Oceny. Podreczniki. Dane. Statystyka matematyczna i stosowana

Transkrypt

1 Statystyka matematyczna i stosowana Kurs dla Informatyki Matematycznej Semestr zimowy 7/ Strona internetowa: Wykładowca : Małgorzata Bogdan Biuro: C-, p.. Godziny konsultacji: śr. :-:, czw. : : Telefon: Malgorzata.Bogdan@pwr.wroc.pl Oceny Dwa kolokwia: listopada i stycznia (na wykładzie) +=pkt. Aktywność na ćwiczeniach extra Laboratoria pkt 9 % (6 pt) bdb, 9% - % ( - pt) db +, itd. dst, 7 pkt Podreczniki Statystyka dla studentów kierunków technicznych i przyrodniczych, J. Koronacki, J. Mielniczuk, WNT, wyd. II Introduction to the Practice of Statistics, D. Moore, G. McCabe, Freeman, wyd. III Statistics for the Life Sciences, M. Samuels, J. Witmer,, wyd. III Listy zadań na ćwiczenia i laboratoria dostępne w internecie Zachęcam do zadawania pytań na wykładzie Dane Używamy danych, aby odpowiedzieć na pytania dotyczące badanych populacji Na ogół dane charakteryzują się losową zmiennością Oceniamy informację zawartą w danych

2 Czym jest statystyka? Nauka rozumienia danych i podejmowania decyzji w obliczu losowości Zbiór metod do planowania eksperymentu i analizy danych tak, aby uzyskać maksimum informacji i ilościową ocenę ich wiarygodności Przykład Pewne badania dotyczą wpływu aktywności fizycznej na poziom cholesterolu. Jedna grupa ćwiczy, druga nie. Pytanie: Czy poziom cholesterolu jest niższy u osób, które ćwiczą? Czynniki mogące wpłynąć na wynik eksperymentu: Ludzie mają naturalnie różne poziomy cholesterolu Reagują różnie na ten sam reżimćwiczeń Różny stopień zaangażowania w realizacjęćwiczeń Wpływ diety Ćwiczenia mogą wpływać na inne czynniki, np. apetyt Przykład Eksperyment mikromacierzowy porównujący komórki rakowe i normalne. Czy dwukrotnie wyższy zaobserwowany poziom ekspresji genu dowodzi faktycznie różnej ekspresji? Czy mamy powtórzenia eksperymentu? Czy w powtórzeniach wyniki są podobne? Dlaczego dwukrotna zmiana, a nie trzy lub czterokrotna? Jak ustalić właściwą wartość krytyczną? Przykład W artykule prasowym czytamy, że % pieszych będących ofiarami nocnych wypadków samochodowych nosiło ciemne ubrania, a % jasne ubrania. Wyciągnięto wniosek, że w nocy bezpiecznie jest nosić jasne ubrania. Czy przeprowadzone badania upoważniają do takiej konkluzji? Przykład Reakcja owiec na bakterie wąglika Reakcja Śmierć Szczepione Nie szczepione Przykład Rozwój raka wątroby u myszy Rak wątroby E. coli Wolne od zarazków 9 Przeżycie Zdrowa Procent przetrwania % % Suma Procent myszy z rakiem wątroby 6 % 9 9 %

3 Sygnał i szum Przykład brak zmienności (??): mocna konkluzja Przykład duża zmienność: słaba konkluzja Jak duża musi być próba, abyśmy w oparciu o nią mogli wywnioskować, że badany czynnik ma wpływ na wynik eksperymentu? Losowość Dane na ogół charakteryzują się zmiennością Matematycznie modelujemy tą zmienność używając rachunku prawdopodobieństwa Przykłady Prognoza pogody- prawdopodobieństwo deszczu wynosi % Prawdopodobieństwo urodzenia dziewczynki wynosi,9 Schemat badań naukowych Pytanie naukowe Planowanie eksperymentu Eksperyment / zbieranie danych Analiza danych Wnioski statystyczne Wnioski naukowe Próba, Zmienna Próba: Obserwacje lub wyniki eksperymentu Reprezentuje konkretną realizację eksperymentu Przykłady: Wysokość kłosów żyta ( obserwacji) Poziom(y) hemoglobiny u dawców Kolor i kształt ziaren grochu Próba, Zmienna cd. Rozmiar próby: n np. n=, n=, n=6 Zmienna: to co mierzymy tu: wysokość, poziom hemoglobiny, kolor i kształt

