Rodzinę odwzorowań {f i : X X} k i=1 nazywamy iterowanym układem funkcyjnym (ang. IFS iterated function system).
|
|
- Klaudia Jaworska
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Iterowane układy funkcyjne Fraktale i chaos K. Leśniak X przestrzeń metryczna (w szczególności X R lub X C R 2 ). Rodzinę odwzorowań {f i : X X} k i= nazywamy iterowanym układem funkcyjnym (ang. IFS iterated function system). Domknięty zbiór = A X nazywamy globalnym atraktorem układu {f i } k i=, gdy przyciąga wszystkie trajektorie x 0 f i fi (x 0 ) = x f i2 fi2 (x ) = x 2... (At) x n = f in (f in (... (f i2 (f i (x 0 )))...)) n A, i, i 2,... {,..., k}, i A jest minimalny ze względu na własność (At) tzn. każdy zbiór domknięty = A # X przyciągający trajektorie x n n A #, zawiera w sobie A.
2 2 Fraktale i chaos K. Leśniak Przykład. f : X X układ dynamiczny, P orbita okresowa przyciągająca wszystkie trajektorie P atraktor globalny IFS-u {f : X X}. Poniżej X = [0, ], {f, f 2 : X X}. Przykład. f (x) = 3 x, f 2(x) = 4 x. Ponieważ f i (x) 2 x, więc x n = f in (f in (... (f i2 (f i (x 0 )))...)) 2 f i n (f in 2 (... (f i2 (f i (x 0 )))...)) 2 czyli A = {0}. 2 f in 2 (... (f i2 (f i (x 0 )))...) 2 n x 0 n 0, Znacznie wygodniej jest śledzić nie ewolucję punktów (pojedyncze trajektorie), lecz ewolucję zbiorów ( globalny obraz wszystkich trajektorii ). Tak też czynimy w dalszych przykładach. Od strony formalnej podejście to wymaga jednak bardziej szczegółowych wyjaśnień, gdyż dla dowolnych (niezwartych) układów prowadzi do tzw. globalnego atraktora maksymalnego, a nie minimalnego.
3 Fraktale i chaos K. Leśniak 3 Przykład. f (x) = 3 x, f 2(x) = 2 3 x + 3. Mamy f ([0, ]) = [ 0, 3], f 2 ([0, ]) = [ 0, 2 3 ] + 3 = [ 3, ] f ([0, ]) f 2 ([0, ]) = 0, 3 A = [0, ]. 3, = [0, ] 0 f f Wniosek: Atraktor nie musi być ani punktem stałym ani orbitą okresową. Ogólnie atraktor może być dziwnym zbiorem np. ekstremalnie niespójnym zwartym zbiorem mocy continuum albo stanowić krzywą nieskończonej długości leżącą w ograniczonym obszarze.
4 4 Fraktale i chaos K. Leśniak Przykład (pył Cantora). f (x) = 3 x, f 2(x) = 3 x f ([0, ]) = [ 0, 3 ], f2 ([0, ]) = [ 0, 3 [0, ] f [ ] [ f 2 0, 2 3, f f 2 ] 3 ] = [ 2 3, ], [ [ f f 2 0, 9] 2 9, [ 3] 2 3, 7 ] [ 9 8 9,.... ] 0 f f f f 2 f f stan po iteracji stan po 2 iteracjach W konsekwencji [!!] A = d i 3 i : d i {0, 2} i= zbiór trójkowy Cantora. Ćwiczenie: Zbadać układ {f i : [0, ] [0, ]} 2 i=, f (x) = 3 x, f 2(x) = 3 x.
5 Fraktale i chaos K. Leśniak 5 Przykład (dywan Sierpińskiego). X = [0, ] 2, f ij : X X, f ij (x, y) = (i, j) {0,, 2} 2 \ {(, )}. 3 x + i 3, 3 y + j 3, f ij Po trzykrotnym zadziałaniu IFS-u na punkty kwadratu:
6 6 Fraktale i chaos K. Leśniak Twierdzenie (kontraktywny IFS) X metryczna zupełna, f i kontrakcje (i =,..., k), L< x,y X f i (x) f i (y) L x y, oznacza odległość w X. Wówczas IFS {f i : X X} k i= posiada globalny atraktor. Dowód. (Szkic, gdy X jest zwarta.) Φ : 2 X 2 X tzw. operator Hutchinsona-Barnsleya, Kładziemy Mamy A X Φ(A) = k i= f i (A). A 0 = X, A = Φ(A 0 ) = Φ(X), A 2 = Φ(A ) = Φ 2 (X), A n = Φ(A n ) = Φ n (X). A 0 = X Φ(X) = A, A n A n A n+ = Φ(A n ) [!] Φ(A n ) = A n. [!] f i (A n ) f i (A n ). Dzięki zwartości X: A = n=0 A n jest niepusty, zwarty oraz stanowi globalny atraktor IFS-u {f,..., f k }.
7 Fraktale i chaos K. Leśniak 7 Zwartość powoduje, że choć trajektorie nie są zbieżne, to ich podciągi są zbieżne, a trajektorie łącznie są przyciągane. Nieco trudniej przekonać się, że zbiór A jest istotnie najmniejszym zbiorem przyciągającym wszystkie trajektorie (minimalność). Uwaga:. W szczególności powyższe twierdzenie dotyczy zwartego odcinka [0, ] i kwadratu [0, ] Wszystkie dotychczas rozważone IFS-y miały stałą kontrakcji co najwyżej L = IFS jako jednorodny schemat generowania wielu fraktali (np. śnieżynki Kocha) został zaproponowany przez Hutchinsona w 98. W dowodzie twierdzenia o istnieniu atraktora Hutchinson zastosował metodę wzorowaną na dynamice symbolicznej. Jako niezależną ciekawostkę podał też dowód oparty na twierdzeniu Banacha o punkcie stałym. 4. Różne warianty powyższego twierdzenia z różnymi dowodami były odkrywane od dawna choć formułowano je przy użyciu odmiennej terminologii: np. Strother w 953, Ponomariew w 963, Williams ok.970 (wszyscy przed słynną książką Mandelbrota!).
