Niezawodność i Diagnostyka

Transkrypt

1 Kedr Merolog Opoelekronk Wydzł Elekronk Telekomunkcj Informyk Polechnk Gdńsk Nezwodność Dgnosyk Ćwczene lororyjne Nr Grfczne nlyczne meody esown hpoez o rozkłdch czsów prcy do uszkodzen w celu wyznczen chrkerysyk nezwodnoścowych Gdńsk,

2 . Funkcyjne chrkerysyk nezwodnośc Z podswowe chrkerysyk nezwodnośc przyjmuje sę: - dysryunę czsu poprwnej prcy F(), - funkcję gęsośc uszkodzeń f(), - funkcję nensywnośc uszkodzeń λ(), - funkcję nezwodnośc R(). Dysryun czsu poprwnej prcy, F(), jes defnown jko prwdopodoeńswo ego, że uszkodzene wyrou nsąp ne późnej nż w chwl. Dysryun F() dl określonej funkcj gęsośc uszkodzeń, f(), jes dn wyrżenem: F( ) P( T ) f ( u) du Funkcj nensywnośc uszkodzeń, λ(), jes defnown jko prwdopodoeńswo wrunkowe ego, że uszkodzene wyrou nsąp w przedzle czsu, [, ( + )], le ne wcześnej jk w czse : f ( ) ( ) F( ) Funkcj nezwodnośc, R(), jes defnown jko prwdopodoeńswo ego, że dny wyró spełn wymgne funkcje w określonych wrunkch prcy w uslonym czse. Nezwodność dnego wyrou jes prwdopodoeńswem wysąpen przypdkowego zdrzen jkm jes jego uszkodzene. Czs prcy wyrou do uszkodzen jes zmenną losową. Tesy nezwodnoścowe są prowdzone w celu oszcown chrkerysyk nezwodnoścowych. Wynk esu, o lczy uszkodzonych wyroów w czse esu orz ch czsy uszkodzeń zpsywne w posc cągu rosnącego. Jk już wspomnno czs do uszkodzen wyrou,, jes rkowny jko zmenn losow. Wynk esu przedswne są zwykle w nsępującej posc: { },,3,..., M M N gdze: M lcz uszkodzonych wyroów w czse esu, N lcz wyroów pornych do esu. Meody wnoskown sysycznego służą do wnoskown o włścwoścch populcj generlnej n podswe wynków esu nezwodnoścowego. Do meod wnoskown sysycznego zlcz sę: - meody grfczne zujące n skch funkcyjnych, - meody nlyczne zujące n esch sysycznych.

3 Meody grfczne są meodm przylżonym, są sosowne zwykle jko meody wsępne, dokłdne oszcown możn uzyskć n podswe meod nlycznych. Dokłdność oszcown rozkłdu uszkodzeń meodm grfcznym jes określn wzulne po przedswenu wynków esu n specjlne skonsruownych skch funkcyjnych dysryuny. Meody grfczne umożlwją: - sprwdzene zgodnośc posc funkcyjnej rozkłdu emprycznego zmennej losowej,, czyl czsu poprwnej prcy do uszkodzen z złożonym rozkłdem eoreycznym, n jego sce funkcyjnej, - szcowne prmerów ego rozkłdu. Sk funkcyjne dysryuny czsu poprwnej prcy chrkeryzują sę ym, że wykres dysryuny zmennej losowej,, o rozkłdze zgodnym z rozkłdem eoreycznym, dl kórego skonsruowno skę, jes n ej sce lną prosą. Sk funkcyjne są konsruowne dl kżdego z ypowych rozkłdów. Zwykle nlzę wynków esu nezwodnoścowego zczyn sę od grfcznego esown hpoezy o rozkłdze zmennej losowej jką jes czs do uszkodzen, czyl oszcown funkcj gęsośc uszkodzeń, nsępne oszcowywne są funkcj nensywnośc uszkodzeń funkcj nezwodnośc, jeżel uzyskno powerdzene o zgodnośc rozkłdów emprycznego eoreycznego. Dokłdnejsze wynk możn uzyskć sosują meody nlyczne, np. meodę n. Ćwczene lororyjne umożlw zpoznne sę z grfcznym nlycznym zsdm wnoskown sysycznego o rozkłdze uszkodzeń: normlnym Weull. 3

