rędkości, < > rędkość kwadratowa ruchu ostęowego molekuł Ciśnienie można wyrazić orzez średnią energię kinetyczną ojedynczej molekuły gazu x v x v z v y y v - średnia m < v > = nm < v >= n = n < mv >= n < ε > < ε > - średnia energia kinetyczna ruchu ostęowego ojedynczej molekuły 5

6 RÓWAIE STAU GAZU DOSKOAŁEGO Dla mola gazu V = RT ciśnienie gazu na ścianki naczynia V objętość gazu (naczynia) T temeratura gazu (w K) R uniwersalna stała gazowa R = 8.3 J K - mol - Dla masy M gazu (liczby molekuł ) M V = RT = µ A RT V = nv < ε >= < ε > 3 3 RT = < ε > A 3 R A 3 = k < ε >= kt Stała Boltzmanna k = R A 6

7 ZASADA EKWIPARTYCJI EERGII (zasada równego odziału energii omiędzy stonie swobody molekuł) Stonie swobody sosoby magazynowania energii rzez molekułę. Gaz atomowy (cząsteczka -atomowa). Cząsteczka gazu rzedstawia sobą unkt materialny, który wykonuje ruch ostęowy w trzech kierunkach rzestrzeni: x, y, z i osiada w tych kierunkach trzy składowe rędkości. Ze składowymi tymi związane są odowiednio 3 wartości energii kinetycznej ruchu ostęowego. Cząsteczka taka osiada 3 stonie swobody ruchu ostęowego (i = 3). x z y unkt materialny (gaz - atomowy) Gaz atomowy. Cząsteczka rezentuje sobą układ dwóch unktów materialnych (bryła sztywna), które orócz ruchu ostęowego mogą wykonywać ruch obrotowy wokół dwóch, wzajemnie rostoadłych, osi obrotu. Z ruchem tym związane są wartości energii ruchu obrotowego, stonie swobody ruchu obrotowego. Gaz atomowy osiada i = 3 + = 5 stoni swobody (gaz - atomowy) możliwe osie obrotu 7

8 Gaz 3- lub więcej atomowy (układ 3 lub więcej unktów materialnych) Molekuła gazu (bryła sztywna) osiada 3 stonie swobody ruchu ostęowego oraz 3 stonie swobody ruchu obrotowego, związane z możliwością ruchu obrotowego wokół trzech osi obrotu. Gaz 3- lub więcej atomowy osiada i = = 6 stoni swobody (gaz 3- lub więcej atomowy) 3 możliwe osie obrotu Zasada ekwiartycji brzmi: na każdy, ojedynczy stoień swobody molekuły rzyada jednakowa wartość energii, wynosząca: < ε >= kt Całkowita energia kinetyczna ruchu ostęowego (ruchu cielnego) ojedynczej molekuły wynosi: i < ε >= kt i liczba stoni swobody 8

9 EERGIA WEWĘTRZA GAZU DOSKOAŁEGO (energia ruchów cielnych wszystkich molekuł gazu) Energia wewnętrzna mola gazu: U U = < ε >= A i = RT i kt A = i R A A T = i RT Energia wewnętrzna dowolnej masy gazu: U = i m µ RT m masa wszystkich molekuł, µ masa mola gazu (gramocząsteczka, gramoatom) CIEPŁO WŁAŚCIWE MOLOWE GAZÓW (cieło otrzebne do ogrzania mola gazu) Cieło właściwe molowe w stałej objętości Cieło właściwe rzy stałym ciśnieniu du i i + C V = = R C = C V + R = R dt C i C V gazu doskonałego nie zależą od temeratury 9

10 CIEPŁO WŁAŚCIWE GAZÓW WIELOATOMOWYCH W miarę wzrostu temeratury gazu molekuły wykonują coraz bardziej złożone ruchy cielne. Oznacza to zwiększanie się liczby stoni swobody i w związku z tym, wzrost wartości cieła właściwego gazu rzy stałym ciśnieniu i w stałej objętości. Doświadczenie: zależność C V od temeratury dla wodoru cząsteczkowego H (najrostsze molekuły gazu). C v [J/(mol. K)] 3 7/ R 5/ R 3/ R gaz doskonały 5 5 H T [K] Doświadczalna zależność C v od temeratury dla H Widmo energii molekuł dla ruchu ostęowego jest widmem ciągłym, dla ruchu rotacyjnego i drgającego widmem dyskretnym. Oznacza to, że energia tych dwóch ostatnich ruchów odlega kwantowaniu (inaczej molekuły osiadają kwantowe stonie swobody. W miarę wzrostu temeratury wodoru rośnie liczba stoni swobody molekuł.

