Projekt dyplomowy in»ynierski

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Projekt dyplomowy in»ynierski"

Transkrypt

1 Katedra/Zakªad: Analizy Matematycznej i Numerycznej Kierunek studiów: Matematyka Specjalno± : Matematyka nansowa Rodzaj studiów: stacjonarne Imi i nazwisko: Alicja Czerwi«ska Numer albumu: Projekt dyplomowy in»ynierski Temat pracy: Opcje ameryka«skie Zakres pracy: W pracy przedstawiono ogólne poj cia dotycz ce opcji ameryka«skich, opisano i wyprowadzono niektóre zale»no±ci pomi dzy cen akcji, a cen opcji oraz wyliczono ceny opcji ze wzoru Blacka-Scholesa i za pomoc mocnego prawa wielkich liczb. Zostaª równie» wygenerowany proces Wienera oraz geometryczny ruch Browna w R. Potwierdzenie przyj cia pracy: Opiekun pracy, Kierownik Katedry/Zakªadu... dr hab. Karol Dziedziul Gda«sk, r.

2 Spis tre±ci 1 Wst p 3 2 Wprowadzenie do opcji 4 3 Podstawowe poj cia analizy stochastycznej Filtracja, proces stochastyczny, martyngaª Moment stopu Formuªa Itô Model Blacka - Scholesa Proces Wienera Geometryczny ruch Browna Zamiana miary Ameryka«ska opcja sprzeda»y o nieograniczonym czasie trwania Ogólne Cena opcji Optymalny moment stopu Analityczny opis ceny opcji sprzeda»y Probabilistyczny opis ceny opcji sprzeda»y Ameryka«ska opcja sprzeda»y o sko«czonym czasie trwania Analityczna charakteryzacja ceny opcji sprzeda»y Ameryka«ska opcja kupna Wzór Blacka - Scholesa Probabilistyczny opis ceny opcji kupna Podsumowanie 41 9 Kody w R Dwuwymiarowy proces Wienera

3 9.2 Proces Wienera w zale»no±ci od czasu Zastopowany proces Wienera Geometryczny ruch Browna Histogram i test Shapiro - Wilka Histogram dla zlogarytmowanych warto±ci Wzór Blacka-Scholesa Porównanie cen opcji

4 Rozdziaª 1 Wst p Wedªug sªownika wyrazów obcych Kopali«skiego, opcj nazywamy prawo do powzi cia decyzji lub dokonania wyboru w okre±lonym terminie. W ekonomii opcja jest jednym z wa»niejszych instrumentów nansowych i gwarantuje ona prawo do kupna lub sprzeda»y okre±lonego instrumentu bazowego (akcji, waluty, obligacji). Za prawo to trzeba oczywi±cie zapªaci i wªa±nie cena za opcj jest jednym z aspektów rozpatrywanych w tej pracy. Praca ta skupia si na szczególnym typie opcji, na ameryka«skiej opcji na akcje. Przymiotnik ameryka«ski oznacza w tym przypadku,»e dana opcja (kupna lub sprzeda»y) mo»e by wykonana w ka»dym momencie a» do jej wyga±ni cia, co nie jest mo»liwe w przypadku opcji typu europejskiego. W Stanach Zjednoczonych opcje na akcje byªy dost pne ju» przed otwarciem gieªdy kontraktów opcyjnych (Chicago Board Options Exchange). Premia, czyli cena za opcj, byªa wpierw negocjowana indywidualnie. Nie gwarantowaªo to jednak pªynno±ci rynku. Dzisiaj ceny opcji ksztaªtuj si na zasadzie prawa popytu i poda»y. Na polskim rynku nie ma mo»liwo±ci kupna opcji typu ameryka«skiego. Celem pracy jest pokazanie oraz wyprowadzenie niektórych zale»no±ci, które zachodz pomi dzy cen akcji, a cen opcji w modelu Blacka-Scholesa. Jest to model opisuj cy zachowanie si cen instrumentów nansowych w czasie. Proces cenowy jest procesem stochastycznym, którego nazwa to geometryczny ruch Browna. Wygenerowanie tego procesu oraz samego ruchu Browna, czyli procesu Wienera jest wa»nym zadaniem w tej pracy in»ynierskiej. Zostaª u»yty do tego j zyk programowania R. Jest to darmowe ±rodowisko, w którym mo»liwe s obliczenia statystyczne, przeprowadzanie testów statystycznych oraz wizualizacja wyników. Poszczególne kody zostaªy zamieszczone na ko«cu pracy. 3

5 Rozdziaª 2 Wprowadzenie do opcji Denicja Opcj nazywamy instrument nansowy, daj cy kupcy prawo, ale nie obowi zek do zakupu lub sprzeda»y okre±lonego instrumentu bazowego (underlying asset), w tym przypadku akcji, po ustalonej cenie wykonania opcji K (strike price) i w ustalonym terminie wyga±ni cia opcji T (expiry date). Opcj kupna nazywamy opcj Call, natomiast opcj sprzeda»y nazywamy opcj Put. Opcje mo»na podzieli na europejskie i ameryka«skie. Podziaª ten nie jest jednak zwi zany z poªo»eniem geogracznym. Gdy wykonanie opcji jest mo»liwe tylko w momencie wyga±ni cia T, to opcj t nazywamy opcj europejsk. Gdy wykonanie jest mo»liwe w dowolnym momencie do czasu wyga±ni cia, to mamy do czynienia z opcj ameryka«sk. Mówi si,»e osoba kupuj ca opcj zajmuje pozycj dªug (long position), natomiast sprzedaj cy opcj znajduje si w pozycji krótkiej (short position). W zwi zku z tym wyró»niamy cztery ró»ne pozycje: short put - sprzedaj cy opcj sprzeda»y long put - kupuj cy opcj sprzeda»y short call - sprzedaj cy opcj kupna long call - kupuj cy opcj kupna. Wypªata, czyli pay-o opcji wynosi odpowiednio: (S T K) + = max{s T K, 0} = max{s T, K} K dla opcji kupna (call option), (K S T ) + = max{k S T, 0} = max{k, S T } S T dla opcji sprzeda»y (put option). 4

6 S T oznacza tutaj cen akcji w czasie T. wypłata K S wypªata posiadacza opcji kupna wypłata K S wypªata posiadacza opcji sprzeda»y Rysunek 2.1: Pay-o opcji call i put Niech t T. Mówimy,»e opcja kupna jest: nie w cenie (out of the money), gdy S(t) < K, po cenie (at the money), gdy S(t) = K, w cenie (in the money), gdy S(t) > K. W takim razie dla opcji sprzeda»y mówimy,»e jest ona: nie w cenie, gdy S(t) > K, po cenie, gdy S(t) = K, 5

7 w cenie, gdy S(t) < K. Z de nicji opcji wynika,»e jest ona prawem, za które si pªaci. Oznacza to,»e osoba nabywaj ca dan opcj pªaci za ni jej wystawcy. Zapªata ta nazywana jest premi. Dochód posiadacza opcji musi wi c by ni»szy ni» wypªata, natomiast dochód sprzedaj cego opcj musi by wy»szy od wypªaty. Wypªata pªacona jest w dniu wykonania opcji, natomiast za sam opcj pªaci si w momencie jej zawarcia. Mo»na jednak powiedzie,»e ró»nica mi dzy wypªat, a dochodem jest cen opcji. Oznaczaj c przez C cen za opcj mo»na zilustrowa dochody dªugiej i krótkiej pozycji obu opcji. dochód dochód C K+C K K+C S K S C Dochód posiadacza opcji kupna Dochód wystawcy opcji kupna dochód dochód C K K-C K-C S K -C Dochód posiadacza opcji sprzeda»y Dochód wystawcy opcji sprzeda»y Rysunek 2.2: Dochody poszczególnych opcji 6 S

8 Rozdziaª 3 Podstawowe poj cia analizy stochastycznej 3.1 Filtracja, proces stochastyczny, martyngaª Niech trójka (Ω, F, P) oznacza przestrze«probabilistyczn, przy czym: Ω - zbiór zdarze«elementarnych F - σ-ciaªo zdarze«, czyli σ - ciaªo podzbiorów Ω P - miara probabilistyczna. Niech X : Ω R b dzie zmienn losow, wtedy jej rozkªad oznaczamy przez: P(X B). Denicja Filtracj nazywamy niemalej c rodzin σ - ciaª F = (F t ) t T, tzn. F s F t F dla s < t, s, t T. Ponadto dla czasu ci gªego wszystkie ltracje speªniaj tak zwane warunki zwykªe: F 0 = {, Ω}. Dodatkowo F 0, jak równie» F t zawieraj zdarzenia o prawdopodobie«- stwie równym 0, F jest prawostronnie ci gªa: t F t = F t+, gdzie F t+ = t<s F s, 7

9 F jest zupeªna: ka»de σ - ciaªo F t jest zupeªne. Denicja Rodzin zmiennych losowych {X t (ω), t T, ω Ω}, zale»nych od parametru t i okre±lonych na przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P) nazywamy procesem stochastycznym (X t ) t T. Proces jest adaptowany do ltracji F = (F t ) t T t T zmienna losowa X t jest F t - mierzalna. lub F - adaptowalny dla ka»dego Denicja Proces stochastyczny {X t (ω), t T, ω Ω} nazywa si procesem nieantycypuj cym je»eli jest on adaptowany do ltracji (F t ) t T oraz jest mierzalny. Denicja Je±li zaszªo ustalone zdarzenie elementarne ω, to funkcja t X t (ω) nazywa si trajektori procesu i opisuje zale»no± obserwacji od czasu. Gdy rozwa»amy czas ci gªy, to proces ma ci gªe trajektorie. Denicja Warunkow warto±ci oczekiwan caªkowalnej zmiennej losowej X pod warunkiem ltracji F nazywamy zmienn losow E(X F), speªniaj c warunki: 1. E(X F) jest F - mierzalna 2. Dla ka»dego A F A XdP = A E(X F)dP. Denicja Ci g (X n ) n N caªkowalnych zmiennych losowych o warto±ciach rzeczywistych, adaptowany do F t nazywa si : martyngaªem wzgl dem F, gdy dla s, t T, s t: E(X t F s ) = X s prawie na pewno, nadmartyngaªem wzgl dem F, gdy dla s, t T, s t: E(X t F s ) X s, podmartyngaªem wzgl dem F, je±li ( X t, F t ) t T jest nadmartyngaªem. 8

