Inżynieria finansowa Wykład IV Kontrakty OIS/IRS/CIRS

Transkrypt

1 Inżynieria finansowa Wykład IV Kontrakty OIS/IRS/CIRS Wydział Matematyki Informatyki i Mechaniki UW 25 października 2011

2 1 Kontrakty OIS Struktura kontraktu OIS Wycena kontraktu OIS 2

3 Struktura kontraktu OIS Wycena kontraktu OIS Instrument bazowy kontraktu OIS - Stopa ON jest stopą prostą dla depozytu jednodniowego, który rozpoczyna się w bieżącym dniu a kończy się w następnym dniu roboczym. Nazwa stopy ON pochodzi od angielskiej nazwy tej stopy kontraktu - OverNight Rate. Nazwa kontraktu OIS pochodzi od angielskiej nazwy kontraktu OverNight Indexed Swap. Stopy referencyjne kontraktów OIS PLN - POLONIA / WIBOR ON EUR - EONIA (od European OverNight Index Average) GBP - SONIA (od Sterling Overnight Interbank Average) USD - Fed Funds Rate

4 Struktura kontraktu OIS Wycena kontraktu OIS Stopy ON na rynku krajowym WIBOR ON - stopa referencyjna publikowana w serwisie informacyjnym Reutersa w ciągu pierwszych pięciu minut po fixingu, który jest kalkulowany o godzinie 11:00 przez Pełnomocnika Polskiego Stowarzyszenia Dealerów Bankowych - Forex Polska na podstawie wartości stóp ON po których banki uczestniczące w fixingu stóp WIBOR są gotowe dać w depozyt jednodniowy (pożyczyć na jeden dzień) pieniądze innemu bankowi w ciągu 15 minut od opublikowania stóp WIBOR. POLONIA - stopa referencyjna ogłaszana o godzinie 17:00 przez NBP na podstawie wartości stóp ON po których banki uczestniczące w ustalaniu tej stopy zawierały transakcje na depozytach jednodniowych z innymi bankami danego dnia do godziny 16:30.

5 Struktura kontraktu OIS Wycena kontraktu OIS Kontrakt wymiany procentowej OIS jest kontraktem wymiany dwóch przepływów pieniężnych: nogi stałej (ang. fixed leg) - która jest jednorazową płatnością będącą odsetkami wyliczonymi według stałej ustalonej w kontrakcie stopy R OIS od ustalonego nominału kontraktu N, nogi zmiennej (ang. float leg) - która jest jednorazową płatnością będącą odsetkami dziennie skumulowanymi wyliczonymi na bazie stopy ON (ang. OverNight) R ON od nominału kontraktu, Wymiana płatności (odsetek) następuje w następnego dnia po zakończeniu okresu odsetkowego kontraktu przez rozliczenie netto różnicy między odsetkami nóg kontraktu.

6 Struktura kontraktu OIS Wycena kontraktu OIS Uwagi Kontrakt OIS zawierany jest bez kosztów początkowych, to znaczy jest zawierany na warunkach przy których dla obu stron kontraktu ma on wartość zero. Czasy trwania (tenory) standardowych kontraktów OIS pokrywają się z czasami trwania standardowych kontraktów depozytowych na rynku pieniężnym, czyli są to 1W, 2W, 1M, 2M, 3M, 6M, 9M, 1Y. Bazy stóp kontraktów OIS i stóp depozytowych są takie same. Początek T 0 i koniec T M okresu odsetkowego kontraktu OIS są identyczne jak dla depozytu o takim samym czasie trwania.

