Aksjomatyka arytmetyki finansowej
|
|
- Kornelia Cieślik
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Krzysztof Paseck Aksjomatyka arytmetyk fasowej Problem badawczy Peądz odpowedo traktoway zwększa swą wartość wraz z upływem czasu. Jest to przyrost wartośc realej będącej aturalą kosekwecją ogólego keruku rozwoju społeczośc ludzkej, polegającej a zwększeu wartośc tworzoych towarów usług. Peądz, jako ekwwalet tych produktów bezpośredo a e wymealy, zwększa zatem w czase swą wartość. Jest to wydealzoway ze względów a zastosowae tutaj zasadę ceters parbus model przyrostu wartośc peądza. Ostato w polskej lteraturze problem pracy ludzkej jako czyka kształtującego przyrost wartośc jedostk peężej podos Dobja [Dob02] cytując przy okazj cały szereg prac rówe prometych autorów wyrażających te sam pogląd. Przyrost te jest dokłade modeloway przy pomocy całego systemu rówań azywaego kedyś matematyką fasową[ds95],a w chwl obecej arytmetyką fasową [Sma99] lub teorą procetu [Lue03]. Przy aalze tych model w [DS95] lub w [Sma99] lub w [Sob97] uderzała me wysoka złożoość logcza tych model wyrażająca sę dużą loścą zapsaych tam pozore ezależych rówań. Uproszczea logczego tego systemu moża było szukać jedye a drodze zbudowaa matematyczej teor aksjomatyczo-dedukcyjej opartej a możlwe małej lośc aksjomatów. Jako pukt wyjśca do docekań przyjąłem modele opsae w [Pec72] [Cas86]. Dla porządku rzeczy warto tutaj zazaczyć, że z odmeego puktu wdzea modele te już aalzował Calz [Cal90]. Perwszą wersję propoowaego przeze me układu aksjomatyczego przedstawłem a Koferecj Naukowej Praktycze Problemy Mkroekoometr - Śwoujśce 94. Uważym aaltykom dat wyjaśam tutaj, że załem już w tamtej chwl powelaczową wersję [DS95]. Stawałem sobe tutaj sobe dodatkowy cel; Zbudować układ aksjomatyczy azyway układem a pror a tyle pojemy, aby jego potecjał pozwolł adać wspólą bazę formalą: procedurom ocey porówaa projektów westycyjych [Jo00], determstyczym modelom różcowym [FF00] różczkowym ryku fasowego, zróżcowaym strukturom stóp procetowych [Jac97] dalej stochastyczym rówaom procesów fasowych [WW97] podstawowych metodom model aalzy portfelowej [EG98]. Taka wędrówka z aksjomatam z 995 została odbyta wymusła
2 koeczość modyfkacj wspomaego początkowego układu a pror aksjomatów. W te sposób powstał układ a posteror aksjomatów arytmetyk fasowej. Przedstawee teor złożoej ze zmodyfkowaego układu aksjomatów dowedzoych elemetarych twerdzeń będze główym celem ejszej pracy. Zdecydowao sę już tutaj a posługwae sę termologą stosowaej w zaawasowaych dzałach matematyk fasowej. Falą postać welu twerdzeń zredagowao w te sposób, aby ch tezy pokazywały rówaa różcowe stosowae późej w metodach matematyczych żyer fasowej..aksjomatyczy model akumulacj kaptału Na wstępe zajmemy sę budową modelu opsującego proces przyrostu (akumulacj) wartośc peądza w czase. Rozważaa rozpoczemy od jedozaczego wyróżea przedzału czasowego 0,T aszej aalzy kaptałowej. Przedmotem aszych docekań będze strumet fasowy o wartośc C w momece t 0. Wartość C azywać będzemy wartoścą beżącą lub rówoważe wartoścą początkową. Przyjmujemy tutaj umowę, że eujeme wartośc fasowe odpowadać będą przychodom, ależoścą lub pozostałym aktywom, podczas gdy ujeme wartośc fasowe opsywać będą wydatk, zobowązaa lub e pasywa. Wartośc beżącej (wartośc początkowej ) C dowolemu mometow czasowemu t 0,T (wartość końcową ) C t poższa defcja. przypsujemy wartość przyszłą FV,. Podstawowe własośc wartośc przyszłej opsuje Defcja.: Wartoścą przyszłą azywamy fukcję FV : R [0, T] R spełającą - dla dowolych wartośc początkowych czasowych t t 0, T FV, 2 waruk: C C, t FV C, t FV C t 2 2, 2 C, C 2 R mometów ; (.) t t C 0 FV C, t FV C t ; (.2) 2 2, C, 0 C FV. (.3) Waruek (.) zakłada, że dowole wyzaczaa wartość przyszła jest fukcją addytywą wartośc beżącej. Waruek (.2) formuje as, że wraz z upływem czasu wartość przyszła aktywów e może zmaleć. Iaczej mówąc, a oszczędzau e moża stracć. Waruek (.3) detyfkuje wartość przyszłą przypsaą chwl beżącej z wartoścą beżącą. Twerdzee.: Waruk (.)(.3) są warukam dostateczym koeczym a to, aby wartość przyszła FV spełała tożsamość
3 FV C t C t, (.4) gdze czyk redyskotujący : 0, T, spełającą waruek jest emalejącą fukcją 0. (.5) Dowód: Z (.2) I (.3) dla dowolej pary C, t R 0, T C, t FV C,0 C 0 FV. Stąd jeśl C2 3 otrzymujemy C, to z (.) dla dowolego ustaloego t 0,T C t FV C C, t FV C, t FV C t FV,., mamy Ostata erówość wraz z (.) dowodzą, że fukcja FV t: R R, speła założea Lematu A. Zgode z tym dla dowolej pary C, t R0, T FV C, t C FV, t C t mamy co kończy dowód tożsamośc (.4). Wymeoe w dowodzoym twerdzeu własośc czyka redyskotującego wykają bezpośredo z (.2) (.3). Dowód mplkacj odwrotej jest oczywsty. Kolejym przedmotem aszych docekań będze strumet fasowy o wartośc C przypsaej mu w przyszłym momece t 0. Odpowedzą a pytae jaka jest wartość beżącą (wartość początkowa) tego strumetu fasowego będze przypsae wartośc przyszłej (wartośc końcowej ) C dowolemu mometow czasowemu t 0,T wartośc początkowej przyszłą C t PV,. Dla dowolego, ustaloego przyszłego mometu t 0 wartość beżącą wartośc C przypsaej temu mometow defujemy jako taką wartość, której wartość przyszła jest rówa wartośc oceaej wartośc C [Cal90]. Ta defcja w rówoważy sposób może być zapsaa przy pomocy tożsamośc FV PV C t, t C,. (.6) Twerdzee.2: Tożsamość (.6) jest rówoważa tożsamośc PV FV C t, t C, (.7) Dowód: W tożsamośc (,6) podstawamy C FV C, t PV FV C, t, t, t FV C t mamy wtedy FV,, co razem z (.4) (.5) daje PV FV C t t t C t,. Czyk redyskotujący jest dodat co kończy, dowód rówoważośc tożsamośc (.6) (,7). Twerdzee.3: Waruk (.), (.2), (.3) (.6) są warukam dostateczym koeczym a to, aby wartość początkowa PV spełała tożsamość
4 PV C t C t C t, (.8) gdze czyk dyskotujący : 0, T 0, waruek jest erosącą fukcją spełającą 0. (.9) Dowód: Tożsamość (.8) otrzymujemy bezpośredo z (.4) (.6). Właścwośc czyka dyskotującego są bezpośreda kosekwecją własośc czyka redyskotującego. Twerdzee.4: Waruk (.), (.2), (.3) (.6) są warukam dostateczym koeczym a to, aby dla dowolych wartośc C,C 2 R t,t 2 [0;T] spełoe były waruk: PV C C, t PV C, t PV C t ; (.0) 2 2, t t C 0 PV C, t PV C t ; (.) 2 2, C, 0 C PV. (.2) Dowód: Waruk (.0), (.) (.2) wykają z Twerdzea.3. Dowodząc koeczośc koukcj waruków (.), (.2), (.3) (.6) zakładam, że spełoe są waruk (,0), (.) (.2). Dalej, stosując rozumowae aalogcze do woskowaa przedstawoego w dowodze Twerdzea. dowodzę tożsamość (.8), co razem z Twerdzeem.3 kończy dowód. Defcja.2: Jeżel para FV, PV wartośc przyszłej beżącej speła waruek (.6), to azywamy je wartoścam sprzężoym. Każdy model wartoścowaa kaptału składa sę ze sprzężoego układu przecwstawych procesów akumulacj wartośc beżącej dyskotowaa wartośc przyszłej. Przedstawoe tutaj wyk pozwalają a wysuce astępujących wosków o dowolym modelu wartoścowaa kaptału: - wartośc przyszłe moża określć jedye przy pomocy tożsamośc (.4) ; - wartośc beżące moża określć jedye przy pomocy tożsamośc (.8) ; - dla jedozaczego zdefowaa modelu wartośc wystarczy jedozacze określć merytorycze uzasadoą wartość przyszłą lub merytorycze uzasadoą wartość beżącej. Poadto tożsamośc (.4) (.8) pozwalają badae własośc wartośc przyszłej wartośc beżącej zastąpć rówoważym badaem własośc czyka,redyskotującego czyka dyskotującego. Pozwol to a omęce w dalszych rozważaach kłopotlwego problemu zaku wartośc strumetu fasowego. 4
5 Kolejym problemem, przed jakm stajemy jest porówae pewych dwóch metod dyskotowaa. Perwsza z ch polega a bezpośredm wyzaczeu wartośc beżącej dyskotowaej wartośc strumetu fasowego. Druga metoda wymaga wyzaczea dla dyskotowaej wartośc jej wartośc przyszłej przypsaej pewemu przyszłemu mometow a astępe przypsae uzyskaej wartośc przyszłej jej wartośc beżącej. Obe metody ujęto w sposób schematyczy a rysuku. PV(C,t) C FV(C,T-t) 0 t T PV(FV(C,-t),) Rysuek. Schemat opsujący dwe metody dyskotowaa FV(C,-t) Naturalym wydaje sę tutaj oczekwae, że dla dowolego mometu z przedzału aalzy kaptałowej obe metody dyskotowaa dadzą te sam wyk. Zmerzając do zweryfkowaa tych oczekwań wyróżamy astępującą klasę par wartośc beżących wartośc przyszłych. Defcja.3: Jeżel dla każdej trójk 2 C, t, R 0, T takej, że t, para FV, PV fukcj wartośc przyszłej beżącej speła waruek PV C, t PV FV C t,,, (.3) to azywamy je zgodym. Twerdzee.5: Każda para wartośc zgodych jest parą wartośc sprzężoych. Dowód: W (.3) podstawamy t 0 w te sposób dzęk (.2) otrzymujemy (.7), co razem z Twerdzeem.2 kończy dowód. Twerdzee odwrote e jest prawdzwe, gdyż mamy Kotrprzykład.:Dla dowolej wartośc stopy omalej p R fukcję wartośc przyszłej określamy przy pomocy tożsamośc FV C t C t p,. Zauważmy a margese aszych rozważań, że jest to dobrze zaa z praktyk metoda oprocetowaa prostego. Sprzężoa fukcja wartośc beżącej jest wtedy daa tożsamoścą C PV C, t p t. Podstawając C 00, t 0,5,, p 0,2 20% otrzymujemy 5
