DENJOY DAWNIEJ I DZIŚ P. Walczak, Będlewo 2007

Transkrypt

1 DENJOY DAWNIEJ I DZIŚ P. Walczak, Będlewo Klasycznie: przykład i twierdzenie Denjoy on S Ogólnie: pewne działania grupy Z d na S Szkic dowodu: wędrówki losowe po grupach. 4. Wymiar > 1.

2 Definicja. zbiorem minimalnym (dla działania grupy, pseudogrupy, dla foliacji) nazywamy zbiór domknięty, niepusty, nasycony i minimalny ze względu na te własności. zbiór minimalny wyjątkowy (EMS = exceptional minimal set), to taki zbiór minimalny, który nie jest całą przestrzenią i który nie redukuje się do pojedynczej orbity (pojedynczego liścia). Problem ogólny. Kiedy EMS y istnieją, a kiedy nie? (1) w wymiarze 1, tj. na S 1, (2) w wymiarze > 1.

3 LITERATURA [Den] A. Denjoy, Sur les courbes def. par des eq. diff. sur la tore, J. Math. Pure Appl., 11 (1932), [C-LN] C. Camacho, A. Lins Neto, Geometric Theory of Foliations, Birkhäuser, [Tam] I. Tamura, Topologija slojenij, Izdatelstwo MIR, Moskwa [Her] M. Hermann, Sur la conjugaison diff. des diffeo. du cercle a des rotations, Publ. Math. IHES 49 (1979), [DKN] B. Deroin, V. Kleptsyn, A. Navas, Sur la dynamique unidimensionelle en regularite intermediate, Preprint, arxiv:math.ds/ [BNW] A. Biś, H. Nakayama, P.W., Modelling minimal foliated spaces with positive entropy, preprint na pawelwal (w druku: Hokkaido Math. J.). [CC] A. Candel, L. Conlon, Foliations I i II, Amer. Math. Soc i [W] P.W., Dynamics of Foliations, Groups and Pseudogroups, Monografie Matematyczne 64, Birkhaüser First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

4 TWIERDZENIE DENJOY Jeżeli f jest C 2 -dyfeomorfizmem okręgu S 1, to albo wszystkie orbity f są gęste, albo istnieje orbita skończona. PRZYKŁAD DENJOY α / Q, n Z, x n = {nα} = część ułamkowa nα, f(x) = {x + α} dla x I = [0, 1] ( = obrót o kąt α przy utożsamieniu S 1 = [0, 1]/{0 1}) I n = odcinek długości l n = 1/(1 + n 2 ) f n : I n I n+1 odwzorowanie przedstawione na następującym rysunku:

5 Rysunek 1: Wstawka Denjoy. First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

6 wstawiamy w I odcinek I n w punkcie x n, n Z otrzymujemy odcinek J = [0, 1] n Z I n L = długość (J) = 1 + n Z 1 < + 1+n 2 S 1 = J/{0 L} definiujemy F : F (x) = f(x) gdy x I F (x) = f n (x) gdy x I n Wtedy: (1) F : S 1 S 1 jest dyfeomorfizmem klasy C 1 (bo l n l n+1 1, gdy n ), (2) F nie ma orbit gęstych, (3) F nie ma orbit skończonych.

7 UOGÓLNIONY PRZYKŁAD DENJOY Jak poprzednio, I = [0, 1]. d N, d 2 α 1,..., α d / Q niezależne nad Q m = (m 1,..., m d ) Z d m + 1 j = (m 1,..., m j + 1,..., m d ) dla j = 1,..., d wybieramy K N (K 2) i ε > 0 1 I m = odcinek długości l m = ( m m d +K) d (log( m m d +K)) 1+ε p m = {m 1 α 1 + m d α d } I wstawiamy w I odcinki I m w punktach p m otrzymujemy odcinek J długości L = 1 + m Z d l m < + oraz okrąg S 1 = J/{0 L}

8 Dla a > 0: φ a (t) = a 2 + a π arctan(at) gdy t R. φ a : R {± } [0, a] ( na ) Dla a, b > 0: φ a,b = φ b φ 1 a Wtedy: (1) φ a,b(φ a (u)) = u2 +1/a 2 u 2 +1/b 2 : [0, a] [0, b] ( na ) Podobnie: φ I,J dla dowolnych odcinków I, J R. Dalej: dla j = 1,..., d: f j (t) = {t + α j } (obrót o kąt α j na S 1 ) f j = φ Im,I m+1j : I m I m+1j dla m Z d Wtedy, f 1,..., f d generują działanie grupy Z d bez orbit gęstych i bez orbit skończonych.

9 Gładkość odwzorowań f j : (i) Warunek (1) plus warunek lim m l m /l m+1j = 1 implikują relację f j C 1. (ii) Oszacowanie φ a,b 6π a b a 1 implikuje (po dość żmudnych rachunkach) f j C 1+η, gdzie Stąd, η(s) = s 1/d (log(1/s)) 1/d+ɛ. f j C 1+1/d ɛ.

10 TWIERDZENIE. Jeśli d 2 i ɛ > 0, to każde działanie wolne grupy G = Z d na S 1 klasy C 1+1/d+ɛ jest minimalne. Szkic dowodu. Założenia: d = 2, g 1, g 2 - generatory G, działanie nie jest minimalne, więc S 1 zawiera G-niezmienniczy zbiór Cantora C, I - luka w C. Obserwacja: poniważ działanie jest wolne, więc obrazy g(i), g G, są parami rozłączne. Narzędzie: (Ω, µ), gdzie Ω = zbiór nieskończonych dróg w przód w grafie Cayleya grupy G, µ - miara prawdopodobieństwa na Ω wyznaczona przez P ((m, n) (m+1, n)) = m + 1 n + 1, P ((m, n) (m, n+1)) = m + n + 2 m + n + 2.