11 PRZEMIAY GAZU DOSKOAŁEGO azwa rzemiany izotermiczna (T = const.) Równanie rzemiany rawo Boyle a-mariotte a Postać I zasady termodynamiki Q = W z lub Q = W u, zaś U = Przykład rzemiany bardzo owolne srężanie gazu w naczyniu o ściankach dobrze rzewodzących cieło Wykresy

12 azwa rzemiany Równanie rzemiany Postać I zasady termodynamiki Przykład rzemiany Wykresy izobaryczna ( = const.) rawo Guy-Lusaca U = Q + W z (srężanie izobaryczne) lub U = Q W z (rozrężanie izobaryczne) ogrzewanie gazu w szczelnym naczyniu, które zamknięte jest ruchomym tłokiem

13 azwa rzemiany Równanie rzemiany Postać I zasady termodynamiki Przykład rzemiany Wykresy izochoryczna (V = const.) rawo Charlesa U = Q (ogrzewanie izochoryczne) lub U = Q (ochładzanie izochoryczne) ogrzewanie gazu w szczelnie zamkniętym naczyniu, zbudowanym z materiału o bardzo małej rozszerzalności cielnej 3

14 azwa rzemiany adiabatyczna (, V, T zmieniają się, ale Q = ) Równanie rzemiany V κ = const. Przykład rzemiany Wykres gdzie: to wykładnik adiabaty. srężanie owietrza w silniku Diesla. 4

15 KWATOWAIE EERGII ROTACJI MOLEKUŁ Energia rotacji molekuły Kwantowa wartość momentu ędu J Kwantowe wartości energii rotacji Odległość oziomów energetycznych (zmiana energii rotacji) J E R = Iω = ( J = Iω) I I - moment bezwładności molekuły, J - moment ędu (kręt), ω - rędkość kątowa rotacji J = l( l + ) h / π l =,,,..., n h - stała Plancka, l - liczba kwantowa rotacji E R E l(l + )(h / π) = I R (l + )(h / π) = E(l + ) E(l) = I Układ rotacyjnych oziomów energetycznych molekuły 5

16 TERMICZE WZBUDZEIA STAÓW ROTACYJYCH MOLEKUŁ Molekuła atomowa osiada i = stonie swobody ruchu rotacyjnego (oraz 3 stonie swobody ruchu ostęowego). Energia rotacji molekuły wynosi: i E R = kt = kt Zmiana energii rotacji: E (l + )(h / π) = k T = I Przejście między stanami energetycznymi o l = i l = Wymagana zmiana temeratury zależy od różnicy wartości liczb kwantowych oraz momentu bezwładności molekuły. Dla molekuł o różnych momentach bezwładności kolejne zmiany stanu energetycznego wymagają dostarczenia różnej ilości cieła, tj. różnej zmiany temeratury gazu. R wymaga zmiany energii cielnej, tj. zmiany temeratury gazu o (h / π) T = ki Wielkość H HCl O I [ -45 kg*m ] 4,7 6,8 94 T [K] E Energia E = h = I rotacyjne oziomy energetyczne molekuły h I 6

17 KWATOWAIE EERGII DRGAŃ (EERGII OSCYLACJI) Kwantowa wartość energii drgań oscylatora harmonicznego rostego wynosi: E osc = (n + ) hν n =,,,... liczba kwantowa drgań, h stała Plancka, ν częstość drgań Różnica energii kolejnych stanów oscylacyjnych: E osc = hν(n + + ) hν(n + ) = hν Poziomy oscylacyjne są jednakowo odległe o wartość hν. (Inaczej: różnica energii kolejnych stanów ruchu drgającego oscylatora harmonicznego wynosi zawsze hν). n E 3 7/. hν /. hν Widmo stanów oscylacyjnych molekuły 7