6 00;0,5 PV FV 00,0,5, 9, 70 90,90 PV. Twerdzee.6: Wartość przyszła określoa przy pomocy tożsamośc (.4) sprzężoa z ą wartość beżąca są zgode wtedy tylko wtedy, gdy czyk redyskotujący : 0, T, t day jest tożsamoścą t. (.4) Dowód: Załóżmy, że para sprzężoych wartośc przyszłej beżącej jest zgoda. Zgode z (.4), (.8) (.3) - dla każdej pary 2 czyk redyskotujący : 0, T, t speła waruek 6 t, 0, T take, że t t. () Załóżmy teraz, że przy powyższych założeach czyk redyskotujący e jest fukcja rosącą. Isteje wtedy przyajmej jeda para 2 t t t 2. Z () mamy wtedy t 2 t t t 2 t t, T taka, że t2 0,, () co razem z tym, że czyk redyskotujący zawsze jest emalejącą fukcją czasu dowodz stea takej wartośc 0, że dla każdego 0, mamy. () Dowoly momet czasowy t 0,T lczb 0, możemy przedstawć jako skończoą sumę spełających własość (). Korzystając z (.5) () przy pomocy dukcj matematyczej możemy wykazać, że t t. () W sytuacj, gdy czyk redyskotujący jest fukcją rosącą logarytmujemy obustroe () te sposób wykazujemy, że fukcja Lematu A. Dowedlśmy w te sposób, że dla dowolego t 0,T l t l t, l speła założea mamy co jest rówoważe tożsamośc (.4). Podsumowując, koeczość waruku (.4) została wykazaa. Dowód dostateczośc waruku (.4) jest trywaly. Pokazao powyżej, że własość zgodośc wartośc przyszłej beżącej wyróża pewą podklasę sprzężoych wartośc przyszłej beżącej. Wyk przedstawoe w Kotrprzykładze. Twerdzeu.6 wyraźe wskazują, że własość zgodośc e jest własoścą powszechą. Z drugej stroy tucja podpowada, że zgodość stosowaych fukcj wartoścowaa kaptału gwaratować może wychodzć aprzecw oczekwaom aaltyków fasowych. Z tego powodu dalsze
7 uszczegółowae postac fukcj wartośc przyszłej sprzężoej wartośc beżącej obarczoe będze postulatem wyzaczaa wartośc zgodych. Pomoce przy tych poszukwaach będze Twerdzee.6. 2.Oprocetowae proste W rozdzale tym zajmemy sę wyzaczaem odsetków rozumaych jako koszt użytkowaa kaptału. Przyjmemy tutaj dwe umowy odoszące sę kolejo do sposobu pomaru czasu sposobu pomaru cey kaptału. Po perwsze przyjmemy, że pojedyczy okres obrachukowy ( rok ) ma długość. Pozwol to a omęce wszystkch kotrowersj zwązaych ze zróżcowaym podejścem do lośc d w roku reprezetowaym poprzez róże ustawy. Ceę kaptału będzemy określać poprzez te ułamek jego wartośc, który jest rówy kosztow użytkowaa przez jede okres obrachukowy ( rok ). Ułamek te azywamy stopą omalą wyrażamy jako ułamek dzesęty. Dodatkową zaletą przyjęca takego układu jedostek pomaru czasu cey kaptału jest względa prostota wyprowadzaych późej formuł arytmetyk fasowej. 2. Oprocetowae stałe Przyjmujemy tutaj założee, że w przedzale aalzy kaptałowej 0,T cea kaptału jest stała jest rówa stope omalej p R. Wartośc beżącej (wartośc początkowej ) kaptału C dowolemu czasow użytkowaa kaptału 0 przypsujemy wtedy odsetk C t p t,t poprawy sposób określoe są przez poższą defcję. P,. O odsetkach zakładamy, że w Defcja 2.: Odsetkam azywamy fukcję P p: R0, T R, spełającą - dla dowolych wartośc początkowych C, C 2 R dowolych czasów użytkowaa t, t 2 0, T waruk: C C, t p PC, t p PC t p P 2 2,, (2.) C, t t p PC, t p PC t p P 2, 2, (2.2), t 0 0 C 0 t 0 P C, (2.3) ; p p P. (2.4) Waruk (2.) (2.2) przedstawają odsetk jako dwu-addytywą fukcję wartośc początkowej kaptału czasu użytkowaa kaptału. Waruek (2.3) poucza as, że e jest możlwym bezkosztowe użytkowae kaptału. Waruek (2.4) jest sformalzowaą defcją stopy omalej. 7
8 Twerdzee 2.:Waruk (2.)(2.4) są warukam dostateczym koeczym a to, aby odsetk P p P C t p C t p, spełały tożsamość,. (2.5) Dowód: Korzystając z (2.) (2.3) w detyczy sposób, co w dowodze Twerdzea., dowodzmy, że odsetk są addytywą ścśle rosącą fukcją wartośc początkowej kaptału. Dzęk temu Lematow A możemy zapsać tożsamość C, t p C P t p P,. () Korzystając teraz (2.2) (2.3) możemy w detyczy - co powyżej - sposób doweść koleją tożsamość, t p t P, p P. () Zestawając razem (), () (2.4) otrzymujemy tożsamość (2.5). Podsumowując, koeczość waruku (2.5) została wykazaa. Dowód dostateczośc waruku (2.5) jest trywaly. Tożsamość (2.5) jest powszeche zaa już od dawa. Główym celem rozumowaa zapsaego w tym podrozdzale jest próba zdetyfkowaa przesłaek formalych defcj odsetek ( waruk Defcj 2. ) oraz stwerdzee, że tożsamość (2.5) opsuje jedyy sposób oblczea odsetek. 2.2 Oprocetowae zmee Przedzał aalzy kaptałowej 0,T dzelmy a epuste podprzedzały,,2 take, że w każdym przedzale,,.., cea kaptału jest stała jest rówa stope forward p R. Tą zmeość cey kaptału w formaly sposób opsuje poższa defcja. Defcja 2.2: Strukturą termową jedo okresowej stopy forward azywamy fukcję : 0,T R opsaą przy pomocy tożsamośc t p t,. (2.6),2,..., Wartośc beżącej (wartośc początkowej ) kaptału C dowolemu czasow użytkowaa kaptału t 0,T odsetk P C, t są przez poższą defcję. przypsujemy wtedy - przy zmeej stope forward -.O odsetkach tych zakładamy, że w poprawy sposób określoe 8
9 Defcja 2.3: Odsetkam przy zmeej stope forward azywamy fukcję P, : R[0, T] spełającą - dla dowolej wartośc początkowej C R - R waruk: P C,0, (2.7) 0,2,..., t, t 2 t 2 t, P C, t PC, t PC, t t p 2 2. (2.8) Łatwo moża wykazać, że odsetk przy zmeej stope forward są rosącą fukcją czasu spełającą dla każdego t,,2,..., P tożsamość t C, t C udu C p j j j p t 0 j (2.9) Jeśl struktura termowa jedo okresowej stopy forward jest stała, to pojęce odsetek przy zmeej stope redukuje sę do pojęca odsetek określoego w Defcj 2. dla stałej stopy. W aalze kaptałowej rówolegle z pojęcem struktury termowej jedo okresowej stopy forward posługujemy sę pojęcem struktury termowej jedo okresowej stopy spot. Defcja 2.4: Strukturą termową jedo okresowej stopy spot azywamy fukcję 0 R p :,T opsaą przy pomocy tożsamośc, t pt P, t t P. (2.0) Z tożsamośc (2.5) (2.9) uzyskujemy zależość opsującą dla każdego t,,2,..., strukturę stopy spot p t t udu p j j j p t t 0 t j. (2.) Zmeość struktury termowej jedo okresowej stopy spot opsuje zmeość wartośc stopy omalej uzależoej od horyzotu czasowego aalzy kaptałowej. 2.3 Wartość ależa Załóżmy, że daa jest struktura termowa jedo okresowej stopy forward. Oprocetowae proste stosujemy w sytuacj, gdy e korzystamy z kaptalzacj odsetek Jedym ze sposobów ocey zma wartośc kaptału w czase t 0,T wtedy określee jego wartośc ależej C t wartośc początkowej kaptału C ależych odsetek jest FV, rozumaej jako sumy 9
10 Defcja 2.5: Wartoścą ależą azywamy fukcję FV, : R[0, T] R spełającą tożsamość FV C, t C P C, t. (2.2) Korzystając z opsaych powyżej własośc odsetek łatwo moża doweść, że: Twerdzea 2.2: Wartość ależa FV : R[0, T] R, jest wartoścą przyszłą wyzaczoą przy pomocy czyka redyskotującego : 0, T, określoego dla każdego t,,2,..., przy pomocy zależośc t. (2.3) t udu p j j j p t 0 j Pojęce wartośc ależej stosujemy w jedo okresowych modelach aalzy kaptałowej. 3.Oprocetowae złożoe Kaptalzacja odsetek polega a powększeu wartośc kaptału o odsetk ależe z tytułu użytkowaa tego kaptału. W rozdzale tym zajmemy sę aalzą kaptałową w sytuacj, gdy w przedzale czasowym 0,T tej aalzy wyróżamy cąg T 0 mometów czasowych, jedye w których są kaptalzowae odsetk. Bez utraty ogólośc rozważań możemy założyć, że cąg te speła waruek 0 2 T T T... T 0 T. (3.) Do jedozaczego określea wartośc odsetek ależych za użytkowae kaptału w przedzale T, T wystarczy zajomość wartośc p jedo okresowej stopy procetowej spot wyzaczoej dla tego przedzału oraz długośc T tego przedzału wyzaczoej przy pomocy różcy T T T. (3.2) W przypadku uwzględaa kaptalzacj odsetek jedo okresowe stopy spot zaczyają odgrywać rolę welo okresowej struktury termowej stopy forward azywaej w skróce strukturą termową stopy forward. Defcja 3.: Strukturą termową stopy forward azywamy fukcję 0,T R : opsaą przy pomocy tożsamośc t p t T T,. (3.3),2,..., Każdą strukturę termową stopy forward możemy w rówoważy sposób opsać przy pomocy cągu par czasów oczekwań a kaptalzację T, p 0
