Teoria Pola Elektromagnetycznego

Transkrypt

1 Teoia Pola Elektomagnetcnego Wkład 1 Pojęcia anali wektoowej Stefan Filipowic

2 Wstęp Teścią niniejsego wkładu jest makoskopowa teoia pola elektomagnetcnego. Podstaw tej teoii ostał sfomułowane i pedstawione pe J.C. Mawella w połowie XIX wieku w postaci ównań elektodnamiki. Teoia ównań Mawella o istnieniu fal elektomagnetcnch bła w swoim casie genialną hipoteą. Dopieo doświadcenia pepowadone pe H.R. Heta, któ otmał w waunkach laboatojnch falę elektomagnetcną, N. Lebiediewa, któ wkaał ciśnienie światła, mieł je oa odkcie.s. Popowa polegające na astosowaniu fal elektomagnetcnch do pesłania sgnałów, teoia Mawella otmała ekspementalne potwiedenie.

3 Wstęp Pole elektomagnetcne, podobnie jak wselkie odaje mateii, może powstać tlko kostem innch odajów mateii, może się pekstałcać w inne odaje mateii i podlega p tm podstawowm pawom pod o nieniscalności i samowstacalności mateii i jej uchu. Pole elektomagnetcne ma swoje właściwości, któe odóżniają go od innch odajów mateii. Pole elektomagnetcne chaakteuje się istnieniem pola elektcnego i magnetcnego, wiąanch e sobą specjalną pemianą. Pola te są składowmi tego samego pola elektomagnetcnego i stanowią óżne jego postacie.

4 Wstęp P badaniu pola elektomagnetcnego celowo jest najpiew analiować pole elektcne i jego oddiałwanie na ciała nie będące w spocnku. Następnie bada się pole magnetcne i jego oddiałwanie na ciała, pe któe pepłwa pąd stał. Po pswojeniu metod oblicania pola elektostatcnego i magnetostatcnego, łatwiejse się staje pejście do oblicania pola elektomagnetcnego i ochodenia się fal elektomagnetcnch. Pojęcie pola ficnego nie należ utożsamiać pojęciem pola jako pewnej funkcji. Pod nawą pole wektoowe (skalane) w matematce oumiem obsa pestenn, któemu w każdm punkcie ppisujem wekto (skala) o odpowiedniej wielkości. Matematcnie pojęcia pola wgodnie jest stosować p opiswaniu własności ficnch pola.

5 1. Pojęcia anali wektoowej 1.1. Dodawanie wektoów Wielkości wektoowe lub kótko wekto dodaje się geometcnie Pekątna ównoległoboku, najdująca się międ wektoami i B jest ich sumą: C = B Duga pekątna jest óżnicą wektoów D = B Onacając długości wektoów tmi sammi liteami be pogubienia otmam: C = B Bcosϕ B sinψ = sin ϕ C D = B Bcosϕ sin ω = sin ϕ B D

6 1.1. Dodawanie wektoów B B B B B B

7 1.1. Dodawanie wektoów (BC)=(B)C BC C BC C BC B B B

8 1.1. Dodawanie wektoów B B B B B -B=(-B)

9 1.. Ilocn skalan wektoów Pacę wkonwaną pe siłę, wwołującą pesunięcie ciała wdłuż odcinka postoliniowego B, okeśla się ilocnem: W = B cosα gdie: α jest kątem międ kieunkami i B. Taki sposób mnożenia wektoów stosuje się w wielu innch agadnieniach fiki. Jego wnik nawa się ilocnem skalanm wektoów i apisuje się w postaci: W = B Ilocn taki jest wielkością skalaną. Watość ilocnu skalanego nie mienia się po pestawieniu kolejności cnników. B = B

10 1.3. Ilocn wektoow wektoów W wniku mnożenia wektoowego dwóch wektoów otmuje się now wekto, postopadł do płascn wnaconej pe mnożone wekto. Watość ilocnu wektoowego ówna jest powiechni ównoległoboku budowanego na mnożonch wektoach. Zwot wektoa ilocnu pjęto okeślać a pomocą eguł śub pawoskętnej (kokociągu). Jeśli obacać ękojeść kokociągu w płascźnie wnaconej pe mnożone wekto w kieunku od do B o kąt mniejs niż 180 0, to kokociąg będie się posuwał godnie e wotem wektoa ilocnu. Zmiana kolejności cnników w ilocnie wektoowm pociąga a sobą godnie egułą kokociągu mianę jego naku. [B] = - [B]