18 TERMICZE WZBUDZEIE STAÓW OSCYLACYJYCH MOLEKUŁ Molekuła -atomowa osiada i = 3 stonie swobody E osc 3 = hν = k T hν T = K 3k RUCHY CIEPLE MOLEKUŁ GAZU Molekuły gazu wykonują chaotyczne (nieuorządkowane) ruchy cielne doznając nieustannych zderzeń Średnia droga swobodna molekuł n i v i l l l 3 kolejne zderzenia wybranej molekuły gazu Średnia droga swobodna molekuły jest równa średniej odległości między zderzeniami: k liczba zderzeń w ewnym rzedziale czasu < l >= l + l + l 3 + k... 8

19 Prawdoodobieństwo zderzenia dwóch molekuł określone jest orzez tzw. rzekrój czynny na zderzenie σ. Molekuła w czasie zderzenia rzedstawia sobą tarczę o średnicy d równej średnicy molekuły d d d σ = πd molekuła tarcza o średnicy d Z rozważań statystycznych dla dużej liczby zderzeń < l >= wynika wzór na średnią drogę swobodną π =, n koncentracja molekuł nd nσ Przykład: średnia droga swobodna molekuł owietrza (raktycznie azotu cząsteczkowego ) T = 73 K, = atm, co odowiada n = 3 9 cm -3, d = - m - tyowy rozmiar rostych molekuł, <l> = -7 m Przekrój czynny na zderzenie σ =. -9 m Jednostka rzekroju czynnego: barn = b = -4 cm = -8 m ; σ ( ) = 9 b < v > vi Częstość zderzeń (liczba zderzeń w jednostce czasu, n. w ciągu sekundy): ν = = nσ < v >= < l > <v> - rędkość średnia (średnia arytmetyczna), - całkowita liczba molekuł, ν = 5 9 s - (ięć miliardów zderzeń w ciągu sekundy doznają molekuły owietrza w warunkach normalnych) średni czas między zderzeniami: < τ >= = ν s 9

20 ATMOSFERA ZIEMSKA Zmiany własności atmosfery ziemskiej z wysokością nad oziomem morza h [m] [atm] <l> [m] [cm -3 ] Duże h ojęcie średniej drogi swobodnej traci sens. Działanie ola grawitacyjnego owoduje, że molekuły oruszają się o torach balistycznych i ZMIAA CIŚIEIA Z WYSOKOŚCIĄ W ATMOSFERZE ZIEMSKIEJ mogą uciekać z atmosfery! Ciśnienie hydrostatyczne gazu, cieczy o gęstości ρ i wysokości słua h, g rzysieszenie ziemskie. Dla wysokości h = (na oziomie morza) ciśnienie wynosi, a gęstość owietrza ρ. dx x oziom morza x = ρ h

21 = ρgh d(x) = ρ(x)gdx d = ρg dx ρ(x) (x) = ρ ρ = ρ d dx = gρ d gρ = dx Powyższe równanie różniczkowe jest równaniem o zmiennych rozdzielonych, które całkujemy w granicach od do (x) i od do x. [atm] ln d = x gρ gρ = ex x = gρ α gρ = x g = 9.8m / s 5 =. / m e αx ρ =.kg / m 3 α =.6 4 m o t = C =.6km d dx = ρ g = α o e dx d = ρ g = const dx = ρ g x, uwzględnia zmiany g i t z wysokością głębokość [km] oziom morza (x) = ρgx (x) = o e dx wzór barometryczny wysokość [km]

22 ROZKŁAD PRĘDKOSCI MOLEKUŁ W GAZIE Funkcja rozkładu rędkości ozwala określić ile molekuł osiada rędkości zawarte w rzedziale (v, v+dv) Funkcja rozkładu oznacza rawdoodobieństwo tego, że w układzie złożonym z bardzo dużej liczby molekuł znajdziemy molekułę o rędkości z rzedziału (v, v+dv) Funkcja rozkładu ozwala wyznaczać wartości średnie, n. <v>, <v > Postać funkcji rozkładu jest określany na gruncie fizyki statystycznej ROZKŁAD MAXWELLA Gaz składa się z cząsteczek o różnych rędkościach w danej temeraturze i danym ciśnieniu. Stan taki jest sowodowany nieustającymi zderzeniami molekuł i rzekazem ędu. ajbardziej rawdoodobny rozkład rędkości wielkiej liczby cząstek Funkcja rozkładu Maxwella ma ostać: m (v) = 4π πkt 3 całkowita liczba cząsteczek w róbce gazu, k stała Boltzmanna, T temeratura gazu, m masa ojedynczej cząsteczki, (v)dv liczba cząsteczek w róbce gazu o rędkościach z rzedziału (v, v+dv) v e mv kt