7 Struktura kontraktu OIS Wycena kontraktu OIS Wypłata (kupionego) kontraktu OIS N (R Eff R OIS ) gdzie stopa efektywna R Eff spełnia równanie 1 + R Eff = M (1 + R (i) ON i) gdzie = yf (T 0, T M ) - długość okresu odsetkowego kontraktu, obliczona zgodnie z bazą stałej stopy kontraktu T 1, T 2,..., T M - daty końców kolejnych "jednodniowych" okresów ON, na które jest podzielony okres odsetkowy kontraktu i = yf (T i 1, T i ) - długość okresu "jednodniowego" [T i 1, T i ) obliczona zgodnie z bazą stopy referencyjnej i=1

8 Struktura kontraktu OIS Wycena kontraktu OIS Uwagi R (i) ON - wartość stopy referencyjnej R ON ustalona przez rynek dla i-tego "jednodniowego" okresu ON, gdzie i = 1, 2,..., M Na potrzeby rozliczania kontraktu stopa efektywna R Eff jest obliczana z dokładnością do 1/100 punktu bazowego. Wypłatę kontraktu OIS można zapisać równoważnie w następującej postaci N (1 + R Eff ) N (1 + R OIS ) lub M N (1 + R (i) ON i) N (1 + R OIS ) i=1

9 Struktura kontraktu OIS Wycena kontraktu OIS Stopa kontraktów OIS jako stopa wolna od ryzyka kredytowego Ponieważ stopa kontraktu OIS jest oczekiwaną wartością stopy efektywnej odpowiadającej skumulowanym stopom ON w okresie odsetkowym kontraktu oraz ponieważ w stopach ON premia za ryzyko kredytowe jest praktycznie zaniedbywalna, to stopę kontraktu OIS można uznać za stopę wolną od ryzyka kredytowego. Funkcje kontraktów OIS Kontrakt OIS pozwala zabezpieczyć bankowi stopę finansowania na okres odsetkowy kontraktu podczas gdy bank finansuje się na bazie dziennej jednodniowymi pożyczkami międzybankowymi. Obrót spekulacyjny na stopie ON.

10 Struktura kontraktu OIS Wycena kontraktu OIS Wycena (wartość bieżąca) kontraktu OIS dla strony kontraktu jest różnicą pomiędzy wyceną nogi otrzymywanej przez stronę a wyceną nogi płaconej. Uproszczenie Na potrzeby wyceny zakłada się, że rozliczenie ma miejsce w terminie zapadalności kontraktu T M. Zakładamy, że moment wyceny przypada na dzień T k (początek (k + 1)-szego okresu ON), czyli po upływie k okresów ON nogi zmiennej od rozpoczęcia okresu odsetkowego kontraktu.

11 Struktura kontraktu OIS Wycena kontraktu OIS Wycena nogi stałej Wartość w chwili wyceny nogi stałej kontraktu OIS jest wartością obecną (jedynego) przepływu odsetkowego tej nogi, o którym dla uproszczenia zakładamy, że następuje w chwili T M P fixed = N R OIS DF (T M ) Wycena nogi zmiennej W momencie wyceny stopy R (j) ON dla j = 1, 2,..., k + 1 są znane (rynek ustalił ich wartość). Niech N k+1 oznacza skapitalizowaną przez k + 1 kolejnych okresów ON kontraktu wartość nominału N k+1 N k+1 = N (1 + R (j) ON j) j=1 Wówczas odsetki skapitalizowane do momentu wyceny (włącznie z odsetkami za bieżący okres ON) wynoszą N k+1 N

12 Struktura kontraktu OIS Wycena kontraktu OIS Wartości stóp ON w kolejnych przyszłych okresach ON, R (j) ON gdzie j = k + 2,..., M, nie są znane w chwili wyceny. By w chwili wyceny wyznaczyć oczekiwaną wielkość płatności odsetkowej nogi zmiennej mającej nastąpić w terminie zapadalności kontraktu, za wartości stóp ON w kolejnych przyszłych okresach ON przyjmujemy wartości stóp forward dla tych okresów, które wyznaczamy z wzoru F (j) = 1 j ( DF (Tj 1 ) DF (T j ) ) 1 Oczekiwana kwota skumulowanych odsetek w terminie zapadalności kontraktu wynosi Ñ M N gdzie Ñ M = N k+1 M j=k+2 (1 + F (j) j )

13 Struktura kontraktu OIS Wycena kontraktu OIS Wartość nogi zmiennej kontraktu OIS - to jest, wartość obecna oczekiwanego przepływu odsetkowego nogi zmiennej - w chwili wyceny wynosi P float = (Ñ M N) DF (T M ) = Ñ M DF (T M ) N DF (T M ) Ponieważ, jak wynika z określenia stóp forward, zachodzi związek 1 + j F (j) = DF (T j 1) DF (T j ) to pierwszy składnik ostatniej części wzoru na P float możemy uprościć w następujący sposób Ñ M DF (T M ) = N k+1 M j=k+2 DF (T j 1 ) DF (T j ) DF (T M) = N k+1 DF (T k+1 )