8 8 Fraktale i chaos K. Leśniak 5. Przedstawiona metoda dowodu nawiązuje do twierdzenia Knastera-Tarskiego o punkcie stałym. Twierdzenie tego typu (twierdzenie Tarskiego-Kantorowicza) zostało użyte do IFS-ów po raz pierwszy najprawdopodobniej dopiero w 985 przez S.Hayashiego, choć w 984 ukazała się praca z informatyki teoretycznej autorstwa Soto-Andrade i Varela na temat obiektów końcowych rekursji. Ok.928 Knaster zreferował swój wynik dotyczący przekrojów rodzin zbiorów. Miał to być sposób na szybki dowód twierdzenia Cantora-Bernsteina o porównywaniu liczb kardynalnych. Twierdzenie Knastera powstałe z myślą o dowodzie twierdzenia Cantora na temat liczb kardynalnych pozwala udowodnić istnienie w IFS-ach takich atraktorów jak pył Cantora. Historia zatacza koło???
9 Fraktale i chaos K. Leśniak 9 Przykład (uciekające trajektorie). X = [0, ), f (x) = 2x, f 2 (x) = 3x. f (0) = 0 = f 2 (0) f in (f in (... (f i2 (f i (0)))...)) = 0 n 0. x 0 > 0, i, i 2,..., i n {, 2} f in (f in (... (f i2 (f i (x 0 )))...)) 2 n x 0 n dowolny zbiór {0} [a, ), a > 0, przyciąga wszystkie trajektorie. Ale {0} = a>0 {0} [a, ) nie przyciąga wszystkich trajektorii. Brak minimalnego zbioru przyciągającego (=globalnego atraktora).
10 0 Fraktale i chaos K. Leśniak Baseny Newtona g : C C, f(z) = z g(z) g (z). Zespolony schemat Newtona-Raphsona: (NR) z n+ = z n g(z n) g (z n ) = f(z n) = f n (z 0 ). Przykład ( 3 ). g(z) = z 3 g (z) = 3z 2, f(z) = 2z3 + 3z 2. Miejsca zerowe: g (0) = {ε k, k = 0,, 2} = {, ε, ε}, gdzie ε = cos π 3 + i sin π 3. Przypomnijmy: Bas f (u) = {z C : z n = f n (z) n u}. Bas f (), Bas f (ε), Bas f ( ε) baseny Newtona. Ciągi (NR) startujące z basenu Bas f (ε k ) są przyciągane przez pierwiastek z jedynki ε k. J(f) = C \ 2 k=0 Bas f (ε k ) zbiór Julii odwzorowania f, oddziela baseny.
11 Fraktale i chaos K. Leśniak Baseny Newtona 3 zobrazowane programem Fractint. Zoom na węzeł. Zoom na ramię. Zagadka: które ramię zostało powiększone?
12 2 Fraktale i chaos K. Leśniak Odpowiedź (lokalizacja na lewym obrazku): lewe górne ramię (górny warkocz w warkoczu ). Choć sądząc po rozkładzie basenów równie dobrze mogło to być górne lub dolne ramię (po obrocie obrazu).
13 Funkcja logistyczna Model Malthusa Fraktale i chaos K. Leśniak 3 x n+ = r x n x n = r n x 0, r przyrost naturalny, x n liczebność lub gęstość populacji. r > x n n (eksplozja demograficzna).
14 4 Fraktale i chaos K. Leśniak Model Verhulsta (logistyczny) x n+ = r x n ( x n ), (0, 4] r przyrost naturalny, [0, ] x n gęstość populacji. f : [0, ] [0, ], f(x) = r x ( x) f (x) = r ( 2x), Fix(f) = { 0, r } [0, ].
15 Fraktale i chaos K. Leśniak 5 Punkty stałe r (0, ) obserwacje f(x) r x x r, f n (x) r n n 0 stabilność punktów stałych {0} atraktor, przyciąga wszystkie trajektorie f(x) = x ( x) x, {0} atraktor, przyciąga (f n (x)) n=0 malejący i ograniczony wszystkie trajektorie (, 3) 3 (3, 4] f (0) = r >, f ( ) r = 2 r < x > r x < r f(x) < x, f(x) > x, (f n (x)) n=0 monotoniczny f ( r ) = 2 r > {0} repeler, { } r atraktor {0} repeler, { } r atraktor {0} repeler, { } r repeler Przy r = 3 oba punkty stałe przestają być stabilne pojawia się przyciągająca orbita 2-okresowa. W r = 3 mamy do czynienia z bifurkacją podwojenia okresu.
16 6 Fraktale i chaos K. Leśniak Bifurkacja zmiana jakościowa w zachowaniu układu dynamicznego przy zmianie któregoś z parametrów tego układu. W teorii układów dynamicznych (w szczególności równań różniczkowych) wyróżnia się kilka odmian bifurkacji. W naszej sytuacji wraz ze zmianą parametru r pojawiają się orbity okresowe...
17 Punkty dwuokresowe Fraktale i chaos K. Leśniak 7 Fix(f 2 ) \ Fix(f) = {p, p 2 }, p,2 = r + r 2 2 r 3 2r. r obserwacje stabilność punktów stałych (3, + 6) f (p ) f (p 2 ) = r 2 2 r 4 < {p, p 2 } atraktor + 6 dist(f(x), P ) < dist(x, P ) x P P = {p, p 2 } atraktor ( + 6, 4] f (p ) f (p 2 ) > {p, p 2 } repeler
18 8 Fraktale i chaos K. Leśniak Pojawiają się dalsze podwojenia okresu. + 6 = r < r 2 <... < r n <... < lim n r n = r < 4. r (r n, r n ) r = r n r (r n, r n+ ) niestabilne orbity 2 k -okresowe, k = 0,,..., (n 2), stabilne orbity 2 n -okresowe, brak orbit 2 n -okresowych i wyższych punkt podwojenia okresu niestabilne orbity 2 k -okresowe, k = 0,,..., (n ), stabilne orbity 2 n -okresowe, brak orbit 2 n+ -okresowych i wyższych Obserwujemy bifurkację podwojenia okresu (ang. period doubling bifurcation). Odstępy r n+ r n pomiędzy kolejnymi bifurkacjami spełniają: lim n r n r n r n+ r n = δ 4, 6992 (tzw. stała Feigenbauma).
19 Fraktale i chaos K. Leśniak 9 Ze wzrostem r kolejne orbity tracą stabilność i pojawiają się nowe orbity stabilne. Ilustruje to drzewo figowe Diagram Feigenbauma Zoom na gałęzie drzewa. Wreszcie dla pewnego r < 4 pojawiają się orbity 3-okresowe.