4 4.. Rozkłd normlny Funkcj gęsośc uszkodzeń, f(), dl rozkłdu normlnego czsu poprwnej prcy do uszkodzen,, dn jes zleżnoścą: exp ) ( f gdze: μ wrość średn, σ wrncj, σ sndrdow dewcj. Dysryun czsu poprwnej prcy, F(), opsywn jes jko: exp exp ) ( du u du u F Funkcj nezwodnośc, R(), może yć określon z zleżnośc: R() = F() W celu unezleżnen sę od prmerów rozkłdu normlnego, j. wrośc średnej sndrdowej dewcj, wprowdzono zmenną sndryzowną, z α, zdefnowną jko: N z,...,,,3 Rozkłd ej zmennej jes szczególnym przypdkem rozkłdu normlnego, dl wrośc średnej równej sndrdowej dewcj równej. Dysryun sndryzown czsu poprwnej prcy, F(z α ), zmennej losowej, z α, jes dn jko: du u z P z F z exp dl Wrośc dysryuny sndryzownej, F(z α ), zleżą ylko od wrośc zmennej losowej z α, są nezleżne od μ σ. Wrośc dysryuny sndryzownej są przedswone w forme el w Dodku umeszczonym n końcu Insrukcj do Ćwczen lororyjnego nr. W el zeswono wrośc F(z α ) dl wrośc zmennej z αj = -4. (.) 4..

5 Dośwdczln (empryczn) dysryun czsu poprwnej prcy dn jes wzorem: F F,,3,..., M () N N gdze: N lcz wyroów pornych do esu, M lcz wyroów uszkodzonych, =,, 3,, M, M N. Typowe przeeg chrkerysyk nezwodnoścowych przedswono n rys.. rys... Rys... Funkcje gęsośc uszkodzeń rozkłdu normlnego dl różnych wrośc prmerów rozkłdu Rys... Funkcje nezwodnośc I nensywnośc uszkodzeń dl rozkłdu normlnego przy różnych wroścch prmerów rozkłdu 5

6 Weźmy pod uwgę es nezwodnoścowy przeprowdzony dl N wyroów. W czse esu uszkodzenu uległo M wyroów. Czsy uszkodzeń wyroów są znne oznczone przez =,,, M. Swmy hpoezę, że wynk esu, zn. czsy do uszkodzen dnych wyroów mją rozkłd normlny..olczmy dośwdczlną dysryunę czsu poprwnej prcy, F, =,,, M, zgodne z zleżnoścą ()..Z lcy umeszczonej w Dodku odczyujemy wrośc, z, dl, F =,,, M,. Wrość, z, dl dnej, F, jes wroścą funkcj odwronej do dysryuny dośwdczlnej. 3.N sce funkcyjnej rozkłdu normlnego zznczmy punky: (z, ), =,,, M: N sce funkcyjnej rozkłdu normlnego punky (z, ) pownny dć sę przylżyć prosą, jeżel rozkłd czsów do uszkodzen jes rozkłdem normlnym, ponewż słuszn jes zleżność: z = + =,, 3,, M. Do wyznczen prosej możn zsosowć meodę regresj lnowej. Jeżel n sce funkcyjnej dysryuny możlwe jes wykreślene prosej, względem kórej rozrzu punków (z, ) =,,, M jes newelk, o możemy przyjąć, że jes o pros proksymując wykres dysryuny zmennej losowej. Czyl ocenmy zgodność rozkłdów wzulne. 4. Jeżel możn wrysowć prosą, o możemy uznć, że nsz hpoez ył słuszn. 5. Z prmerów prosej nleży określć wrośc prmerów rozkłdu normlnego: wrość średną dewcję sndrdową. Punk przecęc wrysownej prosej z osą, określ wrość średną μ, nchylene prosej jes równe /σ, gdze σ dewcj sndrdow. Olczen możemy wykonć n podswe zleżnośc: z = + = = -/ = μ σ = / N podswe oszcownych prmerów rozkłdu normlnego możn określć chrkerysyk nezwodnoścowe, mnowce: funkcję gęsośc uszkodzeń, funkcję nensywnośc uszkodzeń funkcję nezwodnośc jko funkcje czsu. 6

