Projekt dyplomowy in»ynierski
|
|
- Bożena Żukowska
- 8 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Katedra/Zakªad: Analizy Matematycznej i Numerycznej Kierunek studiów: Matematyka Specjalno± : Matematyka nansowa Rodzaj studiów: stacjonarne Imi i nazwisko: Alicja Czerwi«ska Numer albumu: Projekt dyplomowy in»ynierski Temat pracy: Opcje ameryka«skie Zakres pracy: W pracy przedstawiono ogólne poj cia dotycz ce opcji ameryka«skich, opisano i wyprowadzono niektóre zale»no±ci pomi dzy cen akcji, a cen opcji oraz wyliczono ceny opcji ze wzoru Blacka-Scholesa i za pomoc mocnego prawa wielkich liczb. Zostaª równie» wygenerowany proces Wienera oraz geometryczny ruch Browna w R. Potwierdzenie przyj cia pracy: Opiekun pracy, Kierownik Katedry/Zakªadu... dr hab. Karol Dziedziul Gda«sk, r.
2 Spis tre±ci 1 Wst p 3 2 Wprowadzenie do opcji 4 3 Podstawowe poj cia analizy stochastycznej Filtracja, proces stochastyczny, martyngaª Moment stopu Formuªa Itô Model Blacka - Scholesa Proces Wienera Geometryczny ruch Browna Zamiana miary Ameryka«ska opcja sprzeda»y o nieograniczonym czasie trwania Ogólne Cena opcji Optymalny moment stopu Analityczny opis ceny opcji sprzeda»y Probabilistyczny opis ceny opcji sprzeda»y Ameryka«ska opcja sprzeda»y o sko«czonym czasie trwania Analityczna charakteryzacja ceny opcji sprzeda»y Ameryka«ska opcja kupna Wzór Blacka - Scholesa Probabilistyczny opis ceny opcji kupna Podsumowanie 41 9 Kody w R Dwuwymiarowy proces Wienera
3 9.2 Proces Wienera w zale»no±ci od czasu Zastopowany proces Wienera Geometryczny ruch Browna Histogram i test Shapiro - Wilka Histogram dla zlogarytmowanych warto±ci Wzór Blacka-Scholesa Porównanie cen opcji
4 Rozdziaª 1 Wst p Wedªug sªownika wyrazów obcych Kopali«skiego, opcj nazywamy prawo do powzi cia decyzji lub dokonania wyboru w okre±lonym terminie. W ekonomii opcja jest jednym z wa»niejszych instrumentów nansowych i gwarantuje ona prawo do kupna lub sprzeda»y okre±lonego instrumentu bazowego (akcji, waluty, obligacji). Za prawo to trzeba oczywi±cie zapªaci i wªa±nie cena za opcj jest jednym z aspektów rozpatrywanych w tej pracy. Praca ta skupia si na szczególnym typie opcji, na ameryka«skiej opcji na akcje. Przymiotnik ameryka«ski oznacza w tym przypadku,»e dana opcja (kupna lub sprzeda»y) mo»e by wykonana w ka»dym momencie a» do jej wyga±ni cia, co nie jest mo»liwe w przypadku opcji typu europejskiego. W Stanach Zjednoczonych opcje na akcje byªy dost pne ju» przed otwarciem gieªdy kontraktów opcyjnych (Chicago Board Options Exchange). Premia, czyli cena za opcj, byªa wpierw negocjowana indywidualnie. Nie gwarantowaªo to jednak pªynno±ci rynku. Dzisiaj ceny opcji ksztaªtuj si na zasadzie prawa popytu i poda»y. Na polskim rynku nie ma mo»liwo±ci kupna opcji typu ameryka«skiego. Celem pracy jest pokazanie oraz wyprowadzenie niektórych zale»no±ci, które zachodz pomi dzy cen akcji, a cen opcji w modelu Blacka-Scholesa. Jest to model opisuj cy zachowanie si cen instrumentów nansowych w czasie. Proces cenowy jest procesem stochastycznym, którego nazwa to geometryczny ruch Browna. Wygenerowanie tego procesu oraz samego ruchu Browna, czyli procesu Wienera jest wa»nym zadaniem w tej pracy in»ynierskiej. Zostaª u»yty do tego j zyk programowania R. Jest to darmowe ±rodowisko, w którym mo»liwe s obliczenia statystyczne, przeprowadzanie testów statystycznych oraz wizualizacja wyników. Poszczególne kody zostaªy zamieszczone na ko«cu pracy. 3
5 Rozdziaª 2 Wprowadzenie do opcji Denicja Opcj nazywamy instrument nansowy, daj cy kupcy prawo, ale nie obowi zek do zakupu lub sprzeda»y okre±lonego instrumentu bazowego (underlying asset), w tym przypadku akcji, po ustalonej cenie wykonania opcji K (strike price) i w ustalonym terminie wyga±ni cia opcji T (expiry date). Opcj kupna nazywamy opcj Call, natomiast opcj sprzeda»y nazywamy opcj Put. Opcje mo»na podzieli na europejskie i ameryka«skie. Podziaª ten nie jest jednak zwi zany z poªo»eniem geogracznym. Gdy wykonanie opcji jest mo»liwe tylko w momencie wyga±ni cia T, to opcj t nazywamy opcj europejsk. Gdy wykonanie jest mo»liwe w dowolnym momencie do czasu wyga±ni cia, to mamy do czynienia z opcj ameryka«sk. Mówi si,»e osoba kupuj ca opcj zajmuje pozycj dªug (long position), natomiast sprzedaj cy opcj znajduje si w pozycji krótkiej (short position). W zwi zku z tym wyró»niamy cztery ró»ne pozycje: short put - sprzedaj cy opcj sprzeda»y long put - kupuj cy opcj sprzeda»y short call - sprzedaj cy opcj kupna long call - kupuj cy opcj kupna. Wypªata, czyli pay-o opcji wynosi odpowiednio: (S T K) + = max{s T K, 0} = max{s T, K} K dla opcji kupna (call option), (K S T ) + = max{k S T, 0} = max{k, S T } S T dla opcji sprzeda»y (put option). 4
6 S T oznacza tutaj cen akcji w czasie T. wypłata K S wypªata posiadacza opcji kupna wypłata K S wypªata posiadacza opcji sprzeda»y Rysunek 2.1: Pay-o opcji call i put Niech t T. Mówimy,»e opcja kupna jest: nie w cenie (out of the money), gdy S(t) < K, po cenie (at the money), gdy S(t) = K, w cenie (in the money), gdy S(t) > K. W takim razie dla opcji sprzeda»y mówimy,»e jest ona: nie w cenie, gdy S(t) > K, po cenie, gdy S(t) = K, 5
7 w cenie, gdy S(t) < K. Z de nicji opcji wynika,»e jest ona prawem, za które si pªaci. Oznacza to,»e osoba nabywaj ca dan opcj pªaci za ni jej wystawcy. Zapªata ta nazywana jest premi. Dochód posiadacza opcji musi wi c by ni»szy ni» wypªata, natomiast dochód sprzedaj cego opcj musi by wy»szy od wypªaty. Wypªata pªacona jest w dniu wykonania opcji, natomiast za sam opcj pªaci si w momencie jej zawarcia. Mo»na jednak powiedzie,»e ró»nica mi dzy wypªat, a dochodem jest cen opcji. Oznaczaj c przez C cen za opcj mo»na zilustrowa dochody dªugiej i krótkiej pozycji obu opcji. dochód dochód C K+C K K+C S K S C Dochód posiadacza opcji kupna Dochód wystawcy opcji kupna dochód dochód C K K-C K-C S K -C Dochód posiadacza opcji sprzeda»y Dochód wystawcy opcji sprzeda»y Rysunek 2.2: Dochody poszczególnych opcji 6 S
8 Rozdziaª 3 Podstawowe poj cia analizy stochastycznej 3.1 Filtracja, proces stochastyczny, martyngaª Niech trójka (Ω, F, P) oznacza przestrze«probabilistyczn, przy czym: Ω - zbiór zdarze«elementarnych F - σ-ciaªo zdarze«, czyli σ - ciaªo podzbiorów Ω P - miara probabilistyczna. Niech X : Ω R b dzie zmienn losow, wtedy jej rozkªad oznaczamy przez: P(X B). Denicja Filtracj nazywamy niemalej c rodzin σ - ciaª F = (F t ) t T, tzn. F s F t F dla s < t, s, t T. Ponadto dla czasu ci gªego wszystkie ltracje speªniaj tak zwane warunki zwykªe: F 0 = {, Ω}. Dodatkowo F 0, jak równie» F t zawieraj zdarzenia o prawdopodobie«- stwie równym 0, F jest prawostronnie ci gªa: t F t = F t+, gdzie F t+ = t<s F s, 7
