A C T A U N I V E R S I T A T I S N I C O L A I C O P E R N I C I EKONOMIA XLIII nr 2 (2012)

Transkrypt

1 A C T A U N I V E R S I T A T I S N I C O L A I C O P E R N I C I EKONOMIA XLIII nr (01) Pierwsza wersja złożona 9 marca 01 ISSN Końcowa wersja zaakcepowana 15 grudnia Anna Michałek * SZACOWANIE NATURALNEJ STOPY PROCENTOWEJ DLA POLSKI Z a r y s r e ś c i. Nauralna sopa procenowa (NSP) jes jednym ze składników reguły sopy procenowej zaproponowanej przez Johna B. Taylora (1993) (reguły Taylora). Pierwonym celem reguły jes dosarczenie rekomendacji dla władz banku cenralnego w zakresie opymalnego poziomu sopy procenowej. Z punku widzenia banku cenralnego, sosującego sraegię bezpośredniego celu inflacyjnego, głównym zadaniem jes sabilizacja inflacji na niskim poziomie, co wymaga precyzyjnego dosrojenia sóp realnych do zw. poziomu nauralnego. NSP jes kaegorią bezpośrednio nieobserwowalną, dlaego podejmowane są liczne próby jej esymacji. W pracy zaprezenowano wyniki pomiaru NSP w Polsce w laach z wykorzysaniem meody graficznej oraz filru Kalmana. Orzymane szacunki NSP uwzględniono w rozważanej regule Taylora, a nasępnie dokonano porównania uzyskanych zaleceń. S ł o w a k l u c z o w e: nauralna sopa procenowa, filr Kalmana, reguła Taylora. K l a s y f i k a c j a J E L: C3, E43, E5, E58. WSTĘP W eorii i prakyce bankowości cenralnej wysępuje powszechna zgoda, co do ego, że wysoka inflacja jes zjawiskiem niekorzysnym. Tym samym cel władz monearnych, jakim jes sabilizacja poziomu cen 1, wydaje się bezsporny. Dominującym sposobem prowadzenia ak zorienowanej poliyki pieniężnej jes sraegia bezpośredniego celu inflacyjnego (BCI), kóra najogólniej mówiąc sanowi długookresową perspekywę myślenia o inflacji. W ramach sraegii BCI powszechnie obowiązującym insrumenem poliyki pieniężnej jes krókookresowa nominalna sopa procenowa. Podejście akie wymusza na banku cen- * Adres do korespondencji: Anna Michałek, Uniwersye Mikołaja Kopernika, WNEiZ, ul. Gagarina 13 A, Toruń, michalek.ania@wp.pl. 1 Współcześnie pojęcie sabilność cen oznacza na yle niską inflację, kóra nie wywiera negaywnego wpływu na decyzje podejmowane przez podmioy gospodarcze (zob. np. Założenia poliyki pieniężnej na rok 011, 010). Sabilizacja inflacji na niskim poziomie ma sworzyć podsawy do rwałego wzrosu gospodarczego. 01 Wydawnicwo Uniwersyeu Mikołaja Kopernika. All righs reserved. hp://

2 16 Anna Michałek ralnym rozróżnienie dwóch kaegorii sóp procenowych nominalnych i realnych oraz dokładne przemyślenie spodziewanych przyszłych działań w celu racjonalnego podjęcia bieżącej decyzji (Blinder, 001, s. 31, 5). Dodakowym auem sraegii BCI jes sworzenie odpowiednich ram działania, kóre mogą sworzyć podsawy wprowadzenia pewnych reguł posępowania. Największym zaineresowaniem badaczy cieszy się reguła poliyki pieniężnej zaproponowana przez Johna B. Taylora (1993), kóra sanowi mechanizm usalania krókookresowej nominalnej sopy procenowej. W myśl jej wórcy reguła poliyki pieniężnej o plan działania, określający w sposób możliwie najbardziej klarowny okoliczności, w kórych bank cenralny powinien dokonać zmiany w insrumencie poliyki pieniężnej (Taylor, 1993, s. 198; 007, s. 9). Tym samym, w przypadku reguły Taylora, odchylenia inflacji od celu inflacyjnego oraz produku realnego od produku poencjalnego wymuszają określone reakcje ze srony władz monearnych. Wybór insrumenu poliyki pieniężnej w posaci sopy procenowej oraz zorienowanie poliyki pieniężnej na sabilizowanie inflacji w długim horyzoncie czasowym sugeruje możliwość odwołań do koncepcji nauralnej sopy procenowej (NSP). Sopa a sanowi podsawę do porównań dla krókookresowej realnej sopy procenowej, a relacja ych sóp wyznacza sopień resrykcyjności prowadzonej poliyki pieniężnej. Przekonanie, że w krókim okresie bank cenralny może konrolować również realną sopę procenową sprowadza się zaem do próby usalenia, jaki jes poziom realnej sopy procenowej, kóra sabilizuje sopę inflacji. Nauralna sopa procenowa włączona do mechanizmu usalania krókookresowej nominalnej sopy procenowej w posaci reguły Taylora swarza szczególne możliwości serowania poliyką pieniężną, ak by w dłuższym erminie inflacja była urzymywana na niskim poziomie. Założeniem niniejszego arykułu jes wyznaczenie poziomu nauralnej sopy procenowej w Polsce w laach , a nasępnie wykorzysanie jej w regule Taylora, w celu uzyskania rekomendacji odnośnie do wysokości krókookresowej nominalnej sopy procenowej. Przyjęe założenia odnoszące się do NSP (NSP sała w czasie bądź zmieniająca się z okresu na okres) deerminują wybór meod szacowania NSP j. graficzną, ekonomeryczną w posaci filru Kalmana i umożliwiają dokonanie analizy porównawczej orzymanych rekomendacji. 1. REGUŁA TAYLORA Zaproponowana przez Taylora (1993) reguła sopy procenowej uzależnia wysokość sopy procenowej od sopy inflacji, odchyleń inflacji od celu inflacyjnego, luki popyowej oraz poziomu nauralnej realnej sopy procenowej. Taylor (zob. np. 1999, 000, 010) używa sformułowania realna sopa procenowa równowagi szacowana przez bank cenralny (ang. equilibrium ineres rae). Sopa a odpowiada zrównaniu PKB rzeczywisego z PKB poencjalnym, rozumianym jako maksymalny produk wywo-