7 .. Rozkłd Weull Funkcj gęsośc uszkodzeń, f(), rozkłdu Weull jes dn zleżnoścą: gdze:, prmer kszłu,, prmer skl. f ) ( exp Dysryun czsu poprwnej prcy, F(), dl, dn jes zleżnoścą: F( ) exp Funkcj nezwodnośc, R(), dl, może yć określon z zleżnośc: R( ) F( ) exp Funkcj nensywnośc uszkodzeń, λ(), dl, dn jes zleżnoścą: ( ) f ( ) R( ) funkcj nensywnośc uszkodzeń jes nezleżn od czsu, funkcj nensywnośc uszkodzeń rośne w funkcj czsu, funkcj nensywnośc uszkodzeń mleje w funkcj czsu. Dośwdczln dysryun czsu poprwnej prcy dn jes zleżnoścą: F.3 N.4,,3,..., M () gdze: N lcz wyroów porn do dn, M lcz uszkodzonych wyroów, =,, 3,, M, M N. W celu skonsruown sk funkcyjnej dośwdczlnej dysryuny F F ( ) dl czsu zosły wykonne nsępujące przekszłcen memyczne: 7

8 Y ln F( ) exp F( ) exp ln F( ) ln F( ) ln F( ) ln ln ln ln ln ln ln F ( ) ln ln ln ln ln c Y ln ln ln F ( ) (3) Oseczn wersj dośwdczlnej dysryuny jes lnową funkcją ln: Y (ln ) ln ln (4) Typowe przeeg chrkerysyk nezwodnoścowych dl rozkłdu Weull przedswono n rys.. rys... f() > > Fg... Funkcje gęsośc uszkodzeń rozkłdu Weull dl różnych wrośc prmeru kszłu 8

9 Fg... Funkcje nezwodnośc funkcje nensywnośc uszkodzeń rozkłdu Weull dl różnych wrośc prmeru kszłu Przeprowdzono es nezwodnoścowy, do dń porno N wyroów, M wyroów uległo uszkodzenu, wynkem esu są czsy uszkodzeń M wyroów. Formułujemy hpoezę, że wynk esu, czsy uszkodzeń, mją rozkłd Weull.. Olczmy dysryunę dośwdczlną, F, =,,, M, zgodne z zleżnoścą ().. Olczmy wrośc Y (ln ) =,,, M, zgodne z zleżnoścą (3). 3. Olczmy wrośc, ln =,,, M. 4. N sce funkcyjnej dysryuny dnej wzorem () zznczmy punky: Y (ln ), ln,,3,..., M 5. N sce funkcyjnej rozkłdu Weull punky: Y (ln ), ln,,3,..., M pownny dć sę przylżyć prosą, jeżel rozkłd czsów do uszkodzen jes rozkłdem Weull. Do wyznczen prosej możn zsosowć meodę regresj lnowej. Jeżel n sce funkcyjnej dysryuny możlwe jes wykreślene prosej, względem kórej rozrzu punków: Y (ln ), ln,,3,..., M jes newelk, o możemy przyjąć, że jes o pros proksymując wykres dysryuny zmennej losowej. Czyl ocenmy zgodność rozkłdów wzulne. 4. Jeżel możn wrysowć prosą, o możemy uznć, że nsz hpoez ył słuszn. 5. Z prmerów prosej nleży określć wrośc prmerów rozkłdu Weull: prmer kszłu prmer skl. 9

10 Z określen prmerów prosej możn oszcowć prmery rozkłdu Weull, mnowce prmer kszłu prmer skl, chrkeryzującego wynk esu. Punk przecęc proksymującej prosej z osą Y umożlw określene słej w równnu prosej, j. (- c), nchylene prosej proksymującej jes równe wrośc prmeru kszłu rozkłdu Weull. Z wrośc c orz możn olczyć prmer skl zgodne ze wzorm: c ln exp c N podswe oszcownych prmerów rozkłdu Weull możn określć chrkerysyk nezwodnoścowe, mnowce: funkcję gęsośc uszkodzeń, funkcję nensywnośc uszkodzeń funkcję nezwodnośc jko funkcje czsu.

11 .3. Meody nlyczne wnoskown sysycznego Do meod nlycznych wnoskown sysycznego o włścwoścch rozkłdu zmennej losowej,, nleżą meody neprmeryczne ke jk: M, Mzes-Smrnow,. W ćwczenu lororyjnym nleży zsosowć meodę M. Swmy hpoezę, że dysryun dośwdczln jes zgodn z dysryuną wyrnego rozkłdu eoreycznego. Mr rozeżnośc ych rozkłdów może zosć oszcown z zleżnośc: M M M F( ) F ( ) gdze: M lcz wyroów uszkodzonych podczs esu, - dysryun dośwdczln, - dysryun eoreyczn. Mr rozeżnośc jes przypdkow, jeżel przy pozome sonośc α: dl ( α) =.8 =.4. Ne m powodu do odrzucen hpoezy, jeżel dl ( α) =.8:

12 . Ćwczen lororyjne W Ćwczenu lororyjnym jeden ypowy przykłd jes przyoczony dl kżdego rozkłdu uszkodzeń, włścwe zdne do rozwązn zosne przekzne w czse lororum. Wszyske olczen nleży wykonć w progrme Excel... Rozkłd normlny Tes nezwodnoścowy zosł wykonny dl N = 3 kondensorów. Tes rwł do czsu uszkodzen wszyskch kondensorów, czyl przez 3 godzn. Czsy uszkodzeń kondensorów yły nsępujące: 5, 7, 9,, 5, 3, 6, 8,,, 5, 3, 3 godzn. Zdn do wykonn Sprwdź hpoezę, że rozkłd czsów poprwnej prcy kondensorów do uszkodzen m rozkłd normlny. Zgodne z wyycznym z punku. olcz dośwdczlną dysryunę, odczyj wrośc funkcj odwronej do dysryuny wykreśl olczone punky n sce funkcyjnej rozkłdu normlnego. Oceń, czy możn punky n sce funkcyjnej proksymowć prosą. Jeżel hpoez, że rozkłd uszkodzeń kondensorów jes normlny jes słuszn, czyl mr rozeżnośc punków dysryuny od prosej jes newelk, o: - oszcuj prmery prosej proksymującej punky, - oszcuj prmery rozkłdu normlnego. Borąc pod uwgę oszcowne prmery rozkłdu normlnego olcz jko funkcje czsu: - funkcję gęsośc rozkłdu, - funkcję nezwodnośc, - funkcję nensywnośc uszkodzeń. Dl oszcownych prmerów rozkłdu normlnego posw hpoezę, że mr rozeżnośc pomędzy dośwdczlną dysryuną dysryuną eoreyczną (dl oszcownych prmerów rozkłdu) jes przypdkow. Oszcowne wykonj esem dl: M ( α) =.8 =.4. Podsumuj uzyskne wynk... Rozkłd Weull Tes nezwodnoścowy zosł wykonny dl N = 5 rnzysorów mocy. Tes rwł do czsu uszkodzen wszyskch rnzysorów, czyl przez 49 godzn. Czsy uszkodzeń rnzysorów yły nsępujące: 3, 85, 3, 8,, 85, 34, 38, 44, 49 godzn.

13 Zdn do wykonn Sprwdź hpoezę, że rozkłd czsów poprwnej prcy rnzysorów mocy do uszkodzen m rozkłd Weull. Zgodne z wyycznym z punku. olcz dośwdczlną dysryunę, olcz Y (ln ) ln dl =,, 3,, M, wykreśl olczone punky n sce funkcyjnej rozkłdu Weull. Oceń, czy możn punky n sce funkcyjnej proksymowć prosą. Jeżel hpoez, że rozkłd uszkodzeń rnzysorów mocy jes rozkłdem Weull jes słuszn, czyl mr rozeżnośc punków dysryuny od prosej jes newelk, o: - oszcuj prmery prosej proksymującej punky, - oszcuj prmery rozkłdu Weull. Borąc pod uwgę oszcowne prmery rozkłdu Weull olcz jko funkcje czsu: - funkcję gęsośc rozkłdu, - funkcję nezwodnośc, - funkcję nensywnośc uszkodzeń. Dl oszcownych prmerów rozkłdu Weull posw hpoezę, że mr rozeżnośc pomędzy dośwdczlną dysryuną dysryuną eoreyczną (dl oszcownych prmerów rozkłdu) jes przypdkow. Oszcowne wykonj esem n dl: ( α) =.8 =.4. Podsumuj uzyskne wynk. Sprwozdne z lororum mus zwerć: Treść zdń do wykonn, hpoezy doyczące oczekwnego rozkłdu uszkodzeń, wynk olczeń I oszcowń. Wynk olczeń nleży zmeścć w elch, wrośc oszcownych prmerów rozkłdu nleży dokłdne opsć, punky dysryuny dośwdczlnej wykreślć n skch funkcyjnych, funkcje gęsośc uszkodzeń, nensywnośc uszkodzeń nezwodnośc wykreślć w funkcj czsu prcy do uszkodzen. Wnosek z olczeń mry rozeżnośc w meodze nlycznej mus yć w sposó jsny sformułowny. Sprwozdne mus zwerć podsumowne. 3