14 Struktura kontraktu OIS Wycena kontraktu OIS Ponadto, ponieważ DF (T k+1 ) = to R (k+1) ON k+1 i otrzymujemy ostatecznie P float = N k N DF (T M ) = N oraz N k+1 DF (T k+1 ) = N k N k+1 = N k (1+R (k+1) ON k+1) k (1 + R (i) ON i) N DF (T M ) Zatem wycenakontraktu OIS (gdy otrzymujemy nogę fixed, a płacimy nogę float) dana jest wzorem i=1 P OIS = N(1 + R OIS ) DF (T M ) N k (1 + R (i) ON i) i=1

15 Struktura kontraktu OIS Wycena kontraktu OIS Strumieniowa reprezentacja kontraktu OIS na potrzeby wyceny Wycena kontraktu OIS jest taka sama jak wartość bieżąca następujących przepływów pieniężnych +θ N(1 + R OIS ) w chwili czasu T M (w dniu zapadalności kontraktu) θ N(1 + R (1) ON 1)... (1 + R (k) ON k) w chwili czasu T k (w tym przypadku w dniu wyceny kontraktu) gdzie θ = 1, gdy otrzymujemy nogę stałą kontraktu, oraz θ = 1, gdy płacimy nogę stałą.

16 Struktura kontraktu OIS Wycena kontraktu OIS Wycena w chwili zawarcia kontraktu Przed rozpoczęciem okresu odsetkowego kontraktu OIS żadna z wartości stopy referencyjnej nogi zmiennej nie jest znana. Wówczas za wartości tych stóp, podobnie jak w poprzednim przypadku, bierzemy jednodniowe stopy forward i na ich podstawie obliczamy oczekiwaną kwotę skapitalizowanych odsetek. Podobnie jak poprzednio, można pokazać, że wartość zdyskontowanych do chwili początkowej okresu odsetkowego T 0 kwoty skapitalizowanych odsetek wynosi N N DF (T 0, T M ) Wycena kontraktu OIS na chwilę T 0 (gdy otrzymujemy nogę fixed, a płacimy nogę float) przed rozpoczęciem okresu odsetkowego dana jest wzorem P OIS = N(1 + R OIS ) DF (T 0, T M ) N

17 Struktura kontraktu OIS Wycena kontraktu OIS Czynniki dyskontowe zgodne ze stopami OIS Ponieważ wartość kontraktu OIS w chwili jego zawarcia wynosi zero, to N(1 + R OIS ) DF (T 0, T M ) N = 0 skąd wynika wzór na czynniki dyskontowe zgodne z kwotowaniami kontraktów OIS DF (T 0, T M ) = R OIS Wycena w następnym dniu po zawarciu kontraktu Wycena kontraktu OIS (gdy otrzymujemy nogę fixed, a płacimy nogę float) w następnym dniu po zawarciu kontraktu dana jest wzorem P OIS = N(1 + R OIS ) DF (T M ) N DF (T 0 )

18 Jednowalutowy kontrakt wymiany stóp procentowych ang. Interest Rate Swap, w skrócie IRS, to kontrakt w którym strony kontraktu wymieniają między sobą płatności odsetkowe od ustalonego nominału w ustalonych chwilach w trakcie trwania kontraktu, przy czym przynajmniej jeden strumień płatności (jedna z nóg kontraktu) jest uzależniony od referencyjnej stopy zmiennej.

19 Standardowy kontrakt IRS to kontrakt w którym jedna noga, tzw. noga stała, jest strumieniem płatności odsetkowych wyliczanych według stopy stałej, której wartość jest ustalana w momencie zawarcia kontraktu, druga noga, tzw. noga zmienna, jest strumieniem płatności odsetkowych wyliczanych według zmiennej stopy referencyjnej typu LIBOR, która jest określana w momencie zawarcia kontraktu, nominał kontraktu, czyli kwota od której wyliczane są odsetki, jest stały w trakcie trwania kontraktu, waluta nominału kontraktu i waluta stopy referencyjnej są takie same.