20 20 Fraktale i chaos K. Leśniak Twierdzenie 2 (Szarkowskiego) Uporządkujmy liczby naturalne następująco: m k (2n ) (2n ) R J przedział domknięty, f : J J ciągłe. f posiada punkt okresowy o okresie minimalnym τ, τ 2 τ f posiada punkt okresowy o okresie minimalnym τ 2. Zatem dla r bliskich 4 odwzorowanie logistyczne posiada punkty okresowe o wszystkich możliwych okresach. Ale to jeszcze nie chaos.
21 Fraktale i chaos K. Leśniak 2 Dopiero f(x) = 4 x ( x)(przekształcenie Ulama) zachowuje się naprawdę chaotycznie. Ale co to znaczy chaos? Definicja (Devaney). f : J J chaotyczne, gdy posiada gęstą trajektorię: x 0 J ε > 0 y J n x n = f n (x 0 ) [y ε, y + ε], ma gęsty zbiór punktów okresowych: ε > 0 y J x [y ε, y + ε] τ f τ (x) = x. Innymi słowy pewna trajektoria nawiedza wszystkie otoczenia, choć trajektorie okresowe są powszechne.
22 22 Fraktale i chaos K. Leśniak Odwzorowania chaotyczne są czułe na zmianę warunków początkowych: trajektorie startujące blisko siebie po kilku iteracjach przestają być skorelowane. Poniżej przedstawiamy efekt motylich skrzydeł dla f(x) = 4 x ( x), x n+ = f(x n ). n x n x n x n x n x n
23 Zastosowania chaosu Fraktale i chaos K. Leśniak 23 Przykład (generator losowy Ulama) x 0 ziarno (ang. seed), f : [0, ] [0, ] przekształcenie chaotyczne, x n+ = f(x n ), (x n ) N n=0 ciąg liczb pseudolosowych. 50 liczb {0,..., 9} wylosowanych przez: standardowy generator Maple a: 0, 9, 4, 5, 3, 9,,, 5, 9, 6, 3, 0, 3, 6, 7, 3, 3, 6, 8, 8, 8, 6,, 4, 3, 2, 2, 7, 5, 0, 6, 3, 7,, 8,, 9, 9, 3, 5, 2, 0, 9, 7, 8, 4, 8, 2, 6. pierwsze cyfry po przecinku punktów trajektorii f(x) = 4 x ( x) startującej z x 0 = 0.095: 0, 3, 9, 3, 9, 3, 8, 4, 9, 0,, 5, 9, 0, 0, 0,, 5, 9, 0, 2, 8, 5, 9,, 5, 9, 0, 0, 0, 3, 8, 4, 9, 0, 0, 2, 8, 6, 9,, 6, 9, 2, 6, 8, 3, 9, 2, 7.
24 24 Fraktale i chaos K. Leśniak Problem: Rozkład częstości wpadania trajektorii do poszczególnych przedziałów jest nierównomierny powyżej otrzymaliśmy dużo liczb 0 i 9. Rozw.: Znana jest gęstość rozkładu ϱ(x) = /π x x 2. Generator można ujednostajnić, albo użyć odwzorowania namiotowego, które ma jednostajny rozkład i jest sprzężone z logistycznym: 2x, x [ 0, 2], T : [0, ] [0, ], T (x) = 2 ( x), x [ 2,, ] Sprzężenie oznacza w szczególności, że oba odwzorowania mają jednakowo złożoną strukturę trajektorii. Problem: Znamy jawny wzór na trajektorie x n = cos(2n arc cos( 2 x 0 )). 2 Rozw.: Formuła ta nie jest zbyt użyteczna i wcale nie umożłiwia oczywistej predykcji dalszych wartości liczb losowych: czułość na zmiany warunków początkowych nie zezwala na jakiekolwiek przybliżenia wartości funkcji trygonometrycnych.
25 Fraktale i chaos K. Leśniak 25 Kryptografia chaotyczna (Crandall) f(x) = 4 x ( x), (0, ) x 0 utajniona wiadomość, f(x) = y równanie kwadratowe, więc dla y istnieją dwa rozwiązania x; x = f (x 0 ) wybieramy Lewe/Prawe rozw. x,... x n = f (x n ) wybieramy Lewe/Prawe rozw. x n odczytujemy wiadomość x n ; ciąg S S 2... S n, S i {L, P } stanowi klucz długości n bitów. Problem (degeneracja chaosu): Każde odwzorowanie nawet chaotyczne po obcięciu do zbioru skończonego jest okresowe (przynajmniej od pewnego miejsca). Do jakiego stopnia zdyskretyzowany chaos zachowuje złożoność dynamiki? Odp.:??? (brak wiarygodnej i użytecznej definicji chaosu na przestrzeni dyskretnej).
26 26 Fraktale i chaos K. Leśniak Problem: Jeżeli komputer dokonuje zaokrągleń (np. w trakcie obliczeń pierwiastków), to jaką mamy gwarancję wiarygodności uzyskanych wyników? Czy obliczenia numeryczne mają sens? Odpowiedź: własność cieniowania ( shadowing ). Problem: Komputer może reprezentować zbiory skończone. Czy chaos można potwierdzić komputerowo? Być może nie mamy w konkretnym wypadku do czynienia z trajektorią chaotyczną, ale z orbitą o bardzo długim okresie! Odpowiedź: Arytmetyka przedziałowa.
Efekt motyla i dziwne atraktory
O układzie Lorenza Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet Mikołaja kopernika Toruń, 3 grudnia 2009 Spis treści 1 Wprowadzenie Wyjaśnienie pojęć 2 O dziwnych atraktorach 3 Wyjaśnienie pojęć Dowolny
Bardziej szczegółowoZastosowania twierdzeń o punktach stałych
16 kwietnia 2016 Abstrakt Niech X będzie przestrzenią topologiczną. Ustalmy odwzorowanie ciągłe f : X X. Twierdzeniem o punkcie stałym nazywamy prawdę matematyczną postulującą pod pewnymi warunkami istnienie
Bardziej szczegółowoϕ(t k ; p) dla pewnego cigu t k }.
VI. Trajektorie okresowe i zbiory graniczne. 1. Zbiory graniczne. Rozważamy równanie (1.1) x = f(x) z funkcją f : R n R n określoną na całej przestrzeni R n. Będziemy zakładać, że funkcja f spełnia założenia,
Bardziej szczegółowoIII. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań.
III. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań. Analiza stabilności rozwiązań stanowi ważną część jakościowej teorii równań różniczkowych. Jej istotą jest poszukiwanie odpowiedzi
Bardziej szczegółowoWykład 10. Stwierdzenie 1. X spełnia warunek Borela wtedy i tylko wtedy, gdy każda scentrowana rodzina zbiorów domkniętych ma niepusty przekrój.