3 Szacowanie nauralnej sopy procenowej dla Polski 163 Klasyczna reguła Taylora ma nasępującą posać: i = π + 0,5( π π ) + 0,5y + i, (1) gdzie: i nominalna sopa Funduszy Federalnych, π sopa inflacji, π docelowa sopa inflacji (cel inflacyjny), i nauralna realna sopa procenowa (NSP), y procenowe odchylenie rzeczywisego PKB od poencjalnego PKB (luka popyowa), Kiedy inflacja wynosi yle samo, co usalony cel inflacyjny, a rzeczywisy PKB jes równy poencjalnemu, wedy krókookresowa nominalna sopa procenowa skorygowana o bieżącą inflację powinna być równa NSP. W przypadku reguły Taylora zakłada się, że nauralna sopa procenowa jes sała w czasie, co umożliwia przekszałcenie zapisu reguły do posaci: i = α +1,5π + 0, 5y () gdzie: α = i 0, 5π i sanowi punk wyjścia dla większości prac empirycznych. Nie sposób ocenić przydaności koncepcji reguły Taylora bez dokładnej idenyfikacji jej możliwych zasosowań. Wyróżnia się regułę sopy procenowej mającą na celu 3 : 1. Dosarczenie władzom monearnym rekomendacji, pewnych wyycznych pomocnych w procesie podejmowania decyzji odnośnie do kierunku i wielkości zmian oficjalnych sóp procenowych.. Odzwierciedlenie prowadzonej poliyki pieniężnej poprzez szukanie saysycznie isonej funkcji reakcji władz banku cenralnego bazującej na koncepcji Taylora, spełniającej zw. zasadę Taylora Uzupełnienie modelu gospodarki narodowej. Pierwsze, pierwone zasosowanie ma na celu dosarczenie rekomendacji dla władz banku cenralnego odnośnie do kszałowania krókoerminowej nomirzony przez gospodarkę, kóry nie wywołuje presji inflacyjnej. Umiejscowienie ej sopy w konekście reguły Taylora gwaranuje urzymanie inflacji na sabilnym poziomie w średnim okresie. 3 Prezenowane w niniejszej pracy rodzaje zasosowań zbliżone są do ych omawianych w arykule Baranowskiego (008). W przeciwieńswie do Baranowskiego, auorka łączy podejście polegające na opisie i ocenie poliyki pieniężnej z możliwością prognozowania w ramach pozyywnego charakeru badań. Naomias wyróżnia ypowo normaywne zasosowanie, kóre nie musi pasować saysycznie do rzeczywiście prowadzonej poliyki pieniężnej. 4 Pojęcie zasada Taylora wprowadził Woodford (001) i oznacza ono, że zmiana sopy inflacji o 1 punk proc. wywołuje zmianę sopy procenowej o co najmniej 1 p.p. (parz równanie ). Oznacza o, że liniowe modele opare na hipoezie racjonalnych oczekiwań są sabilne i ylko wedy reguła może odegrać rolę nominalnej kowicy dla inflacji i oczekiwań inflacyjnych. Sam Taylor (007, s. 1) używa określenia zasada skuecznej (dobrej) poliyki pieniężnej.

4 164 Anna Michałek nalnej sopy procenowej. W ym przypadku podkreśla się normaywny charaker reguły i wedy pozosaje się przy klasycznym kszałcie reguły Taylora (parz równanie 1), włączając w o sugerowane warości paramerów. Dobre dopasowanie zaleceń wynikających z zaproponowanej przez Taylora reguły do rzeczywisego przebiegu ścieżki sopy Funduszy Federalnych, począwszy od 1987 roku zwróciło uwagę badaczy na możliwość odzwierciedlania funkcji reakcji banków cenralnych za pomocą reguły, a co za ym idzie prognozowania zmian sóp procenowych. W ym drugim zasosowaniu dokonuje się częsych modyfikacji reguły Taylora, a reguła w ym wydaniu przyjmuje charaker pozyywny, opisowy. Trzecie zasosowanie łączy dwa poprzednie i polega na umieszczeniu reguły w szerszym konekście, jako jednego z równań makromodelu, co może być poprzedzone poszukiwaniem posaci funkcyjnej reguły, kóra odzwierciedla rzeczywise decyzje władz monearnych albo odbywa się na zasadzie przyjęcia usalonej odgórnie reguły. Taylor (007, s. 9) podkreśla, że zaproponowana przez niego reguła zosała wyprowadzona z eorii ekonomii, a głównym przesłaniem reguły było i jes pełnienie funkcji doradczej, polegającej na wyznaczaniu pewnych pożądanych rozwiązań, a nie kopiowanie funkcji reakcji banku cenralnego (Taylor, 010, s. 5). Oczywisym jes, że im częściej banki cenralne będą sosowały się do rekomendacji uzyskanych na podsawie reguły Taylora, ym bardziej przebieg funkcji reakcji będzie zbliżony do rozważanej reguły.. NATURALNA STOPA PROCENTOWA Przyjęcie pewnych eoreycznych ram analizy reguły Taylora wymaga przybliżenia pojęcia nauralnej sopy procenowej 5. Za wórcę ej koncepcji uważa się Knua Wicksella (1898), kóry za nauralną sopę procenową uznał realną sopę procenową, przy kórej inwesycje równe są oszczędnościom, a sysem znajduje się w równowadze rozumianej jako sabilność pieniądza 6. Wicksell określił nauralną sopę procenową jako pewien określony poziom oprocenowania pożyczek, kóry jes neuralny w sosunku do cen, zn. poziom cen nie przejawia endencji zwyżkowych ani zniżkowych. Wicksellowska sopa 5 W lieraurze przedmiou funkcjonuje kilka alernaywnych erminów odnoszących się do nauralnej sopy procenowej: neuralna, realna sopa równowagi. Brzoza-Brzezina (003a) wskazuje na pewne różnice w sosowanej erminologii rezerwując pojęcie realna sopa równowagi dla sóp procenowych o charakerze średnio- i długo erminowym. Naomias biorąc pod uwagę opinię Amaa (005) można odnieść wrażenie, że zarysowana granica podziału obecnie nie jes już ak jednoznaczna. 6 Zob. np. Winek i Robak (003) oraz Brzoza-Brzezina (003a) przybliżają koncepcję Wicksellowskiej sopy procenowej, prezenując model opisujący związek pomiędzy luką sóp procenowych (rozbieżność realnej i nauralnej sopy procenowej) i poziomem cen, kóry nazywany jes modelem procesu kumulacyjnego. Uzupełnienie modelu o równanie opisujące reakcję sóp procenowych na zmiany poziomu cen gwaranuje powró do równowagi.

5 Szacowanie nauralnej sopy procenowej dla Polski 165 procenowa 7 sabilizuje ogólny poziom cen i podkreśla długookresowy charaker NSP, naomias współczesne definicje kojarzą NSP z krókookresową realną sopą procenową i odnoszą się do sabilizacji inflacji (np. Brzoza-Brzezina, 003a, s. 463) 8. T Laubach, J. C. Williams (001, s. 9) posługują się pojęciem realnej sopy procenowej, kóra nie przyspiesza inflacji. Dodakowo, o ile Wicksell realną sopę sabilizującą poziom cen nazywa sopą długookresowej równowagi i uożsamia z krańcową produkywnością kapiału, rakując je równorzędnie, o yle zdaniem Brzozy-Brzeziny (zob. szerzej 003a) isnieją przesłanki, aby kaegorie e rakować osobno. W lieraurze przedmiou można również spokać się z definicją, kóra wskazuje na realną sopę procenową zrównującą rzeczywisy PKB wzdłuż sabilnej krzywej IS z poencjalnym PKB (Blinder, 001, s. 54). Jeśli realna sopa procenowa jes wyższa od NSP, wówczas nasępuje ograniczenie zagregowanego popyu i w konsekwencji worzy się luka pomiędzy realnym i nominalnym PKB, co znajdzie swoje odzwierciedlenie w spadku inflacji. Niższa realna krókookresowa sopa procenowa w sosunku do NSP oznacza pobudzenie zagregowanego popyu, dodanie owarcie luki popyowej i wzros presji inflacyjnej. Definicja Blindera dopuszcza zmienność w czasie nauralnej sopy procenowej. Sopa nauralna ulega zmianie, gdyż rwałe zmiany czynników określających wielkość zagregowanego popyu mogą przesunąć krzywą IS 9. J. Williams (003), wskazuje, że zrównanie realnego PKB z poencjalnym nasępuje przy braku przejściowych szoków popyowych, podkreślając jednocześnie długookresowy charaker realnej sopy procenowej. T. Laubach (003) dowodzi, że zwiększenie długoerminowych prognoz deficyu budżeowego i długu publicznego skukuje wzrosem oczekiwanej długoerminowej realnej sopy procenowej (przesunięcie krzywej IS w prawo), a ym samym wpływa na wzros poziomu nauralnej sopy procenowej. Również rosnące empo wzrosu produkywności oddziałuje dodanio na nauralną sopę procenową. Z punku widzenia banku cenralnego sosującego sraegię bezpośredniego celu inflacyjnego bardziej przydana wydaje się definicja nauralnej sopy procenowej nawiązująca do sabilizacji inflacji niż poszukiwania mikroekonomicznych podsaw isnienia NSP. Z kolei rozparywanie nauralnej sopy procenowej jako sopy równowagi modelu równowagi ogólnej niesie ze sobą korzyści w posaci wyznaczania deerminanów nauralnej sopy procenowej, m.in. empa wzrosu produkywności oraz sopy preferencji czasowych konsumenów. Wydaje się jednak, że modele konsruowane w duchu nowej synezy 7 Jeżeli realna sopa procenowa przekracza krańcową produkywność nasępuje ograniczenie inwesycji (Wicksell, 1898, 1907). 8 Podana definicja jes o zw. definicja inflacyjna, szczególnie ważna dla banku cenralnego. Alernaywny sposób zdefiniowania nauralnej sopy procenowej nawiązuje do krańcowej produkywności kapiału. 9 Krzywa IS sanowi kombinacje dochodu i sopy procenowej, przy kórych inwesycje równe są oszczędnościom.