23 (v) T (v ) oznacza liczbę cząsteczek rzyadających na jednostkowy rzedział rędkości. Pole owierzchni od krzywą jest równe całkowitej T liczbie cząsteczek: = (v)dv. Funkcja rozkładu rędkości ozwala wyznaczyć wartości średnie rędkości: (v)dv v <v> < v Kształt funkcji Maxwella dla dwóch różnych temeratur gazu T < T. Im mniejsza masa, tym większa liczba molekuł o dużych rędkościach w danej temeraturze,.: H,, O w górnych warstwach atmosfery. H Ucieka łatwiej z górnych warstw niż O i. > v Prędkość średnią (arytmetyczną): Prędkość średnią kwadratową: < v < v >= (v)vdv (v)v dv > = Prędkość najbardziej rawdoodobną v, która oznacza ołożenie maksimum funkcji rozkładu na osi rędkości. Relacje liczbowe między oszczególnymi rędkościami: 8kT < v >= =. 59 πm kt m, kt < v > =. 73, m kt v = =. 4 m v < <v> < < v > inaczej (v < < v > < < > v < v > λ < l > v ) kt m 3

24 ZJAWISKA TRASPORTU W GAZACH Dyfuzja - transort masy Przewodnictwo cielne - transort energii Lekość - transort ędu DYFUZJA Samorzutnie rzebiegający roces wyrównywania koncentracji molekuł na skutek ich ruchu cielnego Układ (gaz) nie jest w stanie równowagi, ale do niej dąży (może być termodyfuzja = rzemieszczanie się molekuł sowodowane różnicą temeratur objętości gazu) Możliwe zjawiska dyfuzyjne: - autodyfuzja (samodyfuzja) - dyfuzja wzajemna - termodyfuzja 4

25 DYFUZJA cd. dn dz = grad n n - koncentracja molekuł z dn - gradient koncentracji dz jd - gęstość rądu dyfuzji (liczba molekuł na n j D jednostkę owierzchni rostoadłej do j D na z sekundę) Równanie dyfuzji j D = wsółczynnik dyfuzji: dn j D = D dz D = λ v 3 D~ -5 m, w gazach (model gazu doskonałego) s ( v, λ - średnia droga swobodna, średnia rędkość) Równanie dyfuzji inaczej: j M d dρ = D ( mn) = D dz dz gęstość strumienia masy (m = masa molekuły) wsółczynnik dyfuzji: T = const, D~ 3 = const, D~ T D = 3 dla danego gazu kt σ 8kT πm n.: H D=6.6-5 m /s O D=.93-5 m /s wsółczynnik samodyfuzji w warunkach normalnych 5

26 PRZEWODICTWO CIEPLE ρ=const, zmienne T w objętości gazu T=T(z) z Równanie transortu cieła (energii) = gęstość rądu energii [j Q ]=J/(m s), [κ]=w/(mk) j Q dt = κ dz Wsółczynnik rzewodnictwa cielnego (model gazu doskonałego) T j Q dt = grad T; dt dz dz > κ = n λ v k f 3 k - stała Boltzmana, f - liczba stoni swobody n.: H κ=6.8 - W/(m/K) O κ=.4 - W/(m/K) z κ = λ v c V 3 c V - odniesione do jednostki objętości ( v ~ T ) κ ~ T κ - nie zależy od n a więc i 6

27 TRASPORT PĘDU (LEPKOŚĆ, TARCIE WEWĘTRZE) Przekaz ędu między warstwami gazu o różnej rędkości (w ruchu uorządkowanym) u u Zmiana ędu molekuły = m u u ) ( z u,u - rędkości warstw Gęstość strumienia ędu {ęd/(m s)} j du = η dz Równanie lekości [η]=kg/(ms) u j η nmvλ = ρvλ 3 3 = - wsółczynnik lekości du dz = grad u η ~ T ; η - nie zależy od z n.: H η=.84-5 kg/(ms) O η=.4-5 kg/(ms) w warunkach normalnych UWAGA: Ćwiczenia na racowni fizycznej Pomiar wsółczynnika lekości cieczy Pomiar wsółczynnika lekości owietrza v gaz, ciecz 7