Wykład 10 Twierdzenie 1 (Borel-Lebesgue) Niech X będzie przestrzenią zwartą Z każdego pokrycia X zbiorami otwartymi można wybrać podpokrycie skończone Dowód Lemat 1 Dla każdego pokrycia U przestrzeni ośrodkowej
Bardziej szczegółowoPodręcznik. Przykład 1: Wyborcy
MODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI Daniel Wójcik Instytut Biologii Doświadczalnej PAN d.wojcik@nencki.gov.pl tel. 5892 424 http://www.neuroinf.pl/members/danek/swps/ Iwo Białynicki-Birula Iwona Białynicka-Birula
Bardziej szczegółowoczyli o szukaniu miejsc zerowych, których nie ma
zerowych, których nie ma Instytut Fizyki im. Mariana Smoluchowskiego Centrum Badania Systemów Złożonych im. Marka Kaca Uniwersytet Jagielloński Metoda Metoda dla Warszawa, 9 stycznia 2006 Metoda -Raphsona
Bardziej szczegółowo1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu
1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu Dla danej funkcji ciągłej f znaleźć wartości x, dla których f(x) = 0. (1) 2 Przedział izolacji pierwiastka Będziemy zakładać, że równanie
Bardziej szczegółowoII. Równania autonomiczne. 1. Podstawowe pojęcia.
II. Równania autonomiczne. 1. Podstawowe pojęcia. Definicja 1.1. Niech Q R n, n 1, będzie danym zbiorem i niech f : Q R n będzie daną funkcją określoną na Q. Równanie różniczkowe postaci (1.1) x = f(x),
Bardziej szczegółowoFale biegnące w równaniach reakcji-dyfuzji
Fale biegnące w równaniach reakcji-dyfuzji Piotr Bartłomiejczyk Politechnika Gdańska Między teorią a zastosowaniami: Matematyka w działaniu Będlewo, 25 30 maja 2015 P. Bartłomiejczyk Fale biegnące 1 /
Bardziej szczegółowo1 Zbiory. 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =.
1 Zbiory 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =. 1.3 Pokazać, że jeśli A, B oraz (A B) (B A) = C C, to A = B = C. 1.4 Niech {X t } będzie rodziną niepustych
Bardziej szczegółowo1 Relacje i odwzorowania
Relacje i odwzorowania Relacje Jacek Kłopotowski Zadania z analizy matematycznej I Wykazać, że jeśli relacja ρ X X jest przeciwzwrotna i przechodnia, to jest przeciwsymetryczna Zbadać czy relacja ρ X X
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń
Analiza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń Leszek Skrzypczak 1. Niech E = {x [0, 1] : x = k 2 n k = 1, 2,... 2 n, n = 1, 2, 3,...} Wówczas: (a) Dla dowolnych liczb wymiernych p, q [0,
Bardziej szczegółowojest ciągiem elementów z przestrzeni B(R, R)
Wykład 2 1 Ciągi Definicja 1.1 (ciąg) Ciągiem w zbiorze X nazywamy odwzorowanie x: N X. Dla uproszczenia piszemy x n zamiast x(n). Przykład 1. x n = n jest ciągiem elementów z przestrzeni R 2. f n (x)
Bardziej szczegółowoWykłady... b i a i. i=1. m(d k ) inf
Wykłady... CŁKOWNIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH Zaczniemy od konstrukcji całki na przedziale domkniętym. Konstrukcja ta jest, w gruncie rzeczy, powtórzeniem definicji całki na odcinku domkniętym w R 1. Przedziałem
Bardziej szczegółowoIteracyjne rozwiązywanie równań
Elementy metod numerycznych Plan wykładu 1 Wprowadzenie Plan wykładu 1 Wprowadzenie 2 Plan wykładu 1 Wprowadzenie 2 3 Wprowadzenie Metoda bisekcji Metoda siecznych Metoda stycznych Plan wykładu 1 Wprowadzenie
Bardziej szczegółowoWYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I. dr. Elżbieta Kotlicka. Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki
WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I dr. Elżbieta Kotlicka Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki http://im0.p.lodz.pl/~ekot Łódź 2006 Spis treści 1. CIĄGI LICZBOWE 2 1.1. Własności ciągów liczbowych o wyrazach
Bardziej szczegółowoFRAKTALE I SAMOPODOBIEŃSTWO
FRAKTALE I SAMOPODOBIEŃSTWO Mariusz Gromada marzec 2003 mariusz.gromada@wp.pl http://multifraktal.net 1 Wstęp Fraktalem nazywamy każdy zbiór, dla którego wymiar Hausdorffa-Besicovitcha (tzw. wymiar fraktalny)
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne I Równania nieliniowe
Metody numeryczne I Równania nieliniowe Janusz Szwabiński szwabin@ift.uni.wroc.pl Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.1/66 Równania nieliniowe 1. Równania nieliniowe z pojedynczym pierwiastkiem
Bardziej szczegółowoA-1. Podaj aksjomaty przestrzeni topologicznej według W. Sierpińskiego: aksjomaty
A-1. Podaj aksjomaty przestrzeni topologicznej według W. Sierpińskiego: aksjomaty T 1 przestrzeni. Czym ta aksjomatyka różni się od aksjomatyki zbiorów otwartych? A-2. Wyprowadź z aksjomatów topologii
Bardziej szczegółowoCiągi liczbowe wykład 3
Ciągi liczbowe wykład 3 dr Mariusz Grządziel 3 kwietnia 203 Definicja (ciągu liczbowego). Ciagiem liczbowym nazywamy funkcję odwzorowuja- ca zbiór liczb naturalnych w zbiór liczb rzeczywistych. Wartość
Bardziej szczegółowoTEST A. A-1. Podaj aksjomaty przestrzeni topologicznej według W. Sierpińskiego: aksjomaty
TEST A A-1. Podaj aksjomaty przestrzeni topologicznej według W. Sierpińskiego: aksjomaty T 1 przestrzeni. Czym ta aksjomatyka różni się od aksjomatyki zbiorów otwartych? A-2. Ile różnych zbiorów otwartych
Bardziej szczegółowoVII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa.
VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa. W rozdziale tym zajmiemy się dokładniej badaniem stabilności rozwiązań równania różniczkowego. Pojęcie stabilności w
Bardziej szczegółowoCiagi liczbowe wykład 4
Ciagi liczbowe wykład 4 dr Mariusz Grzadziel Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu semestr zimowy, r. akad. 2016/2017 Definicja (ciagu liczbowego) Ciagiem liczbowym nazywamy funkcję
Bardziej szczegółowoWstęp do przestrzeni metrycznych i topologicznych oraz ich zastosowań w ekonomii
Wstęp do przestrzeni metrycznych i topologicznych oraz ich zastosowań w ekonomii Mirosław Sobolewski 25 maja 2010 Definicja. Przestrzenią metryczną nazywamy zbiór X z funkcją ρ : X X R przyporządkowującą
Bardziej szczegółowo1. Funkcje monotoniczne, wahanie funkcji.
1. Funkcje monotoniczne, wahanie funkcji. Zbiór X będziemy nazywali uporządkowanym, jeśli określona jest relacja zawarta w produkcie kartezjańskim X X, która jest spójna, antysymetryczna i przechodnia.
Bardziej szczegółowoINTERPOLACJA I APROKSYMACJA FUNKCJI
Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Wprowadzenie Na czym polega interpolacja? Interpolacja polega
Bardziej szczegółowoKorzystając z własności metryki łatwo wykazać, że dla dowolnych x, y, z X zachodzi
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, Dodatek 158 10 Dodatek 10.1 Przestrzenie metryczne Niech X będzie niepustym zbiorem. Funkcję d : X X [0, ) spełniającą dla x, y, z X warunki (i) d(x, y) = 0 x = y, (ii)
Bardziej szczegółowo1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji.
V. Granica funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji. Definicja 1.1. (sąsiedztwa punktu i sąsiedztwa nieskończoności) Niech x 0 R, r > 0, a, b R. Definiujemy S(x 0,
Bardziej szczegółowozbiorów domkniętych i tak otrzymane zbiory domknięte ustawiamy w ciąg. Oznaczamy
5. Funkcje 1 klasy Baire a. Pod koniec XIX i początkiem XX wieku kilku matematyków zajmowało się problemami dotyczącymi klasyfikacji funkcji borelowskich: między innymi R. Baire, E. Borel, H. Lebesgue
Bardziej szczegółowoChaos, fraktale i statystyka
Bogumiła Koprowska Elżbieta Kukla 1 Przykłady Odwzorowanie logistyczne Odwzorowanie trójkątne 2 Historia 3 Fraktale Zbiór Mandelbrota i zbiór Julii Przykłady fraktali 4 Podstawowe pojęcia Układy dynamiczne
Bardziej szczegółowoObliczenia iteracyjne
Lekcja Strona z Obliczenia iteracyjne Zmienne iteracyjne (wyliczeniowe) Obliczenia iteracyjne wymagają zdefiniowania specjalnej zmiennej nazywanej iteracyjną lub wyliczeniową. Zmienną iteracyjną od zwykłej
Bardziej szczegółowoKrzywa uniwersalna Sierpińskiego
Krzywa uniwersalna Sierpińskiego Małgorzata Blaszke Karol Grzyb Streszczenie W niniejszej pracy omówimy krzywą uniwersalną Sierpińskiego, zwaną również dywanem Sierpińskiego. Pokażemy klasyczną metodę
Bardziej szczegółowoFraktale deterministyczne i stochastyczne. Katarzyna Weron Katedra Fizyki Teoretycznej
Fraktale deterministyczne i stochastyczne Katarzyna Weron Katedra Fizyki Teoretycznej Szare i Zielone Scena z Fausta Goethego (1749-1832), Mefistofeles do doktora (2038-2039): Wszelka, mój bracie, teoria
Bardziej szczegółowoEgzamin z Analizy Matematycznej I dla Informatyków, 28 I 2017 Część I
Egzamin z Analizy Matematycznej I dla Informatyków, 28 I 2017 Część I Czas na rozwiązanie zadań cz. I: 2 godz. Do zdobycia: 60 pkt. Nie wolno korzystać z notatek, kalkulatorów, telefonów, pomocy sąsiadów,
Bardziej szczegółowoUkłady stochastyczne
Instytut Informatyki Uniwersytetu Śląskiego 21 stycznia 2009 Definicja Definicja Proces stochastyczny to funkcja losowa, czyli funkcja matematyczna, której wartości leżą w przestrzeni zdarzeń losowych.
Bardziej szczegółowoNotatki z Analizy Matematycznej 1. Jacek M. Jędrzejewski
Notatki z Analizy Matematycznej 1 Jacek M. Jędrzejewski Wstęp W naszym konspekcie będziemy stosowali następujące oznaczenia: N zbiór liczb naturalnych dodatnich, N 0 zbiór liczb naturalnych (z zerem),
Bardziej szczegółowoMODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI
MODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI Daniel Wójcik Instytut Biologii Doświadczalnej PAN Szkoła Wyższa Psychologii Społecznej d.wojcik@nencki.gov.pl dwojcik@swps.edu.pl tel. 022 5892 424 http://www.neuroinf.pl/members/danek/swps/
Bardziej szczegółowoZadania domowe. Ćwiczenie 2. Rysowanie obiektów 2-D przy pomocy tworów pierwotnych biblioteki graficznej OpenGL
Zadania domowe Ćwiczenie 2 Rysowanie obiektów 2-D przy pomocy tworów pierwotnych biblioteki graficznej OpenGL Zadanie 2.1 Fraktal plazmowy (Plasma fractal) Kwadrat należy pokryć prostokątną siatką 2 n
Bardziej szczegółowoO pewnych klasach funkcji prawie okresowych (niekoniecznie ograniczonych)
(niekoniecznie ograniczonych) Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Adama Mickiewicza, Poznań Będlewo, 25-30 maja 2015 Funkcje prawie okresowe w sensie Bohra Definicja Zbiór E R nazywamy względnie
Bardziej szczegółowoDystrybucje, wiadomości wstępne (I)
Temat 8 Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Wielkości fizyczne opisujemy najczęściej przyporządkowując im funkcje (np. zależne od czasu). Inną drogą opisu tych wielkości jest przyporządkowanie im funkcjonałów
Bardziej szczegółowoDynamika nieliniowa i chaos deterministyczny. Fizyka układów złożonych
Dynamika nieliniowa i chaos deterministyczny Fizyka układów złożonych Wahadło matematyczne F θ = mgsinθ Druga zasada dynamiki: ma = mgsinθ a = d2 x dt 2 = gsinθ Długość łuku: x = Lθ Równanie ruchu: θ ሷ
Bardziej szczegółowoTeoria Chaosu. Proste modele ze złożonym zachowaniem: o teorii chaosu w ekologii.