9 F jest zupeªna: ka»de σ - ciaªo F t jest zupeªne. Denicja Rodzin zmiennych losowych {X t (ω), t T, ω Ω}, zale»nych od parametru t i okre±lonych na przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P) nazywamy procesem stochastycznym (X t ) t T. Proces jest adaptowany do ltracji F = (F t ) t T t T zmienna losowa X t jest F t - mierzalna. lub F - adaptowalny dla ka»dego Denicja Proces stochastyczny {X t (ω), t T, ω Ω} nazywa si procesem nieantycypuj cym je»eli jest on adaptowany do ltracji (F t ) t T oraz jest mierzalny. Denicja Je±li zaszªo ustalone zdarzenie elementarne ω, to funkcja t X t (ω) nazywa si trajektori procesu i opisuje zale»no± obserwacji od czasu. Gdy rozwa»amy czas ci gªy, to proces ma ci gªe trajektorie. Denicja Warunkow warto±ci oczekiwan caªkowalnej zmiennej losowej X pod warunkiem ltracji F nazywamy zmienn losow E(X F), speªniaj c warunki: 1. E(X F) jest F - mierzalna 2. Dla ka»dego A F A XdP = A E(X F)dP. Denicja Ci g (X n ) n N caªkowalnych zmiennych losowych o warto±ciach rzeczywistych, adaptowany do F t nazywa si : martyngaªem wzgl dem F, gdy dla s, t T, s t: E(X t F s ) = X s prawie na pewno, nadmartyngaªem wzgl dem F, gdy dla s, t T, s t: E(X t F s ) X s, podmartyngaªem wzgl dem F, je±li ( X t, F t ) t T jest nadmartyngaªem. 8
10 3.2 Moment stopu Wiedz c czym jest ltracja, mo»liwy jest do zdeniowania moment stopu: Denicja Momentem stopu (czasem stopu, czasem zatrzymania) τ nazywamy uogólnion zmienn losow, która przyjmuje warto±ci w przedziale [0, ] i dla której zachodzi {τ t} F(t) t 0. Denicja Niech X b dzie procesem adaptowanym do ltracji F t oraz X ma ci gªe trajektorie. Deniujemy zmienn losow τ m = inf{t 0; X(t) = m}, okre±laj c moment, w którym proces X osi ga pierwszy raz poziom m. Dodatkowo inf{ } =. Twierdzenie Zaªó»my,»e X jest procesem adaptowanym do ltracji F t. Wtedy uogólniona zmienna losowa τ m : Ω [0, ], taka»e τ m = inf{t 0; X(t) = m} dla m R jest momentem stopu. Twierdzenie Zatrzymuj c ci g X = (X t ) w czasie stopu τ otrzymujemy: X τ := (X τ t ) = (X t τ ). Zastopowany ci g posiada nast puj ce wªasno±ci: je»eli (X t ) jest adaptowany do ltracji, a τ jest momentem stopu, to tak»e zastopowany ci g (X t τ ) jest adaptowany do ltracji je»eli (X t ) jest (nad-)martyngaªem i τ momentem stopu, to zastopowany ci g (X t τ ) te» jest (nad-)martngaªem. Ostatnia wªasno± nazywa si twierdzeniem opcjonalnego zatrzymania (Optional Stopping Theorem). Poni»sza ilustracja przedstawia przykªad zastopowanego procesu. Proces ten jest przedstawionym w nast pnym rozdziale procesem Wienera. Zakªadamy,»e stopujemy, gdy proces osi gnie poziom 1. Jak wida dla przedziaªu czasowego [0,1] i trzech niezale»nych 9
11 Rysunek 3.1: Zastopowany proces Wienera, kod: 9.3 trajektorii procesu, osi gn ª on raz poziom 1. Aby obliczy prawdopodobie«stwo dotarcia procesu Wienera do ustalonego poziomu m, nale»y zastosowa prawo odbicia dla tego procesu. Brzmi ono nast puj co: Twierdzenie Niech M t := sup s<t W s. Dla m 0, x m zachodzi: P(W t x, M t m) = P(W t 2m x) Niech τ m b dzie takim czasem stopu,»e τ m = inf{t 0; W t = m} = inf{t 0; W t m}. Jest to moment, w którym proces osi ga po raz pierwszy poziom m, czyli W τm = m. Oznacza to,»e W s, gdzie s < t osi ga poziom m, je»eli τ m t, a wi c szukane prawdopodobie«stwo P(M t m) jest równe P(τ m t). Przeksztaªcaj c prawo odbicia, mo»na zapisa,»e P(W t m x, M t m) = P(W t m + x). Dla x = 0 równanie to przyjmuje posta P(W t m, M t m) = P(W t m). Poniewa» M t zdeniowane jest jako supremum po wszystkich W s dla s < t, to P(W t > m, M t m) = P(W t > m) = P(W t m). Sumuj c oba prawdopodobie«stwa otrzymujemy,»e dla ustalonego m P(M t m) = P(W t m, M t m) + P(W t > m, M t m) = 2P(W t m) = P(τ m t). 10
12 Przeksztaªcaj c powy»sze równanie otrzymujemy dystrybuant zmiennej losowej τ m dla t > 0 F τm (t) = P(τ m t) = 2P(W t m) (3.1) = 2(1 P(W t m)) = 2 2P(W t m) = 2 2 m 1 e x2 2t dx. 2πt Ponadto wiadomo,»e je»eli zmienna losowa X ma rozkªad normalny z warto±ci oczekiwan równ µ oraz wariancj równ σ 2, to zmienna losowa Y = X µ σ rozkªad normalny N (0, 1). Wynika z tego,»e Podstawiaj c do 3.1 otrzymujemy P(W t m) = P( W t 0 t m 0 t ) = Φ( m t ). F τm (t) = 2 2Φ( m t ) ma standardowy Wynika z tego, ze prawdopodobie«stwo dotarcia do bariery m wynosi P(M t m) = P(τ m t) = 2 2Φ( m t ) t 2 2Φ(0) = = 1. Wiadomo wi c,»e proces pr dzej, czy pó¹niej dotrze do bariery m, nie wiadomo jednak kiedy. Nale»y wi c policzy warto± oczekiwan zmiennej losowej τ m. Potrzebna jest w tym celu funkcja g sto±ci rozkªadu zmiennej losowej τ m, która jest pochodn dystrybuanty po t i wynosi f τm (t) = m f( m ), t 3 2 t gdzie f jest funkcj g sto±ci standardowego rozkªadu normalnego. Dla t > 0 prawdziwe jest,»e f( m t ) t f(0) = 1 2π. Mo»liwe jest teraz policzenie warto±ci oczekiwanej zmiennej losowej τ m. E(τ m ) = t m f( m )dt t 3 2 t = 0 m 1 dt 2π t 0 m 2π 2 t 0. Interpretacja jest taka,»e czas dotarcia do bariery jest bardzo dªugi. 11
13 3.3 Formuªa Itô Kiyoshi Itô ( ) - japo«ski matematyk, którego praca zostaªa nazwana jego nazwiskiem: rachunek Itô, caªka Itô, formuªa Itô. Zajmowaª si opisywaniem i zrozumieniem zdarze«losowych. Jego teoria jest stosowana w wielu dziedzinach matematyki, w du»ej cz ±ci w matematyce nansowej. Niech W = (W t ) t 0 jest procesem Wienera z denicji Denicja Mówimy,»e X jest procesem Itô, je±li X ma ci gªe trajektorie i istniej procesy nieantycypuj ce a, b takie,»e prawie na pewno dla ka»dego t T zachodzi równo± t t X t = X 0 + a s ds + b s dw s (3.2) 0 0 oraz dla procesów a, b obie caªki istniej, czyli T P( T a s ds < ) = 1, P( b 2 sds < ) = Równo± (3.3.1) zapisujemy w skrócie dx t = a t dt + b t dw t (3.3) i mówimy,»e X ma ró»niczk stochastyczn (3.3). Lemat Niech X t jest procesem Itô takim,»e t t X t = a s ds + b s dw s. (3.4) 0 0 Wtedy dla dowolnej funkcji F takiej,»e F C 1,2 (R + R) zachodzi formuªa Itô F (t, X t ) = F (0, X 0 ) + + t prawie na pewno dla wszystkich t. 0 t 0 F x (s, X s)a s ds F t s (s, X s)ds + t 0 0 F x (s, X s)b s dw s (3.5) 2 F x 2 (s, X s)b 2 sds 12
14 Powy»szy lemat nazywa si lematem Itô. ró»niczkowej Wzór Itô mo»na przedstawi w postaci df (t, X t ) = F t (t, X t)dt + F x (t, X t)b t dw t + F x (t, X t)a t dt F 2 x (t, X t)b 2 2 t dt. (3.6) W przypadku, gdy funkcja F nie zale»y od czasu, wzór (3.6) przyjmuje jeszcze prostsz posta df (X t ) = F x (X t)b t dw t + F = F x (X t)dx t F x 2 (X t)b 2 t dt (3.7) x (X t)a t dt F x (X t)b 2 2 t dt. (3.8) 13