20 Standardowy kontrakt IRS dalsze własności: okresy odsetkowe nogi stałej mają taki sam tenor, zwykle rok (dla PLN, USD, EUR), lub pół roku (dla GBP, JPY), okresy odsetkowe nogi zmiennej mają taki sam tenor, zgodny z tenorem zmiennej stopy referencyjnej, płatności odsetkowe nogi zmiennej następują na końcu okresu odsetkowego, obie nogi zaczynają (i kończą) się w tych samych chwilach czasu.

21 Uwagi Szczególną odmianą kontraktów IRS są tzw.basis swapy, których obie nogi są nogami zmiennymi odnoszącymi się do różnych stóp referencyjnych, przy czym odsetki jednej nogi mogą być wyznaczane według stopy tej nogi z uwzględnieniem marży addytywnej. mogą być mocno kastomizowane, tzn. ich struktura może być dostosowywana do potrzeb klienta banku. Typowe modyfikacje dotyczą częstotliwości / harmonogramu płatności jednej lub obu nóg kontraktu, nominału kontraktu, który może się zmieniać się w trakcie trwania kontraktu w z góry określonym harmonogramie.

22 Uwagi Częstotliwość płatności odsetkowych nogi stałej zwykle jest zgodna z częstotliwością płatności kuponów obligacji stałokuponowych na danym segmencie rynku obligacji (na ogół punktem odniesienia jest rynek obligacji skarbowych). Ta zgodność umożliwia inwestorom kształtowanie pożądanego przez nich profilu ryzyka swoich pozycji w obligacjach. Jednym z ważnych wyjątków od tej ogólnej reguły są standardowe kontrakty IRS dla USD, które płacą odsetki rocznie, podczas gdy obligacje skarbowe (USD T-bonds) płacą kupon co pół roku.

23 Bazy stóp procentowych nóg kontraktu IRS nie muszą być takie same i na ogół nie są. I tak Stopa na nogi stałej kontraktu IRS zwykle ma bazę taką samą jak baza oprocentowania obligacji stałokuponowych, choć i tu też są wyjątki od tej ogólnej zasady: (i) noga stała USD IRS jest na bazie ACT/360 podczas gdy USD T-bonds są na bazie ACT/ACT, (ii) noga stała EUR IRS ma bazę 30//360 a obligacje rządowe na rynku EU przeszły na konwencję ACT/ACT z chwilą wprowadzenia wspólnej waluty. Stopa zmienna nogi zmiennej ma bazę rynku pieniężnego danej waluty.

24 Noga stała kontraktu IRS to strumień płatności odsetkowych C(T i ) = R IRS i N i następujących w chwilach T i, i = 1,..., M (T M jest terminem zapadalności kontraktu), R IRS jest stałą, ustaloną przy zawieraniu kontraktu, stopą procentową - tzw. stopą kontraktu IRS, i = yf (T i 1, T i, Baza RIRS ) jest ułamkiem roku okresu odsetkowego [T i 1, T i ), N i jest nominałem dla okresu odsetkowego [T i 1, T i ).

25 Noga zmienna to strumień płatności odsetkowych C( T i ) = (L( T i 1, T i ) + m) i Ñ i następujących w chwilach T i, i = 1..., J ( T J = T M jest terminem zapadalności kontraktu), L( T i 1, T i ) jest zmienną stopą rynkową ustalaną na dwa dni handlowe przed T i 1 (rozpoczęciem okresu odsetkowego), i = yf ( T i 1, T i, Baza L ) jest ułamkiem roku okresu odsetkowego [ T i 1, T i ) obliczonym zgodnie z bazą stopy rynkowej L, m jest marżą, Ñ i jest nominałem dla okresu odsetkowego [ T i 1, T i ).