11 wyzaczoych przy pomocy zależośc (3.2) welo okresowych stóp forward Stąd stosowe do potrzeb, rówoważe symbole stosować T, p będzemy zamee. Czas oczekwań a kaptalzację azywamy też w skróce okresem kaptalzacj. Nech będze daa struktura termowa stopy forward. Oprocetowau podlega jedye kaptał. Wartoścą kaptalzowaą F V C, t kaptału o wartośc początkowej C lokowaego a przecąg czasu t 0,T azywamy wartość początkową tego kaptału powększoą o wartość kaptalzowaych kolejo odsetek. Defcja 3.2: Wartoścą kaptalzowaą azywamy fukcję FV : R0, T R, spełającą dla dowolych wartośc C R,2,.., ]T k- ;T k [ waruk: T, T C R FV C t C t,, (3.4), C T FV C, T PC T F V, (3.5) FV,, C 0 C,. (3.6) Odsetk ależe za użytkowae kaptału w przedzale T, T możemy skaptalzować jedye a początku tego przedzału ( kaptalzacja z góry ) lub a końcu tego przedzału ( kaptalzacja z dołu). Defcja 3.3: Wartoścą kaptalzowaą z góry azywamy każdą wartość kaptalzowaą FV, : R0, T R wartośc C R,2,.., waruek: T, T FV C, t FV C T p. spełającą dodatkowo dla dowolych t,. (3.7) Defcja 3.4: Wartoścą kaptalzowaą z dołu azywamy każdą wartość kaptalzowaą FV, : R0, T R wartośc spełającą dodatkowo dla dowolych C R,2,.., waruek: T T FV C, t FV C T t. (3.8),, Szczegółowa aalzę każdej z wartośc kaptalzowaych przeprowadzmy dla różych przypadków struktury termowej stopy forward. 3. Struktura termowa stopy forward w peł eregulara Zakładamy tutaj, że cąg par jest zbudoway ze zróżcowaych T, p co długośc okresów kaptalzacj z różych wartośc p welo okresowej stopy forward. Możemy wtedy wykazać, że:
12 Twerdzee 3.: Jeśl struktura termowa stopy forward dla każdej lczby aturalej speła waruek p T, (3.9) to wartość kaptalzowaa z góry FV, R 0, T R jest wartoścą przyszłą wyzaczoą przy pomocy czyka redyskotującego : 0, T, określoego dla każdego,2,..., przez zależośc T T p T 0. (3.0) T T T t T t, (3.) Dowód: Z waruków (3.4), (3.5) (2.5) otrzymujemy (.). Korzystając z (3.4), (3.5) (3.7) woskujemy, że zachodz (.2). Waruek (.3) wyka bezpośredo z (3.6). Wartość kaptalzowaa z góry jest zatem wartoścą przyszłą. Dla każdego,2,..., t T, T otrzymujemy przy pomocy zależośc (.4), (2.5), (3.4), (3.6) (3.7) T T T p T, co dowodz (3.0). Zależość (3.) wyka bezpośredo z (3.7). Twerdzee 3.2: Wartość kaptalzowaa z dołu FV, R 0, T R jest wartoścą przyszłą wyzaczoą przy pomocy czyka redyskotującego : 0,, określoego dla każdego,2,..., przez zależośc T 0 T T T p T, (3.2) t T T t T,. (3.3) Dowód: Z waruków (3.4), (3.5) (2.5) otrzymujemy (.). Korzystając z (3.4), (3.5) (3.8) woskujemy, że zachodz (.2). Waruek (.3) wyka bezpośredo z (3.6). Wartość kaptalzowaa z dołu jest zatem wartoścą przyszłą. Dla każdego,2,..., t T, T przy pomocy zależośc (.4), (2.5), (3.4), (3.6) (3.8) otrzymujemy (3.2). Zależość (3.3) wyka bezpośredo z (3.8). Rozwązaem rówaa różcowego (3.0) jest cąg rekurecyje T T 0 określoy 0 T, (3.4) p T 2
13 zaś rozwązaem rówaa różcowego (3.2) jest cąg rekurecyje T T p T 0 T 0 określoy. (3.5) Stosując dukcję matematyczą łatwo moża doweść, że cąg (3.4) (3.5) dla każdego,2,..., spełają erówość T T. (3.6) Fakt te jest sprzeczy z tucją, która podpowada, że tempo wzrostu wartośc kaptału zależy od stosuków paujących a ryku fasowym jego realym otoczeu gospodarczym [Dob02], a e od przyjętej metody kaptalzacj odsetek Rodz to potrzebę wyzaczea dla celów kaptalzacj z góry takej struktury termowej stopy forward, że zachowae zostae tempo wzrostu wartośc kaptału wyzaczoe przez czyk redyskotujący kaptalzacj z dołu. Defcja 3.5: Strukturą termową stopy forward kaptalzacj z góry azywamy fukcję : 0,T R opsaą przy pomocy tożsamośc t p t T T, (3.7),2,..., dodatkowo spełającą dla każdego T T,2,..., waruek (3.8) Twerdzee 3.3: Dla daej struktury termowej stopy forward T, p steje dokłade jeda struktura termowa stopy forward kaptalzacj z góry T, p. Speła oa waruek (3.9) dla każdego,2,.., określoa przy pomocy zależośc p T jest p p. (3.9) Dowód: Zestawając razem (3.4) (3.5) otrzymujemy (3.9), który to waruek jedozacze określa strukturę termową stopy forward kaptalzacj z góry mplkuje spełae waruku(3.9). Zestawając razem (3.), (3.3), (3,5) (3.6) otrzymujemy a koec t 0, T t t t. (3.20) Porówując z Twerdzeem.6 stwerdzamy, że żada z przedstawoych tutaj fukcj wartośc przyszłych e geeruje sprzężoej z ą beżącej wartośc zgodej. 3
14 3.2 Regulara struktura termowa stopy forward warukem Rozważmy teraz założee o stałośc okresu kaptalzacj wyrażoe d R,2,..., T d, (3.2) oraz założee o stałej stope forward wyrażoe warukem p R,2,..., p p. (3.22) Założee o strukturze termowej stopy forwar że speła jedye jede z powyższych zawężających waruków e wos żadych stotych zma w zależoścach arytmetyk fasowej. Prześledźmy zatem jedye skutk przyjęca obu założeń rówocześe. Wtedy struktura termowa jest reprezetowaa rówoważe przez cąg uproszczoej postac FV p, p FV, d p, dowolą wartość kaptalzowaą zapsujemy w. (3.24) Rozwązaem rówaa różcowego (3.0) jest wtedy cąg d d p określoy przy pomocy zależośc d p p d, 0, (3.25) Cąg te wraz z zależoścą d t p d d p t, (3.26) zastępującą zależość (3.) opsuje czyk redyskotujący p kaptalzacj z góry. Rozwązaem rówaa różcowego (3.2) jest wtedy cąg d d p określoy przy pomocy zależośc d p p d, 0, (3.27) Cąg te wraz z zależoścą d t p t d p (3.28) zastępującą zależość (3.3) opsuje czyk redyskotujący p z dołu. Poadto stopa forward zależośc p kaptalzacj p kaptalzacj z góry jest daa przy pomocy p. (3.29) p d 4
15 Dodatkowo w przypadku regularej struktury termowej stóp forward możemy w prosty sposób opsać metodę kaptalzacj cągłej rozumaej jako wydealzoway model, w którym okres kaptalzacj jest dowole krótk. Używając języka sformalzowaego zakładamy, że okres kaptalzacj dąży do zera. Ilość mometów kaptalzacj poprzedzających dowoly momet czasowy t 0,T eskończoośc. Twerdzee 3.4: ( O kaptalzacj cągłej ) pt 0, T lm t p lm t p lm t d p e d0 d0 d0 dąży wtedy do t,. (3.30) Dowód: Dowód powyższej tezy dla czyka redyskotującego kaptalzacj z dołu p dla czyka redyskotującego z góry p przykład w [DS95]. Dla czyka p (3.20) twerdzea o trzech cągach. moża zaleźć a zależość (3.30) wyka wprost z Twerdzee 3.5: Wartość kaptalzowaa cągle FV, p: R0, T R określoa przy pomocy tożsamość FV pt C t p C t p C e, (3.3) jest wartoścą przyszłą kaptału. Dowód: Wprost z Twerdzea. własośc fukcj wykładczej. Twerdzee 3.6: Dowola wartość kaptalzowaa cągle sprzężoa z ą wartość beżąca są jedyym zgodym param wartośc przyszłej wartośc beżącej. Dowód: Zgodość wartośc kaptalzowaej cągłej sprzężoej z ą wartośc beżącej wyka wprost z (3.3) Twerdzea.6. Z drugej stroy, zgode z (.4) czyk redyskotowy dowolej wartośc przyszłej geerującej zgodą z ą wartość beżącą speła tożsamość t t l t e W te sposób przyjęce sztuczego z puktu wdzea tucj założea o dowole krótkm okrese kaptalzacj okazuje sę ezbędą ceą, jaką płacmy za możość wyzaczea zgodej pary wartośc przyszłej wartośc beżącej. Późejsze dośwadczea matematyk fasowej wykazują,,że te koszt dealzacj modelu warto poeść. Stosując rozwęce fukcj wykładczej w szereg Maclaura łatwo moża doweść, że dla każdego t 0,T dołu kaptalzacj cągłej spełają erówość czyk redyskotujące kaptalzacj erówość 5
16 t d p t p,. (3.32) Te same przesłak, co towarzyszące erówośc (3.6) mplkują potrzebę wyzaczea dla celów kaptalzacj cągłe takej stopy procetowej forward 6 p d, że zachowae zostae tempo wzrostu wartośc kaptału wyzaczoe przez czyk redyskotujący p kaptalzacj z dołu. Defcja 3.6: Stopą forward kaptalzacj cągłej azywamy fukcję 0 R p,t : opsaą przy pomocy zależośc d p d d d p,2,...,,. (3.33) Twerdzee 3.7: Dla dowolej stałej stopy forward p kaptalzacj z dołu dowolego okresu kaptalzacj d stopa forward zależośc p d l p d d p d jest daa przy pomocy. (3.34) Dowód: Wprost z (3.27), (3.3) (3.33). W zastosowaach arytmetyk fasowej użyteczym może być stosowae wykającej stąd tożsamośc d t p d exp p d t p d t. (3.35) Wzajeme relacje pomędzy poszczególym czykam dyskotującym stopam forward pokazuje poższe twerdzee. Twerdzee 3.8: Dla dowolego t 0,T mamy: t p t p t p t p t p t p t p t p, (3.36). (3.37) Dowód: Z Defcj wraz z wypukłoścą fukcj wykładczej oraz z (3.20) otrzymujemy (3.36). Z Defcj 3.6 erówośc (3.32) otrzymujemy t d p t p t p,. Poadto, Dla każdego,2,..., t d mamy pd t p d p e d p t p p d 3.4.Struktura termowa stopy spot Rozważmy poowe dowolą strukturę termową stopy forward T, p. W aalze kaptałowej rówolegle z pojęcem struktury.