15 Rozdziaª 4 Model Blacka - Scholesa 4.1 Proces Wienera Denicja Proces stochastyczny W = (W t ) t 0 okre±lony na przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P ) nazywa si standardowym, jednowymiarowym ruchem Browna lub procesem Wienera, gdy: W 0 = 0 P -(p.n.), W posiada niezale»ne wzgl dem ltracji przyrosty, tzn: s<t u 0 W t+u W t jest niezale»ne od W s, W posiada przyrosty o rozkªadzie normalnym, tzn: t,u 0 W t+u W t N (0, u). Uwaga: W t W s N (0, t s) oraz W t = W t W 0 N (0, t). Poni»sze rysunki przedstawiaj dwuwymiarowy proces Wienera (W 1t, W 2t ) oraz trzy niezale»ne trajektorie procesu Wienera. 14
16 Rysunek 4.1: Dwuwymiarowy proces Wienera, kod: 9.1 Rysunek 4.2: Realizacja procesu Wienera, kod: Geometryczny ruch Browna Denicja Równanie: S(t) = S 0 exp(σw t + (µ 1 2 σ2 )t) (4.1) nazywa si geometrycznym ruchem Browna, przy czym: S(t) - cena akcji w czasie t S 0 - pocz tkowa cena akcji 15
17 µ - dryf σ - zmienno± ceny akcji W (t) - proces Wienera. Dodatkowo S(t) S 0 ma rozkªad lognormalny, co znaczy,»e ln( S(t) S 0 ) N ((µ 1 2 σ2 )t, σ 2 t). Równanie (4.1) jest rozwi zaniem stochastycznego równania ró»niczkowego ds(t) = µs(t)dt + σs(t)dw (t). (4.2) Mo»na udowodni numerycznie,»e rozwi zaniem powy»szego równania ró»niczkowego jest zmienna losowa (4.1). Aby to pokaza, generujemy proces S(t). Warto±ci S(0), µ, σ s znane. Równanie mo»na zapisa w inny sposób: S(t i ) = µs(t i )dt + σs(t i )dw (t i ). Wiadomo,»e S(t i ) S(t i 1 ) = S(t i 1 ). Kolejne warto±ci S(t i ) otrzymujemy wi c dodaj c S(t i 1 ) do S(t i 1 ). Czynno± t wykonujmy T/dt razy. Dla S(0) = 1, σ = 0.8, µ = 0.2 niezale»ne trajektorie wygl daj nast puj co: Rysunek 4.3: Geometryczny ruch Browna, kod:
18 Czynno± t powtarzamy 500 razy i dla t = 1 tworzymy histogram. Nast pnie dla otrzymanych 500 warto±ci S(t) znajdujemy warto± oczekiwan i standardowe odchylenie rozkªadu logarytmicznie normalnego za pomoc funkcji tdistr() i nast pnie, dla otrzymanych warto±ci mo»na nanie± na histogram wykres g sto±ci rozkªadu logarytmicznie normalnego. Jak wida na poni»szym obrazku, wykresy pokrywaj si, co sugeruje,»e rozwi zaniem równania ró»niczkowego jest rzeczywi±cie zmienna losowa o rozkªadzie logarytmicznie normalnym. Rysunek 4.4: Histogram, kod: 9.5 Aby to potwierdzi, przeprowadzamy test normalno±ci Shapiro - Wilka. Test ten bada jednak, czy zmienne losowe maj rozkªad normalny. Nale»y wi c zlogarytmowa warto±ci S i na nich przeprowadzi test. Poni»y rysunek przedstawia histogram zlogarytmowanych warto±ci oraz funkcj g sto±ci rozkªadu normalnego dla tych zmiennych losowych. 17
19 Rysunek 4.5: Histogram, kod: 9.6 Wykonuj c test badamy hipotezy zerow oraz alternatywn : H 0 : dane s z rozkªadu normalnego (p > α) H 1 : dane nie s z rozkªadu normalnego (p α) Wykonuj c ten test w R otrzymujemy : W = , p-value = Dla α = 0.05 < , a wi c nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H 0. Równanie (4.2) mo»na równie» wyprowadzi przy u»yciu formuªy Itô dla funkcji niezale»nych od czasu. Podstawiamy: X t = σw t + (µ 1 2 σ2 )t F (x) = S 0 e x Korzystaj c z (3.3) mo»na zapisa dx t = (µ 1 2 σ2 )dt + σdw t. 18
20 Dalej, zgodnie z (3.8) df (X t ) = ds t = S 0 e Xt dx t S 0e Xt σ 2 dt = S t (µ 1 2 σ2 )dt + S t σdw t σ2 S t dt = S t µdt + S t σdw t, co nale»aªo pokaza. 4.3 Zamiana miary Twierdzenie (Girsanowa). Niech W b dzie procesem Wienera wzgl dem P oraz W t = W t + γt dla t [0, T ] procesem Wienera z dryfem γ. Wtedy W jest procesem Wienera bez dryfu wzgl dem P, gdzie A FT P(A) := E(IA M T ) = M T dp. A Ponadto proces M t = exp(γw t 1 2 γ2 t) jest martyngaªem wzgl dem P. Poni»sze obliczenia sªu» do wyznaczenia warto±ci γ. Zdyskontowany proces cenowy ma posta : S t = e rt S 0 e σwt+(µ 1 2 σ2 )t = S 0 e σwt+(µ r 1 2 σ2 )t, gdzie r jest stop procentow woln od ryzyka. Przy pomocy równania Itô mo»na zapisa : d S t = S 0 σe σwt+(µ r)t dw t + (µ r 1 2 σ2 )S 0 e σwt+(µ r)t dt (4.3) σ2 S 0 e σwt+(µ r)t dt = σ S t dw t + (µ r) S t dt. Dla µ r proces ( S t ) nie jest martyngaªem wzgl dem P. Nale»y znale¹ równowa»n miar P tak,»e ( S t ) b dzie martyngaªem wzgl dem nowej miary. Miara taka nazywana jest miar martyngaªow. Dalej wiadomo,»e W t jest procesem Wienera bez dryfu wzgl dem miary P, a W t = γt+w t jest procesem Wienera z dryfem wzgl dem tej samej miary. Niech W t = γt+w t 19
21 b dzie procesem Wienera bez dryfu wzgl dem P. Wiadomo te»,»e ka»dy martyngaª jest procesem o drye równym 0. Podstawiaj c dw t = d W t γdt do równania (4.3) otrzymujemy d S t = σ S t (d W t γdt) + (µ r) S t dt = σ S t d W t σγ S t dt + (µ r) S t dt = σ S t d W t + (µ r σγ) S t dt. Dryf musi by równy 0, aby proces ( S t ) byª martyngaªem wzgl dem miary P, dlatego nale»y rozwi za równanie µ r σγ = 0 γ = µ r σ. Podstawiaj c do stochastycznego równania ró»niczkowego (4.2) otrzymujemy: ds(t) = µs(t)dt + σs(t)(d W (t) µ r dt) (4.4) σ = µs(t)dt + σs(t)d W (t) µs(t)dt + rs(t)dt = rs(t)dt + σs(t)d W (t). 20
22 Rozdziaª 5 Ameryka«ska opcja sprzeda»y o nieograniczonym czasie trwania (ang. Perpetual American Put) Wiedz c jak wygl da miara martyngaªowa P, Ẽ(X) b dzie oznacza warto± oczekiwan zmiennej losowej X wzgl dem miary P. 5.1 Ogólne Jak sama nazwa wskazuje, jest to opcja, która nie posiada momentu wyga±ni cia. Z powodu braku przeszkód zwi zanych z wyga±ni ciem opcji, formuªa okre±laj ca jej cen mo»e by podana. W celu uzyskania tej formuªy musimy najpierw ustali optymalny moment zatrzymania. Do oblicze«wykorzystywany jest geometryczny ruch Browna, speªniaj cy równanie ds(t) = rs(t)dt + σs(t)d W (t). (5.1) Ponadto opcja ta nie jest opcj standardow, poniewa» nie ma zastosowania w ±wiecie rzeczywistym. Denicja Niech T b dzie zbiorem wszystkich momentów stopu τ. Cena ameryka«skiej opcji sprzeda»y o nieograniczonym czasie trwania v zadana jest wzorem v (x) = sup Ẽ[e rτ (K S(τ)) + ], τ T 21
23 gdzie x = S(0) jest cen akcji w czasie t = 0. Warto zada sobie pytanie, kiedy nabywca opcji powinien j wykona. Powinien on wybra taki moment, w którym wykonanie opcji zmaksymalizuje zysk. Zysk mo»e by jednak nieograniczony, dlatego posiadacz powinien zdecydowa, jaki zysk go satysfakcjonuje i wedªug tego opracowa swoj strategi wykonania opcji. Jako posiadacz ameryka«skiej opcji sprzeda»y o nieograniczonym czasie trwania, mo»e on ponadto wykona j w ka»dym momencie. Nie istnieje moment wyga±ni cia opcji, po którym opcja nie mogªaby by wykonana cena nie zale»y od czasu, lecz od warto±ci S(t). Nasuwa si wniosek,»e wªa±ciciel powinien wykona opcj, gdy S(t) spadnie poni»ej K. 5.2 Cena opcji Twierdzenie (Transformata Laplace'a). Niech W (t) b dzie procesem Wienera wzgl dem miary prawdopodobie«stwa P, a µ pozytywn i rzeczywist liczb. Deniujemy proces X(t) = µt + W (t) oraz czas stopu Wówczas τ m = inf{t 0; X(t) = m}. Ẽe λτm = e m( µ+ µ 2 +2λ) λ > 0. Dowód. Wiadomo,»e proces e σ W t 1 2 σ2t jest martyngaªem, poniewa» E[e σ W t 1 2 σ2t F s ] = e 1 2 σ2t E[e σ W t F s ] = e 1 2 σ2t E[e σ( W t W s)+σ W s F s ] = e 1 2 σ2 t+σ W s E[e σ( W t W s) F s ] = e 1 2 σ2 t+σ W s e σ2 (t s) 2 = e σ W s 1 2 σ2 s Deniujemy σ = µ + µ 2 + 2λ, z czego wynika,»e σ > 0. } {{ } >µ 22