26 Kontrakt IRS jako Fixed Bond vs. Floating Rate Note Zauważmy, że Strumień nogi stałej kontraktu IRS wraz z dodanymi przepływami wynikającymi z ewentualnych amortyzacji i z nominałem w terminie zapadalności możemy interpretować jako strumień odpowiedniej obligacji o stałym oprocentowaniu R IRS. Strumień nogi zmiennej kontraktu IRS wraz z przepływami wynikającymi z ewentualnych amortyzacji i z nominałem w terminie zapadalności, które równoważą identyczne przepływy dodane na nodze stałej, możemy interpretować jako strumień obligacji o zmiennym oprocentowaniu. Stąd, na przykład, dla IRS, w którym otrzymujemy stopę R IRS IRS = + obligacja z kuponem R IRS obligacja o zmiennym kuponie

27 Wartość kontraktu IRS (jego wycena) dla strony kontraktu jest różnicą pomiędzy wyceną nogi otrzymywanej przez stronę a wyceną nogi płaconej. Na przykład, dla strony, która otrzymuje odsetki po stopie stałej a płaci odsetki po stopie zmiennej w kontrakcie IRS denominowanym w PLN, wartość kontraktu w PLN wynosi P IRS = NPV fixed NPV float. Uwaga: Do wyceny bierzemy tylko niezrealizowane przepływy nóg kontraktu, to znaczy te przepływy, które nastąpią w przyszłości względem momentu wyceny t.

28 Wycena nogi stałej Niech C(T 1 ),..., C(T M ) będą niezrealizowanymi przepływami nogi stałej, to znaczy T i > t dla każdego i = 1,..., M (po ewentualnym przenumerowaniu dat T i, tak by T 1 oznaczało pierwszy przyszły termin płatności odsetek). Wartość nogi stałej kontraktu IRS (wyrażona w walucie tej nogi), to jest wartość obecna na moment t strumienia przepływów C(T 1 ),..., C(T M ), dana jest wzorem NPV fixed = M DF (t, T i )C(T i ) = R IRS i=1 M i=1 i N i DF (t, T i ) gdzie DF (t, T ) oznacza czynnik dyskontujący przepływ następujący w chwili T na moment wyceny t odpowiadający strukturze stóp procentowych waluty nogi kontraktu obowiązującej w dniu wyceny.

29 Uwaga. W pewnych sytuacjach wyceniając kontrakt IRS do obu nóg kontraktu dokładane są (wzajemnie znoszące się) przepływy amortyzacyjne oraz końcowe wymiany nominałów. Wówczas, wycena tak zmodyfikowanej nogi stałej kontraktu IRS jest dana wzorem NPV fixed = R IRS M i N i DF (t, T i ) + i=1 i=1 M A i DF (t, T i ) gdzie A i = N i N i+1 przy czym końcową wypłatę nominału, następującą w T M, możemy dla spójności notacji uznać za końcową amortyzację, to znaczy przyjmiemy, że A M = N M.

30 W szczególności, dla kontraktów IRS bez amortyzacji ale z dołożoną końcową wymianą nominałów mamy NPV fixed = R IRS N M i DF (t, T i ) + NDF (t, T M ) i=1 bowiem wtedy A i = 0 i N i = N dla i = 1,..., M 1 oraz A M = N. Zauważmy, że wówczas wzór ten można interpretować jako wycenę obligacji o stałym kuponie równym R IRS.

31 Wycena nogi zmiennej Tak samo jak w przypadku wyceny nogi stałej, do wyceny nogi zmiennej bierzemy tylko niezrealizowane przepływy, to znaczy te które nastąpią w przyszłości w stosunku do daty wyceny t. Załóżmy, że pierwszym aktualnie trwającym okresem odsetkowym jest okres [ T 0, T 1 ), dla którego T 1 fix jest datą ustalenia (fixingu) stopy rynkowej na kolejny okres odsetkowy [ T 1, T 2 ).

