INSTYTUT MATEMATYCZNY POLSKIEJ AKADEMII NAUK. Adam Kwela KOMBINATORYCZNE I DESKRYPTYWNE WŁASNOŚCI IDEAŁÓW NA ZBIORACH PRZELICZALNYCH

Transkrypt

1 INSTYTUT MATEMATYCZNY POLSKIEJ AKADEMII NAUK Adam Kwela KOMBINATORYCZNE I DESKRYPTYWNE WŁASNOŚCI IDEAŁÓW NA ZBIORACH PRZELICZALNYCH Rozprawa doktorska przygotowana pod kierunkiem prof. dr. hab. Piotra Zakrzewskiego oraz dr. Marcina Saboka Pracę nad rozprawą finansowano z grantu NCN nr 2012/07/N/ST1/ Gdańsk 2014

2 Oświadczenie autora rozprawy: Oświadczam, że niniejsza rozprawa została napisana przeze mnie samodzielnie data mgr Adam Kwela Oświadczenie promotora rozprawy: Niniejsza rozprawa jest gotowa do oceny przez recenzentów data prof. dr hab. Piotr Zakrzewski

3 Spis treści 1 Wprowadzenie Wstęp Podstawowe definicje i oznaczenia Ideały Operacje na rodzinach ideałów Relacje na zbiorze ideałów Przestrzenie polskie Hierarchia borelowska Przykłady ideałów Drzewa i gry Funkcje rzeczywiste Kombinatoryczne własności ideałów Ideały reprezentowane przez σ-ideały Zbieżność ideałowa Ideały reprezentowane topologicznie Charakteryzacja Złożoność deskryptywna Selektywne własności ideałów Ideały słabo selektywne Ideały słabo ramseyowskie

4 SPIS TREŚCI Własność Mon Zbieżność ideałowa ciągów funkcji Ranga J -sum Fubiniego Ograniczenie dolne rangi granic filtrów Zbieżność ideałowa ciągów funkcji quasi-ciągłych

5 Rozdział 1 Wprowadzenie 1.1 Wstęp Badania ideałów na zbiorach przeliczalnych są klasycznym przedmiotem badań teorii mnogości. Obiekty te znajdują wiele różnych zastosowań w szeregu dziedzin matematyki. Topologia, analiza rzeczywista, analiza funkcjonalna czy też teoria układów dynamicznych są tu najbardziej reprezentatywnymi przykładami. Badania dotyczące ideałów leżą też w centrum zainteresowań wielu wybitnych matematyków z całego świata można tu wymienić takich matematyków jak Debs, Farah, Fremlin, Hru sák, Solecki, Talagrand, Todor cević i wielu innych. W rozprawie koncentrujemy się na kombinatorycznych własnościach ideałów. Badamy m.in. rozmaite własności selektywne. Posiadają one stosunkowo bogatą literaturę. Wśród autorów prac poświęconych tym zagadnieniom można wymienić takich matematyków jak Baumgartner, Grigorieff, Laflamme, Mathias, Taylor, Todor cević, Wagon i Zakrzewski (por. [4], [19], [33], [35], [45], [46] i [47]). Warto też wspomnieć, że obiekty blisko związane z tymi zagadnieniami ultrafiltry selektywne (por. [5]) znajdują liczne zastosowania w teorii mnogości, topologii czy też teorii modeli. Okazuje się, że pewne własności kombinatoryczne mogą nakładać silne ograniczenia na deskryptywną złożoność ideału. Przykładem może tu być słynne twierdzenie Soleckiego. Udowodnił on, że każdy P-ideał analityczny jest typu Π 0 3 (por. [41]). Z tego powodu w rozprawie dużo uwagi poświęcamy zagadnieniom związanym z deskryptywnymi własnościami ideałów. Niektóre rozpatrywane w rozprawie problemy leżą na styku teorii mnogości i topologii. W szczególności, badamy kombinatorykę ideałów, które 5

6 ROZDZIAŁ 1. WPROWADZENIE 6 są reprezentowane w pewien konkretny sposób na przestrzeniach metryzowalnych i ośrodkowych poprzez σ-ideały zawierające wszystkie singletony. Pierwsze przykłady takich ideałów pochodzą od Soleckiego i Faraha (por. [14]). Później ta klasa ideałów była badana również przez Saboka i Zapletala (por. [39]). Zarówno własności kombinatoryczne, jak i deskryptywne znalazły zastosowanie w badaniach zbieżności ideałowej ciągów funkcji ciągłych. Zbieżność ideałowa ma długą historię sięgającą artykułu Cartana z lat 30. ub. wieku (por. [8]), jak również badań Grimeisena i Katětova z lat 60. ub. wieku (por. [20], [23] i [24]). Od tamtego czasu nastąpił znaczący postęp w naszym rozumieniu tego tematu swój wkład w to mieli m.in. Dobrowolski, Kostyrko, Marciszewski, Šalát, Solecki i Wilczyński (por. [11], [28] i [42]). W ciągu kilku ostatnich lat ta tematyka pojawiła się m.in. w pracach Balcerzaka, Demsa, Filipowa, Komisarskiego i Szucy (por. [2] i [16]). Związki między zbieżnością ideałową ciągów funkcji ciągłych a własnościami kombinatorycznymi i deskryptywnymi ideałów były szczegółowo badane przez Debsa, Laczkovicha, Recława, Saint Raymonda i Soleckiego (por. [10], [32] i [42]). W szczególności, Debs i Saint Raymond zdefiniowali pojęcie rangi ideału, które charakteryzuje zbieżność ideałową ciągów funkcji ciągłych. Jest ono związane z oddzielaniem ideału od jego dualnego filtru przy użyciu zbioru borelowskiego. W pracy przedstawiamy kilka nowych wyników dotyczących wyznaczania rangi pewnych specjalnych ideałów oraz zbieżności ideałowej ciągów funkcji quasi-ciągłych. W rozprawie wykorzystujemy dwie ideałowe gry nieskończone. Obie zostały szczegółowo zbadane przez Laflamme a (por. [33]). Później były wykorzystywane m.in. przez Filipowa, Hrušáka, Laczkovicha, Natkańca, Recława i Szucę (por. [16], [21], [32] i [38]). Innym ważnym narzędziem są relacje na zbiorze ideałów porządek Katětova oraz tzw. zawieranie izomorficznej kopii danego ideału. Pojęcia te znalazły zastosowanie w szeregu prac takich autorów jak Debs, Hrušák, Laczkovich, Meza-Alcántara, Recław i Saint Raymond (por. [10], [21], [32] i [37]). Rozprawa składa się z następujących części. W rozdziale 1.2 można znaleźć zbiór podstawowych definicji opisujemy w nim używane w pracy kombinatoryczne własności ideałów oraz wprowadzamy definicję ideałów reprezentowanych topologicznie. Ostatnia część poświęcona jest zbieżności ideałowej. Rozdział ten przedstawia również szerszy kontekst rozważań zawartych w rozprawie.

7 ROZDZIAŁ 1. WPROWADZENIE 7 W rozdziale 2 prezentujemy wyniki dotyczące ideałów reprezentowanych topologicznie. Jest on w całości oparty na artykule [31] napisanym wspólnie z dr. Marcinem Sabokiem. W części 2.1 przedstawiamy kombinatoryczną charakteryzację ideałów reprezentowanych topologicznie. Sabok i Zapletal w [39] postawili hipotezę, że analityczny ideał jest reprezentowany topologicznie wtedy i tylko wtedy, gdy jest gęsty, słabo selektywny i typu Π 0 3. Wspomniana charakteryzacja nie rozstrzyga prawdziwości tej hipotezy, jednak pokazuje, że ideały reprezentowane topologicznie dają się scharakteryzować przy użyciu wyłącznie kombinatorycznych pojęć. W części 2.2 obliczamy dokładną złożoność deskryptywną takich ideałów pokazujemy, że każdy analityczny ideał reprezentowany topologicznie jest Π 0 3-zupełny. W połączeniu z charakteryzacją z rozdziału 2.1 otrzymujemy ciekawy wynik ukazujący silne ograniczenie nałożone przez pewne własności kombinatoryczne na deskryptywną złożoność ideału. Rozważaniom selektywnych własności ideałów poświęcony jest rozdział 3. W 3.1 przedstawiamy wyniki dotyczące słabej selektywności, które również zostały zawarte w artykule [31]. Pewne uproszczenia w dowodach zawartych w tej części rozprawy zasugerował prof. Piotr Zakrzewski. Rozważania z rozdziałów 3.2 i 3.3 zostały zaś zawarte w pracy [29]. Badania tych zagadnień miały swój początek w rozmowach z dr. hab. Piotrem Szucą. W części 3.1 pokazujemy, że ideał koanalityczny jest słabo selektywny wtedy i tylko wtedy, gdy jest przecięciem pewnej rodziny ideałów reprezentowanych topologicznie. Ukazuje to pewne powiązanie obu tych pojęć, co jest interesujące w kontekście wspomnianej wyżej hipotezy Saboka i Zapletala. Rozdział 3.2 przedstawia zaś podstawowe rezultaty badań słabej ramseyowskości. W szczególności pokazujemy, że lokalna selektywność nie implikuje słabej ramseyowskości. Co więcej, udowadniamy również, że istnieją co najmniej dwa nieizomorficzne ideały lokalnie selektywne, które nie są słabo ramseyowskie. Może to być zaskakujące, gdyż obie te własności wydają się być sobie stosunkowo bliskie. Jeden z ideałów zdefiniowanych w części 3.2 stosujemy w rozdziale 3.3 do rozwiązania problemu postawionego przez Filipowa, Mrożka, Recława i Szucę w pracy [15], dotyczącego istnienia ideału z własnością Mon, który nie jest 2-ramseyowski. Rozdział 4 został poświęcony zbieżności ideałowej ciągów funkcji ciągłych oraz quasi-ciągłych. Wyniki z rozdziałów 4.1 i 4.2 zostały opublikowane w artykule [30] napisanym wspólnie z prof. Ireneuszem Recławem, zaś roz-

8 ROZDZIAŁ 1. WPROWADZENIE 8 dział 4.3 wchodzi w skład pracy [29] i został zainspirowany pytaniami, jakie postawił dr hab. Piotr Szuca na Seminarium Zakładu Funkcji Rzeczywistych Uniwersytetu Gdańskiego. W części 4.1 obliczamy dokładną wartość rangi J -sum Fubiniego, gdy J jest ideałem koanalitycznym rangi 1. Wykorzystujemy do tego tzw. J - granice ciągów ideałów. Jest to znaczne uogólnienie twierdzenia Debsa i Saint Raymonda z [10], w którym dokładna wartość rangi J -sum Fubiniego została wyznaczona jedynie w przypadku, gdy J jest równy ideałowi wszystkich skończonych podzbiorów ω. Rozdział 4.2 zawiera dalsze rozważania dotyczące rangi J -granic ciągów ideałów. Mianowicie, pokazujemy, że w przeciwieństwie do J -sum Fubiniego ranga J -granicy ciągu ideałów (J n ) n ω może być równa 1, nawet gdy ideały J oraz J n mają dowolnie dużą rangę. W części 4.3 stosujemy wyniki z rozdziału 3.2 do scharakteryzowania słabej ramseyowskości w terminach porządku Katětova oraz zawierania izomorficznej kopii pewnego ideału. Następnie stosujemy wyniki Natkańca i Szucy z [38], aby otrzymać charakteryzację ideałów, dla których zbieżność ideałowa ciągów funkcji quasi-ciągłych zachowuje się podobnie do zwykłej zbieżności takich ciągów pokazujemy, że są to dokładnie te ideały, które nie zawierają izomorficznej kopii pewnego ideału zdefiniowanego w rozdziale 3.2. Podziękowania Chciałbym podziękować mojemu głównemu promotorowi, prof. Piotrowi Zakrzewskiemu, za opiekę naukową, pomoc w przygotowaniu tej rozprawy oraz krytyczne uwagi, które pozwoliły ją znacząco ulepszyć. Współpraca z prof. Zakrzewskim była bardzo rozwijająca. Dr. Marcinowi Sabokowi, promotorowi pomocniczemu, dziękuję za cenne uwagi oraz współpracę, której wynikiem jest nasz wspólny artykuł będący częścią tej rozprawy. Wdzięczny jestem również dr. hab. Piotrowi Szucy za inspirację do podjęcia ciekawych i owocnych badań. Osobne podziękowania należą się nieżyjącemu już prof. Ireneuszowi Recławowi, który był promotorem mojej pracy magisterskiej oraz opiekunem naukowym podczas pierwszej części studiów doktoranckich. Artykuł będący owocem naszych wspólnych badań stał się częścią tej rozprawy. Praca z prof. Recławem była dla mnie niezwykle przyjemna i inspirująca.