11 1.4. Wekto jednostkowe Dowoln wekto można pedstawić w postaci = 1 p cm: watość licbowa wektoa (skala), 1 wekto jednostkow skieowan godnie wektoem. Zawcaj wekto jednostkowe wiążą się pjętm układem współędnch. W ppadku współędnch postokątnch stosuję się onacenia: i dla wektoa jednostkowego w kieunku osi, j - dla wektoa jednostkowego w kieunku osi i k wdłuż osi. Wekto i, j, k twoą układ pawoskętn. Długość każdego wektoa można waić a pomocą utów tego wektoa na osie współędnch (,, ). Te ut, lub składowe wektoa są wielkościami skalanmi. Wekto można opatwać jako sumę tech wektoów, któch jeden ma długość i skieowan jest wdłuż osi, dugi ma długość i skieowan jest wdłuż osi, teci ma długość i skieowan jest wdłuż osi. matematcnie można to apisać: = i j k

12 1.4. Wekto jednostkowe If we divide a wekto gdie jest watością bewględną, we obtain a vecto whose magnitude uskuje wielkość is unit and whose diection is the same as the wskauje kieunek wektoa. = i = = Wekto jednostkowe odgwają bado ważną olę w analiie wektoowej =

13 1.4. Wekto jednostkowe Ilocn skalan dwóch jednakowch wektoów jednostkowch ówn jest jedności. ii = 1; jj = 1; kk = 1 Ilocn skalan dowolnej pa óżnch wektoów jednostkowch ówn jest eu, ponieważ kąt awat międ tmi wektoami wnosi 90 0, jego cosinus ówn jest eu ij = 0; ik = 0; jk = 0 Ilocn wektoow dwóch jednakowch wektoów jednostkowch ówn jest eu, gdż kat mied nimi wnosi eo. Powiechnia ównoległoboku opostata na tch wektoach jest ówna eo. [ii] = i i = 0; [jj] = j j = 0; [kk] = k k = 0 Watość ilocnu wektoowego dwóch óżnch wektoów jednostkowch ówna jest jedności, kieunek i wot ilocnu wektoowego okeśla się a pomocą śub pawoskętnej. [ij] = i j = k; [jk] = j k = i; [ki] = k i = j; [ji] = j i = -k; [kj] = k j = -i; [ik] = i k = -j

14 1.4. Wekto jednostkowe i = = = = W ppadku układu współędnch walcowch, Q, wekto jednostkowe onaca się 1, 1 Q, k. W układie współędnch kulistch, Θ, ψ wekto jednostkowe onaca się 1, 1 Θ,1 ψ. Wekto 1, 1 Q, k i 1, 1 Θ,1 ψ twoą układ pawoskętne.

15 1.5. Skalan i wektoow ilocn wektoów ważon pe ich składowe Ilocn skalan wektoów i B można waić a pomocą ich składowch: B = ( i j k)(b i B j B k) Ilocn skalane dwóch jednakowch wektoów jednostkowch ówne są jedności, dwóch óżnch ówne są eu; atem: B = B B B

16 1.5. Skalan i wektoow ilocn wektoów ważon pe ich składowe Ilocn wektoow dwóch wektoów i B można waić a pomocą ich składowch B = ( i j k) (B i B j B k) Po uposceniach otmam: B = ( B B )i ( B B )j ( B B )k Ważenie to łatwiej apamiętać w postaci wnacnikowej: B = i j k B B B

17 1.6. Ilocn tech wektoów Ilocn wektoow wektoów i B pomnożć skalanie pe teci wekto C [ B] C = ( B) C Ilocn wektoow [ B] ówn jest powiechni ównoległoboku o bokach i B. wobec tego ważenie na ilocn pedstawia objętość ównoległościanu o kawędiach, B i C. [ B] C = ( B) C = [B C] = (B C)= = B [C ] = B (C )

18 1.6. Ilocn tech wektoów Ilocn wektoow wektoów i B pomnożć wektoowo pe teci wekto C [[ B] C] = ( B) C Wekto ilocnu [ B] jest postopadł do płascn wnaconej pe wekto i B. Po pomnożeniu tego ilocnu pe teci wekto C otmam now wekto [[ B] C] postopadł do płascn wnaconej pe wekto [ B] i C. Wekto ten będie leżał na płascźnie wnaconej pe wekto i B. Posługując się tm ważeniem można wpowadić wan w teoii pola elektomagnetcnego wo: [[ B] C] = B [C ] [B C] = = B (C ) - (B C)

19 1.6. Ilocn tech wektoów B B B α α B ( B) C ( B C)