Teoria Chaosu Proste modele ze złożonym zachowaniem: o teorii chaosu w ekologii. Zanim zaczniemy... Komputer - symulacja wizualizacja w fizyce. Zanim zaczniemy Prowadzimy pilotażowe warsztaty w szkołach,
Bardziej szczegółowoZadania z Analizy Funkcjonalnej I Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi?
Zadania z Analizy Funkcjonalnej I - 1 1. Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi?. a) X = R, x = arctg x ; b) X = R n, d(x, y) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + max i 3 x i y i ;
Bardziej szczegółowoRobert Kowalczyk. Zbiór zadań z teorii miary i całki
Robert Kowalczyk Zbiór zadań z teorii miary i całki 2 Zadanie 1 Pokazać, że poniższe dwie definicje σ-ciała M są równoważne: (i) Rodzinę M podzbiorów przestrzeni X nazywamy σ-ciałem jeżeli zachodzą następujące
Bardziej szczegółowo1 Równania nieliniowe
1 Równania nieliniowe 1.1 Postać ogólna równania nieliniowego Często występującym, ważnym problemem obliczeniowym jest numeryczne poszukiwanie rozwiązań równań nieliniowych, np. algebraicznych (wielomiany),
Bardziej szczegółowoTopologia I*, jesień 2012 Zadania omawiane na ćwiczeniach lub zadanych jako prace domowe, grupa 1 (prowadzący H. Toruńczyk).
Topologia I*, jesień 2012 Zadania omawiane na ćwiczeniach lub zadanych jako prace domowe, grupa 1 (prowadzący H. Toruńczyk). Zadania w dużej mierze pochodzą z zestawu zadań w rozdziale 8 skryptu autorów
Bardziej szczegółowoSpacery losowe generowanie realizacji procesu losowego
Spacery losowe generowanie realizacji procesu losowego Michał Krzemiński Streszczenie Omówimy metodę generowania trajektorii spacerów losowych (błądzenia losowego), tj. szczególnych procesów Markowa z
Bardziej szczegółowoTEORIA CHAOSU. Autorzy: Szymon Sapkowski, Karolina Seweryn, Olaf Skrabacz, Kinga Szarkowska
TEORIA CHAOSU Autorzy: Szymon Sapkowski, Karolina Seweryn, Olaf Skrabacz, Kinga Szarkowska Wydział MiNI Politechnika Warszawska Rok akademicki 2015/2016 Semestr letni Krótki kurs historii matematyki DEFINICJA
Bardziej szczegółowo7 Twierdzenie Fubiniego
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, wykład 7 19 7 Twierdzenie Fubiniego 7.1 Miary produktowe Niech i będą niepustymi zbiorami. Przez oznaczmy produkt kartezjański i tj. zbiór = { (x, y : x y }. Niech E oraz
Bardziej szczegółowoInterpolacja. Marcin Orchel. Drugi przypadek szczególny to interpolacja trygonometryczna
Interpolacja Marcin Orchel 1 Wstęp Mamy daną funkcję φ (x; a 0,..., a n ) zależną od n + 1 parametrów a 0,..., a n. Zadanie interpolacji funkcji φ polega na określeniu parametrów a i tak aby dla n + 1
Bardziej szczegółowoZbiory liczbowe widziane oczami topologa
Zbiory liczbowe widziane oczami topologa Aleksander Błaszczyk Instytut Matematyki Uniwersytetu Ślaskiego Brenna, 25 wrzesień 2018 Aleksander Błaszczyk (UŚ) Zbiory liczbowe widziane oczami topologa Brenna,
Bardziej szczegółowoAkademia Górniczo-Hutnicza Wydział Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Elektroniki
Akademia Górniczo-Hutnicza Wydział Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Elektroniki Przetwarzanie Sygnałów Studia Podyplomowe, Automatyka i Robotyka. Wstęp teoretyczny Zmienne losowe Zmienne losowe
Bardziej szczegółowoMatematyka i Statystyka w Finansach. Rachunek Różniczkowy
Rachunek Różniczkowy Ciąg liczbowy Link Ciągiem liczbowym nieskończonym nazywamy każdą funkcję a która odwzorowuje zbiór liczb naturalnych N w zbiór liczb rzeczywistych R a : N R. Tradycyjnie wartość a(n)
Bardziej szczegółowoRozdział 6. Ciągłość. 6.1 Granica funkcji
Rozdział 6 Ciągłość 6.1 Granica funkcji Podamy najpierw dwie definicje granicy funkcji w punkcie i pokażemy ich równoważność. Definicja Cauchy ego granicy funkcji w punkcie. Niech f : X R, gdzie X R oraz
Bardziej szczegółowoOśrodkowość procesów, proces Wienera. Ośrodkowość procesów, proces Wienera Procesy Stochastyczne, wykład, T. Byczkowski,
Procesy Stochastyczne, wykład, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1136 27 luty, 2012 Ośrodkowość procesów Dalej zakładamy, że (Ω, Σ, P) jest zupełną przestrzenią miarową. Definicja.
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład VII: Metody specjalne Monte Carlo 24 listopada 2014 Transformacje specjalne Przykład - symulacja rozkładu geometrycznego Niech X Ex(λ). Rozważmy zmienną losową [X ], która przyjmuje wartości naturalne.