11 Lemat 1. Jeżeli r > 1/2 i l r (ω) := k 0 g i k... g i1 (I) r, gdy ω = (g i1, g i2,...) Ω, to l r (ω) < dla µ-p.w. ω Ω. Dowód. Wystarczy pokazać, że wartość oczekiwana E(l r ) jest skończona: (bo r 1 r > 1). E(l r ) = g1 m g2 n (I) r k 0 m+n=k k + 1 na mocy Höldera 2 ( < g G g(i) ) r ( 1 r k r/(1 r)) k 1

12 Wniosek 1. Jeśli A >> 0, to Ω(A) := {ω Ω; l r (ω) < A} ma dodatnią miarę. Lemat 2. [Sacksteder - uproszczony] Dla każdego A > 0 istnieje stała δ > 0 taka, że jeśli h = g in... g i1, n k=0 g ik... g i1 (I) r < A i h(i) leży w δ-otoczeniu I, to h posiada hiperboliczny punkt stały. (Dowód: oparty na tzw. oszacowaniach Schwartza-Sackstedera wynikających z nierówności log g (x) log g (y) C x y r, g = g 1, g 2 i prawa łańcucha - szczegóły patrz [CC].)

13 Niech teraz K := prawostronne δ-otoczenie I, zaś h n (ω) := g in... g i1 gdy ω = (g i1, g i2,...) Ω. Lemat 3. Zbiór X = {ω Ω; h n (ω)(i) K, n = 1, 2,...} ma miarę µ zero. Dowód. (1) Działanie naszej grupy jest semi-sprzężone z grupą obrotów: ściągając do punktu składowe dopełnienia S 1 C otrzymujemy topologiczny okrąg, na którym nasze generatory g 1 i g 2 mają niewymierne liczby obrotu. Zatem: istnieje N N takie, że ( luki J S 1 C) ( n 1, n 2 N) g n 1 1 (J) K, g n 2 (J) K. (2) Z określenia miary µ wynika, że prawdopodobieństwo przejścia w górę (odp. w prawo ) jest 1/2 powyżej (odp., poniżej) przekątnej w diagramie Cayleya grupy Z 2.

14 (3) Z (1) i (2) wynika, że dla dowolnego k N mamy: µ(x) µ({ω Ω; h n (ω) K, n = 1, 2,..., kn}) (1 2 N ) k 0 gdy k. Teza twierdzenia (dla d = 2) wynika bezpośrednio z powyższych faktów: jeśli A >> 0, ω Ω(A) i h n (ω)(i) K dla pewnego n N, to h n (ω) posiada (hiperboliczny) punkt stały, sprzeczność. Uwaga. Dla dowolnego d, rozważamy miarę µ wyznaczoną przez P ((n 1,..., n d ) (n 1,... n j + 1,... n d )) = n j + 1 j n j + d dla j = 1,..., d. Reszta praktycznie bez zmian. First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

15 4. Wymiar > 1. M (dim M = m) rozmaitość riemannowska, zwarta S = M i B i podzbiór M otrzymany przez usunięcie ciągu zerowego (null sequence) kul otwartych B i, i = 1, 2,... o parami rozłącznych domknięciach B i i takich, że suma i B i jest gęsta w M. Analogicznie do G. T. Whyburn, Topological characterization of the Sierpiński curve, Fund. Math. 45 (1958), mamy, że zbiory S i S otrzymane z M przez usunięcie dwu różnych ciągów zerowych są homeomorficzne. Dla M = S 2, S = klasyczny dywan Sierpińskiego stąd tu Definicja. S = M-dywan Sierpińskiego. G skończenie generowana grupa izometrii M. Założenie: ( x M) orbita G(x) jest gęsta na M i działanie G na G(x) jest wolne.

16 Twierdzenie. Istnieje grupa G homeomorfizmów M izomorficzna z G i posiadająca M-dywan Sierpińskiego jako zbiór minimalny. Szkic dowodu. G 1 = skończony i symetryczny zbiór generujacy G G n = {g 1... g n, g j G 1 } Indukcyjnie względem n wstawiamy w M geodezyjne dyski B h o środkach h(x) i małych promieniach ρ n, h G n : ρ n+1 = 1 3(1 + n 2 ) min{ε, d n(h(x), B h ), h G n, h G n+1 G n }, gdzie ε = 1 2 promień injektywności na M

17 Używamy do tego G-zgodnych współrzędnych normalnych: jeżeli u = (r, θ) są takimi współrzędnymi w punkcie x, to u h = u h 1 dla h G. Rysunek 2: Wstawianie dysków.

18 Dla każdego g G 1, indukcyjnie określamy homeomorfizmy g n : M n = M h Gn B h M takie, że g n = g na M. Określamy M jako granicę odwrotną systemu (M n, π n ), gdzie π n : M n+1 M n jest naturalnym odwzorowaniem ściągającym zbędne dyski do punktu. Na mocy tzw. decomposition theory (patrz R. J. Daverman, Decomposition of manifolds, Academic Press 1986) M jest homeomorficzne z M. Odwzorownia g n : M n M n dają odwzorowania g : M M generujące poszukiwaną grupę G.

19 Problemy otwarte 1. W [DKN] pozostaje (?) otwarty przypadek różniczkowalności klasy C 1+1/d : uogólnione twiedzenie Denjoy działa w klasie C 1+1/d+ε, uogólniony przykład Denjoy w klasie C 1+1/d ε (ε > 0). 2. W [BNW] nie rozważano gładkości w ogóle. Jak więc gładka może być tamtejsza konstrukcja? Dowolnie? Eeee, raczej nie. Jest więc możliwe coś na kształt twierdzenia Denjoy w wymiarze > 1?