24 Podnosz c do kwadratu poprzednie równanie otrzymujemy 1 2 σ2 = λ µσ. σ 2 = µ 2 2µ µ 2 + 2λ + µ 2 + 2λ σ 2 = 2µ 2 2µ µ 2 + 2λ + 2λ 1 2 σ2 = µ 2 + λ µ µ 2 + 2λ 1 2 σ2 = λ µ( µ 2 + 2λ µ) Poniewa» proces e σ W t 1 2 σ2t jest martyngaªem, to podstawiaj c te» jest martyngaªem. e σ W t 1 2 σ2t = e σ W t λ σµt = e σxt λt Zgodnie z twierdzeniem opcjonalnego stopowania zastopowany martyngaª M(t) = e σ W (t τ m) 1 2 σ2 (t τ m) te» jest martyngaªem. Wiadomo,»e dla ka»dej dodatniej liczby caªkowitej n 1 = M(0) = ẼM(n) = Ẽ[eσX(n τm) λ(n τm) ] = Ẽ[eσm λτm I τm n] + Ẽ[eσX(n) λn I τm>n]. Nieujemna zmienna losowa e σm λτm I τm n wzrasta wraz z n i ma granic w e σm λτm I τm. Innymi sªowy 0 e σm λτm I τm 1 e σm λτm I τm 2... prawie na pewno, czyli lim n e σm λτm I τm n = e σm λτm I τm prawie na pewno. Z twierdzenia o monotonicznej zbie»no±ci ci gu wynika,»e 23
25 lim n Ẽ[e σm λτm I τm n] = Ẽ[eσm λτm I τm ]. Z drugiej strony, poniewa» X(n) m dla n τ m oraz σ > 0, to zmienna losowa e σx(n) λn I τm>n speªnia nierówno± : Dla λ > 0 0 e σx(n) λn I τm>n e σm λn e σm prawie na pewno. lim n e σx(n) λn I τm>n lim n e σm λn = 0. Zgodnie z twierdzeniem Lebesgue'a o zbie»no±ci ograniczonej lim n Ẽ[e σx(n) λn I τm>n] = 0. Podstawiaj c granic do równania na pocz tku dowodu, otrzymujemy,»e: Ẽ[e σm λτm I τm< ] = 1 Ẽ[e λτm I τm< ] = e σm = e m( µ+ µ 2 +2λ) dla ka»dego λ > 0. Twierdzenie 5.2 b dzie potrzebne do udowodnienia wzoru na cen opcji. Denicja Niech τ L b dzie momentem stopu dla procesu S(t) takim,»e τ L = inf{t 0; S(t) = L}. Cena opcji sprzeda»y v L przy zaªo»eniu,»e opcja zostanie wykonana w momencie, gdy cena akcji S(t) osi gnie poziom L < K, wynosi v L (x) = Ẽ[e rτ L (K L)] = (K L)Ẽ[e rτ L ]. (5.2) τ L mo»na wyznaczy za pomoc wykresu geometrycznego ruchu Browna. Generujemy proces dla µ = 0.2 i σ = 0.8. Nast pnie ustalamy poziom L, np. L = 1.5 i nanosimy go na wykres. τ L jest wspóªrz dn na osi czasu dla pierwszego punktu przeci cia poziomu L z procesem S. 24
26 Rysunek 5.1: Geometryczny ruch Browna przeci ty prost y = 1.5 Gdy S 0 jest wi ksze od K, to zgodnie z [2] mo»na zapisa,»e v (x) = sup L (K L)Ẽ[e rτ L ] = sup v L. L Rozwa»my teraz mo»liwo±ci wªa±ciciela opcji zaraz po jej kupieniu. Nabywca musi ustali poziom cenowy L tak,»eby L < K i postanawia wykona swoj opcj sprzeda»y, gdy cena akcji S spadnie po raz pierwszy do lub poni»ej poziomu L. Jest to uzasadnione, poniewa» wypªata opcji sprzeda»y wynosi (K S) + i przy tych zaªo»eniach gwarantujemy,»e b dzie ona dodatnia. W czasie t = 0 mog wyst pi dwie nast puj ce sytuacje: S(0) L nabywca wykonuje opcj natychmiast. Cena opcji wynosi wtedy v L (S(0)) = K S(0) i jest równa wypªacie. S(0) > L nabywca czeka i wykonuje opcj dopiero w momencie τ L = min{t 0; S(t) = L}. W tym przypadku wypªata wynosi 25
27 K S(τ L ) = K L. Cena opcji ró»na od wypªaty wynosi natomiast v L (S(0)) = (K L)Ẽe rτ L S(0) L i jest to zdyskontowana wypªata w czasie t = 0. Lemat Funkcja v L (x) jest zadana wzorem: K x 0 x L v L (x) = (K L)( x 2r ) σ L 2 x L. Dowód. Przypadek, gdy 0 x L jest oczywisty. Dla x L rozwa»my dwie mo»liwo±ci: 1. x = L, wtedy τ L = 0 i dla v L (S(0)) = (K L)Ee rτ L warto± vl (x) wynosi K x = K L 2. x > L, rozwa»my przypadek gdy S(0) = x > L. Moment stopu τ L jest pierwszym momentem, w którym warto± akcji: S(t) = xexp{σ W (t) + (r 1 2 σ2 )t} osi gnie poziom L. Rozwi zuj c równo± S(t) = L, otrzymujemy: xexp{σ W (t) + (r 1 2 σ2 )t} = L exp{σ W (t) + (r 1 2 σ2 )t} = L x σ W (t) + (r 1 2 σ2 )t = ln( L x ) W (t) 1 σ (r 1 2 σ2 )t = 1 σ ln( x L ) Zgodnie z twierdzeniem 5.2 podstawiamy w nast puj cy sposób 26
28 µ { }} { W (t) 1 σ (r 1 2 σ2 )t = 1 } {{ } σ ln( x L ), a za λ podstawiamy r. } {{ } X(t) m (Mo»emy tak zrobi, poniewa» zarówno proces W (t) oraz W (t) s procesami Wienera wzgl dem miary prawdopodobie«stwa P.) Dzi ki podstawieniom otrzymujemy,»e τ m = τ L. Post puj c zgodnie z poprzednim twierdzeniem musimy policzy : µ 2 + 2λ = 1 σ 2 (r 1 2 σ2 ) 2 + 2r = 1 σ 2 (r2 rσ σ4 ) + 2r = r2 σ 2 r + σ r = 1 σ 2 (r2 rσ 2 + σ rσ2 ) = 1 σ 2 (r2 + rσ 2 + σ4 4 ) = 1 σ 2 (r σ2 ) 2. Z tego wynika,»e: µ + µ 2 + 2λ = 1 σ (r 1 2 σ2 ) + 1 σ (r σ2 ) = 2r σ. Z poprzedniego twierdzenia Ee rτ L = exp{ 1 σ = ( x L ) 2r σ 2. 2r σ log x L } 5.3 Optymalny moment stopu Dokªadny wzór na cen opcji jest ju» znany, jednak nadal nie wiadomo ile powinien wynosi poziom L. Zakªadamy,»e opcja powinna zosta wykonana wtedy, gdy S(t) 27
29 osi gnie poziom L! Problemem jest znalezienie tego optymalnego poziomu L, dla którego wykonanie opcji nie przyniesie straty. Niech wi c L b dzie szukanym poziomem, a v L (x) cen za opcje sprzeda»y zale»n od pocz tkowej ceny akcji x. Wiadomo,»e dla x L: v L (x) = (K L)( x 2r ) σ L = (K L)x 2r σ 2 L 2r σ 2. x jest cen pocz tkow akcji, tak wi c dla ustalonego x, warto± L maksymalizuje wielko± v L. Dlatego przy ustalonym x szukamy maksimum funkcji zale» cej od L 0: f(l) = (K L)L 2r σ 2. Rysunek 5.2: Wykres funkcji f(l) Widzimy,»e f(0) = 0, poniewa» 2r > 0 oraz lim σ 2 L f(l) =. Aby znale¹ maksimum funkcji nale»y policzy jej pierwsz pochodn : 28
30 f (L) = L 2r σ 2 = L 2r σ 2 = L 2r σ 2 ( + (K L) 2r σ L 2r σ 2 2 σ 2 + 2r 2r σ 2 KL σ σ2 2 2r σ L 2r 2 σ 2 2r + σ2 ) + 2r 2r σ 2 KL σ 2 σ2 σ 2. Przyrównuj c do 0 otrzymujemy: L 2r σ 2 ( L 2r σ 2 ( L = 2r + σ2 σ 2 2r + σ2 σ 2 L 2r σ 2 ( ) + 2r 2r σ 2 KL σ σ2 = 0 ) + 2r 2r KL σ 2 L 1 = 0 σ 2r σ2 σ 2 + 2r σ 2 K 1 L ) } {{ } =0 σ2 2r 2r + σ 2 σ K = 2 = 0 2r + σ 2 σ 2 = 2r σ 2 K 1 L 2r 2r + σ 2 K. Podstawiaj c L do funkcji f otrzymujemy: f(l ) = (K 2r 2r + σ K)( 2r 2r K) 2 σ 2r + σ2 2 = ( 2r + σ2 2r 2r K)( 2r + σ 2 2r + σ ) 2r 2 σ 2 K 2r σ 2 σ 2 = 2r + σ ( 2r 2 2r + σ ) 2r 2 σ 2 K 2r+σ2 σ Analityczny opis ceny opcji sprzeda»y Od tego momentu cena opcji oznaczona b dzie przez v L. 29
31 Ci gªo± funkcji v L oraz jej pochodnych: K x 0 x L v L (x) = (K L )( x L ) 2r σ 2 x L, 1 0 x L v L (x) = (K L ) 2r ( x σ 2 x L ) 2r σ 2 x L. Pierwsza pochodna jest ci gªa w punkcie x = L. Mo»na to ªatwo pokaza. Po podstawieniu L prawostronna granica wynosi: v L (L +) = 2r (K L σ 2 ) = 2rK + 2r L σ 2 L σ = 2rK 2r + σ 2 2 σ 2 2rK + 2r σ = 1. 2 Jak wida, pierwsza pochodna funkcji v L (x) jest ci gªa oraz sama funkcja te» jest ci gªa. Druga pochodna po x funkcji podaj cej cen opcji wynosi: 0 0 x < L v L (x) = (K L ) 2r(2r+σ2 ) ( x L ) 2r σ 2 x > L. σ 4 x 2 W tym przypadku pochodna nie jest ci gªa. Jak wida, lewostronna granica wynosi 0, a prawostronna po podstawieniu L jest wi ksza od 0. Zauwa»my,»e dla x > L rv L (x) rxv L (x) 1 2 σ2 x 2 v L (x) (5.3) = (K L )(r + 2r2 σ r(2r + σ2 ) )( x ) 2r 2 σ 2 σ L 2 = (K L )( rσ2 σ 2 + 2r2 σ 2 2r2 σ 2 30 rσ2 σ )( x ) 2r 2 σ L 2 = 0,