17 termowej stopy forward posługujemy sę pojęcem struktury termowej stopy spot. Defcja 3.7: Strukturą termową stopy spot azywamy dowolą fukcję 0 R, t T, yt FV, t T, p y :.T spełającą tożsamość FV. (3.38) Twerdzee 3.9: Każda struktura termowa stopy spot przedzale T,T jedozacze określoa przy pomocy zależośc y t y y t T t T, T gdze każda z lcz rzeczywstych y j j,2,..., perwastkem rówaa 7 y : 0.T R jest w,2,...,, (3.39) jest jedyym dodatm j y Tk T j T, p. (3.40) k Dowód: Z (3.5) (3.37) dla każdego T T T T, p j y j k j. k j,2,..., mamy Ozacza to, że stopa spot y jest dodatm perwastkem rówaa (3.40). Jest to T j take rówae welomaowe j -tego stopa, że współczyk przy aturalych potęgach ewadomej y są eujeme, zaś wyraz woly jest ujemy. Take rówae ma dokłade jede perwastek dodat. Wartość y T j jest zatem określoa jedozacze. Poowe korzystając z (3.5) (3.38) dla każdego T, T j,2,..., t j j mamy j yt Tk T j T, p. k Ozacza to, że stopa spot y t jest dodatm perwastkem rówaa (3.40). Z tego, że steje jedye jede tak perwastek woskujemy, że t y kończy dowód. y, co Kłopotlwym dla as może być fakt emożlwośc wyzaczea przebegu struktury termowej stopy spot w przedzale 0, T. Możemy ograczać zasęg tej eokreśloośc korzystając z założea T 0 0. Z druge stroy wspomay brak zajomośc 0 wartośc stopy spot e utruda am jedozaczego określea wartośc czyka redyskotującego, gdyż jest o rówy wtedy jedośc. T j
18 Stosowae struktury termowej stopy spot wybte upraszcza am formuły arytmetyk fasowej dla zmeej stopy forward w przypadku rówych okresów kaptalzacj. Załóżmy, że jest daa struktura termowa stopy forward p. Zgode z zależoścą (3.39) wyzaczamy wtedy strukturę termową stopy spot wtedy w uproszczoej postac t p t yt y : 0.T R dowoly czyk redyskotujący zapsujemy. (3.4) Czyk redyskotujący kaptalzacj z góry jest wtedy opsay przy pomocy zależośc d t yt yt,2,..., t d. (3.42) Czyk redyskotujący kaptalzacj z dołu jest wtedy opsay przy pomocy zależośc d t yt yt 8 d,2,..., t. (3.43) Nawązując do pojęca stopy forward kaptalzacj z góry defujemy przy pomocy tożsamośc d y t d d yt,2,...,, (3.44) strukturę termową stopy spot y t y y t t d y kaptalzacj z góry. Jest oa daa tożsamoścą. (3.45) Dodatkowo pojawa sę możlwość określea wartośc kaptalzowaej cągle. Czyk redyskotujący kaptalzacj cągłej jest opsay przy pomocy zależośc yt t t yt e. (3.46) Nawązując do pojęca stopy forward kaptalzacj cągłej defujemy przy pomocy tożsamośc d y t d d yt,2,...,, (3.47) strukturę termową stopy spot tożsamoścą y t, y kaptalzacj cągłej. Jest oa daa l y d t. (3.48) d W zastosowaach arytmetyk fasowej użyteczym może być stosowae wykającej stąd tożsamośc t y d t exp y t t yt d t, d. (3.49)
19 Dodatek A W pracy parokrote wykorzystywao astępującą własość addytywych fukcj mootoczych. Lemat A: Nech będze daa fukcja x x R 2 F x x F x F, x F : R R. Wtedy waruk, (A) x x R 2 x x F x F, (A2), x są warukam dostateczym a to, aby 2 x R Fx F x,. (A3) Dowód: Bezpośredo z (A) mamy F0 F0 F0, co dowodz 0 0 Stą podstawając x2 x otrzymujemy F x F 9 x (A) drogą dukcj matematyczej dla każdej lczby aturalej x F F (). Stosując w () dukcję matematyczą dla x każdej lczby aturalej F (). (). Bezpośredo z N otrzymujemy m N uzyskujemy Fm x m F (). x Zestawając razem (), (), () woskujemy, że waruek (A3) jest prawdzwy dla dowolej lczby wymerej W.Dowodząc prawdzwośc waruku (A3) dla dowolej ustaloej lczby ewymerej IW, przypsujemy tej lczbe jej przekrój Dedekda, f sup [Lej77]. Przyjmjmy ozaczea: - f f dowole dole wymere oszacowae lczby, - sup sup dowole góre wymere oszacowae lczby. Z waruku (A2)- dla dowolego x R - mamy wtedy x F x F x F x Fx F, f f sup co ostatecze zgode z zasadą cągłośc Dedekda [Lej77] prowadz do potwerdzea waruku (A3) dla dowolej pary x R R warukam () () kończy dowód lematu. Zakończee sup,. Te fakt wraz z Praca ejsza staow autorską propozycję formalego uporządkowaa metod arytmetyk fasowej. Przedstawoe tu wyk staową elemety przygotowywaej szerszej moograf pod roboczym tytułem Od arytmetyk do matematyk fasowych. Bblografa [Cal90] Calz M.L., Towards a geeral settg for fuzzy mathematcs of face, Fuzzy Sets & Systems 35 (990), [Cas86] Castagol E., Apput d Matematca Fazara, Ucopl, Mlao 986.
20 [DS95] Dobja M., Smaga E.; Podstawy matematyk fasowej ubezpeczeowej, PWN Warszawa-Kraków 995 [Dob02] Dobja M., Źródła wartośc jedostk peądza w: Tarczyńsk W. (red.) Ryek kaptałowy- skutecze westowae, Uwersytet Szczecńsk, (2002), -38. [EG98]Elto E.J., Gruber M.J., Nowoczesa teora portfelowa aalza paperów wartoścowych, WIG Press Warszawa 998. [FF00] Fabozz F.J., Fog G.; Zarządzae portfelem westycj przyoszących stały dochó PWN, Warszawa 2000 [Jac99] Jackowcz K.; Zarządzae ryzykem stopy procetowej, PWN, Warszawa 999 [Jo00] Johso H. Ocea projektów westycyjych Maksymalzacja wartośc projektów westycyjych, Wydawctwo K.E.Lber s.c. Warszawa 2000 [Lej77] Leja F., Rachuek różczkowy całkowy ze wstępem do rówań różczkowych, Bbloteka Matematycza PWN Warszawa 977 [Lue03] Lueberger D.G., Teora westycj fasowych, Wydawctwo Naukowe PWN, Warszawa [Pec72] Peccat L., Su d ua caratterzzazoe del prcpo del crtero dell attualzzazoe, Studum Parmese, Parma 972. [Sma99] Smaga E.; Arytmetyka fasowa, PWN, Warszawa-Kraków 999. [Sob97] Sobczyk M.; Matematyka fasowa, Placet, Warszawa 997. [WW98] Wero A., Wero R.,: Iżyera fasowa WNT Warszawa,
Modele wartości pieniądza w czasie
Joaa Ceślak, Paula Bawej Modele wartośc peądza w czase Podstawowe pojęca ozaczea Kaptał (ag. prcpal), kaptał początkowy, wartośd początkowa westycj - peądze jake zostały wpłacoe a początku westycj (a początku
Bardziej szczegółowoJego zależy od wysokości i częstotliwości wypłat kuponów odsetkowych, ceny wykupu, oczekiwanej stopy zwrotu oraz zapłaconej ceny za obligację.