9 ROZDZIAŁ 1. WPROWADZENIE Podstawowe definicje i oznaczenia W tym rozdziale wprowadzamy pojęcia, których będziemy używać w rozprawie, oraz prezentujemy ich wybrane własności. Większość stosowanych oznaczeń jest standardowa i zgodna z oznaczeniami używanymi w [25] Ideały Przez ω oznaczamy zbiór {0, 1, 2,...}. Dla zbioru X symbol P(X) oznacza rodzinę wszystkich jego podzbiorów. Rodzina I P(X) jest ideałem na zbiorze X, jeśli jest zamknięta na podzbiory i skończone sumy. Zbiór X oznaczamy wtedy przez dom(i). Dodatkowo zakładamy, że każdy ideał zawiera wszystkie skończone podzbiory X i jest właściwym podzbiorem P(X). Wszystkie rozważane w rozprawie ideały są zadane na zbiorach przeliczalnych. Przez Fin oznaczamy ideał wszystkich skończonych podzbiorów ω, tzn. Fin = [ω] <ω. Mówimy, że rodzina G generuje ideał I, jeśli I = {A : G0,...,G k G A G 0... G k }. Rodzinę I = {A X : A c I} nazywamy filtrem dualnym do ideału I. Filtry są zamknięte na nadzbiory i skończone przecięcia. Rodzina zbiorów I + = {A X : A / I} jest koideałem wszystkich I-pozytywnych podzbiorów X. Jeśli Y / I, to definiujemy obcięcie ideału I do zbioru Y jako I Y = {A Y : A I}. Ideał I jest maksymalny, jeśli jedynym ideałem właściwym zawierającym I jest sam I. Równoważnie, dla każdego A X, albo A I albo X \ A I. Filtr dualny do ideału maksymalnego nazywamy ultrafiltrem. Mówimy, że ideał jest gęsty, jeśli w każdym nieskończonym podzbiorze jego dziedziny można znaleźć jego nieskończony podzbiór będący elementem ideału. Ideał I jest słabym P-ideałem, jeśli dla każdego ciągu (X i ) i ω I istnieje taki zbiór X / I, że X X i jest skończony dla wszystkich i. Jeśli zawsze można znaleźć zbiór X I o powyższej własności, to I nazywamy P-ideałem Operacje na rodzinach ideałów Iloczyn kartezjański zbiorów X i Y oznaczamy symbolem X Y, zaś proj i, dla i = 1, 2, jest rzutem na i-tą współrzędną, tzn. funkcja proj i : X 1 X 2 X i

10 ROZDZIAŁ 1. WPROWADZENIE 10 jest dana wzorem proj i (k 1, k 2 ) = k i. Dla A X Y oraz x X używamy symbolu A x na oznaczenie zbioru {y Y : (x, y) A}. Jeśli (X i ) i I jest pewną rodziną zbiorów, to i I X i jest sumą rozłączną zbiorów X i, tzn. zbiorem wszystkich par (i, x), gdzie i I oraz x X i. W przypadku dwóch zbiorów X i Y na oznaczenie ich sumy rozłącznej używamy symbolu X Y. Jeśli I oraz J są ideałami na X i Y odpowiednio, to ideał I J na X Y definiujemy następująco: A I J {x X : (0, x) A} I {y Y : (1, y) A} J. Dla ideału J na zbiorze I oraz rodziny ideałów (J i ) i I wszystkie zbiory postaci i A B i i I\A dom (J i ), dla A J oraz B i J i, tworzą bazę ideału na zbiorze i I dom (J i ). Oznaczamy ten ideał przez J - i I J i i nazywamy J -sumą Fubiniego rodziny (J i ) i I. W szczególności, jeśli wszystkie J i są tym samym ideałem I zdefiniowanym na zbiorze X, otrzymujemy produkt ideałów J I = {A I X : {i I : A i / I} J }. Jeśli J jest ideałem na zbiorze I, zaś (J i ) i I jest ciągiem ideałów na zbiorze X, to lim J i = {A X : {i I : A / J i } J } i J jest ideałem na X. Nazywamy go J -granicą ciągu ideałów (J i ) i I i czasem oznaczamy również przez lim J J i. Filtry dualne do tych ideałów były badane przez Fremlina w [17] w kontekście filtrów przeliczalnego typu Relacje na zbiorze ideałów Mówimy, że I jest mniejszy od J w porządku Katětova (ozn. I K J ), jeśli istnieje taka funkcja f : dom(j ) dom(i), że dla wszystkich A I mamy f 1 [A] J. Jeśli f jest bijekcją pomiędzy dom(j ) oraz dom(i), to mówimy, że ideał J zawiera kopię izomorficzną ideału I (ozn. I J ). Zależności pomiędzy relacjami K i były szczegółowo badane w [3]. Jeśli ideał I jest gęsty, to I J wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje funkcja różnowartościowa f : dom(j ) dom(i) taka, że f 1 [A] J dla wszystkich A I (por. [3] i [6]). Ideały I oraz J są -równoważne, jeśli I J oraz J I. Dwa ideały I oraz J są izomorficzne, jeśli istnieje taka bijekcja π : dom(j ) dom(i),

11 ROZDZIAŁ 1. WPROWADZENIE 11 że dla wszystkich A dom(i) zachodzi A I π 1 [A] J. Oczywiście, każde dwa ideały izomorficzne są również -równoważne. Poniższy przykład pokazuje, że pojęcia te nie pokrywają się. Przykład Rozważmy ideały Fin = {A ω ω : {n ω : A n } Fin} oraz P(ω) Fin = {A {0, 1} ω : {n ω : (1, n) A} Fin}. Pokażemy najpierw, że P(ω) Fin Fin. Niech π 0 : ω ω {0, 1} ω będzie dowolną bijekcją taką, że π 0 [{0} ω] = {0} ω. Wówczas π0 1 [A] Fin dla każdego zbioru A P(ω) Fin. Teraz pokażemy, że Fin P(ω) Fin. Niech π 1 : {0, 1} ω ω ω będzie dowolną bijekcją taką, że π 1 [{0} ω] = ω (ω \ {0}). Wówczas π1 1 [A] należy do P(ω) Fin dla każdego zbioru A należącego do Fin. Aby zakończyć dowód, pokażemy, że ideały P(ω) Fin oraz Fin nie są izomorficzne. Przypuśćmy przeciwnie, że istnieje bijekcja π 2 : {0, 1} ω ω ω taka, że π2 1 [A] należy do P(ω) Fin wtedy i tylko wtedy, gdy A należy do Fin, dla każdego A ω ω. Oznaczmy przez X i zbiory π2 1 [{i} ω], dla i ω. Zbiory X i są nieskończone i należą do P(ω) Fin, ponieważ {i} ω Fin dla każdego i ω. Każdy podzbiór {0, 1} ω należący do P(ω) Fin ma skończone przecięcie ze zbiorem {1} ω, więc X i ({0} ω) jest nieskończony dla każdego i ω. Jednak wtedy obraz poprzez π 2 zbioru {0} ω (należącego do P(ω) Fin) nie może być elementem Fin. Otrzymaliśmy sprzeczność, a więc ideały P(ω) Fin oraz Fin nie są izomorficzne Przestrzenie polskie Przestrzeń topologiczna jest przestrzenią polską, jeśli jest ośrodkowa i metryzowalna w sposób zupełny. Każdy podzbiór G δ przestrzeni polskiej jest również przestrzenią polską (z topologią podprzestrzeni). Przestrzenią polską kluczową dla rozważań zawartych w tej rozprawie jest przestrzeń Cantora 2 ω wyposażona w topologię produktu przestrzeni. Jest to przestrzeń zwarta i zerowymiarowa, tzn. posiada bazę topologii złożoną ze zbiorów otwartodomkniętych. Jeśli (X, d) jest przestrzenią metryczną, to przez K(x, ɛ) oznaczamy kulę o środku w punkcie x X i promieniu ɛ > 0. Ideał jest σ-ideałem na zbiorze X, jeśli jest zamknięty na przeliczalne sumy. Zakładamy zawsze, że σ-ideał zawiera wszystkie singletony. Rodzi-

12 ROZDZIAŁ 1. WPROWADZENIE 12 nę I zwartych podzbiorów przestrzeni topologicznej X nazywamy ideałem zbiorów zwartych, jeśli jest zamknięta na zwarte podzbiory i skończone sumy. Jeśli dodatkowo jest zamknięta na zwarte przeliczalne sumy, to I nazywamy σ-ideałem zbiorów zwartych. Przez K(X) oznaczamy hiperprzestrzeń wszystkich zwartych podzbiorów przestrzeni polskiej X z topologią Vietorisa (podbazę tej topologii stanowią zbiory {K K(X) : K U} oraz {K K(X) : K U }, gdzie U jest zbiorem otwartym w X). Przestrzeń K(X) jest również polska. Ponadto, jeśli X jest zwarta, to K(X) także. Gdy d jest metryką Hausdorffa na X, to K(X) jest metryzowalna przez metrykę Hausdorffa (por. [25]) Hierarchia borelowska Dla liczby porządkowej 1 α < ω 1, definiujemy hierarchię zbiorów borelowskich przestrzeni polskiej X w następujący sposób: Σ 0 1(X) jest rodziną wszystkich otwartych podzbiorów X; Π 0 α(x) = {X \ A : A Σ 0 α(x)}; Σ 0 α(x) = { n ω A n : n ω A n β<α Σ 0 β(x)}. Podzbiór A przestrzeni polskiej X nazywamy analitycznym, gdy jest on rzutem zbioru borelowskiego B X X (równoważnie, jeśli istnieje domknięty podzbiór D X ω ω taki, że A = proj 1 [D]). Podzbiór C X nazywamy koanalitycznym, gdy X \ C jest zbiorem analitycznym. Klasy zbiorów analitycznych i koanalitycznych oznaczamy odpowiednio Σ 1 1(X) oraz Π 1 1(X). Będziemy również używali symboli Σ 0 α, Π 0 α, Σ 1 1 oraz Π 1 1, gdy X jest ustalona. Dla klasy zbiorów hierarchii borelowskiej lub rzutowej Γ (tzn. Γ = Σ 0 α, Π 0 α, Σ 1 1 lub Π 1 1) mówimy, że zbiór A X jest zbiorem Γ-trudnym, jeśli dla każdej przestrzeni polskiej zerowymiarowej Y i zbioru B Γ(Y ) istnieje taka funkcja ciągła f : Y X, że f 1 [A] = B. Jeśli dodatkowo A Γ(X), to zbiór A nazywamy Γ-zupełnym. Hierarchia borelowska i rzutowa jest szczegółowo opisana w [25]. Jeśli X jest zbiorem przeliczalnym, to możemy utożsamić P(X) z przestrzenią 2 X wszystkich funkcji f : X 2, wyposażoną w topologię zbioru Cantora, poprzez utożsamienie podzbiorów X z ich funkcjami charakterystycznymi. Wszystkie pojęcia topologiczne i deskryptywne dotyczące ideałów

13 ROZDZIAŁ 1. WPROWADZENIE 13 na X będą się odnosić do tej topologii. Wiadomo, że każdy ideał analityczny jest Σ 0 2-trudny (por. lemat 2.2.1). Odwzorowanie φ : P(X) [0, ] jest podmiarą na X, jeśli φ( ) = 0 oraz φ(a) φ(a B) φ(a)+φ(b) dla wszystkich A, B X. Podmiara jest półciągła z dołu, jeśli dodatkowo φ(a) = lim n φ(a {x 0,..., x n }), gdzie X = {x 0, x 1,...} jest numeracją zbioru X. Mazur w [36] udowodnił, że ideał I na X jest Σ 0 2 wtedy i tylko wtedy, gdy I = Fin(φ) = {A X : φ(a) < } dla pewnej półciągłej z dołu podmiary φ na X Przykłady ideałów Najprostszym przykładem ideału jest ideał Fin składający się z wszystkich skończonych podzbiorów ω. Jest to P-ideał typu Σ 0 2, który nie jest gęsty. Innymi dobrze znanymi ideałami, które będą rozważane w tej pracy, są: Fin = {A ω ω : n ω A n Fin} jest ideałem Π 0 3-zupełnym, który nie jest gęsty i nie jest P-ideałem. Fin Fin = {A ω ω : {n ω : A n / Fin} Fin} jest gęstym ideałem Σ 0 4-zupełnym, który nie jest P-ideałem. ED = {A ω ω : n,m ω k > n {i ω : (k, i) A} m} jest gęstym ideałem typu Σ 0 2, który nie jest P-ideałem. Jest to ideał generowany przez zbiory postaci {n} ω oraz wykresy funkcji ω ω. NULL(Q) = { A Q [0, 1] : A jest miary Lebesgue a zero } jest gęstym ideałem Π 0 3-zupełnym, który nie jest P-ideałem. NW D(Q) = {A Q [0, 1] : A jest nigdziegęsty w [0, 1]} również jest gęstym ideałem Π 0 3-zupełnym, który nie jest P-ideałem. I 1 = { A ω : n A 1 jest n n skończona} jest gęstym P-ideałem, który jest typu Σ 0 2. Z 0 = {A ω : lim n A n n = 0} jest gęstym P-ideałem Π 0 3-zupełnym. conv = {A Q [0, 1] : n ω\{0} k ω\{0} F [A] n {i A : m F i m < 1} Fin} jest gęstym ideałem k Σ0 4-zupełnym, który nie jest P- ideałem. Jest to ideał generowany przez ciągi w Q [0, 1] zbieżne w [0, 1].

14 ROZDZIAŁ 1. WPROWADZENIE Drzewa i gry Jeśli s ω <ω, tzn. s = (s(0),..., s(k)) jest skończonym ciągiem liczb naturalnych, to przez lh(s) oznaczamy jego długość, tzn. k + 1. Dla s, t ω <ω takich, że lh(s) lh(t), piszemy s t, jeśli s(i) = t(i) dla wszystkich i = 0,..., lh(s) 1. Zakładamy, że jest ciągiem długości 0 oraz t dla każdego t ω <ω. Konkatenacją ciągów s, t ω <ω jest ciąg s t = (s(0),..., s(lh(s) 1), t(0),..., t(lh(t) 1)), gdzie s = (s(0),..., s(lh(s) 1)) oraz t = (t(0),..., t(lh(t) 1)). Zbiór T ω <ω jest drzewem, jeśli dla każdych s T i t ω <ω takich, że t s, mamy t T. Gałęzią drzewa T jest taka funkcja b : ω ω, że (b(0),..., b(k)) T dla wszystkich k ω. Często utożsamiamy gałąź ze zbiorem wszystkich skończonych ciągów (b(0),..., b(k)) dla k ω. Z tego względu gałąź może być traktowana jako podzbiór T. Przez [T ] oznaczamy zbiór wszystkich nieskończonych gałęzi drzewa T. Ramifikacją drzewa T ω <ω w s T jest zbiór {n ω : s (n) T }. W rozprawie będziemy korzystać z dwóch gier nieskończonych. Niech J będzie ideałem na X, a X dowolną rodziną podzbiorów X. W grze G 1 (J, X ) uczestniczą dwaj gracze: w swoim n-tym ruchu gracz I wybiera zbiór C n J, a gracz II odpowiada punktem k n / C n. Gracz I wygrywa, jeśli {k n : n ω} X. W przeciwnym razie wygrywa gracz II. Jeśli J = X, to grę G 1 (J, X ) oznaczamy symbolem G 1 (J ). Tę grę szerzej opisujemy w rozdziale 3.1, a w rozdziale 4.3 znajdujemy ideał w pewnym sensie krytyczny dla tej gry. W grze nieskończonej G 2 (J, X ) również uczestniczą dwaj gracze: w swoim n-tym ruchu gracz I wybiera zbiór C n J, a gracz II odpowiada zbiorem skończonym F n rozłącznym z C n. Gracz I wygrywa, jeśli n ω F n X. W przeciwnym razie wygrywa gracz II. Ponownie, jeśli J = X, to grę G 2 (J, X ) oznaczamy symbolem G 2 (J ). Tę grę szerzej opisujemy w rozdziale 4.1. Obie powyższe gry były szczegółowo badane w [33] przez Laflamme a, który scharakteryzował strategie wygrywające dla obu graczy (zob. lematy i 4.1.4). Niech teraz B = X lub B = [X] <ω. Strategią wygrywającą dla gracza I jest taka funkcja σ : (J B) <ω J, że jeśli x (J B) ω jest ciągiem spełniającym warunek proj 1 (x(n + 1)) = σ(x n) dla wszystkich n, to: {proj 2 (x(n)) : n ω} X, w przypadku gry G 1 (J, X ); n ω proj 2 (x(n)) X, w przypadku gry G 2 (J, X ).

