Struktury niezawodności systemów.

Transkrypt

1 Struktury niezawodności systemów. 9 marca 2015

2 - system i jego schemat - struktury niezawodności a schemat techniczny System to zorganizowany zbiór elementów, współpracujacych ze soba pełniac przypisane funkcje. Funkcje moga być podobne (elementy uzupełniaja/zastępuj a) się wzajemnie, lub różne. Dla systemu istnieje schemat techniczny, przestawiajacy w sposób graficzny działanie systemu, w szczególności kierunek przepływu mediów.

3 - system i jego schemat - struktury niezawodności a schemat techniczny System to zorganizowany zbiór elementów, współpracujacych ze soba pełniac przypisane funkcje. Funkcje moga być podobne (elementy uzupełniaja/zastępuj a) się wzajemnie, lub różne. Dla systemu istnieje schemat techniczny, przestawiajacy w sposób graficzny działanie systemu, w szczególności kierunek przepływu mediów.

4 - system i jego schemat - struktury niezawodności a schemat techniczny System to zorganizowany zbiór elementów, współpracujacych ze soba pełniac przypisane funkcje. Funkcje moga być podobne (elementy uzupełniaja/zastępuj a) się wzajemnie, lub różne. Dla systemu istnieje schemat techniczny, przestawiajacy w sposób graficzny działanie systemu, w szczególności kierunek przepływu mediów. W szczególności elementy systemu moga być umieszczone w schemacie szeregowym lub równoległym.

5 - system i jego schemat - struktury niezawodności a schemat techniczny System to zorganizowany zbiór elementów, współpracujacych ze soba pełniac przypisane funkcje. Funkcje moga być podobne (elementy uzupełniaja/zastępuj a) się wzajemnie, lub różne. Dla systemu istnieje schemat techniczny, przestawiajacy w sposób graficzny działanie systemu, w szczególności kierunek przepływu mediów. Ze względu na znaczenie dla niezawodności systemu, również rozróżniamy między innymi struktury szeregowe i równoległe w sensie niezawodności.

6 - system i jego schemat - struktury niezawodności a schemat techniczny System to zorganizowany zbiór elementów, współpracujacych ze soba pełniac przypisane funkcje. Funkcje moga być podobne (elementy uzupełniaja/zastępuj a) się wzajemnie, lub różne. Dla systemu istnieje schemat techniczny, przestawiajacy w sposób graficzny działanie systemu, w szczególności kierunek przepływu mediów. Schemat szeregowy (odp. równoległy) na schemacie technicznym nie zawsze odpowiada strukturze w sensie niezawodności.

7 - system i jego schemat - struktury niezawodności a schemat techniczny Strukturę nazwiemy szeregowa w sensie niezawodności, jeżeli awaria jednego dowolnie wybranego elementu powoduje awarię systemu. Strukturę nazwiemy równoległa w sensie niezawodności, jeżeli w przypadku awarii pojedynczych elementów inne przejmuja ich funkcje. Awaria systemu następuje dopiero w momencie awarii wszystkich jego elementów.

8 - system i jego schemat - struktury niezawodności a schemat techniczny Strukturę nazwiemy szeregowa w sensie niezawodności, jeżeli awaria jednego dowolnie wybranego elementu powoduje awarię systemu. Strukturę nazwiemy równoległa w sensie niezawodności, jeżeli w przypadku awarii pojedynczych elementów inne przejmuja ich funkcje. Awaria systemu następuje dopiero w momencie awarii wszystkich jego elementów.

9 - system i jego schemat - struktury niezawodności a schemat techniczny Rozważmy pewne przykłady: W pompowni zainstalowany jest system kilku (dwu) pomp podnoszacych wodę odpowiednio do zbiornika pośredniego (pierwsza pompa) i dalej docelowo (druga pompa). Z technicznego punktu widzenia układ zainstalowany jest szeregowo. Z punktu widzenia niezawodności awaria jednej z pomp jest jednocześnie awaria systemu. Taka zależność definiuje strukturę szeregowa również w sensie niezawodności.

10 - system i jego schemat - struktury niezawodności a schemat techniczny Rozważmy pewne przykłady: W zakładzie zaopatrzenia w wodę zainstalowany jest układ 2 pomp. Z technicznego punktu widzenia pompy sa zainstalowane równolegle. Jeżeli tylko jedna pracujaca pompa jest w stanie zapewnić dostawy wody na akceptowalnym poziomie, wówczas również struktura w sensie niezawodnościowym jest równoległa. Jeżeli jednak przy pracujacej jednej pompie przepompownia nie wykonuje dostaw wody na założonym poziomie, awarię jednej pompy rozumie się jako awarię systemu. Tym samym układ jest szeregowy w sensie niezawodnościowym.

11 - system i jego schemat - struktury niezawodności a schemat techniczny Rozważmy pewne przykłady: Rozważmy system filtrów (np. filtra akwarystycznego). Zgodnie z kierunkiem przepływu wody mamy: gabkę czyli filtrację mechaniczna, następnie inne media filtracyjne i na końcu zeolit na którym rozmnażaja się bakterie nitryfikacyjne. Jeżeli wymienimy zeolit na nowy pozbawiony bakterii nitryfikacyjnych, wciaż pozostana ich kolonie na gabce i innych mediach. Tym samym pomimo schematu technicznego szeregowego, w sensie niezawodnościowym mamy do czynienia z układem równoległym.

12 - struktury proste i złożone - struktury k z n jako ogólny schemat - rodzaje rezerwy Struktury niezawodnościowe można podzielić na trzy grupy: struktury trywialne - czyli jednoelementowe, lub takie które z pewnych względów zawsze sa zdatne lub zawsze niezdatne do pracy, struktury podstawowe: struktury proste - należa tu struktura równoległa i szeregowa, struktura progowa, struktury mieszane - np. szeregowo - równoległe lub równoległo - szeregowe, struktury złożone - struktura mostkowa.

13 - struktury proste i złożone - struktury k z n jako ogólny schemat - rodzaje rezerwy Mówimy, że system ma strukturę k z n z sensie niezawodności jeżeli pozostaje sprawny gdy co najmniej k wśród n elementów pozostaje sprawne. Wówczas: k liczba elementów podstawowych, n - liczba wszystkich elementów, różnica n k - liczba elementów rezerwowych.

14 - struktury proste i złożone - struktury k z n jako ogólny schemat - rodzaje rezerwy Mówimy, że system ma strukturę k z n z sensie niezawodności jeżeli pozostaje sprawny gdy co najmniej k wśród n elementów pozostaje sprawne. Wówczas: k liczba elementów podstawowych, n - liczba wszystkich elementów, różnica n k - liczba elementów rezerwowych.

15 - struktury proste i złożone - struktury k z n jako ogólny schemat - rodzaje rezerwy W szczególności struktury szeregowa i równoległa sa strukturami k z n, dokładnie: Struktura szeregowa to n z n Struktura równoległa to 1 z n Struktura progowa to struktura k z n dla 1 < k < n, czyli nie będaca struktura szeregowa ani równoległa.

19 - struktury proste i złożone - struktury k z n jako ogólny schemat - rodzaje rezerwy Struktury progowe oraz równoległe sa tzw. strukturami z rezerwa. Metoda zwiększania niezawodności poprzez dodanie rezerwy jest skuteczna metoda o ile nie generuje kosztów lub nie zwiększa znaczaco masy/wielkości obiektu. Stad jest raczej bardziej popularna w przypadku obiektów elektronicznych niż mechanicznych. W przypadku urzadzeń mechanicznych, gdzie system wymaga ciagłej pracy, a jednocześnie jego elementy wymagaja okresowych prac serwisowych (np. czyszczenie filtrów) dodanie rezerwy jest jedyna skuteczna metoda zapewnienia zdatności systemu na odpowiednim poziomie.

22 - struktury proste i złożone - struktury k z n jako ogólny schemat - rodzaje rezerwy Rodzaje rezerw: 1 obciażona (inaczej goraca) gdy elementy rezerwowe pracuja równocześnie z podstawowymi, 2 nieobciażona (inaczej zimna) gdy elementy rezerwowe nie pracuja, 3 częściowo obciażona (inaczej ciepła lub ulgowa) gdy elementy rezerwowe pracuja w niepełnym obciażeniu.

23 - struktury proste i złożone - struktury k z n jako ogólny schemat - rodzaje rezerwy W przypadku niektórych obiektów pozostawanie w stanie oczekiwania na pracę nie zmniejsza awaryjności obiektu. Możliwe sa sytuacje, że oczekiwanie na pracę zwiększa ryzyko awarii w momencie uruchomienia (np. silnik po długotrwałym postoju.) Dlatego poprzedni intuicyjny opis rodzajów rezerw uzupełnimy opisem jakościowym. Niech λ p oraz λ r oznaczaja intensywności uszkodzeń elementów podstawowych i rezerwowych odpowiednio. Wówczas rezerwa jest: 1 obciażona gdy λ r = λ p, 2 nieobciażona gdy λ r = 0, 3 częściowo obciażona gdy 0 < λ r < λ p.

26 - założenia modelowania struktury - szeregowej - równoległej - k z n W założonych schematach będziemy obliczać funkcję niezawodności systemu. Jak wiadomo z poprzednich rozważań, z funkcji niezawodności jesteśmy w stanie wyprowadzić wszystkie pozostałe funkcyjne miary niezawodności.

27 - założenia modelowania struktury - szeregowej - równoległej - k z n W założonych schematach będziemy obliczać funkcję niezawodności systemu. Jak wiadomo z poprzednich rozważań, z funkcji niezawodności jesteśmy w stanie wyprowadzić wszystkie pozostałe funkcyjne miary niezawodności. Założenia: 1 system składa się z n elementów,

28 - założenia modelowania struktury - szeregowej - równoległej - k z n W założonych schematach będziemy obliczać funkcję niezawodności systemu. Jak wiadomo z poprzednich rozważań, z funkcji niezawodności jesteśmy w stanie wyprowadzić wszystkie pozostałe funkcyjne miary niezawodności. Założenia: 1 system składa się z n elementów, 2 z każdym elementem kojarzymy zmienna losowa niezawodności oznaczona kolejno T 1,..., T n,

29 - założenia modelowania struktury - szeregowej - równoległej - k z n W założonych schematach będziemy obliczać funkcję niezawodności systemu. Jak wiadomo z poprzednich rozważań, z funkcji niezawodności jesteśmy w stanie wyprowadzić wszystkie pozostałe funkcyjne miary niezawodności. Założenia: 1 system składa się z n elementów, 2 z każdym elementem kojarzymy zmienna losowa niezawodności oznaczona kolejno T 1,..., T n, 3 zakładamy, że znamy funkcje niezawodności poszczególnych elementów R 1 (t),..., R n (t).

30 - założenia modelowania struktury - szeregowej - równoległej - k z n W założonych schematach będziemy obliczać funkcję niezawodności systemu. Jak wiadomo z poprzednich rozważań, z funkcji niezawodności jesteśmy w stanie wyprowadzić wszystkie pozostałe funkcyjne miary niezawodności. Naszym celem jest określenie: 1 zmiennej losowej systemu T zależnej od T 1,..., T n oraz 2 funkcji niezawodności układu R(t) zależnej od funkcji niezawodności poszczególnych elementów R 1 (t),..., R n (t).

31 - założenia modelowania struktury - szeregowej - równoległej - k z n Struktury z rezerwa można tworzyć dublujac ten sam element w systemie, np. dokładajac dodatkowy filtr, dodatkowa pompę itd. Wówczas wszystkie funkcje niezawodności sa sobie równe: Definicja Jeśli wszystkie funkcje niezawodności sa sobie równe (R 1 (t) = = R n (t) ) to układ nazywamy jednorodnym.

32 - założenia modelowania struktury - szeregowej - równoległej - k z n Za strukturę z rezerwa można również potraktować systemy z dodatkowym zabezpieczeniem, np. zbiornik rezerwowy zamiast dodatkowej pompy, zawór redukujacy ciśnienie zamiast dodatkowego czujnika ciśnienia itp. Wówczas funkcje niezawodności nie sa równe. Definicja Jeśli nie wszystkie funkcje niezawodności sa sobie równe, tzn. istnieja 1 i < j n takie, że R i (t) R j (t) ) to układ nazywamy niejednorodnym.

33 - założenia modelowania struktury - szeregowej - równoległej - k z n Za strukturę z rezerwa można również potraktować systemy z dodatkowym zabezpieczeniem, np. zbiornik rezerwowy zamiast dodatkowej pompy, zawór redukujacy ciśnienie zamiast dodatkowego czujnika ciśnienia itp. Wówczas funkcje niezawodności nie sa równe. Definicja Jeśli nie wszystkie funkcje niezawodności sa sobie równe, tzn. istnieja 1 i < j n takie, że R i (t) R j (t) ) to układ nazywamy niejednorodnym.

34 - założenia modelowania struktury - szeregowej - równoległej - k z n R 1 (t) R 2 (t) R 3 (t) T 1 T 2 T 3 R(t)=R 1 (t). R 2 (t). R 3 (t) Podstawowe wskaźniki niezawodności:

35 - założenia modelowania struktury - szeregowej - równoległej - k z n R 1 (t) R 2 (t) R 3 (t) T 1 T 2 T 3 R(t)=R 1 (t). R 2 (t). R 3 (t) Podstawowe wskaźniki niezawodności: czas pracy układu do uszkodzenia T = min{t 1,..., T n }

36 - założenia modelowania struktury - szeregowej - równoległej - k z n R 1 (t) R 2 (t) R 3 (t) T 1 T 2 T 3 R(t)=R 1 (t). R 2 (t). R 3 (t) Podstawowe wskaźniki niezawodności: funkcja niezawodności układu jednorodnego R(t) = R n 0 (t) gdzie R 0 (t) - wspólna funkcja niezawodności każdego z elementów,

37 - założenia modelowania struktury - szeregowej - równoległej - k z n R 1 (t) R 2 (t) R 3 (t) T 1 T 2 T 3 R(t)=R 1 (t). R 2 (t). R 3 (t) Podstawowe wskaźniki niezawodności: funkcja niezawodności układu niejednorodnego R(t) = R 1 (t) R n (t).

38 - założenia modelowania struktury - szeregowej - równoległej - k z n Przykład: Przydomowa oczyszczalnia ścieków - wieloetapowe oczyszczanie ścieków. 1 I etap - wstępne mechaniczno-biologiczne oczyszczanie w osadniku gnilnym z wykorzystaniem bakterii beztlenowych i grawitacyjnego oddzielania czastek - możliwa awaria - niedrożność systemu. 2 II etap - klarowane ścieków na filtrze - możliwa awaria - zabrudzenie (niedrożność) filtra, 3 III etap - biologiczne oczyszczanie ścieków na złożach filtracyjnych - możliwa awaria - wymieranie kolonii odpowiednich bakterii.

39 - założenia modelowania struktury - szeregowej - równoległej - k z n Po pierwsze: W sensie logicznym zdatność i niezdatność układu to dwa stany o umownie określonych wartościach. Jeżeli odwrócimy ich role to funkcje zdatności i niezdatności zamienia sie rolami. Po drugie: Jeżeli układ jest zdatny gdy działa co najmniej jeden element, to jest niezdatny gdy nie działaja wszystkie. Po odwróceniu znaczenia zdatność/niezdatność układ równoległy staje się szeregowym. Funkcja zdatności odwróconego układu, to funkcja niezdatności wyjściowego. W konsekwencji: możemy zastosować do funkcji niezdatności układu równoległego wzór funkcji zdatności układu szeregowego otrzymujac:

42 - założenia modelowania struktury - szeregowej - równoległej - k z n R 1 (t) T 1 R 2 (t) T 2 R 3 (t) T 3 Q i (t)=1-r i (t) Q(t)=1-R(t) Q(t)=Q 1 (t). Q 2 (t). Q 3 (t) Podstawowe wskaźniki niezawodności: czas pracy układu do uszkodzenia T = max{t 1,..., T n },

43 - założenia modelowania struktury - szeregowej - równoległej - k z n funkcja niezawodności układu jednorodnego (wspólna funkcja niezawodności R 0 (t)) R(t) = 1 (1 R 0 (t)) n = n ( ( 1) i+1 n i i=1 dla układu niejednorodnego R(t) = 1 (1 R 1 (t)) (1 R n (t)). ) R 0 (t) i,

44 - założenia modelowania struktury - szeregowej - równoległej - k z n W przypadku jednorodnym (wspólna funkcja niezawodności R 0 (t)): n ( ) n R(t) = R i i 0 (t)(1 R 0(t)) n i. i=k W przypadku niejednorodnym: R(t) = n i=k ( 1) i k ( i 1 i k ) R p(i), gdzie R p(i) oznacza sumę wszystkich możliwych iloczynów i funkcji niezawodności spośród n.

47 - założenia modelowania struktury - szeregowej - równoległej - k z n Rozważmy model 2 z 3, tzn. układ 3 elementów który pozostaje sprawny przy działajacych co najmniej 2 elementach. Sumę liczymy dla 3 i=2 czyli liczymy dla i = 2 oraz i = 3. R p(2) = R 1 R 2 + R 2 R 3 + R 3 R 1 R p(3) = R 1 R 2 R 3 co daje niezawodność układu: R(t) = ( 1) (R 1 (t) R 2 (t) + R 2 (t) R 3 (t) + R 3 (t) R 1 (t) ) + + ( 1) 2 3 R 1 (t) R 2 (t) R 3 (t).

51 - struktury mieszane - struktura złożona Struktura szeregowo-równoległa: T 11 T 12 T 13 T 21 T 22 T 31 T 32 T 33 Wówczas T 41 T 42 T 43 R(t) = 1 (1 R 11 (t)r 12 (t)r 13 (t))(1 R 21 (t)r 22 (t))(1 R 31 (t)r 32 (t)r 3

52 - struktury mieszane - struktura złożona Struktura równoległo-szeregowa T 11 T 31 T 21 T 32 T 12 T 13 T 22 T 33 Wówczas R(t) = (1 (1 R 11 (t))(1 R 12 (t))(1 R 13 (t)))(1 (1 R 21 (t))(1 R 22 (t)

53 - struktury mieszane - struktura złożona Struktura mostkowa: T 1 T 3 T 5 T 2 T 4

54 - struktury mieszane - struktura złożona Struktura mostkowa: T 1 T 3 T 5 T 2 T 4 System składa się z elementów wejściowych T 1, T 2, elementów wyjściowych T 3, T 4 i elementu mostkujacego T 5.

55 - struktury mieszane - struktura złożona Struktura mostkowa: T 1 T 3 T 5 T 2 T 4 Jeżeli element mostkujacy jest sprawny, to wystarczy, że sprawny jest jeden element wejściowy i jeden element wyjściowy.

56 - struktury mieszane - struktura złożona Struktura mostkowa: T 1 T 3 T 5 T 2 T 4 Jeżeli element mostkujacy jest niesprawny, to konieczna jest sprawność sasiednich elementów wejściowego i wyjściowego.

57 - struktury mieszane - struktura złożona Struktura mostkowa: T 1 T 3 T 5 T 2 T 4 Układ jest sprawny przy sprawności: T 1, T 3 lub T 1, T 5, T 4 lub T 2, T 4 lub T 2, T 5, T 3.

58 - struktury mieszane - struktura złożona Jak policzyć niezawodność struktury mostkowej? Zauważmy, że mamy dwa przypadki: mostek sprawny lub mostek niesprawny. Jeżeli T oznacza zmienna losowa niezawodności układu to stosujac wzór na prawdopodobieństwo całkowite otrzymamy: P(T ) = P(T T 5 )P(T 5 ) + P(T T 5 )P( T 5 ).

61 - struktury mieszane - struktura złożona Zauważmy, że dla mostka sprawnego układ staje się równoległo-szeregowy: T 1 T 3 T 2 T 4 sprawny mostek Wówczas: R(t) = (1 (1 R 1 (t))(1 R 2 (t)))(1 (1 R 3 (t))(1 R 4 (t)))

62 - struktury mieszane - struktura złożona Z kolei dla niesprawnego mostka układ staje się szeregowo-równoległy: T 1 T 3 T 2 T 4 Wówczas: niesprawny mostek R(t) = 1 (1 R 1 (t)r 3 (t))(1 R 2 (t)r 4 (t)).

63 - struktury mieszane - struktura złożona Z kolei dla niesprawnego mostka układ staje się szeregowo-równoległy: T 1 T 3 T 2 T 4 Wówczas: niesprawny mostek R(t) = 1 (1 R 1 (t)r 3 (t))(1 R 2 (t)r 4 (t)).

64 - struktury mieszane - struktura złożona Czy możemy zatem napisać, że R(t) = (1 (1 R 1 (t))(1 R 2 (t)))(1 (1 R 3 (t))(1 R 4 (t)))r 5 (t) +1 (1 R 1 (t)r 3 (t))(1 R 2 (t)r 4 (t))q 5 (t)? Przypomnijmy, że R(t) oznacza prawdopodobieństwo wystapienia awarii po czasie nie krótszym niż t. Jest więc możliwa sytuacja, gdy mostek ulega awarii ale wówczas akurat działaja elementy w jednym szeregu np. T 1, T 3, później mostek odzyskuje sprawność a układ jest sprawny poprzez T 1, T 4. Zatem w takim systemie jest istotna koegzystencja awarii/zdatności odpowiednich elementów. Możemy powyższy wzór używać dla określenie sprawności chwilowej (małe t). W ogólnej sytuacji układ jest znacznie bardziej skomplikowany.

67 - struktury mieszane - struktura złożona Rozważmy system złożony z n elementów o stałych intensywnościach uszkodzeń λ 1,..., λ n. Jeżeli jest to układ szeregowy, to system jako całość ma również stała intensywność uszkodzeń λ = λ i. Wynika to z fakty, że dla stałej intensywności uszkodzeń rozkład jest wykładniczy. W szczególności szeregowy system jednorodny o stałych intensywnościach uszkodzeń λ 0 ma stała intensywność uszkodzeń równa nλ 0.

71 - struktury mieszane - struktura złożona Jeżeli układ jest równoległy, to system n elementów o stałych intensywnościach uszkodzeń nie ma stałej intensywności uszkodzeń. Rozważmy dla przykładu jednorodny system złożony z dwóch elementów o intensywnościach uszkodzeń λ 1 = λ 2 = 0, 001[1/h]. Wówczas R(t) = 1 [1 R 0 (t)] 2 = 1 [1 e 0,001t ] 2 = 2e 0,001t e 0,002t