20 1.6. Ilocn tech wektoów Ilocn skalan dwóch wektoów pomnożonch wektoowo (B C) = B C cos( angle between = B C sin( angle between cos( angle between B and C) and B C) and B C)

21 1.7. Układ współędnch Układ współędnch postokątnch (katejański) Układ współędnch walcowch (clindcn) Układ współędnch kulistch (sfecn)

22 Układ współędnch postokątnch Post óżnickow d d d. wektoa pesunięcia dl punktu P do Q : dl = d i d i d i Watość bewględna pesunięcia: ( d) ( d) ( d ) dl =

23 Wekto położenia punktu w układie katejańskim vecto dawn fom the oigin to an abita point P(,,) is called the position vecto defining the point P. It is denoted b the smbol. Thus in the catesian coodinate sstem: = The intfinitesmal volume of the bo is: dv = d d d

24 Układ współędnch walcowch (clindcn) Dane są dwa punkt: P(, Φ, ) Q( d, Φ dφ, d) Post óżnickow wektoa pesunięcia dl (d df d) punktu P do Q : dl d 1 = d 1 dφ 1Φ dl = d i dφ iφ d i Watość bewględna pesunięcia: ( d) ( dφ) ( d ) dl =

25 Wekto położenia punktu w układie clindcnm The position vecto defining an abita point is given b: = 1 1 P(, Φ, ) The intfinitesmal volume of the bo is: dv = d dφ d

26 Układ współędnch kulistch (sfecn)

27 Układ współędnch kulistch Dane są dwa punkt: (sfecn) P(, Θ, Φ) and Q( d, Θ dθ, Φ dφ) Post óżnickow wektoa pesunięcia dl (d dθ df), punktu P do Q : dl = d 1 dθ 1 Θ sin Θ dφ 1 Φ Watość bewględna pesunięcia: dl ( d) ( dθ) ( sin Θ Φ ) = d

28 Wekto położenia punktu w układie sfecnm The position vecto defining an abita point is given b: P(, Φ, ) = 1 The intfinitesmal volume of the bo is: dv = sinθ d dθ dφ

29 Relacje mied współędnmi w óżnch układach współędnch Katejański,, Clindcn,Φ, Sfecn, Θ, Φ = Katejański,, Θ = Φ = Φ = = = tan tan tan Clindcn,Φ, = cosφ = sin Φ = s = Φ = Φ c Θ = tan 1 c Sfecn, Θ, Φ = sin ΘcosΦ = sin Θsin Φ = cos Θ = sin Θ c Φ = Φ = s s cos Θ

30 Podsumowanie elementów pnależnch w układach współędnch Płascn postopadłe Współędne Wekto jednostkowe Zakes współędnch Post óżnickow Obsa óżnickowania Katejański,, Clindcn,Φ, Sfecn, Θ, Φ T płascn clinde i dwie sfea, płascn stożek i płascna,,,,φ,, Θ, Φ, i i i, i, i i, i, i Θ Θ Φ i, < < < < < < 0 < < 0 < Φ < π < < di d i, di 0 < < 0 < Θ < π 0 < Φ < π di, dθi Θ, sin ΘdΦi, di di, Φ Φ Φ di, ddi ddi ddi ddφi dφdi ddi Φ ddθi Φ sin Θ dθ dφi sin Θ d dφi Diffeential Volume ddd ddφ d sin ΘddΘdΦ Θ

31 Różnickowanie funkcji wektoowej d d d d = Różnickowanie funkcji wektoowej definiowane jest w taki sam sposób jak funkcji skalanej. Ropatm funkcję wektoa (,,). Różnickow post wektoa w punkcie (,,) odpowiada punktowi (d,d,d): ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = =,,,, lim,,,, lim,,,, lim

32 Różnickowanie funkcji wektoowej Since [ (,, ) (,, ) ] is a vecto, the deivative / is a vecto which, in geneal, is oiented in a diection diffeent fom that of. / / Similal and ae vectos which, in geneal, ae oiented in diections diffeent fom that of. Reguła óżnickowania ilocnu skalanego i wektoowego wektoów: d( B) = d B db d( B) = d B db

33 1.7. Gadient potencjału skalanego Okeślone odaje pól wektoowch (ale nie wsstkie) chaakteują się obecnością potencjału skalanego (ten pmiotnik bwa cęsto pomijan). Jest to wielkość skalana a pomocą któej można opisać stan pola w dowolnm jego punkcie. Np.: wsokość punktu jest potencjałem skalanm w polu gawitacjnm, potencjał elektcn chaakteuje pole elektcne. Pola tego odaju nawa się bewiowmi lub potencjalnmi. W polu potencjalnm można wnacć wiele punktów, któch potencjał skalane mają tą sama watość. Ogólnie punkt te leżą na powiechni, któa nawa się ekwipotencjalną. Najwięksa watość mian w pesteni potencjału j w danm punkcie nawa się gadientem potencjału, onaca się go gadj lub ϕ.