Wrażlwość oblgacj Jedym z czyków ryzyka westowaa w oblgacje jest zmeość rykowych stóp procetowych. Iżyera fasowa dyspouje metodam pozwalającym zabezpeczyć portfel przed egatywym skutkam zma stóp procetowych.
Bardziej szczegółowoN ( µ, σ ). Wyznacz estymatory parametrów µ i. Y które są niezależnymi zmiennymi losowymi.
3 Metody estymacj N ( µ, σ ) Wyzacz estymatory parametrów µ 3 Populacja geerala ma rozład ormaly mometów wyorzystując perwszy momet zwyły drug momet cetraly z prób σ metodą 3 Zmea losowa ma rozład geometryczy
Bardziej szczegółowoSTATYKA. Cel statyki. Prof. Edmund Wittbrodt
STATYKA Cel statyk Celem statyk jest zastąpee dowolego układu sł ym, rówoważym układem sł, w tym układem złożoym z jedej tylko sły jedej pary sł (redukcja do sły mometu główego) lub zbadae waruków, jake
Bardziej szczegółowoOBLICZANIE NIEPEWNOŚCI METODĄ TYPU B
OBLICZANIE NIEPEWNOŚCI METODĄ TYPU B W przypadku gdy e występuje statystyczy rozrzut wyków (wszystke pomary dają te sam wyk epewość pomaru wyzaczamy w y sposób. Główą przyczyą epewośc pomaru jest epewość
Bardziej szczegółowoRóżniczkowanie funkcji rzeczywistych wielu zmiennych. Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski
Różczkowae fukcj rzeczywstych welu zmeych rzeczywstych Matematyka Studum doktoracke KAE SGH Semestr let 8/9 R. Łochowsk Pochoda fukcj jedej zmeej e spojrzee Nech f : ( α, β ) R, α, β R, α < β Fukcja f
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. 10. Funkcja Möbiusa
Matematyka dyskreta 10. Fukcja Möbusa Defcja 10.1 Nech (P, ) będze zborem uporządkowaym. Mówmy, że zbór uporządkoway P jest lokale skończoy, jeśl każdy podzał [a, b] P jest skończoy, a, b P Uwaga 10.1
Bardziej szczegółowoPOPULACJA I PRÓBA. Próba reprezentatywna. Dr Adam Michczyński - METODY ANALIZY DANYCH POMIAROWYCH 5 1
POPULACJA I PRÓBA POPULACJĄ w statystyce matematyczej azywamy zbór wszystkch elemetów (zdarzeń elemetarych charakteryzujących sę badaą cechą opsywaą zmeą losową. Zbadae całej populacj (przeprowadzee tzw.
Bardziej szczegółowoUOGÓLNIONA ANALIZA WRAŻLIWOŚCI ZYSKU W PRZEDSIĘBIORSTWIE PRODUKUJĄCYM N-ASORTYMENTÓW. 1. Wprowadzenie
B A D A N I A O P E R A C Y J N E I D E C Y J E Nr 2 2007 Aa ĆWIĄKAŁA-MAŁYS*, Woletta NOWAK* UOGÓLNIONA ANALIA WRAŻLIWOŚCI YSKU W PREDSIĘBIORSTWIE PRODUKUJĄCYM N-ASORTYMENTÓW Przedstawoo ajważejsze elemety
Bardziej szczegółowoFINANSE II. Model jednowskaźnikowy Sharpe a.
ODELE RYNKU KAPITAŁOWEGO odel jedowskaźkowy Sharpe a. odel ryku kaptałowego - CAP (Captal Asset Prcg odel odel wycey aktywów kaptałowych). odel APT (Arbtrage Prcg Theory Teora artrażu ceowego). odel jedowskaźkowy
Bardziej szczegółowoIV. ZMIENNE LOSOWE DWUWYMIAROWE
IV. ZMIENNE LOSOWE DWUWYMIAROWE 4.. Rozkład zmeej losowej dwuwymarowej Defcja 4.. Uporządkowaą parę (X, Y) azywamy zmeą losową dwuwymarową, jeśl każda ze zmeych X Y jest zmeą losową. Defcja 4.. Fukcję
Bardziej szczegółowoIndukcja matematyczna
Iducja matematycza Twerdzee. zasada ducj matematyczej Nech T ozacza pewą tezę o lczbe aturalej. Jeżel dla pewej lczby aturalej 0 teza T 0 jest prawdzwa dla ażdej lczby aturalej 0 z prawdzwośc tezy T wya
Bardziej szczegółowoVI. TWIERDZENIA GRANICZNE
VI. TWIERDZENIA GRANICZNE 6.. Wprowadzee Twerdzea gracze dotyczą własośc graczych cągów zmeych losowych dzelą sę a:! twerdzea lokale opsują zbeżośc cągu fukcj prawdopodobeństwa w przypadku cągu {X } zmeych
Bardziej szczegółowoPŁASKA GEOMETRIA MAS. Środek ciężkości figury płaskiej
PŁAKA GEOMETRIA MA Środek cężkośc fgury płaskej Mometam statyczym M x M y fgury płaskej względem os x lub y (rys. 7.1) azywamy gracę algebraczej sumy loczyów elemetarych pól d przez ch odległośc od os,
Bardziej szczegółowo8.1 Zbieżność ciągu i szeregu funkcyjnego
Rozdzał 8 Cąg szereg fukcyje 8.1 Zbeżość cągu szeregu fukcyjego Dla skrócea zapsu przyjmjmy pewe ozaczee. Defcja. Nech X, Y. Przez Y X ozaczamy zbór wszystkch fukcj określoych a zborze X o wartoścach w
Bardziej szczegółowoSystem finansowy gospodarki
System fasowy gospodark Zajęca r 7 Krzywa retowośc, zadaa (mat. f.), marża w hadlu, NPV IRR, Ustawa o kredyce kosumeckm, fukcje fasowe Excela Krzywa retowośc (dochodowośc) Yeld Curve Krzywa ta jest grafczym
Bardziej szczegółowoR j v tj, j=1. jest czynnikiem dyskontującym odpowiadającym efektywnej stopie oprocentowania i.
c 27 Rafał Kucharsk Rety Wartość beżącą cągu kaptałów: {R t R 2 t 2 R t } gdze R jest kwotą omalą płacoą w chwl t = oblczamy jako sumę zdyskotowaych płatośc: przy czym = + R j tj j= jest czykem dyskotującym
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 2 ESTYMACJA PUNKTOWA
STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD ESTYMACJA PUNKTOWA Nech - ezay parametr rozkładu cechy X. Wartość parametru będzemy estymować (przyblżać) a podstawe elemetowej próby. - wyberamy statystykę U o rozkładze
Bardziej szczegółowo1. Relacja preferencji
dr Mchał Koopczyńsk EKONOMIA MATEMATYCZNA Wykłady, 2, 3 (a podstawe skryptu r 65) Relaca preferec koszyk towarów: przestrzeń towarów: R + = { x R x 0} x = ( x,, x ) X X R+ x 0 x 0 =, 2,, x~y xf y x y x
Bardziej szczegółowoPermutacje. } r ( ) ( ) ( ) 1 2 n. f = M. Przybycień Matematyczne Metody Fizyki I Wykład 2-2
Permutacje { 2,,..., } Defcja: Permutacją zboru lczb azywamy dowolą różowartoścową fukcję określoą a tym zborze o wartoścach w tym zborze. Uwaga: Lczba wszystkch permutacj wyos! Permutacje zapsujemy w
Bardziej szczegółowoW zadaniu nie ma polecenia wyznaczania estymatora nieobciążonego o minimalnej wariancji. σ σ σ σ σ = =
4. Na podstawe erówośc Cramera Rao wyzacz dole ograczee dla waracj eobcążoego estymatora waracj σ w rozkładze ormalym N(0, σ. W zadau e ma polecea wyzaczaa estymatora eobcążoego o mmalej waracj dla σ,
Bardziej szczegółowo5. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA
5. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA Zdarza sę dość często, że zależośc występujące w aalzowaych procesach (p. ospodarczych) mają charakter elowy. Dlateo też, oprócz lowych zadań decyzyjych, formułujemy także elowe
Bardziej szczegółowoRegresja REGRESJA
Regresja 39. REGRESJA.. Regresja perwszego rodzaju Nech (, będze dwuwyarową zeą losową, dla które steje kowaracja. Nech E( y ozacza warukową wartość oczekwaą zdefowaą dla przypadku zeych losowych typu
Bardziej szczegółowoW zadaniu nie ma polecenia wyznaczania estymatora nieobciążonego o minimalnej wariancji. σ σ σ σ σ = =
4. Na podstawe erówośc Cramera Rao wyzacz dole ograczee dla waracj eobcążoego estymatora waracj σ w rozkładze ormalym N(0, σ ). W zadau e ma polecea wyzaczaa estymatora eobcążoego o mmalej waracj dla σ,
Bardziej szczegółowoStatystyczna analiza miesięcznych zmian współczynnika szkodowości kredytów hipotecznych
dr Ewa Wycka Wyższa Szkoła Bakowa w Gdańsku Wtold Komorowsk, Rafał Gatowsk TZ SKOK S.A. Statystycza aalza mesęczych zma współczyka szkodowośc kredytów hpoteczych Wskaźk szkodowośc jest marą obcążea kwoty/lczby
Bardziej szczegółowoSystem finansowy gospodarki
System fasowy gospodark Zajęca r 6 Matematyka fasowa c.d. Rachuek retowy (autetowy) Maem rachuku retowego określa sę regulare płatośc w stałych odstępach czasu przy założeu stałej stopy procetowej. Przykłady
Bardziej szczegółowoZMIENNA LOSOWA JEDNOWYMIAROWA POJĘCIE ZMIENNEJ LOSOWEJ
ZMIENNA LOSOWA JEDNOWYMIAROWA POJĘCIE ZMIENNEJ LOSOWEJ Podstawowe pojęca rachuu prawdopodobeństwa: zdarzee losowe, zdarzee elemetare, prawdopodobeństwo, zbór zdarzeń elemetarych. Def. Nech E będze zborem
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka r.