4 Rodzaje zmiennych Zmienne jakościowe (kategoryczne) Jakościowe Zmienne Ilościowe Jakościowe kwalifikujące do kategorii Porządkowe, np. wybory w ankiecie: nigdy, rzadko, czasami, często, zawsze Nie porządkowe, np.: kolor i kształt Porządkowe Nie porządkowe Ciągłe Dyskretne Zmienne ilościowe (liczbowe) Ilościowe wynik jest liczbą Ciągłe, np. wzrost, waga, stężenie Dyskretne, np. liczba wadliwych elementów, liczba gładkich i żółtych groszków Oznaczenia Zmienne: X,Y,Z; np.y=wzrost (pojęcie) Obserwacja: x,y,z; np. y=cm (wynik) Próba: y,y,,y n (wielokrotne obserwacje) Rozmiar próby: n, czasem n,n Próba a próbka Biolog mierzy poziom glukozy we krwi ludzi. próbek krwi? (biolog) Jedna próba pomiarów glukozy. (statystyk) Będziemy używali pomiar tam, gdzie biolog użyłby słowa próba. Klasy Statystyki opisowe: Tabela częstości Groszki:gładkie/pomarszczone, zielone/żółte Gładkie, żółte Gładkie, zielone Pomarszczone, żółte Pomarszczone, zielone Liczba

5 Wykres słupkowy (dane jakościowe) Wykształcenie Liczba (*) Procent liczność round, yellow groszki generacji F round, green wrinkled, yellow wrinkled, green Podstawowe lub zawodowe Szkoła średnia Szkoła policealna Licencjat Wykształcenie wyższe Wykres słupkowy Wykres kołowy Dane ilościowe dyskretne Dane Liczba potomstwa u n=6 macior. Liczność miotu jest liczbą całkowitą (zmienna dyskretna)

6 Rozkład liczebności Liczba potomstwa Liczba macior Liczba (macior) Histogram liczebności Liczność miotu Histogram (liczebności) Grupowanie podobnych obserwacji zwykle jest pomocne Prawie zawsze postępujemy tak z danymi ciągłymi Definiujemy klasy (przedziały) obserwacji i zliczamy liczbę obserwacji wpadających do każdej klasy Jak wybierać klasy: Każda obserwacja musi wpadać do dokładnie jednej klasy (klasy rozłączne, pokrywają wszystkie możliwe wyniki) Rozmiar (szerokość) klas (przedziałów) jest zwykle taki sam Używamy wygodnych granic przedziałów, np. -9, a nie Używamy do klas dla umiarkowanych zbiorów danych (n ); więcej, gdy próba jest duża Przykład Dane : długość łodygi papryki (n=) Min=.9, max=., zakres=max-min=. Wybieramy szerokość klasy, np.. i początek., aby pokryć zakres... Zliczamy liczby wystąpień i rysujemy histogram. Ew. zmieniamy szerokość klas, aby uzyskać pożądany kształt Za mała szerokość klas=dużo szumu, za duża = utrata informacji 6

7 Tabela liczebności (klas) Histogram liczebności Klasa Liczność Liczność ,99,9,99,9,99,9,99,9 Klasa Przykład: Stężenia serum CK 6 Min=, max= Rozstęp = Szerokość klasy = 9 Punkt początkowy= Serum CK Suma Liczność 7 6 7