34 1.7. Gadient potencjału skalanego Gadient potencjału jest wielkością wektoową Można go ołożć na składowe wdłuż współędnch; każda nich jest ówna watości sbkości mian w odpowiednim kieunku. W układie współędnch postokątnch: we współędnch walcowch: we współędnch kulistch k j i gad = = ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ k gad = = ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ Θ Θ 1 1 = = ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ Θ Θ sin Θ 1 1 gad

35 1.7. Gadient potencjału skalanego Kieunek gadientu potencjału jest wsędie postopadł do powiechni ekwipotencjalnej pechodącej pe opatwan punkt. Watość gadientu potencjału jest tm więksa im bliżej siebie leżą powiechnie ekwipotencjalne odpowiadające potencjałom óżniącm się o taką samą watość. Gadient potencjału można oceniać jako pacę odniesioną do jednostki ładunku i jednostki pesunięcia w kieunku najwięksch mian potencjału w danm punkcie.

36 1.7. Gadient potencjału skalanego Gadient potencjału pola elektostatcnego e nakiem ujemnm nawa się natężeniem pola elektostatcnego. E = ϕ Ważną właściwością funkcji potencjału skalanego j jest jej ciągłość. Istotnie spotkane w podie i technice watości natężenia pola elektostatcnego E są awse skońcone, tn., że pochodne funkcji potencjału wględem pesunięcia w dowolnm kieunku są wsędie skońcone, tn. że jest to funkcja ciągła, mieniająca się płnnie be jakichkolwiek skoków.

37 1.7. Gadient potencjału skalanego Inną właściwością funkcji potencjału skalanego j jest jej wielonacność, potencjał nie mienia się po dodaniu do watości potencjału dowolnej wielkości stałej. E = ϕ = ( ϕ const) Watość stałej okeśla się a pomocą waunku begowego, któa powiechni ekwipotencjalnch pbiea potencjał ówn eu. Posługując się pojęciem potencjału oa jego gadientu można opiswać nie tlko pole elektostatcne, lec ównież pole pądów pewodenia lub pesunięcia (na ewnąt źódła) i pole magnetcne na ewnąt obsau płnącmi w nim pądami.

38 1.8. Opeato óżnickow Oblicanie gadientu jest opeacją óżnickowania wielkości skalanej wględem współędnch. Do onacenia tej opeacji można użć smbolicnego apisu ped smbolem wielkości skalanej, któej gadient ma się oblicać. Smbol jest opeatoem óżnickowm (opeato nabla). Można go fomalnie taktować jako wekto ważon we współędnch postokątnch w postaci: = i j k Opeato dopisan ped smbolem wielkości wektoowej ma upełnie inne nacenie.

39 1.9. Stumień wektoa Wobaźm sobie w pesteni dowoln obsa oganicon powiechnia amkniętą. Mał element tej powiechni można uważać a płaski i pedstawić go a pomocą wektoa ds nomalnego do tej powiechni. Dodatni wot wektoa elementu powiechni wiąże się awcaj a pomocą kokociągu e wotem, w któm okąża się obwód okążając element. Zwot uważać będiem a dodatni, w ppadku, gd patąc na element powiechni ewnąt będiem go okążać peciwnie do wskaówek egaa. Załóżm, że opatwane obsa najduje się w polu wektoa E. Ilocn skalan E ds = E ds cos(e, ds.) nawa się stumieniem wektoa E. Całka tej wielkości po całej powiechni obejmującej opatwan obsa pedstawia stumień wektoa E wchodąc tego obsau. Kółko na smbolu całki onaca całkowanie po całej powiechni amkniętej. Stumień wektoa jest wielkością skalaną.