6 166 Anna Michałek neoklasycznej 10, kóre akcenują racjonalność podmioów i łączą podsawy mikroekonomiczne z pewnymi szywnościami nominalnymi, pozwalają na analizę krókookresowych flukuacji akywności gospodarczej jak i długookresowych endencji wzrosowych, ym samym sprzyjają ujednoliceniu koncepcji nauralnej sopy procenowej (zob. szerzej Amao, 005). NSP nie posiada już ylko charakeru średnio i długookresowego, ale może zmieniać się z okresu na okres, a co więcej wyznacza poziomy równowagi umożliwiające sabilizowanie cen. Punkem wyjścia do dalszej analizy nauralnej sopy procenowej w konekście polskiej poliyki pieniężnej jes definicja NSP użyeczna z punku widzenia banku cenralnego, kóry sosuje sraegię bezpośredniego celu inflacyjnego. Definicja a podkreśla aspek sabilizacji inflacji, obecnie rozumianej jako niska, sabilna sopa inflacji. Poziom realnej sopy procenowej, dla kórej dynamika sopy inflacji wynosi zero będzie uożsamiany z NSP. Definicję ę można zapisać jako: R ( ) Δπ α i q NSP( q), (3) R gdzie: Δπ zmiana sopy inflacji, i realna krókookresowa sopa procenowa (nominalna sopa procenowa skorygowana o inflację), NSP nauralna sopa procenowa, może być sała lub zmienna w czasie. Ponieważ inflacja powinna spadać wraz ze wzrosem realnej sopy procenowej powyżej poziomu nauralnego, paramer α powinien być niedodani. Indeks q oznacza opóźnienie czasowe, z jakim usalona krókookresowa realna sopa procenowa oddziałuje na sopę inflacji METODY WYZNACZANIA NATURALNEJ STOPY PROCENTOWEJ Wysokość nauralnej sopy procenowej nie wynika z działań banku cenralnego, ale uzależniona jes od isniejących warunków w gospodarce, j. zasobów siły roboczej, kapiału i efekywności ich wykorzysania oraz preferencji społeczeńswa w sosunku do konsumpcji i oszczędności. Szacunki nauralnej sopy procenowej obciążone są błędem, co więcej zmieniające się czynniki gospodarcze powodują, że nauralna sopa procenowa zmienia się w czasie. Problemayczne jes również wskazanie odpowiedniej miary, kóra najlepiej przybliżyłaby warość nauralnej sopy procenowej. Przyjmując, że realna sopa procenowa jes o sopa nominalna pomniejszona o sopę inflacji, należy 10 Pojęcie nowa syneza neoklasyczna pojawiło się w połowie la 90-ych XX wieku, jako nazwa kierunku łączącego w sobie poglądy nowego keynesizmu oraz realnego cyklu koniunkuralnego. Do najważniejszych elemenów nowego kierunku można zaliczyć: krzywą Phillipsa (wersja uzupełniona o oczekiwania), wybór międzyokresowy oraz koncepcję racjonalnych oczekiwań (zob. np. Taylor, 007). 11 Prezenowany zapis definicji może dodakowo uwzględniać cały szereg luk sóp procenowych, jak również lukę popyową.

7 Szacowanie nauralnej sopy procenowej dla Polski 167 dokonać wyboru rodzaju nominalnej sopy procenowej oraz miernika inflacji 1. Tak więc pojawia się wiele kombinacji możliwych rozwiązań, kóre mogą isonie różnić się między sobą. Błędnie przyjęy poziom nauralnej sopy procenowej może prowadzić do przeszacowania lub niedoszacowania krókookresowej nominalnej sopy procenowej w ramach reguły Taylora. Skala błędu wynikająca z pomyłki będzie ym mniejsza, im większą wagę bank cenralny przyłoży do odchyleń inflacji od celu (Solow, Taylor, 00, s. 53). Nauralna sopa procenowa jes zmienną bezpośrednio nieobserwowalną (ang. unobserved). Dlaego podejmowane są próby szacowania NSP począwszy od meod saysycznych, poprzez wykorzysanie meod ekonomerycznych, kończąc na meodach srukuralnych i analizowaniu NSP w ramach dynamicznych sochasycznych modeli równowagi. Przy założeniu sałej w czasie nauralnej sopy procenowej, szacowanie jej poziomu jes dość ławe, gdyż można uśrednić warości realnej sopy procenowej w długim okresie. Jednak przewidywanie nauralnej sopy procenowej za pomocą długoerminowych średnich wymaga względnie sabilnych uwarunkowań deerminujących poziom nauralnej sopy procenowej. Pewnym rozwiązaniem może być średnia ważona przykładająca coraz mniejszą wagę do bardziej odległych obserwacji (Williams, 003). Jednak w przypadku okresów znacznego wzrosu lub spadku inflacji szacunki nauralnej sopy procenowej opierające się na meodach uśredniania, mogą cechować się dużą niedokładnością. Dlaego obok saysycznych meod wyznaczania nauralnej sopy procenowej isnieje cały szereg meod ekonomerycznych uwzględniających dynamikę zmian zachodzących w gospodarce. Isnieją różne podejścia do esymacji zmiennej w czasie nauralnej sopy procenowej. Jednym z nich jes szeroko cyowane i naśladowane podejście zaproponowane przez Laubacha i Williamsa (001) wykorzysujące filr Kalmana do łącznego oszacowania rendu wzrosowego gospodarki, nauralnej realnej sopy procenowej oraz produku poencjalnego. Takie podejście związane jes z przyjęą przez auorów definicją nauralnej sopy procenowej łączącej sabilność inflacji z odchyleniami rzeczywisego PKB od poencjalnego PKB. Alernaywnym sposobem esymacji może być zredukowanie formy relacji do zmian sopy inflacji i odchyleń realnej sopy procenowej od poziomu nauralnego (zob. np. Brzoza-Brzezina, 003a). Jeszcze innym sposobem jes odwołanie się do erminowej srukury sóp procenowych i wykorzysanie sopy ypu forward, co czyni np. O. Basdevan i in. (004), R. Peru i in. (007). W ym przypadku konieczne jes przyjęcie dodakowego założenia doyczącego zmian w czasie premii za ryzyko. Oprócz filru Kalmana pojawiają się opracowania wykorzysujące do esymacji zmiennej w czasie nauralnej sopy procen- 1 Nominalną sopę procenową można przedsawić w posaci oficjalnej sopy banku cenralnego, bądź rynkowej sopy procenowej. Naomias wykorzysywane mierniki inflacji o: CPI, inflacja bazowa albo oczekiwania inflacyjne. Urealnienie nominalnej sopy procenowej oczekiwaniami inflacyjnymi ukierunkowuje rozważania doyczące oddziaływania realnej sopy procenowej na akywność gospodarczą ku przyszłości.