8 Opis histogramu: Centralny szczyt (moda) w okolicach J/L Zasadnicza masa rozkładu między a J/L Niesymetryczny skośny na prawo Interpretacja pola powierzchni pod histogramem (przy równej szerokość klas) Nad odcinkiem 6 - J/L leży: % całkowitej powierzchni histogramu Do tego odcinka wpada: % ( z 6) wartości CK Nierówna szerokość klas Powierzchnia pod histogramem nie jest proporcjonalna do liczności W tak spaczonym histogramie (patrz dalej) powierzchnia między a J/L stanowi 9% całkowitej powierzchni (mimo, że te stężenia stanowią tylko % obserwacji) Rozwiązanie podzielić liczności przez długość odcinka (liczbę zgrupowanych klas) Oś Y na przekształconym histogramie średnia liczność (w zgrupowanych klasach) Histogram częstości Często rysujemy histogram tak, że na osi pionowej zaznaczamy częstość (względną) =liczba wystąpień / n Histogram częstości jest użyteczny, zwłaszcza dla porównania zbiorów danych o różnych rozmiarach n

9 L ic z n ość Histogram liczebności ,99,9,99,9,99,9,99,9 Klasa C zę s tość Histogram częstości,,,,,,, ,99,9,99,9,99,9,99,9 Długość łodygi Diagram łodygi i liścia (Stem and leaf plot) Jest to inny sposób podsumowania danych; zachowuje prawie wszystkie informacje. Wybieramy łodygę ( pień ) liczbyzwykle opuszczając jedną lub dwie ostatnie cyfry w zapisie dziesiętnym Zapisujemy wszystkie łodygi w jednej kolumnie w kolejności rosnącej, i rysujemy pionową linię oddzielającą (od liści ) Diagram łodygi i liścia (Stem and leaf plot) cd. Przykład: Stężenie glukozy w przedniej komorze prawego oka u zdrowych psów Znajdujemy ``pień odpowiadający każdej obserwacji. Za linią pionową zapisujemy pozostałe (bez pnia) cyfry danej obserwacji. Ta część zapisu obserwacji nazywana jest liściem. Dostajemy obrócony histogram Ograniczenie: trudniej manipulować liczbą klas Opis histogramu (rozkładu) Symetryczny / asymetryczny W kształcie dzwonu (normalny) / ciężkie ogony (spłaszczony) Skośny na prawo lub lewo Jednomodalny (jeden główny wierzchołek) Dwumodalny (dwa główne wierzchołki) Wykładniczy (malejący) Rozrzut (duży lub mały) Statystyka Statystyka liczbowa charakterystyka danych Przykłady statystyk: próba: y =,y =, y =6,y =6 min=, max=6, rozstęp= 6-= Opis danych: kształt, centrum, rorzut 9

10 Miary położenia rozkładu Średnia z próby: symbol y oznacza liczbę; arytmetyczną średnią z obserwacji Symbol Y oznacza pojęcie średniej z próby Średnia jest środkiem ciężkości zbioru danych 6 i= Przykład: Przyrost wagi owiec Dane :,, 9,,, y =, y =,, y 6 = y = y + y y = = 6 i 6 y = 6 / 6 = 9. Odchylenia dev = y y i i dev = y y = 9. =.67 Σ dev i =? Mediana próbkowa: Środkowa obserwacja jeżeli n jest nieparzyste Średnia z dwóch środkowych wartości gdy n jest parzyste Przykłady Przykład (n = ) Dane: Średnia z próby = / = 6. Mediana = Przykład (n = 6) Dane: Średnia z próby = 9. Mediana = Średnia a mediana Przykład cd. (n = ) Dane: Średnia = / = 6. Mediana = 6. Błąd w zapisie danych: Dane: Średnia = 9 Mediana = 6.

11 Średnia a mediana Mediana dzieli powierzchnię histogramu na połowę Jest odporna nie mają na nią wpływu obserwacje odstające Średnia to środek ciężkości histogramu Obserwacje odstające mają duży wpływ na średnią średnia nie jest odporna Średnia a mediana Jeżeli histogram jest w przybliżeniu symetryczny, to średnia i mediana są zbliżone. Jeżeli histogram jest skośny na prawo, to średnia jest zwykle większa niż mediana. Obie te miary położenia są jednakowo ważne. Średnia jest częściej wykorzystywana do testowania i estymacji (o czym później). Miary położenia cd.:kwartyle Kwartyle dzielą zbiór danych na cztery grupy. Drugi kwartyl (Q) to mediana. Pierwszy kwartyl (Q) to mediana grupy obserwacji mniejszych niż Q. Trzeci kwartyl (Q) to mediana grupy obserwacji większych niż Q. Przykład Dane: 6 7 Przykład (n=) Rozstęp międzykwartylowy 7 IRQ=Q-Q (inter-quartile range) 6 9

12 Wykres ramkowy (Boxplot) BoxPlot Boxplot graficzna reprezentacja: mediany, kwartyli, maximum i minimum z danych. Ramka ( pudełko ) powstaje z obrysowania kwartyli Linie ( wąsy ) ciągą się do wartości najmniejszej i największej. 6 Zmodyfikowany Boxplot Obserwacja odstająca: błąd w zapisie danych, błąd maszyny, zmiana warunków eksperymentu itp. Kryterium do identyfikacji obserwacji odstających: Dolna granica = Q -.*IQR Górna granica = Q +.*IQR Dane : Przykładowy zmodyfikowany wykres ramkowy (boxplot) Miary rorzutu: Rozstęp (max min) bardzo wrażliwy na obserwacje odstające, nieprzydatny do testowania Rozstęp międzykwartylowy (IRQ=Q-Q) rozstęp środkowych % obserwacji Standardowe odchylenie / Wariancja Współczynnik zmienności (CV)

13 Próbkowe odchylenie standardowe (SD, s) Wyrażone w jednostkach pomiarowych Informuje o ile przeciętnie odległe od średniej są obserwacje. n ( i ) /( ) (definition) i= s = y y n W mianowniku jest n-: SS s =,where n n n ( i ) i i= i= SS = y y = y ny n ( yi ny ) /( n ) (calculations) i= = Próbkowa wariancja: s Przeciętny kwadrat odległości od średniej próbkowej: s Mierzona w jednostkach będących kwadratem jednostek, w których wyrażone są dane Dlaczego n-? s jest nieobciążonym estymatorem wariancji w populacji (te pojęcia wyjaśnimy później) n Σ dev i = stąd dev dev i= n- stopni swobody = n- jednostek informacji n = i Miary rozrzutu, cd. Współczynnik zmienności (CV) CV = s / Przykład Dane :.,.6, 6.9, 9. (n=) Rozstęp = y Suma obserwacji: Σy = =. średnia: y s z definicji: SS = wariancja: s = s=

14 Uwaga: Proszę zachowywać dużo cyfr znaczących przy rachunkach. Zaokrąglamy dopiero na koniec. Współczynnik zmienności: CV= Ogólne uwagi Duże s=duży rozrzut. Małe s=mały rozrzut. Jeżeli histogram (rozkład ) jest w kształcie dzwonu ( normalny ), to około: 6% obserwacji jest w odległości ± s od średniej 9% obserwacji jest w odległości ± s od średniej 99% obserwacji jest w odległości ± s od średniej Nierówność Czebyszewa Nawet, gdy rozkład nie jest normalny to co najmniej 7% obserwacji jest w odległości ± s od średniej co najmniej 9% obserwacji jest w odległości ± s od średniej. Przykład 7 9 Przykład cd Średnia s =.9. y =., odchylenie standardowe Ocena s z histogramu Odcinek I = ( y s, y + s) zawiera około 9 % danych. Ocena s = (długość I) /. Reguła działa najlepiej, gdy histogram jest w kształcie dzwonu (bliski normalnemu).

15 Przykład (puls po ćwiczeniach) 9 % pomiarów jest pomiędzy 7 a Faktyczne s =. Porównanie miar rozrzutu i położenia Miary rozrzutu służą do oszacowania zmienności w danych. Odporność: Załóżmy, że mamy dość skupiony dzwonowy (normalny) zbiór danych. Co się stanie, gdy jedną dużą obserwację zastąpimy bardzo dużą wartością? Mediana Rozstęp Średnia Kwartyle i rozstęp międzykwartylowy Standardowe odchylenie