Zadae. W ure zajduje sę 5 kul, z których 5 jest bałych czarych. Losujemy bez zwracaa kolejo po jedej kul. Kończymy losowae w momece, kedy wycągęte zostaą wszystke czare kule. Oblcz wartość oczekwaą lczby
Bardziej szczegółowoPlanowanie eksperymentu pomiarowego I
POLITECHNIKA ŚLĄSKA W GLIWICACH WYDZIAŁ INŻYNIERII ŚRODOWISKA ENERGETYKI INSTYTUT MASZYN URZĄDZEŃ ENERGETYCZNYCH Plaowae eksperymetu pomarowego I Laboratorum merctwa (M 0) Opracował: dr ż. Grzegorz Wcak
Bardziej szczegółowoTARCIE CIĘGIEN O POWIERZCHNIĘ WALCOWĄ WZÓR EULERA
Ćwczee 8 TARCIE CIĘGIEN O POWIERZCHNIĘ WALCOWĄ WZÓR EULERA 8.. Cel ćwczea Celem ćwczea jest wyzaczee statyczego współczyka tarca pomędzy walcową powerzchą cała a opasującą je lą. Poadto a drodze eksperymetalej
Bardziej szczegółowoWYZNACZANIE WARTOŚCI ENERGII ROZPRASZANEJ PODCZAS ZDERZENIA CIAŁ
9 Cel ćwczea Ćwczee 9 WYZNACZANIE WARTOŚCI ENERGII ROZPRASZANE PODCZAS ZDERZENIA CIAŁ Celem ćwczea jest wyzaczee wartośc eerg rozpraszaej podczas zderzea cał oraz współczyka restytucj charakteryzującego
Bardziej szczegółowoWykłady z Analizy rzeczywistej i zespolonej w Matematyce stosowanej. Literatura. W. Rudin: Podstawy analizy matematycznej, PWN, Warszawa, 1982.
Wyłady z Aalzy rzeczywstej zespoloej w Matematyce stosowaej Lteratura W Rud: Podstawy aalzy matematyczej, PWN, Warszawa, 1982 W Rud: Aalza rzeczywsta zespoloa, PZWS, Warszawa, 1986 W Szabat: Wstęp do aalzy
Bardziej szczegółowoStanisław Cichocki Natalia Nehrebecka. Zajęcia 7-8
Stasław Cchock Natala Nehreecka Zajęca 7-8 . Testowae łączej stotośc wyraych regresorów. Założea klasyczego modelu regresj lowej 3. Własośc estymatora MNK w KMRL Wartość oczekwaa eocążoość estymatora Waracja
Bardziej szczegółowoELEMENTY TEORII MOŻLIWOŚCI
ELEMENTY TEORII MOŻLIWOŚCI Opracował: M. Kweselewcz Zadeh (978) wprowadzł pojęce rozkładu możlwośc jako rozmyte ograczee, kóre odzaływuje w sposób elastyczy a wartośc przypsae daej zmeej. Defcja. Nech
Bardziej szczegółowoPodprzestrzenie macierzowe
Podprzestrzee macerzowe werdzee: Dla dwóch macerzy A B o tych samych wymarach zachodz: ( ) ( ) wersz a) R A R B A ~ B Dowód: wersz a) A ~ B stee P taka że PA B 3 0 A 4 3 0 0 E A B 0 0 0 E B 3 6 4 0 0 0
Bardziej szczegółowoPodstawy analizy niepewności pomiarowych (I Pracownia Fizyki)
Podstawy aalzy epewośc pomarowych (I Pracowa Fzyk) Potr Cygak Zakład Fzyk Naostruktur Naotecholog Istytut Fzyk UJ Pok. 47 Tel. 0-663-5838 e-mal: potr.cygak@uj.edu.pl Potr Cygak 008 Co to jest błąd pomarowy?
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA STOSOWANA W INŻYNIERII CHEMICZNEJ
MATEMATYKA STOSOWANA W INŻYNIERII CHEMICZNEJ Wykład Układy rówań metody aaltycze Metody umerycze rozwązywaa rówań lczbowych Prof. Ato Kozoł, Wydzał Chemczy Poltechk Wrocławskej ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń majątkowych r. t warunkowo niezależne i mają (brzegowe) rozkłady Poissona:
Zadae. W kolejych okresach czasu t =, ubezpeczoy, charakteryzujący sę parametrem ryzyka Λ, geeruje N t szkód. Dla daego Λ = λ zmee N, N są warukowo ezależe mają (brzegowe) rozkłady Possoa: k λ Pr( N t
Bardziej szczegółowo3. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA
Wybrae zaadea badań operacyjych dr ż. Zbew Tarapata 3. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA Zdarza sę dość często że zależośc występujące w aalzowaych procesach (p. ospodarczych) mają charakter elowy. Dlateo też oprócz
Bardziej szczegółowoMiary położenia wskazują miejsce wartości najlepiej reprezentującej wszystkie wielkości danej zmiennej. Mówią o przeciętnym poziomie analizowanej
Podstawy Mary położea wskazują mejsce wartośc ajlepej reprezetującej wszystke welkośc daej zmeej. Mówą o przecętym pozome aalzowaej cechy. Średa arytmetycza suma wartośc zmeej wszystkch jedostek badaej
Bardziej szczegółowoPolitechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania MODELOWANIE I PODSTAWY IDENTYFIKACJI
Poltechka Gdańska Wydzał Elektrotechk Automatyk Katedra Iżyer Systemów Sterowaa MODELOWANIE I PODSAWY IDENYFIKACI Wybrae zagadea z optymalzacj. Materały pomoccze do zajęć ćwczeowych 5 Opracowae: Kazmerz
Bardziej szczegółowoStanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Zajęcia 5
Stasław Cchock Natala Nehreecka Zajęca 5 . Testowae łączej stotośc wyraych regresorów. Założea klasyczego modelu regresj lowej 3. Własośc estymatora MNK w KMRL Wartośd oczekwaa eocążoośd estymatora Waracja
Bardziej szczegółowoma rozkład normalny z nieznaną wartością oczekiwaną m
Zadae Każda ze zmeych losowych,, 9 ma rozkład ormaly z ezaą wartoścą oczekwaą m waracją, a każda ze zmeych losowych Y, Y,, Y9 rozkład ormaly z ezaą wartoścą oczekwaą m waracją 4 Założoo, że wszystke zmee
Bardziej szczegółowoMateriały do wykładu 7 ze Statystyki
Materał do wkładu 7 ze Statstk Aalza ZALEŻNOŚCI pomędz CECHAMI (Aalza KORELACJI REGRESJI) korelacj wkres rozrzutu (korelogram) rodzaje zależośc (brak, elowa, lowa) pomar sł zależośc lowej (współczk korelacj
Bardziej szczegółowof f x f, f, f / / / METODA RÓŻNIC SKOŃCZONYCH niech N = 2 (2 równania różniczkowe zwyczajne liniowe I-rz.) lub jedno II-rzędu
METODA RÓŻIC SKOŃCZOYCH (omówee a przykładze rówań lowych) ech ( rówaa różczkowe zwyczaje lowe I-rz.) lub jedo II-rzędu f / / p( x) f / + q( x) f + r( x) a x b, f ( a) α, f ( b) β dea: a satce argumetu
Bardziej szczegółowoPOLSKA FEDERACJA STOWARZYSZEŃ RZECZOZNAWCÓW MAJĄTKOWYCH POWSZECHNE KRAJOWE ZASADY WYCENY (PKZW) KRAJOWY STANDARD WYCENY SPECJALISTYCZNY NR 4 KSWS 4
POZECHNE KRAJOE ZAADY YCENY (PKZ) KRAJOY TANDARD YCENY PECJALITYCZNY NR 4 K 4 YCENA ŁUŻEBNOŚCI PRZEYŁU I OKREŚLANIE KOTY YNAGRODZENIA ZA BEZUMONE KORZYTANIE Z NIERUCHOMOŚCI PRZY INETYCJACH LINIOYCH 1.
Bardziej szczegółowoEKSTREMA FUNKCJI EKSTREMA FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ. Tw. Weierstrassa Każda funkcja ciągła na przedziale domkniętym ma wartość najmniejszą i największą.