8 168 Anna Michałek owej narzędzia ypu SVAR (Brzoza-Brzezina, 003a), model DSGE (np. Neiss i Nelson, 003) ANALIZA EMPIRYCZNA DLA POLSKI W polskiej lieraurze ekonomicznej kwesia roli nauralnej sopy procenowej w sabilizowaniu inflacji poruszana jes sporadycznie, dlaego isnieje niewiele opracowań podejmujących próbę oszacowania wysokości NSP. Za prekursora w ej dziedzinie w Polsce uważa się M. Brzozę-Brzezinę (003a, 003b, s. 604), kóry warość NSP w laach sugeruje na poziomie 4 6%, zwracając uwagę, że warość a jes inna w zależności od zasosowanej meody szacowania (filr Kalmana, SVAR). W 004 roku D. Filar, członek drugiej kadencji Rady Poliyki Pieniężnej, sygnalizował warość NSP na poziomie 4%. W 007 roku pojawiło się opracowanie zespołu polskich ekonomisów Peru i in. (007) odwołujące się do srukury erminowej sóp procenowych z wykorzysaniem filru Kalmana, w kórym NSP z końcem 006 roku przyjęła warość 3,%. Rozbieżne szacunki NSP w Polsce i brak jednoznacznych rozwiązań skłania do podjęcia próby wyznaczenia nauralnej sopy procenowej w Polsce w laach z wykorzysaniem meod rozważanych przez polskich ekonomisów. Wiedza odnośnie do wysokości NSP w Polsce niezbędna jes z punku widzenia rozważanego pierwonego zasosowania reguły Taylora, jako pewnych wyycznych dla prowadzenia poliyki pieniężnej w Polsce 14. Przyjęcie 1998 roku za okres wyjściowy podykowane jes fakem wprowadzenia sraegii bezpośredniego celu inflacyjnego i zorienowania poliyki pieniężnej na sabilizację inflacji w średnim okresie 15. Od ego momenu głównym insrumenem realizacji ak określonego celu jes krókookresowa nominalna sopa procenowa. Zasosowanie reguły Taylora dla Polski, jako rekomendacji odnośnie do wysokości krókookresowej nominalnej sopy procenowej wymaga doboru odpowiednich zmiennych. Dane o częsoliwości kwaralnej worzą zbiór 54 obserwacji. Próba obejmuje okres od I kwarału 1998 roku do II kwarału 011 roku. Za krókookresową nominalną sopę procenową przyjęo oficjalną sopę Narodowego Banku Polskiego w posaci sopy referencyjnej (san na koniec 13 Auorzy orzymują NSP wykorzysując kalibrowany model DSGE. W akim przypadku modelowana NSP zależy od poprawności przyjęej specyfikacji modelu. 14 W pracy skupiono się na normaywnym zasosowaniu reguły, dlaego punkem wyjścia do dalszych rozważań jes klasyczna posać reguły Taylora dana wzorem (1), uwzględniająca sugerowane warości paramerów. 15 Obecnie w Polsce od 004 roku obowiązuje ciągły cel inflacyjny rzędu,5% +/-1 punk procenowy. Krókookresowy cel dla roku 1998 kszałował się poniżej 9,5%. W 1999 roku cel określono jako przedział 6,6 7,8%. Dla 000 roku wyniósł on 5,4 6,8%. Pod koniec roku 001 spodziewano się inflacji pomiędzy 6 a 8%. W pierwszej połowie 00 roku krókookresowy cel wyniósł 5%, naomias od czerwca obowiązywał poziom 3% +/-1 p.p. Cel en miał również zosać osiągnięy w 003 roku.

9 Szacowanie nauralnej sopy procenowej dla Polski 169 kwarału) 16. Biorąc pod uwagę fak, iż cel inflacyjny w Polsce zdefiniowany jes w kaegoriach wskaźnika wzrosu cen owarów i usług (CPI) za miernik inflacji uznano wskaźnik wzrosu CPI (analogiczny okres roku poprzedniego) (zob. np. Sraegia poliyki pieniężnej po 003 roku, 003) 17. Preferowana forma celu inflacyjnego w posaci dopuszczalnego pasma wahań, decyduje o przyjęciu za cel inflacyjny środkowej warości przedziału. Luka popyowa, rozumiana jako procenowe odchylenie PKB realnego od PKB poencjalnego, zosała oszacowana z wykorzysaniem filru Hodricka-Prescoa 18. Nauralna sopa procenowa, podobnie jak luka popyowa jes kaegorią nieobserwowalną. Meody jej wyznaczania i użye do ego celu zmienne, zosaną omówione w dalszej części arykułu NSP STAŁA W CZASIE Przy założeniu sałego poziomu nauralnej sopy procenowej, jedną z najprosszych meod wyznaczania warości NSP jes meoda graficzna, kóra polega na poszukiwaniu akiego poziomu realnej sopy procenowej, kóry przyczynił się do sabilizacji inflacji w ramach wyznaczonego celu inflacyjnego. Wykres 1 przedsawia przebieg sopy inflacji (CPI) na le krókookresowej realnej sopy procenowej (RW1M) w posaci jednomiesięcznej sawki WIBOR 19 urealnionej oczekiwaniami inflacyjnymi osób prywanych (średnia oczekiwana sopa inflacji w ciągu roku). Jeżeli zgodnie z podejściem prezenowanym przez NBP przyjmie się, że do końca 003 roku realizowana była sraegia BCI zmierzająca do obniżenia inflacji do wskazanego poziomu, naomias od począku 004 roku sraegia a ukierunkowana jes na sabilizację inflacji, o górnej granicy poszukiwań nauralnej sopy procenowej można doparywać się w okolicach 6%, gdyż z począkiem 004 roku sopa inflacji znalazła się w paśmie celu 16 Ponieważ w pracy rozważane jes pierwsze wymienione zasosowanie reguły Taylora jako rekomendacji odnośnie do wysokości sopy dla RPP, zaleconą sopą procenową będzie oficjalna sopa banku. Należy mieć jednak świadomość, że sopa a oddziałuje na sopy rynku międzybankowego, a dopiero e mają przełożenie na sopy rynkowe. Dlaego częso w pracach empirycznych wykorzysywane są sawki WIBOR. Oprocenowanie krókoerminowych operacji owarego rynku wpływa głównie na WIBORSW zgodny z 7-dniowym erminem zapadalności bonów pieniężnych. Długookresowe insrumeny kszałują się pod wpływem oczekiwań uczesników samego rynku. 17 W Założeniach poliyki pieniężnej osanich la oraz w wypowiedziach członków RPP pojawiają się również odniesienia do miar inflacji bazowej. Dlaego zasadne byłoby również rozważenie ewenualnego wpływu ego miernika na poziom sopy procenowej wynikającej z reguły Taylora. Zadanie o jednak wykracza poza ramy ego opracowania. 18 PKB realny o PKB nominalny skorygowany o zmianę cen (delaor PKB), wyrażony w cenach sałych średniorocznych poprzedniego roku. Eliminacji wahań sezonowych uzyskanego szeregu dokonano meodą TRAMO/SEATS dosępną w programie GRETL. Bazowano na danych za laa Szczegółowy opis wykorzysanej meody szacowania luki popyowej zosał zawary w pracy Michałek (009). 19 Wybór sawki WIBOR1M podykowany jes ym, że dopiero w 005 roku skrócono ermin zapadalności podsawowych operacji z 14 do 7 dni. Do 003 roku była o minimalna renowność 8-dniowych bonów pieniężnych NBP.