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ
ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH RZECZYWISTYCH Definicja 1. Niech A będzie dowolnym niepustym zbiorem. Metryką w zbiorze A nazywamy funkcję rzeczywistą
Bardziej szczegółowoIX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,
IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy
Bardziej szczegółowoBiostatystyka, # 3 /Weterynaria I/
Biostatystyka, # 3 /Weterynaria I/ dr n. mat. Zdzisław Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Głęboka 28, p. 221 bud. CIW, e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl
Bardziej szczegółowoZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO EGZAMINU Z UKŁADÓW DYNAMICZNYCH
ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO EGZAMINU Z UKŁADÓW DYNAMICZNYCH Punkty okresowe, zbiory graniczne, sprzężenia Zadanie 1. Pokazać, że trajektoria (w przód) punktu x w przestrzeni metrycznej X pod działaniem ciągłego
Bardziej szczegółowoPodkowa Smale a jako klasyk chaosu
IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw p. 1/? Podkowa Smale a jako klasyk chaosu Justyna Signerska jussig@wp.pl Wydział Fizyki Technicznej i Matematyki Stosowanej, Politechnika Gdańska Konstrukcja odwzorowania
Bardziej szczegółowoZadania do Rozdziału X
Zadania do Rozdziału X 1. 2. Znajdź wszystkie σ-ciała podzbiorów X, gdy X = (i) {1, 2}, (ii){1, 2, 3}. (b) Znajdź wszystkie elementy σ-ciała generowanego przez {{1, 2}, {2, 3}} dla X = {1, 2, 3, 4}. Wykaż,
Bardziej szczegółowoZadania do wykładu Jakościowa Teoria Równań Różniczkowych Zwyczajnych
Zadania do wykładu Jakościowa Teoria Równań Różniczkowych Zwyczajnych [ ] e Zadanie 1 Pokazać, że X(t) = 2t cos t sin t e 2t jest specjalną macierzą fundamentalną w sin t cos t [ 2 cos chwili τ = 0 układu
Bardziej szczegółowoRodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki.
3. Funkcje borelowskie. Rodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki. (1): Jeśli zbiór Y należy do rodziny F, to jego dopełnienie X
Bardziej szczegółowoLista zagadnień omawianych na wykładzie w dn r. :
Lista zagadnień omawianych na wykładzie w dn. 29.0.208r. : Granica funkcji Definicja sąsiedztwa punktu. Sąsiedztwo 0 R o promieniu r > 0: S 0, r = 0 r, 0 + r\{ 0 } 2. Sąsiedztwo lewostronne 0 R o promieniu
Bardziej szczegółowoGra w chaos i sekwencje DNA
Jest to tekst związany z odczytem wygłoszonym na XLIX Szkole Matematyki Poglądowej, Wyjątki, Nadarzyn, sierpień 2012. Gra w chaos i sekwencje DNA Magdalena NOWAK, Kielce Nasza opowieść rozgrywa się w krainie
Bardziej szczegółowoZdzisław Dzedzej. Politechnika Gdańska. Gdańsk, 2013
Zdzisław Dzedzej Politechnika Gdańska Gdańsk, 2013 1 PODSTAWY 2 3 Definicja. Przestrzeń metryczna (X, d) jest zwarta, jeśli z każdego ciągu {x n } w X można wybrać podciąg zbieżny {x nk } w X. Ogólniej
Bardziej szczegółowoWstęp do metod numerycznych Rozwiazywanie równań algebraicznych. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych Rozwiazywanie równań algebraicznych P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2010 Co to znaczy rozwiazać równanie? Przypuśmy, że postawiono przed nami problem rozwiazania
Bardziej szczegółowoWykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe
Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe Nierówność Czebyszewa Niech X będzie zmienną losową o skończonej wariancji V ar(x). Wtedy wartość oczekiwana E(X) też jest skończona i
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład IV: 27 października 2014 Współczynnik korelacji Brak korelacji a niezależność Definicja współczynnika korelacji Współczynnikiem korelacji całkowalnych z kwadratem zmiennych losowych X i Y nazywamy
Bardziej szczegółowoJednowymiarowa zmienna losowa
1 Jednowymiarowa zmienna losowa Przykład Doświadczenie losowe - rzut kostką do gry. Obserwujemy ilość wyrzuconych oczek. Teoretyczny model eksperymentu losowego - przestrzeń probabilistyczna (Ω, S, P ),
Bardziej szczegółowoLiczba obrotu i twierdzenie Poincare go o klasyfikacji homeomorfizmów okręgu.
II Interdyscyplinarne Warsztaty Matematyczne p. 1/1 Liczba obrotu i twierdzenie Poincare go o klasyfikacji homeomorfizmów okręgu. Justyna Signerska jussig@wp.pl Wydział Fizyki Technicznej i Matematyki
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MAGISTERSKI, 18 września 2013 Biomatematyka
Biomatematyka Liczebność populacji pewnego gatunku jest modelowana przez równanie różnicowe w którym N k stałymi. rn 2 n N n+1 =, A+Nn 2 oznacza liczebność populacji w k tej generacji, a r i A są dodatnimi
Bardziej szczegółowo21 maja, Mocna własność Markowa procesu Wienera. Procesy Stochastyczne, wykład 13, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1126
Mocna własność Markowa procesu Wienera Procesy Stochastyczne, wykład 13, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1126 21 maja, 2012 Mocna własność Markowa W = (W 1,..., W d ) oznaczać
Bardziej szczegółowoUniwersalność wykresu bifurkacyjnego w uogólnionym odwzorowaniu logistycznym
Uniwersalność wykresu bifurkacyjnego w uogólnionym odwzorowaniu logistycznym Oskar Amadeusz Prośniak pod opieką prof. dr hab. Karola Życzkowskiego 29 września 2015 Instytut Fizyki UJ 1 Wstęp Celem tej
Bardziej szczegółowoA i. i=1. i=1. i=1. i=1. W dalszej części skryptu będziemy mieli najczęściej do czynienia z miarami określonymi na rodzinach, które są σ - algebrami.
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 3 25 3 Miara 3.1 Definicja miary i jej podstawowe własności Niech X będzie niepustym zbiorem, a A 2 X niepustą rodziną podzbiorów. Wtedy dowolne odwzorowanie : A
Bardziej szczegółowoAnaliza Funkcjonalna - Zadania
Analiza Funkcjonalna - Zadania 1 Wprowadzamy następujące oznaczenia. K oznacza ciało liczb rzeczywistych lub zespolonych. Jeżeli T jest dowolnym zbiorem niepustym, to l (T ) = {x : E K : x funkcja ograniczona}.