32 natomiast dla 0 x L rv L (x) rxv L (x) 1 2 σ2 x 2 v L (x) = r(k x) + rx = rk. (5.4) Podsumowuj c, v L (x) speªnia tak zwany liniowy problem komplementarno±ci (linear complementarity conditions): 1. v L (x) (K x) + x 0, 2. rv L (x) rxv L (x) 1 2 σ2 x 2 v L (x) 0 x 0 3. dla ka»dego x 0, zachodzi równo± w 1) lub 2). 5.5 Probabilistyczny opis ceny opcji sprzeda»y Twierdzenie Niech S(t) b dzie cen akcji tak,»e ds(t) = rs(t)dt+σs(t)d W (t) oraz niech τ L = min{t 0; S(t) = L } b dzie czasem stopu. Wtedy proces e rt v L (S(t)) jest nadmartyngaªem wzgl dem P, a zastopowany proces e r(t τ L ) v L (S(t τ L )) jest martyngaªem. Dowód. U»ywaj c formuªy (3.6) da si rozpisa wyra»enie d[e rt v L (S(t))]. W rozwini ciu wyst puje druga pochodna po v L, która nie jest ci gªa w L. Formuªa ta pozostaje jednak poprawna dla funkcji, której druga pochodna ma skoki. Formuªa ta zwana jest inaczej formuª Itô dla funkcji zale»nych od czasu. Dla funkcji F (S t, t) skrócony jej zapis wygl da nast puj co: df = F t dt + F s b t dw t + F s a t dt + 1F 2 ssb 2 t dt = F t dt + F s ds t + 1F 2 ssb 2 t dt. 31
33 Stosuj c powy»sz formuª do funkcji F (S t, t) = e rt v L (S(t)) otrzymujemy d[e rt v L (S(t))] = re rt v L (S(t))dt + e rt v L (S(t))dS(t) e rt v L (S(t))S 2 (t)σ 2 dt = re rt v L (S(t))dt + e rt v L (S(t))(rS(t)dt + σs(t)d W (t)) e rt v L (S(t))S 2 (t)σ 2 dt = e rt ( rv L (S(t))dt + v L rs(t)dt + v L σs(t)d W (t) v L (S(t))S 2 (t)σ 2 dt) = e rt ( rv L (S(t)) + v L rs(t) v L (S(t))S 2 (t)σ 2 )dt + e rt v L σs(t)d W (t) Wiadomo z (5.3) oraz z (5.4),»e cz ± dt wyra»enia przyjmuje warto± 0 w przypadku, gdy S(t) > L lub wynosi rk dla S(t) < L. Dla S(t) = L druga pochodna v L jest niezdeniowana, jednak prawdopodobie«stwo,»e cena akcji osi gnie dokªadnie poziom L jest równe 0 prawie na pewno. Przeksztaªcaj c dalej równanie otrzymujemy: d[e rt v L (S(t))] = e rt rki {S(t)<L }dt + e rt σs(t)v L (S(t))d W (t) Jak ju» wiadomo, pierwsza cz ± wyra»enia jest równa 0 lub jest ujemna. Dodatkowo, dla S(t) < L pierwsza pochodna v L wynosi 1, wi c dla S(t) < L wyra»enie ma tendencj spadkow. Je»eli pocz tkowa cena akcji jest wy»sza od poziomu L, to a» do czasu τ L, czyli a» do momentu, w którym cena akcji po raz pierwszy osi ga L, wyra»enie e rt rki {S(t)<L } jest równe 0, a wyra»enie e rt σs(t)v L (S(t)) mo»e by zapisane jako zastopowany proces e r(t τ L ) v L (S(t τ L )). Po rozpisaniu otrzymujemy: e r(t τ L ) v L (S(t τ L )) = v L (0) + t τ L e ru σs(u)v L (S(u))d W (u). 0 Jest to martyngaª, poniewa» caªki Itô s martyngaªami, a zastopowane martyngaªy s martyngaªami. Wniosek: Mo»na zauwa»y,»e zdyskontowane ceny opcji europejskich s martyngaªami wzgl dem wolnej od ryzyka miary prawdopodobie«stwa oraz zdyskontowane ceny opcji ameryka«- skich s martyngaªami do czasu, w którym opcje te powinny zosta wykonane. Je»eli 32
Rozdziaª 9: Wycena opcji
Rozdziaª 9: Wycena opcji MODELOWANIE POLSKIEJ GOSPODARKI z R MPGzR (rozdz. 9) Wycena opcji 1 / 23 Denicja opcji. Opcja nansowa:. Warunkowy kontrakt terminowy na sprzeda» lub kupno instrumentu bazowego,
Bardziej szczegółowoStrategie zabezpieczaj ce
04062008 Plan prezentacji Model binarny Model Black Scholesa Bismut- Elworthy -Li formuła Model binarny i opcja call Niech cena akcji w chwili pocz tkowej wynosi S 0 = 21 Zaªó»my,»e ceny akcji po trzech
Bardziej szczegółowoANALIZA NUMERYCZNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ANALIZA NUMERYCZNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Metoda Eulera 3 1.1 zagadnienia brzegowe....................... 3 1.2 Zastosowanie ró»niczki...................... 4 1.3 Output do pliku
Bardziej szczegółowo1 Metody iteracyjne rozwi zywania równania f(x)=0
1 Metody iteracyjne rozwi zywania równania f()=0 1.1 Metoda bisekcji Zaªó»my,»e funkcja f jest ci gªa w [a 0, b 0 ]. Pierwiastek jest w przedziale [a 0, b 0 ] gdy f(a 0 )f(b 0 ) < 0. (1) Ustalmy f(a 0
Bardziej szczegółowoModele z czasem dyskretnym
Rozdziaª 1 Modele z czasem dyskretnym 1.1. Wprowadzenie- rynki dyskretne Dynamika aktywu bazowego i warunki pozyskania pieni dza-opis probabilistyczny Niech cena akcji w chwili pocz tkowej wynosi S 0 =
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoZadanie 1. Zadanie 2. Niech µ A i µ B oznaczaj stopy zwrotu odpowiednio z aktywa A i B, ªatwo obliczy,»e ,
Zadanie 1 Niech µ A i µ B oznaczaj stopy zwrotu odpowiednio z aktywa A i B, ªatwo obliczy,»e Eµ A 0, 02, Eµ 2 A 0, 0175, V arµ A 171 10 4, Eµ B 0, 135, Eµ 2 B 0, 02275, V arµ B 181 4 10 4, Eµ A µ B 0,
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna - ZSTA LMO
Statystyka matematyczna - ZSTA LMO Šukasz Smaga Wydziaª Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu Wykªad 4 Šukasz Smaga (WMI UAM) ZSTA LMO Wykªad 4 1 / 18 Wykªad 4 - zagadnienia
Bardziej szczegółowo5. (8 punktów) EGZAMIN MAGISTERSKI, r Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach
Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach ( Niezale»ne szkody maja rozkªady P (X i = k) = exp( 1)/k!, P (Y i = k) = 4+k ) k (1/3) 5 (/3) k, k = 0, 1,.... Niech S = X 1 +... + X 500 + Y 1 +... + Y 500. Skªadka
Bardziej szczegółowoWykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych.
Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. Denicja Mówimy,»e funkcja
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MAGISTERSKI, r Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach
EGZAMIN MAGISTERSKI, 12.09.2018r Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach Zadanie 1. (8 punktów) O rozkªadzie pewnego ryzyka S wiemy,»e: E[(S 20) + ] = 8 E[S 10 < S 20] = 13 P (S 20) = 3 4 P (S 10) = 1
Bardziej szczegółowo3. (8 punktów) EGZAMIN MAGISTERSKI, Biomatematyka
EGZAMIN MAGISTERSKI, 26.06.2017 Biomatematyka 1. (8 punktów) Rozwój wielko±ci pewnej populacji jest opisany równaniem: dn dt = rn(t) (1 + an(t), b gdzie N(t) jest wielko±ci populacji w chwili t, natomiast
Bardziej szczegółowoMetodydowodzenia twierdzeń
1 Metodydowodzenia twierdzeń Przez zdanie rozumiemy dowolne stwierdzenie, które jest albo prawdziwe, albo faªszywe (nie mo»e by ono jednocze±nie prawdziwe i faªszywe). Tradycyjnie b dziemy u»ywali maªych
Bardziej szczegółowoRozwi zanie równania ró»niczkowego metod operatorow (zastosowanie transformaty Laplace'a).