10 170 Anna Michałek inflacyjnego. Poziom 6% usalono przy przyjęym założeniu, że impuls w posaci zmiany sopy procenowej oddziałuje na inflację z opóźnieniem rzędu 4 kwarałów % , Wykres 1. Realny WIBOR1M i sopa inflacji w laach Źródło: obliczenia własne. Innym sposobem usalenia poziomu sałej w czasie NSP jes policzenie średniej realnej sopy WIBOR1M w okresie odpowiadającym sabilnej inflacji z uwzględnieniem opóźnienia reakcji inflacji. Średnia sopa RW1M w laach wyniosła,3%. Warość ę można przyjąć za dolną granicę koryarza poszukiwań NSP. Dla uproszczenia, zakłada się, że w laach NSP należy spodziewać się w przedziale między % a 6% % 10 5 Wykres. Reguła Taylora przy założeniu sałej w czasie NSP Źródło: obliczenia własne. CPI r/r pasmo celu inflacyjnego RW1M reguła, NSP 6 reguła NSP 4 reguła, NSP sopa referencyjna 0 Zakres opóźnienia jes kwesią dyskusyjną ze względu na zachodzące zmiany w mechanizmie ransmisji impulsów monearnych. Zazwyczaj maksymalna reakcja inflacji ujawnia się od jednego roku do dwóch la.

11 Szacowanie nauralnej sopy procenowej dla Polski 171 Kolejnym krokiem jes ocena wpływu przyjęych warości NSP w posaci warości krańcowych przedziału poszukiwań NSP, czyli 6% i % oraz warości pośredniej 4% na rekomendacje (ex pos) dla RPP odnośnie do wysokości sopy procenowej wynikającej z reguły Taylora, co zosało zaprezenowane na wykresie. Na podsawie wykresu można swierdzić, że kierunek i wahania zmian oficjalnej sopy NBP i zalecanej przez regułę Taylora są zbliżone. O ile założenie wysokiego poziomu NSP w granicach 6% może mieć swoje uzasadnienie na począku badanego okresu, o yle założenie o przypadające na osanie laa wydaje się nieadekwane. Odwrona syuacja ma miejsce w przypadku usalenia NSP na zby niskim poziomie. Należy przypuszczać, że założenie sałości NSP w Polsce w laach jes zby resrykcyjne, bardziej realne wydaje się założenie, że NSP zmieniała się w czasie, przy czym wykazywała się pewną endencją spadkową. 4.. NSP ZMIENIAJĄCA SIĘ W CZASIE Przy założeniu zmiennej w czasie NSP rozważa się dwa wariany wyznaczania szeregu ej nieobserwowalnej zmiennej. Prezenowane rozwiązania bazują na filrze Kalmana i odnoszą się do definicji NSP podkreślanej w arykule. Filr Kalmana sanowi zbiór maemaycznych równań, kóre umożliwiają rekurencyjny sposób esymacji sanu nieobserwowalnego na podsawie procesu założonego w zw. modelu przesrzeni sanów, przy minimalizacji błędu średniokwadraowego 1. W pracy wykorzysano procedurę modelu przesrzeni sanów i filru Kalmana zawarą w oprogramowaniu EViews 6. Badanie przeprowadzono na danych kwaralnych w laach W pierwszym wariancie szacowania szeregu zmiennej nieobserwowalnej odwołano się do koncepcji zaprezenowanej przez Brzozę-Brzezinę (003b) dokonując pewnej modyfikacji równania sanu. Mianowicie uwzględniono opóźnienie luki realnych sóp procenowych rzędu 4 kwarałów, co wydaje się pozosawać w zgodzie z założeniem poczynionym w ramach mechanizmu 1 Filr Kalmana o skomplikowane narzędzie ekonomeryczne, kórego dokładny opis procedury usalania i charakerysyki działania wymagałby poświęcenia osobnego rozdziału pracy. Dlaego zdecydowano się podać źródła, kóre poświęcają wiele miejsca emu zagadnieniu w konekście szacowania NSP. Szczegółowy opis meody filru Kalmana przedsawiono w pracy H. Mumaz (009) oraz O. Wallace a Ibhagui (010). Brzoza-Brzezina (003b) szacunki NSP przeprowadza na danych kwaralnych za okres 1995 II kw.-00 III kw. łumacząc przyjęcie okresu sarowego zmianą reżimu kursowego w Polsce. Należy jednak mieć na uwadze fak, że w laach 1995, 1996 realne sopy procenowe pozosawały na ujemnym poziomie. Dlaego w niniejszej pracy przyjęo za począek próby I kwarał 1997 roku, pozosawiając roczny margines na sugerowane przez Brzozę Brzezinę (003b, s. 597) zasrzeżenia co do jakości począkowych obserwacji zmiennej sanu. Dobór próby w drugim wariancie szacowania NSP przedsawionym w pracy opiera się na ych samych przesłankach.

12 17 Anna Michałek ransmisji monearnej 3. Rozważany model przesrzeni sanów w wariancie I można zapisać w posaci: równania obserwacji: ( RW M 4 NSP 4 ) 1 CPI = α 1CPI 1 + α 1 + ε, e W 1M NSP + π + ε, równanie sanu:, ε 1, : N (0, σ cons ) (4) =, ε, : N (0, σ cons ) (5) NSP = NSP 1 + ε 3,, ε 3, : N (0, σ ε 3) (6) gdzie: CPI sopa inflacji; W1M, RW1M nominalny i realny WIBOR1M e ( W M π ) e 1 ; π średnia oczekiwana sopa inflacji w ciągu roku. Równania 4 i 5 o równania obserwacji, naomias równanie 6 o równanie sanu opisujące zachowanie zmiennej nieobserwowalnej NSP, jako proces błądzenia losowego. Zakłada się, że czynniki losowe w równaniach są nieskorelowane względem siebie, dodakowo w przypadku równań obserwacji narzucono z góry wariancję składników losowych 4. Nieznaną warość paramerów uzyskano poprzez maksymalizację funkcji wiarygodności. Paramer α 1 okazał się dodani, mniejszy od jedności, co oznacza, że wysąpiła inercja inflacji i bieżąca sopa inflacji w badanym okresie zależała od swojej przeszłej realizacji. Ujemna warość parameru α oznacza, że resrykcyjna poliyka monearna (RW1M > NSP) prowadziła do obniżenia sopy inflacji. Alernaywnie rozważanym warianem szacowania zmiennej w czasie NSP jes podejście zaprezenowane przez Basdevana i in. (004), wykorzysane również w pracy Peru i in. (007), kóre nawiązuje do eorii srukury erminowej sóp procenowych. Przy założeniu, że sopy erminowe odzwierciedlają oczekiwania rynku co do przyszłego poziomu krókoerminowych sóp procenowych z uwzględnieniem premii za ryzyko, równania modelu w wariancie II są nasępujące: równania obserwacji: =, ε 1, : N (0, σ cons ) (7) e W 1M NSP + π + ε 1, =, ε, : N (0, σ cons ) (8) e r 5ob NSP + π + spread + ε, 3 Ponieważ w równaniu obserwacji nie może wysępować opóźniona zmienna sanu, ym samym należy wprowadzić szereg zmiennych zasępczych, co znacznie komplikuje zapis modelu w programie EViews (zob. szerzej Van den Bossche, 011, s. 3). 4 Zarówno w pierwszym, jak i drugim wariancie szacowania zmiennej w czasie NSP z wykorzysaniem filru Kalmana dla równań obserwacji narzucono z góry sałą wariancję składników losowych. W obu warianach przyjęo warość wariancji sugerowaną w pracy Peru i in. (007) wynoszącą odpowiednio 10.