10 3.2 Moment stopu Wiedz c czym jest ltracja, mo»liwy jest do zdeniowania moment stopu: Denicja Momentem stopu (czasem stopu, czasem zatrzymania) τ nazywamy uogólnion zmienn losow, która przyjmuje warto±ci w przedziale [0, ] i dla której zachodzi {τ t} F(t) t 0. Denicja Niech X b dzie procesem adaptowanym do ltracji F t oraz X ma ci gªe trajektorie. Deniujemy zmienn losow τ m = inf{t 0; X(t) = m}, okre±laj c moment, w którym proces X osi ga pierwszy raz poziom m. Dodatkowo inf{ } =. Twierdzenie Zaªó»my,»e X jest procesem adaptowanym do ltracji F t. Wtedy uogólniona zmienna losowa τ m : Ω [0, ], taka»e τ m = inf{t 0; X(t) = m} dla m R jest momentem stopu. Twierdzenie Zatrzymuj c ci g X = (X t ) w czasie stopu τ otrzymujemy: X τ := (X τ t ) = (X t τ ). Zastopowany ci g posiada nast puj ce wªasno±ci: je»eli (X t ) jest adaptowany do ltracji, a τ jest momentem stopu, to tak»e zastopowany ci g (X t τ ) jest adaptowany do ltracji je»eli (X t ) jest (nad-)martyngaªem i τ momentem stopu, to zastopowany ci g (X t τ ) te» jest (nad-)martngaªem. Ostatnia wªasno± nazywa si twierdzeniem opcjonalnego zatrzymania (Optional Stopping Theorem). Poni»sza ilustracja przedstawia przykªad zastopowanego procesu. Proces ten jest przedstawionym w nast pnym rozdziale procesem Wienera. Zakªadamy,»e stopujemy, gdy proces osi gnie poziom 1. Jak wida dla przedziaªu czasowego [0,1] i trzech niezale»nych 9

11 Rysunek 3.1: Zastopowany proces Wienera, kod: 9.3 trajektorii procesu, osi gn ª on raz poziom 1. Aby obliczy prawdopodobie«stwo dotarcia procesu Wienera do ustalonego poziomu m, nale»y zastosowa prawo odbicia dla tego procesu. Brzmi ono nast puj co: Twierdzenie Niech M t := sup s<t W s. Dla m 0, x m zachodzi: P(W t x, M t m) = P(W t 2m x) Niech τ m b dzie takim czasem stopu,»e τ m = inf{t 0; W t = m} = inf{t 0; W t m}. Jest to moment, w którym proces osi ga po raz pierwszy poziom m, czyli W τm = m. Oznacza to,»e W s, gdzie s < t osi ga poziom m, je»eli τ m t, a wi c szukane prawdopodobie«stwo P(M t m) jest równe P(τ m t). Przeksztaªcaj c prawo odbicia, mo»na zapisa,»e P(W t m x, M t m) = P(W t m + x). Dla x = 0 równanie to przyjmuje posta P(W t m, M t m) = P(W t m). Poniewa» M t zdeniowane jest jako supremum po wszystkich W s dla s < t, to P(W t > m, M t m) = P(W t > m) = P(W t m). Sumuj c oba prawdopodobie«stwa otrzymujemy,»e dla ustalonego m P(M t m) = P(W t m, M t m) + P(W t > m, M t m) = 2P(W t m) = P(τ m t). 10

12 Przeksztaªcaj c powy»sze równanie otrzymujemy dystrybuant zmiennej losowej τ m dla t > 0 F τm (t) = P(τ m t) = 2P(W t m) (3.1) = 2(1 P(W t m)) = 2 2P(W t m) = 2 2 m 1 e x2 2t dx. 2πt Ponadto wiadomo,»e je»eli zmienna losowa X ma rozkªad normalny z warto±ci oczekiwan równ µ oraz wariancj równ σ 2, to zmienna losowa Y = X µ σ rozkªad normalny N (0, 1). Wynika z tego,»e Podstawiaj c do 3.1 otrzymujemy P(W t m) = P( W t 0 t m 0 t ) = Φ( m t ). F τm (t) = 2 2Φ( m t ) ma standardowy Wynika z tego, ze prawdopodobie«stwo dotarcia do bariery m wynosi P(M t m) = P(τ m t) = 2 2Φ( m t ) t 2 2Φ(0) = = 1. Wiadomo wi c,»e proces pr dzej, czy pó¹niej dotrze do bariery m, nie wiadomo jednak kiedy. Nale»y wi c policzy warto± oczekiwan zmiennej losowej τ m. Potrzebna jest w tym celu funkcja g sto±ci rozkªadu zmiennej losowej τ m, która jest pochodn dystrybuanty po t i wynosi f τm (t) = m f( m ), t 3 2 t gdzie f jest funkcj g sto±ci standardowego rozkªadu normalnego. Dla t > 0 prawdziwe jest,»e f( m t ) t f(0) = 1 2π. Mo»liwe jest teraz policzenie warto±ci oczekiwanej zmiennej losowej τ m. E(τ m ) = t m f( m )dt t 3 2 t = 0 m 1 dt 2π t 0 m 2π 2 t 0. Interpretacja jest taka,»e czas dotarcia do bariery jest bardzo dªugi. 11

13 3.3 Formuªa Itô Kiyoshi Itô ( ) - japo«ski matematyk, którego praca zostaªa nazwana jego nazwiskiem: rachunek Itô, caªka Itô, formuªa Itô. Zajmowaª si opisywaniem i zrozumieniem zdarze«losowych. Jego teoria jest stosowana w wielu dziedzinach matematyki, w du»ej cz ±ci w matematyce nansowej. Niech W = (W t ) t 0 jest procesem Wienera z denicji Denicja Mówimy,»e X jest procesem Itô, je±li X ma ci gªe trajektorie i istniej procesy nieantycypuj ce a, b takie,»e prawie na pewno dla ka»dego t T zachodzi równo± t t X t = X 0 + a s ds + b s dw s (3.2) 0 0 oraz dla procesów a, b obie caªki istniej, czyli T P( T a s ds < ) = 1, P( b 2 sds < ) = Równo± (3.3.1) zapisujemy w skrócie dx t = a t dt + b t dw t (3.3) i mówimy,»e X ma ró»niczk stochastyczn (3.3). Lemat Niech X t jest procesem Itô takim,»e t t X t = a s ds + b s dw s. (3.4) 0 0 Wtedy dla dowolnej funkcji F takiej,»e F C 1,2 (R + R) zachodzi formuªa Itô F (t, X t ) = F (0, X 0 ) + + t prawie na pewno dla wszystkich t. 0 t 0 F x (s, X s)a s ds F t s (s, X s)ds + t 0 0 F x (s, X s)b s dw s (3.5) 2 F x 2 (s, X s)b 2 sds 12

14 Powy»szy lemat nazywa si lematem Itô. ró»niczkowej Wzór Itô mo»na przedstawi w postaci df (t, X t ) = F t (t, X t)dt + F x (t, X t)b t dw t + F x (t, X t)a t dt F 2 x (t, X t)b 2 2 t dt. (3.6) W przypadku, gdy funkcja F nie zale»y od czasu, wzór (3.6) przyjmuje jeszcze prostsz posta df (X t ) = F x (X t)b t dw t + F = F x (X t)dx t F x 2 (X t)b 2 t dt (3.7) x (X t)a t dt F x (X t)b 2 2 t dt. (3.8) 13

15 Rozdziaª 4 Model Blacka - Scholesa 4.1 Proces Wienera Denicja Proces stochastyczny W = (W t ) t 0 okre±lony na przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P ) nazywa si standardowym, jednowymiarowym ruchem Browna lub procesem Wienera, gdy: W 0 = 0 P -(p.n.), W posiada niezale»ne wzgl dem ltracji przyrosty, tzn: s<t u 0 W t+u W t jest niezale»ne od W s, W posiada przyrosty o rozkªadzie normalnym, tzn: t,u 0 W t+u W t N (0, u). Uwaga: W t W s N (0, t s) oraz W t = W t W 0 N (0, t). Poni»sze rysunki przedstawiaj dwuwymiarowy proces Wienera (W 1t, W 2t ) oraz trzy niezale»ne trajektorie procesu Wienera. 14

16 Rysunek 4.1: Dwuwymiarowy proces Wienera, kod: 9.1 Rysunek 4.2: Realizacja procesu Wienera, kod: Geometryczny ruch Browna Denicja Równanie: S(t) = S 0 exp(σw t + (µ 1 2 σ2 )t) (4.1) nazywa si geometrycznym ruchem Browna, przy czym: S(t) - cena akcji w czasie t S 0 - pocz tkowa cena akcji 15

17 µ - dryf σ - zmienno± ceny akcji W (t) - proces Wienera. Dodatkowo S(t) S 0 ma rozkªad lognormalny, co znaczy,»e ln( S(t) S 0 ) N ((µ 1 2 σ2 )t, σ 2 t). Równanie (4.1) jest rozwi zaniem stochastycznego równania ró»niczkowego ds(t) = µs(t)dt + σs(t)dw (t). (4.2) Mo»na udowodni numerycznie,»e rozwi zaniem powy»szego równania ró»niczkowego jest zmienna losowa (4.1). Aby to pokaza, generujemy proces S(t). Warto±ci S(0), µ, σ s znane. Równanie mo»na zapisa w inny sposób: S(t i ) = µs(t i )dt + σs(t i )dw (t i ). Wiadomo,»e S(t i ) S(t i 1 ) = S(t i 1 ). Kolejne warto±ci S(t i ) otrzymujemy wi c dodaj c S(t i 1 ) do S(t i 1 ). Czynno± t wykonujmy T/dt razy. Dla S(0) = 1, σ = 0.8, µ = 0.2 niezale»ne trajektorie wygl daj nast puj co: Rysunek 4.3: Geometryczny ruch Browna, kod:

18 Czynno± t powtarzamy 500 razy i dla t = 1 tworzymy histogram. Nast pnie dla otrzymanych 500 warto±ci S(t) znajdujemy warto± oczekiwan i standardowe odchylenie rozkªadu logarytmicznie normalnego za pomoc funkcji tdistr() i nast pnie, dla otrzymanych warto±ci mo»na nanie± na histogram wykres g sto±ci rozkªadu logarytmicznie normalnego. Jak wida na poni»szym obrazku, wykresy pokrywaj si, co sugeruje,»e rozwi zaniem równania ró»niczkowego jest rzeczywi±cie zmienna losowa o rozkªadzie logarytmicznie normalnym. Rysunek 4.4: Histogram, kod: 9.5 Aby to potwierdzi, przeprowadzamy test normalno±ci Shapiro - Wilka. Test ten bada jednak, czy zmienne losowe maj rozkªad normalny. Nale»y wi c zlogarytmowa warto±ci S i na nich przeprowadzi test. Poni»y rysunek przedstawia histogram zlogarytmowanych warto±ci oraz funkcj g sto±ci rozkªadu normalnego dla tych zmiennych losowych. 17

19 Rysunek 4.5: Histogram, kod: 9.6 Wykonuj c test badamy hipotezy zerow oraz alternatywn : H 0 : dane s z rozkªadu normalnego (p > α) H 1 : dane nie s z rozkªadu normalnego (p α) Wykonuj c ten test w R otrzymujemy : W = , p-value = Dla α = 0.05 < , a wi c nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H 0. Równanie (4.2) mo»na równie» wyprowadzi przy u»yciu formuªy Itô dla funkcji niezale»nych od czasu. Podstawiamy: X t = σw t + (µ 1 2 σ2 )t F (x) = S 0 e x Korzystaj c z (3.3) mo»na zapisa dx t = (µ 1 2 σ2 )dt + σdw t. 18

