GEODEZJA. Zestaw I. Kinematyka i dynamika

Transkrypt

1 GEODEZJA Zestaw I Kinematyka i dynamika 1. Staś jest młodym koszykarzem, ale niestety ma zbyt mało siły i nie potrafi wykonać rzutu do kosza za trzy punkty, tzn. z odległości powyżej 6m. Chodzi więc na siłownię, by poprawić siłę mięśni. Oblicz, jaką siłą powinien Staś działać na piłkę, by dolatywała do kosza. Załóż, że wyrzut piłki następuje pod kątem 45, a kosz znajduje się 1,5 m powyżej punktu wyrzutu piłki. Czas oddziaływania rąk koszykarza na piłkę podczas rzutu wynosi 0,2 s, a piłka ma masę 0,5 kg. 2. Zmierzono, iż płynąc prostopadle do brzegów rzeki łódź przepływa na drugą stronę w czasie t. Jak na podstawie tej informacji można wyznaczyć prędkość nurtu rzeki? Wiadomo, że prędkość łodzi na stojącej wodzie wynosi v oraz znana jest szerokość rzeki L. 3. Na poziomej wspólnej osi obracają się z prędkością 3000 obr/min dwa cienkie krążki zamocowane w odległości s=1 m od siebie. Pocisk lecący równolegle do osi obrotu trafia oba krążki, przy czym zmierzono, że drugi punkt przebicia jest przesunięty względem pierwszego o kąt 30. Pokaż, jak pomiar ten pozwala wyznaczyć prędkość pocisku. 4. U podnóża równi pochyłej o kącie nachylenia α nadano ciału prędkość v. Jak mierząc wysokość h, na którą wzniesie się to ciało poruszając się po równi, wyznaczyć można współczynnik tarcia występujący podczas tego ruchu? 5. Z jaką prędkością powinien pokonywać zakręt o promieniu krzywizny rowerzysta, aby nie wpaść w poślizg? Pod jakim kątem powinien pochylić rower jadąc z maksymalną bezpieczną szybkością? Współczynnik tarcia kół o podłoże wynosi µ. 6. Z jaką minimalną prędkością może jechać na motocyklu akrobata cyrkowy po wewnętrznej stronie powierzchni bocznej walca o średnicy 18 m, jeżeli środek ciężkości motocyklisty wraz z motocyklem znajduje się w odległości h=1 m od miejsca styku kół ze ścianą, a współczynnik tarcia opon kół motocykla o ściany wynosi f=0,4 (rys. 1)? ys. 1. 1

2 Zestaw II Dynamika bryły sztywnej 1. Oliczyć moment bezwładności jednorodnego walca o promieniu i masie m względem osi symetrii? Wyprowadź odpowiedni wzór z definicji momentu bezwładności I = r 2 dm. 2. Do końca nici nawiniętej na jednorodny krążek o masie M i promieniu przywiązany jest ciężar o masie m. Z jakim przyspieszeniem obniża się ciężar i jakie jest naprężenie nici? 3. Koło zamachowe o promieniu i momencie bezwładności I wiruje z prędkością kątową ω 0. W pewnej chwili do jego krawędzi dociśnięto z siłą F klocek hamulcowy. Pokaż, jak można wyznaczyć współczynnik tarcia klocka hamulcowego o koło, mierząc czas t, po którym koło się zatrzymuje. Zasady zachowania energii, pędu i momentu pędu 1. Proton zbliża się do jądra atomowego o dużej masie i ładunku Ze. W odległości nieskończenie dużej od jądra energia protonu jest równa 1/2 mv 2. Tor protonu ekstrapolowany liniowo od dużych odległości do małych przechodzi przez minimum odległości b od jądra, jak na ys. 1 (b - nazywa się parametrem zderzenia). Obliczyć odległość S największego zbliżenia dla orbity rzeczywistej protonu. Ze b S ys. 1 E k = mv 2 /2 2. W celu zmierzenia prędkości pocisku posługujemy się tak zwanym wahadłem balistycznym. Składa się ono z ciała o dużej masie (worek z piaskiem) zawieszonego na sztywnym pręcie (ys. 2). Gdy wystrzelona kula zostanie zahamowana w danej masie wahadła, powoduje to wychylenie się wahadła o pewien kąt α. Wiedząc, że α = 31, a długość wahadła l = 90 cm, oblicz prędkość v pocisku o masie m = 10 g, jeżeli masa wahadła wynosi M = 5 kg. l α ys. 2. 2

3 3. Wyjaśnij, dlaczego łyżwiarz, chcąc wykonać piruet, najpierw rozkłada szeroko ręce, a następnie składa je na piersi trzymając jak najbliżej siebie. 4. W wesołym miasteczku zbudowano diabelską pętlę o promieniu (ys. 3). Jaka powinna być wysokość H zjeżdżalni dla wózków, aby wraz z pasażerami mijały bezpiecznie (nie odrywały się od toru) najwyższy punkt pętli. ys. 3. Grawitacja 1. Oblicz prędkość, jaką należy nadać satelicie, aby mógł krążyć po orbicie stacjonarnej. Na jakiej będzie się znajdował wysokości? Zakładając, iż znajduje się on dokładnie na południe of Krakowa, znajdź kąt, pod jakim będzie on widziany nad horyzontem w Krakowie. 2. Na powierzchnię Ziemi spada z bardzo dużej odległości meteoryt. Z jaką prędkością upadłby on na Ziemię, gdyby nie było hamowania atmosfery? 3