Rozwi zania zada«z egzaminu podstawowego z Analizy matematycznej 2.3A (24/5). Rozwi zanie równania ró»niczkowego metod operatorow (zastosowanie transformaty Laplace'a). Zadanie P/4. Metod operatorow rozwi
Bardziej szczegółowoXVII Warmi«sko-Mazurskie Zawody Matematyczne
1 XVII Warmi«sko-Mazurskie Zawody Matematyczne Kategoria: klasa VIII szkoªy podstawowej i III gimnazjum Olsztyn, 16 maja 2019r. Zad. 1. Udowodnij,»e dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y, z speªniaj cych
Bardziej szczegółowoRównania ró»niczkowe I rz du (RRIR) Twierdzenie Picarda. Anna D browska. WFTiMS. 23 marca 2010
WFTiMS 23 marca 2010 Spis tre±ci 1 Denicja 1 (równanie ró»niczkowe pierwszego rz du) Równanie y = f (t, y) (1) nazywamy równaniem ró»niczkowym zwyczajnym pierwszego rz du w postaci normalnej. Uwaga 1 Ogólna
Bardziej szczegółowoMetody dowodzenia twierdze«
Metody dowodzenia twierdze«1 Metoda indukcji matematycznej Je±li T (n) jest form zdaniow okre±lon w zbiorze liczb naturalnych, to prawdziwe jest zdanie (T (0) n N (T (n) T (n + 1))) n N T (n). 2 W przypadku
Bardziej szczegółowoCiaªa i wielomiany. 1 Denicja ciaªa. Ciaªa i wielomiany 1
Ciaªa i wielomiany 1 Ciaªa i wielomiany 1 Denicja ciaªa Niech F b dzie zbiorem, i niech + (dodawanie) oraz (mno»enie) b d dziaªaniami na zbiorze F. Denicja. Zbiór F wraz z dziaªaniami + i nazywamy ciaªem,
Bardziej szczegółowoCAŠKOWANIE METODAMI MONTE CARLO Janusz Adamowski
III. CAŠKOWAIE METODAMI MOTE CARLO Janusz Adamowski 1 1 azwa metody Podstawowym zastosowaniem w zyce metody Monte Carlo (MC) jest opis zªo-»onych ukªadów zycznych o du»ej liczbie stopni swobody. Opis zªo»onych
Bardziej szczegółowoZadanie 1. Zadanie 2. Zadanie 3
Zadanie R to rata miesi czna, odsetki w k-tej racie to ods k = R( v 8 k ), a spªata kapitaªu wyra»a si wzorem kap k = Rv 8 k, gdzie v = (, 5) /6. Dany jest ukªad nierówno±ci z którego wynika Rv 8 N R(
Bardziej szczegółowoFunkcje, wielomiany. Informacje pomocnicze
Funkcje, wielomiany Informacje pomocnicze Przydatne wzory: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 (a b) 3 = a 3 3a 2 b + 3ab 2 b 3 a 2 b 2 = (a + b)(a
Bardziej szczegółowoMateriaªy do Repetytorium z matematyki
Materiaªy do Repetytorium z matematyki 0/0 Dziaªania na liczbach wymiernych i niewymiernych wiczenie Obliczy + 4 + 4 5. ( + ) ( 4 + 4 5). ( : ) ( : 4) 4 5 6. 7. { [ 7 4 ( 0 7) ] ( } : 5) : 0 75 ( 8) (
Bardziej szczegółowoTwierdzenie Wainera. Marek Czarnecki. Warszawa, 3 lipca Wydziaª Filozoi i Socjologii Uniwersytet Warszawski
Twierdzenie Wainera Marek Czarnecki Wydziaª Filozoi i Socjologii Uniwersytet Warszawski Wydziaª Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytet Warszawski Warszawa, 3 lipca 2009 Motywacje Dla dowolnej
Bardziej szczegółowoElementy Modelowania Matematycznego Wykªad 1 Prawdopodobie«stwo
Spis tre±ci Elementy Modelowania Matematycznego Wykªad 1 Prawdopodobie«stwo Romuald Kotowski Katedra Informatyki Stosowanej PJWSTK 2009 Spis tre±ci Spis tre±ci 1 2 3 4 5 Spis tre±ci Spis tre±ci 1 2 3 4
Bardziej szczegółowoZadanie 1. Zadanie 2. Zadanie 3. Zadanie 4
Zadanie ODP = exp(, 4 )E W () = exp(, )E l (;+ ) (S()) ODP = exp(, )P (S() > ), gdzie oznacza miar martyngaªow. Przy MBS proces cen akcji ma posta S(t) = S() exp[t(µ, 5σ ) + σw t ], gdzie {W t, t } jest
Bardziej szczegółowoEkstremalnie fajne równania
Ekstremalnie fajne równania ELEMENTY RACHUNKU WARIACYJNEGO Zaczniemy od ogólnych uwag nt. rachunku wariacyjnego, który jest bardzo przydatnym narz dziem mog cym posªu»y do rozwi zywania wielu problemów
Bardziej szczegółowoO pewnym zadaniu olimpijskim
O pewnym zadaniu olimpijskim Michaª Seweryn, V LO w Krakowie opiekun pracy: dr Jacek Dymel Problem pocz tkowy Na drugim etapie LXII Olimpiady Matematycznej pojawiª si nast puj cy problem: Dla ka»dej liczby
Bardziej szczegółowo1 Granice funkcji wielu zmiennych.
AM WNE 008/009. Odpowiedzi do zada«przygotowawczych do czwartego kolokwium. Granice funkcji wielu zmiennych. Zadanie. Zadanie. Pochodne. (a) 0, Granica nie istnieje, (c) Granica nie istnieje, (d) Granica
Bardziej szczegółowoStacjonarne szeregi czasowe
e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis tre±ci 1 Denicja 1 Szereg {x t } 1 t N nazywamy ±ci±le stacjonarnym (stacjonarnym w w»szym sensie), je»eli dla dowolnych m, t 1, t 2,..., t m, τ ª czny rozkªad prawdopodobie«stwa
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
dr Krzysztof yjewski Informatyka I rok I 0 in» 12 stycznia 2016 Funkcje wielu zmiennych Informacje pomocnicze Denicja 1 Niech funkcja f(x y) b dzie okre±lona przynajmniej na otoczeniu punktu (x 0 y 0 )
Bardziej szczegółowoZADANIA. Maciej Zakarczemny
ZADANIA Maciej Zakarczemny 2 Spis tre±ci 1 Algebra 5 2 Analiza 7 2.1 Granice iterowane, granica podwójna funkcji dwóch zmiennych....... 7 2.2 Caªki powierzchniowe zorientowane...................... 8 2.2.1
Bardziej szczegółowoProste modele o zªo»onej dynamice
Proste modele o zªo»onej dynamice czyli krótki wst p do teorii chaosu Tomasz Rodak Festiwal Nauki, Techniki i Sztuki 2018 April 17, 2018 Dyskretny model pojedynczej populacji Rozwa»my pojedyncz populacj
Bardziej szczegółowoPodstawy statystycznego modelowania danych Analiza prze»ycia
Podstawy statystycznego modelowania danych Analiza prze»ycia Tomasz Suchocki Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocªawiu Katedra Genetyki i Ogólnej Hodowli Zwierz t Plan wykªadu 1. Wprowadzenie 2. Hazard rate
Bardziej szczegółowoA = n. 2. Ka»dy podzbiór zbioru sko«czonego jest zbiorem sko«czonym. Dowody tych twierdze«(elementarne, lecz nieco nu» ce) pominiemy.
Logika i teoria mnogo±ci, konspekt wykªad 12 Teoria mocy, cz ± II Def. 12.1 Ka»demu zbiorowi X przyporz dkowujemy oznaczany symbolem X obiekt zwany liczb kardynaln (lub moc zbioru X) w taki sposób,»e ta
Bardziej szczegółowo1 Poj cia pomocnicze. Przykªad 1. A A d
Poj cia pomocnicze Otoczeniem punktu x nazywamy dowolny zbiór otwarty zawieraj cy punkt x. Najcz ±ciej rozwa»amy otoczenia kuliste, tj. kule o danym promieniu ε i ±rodku x. S siedztwem punktu x nazywamy
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoCzy funkcja zadana wzorem f(x) = ex e x. 1 + e. = lim. e x + e x lim. lim. 2 dla x = 1 f(x) dla x (0, 1) e e 1 dla x = 1
II KOLOKWIUM Z AM M1 - GRUPA A - 170101r Ka»de zadanie jest po 5 punktów Ostatnie zadanie jest nieobowi zkowe, ale mo»e dostarczy dodatkowe 5 punktów pod warunkiem rozwi zania pozostaªych zada«zadanie
Bardziej szczegółowoWykªad 10. Spis tre±ci. 1 Niesko«czona studnia potencjaªu. Fizyka 2 (Informatyka - EEIiA 2006/07) c Mariusz Krasi«ski 2007
Wykªad 10 Fizyka 2 (Informatyka - EEIiA 2006/07) 08 05 2007 c Mariusz Krasi«ski 2007 Spis tre±ci 1 Niesko«czona studnia potencjaªu 1 2 Laser 3 2.1 Emisja spontaniczna...........................................
Bardziej szczegółowoElementarna statystyka
Elementarna statystyka Alexander Bendikov 26 marca 2017 Klasyczny model: eksperyment o jednakowo prawdopodobnych wynikach Zaªo»enia: 1 Przestrze«próbek S ma sko«czenie wiele wyników ω 1, ω 2,..., ω n,
Bardziej szczegółowoBiostatystyka, # 4 /Weterynaria I/
Biostatystyka, # 4 /Weterynaria I/ dr n. mat. Zdzisªaw Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowa«Matematyki i Informatyki ul. Gª boka 28, bud. CIW, p. 221 e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl
Bardziej szczegółowoWykªad 4. Funkcje wielu zmiennych.
Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 4. Funkcje wielu zmiennych. Zbiory na pªaszczy¹nie i w przestrzeni.
Bardziej szczegółowo2. Wykaż, że moment pierwszego skoku w procesie Poissona. S 1 := inf{t : N t > 0} jest zmienną losową o rozkładzie wykładniczym z parametrem λ.
Zadania z Procesów Stochastycznych 1 1. Udowodnij, że z prawdopodobieństwem 1 trajektorie procesu Poissona są niemalejące, przyjmują wartości z Z +, mają wszystkie skoki równe 1 oraz dążą do nieskończoności.