20 Dalej, zgodnie z (3.8) df (X t ) = ds t = S 0 e Xt dx t S 0e Xt σ 2 dt = S t (µ 1 2 σ2 )dt + S t σdw t σ2 S t dt = S t µdt + S t σdw t, co nale»aªo pokaza. 4.3 Zamiana miary Twierdzenie (Girsanowa). Niech W b dzie procesem Wienera wzgl dem P oraz W t = W t + γt dla t [0, T ] procesem Wienera z dryfem γ. Wtedy W jest procesem Wienera bez dryfu wzgl dem P, gdzie A FT P(A) := E(IA M T ) = M T dp. A Ponadto proces M t = exp(γw t 1 2 γ2 t) jest martyngaªem wzgl dem P. Poni»sze obliczenia sªu» do wyznaczenia warto±ci γ. Zdyskontowany proces cenowy ma posta : S t = e rt S 0 e σwt+(µ 1 2 σ2 )t = S 0 e σwt+(µ r 1 2 σ2 )t, gdzie r jest stop procentow woln od ryzyka. Przy pomocy równania Itô mo»na zapisa : d S t = S 0 σe σwt+(µ r)t dw t + (µ r 1 2 σ2 )S 0 e σwt+(µ r)t dt (4.3) σ2 S 0 e σwt+(µ r)t dt = σ S t dw t + (µ r) S t dt. Dla µ r proces ( S t ) nie jest martyngaªem wzgl dem P. Nale»y znale¹ równowa»n miar P tak,»e ( S t ) b dzie martyngaªem wzgl dem nowej miary. Miara taka nazywana jest miar martyngaªow. Dalej wiadomo,»e W t jest procesem Wienera bez dryfu wzgl dem miary P, a W t = γt+w t jest procesem Wienera z dryfem wzgl dem tej samej miary. Niech W t = γt+w t 19

21 b dzie procesem Wienera bez dryfu wzgl dem P. Wiadomo te»,»e ka»dy martyngaª jest procesem o drye równym 0. Podstawiaj c dw t = d W t γdt do równania (4.3) otrzymujemy d S t = σ S t (d W t γdt) + (µ r) S t dt = σ S t d W t σγ S t dt + (µ r) S t dt = σ S t d W t + (µ r σγ) S t dt. Dryf musi by równy 0, aby proces ( S t ) byª martyngaªem wzgl dem miary P, dlatego nale»y rozwi za równanie µ r σγ = 0 γ = µ r σ. Podstawiaj c do stochastycznego równania ró»niczkowego (4.2) otrzymujemy: ds(t) = µs(t)dt + σs(t)(d W (t) µ r dt) (4.4) σ = µs(t)dt + σs(t)d W (t) µs(t)dt + rs(t)dt = rs(t)dt + σs(t)d W (t). 20

22 Rozdziaª 5 Ameryka«ska opcja sprzeda»y o nieograniczonym czasie trwania (ang. Perpetual American Put) Wiedz c jak wygl da miara martyngaªowa P, Ẽ(X) b dzie oznacza warto± oczekiwan zmiennej losowej X wzgl dem miary P. 5.1 Ogólne Jak sama nazwa wskazuje, jest to opcja, która nie posiada momentu wyga±ni cia. Z powodu braku przeszkód zwi zanych z wyga±ni ciem opcji, formuªa okre±laj ca jej cen mo»e by podana. W celu uzyskania tej formuªy musimy najpierw ustali optymalny moment zatrzymania. Do oblicze«wykorzystywany jest geometryczny ruch Browna, speªniaj cy równanie ds(t) = rs(t)dt + σs(t)d W (t). (5.1) Ponadto opcja ta nie jest opcj standardow, poniewa» nie ma zastosowania w ±wiecie rzeczywistym. Denicja Niech T b dzie zbiorem wszystkich momentów stopu τ. Cena ameryka«skiej opcji sprzeda»y o nieograniczonym czasie trwania v zadana jest wzorem v (x) = sup Ẽ[e rτ (K S(τ)) + ], τ T 21

23 gdzie x = S(0) jest cen akcji w czasie t = 0. Warto zada sobie pytanie, kiedy nabywca opcji powinien j wykona. Powinien on wybra taki moment, w którym wykonanie opcji zmaksymalizuje zysk. Zysk mo»e by jednak nieograniczony, dlatego posiadacz powinien zdecydowa, jaki zysk go satysfakcjonuje i wedªug tego opracowa swoj strategi wykonania opcji. Jako posiadacz ameryka«skiej opcji sprzeda»y o nieograniczonym czasie trwania, mo»e on ponadto wykona j w ka»dym momencie. Nie istnieje moment wyga±ni cia opcji, po którym opcja nie mogªaby by wykonana cena nie zale»y od czasu, lecz od warto±ci S(t). Nasuwa si wniosek,»e wªa±ciciel powinien wykona opcj, gdy S(t) spadnie poni»ej K. 5.2 Cena opcji Twierdzenie (Transformata Laplace'a). Niech W (t) b dzie procesem Wienera wzgl dem miary prawdopodobie«stwa P, a µ pozytywn i rzeczywist liczb. Deniujemy proces X(t) = µt + W (t) oraz czas stopu Wówczas τ m = inf{t 0; X(t) = m}. Ẽe λτm = e m( µ+ µ 2 +2λ) λ > 0. Dowód. Wiadomo,»e proces e σ W t 1 2 σ2t jest martyngaªem, poniewa» E[e σ W t 1 2 σ2t F s ] = e 1 2 σ2t E[e σ W t F s ] = e 1 2 σ2t E[e σ( W t W s)+σ W s F s ] = e 1 2 σ2 t+σ W s E[e σ( W t W s) F s ] = e 1 2 σ2 t+σ W s e σ2 (t s) 2 = e σ W s 1 2 σ2 s Deniujemy σ = µ + µ 2 + 2λ, z czego wynika,»e σ > 0. } {{ } >µ 22

24 Podnosz c do kwadratu poprzednie równanie otrzymujemy 1 2 σ2 = λ µσ. σ 2 = µ 2 2µ µ 2 + 2λ + µ 2 + 2λ σ 2 = 2µ 2 2µ µ 2 + 2λ + 2λ 1 2 σ2 = µ 2 + λ µ µ 2 + 2λ 1 2 σ2 = λ µ( µ 2 + 2λ µ) Poniewa» proces e σ W t 1 2 σ2t jest martyngaªem, to podstawiaj c te» jest martyngaªem. e σ W t 1 2 σ2t = e σ W t λ σµt = e σxt λt Zgodnie z twierdzeniem opcjonalnego stopowania zastopowany martyngaª M(t) = e σ W (t τ m) 1 2 σ2 (t τ m) te» jest martyngaªem. Wiadomo,»e dla ka»dej dodatniej liczby caªkowitej n 1 = M(0) = ẼM(n) = Ẽ[eσX(n τm) λ(n τm) ] = Ẽ[eσm λτm I τm n] + Ẽ[eσX(n) λn I τm>n]. Nieujemna zmienna losowa e σm λτm I τm n wzrasta wraz z n i ma granic w e σm λτm I τm. Innymi sªowy 0 e σm λτm I τm 1 e σm λτm I τm 2... prawie na pewno, czyli lim n e σm λτm I τm n = e σm λτm I τm prawie na pewno. Z twierdzenia o monotonicznej zbie»no±ci ci gu wynika,»e 23

25 lim n Ẽ[e σm λτm I τm n] = Ẽ[eσm λτm I τm ]. Z drugiej strony, poniewa» X(n) m dla n τ m oraz σ > 0, to zmienna losowa e σx(n) λn I τm>n speªnia nierówno± : Dla λ > 0 0 e σx(n) λn I τm>n e σm λn e σm prawie na pewno. lim n e σx(n) λn I τm>n lim n e σm λn = 0. Zgodnie z twierdzeniem Lebesgue'a o zbie»no±ci ograniczonej lim n Ẽ[e σx(n) λn I τm>n] = 0. Podstawiaj c granic do równania na pocz tku dowodu, otrzymujemy,»e: Ẽ[e σm λτm I τm< ] = 1 Ẽ[e λτm I τm< ] = e σm = e m( µ+ µ 2 +2λ) dla ka»dego λ > 0. Twierdzenie 5.2 b dzie potrzebne do udowodnienia wzoru na cen opcji. Denicja Niech τ L b dzie momentem stopu dla procesu S(t) takim,»e τ L = inf{t 0; S(t) = L}. Cena opcji sprzeda»y v L przy zaªo»eniu,»e opcja zostanie wykonana w momencie, gdy cena akcji S(t) osi gnie poziom L < K, wynosi v L (x) = Ẽ[e rτ L (K L)] = (K L)Ẽ[e rτ L ]. (5.2) τ L mo»na wyznaczy za pomoc wykresu geometrycznego ruchu Browna. Generujemy proces dla µ = 0.2 i σ = 0.8. Nast pnie ustalamy poziom L, np. L = 1.5 i nanosimy go na wykres. τ L jest wspóªrz dn na osi czasu dla pierwszego punktu przeci cia poziomu L z procesem S. 24

26 Rysunek 5.1: Geometryczny ruch Browna przeci ty prost y = 1.5 Gdy S 0 jest wi ksze od K, to zgodnie z [2] mo»na zapisa,»e v (x) = sup L (K L)Ẽ[e rτ L ] = sup v L. L Rozwa»my teraz mo»liwo±ci wªa±ciciela opcji zaraz po jej kupieniu. Nabywca musi ustali poziom cenowy L tak,»eby L < K i postanawia wykona swoj opcj sprzeda»y, gdy cena akcji S spadnie po raz pierwszy do lub poni»ej poziomu L. Jest to uzasadnione, poniewa» wypªata opcji sprzeda»y wynosi (K S) + i przy tych zaªo»eniach gwarantujemy,»e b dzie ona dodatnia. W czasie t = 0 mog wyst pi dwie nast puj ce sytuacje: S(0) L nabywca wykonuje opcj natychmiast. Cena opcji wynosi wtedy v L (S(0)) = K S(0) i jest równa wypªacie. S(0) > L nabywca czeka i wykonuje opcj dopiero w momencie τ L = min{t 0; S(t) = L}. W tym przypadku wypªata wynosi 25

27 K S(τ L ) = K L. Cena opcji ró»na od wypªaty wynosi natomiast v L (S(0)) = (K L)Ẽe rτ L S(0) L i jest to zdyskontowana wypªata w czasie t = 0. Lemat Funkcja v L (x) jest zadana wzorem: K x 0 x L v L (x) = (K L)( x 2r ) σ L 2 x L. Dowód. Przypadek, gdy 0 x L jest oczywisty. Dla x L rozwa»my dwie mo»liwo±ci: 1. x = L, wtedy τ L = 0 i dla v L (S(0)) = (K L)Ee rτ L warto± vl (x) wynosi K x = K L 2. x > L, rozwa»my przypadek gdy S(0) = x > L. Moment stopu τ L jest pierwszym momentem, w którym warto± akcji: S(t) = xexp{σ W (t) + (r 1 2 σ2 )t} osi gnie poziom L. Rozwi zuj c równo± S(t) = L, otrzymujemy: xexp{σ W (t) + (r 1 2 σ2 )t} = L exp{σ W (t) + (r 1 2 σ2 )t} = L x σ W (t) + (r 1 2 σ2 )t = ln( L x ) W (t) 1 σ (r 1 2 σ2 )t = 1 σ ln( x L ) Zgodnie z twierdzeniem 5.2 podstawiamy w nast puj cy sposób 26

28 µ { }} { W (t) 1 σ (r 1 2 σ2 )t = 1 } {{ } σ ln( x L ), a za λ podstawiamy r. } {{ } X(t) m (Mo»emy tak zrobi, poniewa» zarówno proces W (t) oraz W (t) s procesami Wienera wzgl dem miary prawdopodobie«stwa P.) Dzi ki podstawieniom otrzymujemy,»e τ m = τ L. Post puj c zgodnie z poprzednim twierdzeniem musimy policzy : µ 2 + 2λ = 1 σ 2 (r 1 2 σ2 ) 2 + 2r = 1 σ 2 (r2 rσ σ4 ) + 2r = r2 σ 2 r + σ r = 1 σ 2 (r2 rσ 2 + σ rσ2 ) = 1 σ 2 (r2 + rσ 2 + σ4 4 ) = 1 σ 2 (r σ2 ) 2. Z tego wynika,»e: µ + µ 2 + 2λ = 1 σ (r 1 2 σ2 ) + 1 σ (r σ2 ) = 2r σ. Z poprzedniego twierdzenia Ee rτ L = exp{ 1 σ = ( x L ) 2r σ 2. 2r σ log x L } 5.3 Optymalny moment stopu Dokªadny wzór na cen opcji jest ju» znany, jednak nadal nie wiadomo ile powinien wynosi poziom L. Zakªadamy,»e opcja powinna zosta wykonana wtedy, gdy S(t) 27

29 osi gnie poziom L! Problemem jest znalezienie tego optymalnego poziomu L, dla którego wykonanie opcji nie przyniesie straty. Niech wi c L b dzie szukanym poziomem, a v L (x) cen za opcje sprzeda»y zale»n od pocz tkowej ceny akcji x. Wiadomo,»e dla x L: v L (x) = (K L)( x 2r ) σ L = (K L)x 2r σ 2 L 2r σ 2. x jest cen pocz tkow akcji, tak wi c dla ustalonego x, warto± L maksymalizuje wielko± v L. Dlatego przy ustalonym x szukamy maksimum funkcji zale» cej od L 0: f(l) = (K L)L 2r σ 2. Rysunek 5.2: Wykres funkcji f(l) Widzimy,»e f(0) = 0, poniewa» 2r > 0 oraz lim σ 2 L f(l) =. Aby znale¹ maksimum funkcji nale»y policzy jej pierwsz pochodn : 28

30 f (L) = L 2r σ 2 = L 2r σ 2 = L 2r σ 2 ( + (K L) 2r σ L 2r σ 2 2 σ 2 + 2r 2r σ 2 KL σ σ2 2 2r σ L 2r 2 σ 2 2r + σ2 ) + 2r 2r σ 2 KL σ 2 σ2 σ 2. Przyrównuj c do 0 otrzymujemy: L 2r σ 2 ( L 2r σ 2 ( L = 2r + σ2 σ 2 2r + σ2 σ 2 L 2r σ 2 ( ) + 2r 2r σ 2 KL σ σ2 = 0 ) + 2r 2r KL σ 2 L 1 = 0 σ 2r σ2 σ 2 + 2r σ 2 K 1 L ) } {{ } =0 σ2 2r 2r + σ 2 σ K = 2 = 0 2r + σ 2 σ 2 = 2r σ 2 K 1 L 2r 2r + σ 2 K. Podstawiaj c L do funkcji f otrzymujemy: f(l ) = (K 2r 2r + σ K)( 2r 2r K) 2 σ 2r + σ2 2 = ( 2r + σ2 2r 2r K)( 2r + σ 2 2r + σ ) 2r 2 σ 2 K 2r σ 2 σ 2 = 2r + σ ( 2r 2 2r + σ ) 2r 2 σ 2 K 2r+σ2 σ Analityczny opis ceny opcji sprzeda»y Od tego momentu cena opcji oznaczona b dzie przez v L. 29

31 Ci gªo± funkcji v L oraz jej pochodnych: K x 0 x L v L (x) = (K L )( x L ) 2r σ 2 x L, 1 0 x L v L (x) = (K L ) 2r ( x σ 2 x L ) 2r σ 2 x L. Pierwsza pochodna jest ci gªa w punkcie x = L. Mo»na to ªatwo pokaza. Po podstawieniu L prawostronna granica wynosi: v L (L +) = 2r (K L σ 2 ) = 2rK + 2r L σ 2 L σ = 2rK 2r + σ 2 2 σ 2 2rK + 2r σ = 1. 2 Jak wida, pierwsza pochodna funkcji v L (x) jest ci gªa oraz sama funkcja te» jest ci gªa. Druga pochodna po x funkcji podaj cej cen opcji wynosi: 0 0 x < L v L (x) = (K L ) 2r(2r+σ2 ) ( x L ) 2r σ 2 x > L. σ 4 x 2 W tym przypadku pochodna nie jest ci gªa. Jak wida, lewostronna granica wynosi 0, a prawostronna po podstawieniu L jest wi ksza od 0. Zauwa»my,»e dla x > L rv L (x) rxv L (x) 1 2 σ2 x 2 v L (x) (5.3) = (K L )(r + 2r2 σ r(2r + σ2 ) )( x ) 2r 2 σ 2 σ L 2 = (K L )( rσ2 σ 2 + 2r2 σ 2 2r2 σ 2 30 rσ2 σ )( x ) 2r 2 σ L 2 = 0,

32 natomiast dla 0 x L rv L (x) rxv L (x) 1 2 σ2 x 2 v L (x) = r(k x) + rx = rk. (5.4) Podsumowuj c, v L (x) speªnia tak zwany liniowy problem komplementarno±ci (linear complementarity conditions): 1. v L (x) (K x) + x 0, 2. rv L (x) rxv L (x) 1 2 σ2 x 2 v L (x) 0 x 0 3. dla ka»dego x 0, zachodzi równo± w 1) lub 2). 5.5 Probabilistyczny opis ceny opcji sprzeda»y Twierdzenie Niech S(t) b dzie cen akcji tak,»e ds(t) = rs(t)dt+σs(t)d W (t) oraz niech τ L = min{t 0; S(t) = L } b dzie czasem stopu. Wtedy proces e rt v L (S(t)) jest nadmartyngaªem wzgl dem P, a zastopowany proces e r(t τ L ) v L (S(t τ L )) jest martyngaªem. Dowód. U»ywaj c formuªy (3.6) da si rozpisa wyra»enie d[e rt v L (S(t))]. W rozwini ciu wyst puje druga pochodna po v L, która nie jest ci gªa w L. Formuªa ta pozostaje jednak poprawna dla funkcji, której druga pochodna ma skoki. Formuªa ta zwana jest inaczej formuª Itô dla funkcji zale»nych od czasu. Dla funkcji F (S t, t) skrócony jej zapis wygl da nast puj co: df = F t dt + F s b t dw t + F s a t dt + 1F 2 ssb 2 t dt = F t dt + F s ds t + 1F 2 ssb 2 t dt. 31

33 Stosuj c powy»sz formuª do funkcji F (S t, t) = e rt v L (S(t)) otrzymujemy d[e rt v L (S(t))] = re rt v L (S(t))dt + e rt v L (S(t))dS(t) e rt v L (S(t))S 2 (t)σ 2 dt = re rt v L (S(t))dt + e rt v L (S(t))(rS(t)dt + σs(t)d W (t)) e rt v L (S(t))S 2 (t)σ 2 dt = e rt ( rv L (S(t))dt + v L rs(t)dt + v L σs(t)d W (t) v L (S(t))S 2 (t)σ 2 dt) = e rt ( rv L (S(t)) + v L rs(t) v L (S(t))S 2 (t)σ 2 )dt + e rt v L σs(t)d W (t) Wiadomo z (5.3) oraz z (5.4),»e cz ± dt wyra»enia przyjmuje warto± 0 w przypadku, gdy S(t) > L lub wynosi rk dla S(t) < L. Dla S(t) = L druga pochodna v L jest niezdeniowana, jednak prawdopodobie«stwo,»e cena akcji osi gnie dokªadnie poziom L jest równe 0 prawie na pewno. Przeksztaªcaj c dalej równanie otrzymujemy: d[e rt v L (S(t))] = e rt rki {S(t)<L }dt + e rt σs(t)v L (S(t))d W (t) Jak ju» wiadomo, pierwsza cz ± wyra»enia jest równa 0 lub jest ujemna. Dodatkowo, dla S(t) < L pierwsza pochodna v L wynosi 1, wi c dla S(t) < L wyra»enie ma tendencj spadkow. Je»eli pocz tkowa cena akcji jest wy»sza od poziomu L, to a» do czasu τ L, czyli a» do momentu, w którym cena akcji po raz pierwszy osi ga L, wyra»enie e rt rki {S(t)<L } jest równe 0, a wyra»enie e rt σs(t)v L (S(t)) mo»e by zapisane jako zastopowany proces e r(t τ L ) v L (S(t τ L )). Po rozpisaniu otrzymujemy: e r(t τ L ) v L (S(t τ L )) = v L (0) + t τ L e ru σs(u)v L (S(u))d W (u). 0 Jest to martyngaª, poniewa» caªki Itô s martyngaªami, a zastopowane martyngaªy s martyngaªami. Wniosek: Mo»na zauwa»y,»e zdyskontowane ceny opcji europejskich s martyngaªami wzgl dem wolnej od ryzyka miary prawdopodobie«stwa oraz zdyskontowane ceny opcji ameryka«- skich s martyngaªami do czasu, w którym opcje te powinny zosta wykonane. Je»eli 32

Strategie zabezpieczaj ce

Strategie zabezpieczaj ce 04062008 Plan prezentacji Model binarny Model Black Scholesa Bismut- Elworthy -Li formuła Model binarny i opcja call Niech cena akcji w chwili pocz tkowej wynosi S 0 = 21 Zaªó»my,»e ceny akcji po trzech

Bardziej szczegółowo

ANALIZA NUMERYCZNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

ANALIZA NUMERYCZNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15 ANALIZA NUMERYCZNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Metoda Eulera 3 1.1 zagadnienia brzegowe....................... 3 1.2 Zastosowanie ró»niczki...................... 4 1.3 Output do pliku

Bardziej szczegółowo

Modele z czasem dyskretnym

Modele z czasem dyskretnym Rozdziaª 1 Modele z czasem dyskretnym 1.1. Wprowadzenie- rynki dyskretne Dynamika aktywu bazowego i warunki pozyskania pieni dza-opis probabilistyczny Niech cena akcji w chwili pocz tkowej wynosi S 0 =

Bardziej szczegółowo

1 Metody iteracyjne rozwi zywania równania f(x)=0

1 Metody iteracyjne rozwi zywania równania f(x)=0 1 Metody iteracyjne rozwi zywania równania f()=0 1.1 Metoda bisekcji Zaªó»my,»e funkcja f jest ci gªa w [a 0, b 0 ]. Pierwiastek jest w przedziale [a 0, b 0 ] gdy f(a 0 )f(b 0 ) < 0. (1) Ustalmy f(a 0

Bardziej szczegółowo

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15 ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna - ZSTA LMO

Statystyka matematyczna - ZSTA LMO Statystyka matematyczna - ZSTA LMO Šukasz Smaga Wydziaª Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu Wykªad 4 Šukasz Smaga (WMI UAM) ZSTA LMO Wykªad 4 1 / 18 Wykªad 4 - zagadnienia

Bardziej szczegółowo

Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych.

Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. Denicja Mówimy,»e funkcja

Bardziej szczegółowo

Metody dowodzenia twierdze«

Metody dowodzenia twierdze« Metody dowodzenia twierdze«1 Metoda indukcji matematycznej Je±li T (n) jest form zdaniow okre±lon w zbiorze liczb naturalnych, to prawdziwe jest zdanie (T (0) n N (T (n) T (n + 1))) n N T (n). 2 W przypadku

Bardziej szczegółowo

Metodydowodzenia twierdzeń

Metodydowodzenia twierdzeń 1 Metodydowodzenia twierdzeń Przez zdanie rozumiemy dowolne stwierdzenie, które jest albo prawdziwe, albo faªszywe (nie mo»e by ono jednocze±nie prawdziwe i faªszywe). Tradycyjnie b dziemy u»ywali maªych

Bardziej szczegółowo

CAŠKOWANIE METODAMI MONTE CARLO Janusz Adamowski

CAŠKOWANIE METODAMI MONTE CARLO Janusz Adamowski III. CAŠKOWAIE METODAMI MOTE CARLO Janusz Adamowski 1 1 azwa metody Podstawowym zastosowaniem w zyce metody Monte Carlo (MC) jest opis zªo-»onych ukªadów zycznych o du»ej liczbie stopni swobody. Opis zªo»onych

Bardziej szczegółowo

Twierdzenie Wainera. Marek Czarnecki. Warszawa, 3 lipca Wydziaª Filozoi i Socjologii Uniwersytet Warszawski

Twierdzenie Wainera. Marek Czarnecki. Warszawa, 3 lipca Wydziaª Filozoi i Socjologii Uniwersytet Warszawski Twierdzenie Wainera Marek Czarnecki Wydziaª Filozoi i Socjologii Uniwersytet Warszawski Wydziaª Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytet Warszawski Warszawa, 3 lipca 2009 Motywacje Dla dowolnej

Bardziej szczegółowo

ZADANIA. Maciej Zakarczemny

ZADANIA. Maciej Zakarczemny ZADANIA Maciej Zakarczemny 2 Spis tre±ci 1 Algebra 5 2 Analiza 7 2.1 Granice iterowane, granica podwójna funkcji dwóch zmiennych....... 7 2.2 Caªki powierzchniowe zorientowane...................... 8 2.2.1

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1. Zadanie 2. Zadanie 3. Zadanie 4

Zadanie 1. Zadanie 2. Zadanie 3. Zadanie 4 Zadanie ODP = exp(, 4 )E W () = exp(, )E l (;+ ) (S()) ODP = exp(, )P (S() > ), gdzie oznacza miar martyngaªow. Przy MBS proces cen akcji ma posta S(t) = S() exp[t(µ, 5σ ) + σw t ], gdzie {W t, t } jest

Bardziej szczegółowo

A = n. 2. Ka»dy podzbiór zbioru sko«czonego jest zbiorem sko«czonym. Dowody tych twierdze«(elementarne, lecz nieco nu» ce) pominiemy.

A = n. 2. Ka»dy podzbiór zbioru sko«czonego jest zbiorem sko«czonym. Dowody tych twierdze«(elementarne, lecz nieco nu» ce) pominiemy. Logika i teoria mnogo±ci, konspekt wykªad 12 Teoria mocy, cz ± II Def. 12.1 Ka»demu zbiorowi X przyporz dkowujemy oznaczany symbolem X obiekt zwany liczb kardynaln (lub moc zbioru X) w taki sposób,»e ta

Bardziej szczegółowo

1 Granice funkcji wielu zmiennych.

1 Granice funkcji wielu zmiennych. AM WNE 008/009. Odpowiedzi do zada«przygotowawczych do czwartego kolokwium. Granice funkcji wielu zmiennych. Zadanie. Zadanie. Pochodne. (a) 0, Granica nie istnieje, (c) Granica nie istnieje, (d) Granica

Bardziej szczegółowo

Wykªad 10. Spis tre±ci. 1 Niesko«czona studnia potencjaªu. Fizyka 2 (Informatyka - EEIiA 2006/07) c Mariusz Krasi«ski 2007

Wykªad 10. Spis tre±ci. 1 Niesko«czona studnia potencjaªu. Fizyka 2 (Informatyka - EEIiA 2006/07) c Mariusz Krasi«ski 2007 Wykªad 10 Fizyka 2 (Informatyka - EEIiA 2006/07) 08 05 2007 c Mariusz Krasi«ski 2007 Spis tre±ci 1 Niesko«czona studnia potencjaªu 1 2 Laser 3 2.1 Emisja spontaniczna...........................................

Bardziej szczegółowo

Podstawy statystycznego modelowania danych Analiza prze»ycia

Podstawy statystycznego modelowania danych Analiza prze»ycia Podstawy statystycznego modelowania danych Analiza prze»ycia Tomasz Suchocki Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocªawiu Katedra Genetyki i Ogólnej Hodowli Zwierz t Plan wykªadu 1. Wprowadzenie 2. Hazard rate

Bardziej szczegółowo

Czy funkcja zadana wzorem f(x) = ex e x. 1 + e. = lim. e x + e x lim. lim. 2 dla x = 1 f(x) dla x (0, 1) e e 1 dla x = 1

Czy funkcja zadana wzorem f(x) = ex e x. 1 + e. = lim. e x + e x lim. lim. 2 dla x = 1 f(x) dla x (0, 1) e e 1 dla x = 1 II KOLOKWIUM Z AM M1 - GRUPA A - 170101r Ka»de zadanie jest po 5 punktów Ostatnie zadanie jest nieobowi zkowe, ale mo»e dostarczy dodatkowe 5 punktów pod warunkiem rozwi zania pozostaªych zada«zadanie

Bardziej szczegółowo

1 Poj cia pomocnicze. Przykªad 1. A A d

1 Poj cia pomocnicze. Przykªad 1. A A d Poj cia pomocnicze Otoczeniem punktu x nazywamy dowolny zbiór otwarty zawieraj cy punkt x. Najcz ±ciej rozwa»amy otoczenia kuliste, tj. kule o danym promieniu ε i ±rodku x. S siedztwem punktu x nazywamy

Bardziej szczegółowo

Wykªad 4. Funkcje wielu zmiennych.

Wykªad 4. Funkcje wielu zmiennych. Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 4. Funkcje wielu zmiennych. Zbiory na pªaszczy¹nie i w przestrzeni.

Bardziej szczegółowo

Zbiory i odwzorowania

Zbiory i odwzorowania Zbiory i odwzorowania 1 Sposoby okre±lania zbiorów 1) Zbiór wszystkich elementów postaci f(t), gdzie t przebiega zbiór T : {f(t); t T }. 2) Zbiór wszystkich elementów x zbioru X speªniaj cych warunek ϕ(x):

Bardziej szczegółowo

Wstęp do analitycznych i numerycznych metod wyceny opcji

Wstęp do analitycznych i numerycznych metod wyceny opcji Wstęp do analitycznych i numerycznych metod wyceny opcji Jan Palczewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytet Warszawski Warszawa, 16 maja 2008 Jan Palczewski Wycena opcji Warszawa, 2008

Bardziej szczegółowo

Lekcja 9 - LICZBY LOSOWE, ZMIENNE

Lekcja 9 - LICZBY LOSOWE, ZMIENNE Lekcja 9 - LICZBY LOSOWE, ZMIENNE I STAŠE 1 Liczby losowe Czasami spotkamy si z tak sytuacj,»e b dziemy potrzebowa by program za nas wylosowaª jak ± liczb. U»yjemy do tego polecenia: - liczba losowa Sprawd¹my

Bardziej szczegółowo

Przekroje Dedekinda 1

Przekroje Dedekinda 1 Przekroje Dedekinda 1 O liczbach wymiernych (tj. zbiorze Q) wiemy,»e: 1. zbiór Q jest uporz dkowany relacj mniejszo±ci < ; 2. zbiór liczb wymiernych jest g sty, tzn.: p, q Q : p < q w : p < w < q 3. 2

Bardziej szczegółowo

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15 ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne i statystyka dla in»ynierów

Metody numeryczne i statystyka dla in»ynierów Kierunek: Automatyka i Robotyka, II rok Wprowadzenie PWSZ Gªogów, 2009 Plan wykªadów Wprowadzenie, podanie zagadnie«, poj cie metody numerycznej i algorytmu numerycznego, obszar zainteresowa«i stosowalno±ci

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia na wej±ciówki z matematyki Technologia Chemiczna

Zagadnienia na wej±ciówki z matematyki Technologia Chemiczna Zagadnienia na wej±ciówki z matematyki Technologia Chemiczna 1. Podaj denicj liczby zespolonej. 2. Jak obliczy sum /iloczyn dwóch liczb zespolonych w postaci algebraicznej? 3. Co to jest liczba urojona?

Bardziej szczegółowo

O pewnej regule alokacji jako sposobie inwestowania na gieªdzie papierów warto±ciowych

O pewnej regule alokacji jako sposobie inwestowania na gieªdzie papierów warto±ciowych O pewnej regule alokacji jako sposobie inwestowania na gieªdzie papierów warto±ciowych Paweª Gªadki 1 Podstawowe poj cia teorii gier dwuosobowych Strategia gracza to reguªa okre±laj ca wybór przez gracza

Bardziej szczegółowo

Zastosowania matematyki

Zastosowania matematyki Zastosowania matematyki Monika Bartkiewicz 1 / 143 Dyskonto-przypomnienie Obliczanie kapitaªu pocz tkowego P v na podstawie znanej warto±ci kapitaªu ko«cowego F v nazywa si dyskontowaniem kapitaªu F v.

Bardziej szczegółowo

Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI Zastosowanie eliptycznych równa«ró»niczkowych

Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI Zastosowanie eliptycznych równa«ró»niczkowych Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI 1 Rozdziaª 9 RÓWNANIA ELIPTYCZNE 9.1 Zastosowanie eliptycznych równa«ró»niczkowych cz stkowych 9.1.1 Problemy z warunkami brzegowymi W przestrzeni dwuwymiarowej

Bardziej szczegółowo

I Rok LOGISTYKI: wykªad 2 Pochodna funkcji. iloraz ró»nicowy x y x

I Rok LOGISTYKI: wykªad 2 Pochodna funkcji. iloraz ró»nicowy x y x I Rok LOGISTYKI: wykªad 2 Pochodna funkcji Niech f jest okre±lona w Q(x 0, δ) i x Q(x 0, δ). Oznaczenia: x = x x 0 y = y y 0 = f(x 0 + x) f(x 0 ) y x = f(x 0 + x) f(x 0 ) iloraz ró»nicowy x y x = tgβ,

Bardziej szczegółowo

Zastosowania matematyki

Zastosowania matematyki Zastosowania matematyki Monika Bartkiewicz 1 / 126 ...czy«cie dobrze i po»yczajcie niczego si nie spodziewaj c(šk. 6,34-35) Zagadnienie pobierania procentu jest tak stare jak gospodarka pieni»na. Procent

Bardziej szczegółowo

Wycena opcji. Dr inż. Bożena Mielczarek

Wycena opcji. Dr inż. Bożena Mielczarek Wycena opcji Dr inż. Bożena Mielczarek Stock Price Wahania ceny akcji Cena jednostki podlega niewielkim wahaniom dziennym (miesięcznym) wykazując jednak stały trend wznoszący. Cena może się doraźnie obniżać,

Bardziej szczegółowo

f(x) f(x 0 ) i f +(x 0 ) := lim = f(x 0 + x) f(x 0 ) wynika ci gªo± funkcji w punkcie x 0. W ka»dym przypadku zachodzi:

f(x) f(x 0 ) i f +(x 0 ) := lim = f(x 0 + x) f(x 0 ) wynika ci gªo± funkcji w punkcie x 0. W ka»dym przypadku zachodzi: Pochodna funkcji Def 1 Pochodn wªa±ciw funkcji f w punkcie x 0 nazywamy granic f (x 0 ) := lim o ile granica ta istnieje i jest wªa±ciwa Funkcj f nazywamy wtedy ró»niczkowaln Przy zaªo»eniu,»e f jest ci

Bardziej szczegółowo

Mierzalne liczby kardynalne

Mierzalne liczby kardynalne czyli o miarach mierz cych wszystko Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego Grzegorzewice, 26 stycznia 2007 Ogólny problem miary Pytanie Czy na pewnym zbiorze X istnieje σ-addytywna miara probabilistyczna,

Bardziej szczegółowo

Ekonometria Bayesowska

Ekonometria Bayesowska Ekonometria Bayesowska Wykªad 9: Metody numeryczne: MCMC Andrzej Torój 1 / 17 Plan wykªadu Wprowadzenie 1 Wprowadzenie 3 / 17 Plan prezentacji Wprowadzenie 1 Wprowadzenie 3 3 / 17 Zastosowanie metod numerycznych

Bardziej szczegółowo

JAO - J zyki, Automaty i Obliczenia - Wykªad 1. JAO - J zyki, Automaty i Obliczenia - Wykªad 1

JAO - J zyki, Automaty i Obliczenia - Wykªad 1. JAO - J zyki, Automaty i Obliczenia - Wykªad 1 J zyki formalne i operacje na j zykach J zyki formalne s abstrakcyjnie zbiorami sªów nad alfabetem sko«czonym Σ. J zyk formalny L to opis pewnego problemu decyzyjnego: sªowa to kody instancji (wej±cia)

Bardziej szczegółowo

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15 ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych

Bardziej szczegółowo

Ocena ryzyka inwestycyjnego na przykªadzie pary walutowej EUR/USD. 15 czerwca 2010

Ocena ryzyka inwestycyjnego na przykªadzie pary walutowej EUR/USD. 15 czerwca 2010 Ocena ryzyka inwestycyjnego na przykªadzie pary walutowej EUR/USD Anna Barczy«ska Maciej Bieli«ski 15 czerwca 2010 1 Spis tre±ci 1 Forex 3 1.1 EUR/USD............................. 4 2 Waluty 5 2.1 Siªa

Bardziej szczegółowo

Indeksowane rodziny zbiorów

Indeksowane rodziny zbiorów Logika i teoria mnogo±ci, konspekt wykªad 7 Indeksowane rodziny zbiorów Niech X b dzie przestrzeni zbiorem, którego podzbiorami b d wszystkie rozpatrywane zbiory, R rodzin wszystkich podzbiorów X za± T

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa w pakiecie Matlab

Matematyka finansowa w pakiecie Matlab Matematyka finansowa w pakiecie Matlab Wykład 6. Wycena opcji modele ciągłe, metoda Monte Carlo Bartosz Ziemkiewicz Wydział Matematyki i Informatyki UMK Kurs letni dla studentów studiów zamawianych na

Bardziej szczegółowo

Relacj binarn okre±lon w zbiorze X nazywamy podzbiór ϱ X X.

Relacj binarn okre±lon w zbiorze X nazywamy podzbiór ϱ X X. Relacje 1 Relacj n-argumentow nazywamy podzbiór ϱ X 1 X 2... X n. Je±li ϱ X Y jest relacj dwuargumentow (binarn ), to zamiast (x, y) ϱ piszemy xϱy. Relacj binarn okre±lon w zbiorze X nazywamy podzbiór

Bardziej szczegółowo

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15 ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych

Bardziej szczegółowo

Rozdziaª 2. Proste przykªady opcji egzotycznych

Rozdziaª 2. Proste przykªady opcji egzotycznych Rozdziaª 2 Proste przykªady opcji egzotycznych Cztery podstawowe typy opcji: europejskie/ameryka«skie opcje call/put to tzw. opcje waniliowe (vanilla options); b d je równie» okre±laª jako opcje zwykªe.

Bardziej szczegółowo

Mikro II: Krzywe kosztów, Poda» rmy i Poda» gaª zi.

Mikro II: Krzywe kosztów, Poda» rmy i Poda» gaª zi. Mikro II: Krzywe kosztów, Poda» rmy i Poda» gaª zi. Krzysztof Makarski 22 Krzywe kosztów Wst p Celem jest wyprowadzenie funkcji poda»y i jej wªasno±ci. Funkcj poda»y wyprowadzamy z decyzji maksymalizuj

Bardziej szczegółowo

EDUKARIS - O±rodek Ksztaªcenia

EDUKARIS - O±rodek Ksztaªcenia - O±rodek Ksztaªcenia Zabrania si kopiowania i rozpowszechniania niniejszego regulaminu przez inne podmioty oraz wykorzystywania go w dziaªalno±ci innych podmiotów. Autor regulaminu zastrzega do niego

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 2.06.2001 r.

Matematyka finansowa 2.06.2001 r. Matematyka finansowa 2.06.2001 r. 3. Inwe 2!%3'(!!%3 $'!%4&!! &,'! * "! &,-' ryzyko inwestycji odchyleniem standardowym stopy zwrotu ze swojego portfela. Jak *!&! $!%3$! %4 A.,. B. spadnie o 5% C. spadnie

Bardziej szczegółowo

Quantile hedging. czyli jak tanio i dobrze zabezpieczyć opcję. Michał Krawiec, Piotr Piestrzyński

Quantile hedging. czyli jak tanio i dobrze zabezpieczyć opcję. Michał Krawiec, Piotr Piestrzyński czyli jak tanio i dobrze zabezpieczyć opcję Michał Krawiec Piotr Piestrzyński Koło Naukowe Probabilistyki i Statystyki Matematycznej Uniwersytet Wrocławski Niedziela, 19 kwietnia 2015 Przykład (opis problemu)

Bardziej szczegółowo

Wycena papierów wartościowych - instrumenty pochodne

Wycena papierów wartościowych - instrumenty pochodne Matematyka finansowa - 8 Wycena papierów wartościowych - instrumenty pochodne W ujęciu probabilistycznym cena akcji w momencie t jest zmienną losową P t o pewnym (zwykle nieznanym) rozkładzie prawdopodobieństwa,

Bardziej szczegółowo

Ekstremalnie maªe zbiory

Ekstremalnie maªe zbiory Maªe jest pi kne Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego Nadarzyn, 27.08.2011 Zbiory silnie miary zero Przypomnienie Zbiór X [0, 1] jest miary Lebesgue'a zero, gdy dla ka»dego ε > 0 istnieje ci

Bardziej szczegółowo

Wybrane poj cia i twierdzenia z wykªadu z teorii liczb

Wybrane poj cia i twierdzenia z wykªadu z teorii liczb Wybrane poj cia i twierdzenia z wykªadu z teorii liczb 1. Podzielno± Przedmiotem bada«teorii liczb s wªasno±ci liczb caªkowitych. Zbiór liczb caªkowitych oznacza b dziemy symbolem Z. Zbiór liczb naturalnych

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna - ZSTA LMO

Statystyka matematyczna - ZSTA LMO Statystyka matematyczna - ZSTA LMO Šukasz Smaga Wydziaª Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu Wykªad 1 Šukasz Smaga (WMI UAM) ZSTA LMO Wykªad 1 1 / 28 Kontakt Dr Šukasz

Bardziej szczegółowo

Strategia czy intuicja?

Strategia czy intuicja? Strategia czy intuicja czyli o grach niesko«czonych Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego Grzegorzewice, 29 sierpnia 2009 Denicja gry Najprostszy przypadek: A - zbiór (na ogóª co najwy»ej przeliczalny),

Bardziej szczegółowo

KLASYCZNE ZDANIA KATEGORYCZNE. ogólne - orzekaj co± o wszystkich desygnatach podmiotu szczegóªowe - orzekaj co± o niektórych desygnatach podmiotu

KLASYCZNE ZDANIA KATEGORYCZNE. ogólne - orzekaj co± o wszystkich desygnatach podmiotu szczegóªowe - orzekaj co± o niektórych desygnatach podmiotu ➏ Filozoa z elementami logiki Na podstawie wykªadów dra Mariusza Urba«skiego Sylogistyka Przypomnij sobie: stosunki mi dzy zakresami nazw KLASYCZNE ZDANIA KATEGORYCZNE Trzy znaczenia sªowa jest trzy rodzaje

Bardziej szczegółowo

Zadania z rachunku prawdopodobie«stwa

Zadania z rachunku prawdopodobie«stwa STATYSTYKA 2 rok, informatyka,. Zadania z rachunku prawdopodobie«stwa 1. Niech A B C = Ω, P (B) = 2P (A), P (C) = 3P (A), P (A B) = P (A C) = P (B C). Pokaza,»e 1 P (A) 1. Pokaza,»e oba ograniczenia mog

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1. Liczba szkód w każdym z trzech kolejnych lat dla pewnego ubezpieczonego ma rozkład równomierny:

Zadanie 1. Liczba szkód w każdym z trzech kolejnych lat dla pewnego ubezpieczonego ma rozkład równomierny: Matematyka ubezpieczeń majątkowych 5.2.2008 r. Zadanie. Liczba szkód w każdym z trzech kolejnych lat dla pewnego ubezpieczonego ma rozkład równomierny: Pr ( N = k) = 0 dla k = 0,, K, 9. Liczby szkód w

Bardziej szczegółowo

Aproksymacja funkcji metod najmniejszych kwadratów

Aproksymacja funkcji metod najmniejszych kwadratów Aproksymacja funkcji metod najmniejszych kwadratów Teoria Interpolacja polega na znajdowaniu krzywej przechodz cej przez wszystkie w zªy. Zdarzaj si jednak sytuacje, w których dane te mog by obarczone

Bardziej szczegółowo

Zdzisªaw Dzedzej, Katedra Analizy Nieliniowej pok. 611 Kontakt:

Zdzisªaw Dzedzej, Katedra Analizy Nieliniowej pok. 611 Kontakt: Zdzisªaw Dzedzej, Katedra Analizy Nieliniowej pok. 611 Kontakt: zdzedzej@mif.pg.gda.pl www.mif.pg.gda.pl/homepages/zdzedzej () 5 pa¹dziernika 2016 1 / 1 Literatura podstawowa R. Rudnicki, Wykªady z analizy

Bardziej szczegółowo

Kurs wyrównawczy dla kandydatów i studentów UTP

Kurs wyrównawczy dla kandydatów i studentów UTP Kurs wyrównawczy dla kandydatów i studentów UTP Część III Funkcja wymierna, potęgowa, logarytmiczna i wykładnicza Magdalena Alama-Bućko Ewa Fabińska Alfred Witkowski Grażyna Zachwieja Uniwersytet Technologiczno

Bardziej szczegółowo

Caªkowanie numeryczne - porównanie skuteczno±ci metody prostokatów, metody trapezów oraz metody Simpsona

Caªkowanie numeryczne - porównanie skuteczno±ci metody prostokatów, metody trapezów oraz metody Simpsona Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisªawa Staszica w Krakowie Wydziaª Fizyki i Informatyki Stosowanej Krzysztof Grz dziel kierunek studiów: informatyka stosowana Caªkowanie numeryczne - porównanie skuteczno±ci

Bardziej szczegółowo

Jan Olek. Uniwersytet Stefana Kardynała Wyszyńskiego. Procesy z Opóźnieniem. J. Olek. Równanie logistyczne. Założenia

Jan Olek. Uniwersytet Stefana Kardynała Wyszyńskiego. Procesy z Opóźnieniem. J. Olek. Równanie logistyczne. Założenia Procesy z Procesy z Jan Olek Uniwersytet Stefana ardynała Wyszyńskiego 2013 Wzór równania logistycznego: Ṅ(t)=rN(t)(1- N ), gdzie Ṅ(t) - przyrost populacji w czasie t r - rozrodczość netto, (r > 0) N -

Bardziej szczegółowo

Modele liniowe i mieszane na przykªadzie analizy danych biologicznych - Wykªad 6

Modele liniowe i mieszane na przykªadzie analizy danych biologicznych - Wykªad 6 Modele liniowe i mieszane na przykªadzie analizy danych biologicznych - Wykªad 6 Tomasz Suchocki Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocªawiu Katedra Genetyki i Ogólnej Hodowli Zwierz t Plan wykªadu Model mieszany

Bardziej szczegółowo

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE.. Zmienna losowa i pojęcie rozkładu prawdopodobieństwa W dotychczas rozpatrywanych przykładach każdemu zdarzeniu była przyporządkowana odpowiednia wartość liczbowa. Ta

Bardziej szczegółowo

Matematyka wykªad 1. Macierze (1) Andrzej Torój. 17 wrze±nia 2011. Wy»sza Szkoªa Zarz dzania i Prawa im. H. Chodkowskiej

Matematyka wykªad 1. Macierze (1) Andrzej Torój. 17 wrze±nia 2011. Wy»sza Szkoªa Zarz dzania i Prawa im. H. Chodkowskiej Matematyka wykªad 1 Macierze (1) Andrzej Torój Wy»sza Szkoªa Zarz dzania i Prawa im. H. Chodkowskiej 17 wrze±nia 2011 Plan wykªadu 1 2 3 4 5 Plan prezentacji 1 2 3 4 5 Kontakt moja strona internetowa:

Bardziej szczegółowo

Elementy Modelowania Matematycznego Wykªad 9 Systemy kolejkowe

Elementy Modelowania Matematycznego Wykªad 9 Systemy kolejkowe Elementy Modelowania Matematycznego Wykªad 9 Systemy kolejkowe Romuald Kotowski Katedra Informatyki Stosowanej PJWSTK 2009 Spis tre±ci 1 2 3 Spis tre±ci 1 2 3 Spis tre±ci 1 2 3 Teoria masowej obsªugi,

Bardziej szczegółowo

Macierze. 1 Podstawowe denicje. 2 Rodzaje macierzy. Denicja

Macierze. 1 Podstawowe denicje. 2 Rodzaje macierzy. Denicja Macierze 1 Podstawowe denicje Macierz wymiaru m n, gdzie m, n N nazywamy tablic liczb rzeczywistych (lub zespolonych) postaci a 11 a 1j a 1n A = A m n = [a ij ] m n = a i1 a ij a in a m1 a mj a mn W macierzy

Bardziej szczegółowo

Maksymalna liczba punktów do zdobycia: 80. Zadanie 1: a) 6 punktów, b) 3 punkty, Zadanie 2: a) 6 punktów, b) 4 punkty,

Maksymalna liczba punktów do zdobycia: 80. Zadanie 1: a) 6 punktów, b) 3 punkty, Zadanie 2: a) 6 punktów, b) 4 punkty, VII Wojewódzki Konkurs Matematyczny "W ±wiecie Matematyki" im. Prof. Wªodzimierza Krysickiego Etap drugi - 17 lutego 2015 r. Maksymalna liczba punktów do zdobycia: 80. 1. Drugi etap Konkursu skªada si

Bardziej szczegółowo

Lekcja 9 Liczby losowe, zmienne, staªe

Lekcja 9 Liczby losowe, zmienne, staªe Lekcja 9 Liczby losowe, zmienne, staªe Akademia im. Jana Dªugosza w Cz stochowie Liczby losowe Czasami potrzebujemy by program za nas wylosowaª liczb. U»yjemy do tego polecenia liczba losowa: Liczby losowe

Bardziej szczegółowo

Informatyka. z przedmiotu RACHUNEK PRAWDOPODOBIE STWA

Informatyka. z przedmiotu RACHUNEK PRAWDOPODOBIE STWA Informatyka Zbiór przykªadowych prac kontrolnych oraz przykªadowych zada«egzaminacyjnych z przedmiotu RACHUNEK PRAWDOPODOBIE STWA Sprawdzian 1, M09-02 Zadanie 1 (1p) W rzucie dwiema kostkami obliczy prawdopodobie«stwo

Bardziej szczegółowo

Przeksztaªcenia liniowe

Przeksztaªcenia liniowe Przeksztaªcenia liniowe Przykªady Pokaza,»e przeksztaªcenie T : R 2 R 2, postaci T (x, y) = (x + y, x 6y) jest przeksztaªceniem liniowym Sprawdzimy najpierw addytywno± przeksztaªcenia T Niech v = (x, y

Bardziej szczegółowo

Rynek, opcje i równania SDE

Rynek, opcje i równania SDE Rynek, opcje i równania SDE Adam Majewski Uniwersytet Gdański kwiecień 2009 Adam Majewski (Uniwersytet Gdański) Rynek, opcje i równania SDE kwiecień 2009 1 / 16 1 Rynek, portfel inwestycyjny, arbitraż

Bardziej szczegółowo

Hotel Hilberta. Zdumiewaj cy ±wiat niesko«czono±ci. Marcin Kysiak. Festiwal Nauki, 20.09.2011. Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego

Hotel Hilberta. Zdumiewaj cy ±wiat niesko«czono±ci. Marcin Kysiak. Festiwal Nauki, 20.09.2011. Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego Zdumiewaj cy ±wiat niesko«czono±ci Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego Festiwal Nauki, 20.09.2011 Nasze do±wiadczenia hotelowe Fakt oczywisty Hotel nie przyjmie nowych go±ci, je»eli wszystkie

Bardziej szczegółowo

Ogólna charakterystyka kontraktów terminowych

Ogólna charakterystyka kontraktów terminowych Jesteś tu: Bossa.pl Kurs giełdowy - Część 10 Ogólna charakterystyka kontraktów terminowych Kontrakt terminowy jest umową pomiędzy dwiema stronami, z których jedna zobowiązuje się do nabycia a druga do

Bardziej szczegółowo

Podstawy Ekonomii Matematycznej. Aktualizacja: 9 czerwca 2011

Podstawy Ekonomii Matematycznej. Aktualizacja: 9 czerwca 2011 Podstawy Ekonomii Matematycznej Aktualizacja: 9 czerwca 2011 Spis tre±ci I Elementy matematyki nansowej. 5 1 Procent, stopa procentowa, kapitalizacja. 6 2 Procent prosty. 8 2.1 Zasada oprocentowania prostego,

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne. Wst p do metod numerycznych. Dawid Rasaªa. January 9, 2012. Dawid Rasaªa Metody numeryczne 1 / 9

Metody numeryczne. Wst p do metod numerycznych. Dawid Rasaªa. January 9, 2012. Dawid Rasaªa Metody numeryczne 1 / 9 Metody numeryczne Wst p do metod numerycznych Dawid Rasaªa January 9, 2012 Dawid Rasaªa Metody numeryczne 1 / 9 Metody numeryczne Czym s metody numeryczne? Istota metod numerycznych Metody numeryczne s

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA 4 INSTYTUT MEDICUS FUNKCJA KWADRATOWA. Kurs przygotowawczy na studia medyczne. Rok szkolny 2010/2011. tel. 0501 38 39 55 www.medicus.edu.

MATEMATYKA 4 INSTYTUT MEDICUS FUNKCJA KWADRATOWA. Kurs przygotowawczy na studia medyczne. Rok szkolny 2010/2011. tel. 0501 38 39 55 www.medicus.edu. INSTYTUT MEDICUS Kurs przygotowawczy na studia medyczne Rok szkolny 00/0 tel. 050 38 39 55 www.medicus.edu.pl MATEMATYKA 4 FUNKCJA KWADRATOWA Funkcją kwadratową lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję

Bardziej szczegółowo

2 Model neo-keynsistowski (ze sztywnymi cenami).

2 Model neo-keynsistowski (ze sztywnymi cenami). 1 Dane empiryczne wiczenia 5 i 6 Krzysztof Makarski Szoki popytowe i poda»owe jako ¹ródªa uktuacji. Wspóªczynnik korelacji Odchylenie standardowe (w stosunku do PKB) Cykliczno± Konsumpcja 0,76 75,6% procykliczna

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa, wielomiany oraz funkcje wymierne

Funkcja kwadratowa, wielomiany oraz funkcje wymierne Funkcja kwadratowa, wielomiany oraz funkcje wymierne Šukasz Dawidowski Nocne powtórki maturalne 28 kwietnia 2014 r. Troch teorii Funkcj f : R R dan wzorem: f (x) = ax 2 + bx + c gdzie a 0 nazywamy funkcj

Bardziej szczegółowo

JAK INWESTOWAĆ W ROPĘ?

JAK INWESTOWAĆ W ROPĘ? JAK INWESTOWAĆ W ROPĘ? Za pośrednictwem platformy inwestycyjnej DIF Freedom istnieje wiele sposobów inwestowania w ropę naftową. Zacznijmy od instrumentu, który jest związany z najmniejszym ryzykiem inwestycyjnym

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa i ubezpieczeniowa - 8 Wycena papierów wartościowych

Matematyka finansowa i ubezpieczeniowa - 8 Wycena papierów wartościowych Matematyka finansowa i ubezpieczeniowa - 8 Wycena papierów wartościowych W ujęciu probabilistycznym cena akcji w momencie t jest zmienną losową P t o pewnym (zwykle nieznanym) rozkładzie prawdopodobieństwa,

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone Pochodna Caªka nieoznaczona i oznaczona Podstawowe wielko±ci zyczne. Repetytorium z matematyki

Liczby zespolone Pochodna Caªka nieoznaczona i oznaczona Podstawowe wielko±ci zyczne. Repetytorium z matematyki Repetytorium z matematyki Denicja liczb zespolonych Wyra»enie a + bi, gdzie a i b s liczbami rzeczywistymi a i speªnia zale»no± i 2 = 1, nazywamy liczb zespolon. Liczb i nazywamy jednostk urojon, a iloczyn

Bardziej szczegółowo

Edyta Juszczyk. Akademia im. Jana Dªugosza w Cz stochowie. Lekcja 1Wst p

Edyta Juszczyk. Akademia im. Jana Dªugosza w Cz stochowie. Lekcja 1Wst p Lekcja 1 Wst p Akademia im. Jana Dªugosza w Cz stochowie Baltie Baltie Baltie jest narz dziem, które sªu»y do nauki programowania dla dzieci od najmªodszych lat. Zostaª stworzony przez Bohumira Soukupa

Bardziej szczegółowo

Mathematica - podstawy

Mathematica - podstawy Mathematica - podstawy Artur Kalinowski Semestr letni 2011/2012 Artur Kalinowski Mathematica - podstawy 1 / 27 Spis tre±ci Program Mathematica 1 Program Mathematica 2 3 4 5 Artur Kalinowski Mathematica

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobie«stwo warunkowe, twierdzenie Bayesa, niezale»no± zdarze«.

Prawdopodobie«stwo warunkowe, twierdzenie Bayesa, niezale»no± zdarze«. Prawdopodobie«stwo warunkowe, twierdzenie Bayesa, niezale»no± zdarze«. Alicja Czy» WFTiMS April 14, 2010 Spis tre±ci 1 Wprowadzenie Denicja prawdopodobie«stwa warunkowego Twierdzenie Bayesa Niezale»no±

Bardziej szczegółowo

Programowanie i struktury danych 1 / 44

Programowanie i struktury danych 1 / 44 Programowanie i struktury danych 1 / 44 Lista dwukierunkowa Lista dwukierunkowa to liniowa struktura danych skªadaj ca si z ci gu elementów, z których ka»dy pami ta swojego nast pnika i poprzednika. Operacje

Bardziej szczegółowo

OPCJE NA GPW. Zespół Rekomendacji i Analiz Giełdowych Departament Klientów Detalicznych Katowice, luty 2004

OPCJE NA GPW. Zespół Rekomendacji i Analiz Giełdowych Departament Klientów Detalicznych Katowice, luty 2004 OPCJE NA GPW Zespół Rekomendacji i Analiz Giełdowych Departament Klientów Detalicznych Katowice, luty 2004 CO TO JEST OPCJA, RODZAJE OPCJI Opcja - prawo do kupna, lub sprzedaży instrumentu bazowego po

Bardziej szczegółowo

Zadania. 4 grudnia k=1

Zadania. 4 grudnia k=1 Zadania 4 grudnia 205 Zadanie. Poka»,»e dla dowolnych liczb zespolonych z,..., z n istnieje zbiór B {,..., n}, taki,»e n z k π z k. k B Zadanie 2. Jakie warunki musz speªnia ci gi a n i b n, aby istniaªy

Bardziej szczegółowo

Matematyka. Justyna Winnicka. rok akademicki 2016/2017. Szkoªa Gªówna Handlowa

Matematyka. Justyna Winnicka. rok akademicki 2016/2017. Szkoªa Gªówna Handlowa Matematyka Justyna Winnicka Szkoªa Gªówna Handlowa rok akademicki 2016/2017 kontakt, konsultacje, koordynator mail: justa_kowalska@yahoo.com, jkowal4@sgh.waw.pl, justyna.winnicka@sgh.waw.pl konsultacje:

Bardziej szczegółowo

IV Krakowska Konferencja Matematyki Finansowej

IV Krakowska Konferencja Matematyki Finansowej IV Krakowska Konferencja Matematyki Finansowej dr inż. Bartosz Krysta Członek Zarządu ds. Zarządzania Portfelem Enea Trading Sp. z o.o. Kraków, 18.04.2015 r. Agenda Wycena ryzyka - istota Zniżkowy trend

Bardziej szczegółowo

Literatura. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej dla studentów, cz. III.

Literatura. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej dla studentów, cz. III. Literatura Krysicki W., Bartos J., Dyczka W., Królikowska K, Wasilewski M., Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Matematyczna w Zadaniach, cz. I. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej

Bardziej szczegółowo

Ekonometria. wiczenia 13 Metoda ±cie»ki krytycznej. Andrzej Torój. Instytut Ekonometrii Zakªad Ekonometrii Stosowanej

Ekonometria. wiczenia 13 Metoda ±cie»ki krytycznej. Andrzej Torój. Instytut Ekonometrii Zakªad Ekonometrii Stosowanej wiczenia 13 Metoda ±cie»ki krytycznej Instytut Ekonometrii Zakªad Ekonometrii Stosowanej Plan wicze«1 Przykªad: ubieranie choinki 2 3 Programowanie liniowe w analizie czasowej i czasowo-kosztowej projektu

Bardziej szczegółowo

Zarządzanie Zasobami by CTI. Instrukcja

Zarządzanie Zasobami by CTI. Instrukcja Zarządzanie Zasobami by CTI Instrukcja Spis treści 1. Opis programu... 3 2. Konfiguracja... 4 3. Okno główne programu... 5 3.1. Narzędzia do zarządzania zasobami... 5 3.2. Oś czasu... 7 3.3. Wykres Gantta...

Bardziej szczegółowo

PRAWA ZACHOWANIA. Podstawowe terminy. Cia a tworz ce uk ad mechaniczny oddzia ywuj mi dzy sob i z cia ami nie nale cymi do uk adu za pomoc

PRAWA ZACHOWANIA. Podstawowe terminy. Cia a tworz ce uk ad mechaniczny oddzia ywuj mi dzy sob i z cia ami nie nale cymi do uk adu za pomoc PRAWA ZACHOWANIA Podstawowe terminy Cia a tworz ce uk ad mechaniczny oddzia ywuj mi dzy sob i z cia ami nie nale cymi do uk adu za pomoc a) si wewn trznych - si dzia aj cych na dane cia o ze strony innych

Bardziej szczegółowo

Ksztaªt orbity planety: I prawo Keplera

Ksztaªt orbity planety: I prawo Keplera V 0 V 0 Ksztaªt orbity planety: I prawo Keplera oka»emy,»e orbit planety poruszaj cej si pod dziaªaniem siªy ci»ko±ci ze strony Sªo«ca jest krzywa sto»kowa, w szczególno±ci elipsa. Wektor pr dko±ci planety

Bardziej szczegółowo

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 12.10.2002 r.

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 12.10.2002 r. Matematya ubezpieczeń majątowych.0.00 r. Zadanie. W pewnym portfelu ryzy ubezpieczycielowi udaje się reompensować sobie jedną trzecią wartości pierwotnie wypłaconych odszodowań w formie regresów. Oczywiście

Bardziej szczegółowo

2 Podstawowe obiekty kombinatoryczne

2 Podstawowe obiekty kombinatoryczne 2 Podstawowe obiety ombinatoryczne Oznaczenia: N {0, 1, 2,... } zbiór liczb naturalnych. Dla n N przyjmujemy [n] {1, 2,..., n}. W szczególno±ci [0] jest zbiorem pustym. Je±li A jest zbiorem so«czonym,

Bardziej szczegółowo

I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji.

I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji. I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji. Niech x 0 R i niech f będzie funkcją określoną przynajmniej na

Bardziej szczegółowo

Rynkowa wycena egzotycznych instrumentów pochodnych kursów walutowych { opcje barierowe

Rynkowa wycena egzotycznych instrumentów pochodnych kursów walutowych { opcje barierowe Rynkowa wycena egzotycznych instrumentów pochodnych kursów walutowych { opcje barierowe Ewa Kijewska BRE Bank 16 maja 2008 Ewa Kijewska (BRE Bank) Rynkowa wycena egzotycznych instrumentów pochodnych kursów

Bardziej szczegółowo

CAŠKA NIEOZNACZONA. Politechnika Lubelska. Z.Šagodowski. 18 lutego 2016

CAŠKA NIEOZNACZONA. Politechnika Lubelska. Z.Šagodowski. 18 lutego 2016 WYKŠAD CAŠKA NIEOZNACZONA Z.Šagodowski Politechnika Lubelska 8 lutego 06 Denicja CAŠKA NIEOZNACZONA Funkcja F jest funkcja pierwotn funkcji f na przedziale A, je»eli Zauwa»my,ze F (x) = f (x), dla ka»dego

Bardziej szczegółowo

Bash i algorytmy. Elwira Wachowicz. 20 lutego

Bash i algorytmy. Elwira Wachowicz. 20 lutego Bash i algorytmy Elwira Wachowicz elwira@ifd.uni.wroc.pl 20 lutego 2012 Elwira Wachowicz (elwira@ifd.uni.wroc.pl) Bash i algorytmy 20 lutego 2012 1 / 16 Inne przydatne polecenia Polecenie Dziaªanie Przykªad

Bardziej szczegółowo