32 Przypadek 1: t [ T 0, T fix 1 ), gdzie T fix 1 jest datą ustalenia (fixingu) stopy rynkowej na kolejny okres odsetkowy [ T 1, T 2 ). Wartość rynkowej stopy procentowej L 1 = L( T 0, T 1 ) jest znana i w związku z tym przepływ następujący w chwili T 1 ma dobrze określoną wielkość C( T 1 ) = (L 1 + m) 1 Ñ 1 Z rozważań przeprowadzonych przy omawianiu kontraktów FRA i stóp forward wynika, że wyceniając przepływy pieniężne nogi zmiennej (ich części odsetkowe) następujące w chwilach T j > T 1 możemy zastąpić stopy przyszłe L( T j 1, T j ) bieżącymi stopami forward F j = F (t, T j 1, T j ). Wówczas wycena nogi zmiennej (wyrażona w walucie tej nogi) dana jest wzorem NPV float = (L 1 + m) 1 Ñ 1 DF (t, T 1 ) + J (F j + m) j Ñ j DF (t, T j ) j=2

33 Przypadek 2: t [ T fix 1, T 1 ). Wówczas stopa L 2 = L( T 1, T 2 ) dla kolejnego okresu odsetkowego jest również ustalona na rynku i wtedy, prócz przepływu C( T 1 ) = (L 1 + m) 1 Ñ 1 następującego w T 1, ustaloną wartość ma także przepływ C( T 2 ) = (L 2 + m) 2 Ñ 2 który nastąpi w T 2. Zatem, w tym przypadku, wzór na wycenę ma następującą postać NPV float = (L 1 + m) 1 Ñ 1 DF (t, T 1 ) + (L 2 + m) 2 Ñ 2 DF (t, T 2 )+ + J (F j + m) j Ñ j DF (t, T j ) j=3

34 Uwaga. Jeżeli wyceniając kontrakt IRS do obu nóg kontraktu dokładane są (wzajemnie znoszące się) przepływy amortyzacyjne oraz końcowe wymiany nominałów, to w wycenie tak zmodyfikowanej nogi zmiennej kontraktu IRS należy uwzględnić wartość bieżącą tych przepływów, czyli J Ã j DF (t, T j ) i=1 gdzie końcową wypłatę nominału, następującą w T J = T M, możemy dla spójności notacji uznać za końcową amortyzację, to znaczy przyjmiemy, że Ã J = A M = N M.

35 Uproszczone postaci wzorów na wycenę nogi zmiennej Założenie. Stopy forward są wyznaczane z krzywej, która jest również stosowana do dyskontowania przepływów. Rozpatrzmy wyrażenia postaci J j=j 0 (F j j Ñ j + Ã j )DF (t, T j ) gdzie j 0 = 2 lub j 0 = 3 w zależności od przypadku. Korzystając z definicji stopy forward składniki tej sumy odpowiadające przepływom odsetkowym możemy przekształcić w następujący sposób j F j Ñ j DF (t, T j ) = ( DF (t, T j 1 ) DF (t, T j ) ) Ñ j

36 Po uwzględnieniu definicji amortyzacji Ã j = Ñ j Ñ j+1, (F j j Ñ j + Ã j )DF (t, T j ) = DF (t, T j 1 )Ñ j DF (t, T j )Ñ j+1 Po przeprowadzeniu uproszczeń i pamiętając, że Ñ J+1 = 0, otrzymamy ostatecznie równość J j=j 0 (F j j Ñ j + Ã j )DF (t, T j ) = DF (t, T j0 1)Ñ j0 ( ) którą wykorzystamy do uproszczenia wzorów na wycenę nogi zmiennej.

37 Przypadek 1: t [ T 0, T fix 1 ) Korzystając z równości ( ) dla j 0 = 2 i przeprowadzeniu stosownych uproszczeń, otrzymujemy NPV float = (1 + L 1 1 )Ñ 1 DF (t, T 1 ) + m J j Ñ j DF (t, T j ) Zauważmy, że wzór ten w przypadku m = 0 jest identyczny z wzorem na wycenę obligacji o zmiennym kuponie, której okresy odsetkowe są takie same jak na zmiennej nodze kontraktu IRS. j=1

38 Przypadek 2: t [ T fix 1, T 1 ). Korzystając z równości ( ) dla j 0 = 3 i przeprowadzeniu stosownych uproszczeń NPV float = (L 1 1 Ñ 1 + Ã 1 )DF (t, T 1 ) + (1 + L 2 2 )Ñ 2 DF (t, T 2 )+ +m J j Ñ j DF (t, T j ) j=1