Joaa Ceślak, aula Bawej ESTREA FUNCJI ESTREA FUNCJI JEDNEJ ZIENNEJ Otoczeem puktu R jest każdy przedzał postac,+, gdze >. Sąsedztwem puktu jest każdy zbór postac,,+, gdze >. Nech R, : R oraz ech. De. ówmy,
Bardziej szczegółowoKONCEPCJA WIELOKRYTERIALNEGO WSPOMAGANIA DOBORU WARTOŚCI PROGOWEJ W BIOMETRYCZNYM SYSTEMIE UWIERZYTELNIANIA. Adrian Kapczyński Maciej Wolny
KONCEPCJA WIELOKRYTERIALNEGO WSPOMAGANIA DOBORU WARTOŚCI PROGOWEJ W BIOMETRYCZNYM SYSTEMIE UWIERZYTELNIANIA Adra Kapczyńsk Macej Woly Wprowadzee Rozwój całego spektrum coraz doskoalszych środków formatyczych
Bardziej szczegółowoWspółczynnik korelacji rangowej badanie zależności między preferencjami
Współczyk korelacj ragowej badae zależośc mędzy preferecjam Przemysław Grzegorzewsk Istytut Badań Systymowych PAN ul. Newelska 6 01-447 Warszawa E-mal: pgrzeg@bspa.waw.pl Pla referatu: Klasycze metody
Bardziej szczegółowoPomiary parametrów napięć i prądów przemiennych
Ćwczee r 3 Pomary parametrów apęć prądów przemeych Cel ćwczea: zapozae z pomaram wartośc uteczej, średej, współczyków kształtu, szczytu, zekształceń oraz mocy czyej, berej, pozorej współczyka cosϕ w obwodach
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna Ćwiczenia. J. de Lucas
Aalza Matematycza Ćwczea J. de Lucas Zadae. Oblczyć grace astępujących fucj a lm y 3,y 0,0 b lm y 3 y ++y,y 0,0 +y c lm,y 0,0 + 4 y 4 y d lm y,y 0,0 3 y 3 e lm,y 0,0 +y 4 +y 4 f lm,y 0,0 4 y 6 +y 3 g lm,y
Bardziej szczegółowoTablica Galtona. Mechaniczny model rozkładu normalnego (M10)
Tablca Galtoa. Mechaczy model rozkładu ormalego (M) I. Zestaw przyrządów: Tablca Galtoa, komplet kulek sztuk. II. Wykoae pomarów.. Wykoać 8 pomarów, wrzucając kulk pojedyczo.. Uporządkować wyk pomarów,
Bardziej szczegółowoMODELE OBIEKTÓW W 3-D3 część
WYKŁAD 5 MODELE OBIEKTÓW W -D część la wykładu: Kocepcja krzywej sklejaej Jedorode krzywe B-sklejae ejedorode krzywe B-sklejae owerzche Bezera, B-sklejae URBS 1. Kocepcja krzywej sklejaej Istotą z praktyczego
Bardziej szczegółowoopisać wielowymiarową funkcją rozkładu gęstości prawdopodobieństwa f(x 1 , x xn
ROZKŁAD PRAWDOPODBIEŃSTWA WIELU ZMIENNYCH LOSOWYCH W przpadku gd mam do czea z zmem losowm możem prawdopodobeństwo, ż przjmą oe wartośc,,, opsać welowmarową fukcją rozkładu gęstośc prawdopodobeństwa f(,,,.
Bardziej szczegółowoROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH
ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH ZMIENNA LOSOWA Defcja. Zmeą losową jest fukcja: X: E -> R która każdemu zdarzeu elemetaremu E przypsuje lczbę rzeczywstą e X ( e) R DYSTRYBUANTA Dystrybuatą zmeej losowej X
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2016/17
Egzami, 18.02.2017, godz. 9:00-11:30 Zadaie 1. (22 pukty) W każdym z zadań 1.1-1.10 podaj w postaci uproszczoej kresy zbioru oraz apisz, czy kresy ależą do zbioru (apisz TAK albo NIE, ewetualie T albo
Bardziej szczegółowoFUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH
FUNKCJE DWÓCH MIENNYCH De. JeŜel kaŝdemu puktow (, ) ze zoru E płaszczz XY przporządkujem pewą lczę rzeczwstą z, to mówm, Ŝe a zorze E określoa została ukcja z (, ). Gd zór E e jest wraźe poda, sprawdzam
Bardziej szczegółowoDobija M., Smaga E.; Podstawy matematyki finansowej i ubezpieczeniowej, PWN Warszawa- -Kraków 1995.
Bibliografia Dobija M., Smaga E.; Podstawy matematyki finansowej i ubezpieczeniowej, PWN Warszawa- -Kraków 1995. Elton E.J., Gruber M.J., Nowoczesna teoria portfelowa i analiza papierów wartościowych,
Bardziej szczegółowoStatystyka Opisowa 2014 część 3. Katarzyna Lubnauer
Statystyka Opsowa 014 część 3 Katarzya Lubauer Lteratura: 1. Statystyka w Zarządzau Admr D. Aczel. Statystyka Opsowa od Podstaw Ewa Waslewska 3. Statystyka, Lucja Kowalsk. 4. Statystyka opsowa, Meczysław
Bardziej szczegółowoWERSJA TESTU A. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LX Egzamin dla Aktuariuszy z 28 maja 2012 r. Część I. Matematyka finansowa
Matematyka fiasowa 8.05.0 r. Komisja Egzamiacyja dla Aktuariuszy LX Egzami dla Aktuariuszy z 8 maja 0 r. Część I Matematyka fiasowa WERJA EU A Imię i azwisko osoby egzamiowaej:... Czas egzamiu: 00 miut
Bardziej szczegółowoPodstawy opracowania wyników pomiarowych, analiza błędów
Podstawy opracowaa wyków pomarowych, aalza błędów I Pracowa Fzycza IF UJ Grzegorz Zuzel Lteratura I Pracowa fzycza Pod redakcją Adrzeja Magery Istytut Fzyk UJ Kraków 2006 Wstęp do aalzy błędu pomarowego
Bardziej szczegółowoElementy arytmetyki komputerowej
Elemety arytmetyk komputerowej cz. I Elemety systemów lczbowych /materał pomocczy do wykładu Iformatyka sem II/ Sps treśc. Wprowadzee.... Wstępe uwag o systemach lczbowych... 3. Przegląd wybraych systemów
Bardziej szczegółowoJEDNOWYMIAROWA ZMIENNA LOSOWA
JEDNOWYMIAROWA ZMIENNA LOSOWA Nech E będze zborem zdarzeń elemetarych daego dośwadczea. Fucję X(e) przyporządowującą ażdemu zdarzeu elemetaremu e E jedą tylo jedą lczbę X(e)=x azywamy ZMIENNĄ LOSOWĄ. Przyład:
Bardziej szczegółowoma rozkład złożony Poissona z oczekiwaną liczbą szkód równą λ i rozkładem wartości pojedynczej szkody takim, że Pr( Y
Zadaie. Łącza wartość szkód z pewego ubezpieczeia W = Y + Y +... + YN ma rozkład złożoy Poissoa z oczekiwaą liczbą szkód rówą λ i rozkładem wartości pojedyczej szkody takim, że ( Y { 0,,,3,... }) =. Niech:
Bardziej szczegółowoStatystyka. Analiza zależności. Rodzaje zależności między zmiennymi występujące w praktyce: Funkcyjna
Aalza zależośc Rodzaje zależośc mędzy zmeym występujące w praktyce: Fukcyja wraz ze zmaą wartośc jedej zmeej astępuje ścśle określoa zmaa wartośc drugej zmeej (p. w fzyce: spadek swobody gt s ) tochastycza
Bardziej szczegółowoMh n. 2 ε. h h/ n n. Ekstrapolacja Richardsona (szacowanie błędu) błąd. ekstrapolowana wartość całki I. kwadratury z adaptowanym krokiem
Ekstrapolacja Rchardsoa (szacowae błędu) dla daej, ustaloej metody błąd Mh zakładając, że M jest w przyblżeu ezależe od h I I + Mh h h/ / I I + Mh ekstrapolowaa wartość całk I I e I h / + Ih / ( I h )
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIE TRANSPORTOWE
ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZT.. Zagadee trasportowe w postac tablcy Z m puktów (odpowedo A,...,A m ) wysyłamy edorody produkt w loścach a,...,a m do puktów odboru (odpowedo B,...,B ), gdze est odberay w
Bardziej szczegółowoProjekt 2 2. Wielomiany interpolujące
Proekt Weloma terpoluące Rodzae welomaów terpoluącc uma edomaów Nec w przedzale a, b określoa będze fukca f: ec będze ustaloc m wartośc argumetu :,,, m, m L prz czm: < < L < < m m Pukt o tc odcztac azwa
Bardziej szczegółowoMETODY KOMPUTEROWE 1
MTODY KOMPUTROW WIADOMOŚCI WSTĘPN MTODA ULRA Mcał PŁOTKOWIAK Adam ŁODYGOWSKI Kosultacje aukowe dr z. Wtold Kąkol Pozań 00/00 MTODY KOMPUTROW WIADOMOŚCI WSTĘPN Metod umercze MN pozwalają a ormułowae matematczc
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna. Robert Rałowski
Aaliza matematycza Robert Rałowski 6 paździerika 205 2 Spis treści 0. Liczby aturale.................................... 3 0.2 Liczby rzeczywiste.................................... 5 0.2. Nierówości...................................
