Fale rzeczywiste. dudnienia i prędkość grupowa

Transkrypt

1 Fale rzezywiste dudnienia i rędkość gruowa Czysta fala harmonizna nie istnieje. Rzezywisty imuls falowy jest skońzony w zasie i w rzestrzeni:

2 Rzezywisty imuls falowy (iąg falowy) można rzedstawić jako suerozyję ewnej lizby (na ogół nieskońzonej) fal harmoniznyh. Rozważmy suerozyję fal łaskih o tyh samyh amlitudah, o nieznaznie różniąyh się ω i k, biegnąyh wzdłuż tej samej rostej gdzie ω ω ω, k k k ω ω ω śr, ( t k x) ( t k x) y Aos ω y Aos ω ω k y y y Aos t x os ωśr k k k śr. ( t k x) Jest to fala harmonizna o modulowanej amlitudzie. W ustalonym miejsu ( x onst ) jest to drganie harmonizne o modulowanej amlitudzie - dudnienie. śr

3 ( ω ) os ω A t ϕ os t ϕ y śr Przykład: fala akustyzna obserwator w miejsu x usłyszałby dźwięk o okresie Tπ/0, modulowany z okresem T mod π π, zyli dudnienie.

4 Widzimy, że imulsy (gruy fal ogranizone z dwóh stron rzez zerową amlitudę) rzesuwają się z jakąś rędkośią. Suerozyja y k y y A ω os t x os ωśr ( t k x) oisuje rzesuwanie się azek energii, onieważ energia jest roorjonalna do kwadratu amlitudy śr Znajdźmy rędkość rzesuwania się owierzhni falowej o stałej amlitudzie: ω k t x onst Jest to równanie ruhu tego zesołu (gruy) fal Prędkość tej gruy fal x ω t onst k v g dx dt ω k

5 nazywamy rędkośią gruową. Ogólnie: v g dω dk Prędkość gruowa jest ojęiem ważnym także dla tehniki. rędkośią gruową. Jeżeli v f nie zależy od λ, to rędkość fazowa jest równa rędkośi gruowej. Przykłady sytuaji, gdy rędkość fazowa jest równa rędkośi gruowej: fale dźwiękowe w owietrzu fale orzezne w strunie fale elektromagnetyzne w różni (n. światło). Są to rzyadki szzególne. Wszelkie sygnały rozhodzą się z

6 Efekt Dolera dla fali akustyznej olega na zmianie obserwowanej zęstośi dźwięku, względem znanej zęstośi źródła, wskutek ruhu źródła lub obserwatora względem ośrodka. Z O u<0 u>0 v>0 v<0 f f Dane: f,, u, v (tutaj rędkość dźwięku względem owietrza) Szukane: f Oznazenia: Z źródło, O obserwator. λ Jeżeli nie ma ruhu Z ani O, to λf, T f f I. Z nieruhome, O zbliża się do Z u 0, v > 0 rędkość względna fali i obserwatora jest większa od v λf f v λf f v f f

7 II. O nieruhomy, Z zbliża się do O u > 0, v 0 źródło dogania imulsy, fala się skraa λ λ ut λ f λ f ( ut ) f ( T ut ) f ( u) Tf ( u) f III. Z i O zbliżają się do siebie u 0, v 0 v f u f f f u v u f f Wzory te są słuszne dla rędkośi źródła i obserwatora mniejszyh od rędkośi dźwięku.

8 Mehanika łynów Hydrostatyka Hydrodynamika Prawo Arhimedesa: Na każde iało zanurzone w iezy działa siła wyoru, skierowana ku górze, równa o do wielkośi iężarowi iezy wyartej rzez to iało. F r w F w Vg V, Warunek ływania iał: F w Vg mg Vg Zastosowanie: łodzie, statki, balony.

9 Arhimedes (87-.n.e) Jego rawo ozwala zmierzyć gęstość iała rzez dwukrotne zważenie, n. w owietrzu i w wodzie (korona Herona). Prawo Pasala: Ciśnienie wywarte na iez rozhodzi się równomiernie we wszystkih kierunkah. Zastosowania: rasa hydraulizna, odnośnik F F S S S F S F F S S F

10 Blaise Pasal (63-66) Ciśnienie hydrostatyzne Paradoks hydrostatyzny g h Ciśnienie na dnie nazynia nie zależy od kształtu tego nazynia, lez od wysokośi słua iezy.

11 Hydrodynamika Ruh iezy idealnej Założenia: iez jest nieśiśliwa i nieleka rzeływ jest ustalony i bezwirowy Definije: ząstka łynu myślowo wyodrębniony element objętośi linia rądu linia, do której wektor rędkośi wybranej ząstki łynu jest w każdym unkie styzny struga rądu obszar w iezy utworzony rzez ewien iągły zbiór linii rądu v r v r v r 3 W dalszyh rozważaniah będziemy wiązać rędkość z unktem w rzestrzeni, a nie z konkretną ząstką łynu.

12 Równanie iągłośi v r A A v r Przeływ masy w tym samym zasie A m V v t A rzez : A m V v t A rzez : Prawo zahowania masy: m m stąd v A v A A v onst Strumień masy jest stały. Jeżeli iez jest nieśiśliwa to A v Natężenie rzeływu jest stałe. onst t

13 Równanie Bernoulliego wynika ze związku między raą i energią: E E k W l A l A W mgy mgy mgh E mv mv E k mv mv mgy mgy l A l A Vv Vv Vgy Vgy V V v v gy gy v gy v gy onst v gy

14 definije: gy - iśnienie statyzne v - iśnienie dynamizne Słowne sformułowanie rawa Bernoulliego: suma iśnienia statyznego i dynamiznego jest wielkośią stałą. Zastosowania:. omiar rędkośi iezy i gazów w rurah. siła nośna skrzydła samolotu 3. rozylaze aerozoli Daniel Bernoulli (700-78)

15 Ruh iezy lekiej W rzezywistej iezy istnieją oddziaływania międzyząstezkowe. Ciez oddziałuje ze śiankami rury i z rzedmiotami w niej zanurzonymi. Warstwy iezy oddziałują ze sobą. Przeływ iezy rzez rurę: niebieskie strzałki wektory rędkośi na styku ze śianką rury v 0 Prawo Newtona dla lekośi F r S S F r v r r r v v n F S n v F η, a w graniy S dn dv η η - wsółzynnik lekośi dynamiznej

16 Przykład na zastosowanie równania Bernoulliego do łynu wykazująego lekość: strzelanie bramek z kornera lub obok muru (efekt Magnusa). Lot iłki bez rotaji: lot iłki z nadaną rotają wskutek lekośi owierzhnia iłki orywa ząstezki owietrza, dlatego rędkość owietrza względem iłki o obu stronah nie jest taka sama: v mniejsze, dyn mniejsze, stat większe siła Magnusa v większe, dyn większe, stat mniejsze