13 Szacowanie nauralnej sopy procenowej dla Polski 173 równania sanu: NSP = NSP 1 + ε 3,, ε 3, : N (0, σ ε 3) (9) spread = δ 0 + δ1spread 1 + ε 4,, ε 4, : N (0, σ ε 4 ) (10) gdzie: W1M krókookresowa sopa procenowa w posaci sawki WIBOR1M, r5ob sopa długoerminowa w posaci średniej renowności na przeargu 5-lenich obligacji, e π średnia oczekiwana sopa inflacji w ciągu roku, spread premia za ryzyko (różnica krókookresowej i długookresowej sopy procenowej). Nauralna sopa procenowa przybliżona zosała za pomocą procesu błądzenia przypadkowego, naomias ryzyko czasowe opisano, jako proces auoregresyjny rzędu 1. Zakłada się, że czynniki losowe w równaniach są nieskorelowane względem siebie, dodakowo w przypadku równań obserwacji z góry narzucono wariancję składników losowych % luka RW1M-NSP NSP RW1M CPI(+4) Wykres 3. Warian I. NSP w laach Źródło: obliczenia własne. Orzymane w wariancie pierwszym i drugim szeregi NSP dla Polski w laach na le realnej sopy rynku międzybankowego przedsawione zosały na wykresach 3 i 4. W celu dokładniejszego zobrazowania wpływu luki realnych sóp procenowych na inflację z uwzględnieniem sugerowanego opóźnienia w reakcji inflacji rzędu 4 kwarałów, przesunięo wykres sopy inflacji. Dokonując porównania szeregów NSP orzymanych na podsawie rozważanych warianów można zauważyć dość duże ich podobieńswo. Zarówno w pierwszym jak i drugim przypadku NSP w laach wykazuje się endencją spadkową. Generalnie warości, kierunek i zakres zmian NSP są zbliżone w obu rozważanych warianach, przy czym NSP w wariancie drugim szacowana jes na nieco niższym poziomie i wydaje się być bardziej wolaylna. Największe

14 174 Anna Michałek rozbieżności można zauważyć w począkowym okresie badania w laach , kiedy w wariancie I szacowana NSP przewyższała poziom realnej sopy WIBOR1M, naomias w wariancie drugim raczej kszałowała się poniżej RW1M. Tym samym oceny sopnia resrykcyjności prowadzonej poliyki pieniężnej będą różne dla obu warianów. Resrykcyjna poliyka pieniężna powinna przejawiać się usalaniem realnej krókookresowej sopy procenowej (w ym przypadku RW1M) na poziomie przekraczającym NSP. W syuacji, kiedy RW1M kszałuje się powyżej NSP należy spodziewać się spadku sopy inflacji, w odwronej syuacji powinien nasąpić jej wzros. Ponieważ w 1999 roku nasąpił wyraźny wzros sopy inflacji, można przypuszczać, że wzros en mógł nasąpić na skuek ujemnego rozwarcia luki realnych sóp procenowych. Obniżenie realnej sopy WIBOR1M poniżej poziomu nauralnego przyczyniło się do wzrosu inflacji. Podobna syuacja miała miejsce z począkiem 00 i w połowie 009 roku % Wykres 4. Warian II. NSP w laach Źródło: obliczenia własne. luka RW1M-NSP NSP RW1M CPI(+4) Analizując wykresy 3 i 4, można przyjąć, że generalnie reakcja inflacji na zmiany luki realnych sóp procenowych w badanym okresie dla obu warianów jes zgodna z oczekiwaniami, choć obserwuje się również pewne anomalia. Przykładem może być rok 004, w kórym pomimo pozosawania realnej sopy WIBOR1M poniżej NSP, sopa inflacji w 005 roku zaczęła się obniżać. Należy mieć jednak na uwadze, że w 004 roku Polska wsąpiła do UE, spadek inflacji w 005 roku mógł być konsekwencją częściowego usania efeków cenowych akcesji, kórych znaczna absorpcja nasąpiła w 004 roku. Informacje doyczące kszałowania się nauralnej sopy procenowej w Polsce w laach można wykorzysać w szerszym konekście, jakim jes reguła Taylora. W ym przypadku NSP będzie jedną z kilku zmiennych, kóre mogą być brane pod uwagę w procesie podejmowania decyzji przez RPP. Zalecenia odnośnie do wysokości krókookresowej nominalnej sopy pro-

15 Szacowanie nauralnej sopy procenowej dla Polski 175 cenowej wynikające z reguły Taylora po uwzględnieniu zmiennej w czasie NSP uzyskanej w wariancie I i II (reguła I, reguła II) i zarysowane na le rzeczywisego przebiegu ścieżki sopy referencyjnej uwzględniono na wykresie 5. Generalnie zalecenia e są zbliżone, choć krókookresowa sopa procenowa w wariancie I reguły kszałuje się na nieco wyższym poziomie. Ciekawe jes, że okresy, w kórych sopa referencyjna przewyższa sopę wynikającą z reguły, należą do rzadkości % Wykres 5. Zalecenia wynikające z reguły Taylora przy założeniu zmiennej w czasie NSP w laach Źródło: obliczenia własne. CPI (prawa oś) reguła I sopa referencyjna reguła II Uogólniając analizę orzymanych wyników, wyraźnie widać, że w laach isnieją okresy, w kórych wysokość sopy referencyjnej jes zbliżona do poziomu usalonego na podsawie reguły Taylora łącznie w dwóch warianach, jak i okresy, w kórych rozbieżności sóp są znaczne. Największe różnice wysępują od począku 1999 roku do III kwarału 000, od połowy 003 roku do końca 004 roku oraz od III kwarału 007 roku z wyłączeniem połowy 010 roku do II kwarału 011. Cechą charakerysyczną rozważanej reguły sopy procenowej jes uzależnienie wysokości krókookresowej sopy procenowej od bieżącej warości sopy inflacji. Tym samym gwałowny wzros sopy inflacji znajdzie swoje naychmiasowe odbicie w wzroście rekomendowanej sopy procenowej. O ile przypadek la 003/004 nakreślony zosał przy okazji omawiania wykresów 3 i 4, o yle charakerysyka dwóch pozosałych okresów wymaga pewnego przybliżenia. Wzros inflacji w laach spowodowany był w głównej mierze nałożeniem się szoków podażowych. W walce z inflacją o charakerze koszowym krókookresowa sopa procenowa może okazać się narzędziem mało skuecznym, dlaego odejście od zby wysokiej, sugerowanej warości sopy procenowej może być zrozumiałe. Osanie laa począwszy od końca 007 roku, noszą znamiona kryzysu finansowego, kóry rozlał się na globalną sferę gospodarki. Wzros sopy inflacji w Polsce, jes spowodowany uwidocznieniem się pewnych globalnych endencji w posaci wzrosu popyu na surowce. Zaem wniosek wydaje się podobny do sformuło-