Bardziej szczegółowo1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia
1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia Definicja 1 Funkcją dwóch zmiennych określoną na zbiorze A R 2 o wartościach w zbiorze R nazywamy przyporządkowanie każdemu punktowi ze zbioru A dokładnie jednej
Bardziej szczegółowoInformacja o przestrzeniach Hilberta
Temat 10 Informacja o przestrzeniach Hilberta 10.1 Przestrzenie unitarne, iloczyn skalarny Niech dana będzie przestrzeń liniowa X. Załóżmy, że każdej parze elementów x, y X została przyporządkowana liczba
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład XIV: Metody Monte Carlo 19 stycznia 2016 Przybliżone obliczanie całki oznaczonej Rozważmy całkowalną funkcję f : [0, 1] R. Chcemy znaleźć przybliżoną wartość liczbową całki 1 f (x) dx. 0 Jeden ze
Bardziej szczegółowo14a. Analiza zmiennych dyskretnych: ciągi liczbowe
14a. Analiza zmiennych dyskretnych: ciągi liczbowe Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 14a. wanaliza Krakowie) zmiennych dyskretnych: ciągi
Bardziej szczegółowoWprowadzenie Metoda bisekcji Metoda regula falsi Metoda siecznych Metoda stycznych RÓWNANIA NIELINIOWE
Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Postać ogólna równania nieliniowego Zazwyczaj nie można znaleźć
Bardziej szczegółowo020 Liczby rzeczywiste
020 Liczby rzeczywiste N = {1,2,3,...} Z = { 0,1, 1,2, 2,...} m Q = { : m, n Z, n 0} n Operacje liczbowe Zbiór Dodawanie Odejmowanie Mnożenie Dzielenie N Z Q Pytanie Dlaczego zbiór liczb wymiernych nie
Bardziej szczegółowoUniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu
Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu Wydział Matematyki i Informatyki Krzysztof Frączek Analiza Matematyczna II Wykład dla studentów II roku kierunku informatyka Toruń 2009 Spis treści 1 Przestrzenie
Bardziej szczegółowoObrazy rekurencyjne. Zastosowanie rekurencji w algorytmice. AUTOR: Martin Śniegoń
Obrazy rekurencyjne Zastosowanie rekurencji w algorytmice AUTOR: Martin Śniegoń Zdolność procedury/funkcji do wywoływania samej siebie Podstawowa i jedna z najważniejszych technik programistycznych Umożliwia
Bardziej szczegółowoDRGANIA SWOBODNE UKŁADU O DWÓCH STOPNIACH SWOBODY. Rys Model układu
Ćwiczenie 7 DRGANIA SWOBODNE UKŁADU O DWÓCH STOPNIACH SWOBODY. Cel ćwiczenia Doświadczalne wyznaczenie częstości drgań własnych układu o dwóch stopniach swobody, pokazanie postaci drgań odpowiadających
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA. rachunek prawdopodobieństwa
STATYSTYKA MATEMATYCZNA rachunek prawdopodobieństwa treść Zdarzenia losowe pojęcie prawdopodobieństwa prawo wielkich liczb zmienne losowe rozkłady teoretyczne zmiennych losowych Zanim zajmiemy się wnioskowaniem
Bardziej szczegółowoMatematyka stosowana i metody numeryczne
Ewa Pabisek Adam Wosatko Piotr Pluciński Matematyka stosowana i metody numeryczne Konspekt z wykładu 8 Interpolacja Interpolacja polega na budowaniu tzw. funkcji interpolujących ϕ(x) na podstawie zadanych
Bardziej szczegółowo1 + iϕ n. = cos ϕ + i sin ϕ. e n z n n n. c M n z n, c n z Mn.
WRAiT 2 #1 1. Dla jakich a C ciągi o wyrazach na n, a n 1 + a n, an /n, są zbieżne? 2. Wykaż zbieżność i znajdź granice ciągów n a k, a n 1 + a 2n ( a < 1), a n 1 + a 2n ( a > 1), 1 n 3. Dla danego ϕ R
Bardziej szczegółowoFunkcje analityczne. Wykład 2. Płaszczyzna zespolona. Paweł Mleczko. Funkcje analityczne (rok akademicki 2017/2018)
Funkcje analityczne Wykład 2. Płaszczyzna zespolona Paweł Mleczko Funkcje analityczne (rok akademicki 2017/2018) Plan wykładu W czasie wykładu omawiać będziemy różne reprezentacje płaszczyzny zespolonej
Bardziej szczegółowoTwierdzenie Li-Yorke a Twierdzenie Szarkowskiego
Politechnika Gdańska Wydział Fizyki Technicznej i Matematyki Stosowanej Twierdzenie Li-Yorke a Twierdzenie Szarkowskiego Autor: Kamil Jaworski 11 marca 2012 Spis treści 1 Wstęp 2 1.1 Podstawowe pojęcia........................
Bardziej szczegółowoStruktury formalne, czyli elementy Teorii Modeli
Struktury formalne, czyli elementy Teorii Modeli Szymon Wróbel, notatki z wykładu dra Szymona Żeberskiego semestr zimowy 2016/17 1 Język 1.1 Sygnatura językowa Sygnatura językowa: L = ({f i } i I, {P j
Bardziej szczegółowoMETODY ROZWIĄZYWANIA RÓWNAŃ NIELINIOWYCH
METODY ROZWIĄZYWANIA RÓWNAŃ NIELINIOWYCH Jednym z zastosowań metod numerycznych jest wyznaczenie pierwiastka lub pierwiastków równania nieliniowego. W tym celu stosuje się szereg metod obliczeniowych np:
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n
Rachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n Na dzisiejszym wykładzie rozważać będziemy funkcje f : R m R n Każda taka funkcję f można przedstawić jako wektor funkcji (f 1, f 2,, f n ), gdzie każda
Bardziej szczegółowoG. Plebanek, MIARA I CAŁKA Zadania do rozdziału 1 28
G. Plebanek, MIARA I CAŁKA Zadania do rozdziału 1 28 1.9 Zadania 1.9.1 Niech R będzie pierścieniem zbiorów. Zauważyć, że jeśli A, B R to A B R i A B R. Sprawdzić, że (R,, ) jest także pierścieniem w sensie
Bardziej szczegółowoMatematyka I. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 3
Matematyka I Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 3 Ciągi liczbowe Definicja Dowolną funkcję a: N R nazywamy ciągiem liczbowym. Uwaga Ze względu na tradycję tym
Bardziej szczegółowoUkłady dynamiczne Chaos deterministyczny
Układy dynamiczne Chaos deterministyczny Proste iteracje odwzorowań: Funkcja liniowa Funkcja logistyczna chaos deterministyczny automaty komórkowe Ewolucja układu dynamicznego Rozwój w czasie układu dynamicznego
Bardziej szczegółowoPlan prezentacji. Cechy charakterystyczne fraktali Zastosowanie fraktali Wymiar fraktalny D. Iteracyjny system funkcji (IFS)
Fraktale Plan prezentacji Wprowadzenie Cechy charakterystyczne fraktali Zastosowanie fraktali Wymiar fraktalny D Klasyczne fraktale Iteracyjny system funkcji (IFS) L-system Zbiory Julii i Mandelbrota Ruchy
Bardziej szczegółowo