40 1.10. Robieżność wektoa Ganica do któej dąż stosunek całkowitego stumienia wektoa pe powiechnie amkniętą do objętości obsau oganiconego tą powiechnią, gd objętość dąż do ea, nawa się obieżnością lub dwegencją wektoa. dive = lim V 0 Eds Robieżność wektoa w dowolnm punkcie pola można obaować licbą linii pola acnającch się lub końcącch się w małm obsae dookoła opatwanego punktu. Robieżność jest wielkością skalaną; awatość dodatnią gd linie pola acnają się w danm obsae, a ujemną gd się w nim końcą. Inacej okeślona obieżność (we współędnch postokątnch) jest sumą postów stumienia e mianami wektoa w kieunku osi współędnch postokątnch i wnosi: dive = E s E V E

41 1.10. Robieżność wektoa We współędnch walcowch: dive ( E We współędnch kulistch: = 1 ) EΘ Θ E div 1 1 E = ( E ) ( E sin Θ sin ) Θ Θ Θ E ϕ ϕ Poównując popednio podane ależności dive można potaktować jako ilocn skalan opeatoa óżnickowego i wektoa E. div E = E

42 1.1. Laplasjan pola skalanego Spośód wielu opeacji dwukotnego óżnickowania seokie astosowanie najduje w teoii pola elektomagnetcnego obieżność gadientu, nawana laplasjanem pola skalanego. dive = div( gadϕ) = ( ϕ) = ϕ Ważenie w postaci owiniętej w układie współędnch postokątnch pedstawia się: dive = ϕ = Niekied do onacenia laplasjanu pola skalanego stosowan bwa smbol. ϕ ϕ ϕ

43 1.1. Laplasjan pola skalanego W innch układach współędnch: Współędne walcowe: Współędne kuliste: 1 1 = ϕ ϕ ϕ ϕ Θ = sin 1 sin sin 1 1 ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ Θ Θ Θ Θ Θ

44 1.10. Robieżność wektoa Poównując popednio podane ależności dive można potaktować jako ilocn skalan opeatoa óżnickowego i wektoa E. div E = E Istnienie obieżności jest awse wiąane istnieniem w danm punkcie pola źódła linii pola. W polu elektostatcnm źódłami są ładunki dodatnie i ujemne. Zatem obieżność wektoa natężenia pola elektostatcnego E w punktach w któch najdują się ładunki na watość óżną od ea. W polu magnetcnm obieżność wektoa indukcji magnetcnej jest awse ówna eu, gdż nie ma w podie mas magnetcnch iolowanch. B

45 Robieżność i twiedenie Ostogadkiego-Gaussa V ( ) dv = J J S ds The volume V is bounded b the suface S The divegence theoem pemits the eplacement of a suface integation b a volume integation and vice vesa.

46 Wiowość wektoa Wpadkowa watość pac wkonanej w polu bewiowm p pesunięciu po dode amkniętej ówna jest eu. Matematcnie ten waunek można apisać: całka liniowa wektoa sił po dode amkniętej w polu bewiowm ówna jest eu. l Fdl = 0

47 Wiowość wektoa Jeżeli całka liniowa po dode amkniętej nie jest ówna eo to pole jest wiowm lub solenoidalnm. Ganicę stosunku otmanej całki liniowej do powiechni s, oganiconej pomocnicm obwodem całkowania, gd powiechnia ta dąż do ea onaca się (ot B) i nawa składową wiowości wektoa B w kieunku osi układu współędnch. ( ot B ) = s lim 0 s s Bdl

48 Wiowość wektoa Mnożąc każdą obliconch składowch pe odpowiedni wekto jednostkow i dodając odpowiednie ilocn geometcne otmam wekto wiowości wektoa B w opatwanm punkcie m. ot B = s lim 0 s Bdl s Bdl i s lim 0 s Bdl s s j s lim 0 s s Bdl k Jest to postać całkowa wiowości, w dalsch oważaniach podam postać óżnickową.

49 Wiowość wektoa F F F ot = = F F Współędne postokątne: Współędne clindcne: F F F ot Φ Φ Φ = = F F

50 Wiowość wektoa Współędne sfecne otf = F = 1 sin Θ F 1 Θ sin Θ Θ F Θ 1 Φ Φ sin ΘF Φ

51 Schemat pól Potencjał skalan j Jest laplasjan j Pole wektoowe bewiowe E = - j Nie ma wiowości E=0 Jest obieżność E Linie pola są nieam -knięte w polu są źódła

52 Schemat pól Potencjał wektoow Jest laplasjan Pole wektoowe wiowe B = - nie ma obieżności E Linie pola są amknięte Jest wiowość

53 Schemat pól Nie ma laplasjanu skalanego j=0 Potencjał skalan j Nie ma laplasjanu wektoowego =0 Potencjał wektoow Pole wektoowe tpu miesanego B = - nie ma wiowości B=0 nie ma obieżności B=0 Linie pola są amknięte