16 176 Anna Michałek wanego uprzednio. W ym miejscu zasadne byłoby rozważenie możliwości zasosowania inflacji bazowej, jako miernika inflacji. Sugerowanym wskaźnikiem byłaby inflacja bazowa po wyłączeniu cen żywności i energii. Pomijając kwesię oceny pojedynczych wydarzeń, ciekawym sposrzeżeniem jes wysępowanie pewnej cykliczności w poliyce pieniężnej, polegającej na urzymywaniu się okresów poliyki resrykcyjnej i ekspansywnej ze szczególnym nasileniem ej drugiej. W laach w przeważającej mierze sopa referencyjna kszałuje się poniżej zalecanej krókookresowej sopy procenowej wynikającej z reguły w wariancie I i II, co szczegółowo zosało przedsawione na wykresie poliyka1 resrykcyjna; 0 - poliyka ekspansywna ESI reguła I reguła II ESI Wykres 6. Sopień resrykcyjności polskiej poliyki pieniężnej na le wskaźnika koniunkury (ESI) w laach Źródło: obliczenia własne na podsawie danych Eurosa 5. Poprzez szukanie analogii do wskaźników wyprzedzających koniunkury, można szukać wyłumaczenia urzymującego się charakeru nasawienia poliyki pieniężnej w Polsce. Od 001 roku indeks ESI dla Polski znajdował się w rendzie wzrosowym, aż do połowy 007 roku. Od ego momenu ESI sopniowo się obniżał, po czym uległ załamaniu wyprzedzając ym samym mający nasąpić krach finansowy spowodowany upadkiem Lehman Brohers. NBP poprzez kszałowanie sóp procenowych ma możliwość ograniczenia wahań koniunkury, czyli prowadzenie poliyki resrykcyjnej w okresach nadmiernego przy- 5 Wskaźnik ESI (ang. European Economic Senimen Indicaor) odzwierciedla panujące nasroje w srefie euro. Wskaźnik ESI, ogłaszany z miesięczną częsoliwością przez Komisję Europejską, dosępny jes na sronie eurosau. Do budowy ESI wykorzysuje się wskaźniki prose odnoszące się do wybranych pyań, pochodzące z badań koniunkury przemysłu (40%), usług (30%), budownicwa(5%), handlu (5%) i ufności konsumena (0%). Meodologia wyznaczania ESI z pewną modyfikacją wag oraz sposobu odsezonowania danych, zaadopowana zosała do liczonego przez GUS od czerwca 009 roku syneycznego wskaźnika koniunkury gospodarczej dla Polski.

17 Szacowanie nauralnej sopy procenowej dla Polski 177 spieszenia wzrosu koniunkury i poliyki ekspansywnej w okresie spowolnienia dynamiki jej wzrosu. PODSUMOWANIE Nauralna sopa procenowa jes kaegorią nieobserwowalną i bez względu na przyjęe meody jej usalania, należy liczyć się z ryzykiem popełnienia błędu. Dlaego częso sugeruje się, żeby NSP wyznaczać jako pewien szacunek przedziałowy (Blinder, 001, s. 55). Tym samym, obecnie w Polsce poziomu NSP należy doszukiwać się w granicach 1 %. Sopa a możliwa jes do zaakcepowania z punku widzenia obecnie prowadzonej poliyki pieniężnej, ale wydaje się mało realisyczna w odniesieniu do począku okresu realizacji sraegii bezpośredniego celu inflacyjnego. Realia polskiej gospodarki, w posaci jej niedawnego urynkowienia i dokonania szeregu zmian insyucjonalnych, jak i akcesji Polski do UE oraz ulegania pewnym globalnym endencjom, sprawiają, że do zagadnienia NSP można byłoby podejść od srony czynników wpływających na zmiany NSP w czasie. W pracy przyjęo pewne uproszczone ramy dokonywania szacunków NSP, gdyż głównym przesłaniem było ukazanie nauralnej sopy procenowej w szerszym konekście, jakim jes reguła Taylora. Reguła Taylora uwzględniająca specyfikę polskiej poliyki pieniężnej może sanowić pewien wyznacznik prowadzenia poliyki pieniężnej z zasrzeżeniem normaywnego charakeru reguły. ANEKS 6 Model w przesrzeni sanów (ang. sae-space model) umożliwia modelowanie relacji między zmienną obserwowalną y ={Y T, Y T-1,,Y 0 } w posaci obserwacji w okresie =0,,T i zmienną nieobserwowalną z (zw. zmienną sanu). Równanie obserwacji (zwane również równaniem pomiaru) określa ę zależność, a równanie przejścia (zwane również równaniem sanu) uożsamia dynamiczny proces osiągnięcia ego sanu. Równanie obserwacji (pomiaru): y = A' x + H z + ξ, (A.1) ( ) ( ) ( n 1) ( n k)( k 1) ( n r)( r 1) ( n 1) Równanie sanu (przejścia): dynamika opisana równaniem auoregresyjnym (AR), z = F z + η, (A.) ( ) 1 ( r 1) ( r r)( r 1) ( r 1) dynamika opisana jako błądzenie losowe, z = z + η, (A.3) 1 ( r 1) ( r 1) ( r 1) gdzie: y wekor zmiennych obserwowanych, x wekor zmiennych egzogenicznych (w ym opóźnionych zmiennych obserwowanych), z wekor nieobserwowalnych zmiennych 6 Opracowano na podsawie Hamilon (1994), Welch, Bishop (1995), Basdevan (003), Tusell (011).

18 178 Anna Michałek sanu, A ( ), H ( ) macierze paramerów, F () macierz sanu (dla błądzenia losowego F jes sałe i znane), ξ ~ N 0, R ), η ~ N 0, Q ), A - ranspozycja macierzy A. ( () ( () Wymienione równania łącznie definiują przesrzeń, w obrębie kórej zmienna sanu może się poruszać. Podsawowy filr Kalmana o rekurencyjny algorym, kóry ze względu na usalone zmienne obserwowalne i specyfikację modelu w przesrzeni sanów dla układu liniowego 7, pozwala na esymację sanów sysemu: przyszłych (predykcja), eraźniejszych (filracja), przeszłych (wygładzanie). Oszacowanie sanu w danym momencie czasu uwarunkowane jes znajomością sanu poprzedniego oraz wekora obserwacji. Rekurencyjny algorym w ramach kórego działa filr Kalmana dzieli się na dwie fazy (eapy). Pierwszy eap nosi miano predykcji, naomias drugi korekcji (filracji). Dodakowo przez esymowanie warości sanu dla znanego Y T isnieje możliwość uzyskania wygładzonego przebiegu zmiennej nieobserwowalnej, kóry znacznie poprawia wnioskowanie o warościach hisorycznych zmiennej z. Filr Kalmana minimalizuje średni kwadraowy błąd prognozy, a przy założeniu, że błędy pomiaru i procesu przewarzania wewnąrz układu dynamicznego mają rozkład gaussowski można również przez maksymalizację funkcji wiarygodności oszacować dowolne paramery modelu w przesrzeni sanów (część paramerów może być usalona a priori). Dla uproszczenia rozważmy przypadek, w kórym macierze A, H, F, R, Q są sałe i znane. San filru Kalmana określa oszacowanie wekora sanu dla okresu (dalej ẑ ) oraz oszacowana macierz kowariancji błędu pomiaru rzeczywisego wekora sanu (dalej P ). Niech z ˆ będzie opymalnym esymaorem zmiennej sanu z bazującym na informacjach 1 dosępnych w okresie 1 (predykcja), ym samym z ˆ 1 = E( z ψ 1 ), gdzie ( ψ 1 informacje dosępne w okresie -1) oraz ẑ esymaorem bazującym na obserwacjach włącznie do Y (filracja), gdzie z ˆ = E( z ψ ), jak również ẑ esymaorem bazującym na całej dosępnej próbie T (wygładzanie), gdzie z ˆ T = E( z ψt ). Średni błąd kwadraowy oszacowania wekora sanu zdefiniowano jako: P ˆ )( ˆ = E(( z z z z ) ). W fazie predykcji (esymacja sanu przy założeniu dosępności informacji na okres -1), akualny wekor sanu wyznacza się na podsawie sanu poprzedniego: dla procesu AR, z ˆ Fzˆ, (A.4) 1 = 1 1 dla błądzenia losowego, z ˆ zˆ. (A.5) 1 = 1 1 Macierz kowariancji błędu przyjmuje posać: 7 Podsawowy filr Kalmana ograniczony jes do przypadku modelu liniowego lub sprowadzalnego do posaci liniowej. W syuacji wysępowania nieliniowości zarówno w modelu obserwacji jak i modelu opisującym dynamikę sysemu sosuje się rozszerzony filr Kalmana, co znacznie komplikuje procedurę obliczeniową.