4 Zestaw III Elektrostatyka 1. Trzy kondensatory o pojemnościach C 1 = 1 mf, C 2 = 2 mf, C 3 = 3 mf połączono, jak ma ys. 1 i dołączono do źródła napięcia stałego U = 12 V. Obliczyć ładunki zgromadzone na każdym z kondensatorów. C 1 C 2 C 3 U 1 U 2 U + ys Dwie metalowe kule o promieniach 1 i 2 posiadają ładunki odpowiednio Q 1 i Q 2. Jaki ładunek będzie zgromadzony na każdej z kul po połączeniu ich cienkim przewodem? 3. Aby porównać pojemności dwóch kondensatorów C 1 i C 2 naładowano je odpowiednio do napięć U 1 = 300 V i U 2 = 100 V i połączono równolegle. Przy tym różnica potencjałów między okładkami kondensatorów okazała się równa 250 V. Wyznaczyć stosunek pojemności C 1 /C Preszpan ulega przebiciu przy natężeniu pola o wartości E = 1, V/m. Dwa płaskie kondensatory o pojemnościach C 1 = 2/3 µf i C 2 = 5/3 µf z izolacyjną warstwą preszpanu o grubości 2 mm są połączone szeregowo. Przy jakim napięciu układ ten ulegnie przebiciu? Prąd elektryczny stały 1. Znaleźć opór zastępczy obwody przedstawionego na ys. 1. Opór każdego z oporników wynosi = 1 Ω. 2. Wyprowadź wzór na wartość dodatkowego oporu, który należy dołączyć do woltomierza, aby można było nim mierzyć napięcia do 1000 V, jeżeli woltomierz był przeznaczony do napięcia maksymalnego 50 V i ma opór wewnętrzny 2000 Ω. 3. Skala mikroamperomierza o oporze wewnętrznym 10 Ω ma 100 podziałek, a wartość jednej podziałki wynosi 10 µa. Wyprowadź wzór na wartość oporu bocznika, który należy dołączyć do przyrządu, aby można było nim mierzyć natężenia prądu do 1 A. 4. Znaleźć natężenie prądu w każdej części obwodu z ys. 2, jeżeli E 1 = 24 V, E 2 = 18 V, 1 = 20 Ω, 2 = 3 = 2 Ω. 5. Bateria o sile elektromotorycznej 40 V i oporze wewnętrznym 5 Ω zamknięta jest oporem zewnętrznym zmieniającym się od 0 do 35 V. Narysować zależność od oporu 4

5 zewnętrznego: 1) mocy wydzielanej w obwodzie zewnętrznym, 2)mocy wydzielanej wewnątrz źródła, 3) mocy całkowitej, 4) sprawności źródła prądu. 6. Wyznaczyć siłę elektromotoryczną ogniwa, jeżeli wiadomo, że po zwiększeniu oporu zewnętrznego 3 razy, zamykającego to ogniwo, napięcie na zaciskach wynoszące 3 V zwiększy się o 20 %. 7. Dwie żarówki przystosowane do napięcia 220 V o mocy 25 W i 75 W połączono szeregowo i włączono do sieci o napięciu 220 V. Z jaką mocą świeci każda z tych żarówek? 8. Jaki jest opór zastępczy układu oporników przedstawionego na ys. 3. ys E 1 E ys ys. 3 5

6 Zestaw IV Magnetyzm 1. Przez poprzeczkę o masie m= 50 g i długości 5 cm zawieszoną poziomo na nieważkich niciach płynie prąd o natężeniu 10 A. Poprzeczka znajduje się w polu magnetycznym o wektorze indukcji skierowanym pionowo do góry. Znajdź wartość wektora indukcji pola magnetycznego, wiedząc, że nici odchyliły się od pionu o kąt Oblicz energię kinetyczną protonów poruszających się w jednorodnym polu magnetycznym o indukcji B = 1,5 T, jeśli promień okręgu, po którym krążą, wynosi r =0,5 m. Masa protonu m =1, kg, ładunek e=1, C. 3. Znajdź indukcję pola magnetycznego w środku prostokąta o bokach a = 1 m i b = 3 1/2 m, w którym płynie prąd o natężeniu 2 A. 4. W prostym umieszczonym poziomo długim przewodniku płynie prąd o natężeniu I 1 = 5 A. Pod tym przewodnikiem znajduje się drugi równoległy do niego aluminiowy przewodnik, w którym płynie prąd o natężeniu I 2 = 1 A. Odległość między przewodnikami wynosi d = 1 cm. Jakie powinno być pole przekroju poprzecznego drugiego przewodnika, aby znajdował się on w stanie równowagi, wisząc swobodnie? Jaki to będzie rodzaj równowagi? 6. Do dwóch punktów przewodnika kołowego dołączono ułożone radialnie przewody połączone ze źródłem prądu (ys. 1.). Znajdź indukcję pola magnetycznego w środku koła. 7. Jednorodne pole magnetyczne rośnie proporcjonalnie do czasu: B=kt, gdzie k = 10 T/s. Jaka ilość ciepła wydzieli się w ramce mającej kształt kwadratu o boku a = 1 m w czasie t = 2 s? amka zrobiona jest z przewodnika aluminiowego o przekroju poprzecznym S = 1 mm 2. Powierzchnia ramki jest prostopadła do pola magnetycznego. 8. W przewodniku kołowym, którego promień równa się r =1 m, umieszczonym w jednorodnym polu magnetycznym zmiennym w czasie, indukuje się SEM E = kt (k= π V/s). Kąt pomiędzy normalną do powierzchni przewodnika kołowego i wektorem indukcji magnetycznej równa się 60. Wyznaczyć zależność B(t), jeżeli B(t=0) = Do sieci prądu zmiennego o napięciu skutecznym U S =120 V włączono szeregowo przewodnik o oporze = 15 Ω oraz cewkę o indukcyjności L = 50 mh. Obliczyć częstotliwość napięcia, jeżeli amplituda prądu I 0 = 7 A. I l 1 I 1 l 2 I 2 I ys. 1. 6