Bardziej szczegółowoMonika Jeziorska - Pąpka Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu
DYNAMICZNE MODELE EKONOMERYCZNE X Ogólopolske Semarum Naukowe, 4 6 wrześa 2007 w oruu Katedra Ekoometr Statystyk, Uwersytet Mkołaja Koperka w oruu Moka Jezorska - Pąpka Uwersytet Mkołaja Koperka w oruu
Bardziej szczegółowoMatematyka II. x 3 jest funkcja
Maemayka II WYKLD. Całka eozaczoa. Rachuek całkowy. Twerdzea o całkach eozaczoych. Całkowae wybraych klas fukcj. Całkowae fukcj wymerych. Całkowae fukcj rygoomeryczych.. Defcja fukcj perwoej. Fukcję F
Bardziej szczegółowoOBLICZANIE GEOMETRYCZNYCH MOMENTÓW BEZWŁADNOŚCI FIGUR PŁASKICH, TWIERDZENIE STEINERA LABORATORIUM RACHUNKOWE
OBLICZNIE GEOMETRYCZNYCH MOMENTÓW BEZWŁDNOŚCI FIGUR PŁSKICH, TWIERDZENIE STEINER LBORTORIUM RCHUNKOWE Prz oblczeach wtrzmałoścowch dotczącch ektórch przpadków obcążea (p. zgae) potrzeba jest zajomość pewch
Bardziej szczegółowoStatystyczne charakterystyki liczbowe szeregu
Statystycze charakterystyk lczbowe szeregu Aalzę badaej zmeej moża uzyskać posługując sę parametram opsowym aczej azywaym statystyczym charakterystykam lczbowym szeregu. Sytetycza charakterystyka zborowośc
Bardziej szczegółowoPOLSKA FEDERACJA STOWARZYSZEŃ RZECZOZNAWCÓW MAJĄTKOWYCH POWSZECHNE KRAJOWE ZASADY WYCENY (PKZW) KRAJOWY STANDARD WYCENY SPECJALISTYCZNY NR 4 KSWS 4
POZECHNE KRAJOE ZAADY YCENY (PKZ) KRAJOY TANDARD YCENY PECJALITYCZNY NR 4 K 4 INETYCJE LINIOE - ŁUŻEBNOŚĆ PRZEYŁU I BEZUMONE KORZYTANIE Z NIERUCHOMOŚCI 1. PROADZENIE 1.1. Nejszy stadard przedstawa reguły
Bardziej szczegółowoUKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH
Ekoeergetyka Matematyka. Wykład 4. UKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH Defiicja (Układ rówań liiowych, rozwiązaie układu rówań) Układem m rówań liiowych z iewiadomymi,,,, gdzie m, azywamy układ rówań postaci: a a a
Bardziej szczegółowo. Wtedy E V U jest równa
Prawdopodobeństwo statystyka 7.0.0r. Zadae Dwuwymarowa zmea losowa Y ma rozkład cągły o gęstośc gdy ( ) 0 y f ( y) 0 w przecwym przypadku. Nech U Y V Y. Wtedy E V U jest rówa 8 7 5 7 8 8 5 Prawdopodobeństwo
Bardziej szczegółowoBadania Maszyn CNC. Nr 2
Poltechka Pozańska Istytut Techolog Mechaczej Laboratorum Badaa Maszy CNC Nr 2 Badae dokładośc pozycjoowaa os obrotowych sterowaych umerycze Opracował: Dr. Wojcech Ptaszy sk Mgr. Krzysztof Netter Pozań,
Bardziej szczegółowoPERMUTACJE Permutacją zbioru n-elementowego X nazywamy dowolną wzajemnie jednoznaczną funkcję f : X X X
PERMUTACJE Permutacą zboru -elemetowego X azywamy dowolą wzaeme edozaczą fucę f : X X f : X X Przyład permutac X = { a, b, c, d } f (a) = d, f (b) = a, f (c) = c, f (d) = b a b c d Zaps permutac w postac
Bardziej szczegółowoTMM-2 Analiza kinematyki manipulatora metodą analityczną
Opracował: dr ż. Przemysław Szumńsk Laboratorum Teor Mechazmów Automatyka Robotyka, Mechatroka TMM- Aalza kematyk mapulatora metodą aaltyczą Celem ćwczea jest zapozae sę ze sposobem aalzy kematyk mechazmu
Bardziej szczegółowoLista 6. Kamil Matuszewski X X X X X X X X X X X X
Lsta 6 Kaml Matuszewsk 9..205 2 3 4 5 6 7 9 0 2 3 4 5 6 7 X X X X X X X X X X X X Zadae Lewa stroa: W delegacj możemy meć od do osób. Wyberamy ( k) osób a k sposobów wyberamy przewodczącego. k =.. węc
Bardziej szczegółowoLaboratorium z Biomechatroniki Ćwiczenie 3 Wyznaczanie położenia środka masy ciała człowieka za pomocą dźwigni jednostronnej
Wydzał: Mechaczy Techologczy Keruek: Grupa dzekańska: Semestr: perwszy Dzeń laboratorum: Godza: Laboratorum z Bomechatrok Ćwczee 3 Wyzaczae położea środka masy cała człoweka za pomocą dźwg jedostroej 1.
Bardziej szczegółowoWyznaczanie oporu naczyniowego kapilary w przepływie laminarnym.
Wyzaczae oporu aczyowego kaplary w przepływe lamarym. I. Przebeg ćwczea. 1. Zamkąć zawór odcający przewody elastycze a astępe otworzyć zawór otwerający dopływ wody do przewodu kaplarego. 2. Ustawć zawór
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 1. Wiadomości wstępne
TATYTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD Wadomośc wstępe tatystyka to dyscypla aukowa, której zadaem jest wykrywae, aalza ops prawdłowośc występujących w procesach masowych. Populacja to zborowość podlegająca badau
Bardziej szczegółowoBadania niezawodnościowe i statystyczna analiza ich wyników
Badaa ezawodoścowe statystycza aalza ch wyków. Co to są badaa ezawodoścowe jak sę je przeprowadza?. Metody prezetacj opsu daych pochodzących z eksperymetu 3. Sposoby wyzaczaa rozkładu zmeej losowej a podstawe
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD 3,4
STATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD 3,4 5 Szereg rozdzelczy przedzałowy (dae pogrupowae) (stosujemy w przypadku dużej lczby epowtarzających sę daych) Przedzał (w ; w + ) Środek x& Lczebość Lczebość skumulowaa s
Bardziej szczegółowoWSTĘP METODY OPRACOWANIA I ANALIZY WYNIKÓW POMIARÓW
WSTĘP METODY OPRACOWANIA I ANALIZY WYNIKÓW POMIARÓW U podstaw wszystkch auk przyrodczych leży zasada: sprawdzaem wszelkej wedzy jest eksperymet, tz jedyą marą prawdy aukowej jest dośwadczee Fzyka, to auka
Bardziej szczegółowoZadanie 1. ), gdzie 1. Zmienna losowa X ma rozkład logarytmiczno-normalny LN (, . EX (A) 0,91 (B) 0,86 (C) 1,82 (D) 1,95 (E) 0,84
Zadae. Zmea losowa X ma rozkład logarytmczo-ormaly LN (, ), gdze E ( X e X e) 4. Wyzacz. EX (A) 0,9 (B) 0,86 (C),8 (D),95 (E) 0,84 Zadae. Nech X, X,, X0, Y, Y,, Y0 będą ezależym zmeym losowym. Zmee X,
Bardziej szczegółowoMiary statystyczne. Katowice 2014
Mary statystycze Katowce 04 Podstawowe pojęca Statystyka Populacja próba Cechy zmee Szereg statystycze Wykresy Statystyka Statystyka to auka zajmująca sę loścowym metodam aalzy zjawsk masowych (występujących
Bardziej szczegółowoL.Kowalski PODSTAWOWE TESTY STATYSTYCZNE WERYFIKACJA HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH
L.Kowalsk PODSTAWOWE TESTY STATYSTYCZNE TESTY STATYSTYCZNE poteza statystycza to dowole przypuszczee dotyczące rozkładu cechy X. potezy statystycze: -parametrycze dotyczą ezaego parametru, -parametrycze
Bardziej szczegółowoPortfel złożony z wielu papierów wartościowych
Portfel westycyy ćwczea Na odst. Wtold Jurek: Kostrukca aalza, rozdzał 4 dr Mchał Kooczyńsk Portfel złożoy z welu aerów wartoścowych. Zwrot ryzyko Ozaczea: w kwota ulokowaa rzez westora w aery wartoścowe
Bardziej szczegółowo3. Funkcje elementarne
3. Fukcje elemetare Fukcjami elemetarymi będziemy azywać fukcję tożsamościową x x, fukcję wykładiczą, fukcje trygoometrycze oraz wszystkie fukcje, jakie moża otrzymać z wyżej wymieioych drogą astępujących
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna I.1
Aalza Matematycza I. Sera, Potr Nayar Zadae. Nech a k >, k =,..., b d lczbam rzeczywstym o tym samym zaku. Udowodj,»e prawdzwa jest erówo± + a + a... + a + a + a +... + a. Czy zaªo»ee,»e lczby a k maj
Bardziej szczegółowoLista 6. Kamil Matuszewski 26 listopada 2015
Lsta 6 Kaml Matuszews 6 lstopada 5 4 5 6 7 8 9 4 5 X X X X X X X X X X X D X X N Gdze X-spsae, D-Delarowae, N-edelarowae. Zadae Zadae jest westą odpowedego pomalowaa. Weźmy sobe szachowcę x, poumerujmy
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka r.
Prawdopodobeństwo statystyka 0.06.0 r. Zadae. Ura zawera kul o umerach: 0,,,,. Z ury cągemy kulę, zapsujemy umer kulę wrzucamy z powrotem do ury. Czyość tę powtarzamy, aż kula z każdym umerem zostae wycągęta
Bardziej szczegółowobędą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu o gęstości
Prawdopodobeństwo statystyka 4.0.00 r. Zadae Nech... będą ezależym zmeym losowym z rozkładu o gęstośc θ f ( x) = θ xe gdy x > 0. Estymujemy dodat parametr θ wykorzystując estymator ajwększej warogodośc
Bardziej szczegółowoW loterii bierze udział 10 osób. Regulamin loterii faworyzuje te osoby, które w eliminacjach osiągnęły lepsze wyniki:
Zadae W loter berze udzał 0 osób. Regulam loter faworyzuje te osoby, które w elmacjach osągęły lepsze wyk: Zwycęzca elmacj, azyway graczem r. otrzymuje 0 losów, Osoba, która zajęła druge mejsce w elmacjach,
Bardziej szczegółowoPRZEDZIAŁOWE METODY ROZWIĄZYWANIA ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ NIELINIOWYCH MECHANIKI KONSTRUKCJI
Adrzej POWNUK *) PRZEDZIAŁOWE METODY ROZWIĄZYWANIA ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ NIELINIOWYCH MECHANIKI KONSTRUKCJI. Wprowadzee Mechaka lowa staow jak dotąd podstawowy obszar zateresowań żyerskch. Isteje jedak
Bardziej szczegółowoProjekt 6 6. ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH CAŁKOWANIE NUMERYCZNE
Inormatyka Podstawy Programowana 06/07 Projekt 6 6. ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH CAŁKOWANIE NUMERYCZNE 6. Równana algebraczne. Poszukujemy rozwązana, czyl chcemy określć perwastk rzeczywste równana:
Bardziej szczegółowoDYNAMIKA UKŁADU PUNKTÓW MATERIALNYCH
WYKŁAD 3 DYNAIKA UKŁADU PUNKTÓW ATERIALNYCH UKŁAD PUNKTÓW ATERIALNYCH zbór skończoej lczby puktów materalych o zadaej kofguracj przestrzeej. Obłok Oorta Pas Kupera Pluto Neptu Ura Satur Jowsz Plaetody
Bardziej szczegółowo