19 Szacowanie nauralnej sopy procenowej dla Polski 179 dla procesu AR, P ˆ ˆ 1 (( z z 1)( z z 1) ) FP 1 1 F = E = + Q, (A.6) dla błądzenia losowego, P ˆ ˆ 1 (( z z 1)( z z 1) = E ) = P Q. (A.7) Filracja (korekcja) polega na akualizacji prognozy sanu ( z ˆ oraz P 1 1 parz równanie (A.4) i (A.5) oraz (A.6) i (A.7)) z wykorzysaniem obserwacji zmiennej Y dosępnej w okresie : 1 z ˆ + P H ( HP H + R) ( y Ax H zˆ ). (A.8) z ˆ = Z kolei poprawiona macierz kowariancji błędu przyjmuje nasępującą posać: 1 P P P H HP H + R) H P. (A.9) ( = Wygładzanie z zasosowaniem filru Kalmana, ma na celu esymację warości zmiennej sanu w chwili, w kórej znane są późniejsze warości zmiennej obserwowalnej. Wygładzeniu ulega ciąg wyliczonych z wykorzysaniem filru Kalmana warości { P T } = 1, { P T 1 } = 1 oraz { z T ˆ } = 1, ˆ T 1}, gdzie ẑ T T o wygładzona warość dla osaniej obserwacji w próbie, naomias P T T { z = 1 o średni błąd kwadraowy dany jako P E(( z zˆ )( z zˆ ) ). Sekwencję wygładzonych szacunków ierację: gdzie: ˆ T { z T } = 1 T T = T T T T T T oblicza się w odwronej kolejności dla = T 1, T,..., 1 przez z ˆ = zˆ + P (ˆ z zˆ ), (A.10) T + 1 T + 1 P 1 = P F P macierz wygładzania Kalmana dla AR oraz P = P 1 P + 1 dla błądzenia przypadkowego. Korespondujące macierze kowariancji błędu wyznaczane są w analogiczny sposób według zasady: P = P + P P P ) P. (A.11) T ( + 1T + 1 W prakyce przynajmniej część macierzy A, H, F, R, Q posiada elemeny, kóre nie są znane w momencie specyfikacji modelu w przesrzeni sanów, ym samym część paramerów musi być szacowana. W ym przypadku na każdym eapie, przed korekcją, uwzględniane są błędy predykcji w celu maksymalizacji funkcji wiarygodności danej wzorem: ln L NT = ln 1 T 1 ( π ) ln H P H + R v ( H P H + R) v, k T 1 1 k 1 gdzie: v ˆ = y H z 1 wekor błędów predykcji, średni błąd kwadraowy szacunku y. LITERATURA Amao J. D. (005), The Role of he Naural Rae of Ineres in Moneary Policy, BIS Working Papers, 171, Bank for Inernaional Selemens. Baranowski P. (008), Reguła Taylora oraz jej rozszerzenia - przegląd badań, Gospodarka Narodowa, nr 7 8, 1 3.

20 180 Anna Michałek Basdevan O. (003), On Applicaion of Sae-Space Modelling in Macroeconomics, Discussion Paper Series, 03/0, Reserve Bank of New Zealand. Basdevan O., Björksen N., Karagedikli O. (004), Esimaing a Time Varing NReal eural Ineres Rae for New Zealand, Discussion Paper Series, 04/01, Reserve Bank of New Zealand. Blinder A. S. (001), Bankowość cenralna w eorii i prakyce, CeDeWu, Warszawa. Brzoza-Brzezina M. (003a) Zagadnienie nauralnej sopy procenowej, Ekonomisa 4, Brzoza-Brzezina M. (003b), Rola nauralnej sopy w polskiej poliyce pieniężnej, Ekonomisa, 5, Filar D. (004), Nauralna realna sopa procenowa w Polsce, Rzeczpospolia, Hamilon J. D. (1994), Sae-Space Models, [w:] Engle R.F, McFadden D.L. (red.), Handbook of Economerics, IV, Norh-Holland, Amserdam, Rozdział 50, s Laubach T., Williams J. C. (001), Measuring he Naural Rae of Ineres, FEDS Working Paper, Michałek A. (009) Znaczenie szacowania PKB poencjalnego w konekście weryfikacji reguły Taylora, Aca Universiais Nicolai Copernici Ekonomia, XXXIX, Mumaz H. (009), Sae Space Models and he Kalman Filer, SEACEN-CCBS/BOE-BSP Workshop on DSGE Modelling and Economeric Techniques. Neiss K., Nelson E. (003), The Real Ineres Gap as an Inflaion Indicaor, Macroeconomic Dynamics, 7, Peru R., Mrowiec M. (007), Jaka jes nauralna sopa procenowa?, Nawigaor, Bank BPH, luy, Solow R., Taylor J.B. (00), Inflacja, bezrobocie, a poliyka monearna, CeDeWu, Warszawa. Sraegia poliyki pieniężnej po 003 roku, NBP, Warszawa 003. Taylor J.B. (1993), Discreion versus policy rules in pracice, Carnegie-Rocheser Series on Public Policy, 39, Taylor J.B. (1999) The Robusness and Efficiency of Moneary Policy Rules as Guidelines for Ineres Rae Seing by he European Cenral Bank, Journal of Moneary Economics, 43, Taylor J.B. (000) Alernaive Views of he Moneary Transmission Mechanism: Wha Difference Do They Make for Moneary Policy, Oxford Review of Economic Policy, Taylor J.B. (007), Explanaory Power of Moneary Policy Rules, NBER Working Paper Taylor J.B., Williams J.C. (010) Simple and Robus Rules for Moneary Policy, Working Papers Series, Federal Reserve Bank of San Francisco. Tusell F. (011), Kalman Filering in R, Journal of Saisical Sofware, 39, (). Van den Bossche F.A.M. (011), Fiing Sae Space Models wih EViews, Journal of Saisical Sofware, 41, (8). Welch G., Bishop G. (1995), An Inroducion o he Kalman Filer, Universiy of Norh Carolina a Chapel Hill, Deparmen of Compuer Science, Chapel Hill, NC, USA. TR Wallace Ibhagui O. (010), Applicaion of he Kalman Filer o Ineres Rae Modelling, AIMS, Universiy of Cape Town, Souh Africa. Wicksell K. (1898), Ineres and Prices. A Sudy of he Causes Regulaing he Value of Money, łumaczenie R.F. Kahn, New York, Wicksell K. (1907), The Influence of he Rae of Ineres on Prices, The Economic Journal, June, Williams J.C. (003), The Naural Rae of Ineres, FRBSF Economic Leer 003-3, Ocober. Winek D., Robak S. (003), Nauralna sopa procenowa, luka PKB i inercja inflacyjna, a wybór opymalnej sopy procenowej. Badania dla Polski , Wyższa Szkoła Handlu i Finansów Międzynarodowych. Woodford M. (001), The Taylor Rule and Opimal Moneary Policy, American Economic Review 91(), Założenia poliyki pieniężnej na 011 rok, NBP, Warszawa, wrzesień 010.