39 Wycena standardowego kontraktu IRS Wycenę standardowego kontraktu IRS, w którym otrzymujemy nogę stałą a płacimy zmienną, w chwili t [ T 0, T 1 fix) uzyskujemy stosując poprzednio wyprowadzone formuły z m = 0 dla przypadków z dołożonymi w terminie zapadalności kontraktu T M = T J dwóch wzajemnie znoszących się przepływów odpowiadające końcowym wymianom nominałów N. Stąd wycena standardowego kontraktu IRS dana jest wzorem P IRS = R IRS N M i DF (t, T i )+NDF (t, T M ) (1+L 1 1 )NDF (t, T 1 ) i=1

40 Standardowy kontrakt IRS w chwili zawarcia kontraktu Wówczas data wyceny t (będąca chwilą zawarcia kontraktu) jest równocześnie chwilą ustalenia stopy zmiennej L 1 = L( T 0, T 1 ) dla pierwszego okresu odsetkowego nogi zmiennej, to jest t = T 0 fix T, a 0 = T 0 jest bieżącą datą spot. Z własności stopy L 1 i sposobu wyznaczania czynników dyskontowych z kwotowań stóp depozytowych wynika, że (1 + L 1 1 )DF (t, T 1 ) = DF (t, T 0 ) = DF (t, T 0 ). Wtedy wzór na wycenę tego kontraktu możemy zapisać w postaci P IRS = DF (t, T 0 ) N (R M ) IRS i DF (t, T i ) + DF (t, T M ) 1 i=1 gdzie DF DF (t, T ) (t, T ) = DF (t, T 0 ) są czynnikami dyskontującymi do daty spot.

41 Stopa standardowego kontraktu IRS Standardowy kontrakt IRS jest zawierany ze stopą R IRS dobraną tak by wartość kontraktu w chwili jego zawarcia wynosiła zero (strony kontraktu IRS nie ponoszą kosztów początkowych zawierając kontrakt). Stąd stopa R IRS spełnia równanie M R IRS i=1 i DF (t, T i ) + DF (t, T M ) = 1 ( ) Warunek ten oznacza, że obligacja o stałym oprocentowaniu R IRS z terminem wykupu T M, która płaci odsetki z taką samą częstotliwością jak noga stała kontraktu IRS, gdyby była wyceniania czynnikami dyskontowymi DF (t, T ) jest at par, to znaczy, cena tej obligacji jest równa jej wartości nominalnej. Z warunku ( ) wynika, że R IRS = 1 DF (t, T M ) M i=1 idf (t, T i )

42 Bootstrapping czynników dyskontowych Wzór ( ) stosuje się raczej do wyznaczenia wartości czynników dyskontowych niż do wyznaczania stóp kontraktów IRS, bowiem to właśnie na podstawie kwotowań stóp standardowych kontraktów IRS wyznacza się strukturę stóp procentowych i czynników dyskontowych. Niech R M oznacza stopę standardowego kontraktu IRS, który zapada w T M. Terminy zapadalności standardowych kontraktów IRS, w których odsetki nogi stałej są płacone rocznie, są "wielokrotnościami lat", co zaznaczamy pisząc T k = ky (gdzie Y symbolizuje okres roczny, a k jest liczbą naturalną). W przypadku gdy odsetki nogi stałej są płacone co pół roku, terminy zapadalności tych kontraktów są "wielokrotnościami sześciomiesięcznych okresów" i wówczas T k = ky, gdzie k = 1 2, 1, 1 1 2, 2, 2 1 2,....

43 Przekształcając ( ) otrzymujemy DF (t, T M ) = 1 R M 1 M i=1 idf (t, T i ) = 1 R M Q M R M M 1 + R M M gdzie, oznaczyliśmy Q K = K i DF (t, T i ). i=1 Wzór ten stosujemy rekurencyjnie przy założeniu, że mamy już wyznaczony (innymi metodami) czynnik dyskontowy DF (t, T 1 ). Aby rekurencja była możliwa musimy założyć, że końce okresów odsetkowych kontraktu IRS użytego w tym wzorze są zgodne z terminami zapadalności poprzednich kontraktów i wówczas Q M = Q M 1 + M DF (t, T M ).