Bardziej szczegółowoELEMENTARNA TEORIA LICZB. 1. Podzielno±
ELEMENTARNA TEORIA LICZB IZABELA AGATA MALINOWSKA N = {1, 2,...} 1. Podzielno± Denicja 1.1. Niepusty podzbiór A zbioru liczb naturalnych jest ograniczony, je»eli istnieje taka liczba naturalna n 0,»e m
Bardziej szczegółowoInformacje pomocnicze
Funkcje wymierne. Równania i nierówno±ci wymierne Denicja. (uªamki proste) Wyra»enia postaci Informacje pomocnicze A gdzie A d e R n N (dx e) n nazywamy uªamkami prostymi pierwszego rodzaju. Wyra»enia
Bardziej szczegółowoWstęp do analitycznych i numerycznych metod wyceny opcji
Wstęp do analitycznych i numerycznych metod wyceny opcji Jan Palczewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytet Warszawski Warszawa, 16 maja 2008 Jan Palczewski Wycena opcji Warszawa, 2008
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne i statystyka dla in»ynierów
Kierunek: Automatyka i Robotyka, II rok Wprowadzenie PWSZ Gªogów, 2009 Plan wykªadów Wprowadzenie, podanie zagadnie«, poj cie metody numerycznej i algorytmu numerycznego, obszar zainteresowa«i stosowalno±ci
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoLekcja 9 - LICZBY LOSOWE, ZMIENNE
Lekcja 9 - LICZBY LOSOWE, ZMIENNE I STAŠE 1 Liczby losowe Czasami spotkamy si z tak sytuacj,»e b dziemy potrzebowa by program za nas wylosowaª jak ± liczb. U»yjemy do tego polecenia: - liczba losowa Sprawd¹my
Bardziej szczegółowoZbiory i odwzorowania
Zbiory i odwzorowania 1 Sposoby okre±lania zbiorów 1) Zbiór wszystkich elementów postaci f(t), gdzie t przebiega zbiór T : {f(t); t T }. 2) Zbiór wszystkich elementów x zbioru X speªniaj cych warunek ϕ(x):
Bardziej szczegółowo2. Wykaż, że moment pierwszego skoku w procesie Poissona. S 1 := inf{t : N t > 0} jest zmienną losową o rozkładzie wykładniczym z parametrem λ.
Zadania z Procesów Stochastycznych 1 1. Udowodnij, że z prawdopodobieństwem 1 trajektorie procesu Poissona są niemalejące, przyjmują wartości z Z +, mają wszystkie skoki równe 1 oraz dążą do nieskończoności.
Bardziej szczegółowoInterpolacja funkcjami sklejanymi
Interpolacja funkcjami sklejanymi Funkcje sklejane: Zaªó»my,»e mamy n + 1 w zªów t 0, t 1,, t n takich,»e t 0 < t 1 < < t n Dla danej liczby caªkowitej, nieujemnej k funkcj sklejan stopnia k nazywamy tak
Bardziej szczegółowoRozwini cia asymptotyczne dla mocy testów przybli»onych
Rozwini cia asymptotyczne dla mocy testów przybli»onych Piotr Majerski, Zbigniew Szkutnik AGH Kraków Wisªa 2010 P. Majerski, Z. Szkutnik, AGH () Rozwini cia mocy testów przybli»onych Wisªa 2010 1 / 22
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoOba zbiory s uporz dkowane liniowo. Badamy funkcj w pobli»u kresów dziedziny. Pewne punkty szczególne (np. zmiana denicji funkcji).
Plan Spis tre±ci 1 Granica 1 1.1 Po co?................................. 1 1.2 Denicje i twierdzenia........................ 4 1.3 Asymptotyka, granice niewªa±ciwe................. 7 2 Asymptoty 8 2.1
Bardziej szczegółowoPrzekroje Dedekinda 1
Przekroje Dedekinda 1 O liczbach wymiernych (tj. zbiorze Q) wiemy,»e: 1. zbiór Q jest uporz dkowany relacj mniejszo±ci < ; 2. zbiór liczb wymiernych jest g sty, tzn.: p, q Q : p < q w : p < w < q 3. 2
Bardziej szczegółowoZagadnienia na wej±ciówki z matematyki Technologia Chemiczna
Zagadnienia na wej±ciówki z matematyki Technologia Chemiczna 1. Podaj denicj liczby zespolonej. 2. Jak obliczy sum /iloczyn dwóch liczb zespolonych w postaci algebraicznej? 3. Co to jest liczba urojona?
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. II Ekstrema funkcji wielu zmiennych, twierdzenia o funkcji odwrotnej i funkcji uwikªanej
Zadania z analizy matematycznej - sem. II Ekstrema funkcji wielu zmiennych, twierdzenia o funkcji odwrotnej i funkcji uwikªanej Denicja 1. Niech X = R n b dzie przestrzeni unormowan oraz d(x, y) = x y.
Bardziej szczegółowoUkªady równa«liniowych
dr Krzysztof yjewski Mechatronika; S-I 0 in» 7 listopada 206 Ukªady równa«liniowych Informacje pomocnicze Denicja Ogólna posta ukªadu m równa«liniowych z n niewiadomymi x, x, x n, gdzie m, n N jest nast
Bardziej szczegółowoO pewnej regule alokacji jako sposobie inwestowania na gieªdzie papierów warto±ciowych
O pewnej regule alokacji jako sposobie inwestowania na gieªdzie papierów warto±ciowych Paweª Gªadki 1 Podstawowe poj cia teorii gier dwuosobowych Strategia gracza to reguªa okre±laj ca wybór przez gracza
Bardziej szczegółowoZastosowania matematyki
Zastosowania matematyki Monika Bartkiewicz 1 / 126 ...czy«cie dobrze i po»yczajcie niczego si nie spodziewaj c(šk. 6,34-35) Zagadnienie pobierania procentu jest tak stare jak gospodarka pieni»na. Procent
Bardziej szczegółowoStochastyczne równania różniczkowe, model Blacka-Scholesa
Stochastyczne równania różniczkowe, model Blacka-Scholesa Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Błądzenie losowe................................ 1 1. Proces Wienera................................. 1.3
Bardziej szczegółowoZastosowania matematyki
Zastosowania matematyki Monika Bartkiewicz 1 / 143 Dyskonto-przypomnienie Obliczanie kapitaªu pocz tkowego P v na podstawie znanej warto±ci kapitaªu ko«cowego F v nazywa si dyskontowaniem kapitaªu F v.
Bardziej szczegółowoEkonometria - wykªad 8
Ekonometria - wykªad 8 3.1 Specykacja i werykacja modelu liniowego dobór zmiennych obja±niaj cych - cz ± 1 Barbara Jasiulis-Goªdyn 11.04.2014, 25.04.2014 2013/2014 Wprowadzenie Ideologia Y zmienna obja±niana
Bardziej szczegółowoLiniowe zadania najmniejszych kwadratów
Rozdziaª 9 Liniowe zadania najmniejszych kwadratów Liniowe zadania najmniejszych kwadratów polega na znalezieniu x R n, który minimalizuje Ax b 2 dla danej macierzy A R m,n i wektora b R m. Zauwa»my,»e
Bardziej szczegółowoJanusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI Zastosowanie eliptycznych równa«ró»niczkowych
Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI 1 Rozdziaª 9 RÓWNANIA ELIPTYCZNE 9.1 Zastosowanie eliptycznych równa«ró»niczkowych cz stkowych 9.1.1 Problemy z warunkami brzegowymi W przestrzeni dwuwymiarowej
Bardziej szczegółowo2 Liczby rzeczywiste - cz. 2
2 Liczby rzeczywiste - cz. 2 W tej lekcji omówimy pozostaªe tematy zwi zane z liczbami rzeczywistymi. 2. Przedziaªy liczbowe Wyró»niamy nast puj ce rodzaje przedziaªów liczbowych: (a) przedziaªy ograniczone:
Bardziej szczegółowoMatematyka 1. Šukasz Dawidowski. Instytut Matematyki, Uniwersytet l ski
Matematyka 1 Šukasz Dawidowski Instytut Matematyki, Uniwersytet l ski Pochodna funkcji Niech a, b R, a < b. Niech f : (a, b) R b dzie funkcj oraz x, x 0 (a, b) b d ró»nymi punktami przedziaªu (a, b). Wyra»enie
Bardziej szczegółowoAM II /2019 (gr. 2 i 3) zadania przygotowawcze do I kolokwium
AM II.1 2018/2019 (gr. 2 i 3) zadania przygotowawcze do I kolokwium Normy w R n, iloczyn skalarny sprawd¹ czy dana funkcja jest norm sprawd¹, czy dany zbiór jest kul w jakiej± normie i oblicz norm wybranego
Bardziej szczegółowoWST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2013/14
WST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA Grzegorz Szkibiel Wiosna 203/4 Spis tre±ci Kodowanie i dekodowanie 4. Kodowanie a szyfrowanie..................... 4.2 Podstawowe poj cia........................
Bardziej szczegółowoI Rok LOGISTYKI: wykªad 2 Pochodna funkcji. iloraz ró»nicowy x y x
I Rok LOGISTYKI: wykªad 2 Pochodna funkcji Niech f jest okre±lona w Q(x 0, δ) i x Q(x 0, δ). Oznaczenia: x = x x 0 y = y y 0 = f(x 0 + x) f(x 0 ) y x = f(x 0 + x) f(x 0 ) iloraz ró»nicowy x y x = tgβ,
Bardziej szczegółowoWycena opcji. Dr inż. Bożena Mielczarek
Wycena opcji Dr inż. Bożena Mielczarek Stock Price Wahania ceny akcji Cena jednostki podlega niewielkim wahaniom dziennym (miesięcznym) wykazując jednak stały trend wznoszący. Cena może się doraźnie obniżać,
Bardziej szczegółowo1 Lista 6 1. LISTA Obliczy JSN renty z doªu dla (30)-latka na 3 lata w wysoko±ci Obliczenia zrobi dla TT -PL97m oraz i = 4%.