15 ROZDZIAŁ 1. WPROWADZENIE 15 Podobnie, strategią wygrywającą dla gracza II jest taka funkcja σ : [(J B) <ω ] J B, że jeśli x (J B) ω jest ciągiem spełniającym warunek proj 2 (x(n + 1)) = σ((x n, proj 1 (x(n + 1)))) dla wszystkich n, to: {proj 2 (x(n)) : n ω} / X, w przypadku gry G 1 (J, X ); n ω proj 2 (x(n)) / X, w przypadku gry G 2 (J, X ). Grę nazywamy zdeterminowaną, jeśli jeden z graczy ma strategię wygrywającą. Przy użyciu aksjomatu wyboru można skonstruować rodziny X, dla których gry nie są zdeterminowane. Jednak, jak wynika z twierdzenia Martina o borelowskiej determinacji (por. [25]), pewne deskryptywne ograniczenia nałożone na rodzinę X mogą zagwarantować determinację gry. W szczególności, jeśli J jest borelowski, to gry G 1 (J ) i G 2 (J ) są zdeterminowane (por. lematy i 4.1.5) Funkcje rzeczywiste C(X) oznacza rodzinę funkcji ciągłych zdefiniowanych na X o wartościach w R. Przez B α (X) oznaczamy rodzinę wszystkich funkcji rzeczywistych zdefiniowanych na X borelowskiej klasy α < ω 1, tzn. takich funkcji f : X R, że f 1 [U] Σ 0 1+α(X) dla każdego otwartego U R. Funkcja f : X R jest quasi-ciągła, jeśli dla wszystkich x 0 i ɛ > 0 w każdym otoczeniu x 0 istnieje taki niepusty zbiór otwarty V, że f(x) f(x 0 ) < ɛ dla wszystkich x V. QC(X) oznacza rodzinę wszystkich funkcji quasi-ciągłych zdefiniowanych na X. Dla rodziny R funkcji rzeczywistych przez B 1 (R) oznaczamy rodzinę wszystkich funkcji, które da się przedstawić jako granicę punktową ciągów funkcji z rodziny R. Twierdzenie Lebesgue a i Hausdorffa mówi, że B 1 (C(X)) = B 1 (X), gdy X jest przestrzenią metryzowalną ośrodkową (por. [25]), a Grande pokazał, że dla metryzowalnej przestrzeni Baire a X rodzina B 1 (QC(X)) jest równa klasie wszystkich funkcji punktowo nieciągłych, tzn. takich funkcji, których zbiór punktów ciągłości jest gęsty w X (por. [18]). 1.3 Kombinatoryczne własności ideałów Definicja Ideał I na zbiorze X jest:

16 ROZDZIAŁ 1. WPROWADZENIE 16 selektywny, jeśli dla każdego podziału (X n ) n ω zbioru X, który spełnia warunek m n X m / I, dla każdego n ω, istnieje I-pozytywny selektor tego podziału. słabo selektywny, jeśli dla każdego podziału (X n ) n ω zbioru X na zbiory nienależące do I, posiadającego co najwyżej jeden element nienależący do ideału, istnieje I-pozytywny selektor. Równoważnie, dla każdej funkcji f : B ω zadanej na I-pozytywnym zbiorze B można znaleźć I-pozytywny A B, na którym f jest stała lub I-pozytywny A B, na którym f jest różnowartościowa. słabo ramseyowski, jeśli każde drzewo T X <ω, którego ramifikacje są w I, posiada I-pozytywną gałąź. lokalnie selektywny, jeżeli dla każdego podziału (X n ) n ω zbioru X na zbiory z ideału, istnieje I-pozytywny selektor tego podziału. Ideały selektywne były badane m.in. w [19], [35], [45], [46] oraz [47]. Mathias w [35], gdzie koideały ideałów selektywnych noszą nazwę happy families, udowodnił, że żaden analityczny ani koanalityczny ideał selektywny nie jest gęsty. Pokazał także, że każdy ideał generowany przez rodzinę prawie rozłączną (tzn. taką, której elementy przecinają się na zbiorach skończonych) jest selektywny. W szczególności, wszystkie ideały przeliczalnie generowane (tzn. generowane przez przeliczalną rodzinę) są selektywne, ponieważ każdy taki ideał można przedstawić jako ideał generowany przez przeliczalną rodzinę parami rozłączną. W [45] Todor cević znalazł inny przykład analitycznego ideału selektywnego. Zakrzewski w [47] udowodnił, że P-ideały analityczne, które nie są przeliczalnie generowane, nie są selektywne. Słaba selektywność i lokalna selektywność zostały wprowadzone w [4] w celu uogólnienia znanego pojęcia selektywności zdefiniowanego dla ideałów maksymalnych lub ultrafiltrów. Później lokalna selektywność była badana m.in. w [21], [15] i [37], a słaba selektywność w [19] i [15]. Definicję ideałów słabo ramseyowskich podajemy za [33]. Warto zwrócić uwagę, że w [19] tę samą nazwę nosi nieco inna własność, równoważna słabej selektywności. Jeśli I jest ideałem maksymalnym, to wszystkie cztery zdefiniowane powyżej własności są równoważne i odpowiadają pojęciu selektywności ideału maksymalnego (zob. [5]). W przypadku ogólnym zachodzą zaś następujące implikacje: selektywny słabo selektywny słabo ramseyowski lokalnie selektywny

17 ROZDZIAŁ 1. WPROWADZENIE 17 W powyższym ciągu implikacji jedynie te, które odnoszą się do słabej ramseyowskości mogą nie być oczywiste są one konsekwencją stwierdzenia bazującego na obserwacjach poczynionych przez Grigorieffa w [19] dla ideałów selektywnych i słabo selektywnych. Dowód stwierdzenia zamieszczamy w rozdziale 3.2. Pokażemy w nim również, że dwie ostatnie implikacje nie są odwracalne. W kontekście rozdziałów 3.1 i 3.2 szczególnie zaskakujący może być fakt, że słaba ramseyowskość nie jest równoważna lokalnej selektywności. Szczegółowo omawiamy ten problem w rozdziale 3.2. Ideałami słabo selektywnymi, ale nie selektywnymi są N U LL(Q) oraz NW D(Q) (por. [14], [39] i [47]). Łatwo zauważyć, że przykładem ideału lokalnie selektywnego, ale nie słabo selektywnego jest Fin ED (por. uwaga 3.2.4). Wśród ideałów, które nie są lokalnie selektywne, można wymienić np. Fin, Fin Fin lub ED (por. [37]). Co więcej, znana jest charakteryzacja ideałów lokalnie selektywnych przy pomocy ideału ED. Stwierdzenie (por. [37] i [3]) Następujące warunki są równoważne dla każdego ideału I: 1. I nie jest lokalnie selektywny; 2. ED I; 3. ED K I. Zatem ideał ED jest w pewnym sensie ideałem krytycznym dla lokalnej selektywności. Podobnie można scharakteryzować słabe P-ideały przy użyciu ideału Fin Fin (por. twierdzenie 1.5.1). Innym, nietrywialnym przykładem takiego wyniku może być twierdzenie Soleckiego z [40]: ideał I klasy Σ 1 1 \ Σ 0 2 jest P-ideałem wtedy i tylko wtedy, gdy jest powyżej ideału Fin w porządku Rudin-Blass. W rozdziale 4.3 podamy analogiczną do twierdzenia charakteryzację słabej ramseyowskości. Kolejną własnością ideałów rozważaną w tej pracy jest własność Mon (zdefiniowana wyłącznie dla ideałów na ω): dla każdego ciągu liczb rzeczywistych istnieje taki zbiór spoza ideału, że podciąg indeksowany tym zbiorem jest monotoniczny (por [15]). Funkcję χ : [X] 2 k nazywamy kolorowaniem. Dowolny zbiór H X, dla którego istnieje takie i < k, że χ [H] 2 = i, nazywamy zbiorem monochromatycznym kolorowania χ. Ideał na X jest k-ramseyowski, jeśli dla

18 ROZDZIAŁ 1. WPROWADZENIE 18 każdego kolorowania zbioru par nieuporządkowanych elementów X przy pomocy k kolorów istnieje monochromatyczny zbiór spoza ideału. Jeśli ideał jest k-ramseyowski dla każdego k, to mówimy, że jest ramseyowski. Łatwo zauważyć, że każdy ideał 2-ramseyowski jest Mon. Każdy ideał niegęsty ma własność Mon oraz jest ramseyowski (por. [15]). Zatem np. Fin jest ramseyowski, a każdy ideał na ω izomorficzny z Fin ma własność Mon. Ideał I 1 jest ideałem, który nie jest ramseyowski i nie ma n własności Mon (por. [15]). W [15] autorzy postawili pytanie o istnienie ideału Mon, który nie jest ramseyowski. Rozwiązanie tego problemu wynika z [37] Meza-Alcántara skonstruował tam ideał 2-ramseyowski, który nie jest 3-ramseyowski. Jednak nie odpowiada to na pytanie o istnienie ideału Mon, który nie jest 2-ramseyowski (a więc nie jest k-ramseyowski dla żadnego k). W rozdziale 3.3 udowadniamy, że taki ideał również istnieje. 1.4 Ideały reprezentowane przez σ-ideały Poniższa klasa ideałów po raz pierwszy pojawiła się w [39]. Definicja (por. [39]) Niech X będzie przestrzenią metryczną ośrodkową, D X gęstym zbiorem przeliczalnym, a I σ-ideałem na X (w szczególności, zgodnie z przyjętym w rozdziale założeniem, {x} I dla każdego x X). Wówczas J I = { A D : A I } jest ideałem na D. Ideał I na zbiorze przeliczalnym jest reprezentowany topologicznie, jeśli istnieją I, D, X takie jak wyżej, dla których I jest izomorficzny z J I. Wówczas mówimy, że I jest reprezentowany topologicznie na X przez I. Dwa istotnie różne przykłady takich ideałów zostały podane w [14] przez Faraha i Soleckiego: N W D(Q) (reprezentowany przez σ-ideał zbiorów pierwszej kategorii) i N U LL(Q) (reprezentowany przez σ-ideał zbiorów miary Lebesgue a zero). Pokazali oni, że ideały te nie są izomorficzne. Później ideały reprezentowane topologicznie były badane w [39] przez Saboka i Zapletala, którzy udowodnili, że każdy ideał reprezentowany topologicznie jest gęsty i słabo selektywny. Co więcej, zaobserwowali oni, że jeśli ideał reprezentowany topologicznie jest analityczny, to jest typu Π 0 3. Postawili również następującą hipotezę:

19 ROZDZIAŁ 1. WPROWADZENIE 19 Hipoteza (por. [39]) Ideał analityczny I jest gęsty, słabo selektywny i Π 0 3 wtedy i tylko wtedy, gdy jest reprezentowany topologicznie. Na marginesie zauważmy, że w [46] Todor cević rozważał nieco inny sposób topologicznej reprezentacji ideałów na zbiorach przeliczalnych. Mianowicie, dla ustalonej przestrzeni Hausdorffa X, punktu x X oraz takiego ciągu (x n ) n ω X \ {x}, że x jest jego punktem skupienia, definiujemy ideał I X (x, (x n ) n ω ) = {A ω : x {x n : n A}}. Todor cević pokazał, że każdy ideał na ω, reprezentowany w ten sposób przez zwarty zbiór X funkcji borelowskich zdefiniowanych na jakiejś przestrzeni polskiej, jest analityczny i selektywny. Co więcej, wszystkie znane przykłady analitycznych ideałów selektywnych są tej postaci. Jeśli w definicji pominęlibyśmy założenie o tym, że σ-ideał zawiera wszystkie singletony, to każdy ideał postaci I X (x, (x n ) n ω ), gdzie X jest przestrzenią metryczną ośrodkową, byłby reprezentowany topologicznie (przez σ-ideał I = {Z X : x / Z}). Jednakże przyjęcie przez nas powyższego podejścia powoduje, że przy dodatkowym założeniu zwartości przestrzeni X żaden ideał postaci I X (x, (x n ) n ω ) nie jest reprezentowany topologicznie w naszym sensie (tzn. w sensie definicji 1.4.1). Wynika to z faktu, że żaden analityczny ideał selektywny nie jest gęsty (por. twierdzenie 2.1.4), co zostało udowodnione przez Mathiasa w [35] (zob. też [45]). W rozdziale 2.1 podamy charakteryzację ideałów reprezentowanych topologicznie. Wykorzystamy ją w rozdziale 3.1 do wykazania, że każdy koanalityczny ideał słabo selektywny jest przecięciem pewnej rodziny ideałów reprezentowanych topologicznie. Uzyskana charakteryzacja jest czysto kombinatoryczna nie odnosi się w ogóle do deskryptywnej złożoności ideału. Co więcej, okazuje się, że każdy analityczny ideał reprezentowany topologicznie jest Π 0 3-zupełny. Pokazujemy to w rozdziale 2.2. Jako wniosek otrzymujemy zatem twierdzenie mówiące, że pewne kombinatoryczne własności nakładają silne ograniczenie na deskryptywną złożoność ideału. Znane są podobne twierdzenia, jak chociażby wynik Soleckiego z [41]: każdy analityczny P -ideał jest albo Σ 0 2, albo Π 0 3-zupełny. 1.5 Zbieżność ideałowa Niech I będzie ideałem na ω. Ciąg (x n ) n ω liczb rzeczywistych jest I-zbieżny do x R, jeśli dla każdego ɛ > 0 zbiór {n ω : x x n ɛ} jest w ideale I. Przez I-B 1 (R) oznaczamy rodzinę wszystkich funkcji, które da się przedstawić jako I-granicę punktową funkcji z rodziny R.

20 ROZDZIAŁ 1. WPROWADZENIE 20 Duży wpływ na rozumienie rodzin I-B 1 (B α ) miał artykuł [10]. Z naszego punktu widzenia najciekawszy wynik uzyskali Laczkovich i Recław w [32]. Ich dowód wykorzystuje grę G 2 (I) (zob. rozdziały i 4.1). Równoważność warunków 3. i 4. wynika z charakteryzacji udowodnionej przez Laflamme a w [33] (zob ) oraz determinacji gry G 2 (I) dla borelowskich ideałów I (zob. lemat 4.1.5). Z dowodu poniższego twierdzenia zawartego w [32] wynika, że na mocy lematów i oraz uwagi 4.1.7, które udowodnimy w rozprawie, twierdzenie można uogólnić na wszystkie ideały koanalityczne. Twierdzenie (por. [32]) Niech I będzie ideałem borelowskim na ω. Wtedy następujące warunki są równoważne: 1. I-B 1 (C(X)) = B 1 (X) dla każdej nieprzeliczalnej przestrzeni polskiej X; 2. I jest słabym P-ideałem; 3. Fin Fin I; 4. I da się oddzielić od I zbiorem Σ 0 2; 5. Gracz II ma strategię wygrywającą w grze G 2 (I). Zatem Fin Fin jest krytycznym ideałem dla ideałowej zbieżności ciągów funkcji ciągłych. W [3] zostało dodatkowo pokazane, że warunek 3. jest równoważny warunkowi Fin Fin K I. Powyższy wynik z [32] został częściowo uogólniony w [7] przez Bouziada, który wykazał równoważność warunków 1., 4. i 5. dla wszystkich ideałów na ω (tzn. niekoniecznie borelowskich). Ponadto, pokazał on, że implikacja pozostanie prawdziwa po zastąpieniu w warunku 1. przestrzeni polskiej X dowolną przestrzenią normalną. Jeśli A i B są dwoma podzbiorami przestrzeni polskiej X, a Γ jest klasą borelowską, to mówimy, że A jest Γ-oddzielony od B, jeśli istnieje S Γ(X), dla którego A S = oraz B S. Rangą ideału I jest liczba porządkowa rk(i) = min { α < ω 1 : I jest Σ 0 1+α-oddzielony od I }. Z twierdzenia Łuzina o oddzielaniu (por. [25]) wynika, że każdy ideał analityczny ma przeliczalną rangę. Pojęcie rangi ideału zostało wprowadzone przez Debsa i Saint Raymonda w [10], jednakże idea pochodzi od Soleckiego (por. [42]), który podczas badań nad pytaniem postawionym przez Dobrowolskiego i Marciszewskiego w [11] pierwszy zauważył związek tej własności oddzielania z ideałową zbieżnością. Wspomniany związek w pełni ukazuje poniższe twierdzenie Debsa i Saint Raymonda.

21 ROZDZIAŁ 1. WPROWADZENIE 21 Twierdzenie (por. [10]) Niech I będzie ideałem analitycznym na ω oraz α przeliczalną liczbą porządkową. Wtedy: 1. I-B 1 (C(X)) B α (X) dla każdej przestrzeni polskiej X wtedy i tylko wtedy, gdy rk(i) α. 2. I-B 1 (C(X)) B α (X) dla każdej zerowymiarowej przestrzeni polskiej X wtedy i tylko wtedy, gdy rk(i) α. 3. I-B 1 (C(X)) = B α (X) dla każdej zerowymiarowej przestrzeni polskiej X wtedy i tylko wtedy, gdy rk(i) = α. W pracy będziemy korzystać z kilku podstawowych własności rangi. Stwierdzenie (por. [10]) Ranga ideału ma następujące własności: rk(i) = min { α < ω 1 : I jest Π 0 1+α-oddzielony od I }. Jeśli I J, to rk(i) rk(j ). Rangi ideałów izomorficznych są równe. Innym ważnym pojęciem w badaniach zbieżności ideałowej ciągów funkcji ciągłych są ideały Katětova Fin n, dla n ω. Są one zdefiniowane indukcyjnie: Fin 1 = Fin, Fin k+1 = Fin Fin k. Warto zauważyć, że Fin 2 = Fin Fin. Można również zdefiniować ideały Katětova Fin α dla ω α < ω 1. Pomijamy ich definicję, jednak można ją znaleźć w [10] są to ideały dualne do filtrów N α wprowadzonych w tej pracy (zob. też [3]). Ideały Katětova odgrywają ważną rolę w teorii rangi ideałów, gdyż dla każdego α < ω 1 ideał Fin α ma rangę α. Idea tych ideałów pochodzi od Katětova (por. [23] i [24]) i Grimeisena (por. [20]). Ideały Katětova są również związane z zagadnieniem znalezienia minimalnej złożoności borelowskiej ideału danej rangi. Debs i Saint Raymond w [10] postawili następujące hipotezy. Hipoteza (por. [10]) Ranga ideału analitycznego I jest większa bądź równa α wtedy i tylko wtedy, gdy zawiera on izomorficzną kopię ideału Fin α.

22 ROZDZIAŁ 1. WPROWADZENIE 22 Hipoteza (por. [10]) Każdy ideał rangi α ma złożoność borelowską nie mniejszą niż ideał Fin α. W [3] zostało pokazane, że warunek Fin α I jest równoważny warunkowi Fin α K I w przypadku, gdy α jest następnikiem lub α = ω. Wiadomo, że hipoteza jest prawdziwa dla α = 2, a hipoteza jest prawdziwa w przypadku, gdy α = 1, 2 lub α jest graniczną liczba porządkową (por. [10] i [9]). W [9] pokazano ponadto, że dla α < ω hipoteza implikuje hipotezę Debs i Saint Raymond w [10] badali również J -sumy Fubiniego, uzyskując następujące wyniki. Twierdzenie (por. [10]) Załóżmy, że I jest J -sumą Fubiniego ciągu ideałów (J i ) i I oraz J I jest elementem J. 1. Jeśli rk(j ) α oraz rk(j i ) ξ dla i J, to rk(i) ξ + α. 2. Jeśli rk(j ) α oraz rk(j i ) ξ dla i J, to rk(i) ξ α. 3. Jeśli J = Fin oraz rk(j i ) ξ dla i J, to rk(i) ξ + 1. Można zauważyć, że oszacowanie rangi J -sum Fubiniego nie jest precyzyjne. Nie jest jednak znany żaden przykład pokazujący, że w 2 nie da się uzyskać silniejszego oszacowania. W rozdziale 4.1 pokazujemy, że takie silniejsze oszacowanie jest możliwe, gdy J jest ideałem koanalitycznym rangi 1. Uzyskujemy ten wynik dzięki badaniom rangi J -granic ciągów ideałów. W rozdziale 4.2 pokazujemy zaś, że w przypadku J -granic część 1. powyższego twierdzenia nie jest prawdziwa ranga J -granicy ciągu ideałów (J i ) i I może być równa 1., nawet gdy ideały J oraz J i mają dowolnie dużą rangę. Ostatnio Natkaniec i Szuca w [38], badając granice ideałowe ciągów funkcji quasi-ciągłych, uzyskali wynik podobny do twierdzenia scharakteryzowali ideały, dla których I-B 1 (QC(X)) = B 1 (QC(X)), przy użyciu słabej ramseyowskości. W dowodzie użyli gry G 1 (J ) (zob. rozdziały i 3.1). Równoważność warunków 2. i 3. wynika z wcześniejszej charakteryzacji udowodnionej przez Laflamme a w [33] (zob. lemat 3.1.4) oraz determinacji gry G 1 (I) dla ideałów borelowskich I (zob. lemat 3.1.5). Z dowodu poniższego twierdzenia zawartego w [38] wynika, że na mocy lematów i oraz uwagi 3.1.7, które udowodnimy w rozprawie, twierdzenie można uogólnić na wszystkie ideały koanalityczne. Warto również przypomnieć, że grą charakteryzującą granice ideałowe ciągów funkcji ciągłych, z której skorzystali Laczkovich i Recław w dowodzie twierdzenia 1.5.1, była gra G 2 (J ).

23 ROZDZIAŁ 1. WPROWADZENIE 23 Twierdzenie (por. [38]) Niech I będzie ideałem borelowskim na ω. Następujące warunki są równoważne: 1. I-B 1 (QC(X)) = B 1 (QC) dla każdej metrycznej przestrzeni Baire a; 2. I jest słabo ramseyowski; 3. Gracz II ma strategię wygrywającą w grze G 1 (I). W rozdziale 4.3 pokazujemy, że możliwa jest również charakteryzacja ideałowej zbieżności ciągów funkcji quasi-ciągłych poprzez pewien ideał krytyczny, tzn. istnieje odpowiednik warunku 3. twierdzenia w przypadku quasi-ciągłości.

24 Rozdział 2 Ideały reprezentowane topologicznie 2.1 Charakteryzacja Przypomnijmy (zob. definicja 1.4.1), że ideał I na zbiorze przeliczalnym jest reprezentowany topologicznie, jeśli istnieje ośrodkowa przestrzeń metryczna X z ośrodkiem D oraz σ-ideał I na X (zawierający wszystkie singletony), dla których I jest izomorficzny z ideałem na D zdefiniowanym następująco: J I = { A D : A I }. W tym rozdziale przedstawimy kombinatoryczną charakteryzację ideałów reprezentowanych topologicznie. Przy okazji wykażemy, że w przypadku tych ideałów możemy mieć pewną kontrolę nad przestrzenią topologiczną. Mianowicie, każdy ideał reprezentowany topologicznie jest reprezentowany na zbiorze Cantora. Wszystkie wyniki z tego rozdziału pochodzą z pracy [31] napisanej wspólnie z dr. Marcinem Sabokiem. Jednak na początek warto skomentować pewien aspekt definicji ideałów reprezentowanych topologicznie. Formalnie takie ideały zależą od wyboru ośrodka. Okazuje się jednak, że wybierając różne ośrodki, otrzymujemy ideały izomorficzne. Stwierdzenie (por. [31]) Niech I będzie σ-ideałem na ośrodkowej przestrzeni metrycznej X, a D i E dwoma ośrodkami X. Jeśli I = {A D : A I} oraz J = {A E : A I}, to ideały I oraz J są izomorficzne. 24

25 ROZDZIAŁ 2. IDEAŁY REPREZENTOWANE TOPOLOGICZNIE 25 W dowodzie tego stwierdzenia będziemy potrzebować następującego faktu. Wynika on z twierdzenia 2.1.3, jednak tutaj zaprezentujemy bezpośredni dowód. Uwaga Jeśli ideał I jest reprezentowany topologicznie, to jest również reprezentowany topologicznie na przestrzeni zwartej. Dowód. Oznaczmy przez cl Y (A) domknięcie zbioru A w przestrzeni Y. Przypuśćmy, że I = {A D : cl X (A) I} dla pewnej ośrodkowej przestrzeni metrycznej X z ośrodkiem D oraz σ-ideału I na X. Niech ˆX będzie metrycznym uzwarceniem przestrzeni X, zaś Î będzie σ-ideałem na ˆX generowanym przez cl ˆX(A), dla wszystkich A I domkniętych w X, oraz {x}, dla x ˆX \ X. Wówczas I = {A D : cl ˆX(A) Î}. Istotnie, jeśli A I, to cl X (A) I, a więc cl ˆX(cl X (A)) Î. Wówczas również cl ˆX(A) Î. Z drugiej strony, jeśli A D jest taki, że cl ˆX(A) Î, to cl ˆX(A) n ω cl ˆX(B n ) dla pewnych B n I domkniętych w X. Wtedy cl X (A) = cl ˆX(A) X (cl ˆX(B n ) X) = cl X (B n ) = B n I. n ω n ω n ω Możemy teraz przejść do dowodu stwierdzenia Dowód. Załóżmy najpierw, że przestrzeń X nie posiada punktów izolowanych. Używając metody back-and-forth, ponumerujmy różnowartościowo D = {d n : n ω} oraz E = {e n : n ω} w taki sposób, aby dla wszystkich n odległość d n od e n była mniejsza od 1. Dla A ω oznaczmy n A D = {d n : n A} X oraz A E = {e n : n A} X. Aby wykazać, że ideały I oraz J są izomorficzne, wystarczy udowodnić, że A D należy do I wtedy i tylko wtedy, gdy A E należy do I. Zaobserwujmy, że A D A E {d n : n A} oraz A E A D {e n : n A}. Rzeczywiście, pierwsza inkluzja jest konsekwencją faktu, że jeśli x A D nie jest żadnym z punktów d n dla n A, to istnieje nieskończony ciąg (d n ) n B zbieżny do x, gdzie B A. Ponieważ e n są odległe od d n o mniej niż 1, ciąg (e n n) n B również zbiega do x. Dowód drugiej inkluzji jest analogiczny. Zatem A D oraz A E mogą się różnić co najwyżej o zbiór przeliczalny. Ponieważ I jest σ-ideałem zawierającym wszystkie singletony, otrzymujemy, że A D I wtedy i tylko wtedy, gdy A E I. Jeśli zbiór Z punktów izolowanych przestrzeni X jest skończony (Z = {z 0,..., z k }), to wystarczy zdefiniować d n = e n = z n dla n = 0,..., k (zbiór

26 ROZDZIAŁ 2. IDEAŁY REPREZENTOWANE TOPOLOGICZNIE 26 punktów izolowanych musi się zawierać w każdym zbiorze gęstym w przestrzeni X), a następnie metodą back-and-forth ponumerować różnowartościowo D \ Z = {d n : n > k} oraz E \ Z = {e n : n > k} w sposób zaprezentowany powyżej. Do rozpatrzenia pozostaje przypadek, gdy zbiór Z jest nieskończony. Na mocy uwagi możemy założyć, że przestrzeń X jest zwarta. Niech d będzie metryką na X. Używając metody back-and-forth, ponumerujmy różnowartościowo D = {d n : n ω} oraz E = {e n : n ω} w następujący sposób: 1. jeśli n jest parzyste oraz d n jest punktem skupienia, to d(d n, e n ) < 1 n+1 ; 2. jeśli n jest parzyste oraz d n jest punktem izolowanym, to e n Z oraz d(d n, e n ) < 2 inf{d(d n, e) : e Z \ ({d n } {e k : k < n})}; 3. jeśli n jest nieparzyste oraz e n jest punktem skupienia, to d(d n, e n ) < 1 n+1 ; 4. jeśli n jest nieparzyste oraz e n jest punktem izolowanym, to d n Z oraz d(d n, e n ) < 2 inf{d(d, e n ) : d Z \ ({e n } {d k : k < n})}. Dla A ω oznaczmy A D = {d n : n A} X oraz A E = {e n : n A} X. Aby wykazać, że ideały I oraz J są izomorficzne, wystarczy udowodnić, że A D należy do I wtedy i tylko wtedy, gdy A E należy do I. Pokażemy, że A D A E {d n : n A} Z oraz A E A D {e n : n A} Z. Udowodnimy jedynie pierwszą inkluzję (dowód drugiej jest analogiczny). Przypuśćmy, że x A D nie jest punktem izolowanym ani żadnym z d n dla n A. Niech (d n ) n B będzie nieskończonym ciągiem zbieżnym do x, gdzie B A. Możliwe są dwa przypadki: Jest nieskończenie wiele parzystych n B. Niech B = {n B : n jest parzyste}. Jeśli zbiór C = {n B : d n / Z} jest nieskończony, to ciąg (e n ) n C również zbiega do x, ponieważ dla n C punkty e n są 1 odległe od d n o mniej niż. Zajmiemy się teraz przypadkiem, gdy C n+1 jest skończony. Udowodnimy, że ciąg (e n ) n B \C zbiega do x. Ustalmy ε > 0. Istnieje takie N ω, że d(x, d n ) < ε dla wszystkich n > N. 6 Ustalmy m B \ C większe od N. Pokażemy, że d(x, e m ) < ε. Ponieważ x Z \ Z, to istnieje ciąg (z n ) n ω elementów Z zbieżny do x. Wtedy d(x, z n ) < ε dla prawie wszystkich n, czyli również d(d 6 m, z n ) < ε 3

27 ROZDZIAŁ 2. IDEAŁY REPREZENTOWANE TOPOLOGICZNIE 27 dla prawie wszystkich (w szczególności nieskończenie wielu) n. Zatem punkt e m musiał być wybrany tak, aby d(d m, e m ) < 2 ε. Wówczas 3 d(x, e m ) < ε + 2 ε < ε. 6 3 Jest nieskończenie wiele nieparzystych n B. Niech B = {n B : n jest nieparzyste}. Przypuśćmy, że x nie jest punktem skupienia ciągu (e n ) n B. Ze zwartości przestrzeni X istnieją y X różne od x oraz C B takie, że ciąg (e n ) n C zbiega do y. Wówczas jednak y jest punktem skupienia ciągu (d n ) n C (na mocy analogicznych argumentów jak w pierwszym przypadku), co jest sprzeczne z tym, że ciąg (d n ) n B zbiega do x. Zatem x jest puktem skupienia ciągu (e n ) n B. Pokazaliśmy, że A D oraz A E mogą się różnić co najwyżej o zbiór przeliczalny. Ponieważ I jest σ-ideałem zawierającym wszystkie singletony, otrzymujemy, że A D I wtedy i tylko wtedy, gdy A E I. Następne twierdzenie charakteryzuje, przy użyciu wyłącznie kombinatorycznych pojęć, ideały reprezentowane topologicznie. Jeden z koniecznych warunków jest modyfikacją pojęcia przeliczalnie oddzielalnych luk wprowadzonego przez Todorčevića w [44] (zob. też [1], [12] i [13]). Definicja Ideał J na zbiorze przeliczalnym D jest przeliczalnie oddzielalny, jeśli istnieje taka przeliczalna rodzina {X n : n ω} podzbiorów D, że dla wszystkich A J i B / J istnieje takie n, że A X n = oraz B X n / J. W takim przypadku mówimy, że rodzina {X n : n ω} oddziela I. Twierdzenie (por. [31]) Dla każdego ideału J następujące warunki są równoważne: 1. J jest gęsty i przeliczalnie oddzielalny; 2. J jest reprezentowany topologicznie; 3. J jest reprezentowany topologicznie na zbiorze Cantora. W dowodzie będziemy potrzebować następującego lematu pokazującego, że rodzina świadcząca o przeliczalnej oddzielalności może być ulepszona. Lemat Jeśli ideał J zdefiniowany na zbiorze D jest gęsty i przeliczalnie oddzielalny, to istnieje przeliczalna rodzina {X n : n ω} świadcząca o przeliczalnej oddzielalności J, która ponadto spełnia następujące warunki:

28 ROZDZIAŁ 2. IDEAŁY REPREZENTOWANE TOPOLOGICZNIE 28 dla dowolnych i j D istnieje takie n ω, że i X n oraz j / X n ({X n : n ω} oddziela punkty); wszystkie jej kombinacje boolowskie są albo puste, albo nieskończone. Dowód. Niech {Y n : n ω} będzie rodziną świadczącą o przeliczalnej oddzielalności J. Niech {(i n, j n ) : n ω} będzie numeracją zbioru przeliczalnego D D \ {(i, i) : i D}. Skonstruujemy indukcyjnie rodzinę {X n : n ω} podzbiorów D taką, że dla każdego n: jeśli n = 2m dla pewnego m ω, to X n jest takim podzbiorem zbioru Y m, że Y m \ X n J ; jeśli n = 2m + 1 dla pewnego m ω, to k m X n oraz l m / X n ; wszystkie kombinacje boolowskie zbiorów X i, dla i n, są albo puste, albo nieskończone. Zauważmy, że na mocy pierwszego warunku taka rodzina świadczy o przeliczalnej oddzielalności J. Zatem {X n : n ω} będzie żądaną rodziną. Niech X 0 = Y 0 i załóżmy, że X k, dla k < n, są już skonstruowane. Wszystkie niepuste kombinacje boolowskie rodziny {X k : k < n} tworzą skończony podział {A k : k < k n } zbioru D na nieskończone podzbiory. Przypadek 1. Załóżmy, że n = 2m jest parzyste. Dla każdego k < k n wybieramy zbiór B k A k Y m w następujący sposób: jeśli A k Y m J, to B k = ; jeśli A k Y m / J i A k \ Y m jest nieskończony, to B k = A k Y m ; jeśli A k Y m / J i A k \ Y m jest skończony, to, korzystając z gęstości ideału J, można znaleźć nieskończony B k A k Y m należący do J. Wtedy niech B k = (A k Y m ) \ B k. Zbiór X n = k<k n B k jest takim podzbiorem Y m, że Y m \ X n J oraz X n jest albo pusty, albo nieskończony i konieskończony w każdym ze zbiorów A k. Przypadek 2. Załóżmy, że n = 2m+1 jest nieparzyste. Istnieje k < k n takie, że i m A k. Niech X n będzie dowolnym nieskończonym podzbiorem zbioru A k takim, że i m X n, j m / X n oraz A k \X n jest nieskończony. Wtedy X n w każdym A k jest albo pusty, albo nieskończony i konieskończony.

29 ROZDZIAŁ 2. IDEAŁY REPREZENTOWANE TOPOLOGICZNIE 29 Możemy teraz przejść do dowodu twierdzenia Dowód : Oczywiste : Załóżmy, że J jest reprezentowany na X przez σ-ideał I, tzn. J jest izomorficzny z J I. Niech D X będzie przeliczalnym zbiorem gęstym w X. Wystarczy pokazać, że J I jest gęsty i przeliczalnie oddzielalny, gdyż obie te własności są niezmiennikami izomorfizmu ideałów. Pokażemy najpierw, że J I jest gęsty. Rzeczywiście, jeśli A D nie należy do J I, to A / I, więc A jest nieprzeliczalny, ponieważ zakładamy, że każdy σ-ideał zawiera wszystkie singletony. Niech x A\A. Wybierzmy ciąg (x n ) n ω elementów A zbieżny do x. Wtedy B = {x n : n ω} jest nieskończonym podzbiorem A należącym do J I (B = B {x} jest przeliczalny, a więc należy do I). Aby pokazać, że J I jest przeliczalnie oddzielalny, niech {U n : n ω} będzie bazą topologii przestrzeni X oraz niech X n = U n D. Pokażemy, że rodzina {X n : n ω} świadczy o przeliczalnej oddzielalności ideału J I. Istotnie, niech A J I oraz B / J I. Wtedy A I oraz B / I. Ponieważ I jest σ-ideałem, istnieje takie n, że U n A = oraz U n B / I. Wówczas X n A = oraz X n B jest J I -pozytywny, gdyż X n B zawiera U n B : Załóżmy, że ideał J jest gęsty i przeliczalnie oddzielalny. Bez straty ogólności możemy przyjąć, że J jest zdefiniowany na ω. Niech {X n : n ω} będzie rodziną z lematu Rozważmy odwzorowanie ω k x k = {n ω : k X n } P(ω). Ponieważ rodzina {X n : n ω} oddziela punkty, to powyższe odwzorowanie jest izomorfizmem pomiędzy ciałem podzbiorów ω, złożonym z kombinacji boolowskich zbiorów X n, a ciałem złożonym z odpowiadających im otwartodomkniętych podzbiorów przestrzeni {x k : k ω}, stanowiącym bazę jej topologii jako podprzestrzeni P(ω) (por. [25, stwierdzenie 12.1]). Ponieważ wszystkie niepuste kombinacje boolowskie zbiorów X n są nieskończone, podprzestrzeń C = {x k : k ω} P(ω) nie ma punktów izolowanych. Wynika stąd, że przestrzeń C jest homeomorficzna ze zbiorem Cantora i D = {x k : k ω} jest gęstym ośrodkiem C. Powyższe odwzorowanie definiuje również izomorfizm ideałów, więc możemy założyć, że J jest ideałem na D. Przy tym utożsamieniu zbiór X n składa się z tych x D, że n x. Zdefiniujmy ideał zbiorów zwartych I = {K K(C) : A J A}. Pokażemy, że I jest σ-ideałem zbiorów zwartych. K Przypuśćmy przeciwnie i oznaczmy przez d metrykę zupełną na P(ω) ograniczoną przez 1. Na mocy lematu 2.1 z [34] (zob. też [26]), istnieje ciąg

30 ROZDZIAŁ 2. IDEAŁY REPREZENTOWANE TOPOLOGICZNIE 30 zbiorów K n I oraz zbiór K I takie, że K n zbiega do K w metryce Hausdorffa pochodzącej od d oraz K n K n / I. Niech A J będzie takim podzbiorem D, że K A. Ponadto, dla każdego n, niech B n J będzie takim podzbiorem D, że K n B n oraz B n jest zawarty w kuli K(K n, 1 ). n Zdefiniujmy B = A n B n i zauważmy, że B / J, ponieważ K n K n B. Ideał J jest przeliczalnie oddzielalny zbiorami X n. Zatem istnieje takie n, że A X n = oraz B X n / J. Zbiory X n są otwarto-domknięte w D (w topologii podprzestrzeni), a więc istnieje zbiór otwarto-domknięty E C taki, że A E oraz E X n =. Niech ɛ > 0 będzie taki, że K(K, ɛ) E. Wszystkie zbiory B k, poza skończoną ilością, są zawarte w K(K, ɛ). Zatem B \ E jest pokryty skończenie wieloma zbiorami B k, podobnie jak B X n B \ E. Ponieważ zbiory B k należą do J, otrzymujemy sprzeczność z tym, że B X n / J. Niech I będzie σ-ideałem na C generowanym przez σ-ideał zbiorów zwartych I. Wówczas mamy I = I K(C). Zauważmy, że I zawiera wszystkie singletony. Rzeczywiście, jeśli x C, to istnieje ciąg (y n ) n ω D zbieżny do x. Ponieważ ideał J jest gęsty, istnieje podciąg (y nk ) k ω ciągu (y n ) n ω taki, że {y nk : k ω} {x} = {y nk : k ω} I. Zatem {x} I, a więc również {x} I. Aby zakończyć dowód, pokażemy, że J = J I. Jedna inkluzja jest oczywista: jeśli A J, to A I na mocy definicji I, a więc A J I. Z drugiej strony, jeśli A J I, to A I, a nawet A I. Zatem istnieje B J spełniający warunek A B. Pokażemy, że A J. Jeśli A / J, to X n B = oraz X n A dla pewnego n. Niech E C będzie otwarto-domkniętym bazowym podzbiorem C spełniającym E D = X n. Zauważmy, że B E = oraz A E. Otrzymaliśmy sprzeczność z A B. Zatem A J. Uwaga Zauważmy, że ani gęstość, ani przeliczalna oddzielalność w pojedynkę nie wystarczają do tego, aby ideał był reprezentowany topologicznie. Ideał Fin jest przeliczalnie oddzielalny przez zbiory C n,k = {(n, m) ω ω : m > k}, jednak nie jest gęsty. Z drugiej strony, ideał Fin Fin jest gęsty, ale nie jest słabo selektywny (zob. definicja 1.3.1), gdyż funkcja (n, m) n nie jest ani stała, ani różnowartościowa na żadnym zbiorze Fin Fin-pozytywnym. W [39] zostało wykazane, że każdy ideał reprezentowany topologicznie jest słabo selektywny. Zatem Fin Fin nie jest reprezentowany topologicznie. Na mocy twierdzenia nie może być też przeliczalnie oddzielalny.

31 ROZDZIAŁ 2. IDEAŁY REPREZENTOWANE TOPOLOGICZNIE Złożoność deskryptywna W tym rozdziale obliczamy dokładną złożoność borelowską analitycznych ideałów reprezentowanych topologicznie. W połączeniu z twierdzeniem wynik z tego rozdziału pokazuje, że każdy analityczny ideał gęsty i przeliczalnie oddzielalny jest Π 0 3-zupełny. Podobne wyniki, ukazujące ograniczenia narzucone przez pewne kombinatoryczne własności na deskryptywną złożoność ideałów, były znane już wcześniej. Dla przykładu, Solecki w [41] pokazał, że każdy analityczny P -ideał jest albo Σ 0 2, albo Π 0 3-zupełny. Wyniki z tego rozdziału są częścią pracy [31] napisanej wspólnie z dr. Marcinem Sabokiem. Najpierw przywołajmy dobrze znany fakt dotyczący borelowskiej złożoności ideałów analitycznych. Zamieszczamy jego dowód w trosce o kompletność argumentacji. Lemat Wszystkie ideały analityczne są Σ 0 2-trudne. Dowód. Niech J będzie ideałem analitycznym na zbiorze przeliczalnym X. Ponieważ J ma własność Baire a, na mocy twierdzenia Jalali-Naini i Talagranda (por. [22] i [43]) istnieje funkcja f : X ω taka, że f 1 [{i}] jest skończony dla każdego i X oraz A Fin f 1 [A] J, dla każdego A ω. Zdefiniujmy funkcję ϕ: P(ω) P(X) wzorem ϕ(a) = f 1 [A]. Łatwo sprawdzić, że ϕ jest ciągła oraz ϕ 1 [J ] = { A ω : f 1 [A] J } = Fin. Zatem J jest Σ 0 2-trudny. Twierdzenie (por. [31]) Analityczne ideały reprezentowane topologicznie są Π 0 3-zupełne. Dowód jest w dużej mierze oparty na argumentach z [34]. Dowód. Niech J będzie analitycznym ideałem reprezentowanym topologicznie. Pokażemy najpierw, że J jest typu Π 0 3. Ta obserwacja została zamieszczona bez dowodu przez Saboka i Zapletala w [39]. Poniżej przedstawiamy szczegóły tego rozumowania.

32 ROZDZIAŁ 2. IDEAŁY REPREZENTOWANE TOPOLOGICZNIE 32 Na mocy twierdzenia istnieje σ-ideał I na przestrzeni Cantora C taki, że ideał J I zdefiniowany na ośrodku D przestrzeni C jest izomorficzny { z J. Ponadto, z dowodu twierdzenia wynika, że I K(C) = A K(C) : B JI A B }. Zauważmy, że σ-ideał zbiorów zwartych I K(C) jest analityczny, jako obraz zbioru analitycznego J I K(C) poprzez borelowską funkcję daną wzorem (A, X) A X K(C) dla (A, X) P(D) K(C). Zatem z twierdzenia Kechrisa, Louveau i Woodina (por. [27]) oraz Dougherty ego, Kechrisa i Louveau (por. [26]) I K(X) jest typu Π 0 2. Ideał J I jest teraz przeciwobrazem zbioru I K(X) typu Π 0 2 poprzez funkcję pierwszej klasy borelowskiej daną wzorem A A K(X), dla każdego A D. Zatem J I jest typu Π 0 3. Pokażemy teraz, że J I jest Π 0 3-trudny. Ustalmy metrykę na C. Istnieje taki x C, że dla każdego n kula K(x, 1 ) nie należy do I. Rzeczywiście, 2 n w przeciwnym razie moglibyśmy pokryć C kulami należącymi do σ-ideału I. Ponieważ C jest przestrzenią zwartą, z tego pokrycia bylibyśmy w stanie wybrać pokrycie skończone. Ale wtedy C I. Ustalmy zatem x C takie, że V n = K(x, 1 2 n ) / I, dla n ω. Dla każdego n definiujemy ideał na D V n wzorem J n I = {A V n : A J I }. Ponieważ J I jest ideałem, mamy JI n = J I P(V n ). Czyli ideały JI n są analityczne, a więc Σ 0 2-trudne na mocy lematu Zatem dla każdego n istnieje funkcja ciągła φ n : P(ω) P(D V n ) taka, że φ 1 n [JI n ] = Fin. Zdefiniujmy φ : (P(ω)) ω P(D) wzorem φ ( ) (A n ) n ω = φ n (A n ). Niech także W = { (A n ) n ω : n ω A n Fin } = { (A n ) n ω : n ω φ n (A n ) J n I Zbiór W jest Π 0 3-zupełny (zob. [25, ćwiczenie 23.1] oraz [34, dowód twierdzenia 1.1]). Ponadto łatwo sprawdzić, że funkcja φ jest ciągła. Aby zakończyć dowód, wystarczy zatem pokazać, że φ 1 [J I ] = W. Załóżmy najpierw, że (A n ) n ω jest taki, że n ω φ n (A n ) J I. Wtedy dla każdego n mamy φ n (A n ) J I oraz φ n (A n ) V n. Zatem zbiór φ n (A n ) należy do JI n dla każdego n. Czyli (A n ) n ω W. Z drugiej strony, jeśli (A n ) n ω W, czyli dla każdego n mamy φ n (A n ) JI n J I, to również φ n (A n ) I. Ponieważ I jest σ-ideałem zawierającym wszystkie singletony, n ω φ n (A n ) {x} I. Aby udowodnić, że n ω }.

33 ROZDZIAŁ 2. IDEAŁY REPREZENTOWANE TOPOLOGICZNIE 33 n ω φ n (A n ) J I, wystarczy pokazać, że n ω φ n (A n ) n ω φ n (A n ) {x}. Istotnie, jeśli y n ω φ n (A n ), to istnieje ciąg (y n ) n ω elementów zbioru n ω φ n (A n ) zbieżny do y. Możliwe są dwa przypadki: Przypadek 1. Istnieje takie m, że w φ m (A m ) jest nieskończenie wiele punktów y n. W tym przypadku y jest elementem zbioru φ m (A m ). Przypadek 2. W każdym ze zbiorów φ m (A m ) jest tylko skończenie wiele punktów y n. Przypuśćmy, że y x. Wtedy istnieje takie m, że y / V m. Ponieważ ciąg zbiorów (V n ) n ω jest malejący oraz y = lim n y n, nieskończenie wiele punktów y n należy do V m. Otrzymujemy sprzeczność z tym, że y / V m. Zatem y = x. W obu przypadkach otrzymaliśmy y n ω φ n (A n ) {x}.

34 Rozdział 3 Selektywne własności ideałów 3.1 Ideały słabo selektywne Przypomnijmy (zob. definicja 1.3.1), że ideał I na zbiorze X jest słabo selektywny, jeśli dla każdego podziału (X n ) n ω zbioru X na zbiory nienależące do I, posiadającego co najwyżej jeden element nienależący do ideału, istnieje I-pozytywny selektor. Równoważnie, dla każdej funkcji f : B ω zadanej na I-pozytywnym zbiorze B można znaleźć I-pozytywny A B, na którym f jest stała lub I-pozytywny A B, na którym f jest różnowartościowa. Przypomnijmy również (zob. definicja 1.4.1), że ideał I na zbiorze przeliczalnym jest reprezentowany topologicznie, jeśli istnieje ośrodkowa przestrzeń metryczna X z ośrodkiem D oraz σ-ideał I na X, dla których I jest izomorficzny z ideałem na D zdefiniowanym następująco: J I = { A D : A I }. Ten rozdział jest poświęcony udowodnieniu charakteryzacji koanalitycznych ideałów słabo selektywnych przy użyciu ideałów reprezentowanych topologicznie. Ujawnia ona pewne powiązanie obu tych pojęć (zob. też hipoteza 1.4.2). Wyniki z tego rozdziału są częścią artykułu [31] napisanego wspólnie z dr. Marcinem Sabokiem, jednak prof. Piotr Zakrzewski zasugerował pewne zmiany i uproszczenia w stosunku do tego artykułu. Mówimy, że kolorowanie f : [X] 2 2 spełnia warunek ( ) względem ideału I, jeśli dla każdego punktu x X zbiór {y X : f ({x, y}) = 0} należy do ideału I lub zbiór {y X : f ({x, y}) = 1} należy do ideału I. Na początek przytaczamy fakt udowodniony przez Grigorieffa. 34

35 ROZDZIAŁ 3. SELEKTYWNE WŁASNOŚCI IDEAŁÓW 35 Stwierdzenie (por. [19]) Niech I będzie ideałem na ω. Następujące warunki są równoważne: 1. I jest słabo selektywny; 2. Dla każdego zbioru I-pozytywnego X każde drzewo T X <ω, którego ramifikacje są w (I X), posiada I-pozytywną gałąź; 3. Dla każdego zbioru I-pozytywnego X każde kolorowanie f : [X] 2 2, spełniające warunek ( ) względem I, posiada monochromatyczny I- pozytywny podzbiór zbioru X; 4. Dla każdego malejącego ciągu (X n ) n ω I-pozytywnych podzbiorów ω, spełniającego warunek X n \ X n+1 I dla każdego n, istnieje rosnąca funkcja f : ω ω, której zbiór wartości nie należy do I i taka, że f(n + 1) X f(n) dla każdego n. Ostatni punkt powyższego stwierdzenia, w przeciwieństwie do pozostałych, jest poprawnie zdefiniowany jedynie dla ideałów na ω. Z tego względu w sformułowaniu stwierdzenia pojawia się założenie, że I jest ideałem na ω. Należy jednak zauważyć, że słaba selektywność jest niezmiennikiem izomorfizmu ideałów. Można zatem stosować powyższe stwierdzenie dla wszystkich ideałów na zbiorach przeliczalnych, pamiętając, że w przypadku punktu 4. należy rozważać dowolną izomorficzną kopię ideału zdefiniowaną na ω. W dalszej części będzie nam również potrzebna poniższa obserwacja. Stwierdzenie Niech I będzie ideałem na X oraz A / I. Jeśli I jest słabo selektywny, to ideał I A również jest słabo selektywny. Dowód. Załóżmy, że I jest słabo selektywny. Pokażemy, że I A jest słabo selektywny. Niech (X n ) n ω będzie podziałem zbioru A takim, że X i I A dla i > 0 oraz X 0 / (I A). Zdefiniujmy podział zbioru X w następujący sposób: Y 0 = (X \ A) X 0 oraz Y n = X n dla n > 0. Wtedy Y n I dla wszystkich n > 0. Co więcej, Y 0 / I, ponieważ X 0 / (I A). Zatem istnieje I-pozytywny selektor S tego podziału. Zauważmy, że wówczas S A jest (I A)-pozytywnym selektorem podziału (X n ) n ω. W [39] Sabok i Zapletal udowodnili, że ideały reprezentowane topologicznie są słabo selektywne. Zgodnie z hipotezą postawioną przez Saboka i Zapletala ideały reprezentowane topologicznie powinny dać się scharakteryzować przy pomocy gęstości oraz słabej selektywności. Poniższe twierdzenie ujawnia kolejną zależność między tymi pojęciami.

36 ROZDZIAŁ 3. SELEKTYWNE WŁASNOŚCI IDEAŁÓW 36 Twierdzenie (por. [31]) Załóżmy, że ideał I jest koanalityczny. Następujące warunki są równoważne: 1. I jest słabo selektywny; 2. I jest przecięciem pewnej rodziny ideałów reprezentowanych topologicznie. Dowód wykorzystuje grę G 1 (J ) (zob. rozdział 1.2.7). Przypomnijmy, że uczestniczą w niej dwaj gracze: w swoim n-tym ruchu gracz I wybiera zbiór C n J, a gracz II odpowiada punktem k n / C n. Gracz I wygrywa, jeśli {k n : n ω} J. W przeciwnym razie wygrywa gracz II. Filtr F jest ω-+-diagonalizowalny, jeśli istnieje taka przeliczalna rodzina (X n ) n ω zbiorów F -pozytywnych, że dla każdego Y F istnieje n ω takie, że X n \ Y jest skończony (por. [33]). Na marginesie zauważmy, że ω- +-diagonalizowalność filtru J wynika z pewnej silniejszej własności: koideał J + jest bisekwencyjny, jeśli dla każdego ultrafiltru U J + istnieje taka przeliczalna rodzina (X n ) n ω zbiorów z U, że dla każdego A J istnieje n ω takie, że A X n =. Todor cević pokazał w [46], że koideał każdego analitycznego lub koanalitycznego ideału selektywnego jest bisekwencyjny. Łatwo zauważyć również, że ω-+-diagonalizowalność filtru J wynika z przeliczalnej oddzielalności. Przypomnijmy (zob. definicja 2.1.3), że ideał J jest przeliczalnie oddzielalny, jeśli istnieje taka przeliczalna rodzina {X n : n ω}, że dla wszystkich A J i B / J istnieje takie n, że A X n = oraz B X n / J. Gra G 1 (J ) była badana w [33] przez Laflamme a, który udowodnił następujące charakteryzacje. Przypomnijmy, że ideał I na zbiorze X jest słabo ramseyowski, jeśli każde drzewo T X <ω, którego ramifikacje są w I, posiada I-pozytywną gałąź (zob. definicja 1.3.1). Zauważmy również, że na mocy warunku 2. stwierdzenia każdy ideał słabo selektywny jest słabo ramseyowski. Lemat (por. [33]) Niech J będzie ideałem. 1. Gracz I ma strategię wygrywającą w grze G 1 (J ) wtedy i tylko wtedy, gdy ideał J nie jest słabo ramseyowski. 2. Gracz II ma strategię wygrywającą w grze G 1 (J ) wtedy i tylko wtedy, gdy filtr J jest ω-+-diagonalizowalny.

37 ROZDZIAŁ 3. SELEKTYWNE WŁASNOŚCI IDEAŁÓW 37 Grę G 1 (J, X ) można uogólnić w następujący sposób. Rozważmy ideał J na zbiorze przeliczalnym X oraz X P(X) ω ω. W grze G 1(J, X ) uczestniczą dwaj gracze: w swoim n-tym ruchu gracz I wybiera zbiór C n J, a gracz II odpowiada parą (k n, m n ) taką, że k n X \ C n oraz m n n { 1} (wybór m n = 1 można interpretować jako wstrzymanie się gracza II od wykonania posunięcia). Gracz II wygrywa, jeśli nieskończenie wiele punktów m n jest różnych od 1 oraz ({k n : n ω}, m) X, gdzie m jest ciągiem tych m n, które są różne od 1. W przeciwnym razie wygrywa gracz I. Poniżej prezentujemy dowód determinacji gry G 1(J, X ) dla borelowskich zbiorów X. Jest to standardowy wniosek z twierdzenia Martina o borelowskiej determinacji. Dowód zamieszczamy w trosce o kompletność rozumowania. Warto odnotować, że gra G 1 (J ) dla borelowskich J również jest zdeterminowana. Dowód tego faktu jest analogiczny do poniższego (zob. też [38]). Lemat (por. [25]) Jeśli J jest ideałem zdefiniowanym na zbiorze przeliczalnym X, a X jest borelowskim podzbiorem P(X) ω ω, to gra nieskończona G 1(J, X ) jest zdeterminowana. Dowód. W dowodzie zastosujemy twierdzenie Martina o borelowskiej determinacji (por. [25, rozdział 20A]). W tym celu potrzebujemy przeformułować grę G 1(J, X ) na język używany w [25] tak, aby była równoważna pewnej grze postaci G(T, Y ). Bez straty ogólności możemy założyć, że X = ω. Niech A = P(ω { 1}). Zdefiniujmy drzewo T = {(a 0,..., a n ) A <ω : i ω a 3i J a 3i+1 = a 3i+2 = 1 1 / a 3i+1 a 3i a 3i+1 = a 3i+2 i { 1}}. Funkcja F : [T ] A ω zadana wzorem F ((a 0, a 1...)) = {a 3i+1 : i ω} jest ciągła. Ponadto gra G 1(J, X ) jest równoważna grze postaci G(T, F 1 (X )). Ponieważ X jest borelowski (a więc F 1 (X ) również), na mocy twierdzenia Martina o borelowskiej determinacji (por. [25, twierdzenie 20.5]) gra G 1(J, X ) jest zdeterminowana. Załóżmy, że J jest koanalitycznym ideałem na przeliczalnym zbiorze X. Niech D [X] ω ω ω będzie takim zbiorem domkniętym, że [X] ω \ J jest rzutem zbioru D. Oznaczmy G 1(J ) = G 1(J, D). Lemat Niech I będzie ideałem na X.

38 ROZDZIAŁ 3. SELEKTYWNE WŁASNOŚCI IDEAŁÓW Jeśli gracz I ma strategię wygrywająca w grze G 1(J ), to ma również strategię wygrywającą w grze G 1 (J ). 2. Jeśli gracz II ma strategię wygrywająca w grze G 1(J ), to ma również strategię wygrywającą w grze G 1 (J ). Dowód. 1.: Niech σ będzie strategią wygrywającą gracza I w grze G 1(J ). Opiszemy strategię τ dla gracza I w grze G 1 (J ). Załóżmy, że gracz I ma wykonać swój n-ty ruch, po tym, jak gracz II zagrał k 0,..., k n 1. Niech F będzie skończonym zbiorem wszystkich ciągów m 0,..., m n takich, że m i i { 1} i dla każdego f = (m 0,..., m n 1 ) F niech C f J będzie n-tym ruchem gracza I w grze G 1(J ) zgodnym ze strategią σ, po tym, jak gracz II zagrał (k 0, m 0 ),..., (k n 1, m n 1 ). Niech ruchem gracza I w G 1 (J ) zgodnym ze strategią τ będzie zbiór f F C f. Pokażemy, że jest to strategia wygrywająca dla gracza I w grze G 1 (J ). Załóżmy przeciwnie. Wtedy istnieje ciąg (k n ) n ω zagrań gracza II w grze G 1 (J ) (będący odpowiedzią na zagrania gracza I zgodne ze strategią τ) taki, że {k n : n ω} / J. Aby otrzymać sprzeczność, znajdziemy ciąg zagrań gracza II w grze G 1(J ) (będący odpowiedzią na zagrania gracza I zgodne ze strategią σ) taki, że gracz II wygra w grze G 1(J ). Ponieważ {k n : n ω} / J, istnieje ciąg (m n ) n ω ω ω taki, że ({k n : n ω}, (m n ) n ω ) D. Niech (m n) n ω będzie pewnym ciągiem takim, że m n n { 1} dla każdego n oraz (m n ) n ω = m, gdzie m jest ciągiem tych m n, które są różne od 1 (tzn. w ciągu (m n) n ω pomiędzy wartościami m i a m i+1 jest na tyle długi skończony blok złożony z liczb 1, aby na miejscu k-tym ciągu (m n) n ω mogła się pojawić liczba m i+1, czyli aby k > m i+1 ). Gra, w której gracz I gra zgodnie ze strategią σ, a gracz II w swoim n-tym ruchu wybiera (k n, m n), jest zgodna z regułami gry G 1(J ) na mocy definicji strategii τ. Jednak w takiej grze wygrywa gracz II. Otrzymaliśmy sprzeczność z tym, że σ jest strategią wygrywającą dla gracza I. 2.: Niech σ będzie strategią wygrywającą gracza II w grze G 1(J ). Opiszemy strategię τ dla gracza II w grze G 1 (J ). Załóżmy, że gracz II ma wykonać swój n-ty ruch, po tym, jak gracz I zagrał C 0,..., C n J. Niech (k n, m n ), gdzie k n X \ C n oraz m n n { 1}, będzie n-tym ruchem gracza II w grze G 1(J ) zgodnym ze strategią σ, po tym, jak gracz I zagrał C 0,..., C n. Ruchem gracza II w G 1 (J ) zgodnym ze strategią τ niech będzie k n X \ C n. Pokażemy, że jest to strategia wygrywająca dla gracza II w grze G 1 (J ). Ponieważ σ jest strategią wygrywającą gracza II w grze G 1(J ), to ({k n : n

39 ROZDZIAŁ 3. SELEKTYWNE WŁASNOŚCI IDEAŁÓW 39 ω}, m) D, gdzie m jest ciągiem tych m n, które są różne od 1. Zatem {k n : n ω} [X] ω należy do rzutu proj 1 [D] = [X] ω \ J. Czyli gracz II wygrywa w grze G 1 (J ). Uwaga Z lematów oraz otrzymujemy, że dla każdego koanalitycznego ideału J gra G 1 (J ) jest zdeterminowana. Co więcej, na mocy lematu 3.1.4, koanalityczny ideał jest słabo ramseyowski wtedy i tylko wtedy, gdy jego filtr dualny jest ω-+-diagonalizowalny. Możemy teraz przejść do dowodu twierdzenia Dowód : Załóżmy, że J = l Λ J l, gdzie każdy J l jest ideałem reprezentowanym topologicznie. W [39] Sabok i Zapletal pokazali, że każdy ideał reprezentowany topologicznie jest słabo selektywny. Wystarczy zatem udowodnić, że przecięcie ideałów słabo selektywnych jest ideałem słabo selektywnym. Niech B / J oraz f : B ω będzie dowolną funkcją. Wybierzmy takie l Λ, że B / J l. Ponieważ J l jest słabo selektywny, to albo istnieje B / J l, na którym f jest stała, albo istnieje B / J l, na którym f jest różnowartościowa. Ale wtedy również B / J. Zatem dla każdej funkcji zadanej na J -pozytywnym zbiorze istnieje J -pozytywny podzbiór, na którym ta funkcja jest stała lub różnowartościowa. Czyli J jest słabo selektywny : Niech J będzie koanalitycznym ideałem słabo selektywnym. Możemy założyć, że J jest zdefiniowany na ω. Niech D [ω] ω ω ω będzie takim zbiorem domkniętym, że [ω] ω \ J jest rzutem zbioru D. Pokażemy najpierw, że dla każdego B / J filtr (J B) jest ω-+diagonalizowalny. Na mocy stwierdzenia 3.1.2, J B jest słabo selektywny. Wtedy J B jest też słabo ramseyowski na mocy warunku 2. stwierdzenia 3.1.1, więc gracz I nie ma strategii wygrywającej w grze G 1 (J B) (lemat 3.1.4). Zatem gracz I nie ma też strategii wygrywającej w grze G 1(J B) (lemat 3.1.6). Ideał J B jest koanalityczny, gdyż J B = J P(B), a więc gra G 1(J B) jest zdeterminowana na mocy lematu Wtedy musi istnieć strategia wygrywająca dla gracza II w grze G 1(J B), a także w grze G 1 (J B) (lemat 3.1.6). Czyli filtr (J B) jest ω-+-diagonalizowalny (lemat 3.1.4). Niech rodzina (X n ) n ω świadczy o ω-+-diagonalizowalności filtru (J B). Niech Yn m = X n \ m, dla n, m ω. Zastępując (X n ) n ω rodziną przeliczalną Y B = {Yn m } n,m ω składającą się z J -pozytywnych podzbiorów B, otrzymujemy, że dla każdego A J istnieje Y Y B spełniający Y A =.

40 ROZDZIAŁ 3. SELEKTYWNE WŁASNOŚCI IDEAŁÓW 40 Pokażemy teraz, że od rodzin Y B można żądać więcej: dla każdego B / J istnieje przeliczalna rodzina X B J -pozytywnych podzbiorów B taka, że: (a) dla każdego X 0,..., X n X B, jeśli i n X i, to istnieje Y X B spełniający Y i n X i oraz ( i n X i ) \ Y J ; (b) dla każdego X X B istnieją X 0, X 1 X B, X 0, X 1 X takie, że X 0 X 1 = i X \ (X 0 X 1 ) J ; (c) dla każdego X X B oraz A J istnieje Y X B, Y X spełniający Y A =. Zauważmy, że warunek (b) implikuje, że dla każdego X X B oraz n X istnieje Y X B taki, że Y X oraz n / Y. Aby przeprowadzić konstrukcję rodziny X B dla ustalonego B / J, zauważmy, że J A, dla zbioru (J B)-pozytywnego A B, jako ideał koanalityczny, a więc z własnością Baire a, nie jest maksymalny. Zatem istnieją J -pozytywne zbiory rozłączne X 0, X 1 takie, że X 0 X 1 = X. Niech Z będzie przeliczalną rodziną J -pozytywnych podzbiorów B taką, że: B Z, dla każdego C Z mamy Y C Z, dla każdego C Z mamy C 0, C 1 Z, dla każdych C 0,..., C n Z, jeśli i n C i / J, to i n C i Z. Niech Z = {Z i : i ω} będzie numeracją z nieskończonymi powtórzeniami. Indukcyjnie konstruujemy zbiory X i w następujący sposób. Niech X 0 = Z 0 oraz X i+1 = X i \ {Z i X j : j < i oraz Z i X j J }. Rodzina X B = {X i : i ω} ma żądane własności, ponieważ dla każdego i ω mamy X i Z i oraz Z i \ X i J. Niech teraz J B = {A ω : X XB Y XB Y X A Y = }. Zauważmy, że na mocy (c) dla każdego B / J rodzina J B jest ideałem zawierającym J. Ponadto B / J B. Zatem mamy J = B / J J B. Aby zakończyć dowód, pokażemy, że ideały J B są reprezentowane topologicznie. Na mocy twierdzenia musimy sprawdzić, że dla każdego B / J ideał J B jest gęsty i przeliczalnie oddzielalny.

41 ROZDZIAŁ 3. SELEKTYWNE WŁASNOŚCI IDEAŁÓW 41 Ideał J B jest przeliczalnie oddzielalny rodziną X B. Rzeczywiście, jeśli A J B oraz C / J B, to istnieje X X B taki, że dla każdego podzbioru Y X B zbioru X zachodzi Y C. Co więcej, dla każdego podzbioru Y X B zbioru X zachodzi również Y C / J B. Istotnie, w przeciwnym przypadku, korzystając z tego, że Y C J B oraz z definicji ideału J B, znaleźlibyśmy podzbiór Y X B zbioru X, dla którego Y C =. Z drugiej strony, istnieje Y X B taki, że Y X i Y A =, ponieważ A J B. Zatem X B przeliczalnie oddziela J B. Aby pokazać, że J B jest gęsty, ustalmy zbiór C / J B. Szukamy zbioru nieskończonego A C należącego do J B. Ustalmy X X B taki, że dla każdego Y X B zawartego w X mamy Y C / X B. Niech X B = {X i : i ω}. Indukcyjnie skonstruujemy rosnący ciąg liczb naturalnych (n i ) i ω oraz ciąg J -pozytywnych zbiorów (Y i ) i ω X B takie, że: (i) Y i+1 Y i X (więc Y i C / J B ) oraz n i Y i C, (ii) X i \ Y i zawiera element rodziny X B. Niech Y 1 = X. Z warunku (b) istnieją rozłączne zbiory J B -pozytywne Xi 0, Xi 1 X B zawarte w X i i takie, że X i \(Xi 0 Xi 1 ) J. Jeśli Y i 1 X i =, to niech Y i = Y i 1 oraz n i Y i C będzie dowolnym punktem większym od n i 1. Jeśli zaś zbiór Y i 1 X i jest niepusty, to jest również J -pozytywny. Wtedy co najmniej jeden ze zbiorów Y i 1 Xi 0 lub Y i 1 Xi 1 musi być niepusty. Ponieważ X B spełnia warunek (a), jeden z tych zbiorów zawiera zbiór Y i należący do X B. Niech n i Y i C będzie dowolną liczbą naturalną większą od n i 1. Zdefiniujmy A = {n i : i ω}. Pokażemy, że A należy do J B. Wybierzmy w tym celu X i X B. Z warunku (ii) wynika, że zbiór X i \ Y i zawiera element Y należący do rodziny X B. Zatem, z warunku (i) zbiór A Y jest skończony. Ponieważ X B spełnia warunek (b), można zmniejszyć zbiór Y do takiego zbioru Z X B, że Z A =. Zatem A J B, co kończy dowód gęstości ideału J B oraz całego twierdzenia. 3.2 Ideały słabo ramseyowskie Przypomnijmy, że ideał I na zbiorze X jest słabo ramseyowski, jeśli każde drzewo T X <ω, którego ramifikacje są w I, posiada I-pozytywną gałąź (zob. definicja 1.3.1).

42 ROZDZIAŁ 3. SELEKTYWNE WŁASNOŚCI IDEAŁÓW 42 Słaba ramseyowskość jest niezbyt dobrze zbadaną własnością. W tym rozdziale przedstawimy kilka podstawowych faktów dotyczących ideałów słabo ramseyowskich. Dalsze rozważania dotyczące tej własności są zawarte w rozdziale 4.3, gdzie podajemy jej pełną charakteryzację. Poniższe wyniki zostały zawarte w pracy [29]. Następne stwierdzenie jest odpowiednikiem stwierdzenia dla przypadku słabej ramseyowskości. Warto w tym momencie zwrócić uwagę, że warunkowi 1. ze stwierdzenia odpowiada warunek 4. Jednakże jest on jedynie przeformułowaniem warunku 3. Dość zaskakujący jest fakt, że lokalna selektywność, która wydaje się być naturalnym odpowiednikiem warunku 1. ze stwierdzenia dla słabej ramseyowskości, w rzeczywistości nie jest równoważna tej ostatniej. Pokazuje to twierdzenie Przypomnijmy, że kolorowanie f : [X] 2 2 spełnia warunek ( ) względem ideału I na zbiorze X, jeśli dla każdego punktu x X albo zbiór {y X : f ({x, y}) = 0} należy do I, albo zbiór {y X : f ({x, y}) = 1} należy do I. Stwierdzenie Niech I będzie ideałem na ω. Następujące warunki są równoważne: 1. I jest słabo ramseyowski; 2. Dla każdego kolorowania f : [ω] 2 2, spełniającego warunek ( ) względem I, istnieje monochromatyczny I-pozytywny podzbiór X; 3. Dla każdego malejącego ciągu (X n ) n ω I podzbiorów ω, istnieje rosnąca funkcja f : ω ω, której zbiór wartości nie należy do I i taka, że f(n + 1) X f(n) dla każdego n; 4. Dla każdego podziału (X n ) n ω I zbioru ω, istnieje rosnąca funkcja f : ω ω, której zbiór wartości nie należy do I i taka, że f(n + 1) i>f(n) X i dla każdego n. Podobnie jak w stwierdzeniu 3.1.1, ostatnie dwa punkty powyższego stwierdzenia są poprawnie zdefiniowane jedynie dla ideałów na ω. Należy jednak zauważyć, że słaba ramseyowskość również jest niezmiennikiem izomorfizmu ideałów. Można zatem stosować powyższe stwierdzenie dla wszystkich ideałów na zbiorach przeliczalnych, pamiętając, że w przypadku punktów 3. i 4. należy rozważać dowolną kopię izomorficzną ideału zdefiniowaną na ω. Dowód jest analogiczny do dowodu stwierdzenia zawartego w [19].

43 ROZDZIAŁ 3. SELEKTYWNE WŁASNOŚCI IDEAŁÓW 43 Dowód : Oczywiste : Załóżmy, że ideał I jest słabo ramseyowski. Niech f : [ω] 2 2 będzie takim kolorowaniem, że dla wszystkich liczb x ω albo zbiór C 0 x = {y ω : f ({x, y}) = 0} jest w ideale, albo w ideale jest zbiór C 1 x = {y ω : f ({x, y}) = 1}. Zdefiniujmy indukcyjnie drzewo T ω <ω w następujący sposób: ramifikacja A drzewa T w jest równa ω, jeśli s = (s(0),..., s(k)) T, to ramifikacja A s drzewa T w s jest przecięciem zbioru A (s(0),...,s(k 1)) z tym spośród zbiorów C 0 s(k) i C1 s(k), który jest w I. Zauważmy, że wszystkie ramifikacje drzewa T są w I, więc istnieje gałąź b nienależąca do I. Dla każdego n istnieje i(n) 2 takie, że dla każdego m A (b(0),...,b(n+m)) A (b(0),...,b(n)) C i(n) b(n), więc f ({b(n), b(n + m)}) = i(n) dla wszystkich m. Ponieważ b / I, jeden ze zbiorów {b(n) : i(n) = 0} i {b(n) : i(n) = 1} nie jest w ideale jest on żądanym zbiorem : Załóżmy, że I spełnia warunek 2. i niech (X n ) n ω I będzie malejącym ciągiem podzbiorów ω. Zdefiniujmy kolorowanie f : [ω] 2 2 w następujący sposób: f ({n, m}) = 0 m X n, dla n < m. Wtedy {m ω : f ({n, m}) = 0} X n \ n I dla każdego n, więc istnieje zbiór H / I taki, że f [H] 2 = 0. Niech h: ω H będzie rosnącą numeracją zbioru H. Wówczas h[ω] = H nie jest w ideale oraz h(n + 1) {m ω : f ({h(n), m}) = 0} X h(n). Zatem h jest żądaną funkcją : Załóżmy, że I spełnia warunek 3. Pokażemy najpierw, że dla każdej rodziny {X s } s ω <ω zawartej w I istnieje rosnąca funkcja h : ω ω, o zbiorze wartości spoza I i taka, że h(n) X (h(0),...,h(n 1)) dla każdego n ω. Istotnie, niech {X s } s ω <ω I i zaobserwujmy, że bez straty ogólności możemy założyć, że ta rodzina ma następującą własność: jeśli s, t ω <ω są takie, że lh(s) lh(t) oraz max k<lh(s) s(k) max k<lh(t) t(k), to X t X s. Rzeczywiście, niech X t będzie przecięciem zbioru X t z wszystkimi (skończenie wieloma) spośród zbiorów X s, dla których zachodzi lh(s) lh(t) i max k<lh(s) s(k) max k<lh(t) t(k). Wtedy X s I oraz X s X s, więc żądana funkcja dla rodziny {X s} s ω <ω

44 ROZDZIAŁ 3. SELEKTYWNE WŁASNOŚCI IDEAŁÓW 44 jest również żądaną funkcją dla rodziny {X s } s ω <ω. Niech s n będzie ciągiem stałym o wartościach równych n i długości n + 1. Wówczas (X sn ) n ω jest malejącym ciągiem zbiorów z I. Z założenia istnieje rosnąca funkcja h : ω ω o zbiorze wartości nienależącym do I, spełniająca h(n + 1) X sh(n) dla wszystkich n ω. Ciąg (h(0),..., h(n)) ma długość n + 1 i jego maksimum jest równe h(n). Z drugiej strony, ciąg s h(n) ma długość h(n) + 1 n + 1 (ponieważ h jest rosnąca), a jego maksimum także jest równe h(n). Zatem X sh(n) X (h(0),...,h(n)) oraz h(n + 1) X (h(0),...,h(n)). Niech teraz T ω <ω będzie drzewem o ramifikacjach w I. Zdefiniujmy (X s ) s ω <ω w następujący sposób: jeśli s T, to X s jest ramifikacją drzewa T w s, a w przeciwnym razie X s = ω. Wówczas istnieje rosnąca funkcja h : ω ω o obrazie nienależącym do I, spełniająca h(n) X (h(0),...,h(n 1)) dla każdego n ω. Aby zakończyć dowód, pokażemy indukcyjnie, że h jest gałęzią drzewa T. Mamy h(0) X oraz jest w T, więc (h(0)) T. Załóżmy teraz, że (h(0),..., h(k 1)) T. Wtedy h(k) X (h(0),...,h(k 1)) = {n ω : (h(0),..., h(k 1), n) T }, a więc (h(0),..., h(k 1), h(k)) T. Przypomnijmy, że ideał I na zbiorze X jest słabo selektywny, jeśli dla każdego podziału (X n ) n ω zbioru X na zbiory nienależące do I, posiadającego co najwyżej jeden element nienależący do ideału, istnieje I-pozytywny selektor. Podobnie, ideał I na zbiorze X jest lokalnie selektywny, jeżeli dla każdego podziału (X n ) n ω zbioru X na zbiory z ideału, istnieje I-pozytywny selektor tego podziału (zob. definicja 1.3.1). Stwierdzenia i pozwalają na sformułowanie następującego wniosku. Wniosek Niech I będzie ideałem. 1. Jeśli I jest słabo selektywny, to jest słabo ramseyowski. 2. Jeśli I jest słabo ramseyowski, to jest lokalnie selektywny. Żadna implikacja we wniosku nie może być odwrócona. Poniższy fakt doprowadzi do konkluzji, że istnieją ideały słabo ramseyowskie, które nie są słabo selektywne. Stwierdzenie Niech I będzie ideałem na X oraz A / I. Jeśli ideał I A jest słabo ramseyowski, to ideał I również jest słabo ramseyowski.

45 ROZDZIAŁ 3. SELEKTYWNE WŁASNOŚCI IDEAŁÓW 45 Dowód. Załóżmy, że ideał I A jest słabo ramseyowski. Pokażemy, że I jest słabo ramseyowski. Niech T X <ω będzie drzewem, którego wszystkie ramifikacje X s są w I. Zdefiniujmy drzewo T A <ω w następujący sposób: jeśli s T, to ramifikacja B s drzewa T w s jest równa X s A. Mamy B s (I A) dla wszystkich s T, więc istnieje (I A)-pozytywna gałąź b drzewa T. Aby zakończyć dowód, zaobserwujmy, że b jest również gałęzią drzewa T, która nie jest w I. Uwaga Istnieje ideał słabo ramseyowski, który nie jest słabo selektywny. Dla przykładu, rozważmy ideał Fin. Zauważmy, że Fin {0} ω = Fin, więc Fin = ( Fin {0} ω) ( Fin (ω \ {0}) ω) jest słabo ramseyowski na mocy stwierdzenia Przypomnijmy, że ideał ED (zob. rozdział 1.2.6) nie jest lokalnie selektywny (por. stwierdzenie 1.3.2), więc również nie może być słabo selektywny. Wówczas ( Fin) ED jest szukanym ideałem na mocy stwierdzenia Przejdziemy teraz do wykazania, że druga implikacja z wniosku również nie może być odwrócona. Zdefiniujmy w tym celu dwa ideały. Definicja (por. [29]) ED jest ideałem na ω ω generowanym przez zbiory {n} ω (takie generatory nazywamy generatorami pierwszego rodzaju ideału ED ) oraz wykresy niemalejących funkcji ω ω (takie generatory nazywamy generatorami drugiego rodzaju ideału ED ). Innymi słowy, ED jest generowany przez monochromatyczne zbiory kolorowania χ : [ω ω] 2 2 danego wzorem: χ ({(i, j), (k, l)}) = { 0, jeśli i < k lub j l 1, w przeciwnym przypadku dla wszystkich (i, j) mniejszych od (k, l) w porządku leksykograficznym. Definicja (por. [29]) WR jest ideałem na ω ω generowanym przez dwa rodzaje generatorów: zbiory {n} ω (takie generatory nazywamy generatorami pierwszego rodzaju ideału WR) oraz takie zbiory G, że dla wszystkich (i, j), (k, l) G zachodzi i > k + l lub k > i + j (takie generatory nazywamy

46 ROZDZIAŁ 3. SELEKTYWNE WŁASNOŚCI IDEAŁÓW 46 generatorami drugiego rodzaju ideału WR). Innymi słowy, WR jest generowany przez monochromatyczne zbiory kolorowania λ: [ω ω] 2 2 zadanego wzorem: { 0, jeśli k > i + j λ ({(i, j), (k, l)}) = 1, jeśli k i + j dla wszystkich (i, j) mniejszych od (k, l) w porządku leksykograficznym. Rys. 3.1: Ilustracja kolorowania λ na dwuelementowych podzbiorach ω ω zawierających punkt (5, 4). Obszar szary odpowiada wartości kolorowania λ równej 0, a obszar zakreskowany wartości 1. Definicja Dla dowolnego punktu (i, j) ω ω przez (i, j) oznaczamy sumę jego współrzędnych, tzn. (i, j) = i + j. Uwaga Zarówno ED jak i WR są ideałami typu Σ 0 2. Jeśli I oznacza któryś z tych ideałów, to podmiara φ na ω ω zadana wzorem φ(a) = inf { C : A C oraz każdy C C jest generatorem pierwszego lub drugiego rodzaju ideału I} jest dolnie półciągła (zob. rozdział 1.2.5). Ponadto I = Fin(φ) = {A X : φ(a) < }. Poniższe stwierdzenie wynika z twierdzenia Tutaj prezentujemy bezpośredni dowód tego faktu.