1. LISTA 6 1 1 Lista 6 1.1 Obliczy JSN renty z doªu dla (30)-latka na 3 lata w wysoko±ci 3000. Obliczenia zrobi dla TT -PL97m oraz i = 4%. 1.2 Obliczy JSN dla nast puj cej renty dla (30)-latka: je±li»yje
Bardziej szczegółowoEkonometria Bayesowska
Ekonometria Bayesowska Wykªad 9: Metody numeryczne: MCMC Andrzej Torój 1 / 17 Plan wykªadu Wprowadzenie 1 Wprowadzenie 3 / 17 Plan prezentacji Wprowadzenie 1 Wprowadzenie 3 3 / 17 Zastosowanie metod numerycznych
Bardziej szczegółowoElementy geometrii analitycznej w przestrzeni
Wykªad 3 Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni W wykªadzie tym wi kszy nacisk zostaª poªo»ony raczej na intuicyjne rozumienie deniowanych poj, ni» ±cisªe ich zdeniowanie. Dlatego niniejszy wykªad
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoArkusz maturalny. Šukasz Dawidowski. 25 kwietnia 2016r. Powtórki maturalne
Arkusz maturalny Šukasz Dawidowski Powtórki maturalne 25 kwietnia 2016r. Odwrotno±ci liczby rzeczywistej 1. 9 8 2. 0, (1) 3. 8 9 4. 0, (8) 3 4 4 4 1 jest liczba Odwrotno±ci liczby rzeczywistej 3 4 4 4
Bardziej szczegółowoOcena ryzyka inwestycyjnego na przykªadzie pary walutowej EUR/USD. 15 czerwca 2010
Ocena ryzyka inwestycyjnego na przykªadzie pary walutowej EUR/USD Anna Barczy«ska Maciej Bieli«ski 15 czerwca 2010 1 Spis tre±ci 1 Forex 3 1.1 EUR/USD............................. 4 2 Waluty 5 2.1 Siªa
Bardziej szczegółowoPodstawy matematyki dla informatyków
Podstawy matematyki dla informatyków Wykªad 6 10 listopada 2011 W poprzednim odcinku... Zbiory A i B s równoliczne (tej samej mocy ), gdy istnieje bijekcja f : A 1 1 B. Piszemy A B lub A = B. na Moc zbioru
Bardziej szczegółowo1 Bª dy i arytmetyka zmiennopozycyjna
1 Bª dy i arytmetyka zmiennopozycyjna Liczby w pami ci komputera przedstawiamy w ukªadzie dwójkowym w postaci zmiennopozycyjnej Oznacza to,»e s one postaci ±m c, 01 m < 1, c min c c max, (1) gdzie m nazywamy
Bardziej szczegółowoBiostatystyka, # 5 /Weterynaria I/
Biostatystyka, # 5 /Weterynaria I/ dr n. mat. Zdzisªaw Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowa«Matematyki i Informatyki ul. Gª boka 28, bud. CIW, p. 221 e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl
Bardziej szczegółowox y x y x y x + y x y
Algebra logiki 1 W zbiorze {0, 1} okre±lamy dziaªania dwuargumentowe,, +, oraz dziaªanie jednoargumentowe ( ). Dziaªanie x + y nazywamy dodawaniem modulo 2, a dziaªanie x y nazywamy kresk Sheera. x x 0
Bardziej szczegółowoWykªad 12. Transformata Laplace'a i metoda operatorowa
Wykªad 2. Tranformata Laplace'a i metoda operatorowa Tranformata Laplace'a Dla odpowiednio okre±lonej klay funkcji zdeniujemy operator L, nazywany tranformat Laplace'a, okre±lony wzorem L[ f ]() = f(t)e
Bardziej szczegółowoEstymacja parametru gªadko±ci przy u»yciu falek splajnowych
Estymacja parametru gªadko±ci przy u»yciu falek splajnowych Politechnika Gda«ska Wydziaª Fizyki Technicznej i Matematyki Stosowanej Wisªa, 3-7.12.2012 Przestrze«Biesowa Przestrze«Biesowa B s p,q, 1 p,
Bardziej szczegółowoIn»ynierskie zastosowania statystyki wiczenia
Uwagi: 27012014 poprawiono kilka literówek, zwi zanych z przedziaªami ufno±ci dla wariancji i odchylenia standardowego In»ynierskie zastosowania statystyki wiczenia Przedziaªy wiarygodno±ci, testowanie
Bardziej szczegółowof(x) f(x 0 ) i f +(x 0 ) := lim = f(x 0 + x) f(x 0 ) wynika ci gªo± funkcji w punkcie x 0. W ka»dym przypadku zachodzi:
Pochodna funkcji Def 1 Pochodn wªa±ciw funkcji f w punkcie x 0 nazywamy granic f (x 0 ) := lim o ile granica ta istnieje i jest wªa±ciwa Funkcj f nazywamy wtedy ró»niczkowaln Przy zaªo»eniu,»e f jest ci
Bardziej szczegółowoMierzalne liczby kardynalne
czyli o miarach mierz cych wszystko Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego Grzegorzewice, 26 stycznia 2007 Ogólny problem miary Pytanie Czy na pewnym zbiorze X istnieje σ-addytywna miara probabilistyczna,
Bardziej szczegółowoElementarna statystyka Wnioskowanie o regresji (Inference 2 czerwca for regression) / 13
Elementarna statystyka Wnioskowanie o regresji (Inference for regression) Alexander Bendikov Uniwersytet Wrocªawski 2 czerwca 2016 Elementarna statystyka Wnioskowanie o regresji (Inference 2 czerwca for
Bardziej szczegółowoElementarna statystyka Dwie próby: porównanie dwóch proporcji (Two-sample problem: comparing two proportions)
Elementarna statystyka Dwie próby: porównanie dwóch proporcji (Two-sample problem: comparing two proportions) Alexander Bendikov Uniwersytet Wrocªawski 25 maja 2016 Elementarna statystyka Dwie próby: porównanie
Bardziej szczegółowoFunkcje jednej zmiennej. Granica, ci gªo±. (szkic wykªadu)
Funkcje jednej zmiennej Granica, ci gªo± (szkic wykªadu) opracowaªa Gra»yna Ciecierska 1 Granica funkcji Denicja Niech 0 R, r > 0 Otoczeniem punktu 0 o promieniu r nazywamy przedziaª ( 0 r, 0 +r) Otoczeniem
Bardziej szczegółowoWST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2013/14
WST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2013/14 Spis tre±ci 1 Kodowanie i dekodowanie 4 1.1 Kodowanie a szyfrowanie..................... 4 1.2 Podstawowe poj cia........................
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoJAO - J zyki, Automaty i Obliczenia - Wykªad 1. JAO - J zyki, Automaty i Obliczenia - Wykªad 1
J zyki formalne i operacje na j zykach J zyki formalne s abstrakcyjnie zbiorami sªów nad alfabetem sko«czonym Σ. J zyk formalny L to opis pewnego problemu decyzyjnego: sªowa to kody instancji (wej±cia)
Bardziej szczegółowoMikro II: Krzywe kosztów, Poda» rmy i Poda» gaª zi.
Mikro II: Krzywe kosztów, Poda» rmy i Poda» gaª zi. Krzysztof Makarski 22 Krzywe kosztów Wst p Celem jest wyprowadzenie funkcji poda»y i jej wªasno±ci. Funkcj poda»y wyprowadzamy z decyzji maksymalizuj
Bardziej szczegółowo1 Przypomnienie wiadomo±ci ze szkoªy ±redniej. Rozwi zywanie prostych równa«i nierówno±ci
Zebraª do celów edukacyjnych od wykªadowców PK, z ró»nych podr czników Maciej Zakarczemny 1 Przypomnienie wiadomo±ci ze szkoªy ±redniej Rozwi zywanie prostych równa«i nierówno±ci dotycz cych funkcji elementarnych,
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji jednej zmiennej
Pochodna funkcji jednej zmiennej Denicja. (pochodnej funkcji w punkcie) Je±li funkcja f : D R, D R okre±lona jest w pewnym otoczeniu punktu D i istnieje sko«czona granica ilorazu ró»niczkowego: f f( +
Bardziej szczegółowoLiniowe równania ró»niczkowe n tego rz du o staªych wspóªczynnikach
Liniowe równania ró»niczkowe n tego rz du o staªych wspóªczynnikach Teoria obowi zuje z wykªadu, dlatego te» zostan tutaj przedstawione tylko podstawowe denicje, twierdzenia i wzory. Denicja 1. Równanie
Bardziej szczegółowoX WARMI SKO-MAZURSKIE ZAWODY MATEMATYCZNE 18 maja 2012 (szkoªy ponadgimnazjalne)
X WARMI SKO-MAZURSKIE ZAWODY MATEMATYCZNE 18 maja 2012 (szkoªy ponadgimnazjalne) Zadanie 1 Obecnie u»ywane tablice rejestracyjne wydawane s od 1 maja 2000r. Numery rejestracyjne aut s tworzone ze zbioru
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa w pakiecie Matlab
Matematyka finansowa w pakiecie Matlab Wykład 6. Wycena opcji modele ciągłe, metoda Monte Carlo Bartosz Ziemkiewicz Wydział Matematyki i Informatyki UMK Kurs letni dla studentów studiów zamawianych na
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowo