Wyznaczanie zabezpieczenia kwantylowego opcji w modelu zmienności stochastycznej metodą programowania dynamicznego

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Wyznaczanie zabezpieczenia kwantylowego opcji w modelu zmienności stochastycznej metodą programowania dynamicznego"

Transkrypt

1 Paweł Kliber Wyznaczanie zabezpieczenia kwantylowego opcji w modelu zmienności stochastycznej metodą programowania dynamicznego 1. Wstęp Jednym z najważniejszych zadań nowoczesnej matematyki finansowej jest problem zabezpieczania instrumentów pochodnych. Aby dostrzec wagę tego zagadnienia rozważmy instytucję emitującą instrument pochodny, np. opcję na akcję. Jeśli opcja nie zostania wykonana, to dochód z jej emisji stanowi zysk emitenta. Jeśli jednak opcję opłaci się wykonać, to emitent może ponieść bardzo dużą stratę. W przeciwieństwie, na przykład, do zakładu ubezpieczeniowego, emitent opcji nie może zdywersyfikować ryzyka jeśli opcję opłaca się wykonać, to wykonają ją wszyscy jej posiadacze. Jedynym sposobem, w jaki emitent może ograniczać ryzyko jest zabezpieczenie opcji, tj. stworzenie portfela złożonego z akcji i ewentualnie innych instrumentów finansowych, którego wartość w momencie wykonania jest zbliżona do wypłat opcji. Akademia Ekonomiczna w Poznaniu, Katedra Ekonomii Matematycznej, Poznań, Al. Niepodległości 10, tel. (0-61) , fax (061) , Artykuł ten przedstawia niektóre wyniki uzyskane w pracy [24]. 1

2 Klasyczną metodą zabezpieczenia instrumentu pochodnego jest delta- -hedging, czyli metoda wynikająca z modelu Blacka-Scholesa (zob. [6]). Delta- -hedging jest metodą opartą na replikacji, tj. na budowie portfela inwestycji, które wartość w momencie wykonania jest równa wypłacie opcji. Metody oparte na replikacji można stosować tylko wtedy, gdy rynek finansowy jest zupełny, czyli gdy na rynku istnieje tyle instrumentów finansowych ile jest niezależnych źródeł ryzyka (patrz. np. [2], [8], [12], [21]). Wiele jednak wskazuje, że prawdziwe rynki nie są zupełne. W szczególności, modele rynku, które uwzględniają takie cechy procesów cen akcji, jak zmieniający się współczynnik zmienności, możliwość gwałtownych skoków cen (diffusion-jump models), czy rozkłady różne od normalnego, nie są modelami zupełnymi. Jeśli modele te dobrze opisują cenę akcji, to należy szukać innych niż replikacja metod zabezpieczenia opcji. W artykule [14] H. Föllmer i P. Laukert zaproponowali następujący sposób zabezpieczania instrumentu pochodnego: inwestor powinien najpierw ustalić prawdopodobieństwo, że zabezpieczenie skończy się sukcesem, a następnie wyznaczyć najtańszy portfel, który zabezpiecza instrument z ustalonym prawdopodobieństwem. Inwestor może także wybrać inną drogę postępowania: najpierw ustalić, jaką sumę może poświęcić na zabezpieczenie instrumentu pochodnego, a następnie wśród wszystkich portfeli, których wartość nie przekracza tej sumy, wybrać portfel, który z największym prawdopodobieństwem zabezpiecza instrument pochodny. Autorzy nazwali tak wyznaczony portfel zabezpieczeniem kwantylowym. W tym samym artykule H. Föllmer i P. Laukert wyznaczyli strategie zabezpieczenia kwantylowego dla opcji kupna i sprzedaży w modelu Blacka-Scholesa oraz pokazali analogię między zadaniami zabezpieczenia kwantylowego, a klasyczną teorią testowania hipotez statystycznych Neymana i Pearsona. Po ukazaniu się artykułu [14] pojawiło się kilka prac dotyczących zabezpieczenia kwantylowego. W większości były to prace o charakterze teoretycznym i matematycznym. Na ogół, w pracach tych rozważano problem istnienia 2

3 rozwiązań zadania zabezpieczenia kwantylowego w różnych modelach rynku, a nie wyznaczanie tych rozwiązań. Rozwiązania, jakie można znaleźć w różnych pracach, dotyczą przede wszystkim modeli zupełnych. Jeżeli pojawiają się próby rozwiązywania zadań zabezpieczenia kwantylowego w modelach niezupełnych, to są one nieprzydatne w zastosowaniach praktycznych. Na przykład, w artykule [14] rozważono tylko jeden model niezupełny. W modelu tym horyzont czasu jest podzielony na dwie części przez ustalony moment t 0 część przez t 0 i część po t 0. W obu częściach horyzontu zmienność ceny akcji (tj. odchylenie standardowe chwilowej stopy zwrotu akcji) jest stała, a w chwili t 0 zmienność zmienia się w sposób losowy. Jak łatwo zauważyć, ten model jest bardzo uproszczoną wersją modelu zmienności stochastycznej i nie nadaje się do zastosowania praktycznego. W literaturze brak jest także badań empirycznych. Nikt do tej pory nie próbował wyznaczać zabezpieczeń kwantylowych dla opcji, którymi handluje się na rynku, ani nie próbował sprawdzać jakości tych zabezpieczeń. W artykule [16] pokazano istnienie rozwiązań zadań zabezpieczenia kwantylowego w modelach rynku, które uwzględniają koszty transakcji. Istnienie tych rozwiązań wynika z pewnych ogólniejszych twierdzeń. Autor nie zajmował się wyznaczaniem rozwiązań rozważanych zadań. Tym samym problemem co Guasoni zajęto się także w arykule [3]. Jednak Guasoniego interesowały modele z czasem ciągłym, a Barana modele z czasem dyskretnym. M. Baran pokazał istnienie rozwiązań zadań zabezpieczenia kwantylowego dla modeli rynku z czasem dyskretnym, uwzględniających koszty transakcji. Podobnie jak Guasoni, nie zajmował się wyznaczaniem rozwiązań tych zadań. Próby wyznaczania rozwiązań zadania zabezpieczenia kwantylowego podjęto w artykułach [27] oraz [23]. W artykule [23] rozwiązano te zadania dla pewnej wersji modelu skoków i dyfuzji. W modelu opisanym w tym artykule założono, że na rynku istnieją dwie akcje, a ich dynamikę cen opisują 3

4 następujące stochastyczne równania różniczkowe: ds 1 =µ 1 S 1 dt + σ 1 S 1 dw + η 1 S 1 dn, ds 2 =µ 2 S 2 dt + σ 1 S 2 dw + η 1 S 2 dn, gdzie W jest procesem Wienera (ruchem Browna, zob. np. [19]), a N procesem Poissona (zob. np. [22]). Stałe µ i, σ i oraz η i to parametry modelu. Przy takiej dynamice cen współczynnik korelacji stóp zwrotu tych akcji wynosi 1. Jest oczywiście nieprawdopodobne, aby taka sytuacja miała miejsce na rzeczywistym rynku. Jednak tylko dzięki przyjęciu tego założenia autorzy mogli wyznaczyć zabezpieczenie kwantylowe dla instrumentów pochodnych wystawionych na te akcje. W artykule [27] podjęto udaną próbę wyprowadzenia postaci analitycznej zabezpieczenia kwantylowego w modelu niezupełnym. Autor rozważa zabezpieczenie ryzykownej obligacji bezkuponowej. W artykule zakłada się, że rynek, przed pojawieniem się rozważanej obligacji, był zupełny. Niezupełność rynku bierze się stąd, że nie ma możliwości zabezpieczenia ryzyka związanego z tym, że wystawca obligacji nie wywiąże się ze swoich płatności. Autor zakłada, że to ryzyko zależy od pewnej zmiennej losowej o rozkładzie wykładniczym. Dla takiego modelu autor wyprowadza wzory analityczne na zabezpieczenie kwantylowe wzory te zależą jednak od pewnych wielkości nieobserwowalnych i trudnych do oszacowania. Wprowadzając dodatkowe założenia (przyjmując model Jarrowa-Turnbulla przedstawiony w artykule [20]) autor wyprowadza wzory analityczne oraz podaje wyniki obliczeń przeprowadzonych numerycznie dla przykładowych danych. Podsumowując dotychczasowe rozważania literaturowe dotyczące zabezpieczeń kwantylowych, można zauważyć, że: 1. brak jest metod wyznaczania strategii zabezpieczenia kwantylowego dla realistycznych modeli rynku finansowego, a zwłaszcza dla modeli niezupełnych, 2. brak jest analizy, czy zabezpieczenie kwantylowe dla modeli niezupeł- 4

5 nych można zastosować praktycznie. Wiadomo, że zadania zabezpieczenia kwantylowego mają rozwiązania w szerokiej klasie modeli. Nie znana jest jednak postać analityczna tych rozwiązań i nie wiadomo, czy zadania te można rozwiązać numerycznie w rozsądnym czasie. Jest to ważne pytanie, ponieważ obliczenia dotyczące zabezpieczeń instrumentów pochodnych mogą być bardzo skomplikowane. Zdarza się czasami, że znane są teoretyczne własności pewnych rozwiązań, ale numeryczne ich wyznaczenie jest niemożliwe 1, 3. brak jest badań empirycznych dotyczących zabezpieczeń kwantylowych sprawdzenia jakości tych zabezpieczeń dla notowanych na rynkach instrumentów pochodnych. Celem tego artykułu jest próba uzupełnienia niektórych z luk w tej dziedzinie badań. W szczególności, interesuje mnie odpowiedź na pytanie, czy metodę zabezpieczenia kwantylowego można zastosować praktycznie do zabezpieczenia opcji na akcję, przy założeniu, że cenę akcji opisuje model zmienności stochastycznej (stochastic volatility). Pokazuję, że rozwiązanie zadań zabezpieczenia kwantylowego można otrzymać metodą programowania dynamicznego rozwiązując numerycznie równania Bellmana na drzewie wielomianowym przybliżającym proces ruchów cen akcji. 2. Model zmienności stochastycznej i estymacja jego parametrów Aby wyznaczyć zabezpieczenie instrumentu pochodnego należy najpierw przyjąć pewien model rynku finansowego. Model taki powinien opisywać ruchy wszystkich instrumentów finansowych, od których może zależeć cena instrumentu pochodnego. Ponieważ celem tej pracy jest wyznaczenie zabezpieczenia opcji na akcję, więc w modelu wystarczy uwzględnić dwa instrumenty finansowe: akcję, na którą opcja jest wystawiona oraz instrument pozbawiony ryzyka. Co do tego drugiego instrumentu, oznaczmy przez B t cenę obligacji 5

6 pozbawionej ryzyka w chwili t. Bez straty ogólności możemy przyjąć, że w chwili początkowej B 0 = 1. Przyjmujemy, że cena obligacji rośnie ze stałą stopą procentową wolną od ryzyka r, tj., że 2 B t = e rt. (1) Co do akcji, przyjmujemy, że jej cena zmienia się zgodnie z modelem zmienności stochastycznej. Model zmienności stochastycznej (oznaczany SV od angielskiej nazwy stochastic volatility) zakłada istnienie dwóch, niezależnych od siebie źródeł losowości 3. Jedno z nich wpływa na stopę zwrotu akcji, a drugie na parametr zmienności ceny akcji. Oznaczmy przez S t cenę akcji w momencie t. Przez x t oznaczmy stopę zwrotu akcji w momencie t, tj. Zakładamy, że stopa zwrotu akcji w chwili t wynosi: x t = S t S t 1 S t 1. (2) x t = µ + σ t ε t, (3) gdzie (ε t ) jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych o takim samym rozkładzie, zerowej wartości oczekiwanej i jednostkowej wariancji. Współczynnik zmienności σ t w równaniu (3) jest procesem stochastycznym takim, że ln σt 2 tworzy proces autoregresji AR(l). Przyjmujemy dalej, że l = 1, czyli że ln σt 2 jest procesem AR(1), który można opisać równaniem ln σ 2 t = a 0 + a 1 ln σ 2 t 1 + cδ t, (4) gdzie a 0, a 1 i c są parametrami, zaś (δ t ) to ciąg niezależnych zmiennych losowych o takim samym rozkładzie, zerowej wartości oczekiwanej i jednostkowej wariancji. Zakładamy też, że ciągi (ε t ) i (δ t ) są niezależne. Zmienne losowe (ε t ) i (δ t ) są zdefiniowane na pewnej przestrzeni probabilistycznej 4 (Ω, F, P), gdzie Ω jest zbiorem zdarzeń elementarnych, F to σ-algebra możliwych zdarzeń, a P to prawdopodobieństwo. Zbiór zdarzeń 6

7 elementarnych Ω nazywamy także zbiorem (możliwych) stanów świata. Informacje, które inwestor posiada w różnych momentach czasu opisuje filtracja F = {F t } T t=0. Zakładamy, że jest to filtracja generowana przez procesy S t i σ t, a zatem przyjmujemy, że inwestor nie posiada innych informacji niż te, które może uzyskać obserwując ceny akcji S t oraz zmienność cen akcji σ t. Aby zastosować model należy oszacować parametru µ, a 0, a 1 i c na podstawie obserwowanych cen akcji. Parametr µ można estymować jako średnią z próby stóp zwrotu akcji. Aby dokonać estymacji parametrów a 0, a 1 i c należy najpierw estymować wartości σ t na podstawie obserwacji stóp zwrotu. Najprostszym estymatorem jest ˆσ 2 t = (x t µ) 2. Jest to estymator nieobciążony, jednak jego wariancja może być bardzo wysoka. Aby zmniejszyć wariancję estymacji stosuje się średnie kroczące lub wygładzanie wykładnicze. W dalszych badaniach zastosowano następujący estymator zmienności: ˆσ 2 t = 1 m m 1 k=0 (x t k µ) 2, Przy czym zamiast µ zastosowano ocenę tej wielkości, czyli średnią z próby. Przeprowadzone symulacje pokazują, że przyjęcie m = 10, czyli estymacja na podstawie dziesięciookresowej średniej kroczącej, daje dobre wyniki. Parametry a 0, a 1 i c szacujemy następnie metodą najmniejszych kwadratów, na podstawie równania regresji liniowej (3). Jako próbę, na podstawie której obliczamy parametry regresji, bierzemy logarytmy obliczonych wcześniej wartości ˆσ 2 t. 3. Zabezpieczenie kwantylowe Zakładamy, że na akcję został wystawiony instrument pochodny, którego wypłaty oznaczymy przez H. Na przykład, jeżeli instrumentem pochodnym jest europejska opcja kupna o cenie wykonania K i terminie wykonania T, to jej wypłaty wynoszą H = (S T K) + = max {S T K, 0}. 7

8 Osoba lub instytucja emitująca instrument pochodny zobowiązuje się zatem do wypłacenie pewnej kwoty, której wysokość zależy od tego, jaka będzie przyszła cena akcji. Zakładamy, że emitent instrumentu pochodnego pragnie uniknąć zbyt dużych strat. Innymi słowy, chce on zabezpieczyć instrument pochodny. Problem zabezpieczenia instrumentu pochodnego polega na zbudowaniu takiej strategii inwestycyjnej której wartość najlepiej przybliża wypłaty zabezpieczanego instrumentu pochodnego. Matematycznie, strategię inwestycyjną opisujemy za pomocą prognozowalnego procesu stochastycznego θ t = (θ 0 t, θ 1 t ) (zob. np. [19] lub [31]). Gdzie θ 1 t oznacza liczbę akcji t, a θ 0 t liczbę obligacji wolnych od ryzyka, które znajdują się w portfelu w chwili t. Wartość strategii w chwili t wynosi V t (θ) = B t θ 0 t + S t θ 1 t. Żądamy także, aby strategia była samofinansująca, tj. aby inwestor wykładał pieniądze jedynie w okresie początkowym, a w następnych momentach nie dokładał ani nie zabierał pieniędzy ze strategii. Jeżeli horyzont czasu jest dyskretny, to warunek samofinansowania strategii możemy wyrazić za pomocą równania 5 B t θ 0 t 1 + S t θ 1 t 1 = B t θ 0 t + S t θ 1 t. Powyższe równanie mówi, że inwestor sprzedając portfel (θt 1, 0 θt 1), 1 zakupiony w chwili t 1, ma dostateczną ilość pieniędzy, aby kupić w chwili t nowy portfel (θt 0, θt 1 ). W niektórych przypadkach problem zabezpieczenia instrumentu pochodnego ma jednoznaczne, najlepsze rozwiązanie. Niekiedy udaje się zbudować portfel, którego wartość w momencie końcowym jest dokładnie równa wartości zabezpieczanego instrumentu pochodnego. Strategię θ taką, że 5 : V T (θ) = H. 8

9 nazywamy strategią replikującą instrument pochodny H. Możliwość replikacji leży u podstaw większości modeli wyceny instrumentów pochodnych. Na przykład w modelu Blacka-Scholesa, w którym zakłada się, że cena akcji jest geometrycznym ruchem Browna, takim portfelem jest strategia delta-hedgingowa (zob. np. [6] lub [30], roz.6). Cena instrumentu pochodnego powinna wówczas być równa początkowej wartości strategii zabezpieczającej. Klasę rynków, w których dla każdego instrumentu pochodnego można znaleźć portfel całkowicie go zabezpieczający, nazywamy rynkami zupełnymi. Wiele wskazuje na to, że prawdziwe rynki finansowe nie są zupełne. Badania empiryczne wskazują bowiem, że występują na nich takie zjawiska, jak zmienność stochastyczna, czy skoki cen akcji. Oznacza to, że na rynku istnieją pewne źródła losowości, których nie można zabezpieczyć za pomocą instrumentów finansowych 6. Jednym z najważniejszych problemów nowoczesnej matematyki finansowej jest zadanie wyceny i zabezpieczania instrumentów pochodnych na rynkach niezupełnych. Model zmienności stochastycznej, przedstawiony w poprzednim punkcie, jest modelem rynku niezupełnego. Oznacza to, że na ogół nie istnieje portfel całkowicie zabezpieczający instrument pochodny. Należy zatem wskazać jakieś kryterium, według którego będziemy oceniali jakość zabezpieczenia. W tym artykule posłużymy się zabezpieczeniem kwantylowe. Podstawowy pomysł podejścia kwantylowego polega na dopuszczeniu tego, że instrument nie zostanie dobrze zabezpieczony przy jednoczesnej kontroli prawdopodobieństwa takiego zdarzenia. Możliwe są tu dwa podejścia. W pierwszym z nich, inwestor stara się maksymalizować prawdopodobieństwo zabezpieczenia instrumentu, przy zadanym koszcie początkowym strategii zabezpieczającej. W drugim inwestor próbuje zminimalizować koszt strategii zabezpieczającej przy zadanym prawdopodobieństwie zabezpieczenia instrumentu. Zabezpieczenie kwantylowe jest zatem dynamiczną wersją wartości narażonej na ryzyko (ang. value at risk, VAR). Wartość narażona na ryzyko to największa strata, jaką może ponieść inwestor przy ustalonym prawdopodo- 9

10 bieństwie. Na przykład, jeżeli wartość VAR przy prawdopodobieństwie 0,99 wynosi 100 tys. zł, to oznacza to, że z prawdopodobieństwem 0,01 strata inwestora może przekroczyć 100 tys. zł. Zarządzanie portfelem w oparciu o wartość narażoną na ryzyko polega na utrzymywaniu VAR na odpowiednio niskim poziomie, jednak w taki sposób, aby było możliwe osiąganie zysków. Zawsze bowiem istnieje wybór między większym zyskiem i większym ryzykiem, a mniejszym zyskiem i mniejszym ryzykiem. VAR umożliwia pomiar ryzyka, kwantyfikując zmienne decyzyjne. Podobnie, w zabezpieczeniu kwantylowym jedną ze zmiennych decyzyjnych jest prawdopodobieństwo poniesienia straty przez inwestora. Zdarzenie polegające na tym, że za pomocą strategii inwestycyjnej zabezpieczono instrument, czyli że końcowa wartość strategii pozwoliła na pokrycie wypłat związanych z instrumentem, nazwiemy sukcesem, a zdarzenie polegające na tym, że za pomocą wybranej strategii nie zabezpieczono instrumentu nazwiemy porażką. Inaczej mówiąc, dla pewnej strategii inwestycyjnej θ sukcesem jest zdarzenie {V T (θ) H}, a porażką jest zdarzenie {V T (θ) < H}, gdzie H jest zabezpieczanym instrumentem pochodnym. W metodzie kwantylowej przyjmujemy, że strategie inwestycyjne są oceniane według dwóch kryteriów kosztu strategii zabezpieczającej i prawdopodobieństwa sukcesu. Prawdopodobieństwo sukcesu dowolnej strategii θ, przy zabezpieczaniu instrumentu pochodnego H, dane jest wzorem: P (V T (θ) H), (5) co inaczej można zapisać jako E [ 1 {VT (θ) H}]. Wadą tego kryterium jest to, że w przypadku porażki nie uwzględnia się wielkości poniesionej przez inwestora straty. Dlatego lepiej (5) zastąpić przez kryterium oczekiwanego współczynnika sukcesu, który definiujemy następująco: Współczynnikiem sukcesu strategii θ przy zabezpieczeniu instrumentu pochodnego H nazywamy zmienną losową: ϕ(θ, H) = 1 {VT (θ) H} + V T (θ) H 1 {V T (θ)<h}. (6) 10

11 Oczekiwanym współczynnikiem sukcesu jest [ ] VT (θ) E [ϕ (θ, H)] = P (V T (θ) H) + E H 1 {V T (θ)<h}. (7) Współczynnik sukcesu mierzy stopień, w jakim udało się zabezpieczyć instrument pochodny. Dla zdarzeń elementarnych (możliwych stanów świata), w których ϕ = 1, instrument jest zabezpieczony całkowicie, tzn. końcowa wartość strategii jest większa niż wypłaty związane z instrumentem. W stanach, w których wartość tego współczynnika jest mniejsza od 1, instrument jest zabezpieczony częściowo. Na przykład, jeśli ϕ = 0,5, to wartość końcowa strategii jest równa połowie wypłat związanych z instrumentem. Każdą strategię można ocenić według dwóch kryteriów jej kosztu początkowego oraz oczekiwanego współczynnika sukcesu. Zadanie poszukiwania najlepszej strategii jest zatem zadaniem wielokryterialnym. Zadania takie nie mają na ogół jednego rozwiązanie, najlepszego ze względu na wszystkie kryteria. W takim przypadku ogranicza się do rozwiązań optymalnych w sensie Pareto, czyli takich, dla których nie można polepszyć jednego kryterium nie pogarszając jednocześnie drugiego. Strategie optymalne w sensie Pareto można otrzymać rozwiązując jedno z dwóch opisanych dalej zadań. Pierwszym z nich jest maksymalizacja oczekiwanego współczynnika sukcesu przy zadanym koszcie początkowym: pod warunkiem, że max E [ϕ(θ, H)], (8) θ Θ a V 0 (θ) v 0, (9) gdzie v 0 jest ustalonym kosztem początkowym strategii. Drugim zadaniem jest minimalizacja kosztu strategii, przy ustalonym poziomie współczynnika sukcesu, 1 ε: min V 0 (θ), (10) θ Θ a 11

12 pod warunkiem, że E [ϕ(θ, H)] 1 ε. (11) Każde rozwiązanie zadania (8) (9) lub (10) (11) jest rozwiązaniem optymalnym w sensie Pareto względem dwóch kryteriów: minimalizacji kosztu strategii i maksymalizacji oczekiwanego współczynnika zabezpieczenia instrumentu pochodnego. 4. Metoda wyznaczania zabezpieczenia H. Föllmer i P. Laukert w artykule [14] zaproponowali sposób rozwiązania zadań zabezpieczenia kwantylowego (8) (9) i (10) (10) oparty na lemacie Neymana-Pearsona. Pokazali, że zadania zabezpieczenia kwantylowego można sprowadzić do pewnych zadań poszukiwania najmocniejszego testu hipotez statystycznych. Gdy model jest zupełny, otrzymuje się układ hipotez prostych. W takim wypadku rozwiązanie otrzymujemy z lematu Neymana- -Pearsona. Autorzy tej metody w tym samym artykule pokazali także, jak można ją zastosować dla rynku niezupełnego. Wówczas zadania (8) (9) i (10) (10) można sprowadzić do testowania pewnego układu hipotez złożonych. Sprowadzając model do wersji dyskretnej (tj. zakładając, że w każdym momencie stopa zwrotu ceny akcji może przyjmować jedynie skończoną liczbę wartości) otrzymujemy w ten sposób pewne zadania programowania liniowego, które można rozwiązać standardowymi metodami, np. korzystając z algorytmów sympleksowych. Na rynku niezupełnym metoda ta jest jednak zbyt skomplikowana obliczeniowo, by można ją było zastosować praktycznie. Rozmiar otrzymywanych zadań programowania liniowego rośnie wykładniczo wraz z długością horyzontu czasu. Na przykład, jeśli założymy, że w każdym momencie czasu stopa zwrotu ceny akcji może przyjąć tylko trzy wartości, to dla horyzontu czasu długości T otrzymujemy zadania programowania liniowego z 3 T zmiennymi 12

13 i 2 2T 1 ograniczeniami. W większości zastosowań (np. gdy chcemy zabezpieczyć opcję o dziewięciomiesięcznym terminie wykonania) jest to zadanie zbyt duże, by je rozwiązać numerycznie 7 Metoda, którą proponujemy tutaj polega na wykorzystaniu programowania dynamicznego. Jak można zauważyć, zadanie (8) (9) ma postać zadania sterowania optymalnego procesami Markowa. Rozwiązanie możemy zatem wyznaczyć korzystając z zasady Bellmana. Oznaczmy przez F t (s, v) maksymalny oczekiwany współczynnik sukcesu, jaki może osiągnąć inwestor, który w chwili t posiada majątek v, przy czym cena akcji w tym okresie wynosi s. Oczywiście, F 0 (S 0, V 0 ) oznacza maksymalną wartość funkcji celu w zadaniu (8) (9). Zgodnie z zasadą Bellmana optymalne rozwiązanie zadania winno spełniać następujące równanie (nazywane równaniem Bellmana, zob. np. [26], roz. 4, [13], roz. 4.): F t (s, v) = max E [F t+1 (S t+1, V t+1 (θ)) S t ], (12) θ Θ(t,v) gdzie zbiór Θ(t, v) jest zbiorem strategii samofinansujących, które w chwili t mają wartość równą v, S t+1 oznacza możliwe ceny akcji w chwili t + 1, zaś V t+1 (θ) jest wartością wybranej strategii θ w chwili t + 1. W momencie T wartość F T (s, v) jest równa współczynnikowi sukcesu, zdefiniowanemu równaniem (6). Strategia θ, która maksymalizuje wartość po lewej stronie tego równania stanowi część optymalnej strategii inwestora w chwili t w sytuacji, gdy cena akcji wynosi s, a inwestor posiada majątek v. Rozwiązując równania (12) dla coraz wcześniejszych momentów t otrzymamy ostatecznie F 0, która opisuje optymalną wartość funkcji celu, możliwą do osiągnięcia przez inwestora rozpoczynającego zabezpieczanie instrumentu pochodnego w chwili t = 0. Korzystając z warunku samofinansowania i z tego, że wartość strategii θ w chwili t powinna wynosić v równanie (12) można zapisać w postaci: F t (s, v) = max E [ ( F t+1 St+1, θ 1 θt 1 t S t+1 + (1 + r) ( )) ] v sθt 1 St. (13) 7. 13

14 Optymalna ilość akcji w portfelu w chwili t to θ 1 t, które maksymalizuje prawą stronę równania (13). Optymalną ilość obligacji otrzymujemy korzystając z warunku samofinansowania strategii: θ 0 t = v sθ1 t B t. Numerycznie, równanie (13) rozwiązujemy dokonując symulacji za pomocą drzewa wielomianowego. Zakładamy, że w każdej chwili t możliwych jest tylko skończenie wiele różnych cen akcji S t i różnych wartości współczynnika zmienności σ t. Każdej kombinacji ceny akcji i współczynnika zmienności w dowolnej chwili t odpowiada pewien węzeł drzewa wielomianowego. Z każdego węzła w momencie t < T można przejść do pewnych węzłów w chwili t + 1, przy czym znamy prawdpodobieństwa takich przejść. W chwili t = 0 drzewo ma tylko jeden węzeł, w którym cena akcji i współczynnik zmienności są równe wartością zaobserwowanym na rynku w momencie początkowym: S 0 i σ 0. Innymi słowy, przybliżamy proces cena akcji pewnym łańcuchem Markowa (o zmiennych stanu S t i σ t ). Rozważmy węzeł w momencie t < T, w którym cena akcji wynosi S t, a współczynnik zmienności jest równy σ t. Zakładamy, że w następnym momencie cena akcji może przyjąć jedną z dwóch wartości: S t e γ lub S t e γ, gdzie γ = µ 2 + σ 2 t. Prawdopodobieństwo przejścia od rozważanego węzła do węzła z ceną S t e γ wynosi p 1 = µ, µ2 + σt 2 a prawdopodobieństwo przejścia do węzła z ceną S t e γ to 1 p 1. Niezależnie od tego, także współczynnik zmienności może przyjąć w następnym okresie jedną z dwóch wartości, które obliczamy na podstawie równania (3). Przy kalibracji stosujemy metodę naśladowania wartości oczekiwanej i wariancji wynikających z równania (3) przez odpowiednie wartości procesu opisanego za pomocą drzewa. Zakładamy zatem, że wartość ln σ 2 t może w następnym 14

15 momencie przyjąć wartość a 1 ln σ 2 t + h lub a 1 ln σ 2 t h z prawdopodobieństwem, odpowiednio, p 2 i 1 p 2. Wymagamy przy tym, aby E [ ln σ 2 t+1 σ 2 t ] = a0 + a 1 ln σ 2 t oraz var ( ln σ 2 t+1 σ 2 t ) = c 2. Powyższe zależności nakładają dwa warunki na parametry h i p 2. Jak można łatwo sprawdzić, warunki te są spełnione dla h = a c 2 oraz p 2 = a 0 2 a c 2. W chwili t + 1 cena akcji oraz zmienność mogą przyjąć, niezależnie od siebie, dwie różne wartości. Zatem z każdego węzła w chwili t można przejąć do czterech różnych węzłów w chwili t + 1: (S t e γ, σ a 1 t e h ), (S t e γ, σ a 1 t e h ), (S t e γ, σ a 1 t e h ), (S t e γ, σ a 1 t e h ), a prawdopodobieństwa przejść wynoszą p 1 p 2, p 1 (1 p 2 ), (1 p 1 )p 2 oraz (1 p 1 )(1 p 2 ). Po dokonaniu kalibracji modelu obliczamy optymalną strategię zabezpieczającą. Zaczynany od węzłów drzewa w okresie końcowym. 5. Zabezpieczenie kwantylowe w modelu zmiennej stochastycznej wyniki empiryczne Aby przetestować wyznaczanie zabezpieczeń kwantylowych w różnych modelach rynku, wybraliśmy sześć europejskich warrantów kupna na akcje notowane na Giełdzie Papierów Wartościowych w Warszawie. Warranty te były notowane na giełdzie w latach Wystawcą warrantów był BRE Bank lub Beskidzki Dom Maklerski. Tablica 1 zawiera podstawowe informacje na temat wybranych instrumentów. Instrumenty, których symbol kończy się literami BRE, zostały wyemitowane przez BRE Bank, a emitentem 15

16 instrumentów o symbolu kończącym się literami BDM był Beskidzki Dom Maklerski. Warranty wyemitowane przez BRE Bank opiewają na 10 akcji, podczas gdy na warrant, którego emitentem jest Beskidzki Dom Maklerski, przypada jedna akcja. Aby obliczenia dla warrantów emitowanych przez te instytucje były porównywalne, przyjmujemy dalej, że wszystkie warranty są wystawione na jedną akcję. Oznacza to, że ceny i wypłaty warrantów emitowanych przez BRE Bank dzielimy przez Dane [Miejsce na tabelę 1] W tablicy 2 przedstawiamy cenę akcji, na którą wystawiony jest warrant, w dniu pierwszego notowania warrantu (S 0 ), a także szacowany współczynnik zmienności akcji σ i cenę warrantu obliczoną zgodnie ze wzorem Blacka- -Scholesa 8. Zgodnie z klasyczną teorią wyceny opcji jest to cena uruchomienia strategii replikującej instrument (pod warunkiem, że portfel zabezpieczający można zmieniać nieskończenie często) zob. np. [4], [5], [11], [18], [30]. [Miejsce na tabelę 2] 5.2. Wyniki W celu wyznaczenia zabezpieczenia kwantylowego wyznaczyliśmy parametry modelu zmienności stochastycznej dla każdej z badanych akcji. Parametry te zostały przedstawione w tabeli 3. Następnie dla każdego warrantu rozwiązaliśmy, opisaną wyżej metodą programowania dynamicznego, zadanie wyznaczania zabezpieczenia kwantylowego. Przyjęliśmy, że współczynnik sukcesu powinien wynosić 0,9, czyli wartość strategii zabezpieczającej powinna średnio w 90% pokrywać wypłaty związane z instrumentem. Do oceny metod zabezpieczenia posłużyliśmy się metodą Monte Carlo 9. W naszym przypadku metoda ta polega na tym, że najpierw tworzymy losowo 9 Zobacz [15], roz. 5 lub [32]. 16

17 wiele możliwych trajektorii cen akcji, a następnie dla każdej trajektorii wyznaczamy zabezpieczenie instrumentu pochodnego oraz wypłatę tego instrumentu. Na podstawie dużej próby możliwych trajektorii, wypłat instrumentu przy tych trajektoriach oraz końcowych wartości majątku dla stosowanego zabezpieczenia, można ocenić jakość zabezpieczenia. W prowadzonych badaniach tworzyliśmy próby złożone z losowych trajektorii ceny akcji (S0, i S1, i..., ST i ), gdzie 1 i Dla trajektorii i obliczymy wypłatę instrumentu H i = h(st i ) oraz majątek końcowy, jaki otrzymamy dla tej trajektorii stosując badaną strategię V i. Do porównywania jakości zabezpieczeń służą dwie wielkości. Po pierwsze: różnica (H i V i ) +. Im większa jest ta wielkość, tym więcej musi dopłacić emitent w chwili T, aby wywiązać się z płatności związanych z zabezpieczanym instrumentem. Drugim kryterium jest współczynnik sukcesu, ϕ i = V i H i 1 {V i H i } + 1 {V i H i }, który mówi, jaką część wypłat instrumentu udało się zabezpieczyć. Obliczymy wartości średnie i odchylenia standardowe ze wszystkich tych wskaźników liczone po wszystkich wygenerowanych trajektoriach. Trajektorie cen akcji tworzyliśmy metodą bootstrapową (zob. np. [9], roz. 8 lub [7]). Dysponując próbą empiryczną stóp zwrotu zabezpieczanej akcji losowaliśmy z tej puli próbkę o liczebności T : x 1,..., x T, przy czym prawdopodobieństwa wylosowania każdej obserwacji z puli są równe. Na podstawie tak wygenerowanej próbki tworzymy trajektorię ceny akcji kładąc S i 0 = S 0 oraz S i t = S i t 1 (1 + x t ), dla t = 1,..., T. Powtarzamy tę procedurę razy otrzymując w ten sposób próbę trajektorii do zastosowania w symulacjach Monte Carlo. Metoda bootstrapowa zapewnia, że trajektorie stosowane w symulacjach Monte Carlo są realistyczne. Przy dostatecznie dużej próbie rozkład stóp zwrotu w symulowanych trajektoriach jest bowiem zbliżony do rzeczywistego 17

18 rozkładu stóp zwrotu akcji. Rozważania nt. jakości metod bootstrapowych można znaleźć np. w: [7], roz Tablica 4 przedstawia wyniki symulacji Monte Carlo. Wyniki dla strategii zabezpieczenia kwantylowego w modelu zmienności stochatycznej przedstawione są kolumnie Badane. Dla porównania zamieszczono także wyniki symulacji dla zabezpieczenia delta-hedgingowego w modelu Blacka-Scholesa (kolumny oznaczone BS ) 10 i zabezpieczenia kwantylowego w modelu Blacka-Scholesa (kolumny oznaczone KW ) 11. Symulacje dla wszystkich trzech rodzajów strategii wykonano na tej samej próbie bootstrapowej i z tym samym majątkiem początkowym, przy czym był to poziom majątku, który pozwala na osiągniecie współczynnika sukcesu na poziomie 0,90 w modelu zmienności stochastycznej. W tablicy podano dodatnie wielkości różnic między majątkiem końcowym, a wypłatą instrumentu oraz osiągnięte w symulacjach współczynniki sukcesu. Dla każdego instrumentu w pierwszym wierszu podano średnią z symulacji, a w drugim wierszu, w nawiasie, podano odchylenie standardowe danego wskaźnika. Aby sprawdzić, jakie znaczenie dla strategii zabezpieczającej ma trend cen akcji przeprowadzono także drugą symulację, ze zmienionym trendem. W tej symulacji zmodyfikowano próbę bootstrapową tak, aby średnia stopa zwrotu akcji w próbie bootstrapowej była równa średniej z próby, na podstawie której szacowano model. Wyniki symulacji dla zmodyfikowanej próby także znajdują się w tablicy Delta-hedging to strategia replikująca instrument pochodny, wynikająca z modelu Blacka-Scholesa. Dla europejskiej opcji kupna strategia delta-hedgingu polega na utrzymywaniu portfela, w którym w każdej chwili t znajduje się Φ(d + ) akcji, gdzie Φ jest dystrybuantą standardowego rozkładu normalnego, zaś d + = ln S t K σ2 +(r+ 2 σ T t )(T t). Parametr r oznacza stopę procentową wolną od ryzyka, T moment wykonania opcji, a K cenę wykonania opcji. Więcej informacji o delta-hedgingu można znaleźć np. w rozdziale 6 książki: [30]. Cena Blacka-Scholesa i strategia replikująca nie zależą od trendu, z jakim cena akcji rośnie lub maleje, jednak w zastosowaniu może się okazać, że powodzenie strategii zależy od tego, jaki był trend. 11 Zobacz [14]. 18

19 Jako że dla oceny jakości zabezpieczenia bardzo istotne jest to, jak duży jest niedobór (tj. dodatnia różnica między wypłatami związanymi z zabezpieczanym instrumentem, a końcową wartością strategii zabezpieczającej) w najmniej sprzyjających przypadkach, więc obliczono także percentyle (rzędu 0,90 i 0,99) różnic między majątkiem końcowym, a wypłatą instrumentu. Wielkości te zostały obliczone na podstawie symulacji Monte Carlo. Znajdują się w tablicy 5. I tak, na przykład, liczba 4,12 w trzecim wierszu i pierwszej kolumnie tablicy oznacza, że w 90% przypadków różnica między wypłatami związanymi z instrumentem AGOC055BDM, a majątkiem końcowym badanej strategii nie przekracza 4,12 zł. W tablicy podano także wyniki dla symulacji ze zmodyfikowaną próbą bootstrapową (z innym trendem). 6. Wnioski Na podstawie przedstawionych wyników można stwierdzić, że w prawie wszystkich przeprowadzonych symulacjach średnia różnica między wypłatami związanymi z instrumentem, a końcową wartością strategii była, dla badanego zabezpieczenia, mniejsza niż dla zabezpieczenia kwantylowego w modelu Blacka-Scholesa (KW). W większości przypadków była także mniejsza niż dla zabezpieczenia delta-hedgingowego w modelu Blacka-Scholesa (BS). Najlepiej, ze względu na średnie różnice, udało się zabezpieczanie warrantów na akcje Optimusa i Orbisu. Dla obu tych instrumentów średnia różnica dla badanej strategii była znacznie mniejsza niż dla strategii BS i KW i to zarówno w symulacjach opartych na niezmodyfikowanej próbie bootstrapowej, jak i w symulacjach z próbą ze zmodyfikowanym trendem. Zabezpieczenie kwantylowe w modelu zmienności stochastycznej okazało się bardzo dobre, jeżeli wziąć pod uwagę średni współczynnik sukcesu. Najmniejsza wartość tego wskaźnika wyniosła 0,7935 (dla warrantu na akcje Prokomu, symulacja dla próby ze zmienionym trendem). W pozostałych przypadkach średnie wartości współczynnika sukcesu wynosiły najczęściej około 19

20 0,9. Największą wartość, równą 0,9893, osiągnięto dla warrantu na akcje Optimusa (niezmodyfikowana próba bootstrapowa). Średnie współczynniki sukcesu dla zabezpieczeń kwantylowych były na ogół dużo wyższe niż dla zabezpieczeń BS i KW. Należy także zwrócić uwagę na dużą stabilność wyników, przy przejściu od niezmodyfikowanej próby bootstrapowej do próby ze zmienionym trendem. Potwierdza to wniosek, że zabezpieczenia kwantylowe w modelu zmienności stochastycznej były mało wrażliwe na zmianę trendu. Wysokie percentyle różnic między wypłatami związanymi z instrumentem, a końcową wartością strategii przyjmują w niektórych przypadkach duże wartości. O ile percentyle rzędu 0,9 dla badanej strategii są lepsze lub na takim samym poziomie, jak dla strategii BS i KW, to percentyle rzędu 0,99 są zazwyczaj większe. Bardzo dobre, według kryterium wysokich percentyli, okazały się zabezpieczenia warrantów na akcje Optimusa, Orbisu i Orlenu. Dla tych instrumentów percentyl rzędu 0,90 dla badanego zabezpieczenia ma znacznie mniejszą wartość niż dla zabezpieczeń BS i KW. Co więcej wysokie percentyle dla tych instrumentów nie zmieniają się znacznie przy zmianie trendu. Warto zauważyć, że percentyle rzędu 0,90 dla wszystkich badanych instrumentów są znacznie bardziej odporne na zmianę trendu ceny akcji niż percentyle rzędu 0,99. 20

Matematyka finansowa w pakiecie Matlab

Matematyka finansowa w pakiecie Matlab Matematyka finansowa w pakiecie Matlab Wykład 5. Wycena opcji modele dyskretne Bartosz Ziemkiewicz Wydział Matematyki i Informatyki UMK Kurs letni dla studentów studiów zamawianych na kierunku Matematyka

Bardziej szczegółowo

Quantile hedging. czyli jak tanio i dobrze zabezpieczyć opcję. Michał Krawiec, Piotr Piestrzyński

Quantile hedging. czyli jak tanio i dobrze zabezpieczyć opcję. Michał Krawiec, Piotr Piestrzyński czyli jak tanio i dobrze zabezpieczyć opcję Michał Krawiec Piotr Piestrzyński Koło Naukowe Probabilistyki i Statystyki Matematycznej Uniwersytet Wrocławski Niedziela, 19 kwietnia 2015 Przykład (opis problemu)

Bardziej szczegółowo

Inwestycje finansowe. Wycena obligacji. Stopa zwrotu z akcji. Ryzyko.

Inwestycje finansowe. Wycena obligacji. Stopa zwrotu z akcji. Ryzyko. Inwestycje finansowe Wycena obligacji. Stopa zwrotu z akcji. yzyko. Inwestycje finansowe Instrumenty rynku pieniężnego (np. bony skarbowe). Instrumenty rynku walutowego. Obligacje. Akcje. Instrumenty pochodne.

Bardziej szczegółowo

Wstęp do analitycznych i numerycznych metod wyceny opcji

Wstęp do analitycznych i numerycznych metod wyceny opcji Wstęp do analitycznych i numerycznych metod wyceny opcji Jan Palczewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytet Warszawski Warszawa, 16 maja 2008 Jan Palczewski Wycena opcji Warszawa, 2008

Bardziej szczegółowo

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXX Egzamin dla Aktuariuszy z 23 marca 2015 r. Część I Matematyka finansowa

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXX Egzamin dla Aktuariuszy z 23 marca 2015 r. Część I Matematyka finansowa Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXX Egzamin dla Aktuariuszy z 23 marca 2015 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1. Rozważmy

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Przedmowa 11

Spis treści. Przedmowa 11 Przedmowa 11 1. Wprowadzenie 15 1.1. Początki rynków finansowych 15 1.2. Konferencja w Bretton Woods 17 1.3. Początki matematyki finansowej 19 1.4. Inżynieria finansowa 23 1.5. Nobel'97 z ekonomii 26 1.6.

Bardziej szczegółowo

Zarządzanie ryzykiem. Opracował: Dr inŝ. Tomasz Zieliński

Zarządzanie ryzykiem. Opracował: Dr inŝ. Tomasz Zieliński Zarządzanie ryzykiem Opracował: Dr inŝ. Tomasz Zieliński I. OGÓLNE INFORMACJE O PRZEDMIOCIE Cel przedmiotu: Celem przedmiotu jest zaprezentowanie studentom podstawowych pojęć z zakresu ryzyka w działalności

Bardziej szczegółowo

Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory

Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adrian@tempus.metal.agh.edu.pl

Bardziej szczegółowo

166 Wstęp do statystyki matematycznej

166 Wstęp do statystyki matematycznej 166 Wstęp do statystyki matematycznej Etap trzeci realizacji procesu analizy danych statystycznych w zasadzie powinien rozwiązać nasz zasadniczy problem związany z identyfikacją cechy populacji generalnej

Bardziej szczegółowo

Wycena opcji. Dr inż. Bożena Mielczarek

Wycena opcji. Dr inż. Bożena Mielczarek Wycena opcji Dr inż. Bożena Mielczarek Stock Price Wahania ceny akcji Cena jednostki podlega niewielkim wahaniom dziennym (miesięcznym) wykazując jednak stały trend wznoszący. Cena może się doraźnie obniżać,

Bardziej szczegółowo

Spis treści 3 SPIS TREŚCI

Spis treści 3 SPIS TREŚCI Spis treści 3 SPIS TREŚCI PRZEDMOWA... 1. WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE JAKO DYSCYPLINA MATEMATYCZNA... Metody statystyczne w analizie i prognozowaniu zjawisk ekonomicznych... Badania statystyczne podstawowe

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXI Egzamin dla Aktuariuszy z 1 października 2012 r.

Matematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXI Egzamin dla Aktuariuszy z 1 października 2012 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXI Egzamin dla Aktuariuszy z 1 października 2012 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1

Bardziej szczegółowo

Wycena papierów wartościowych - instrumenty pochodne

Wycena papierów wartościowych - instrumenty pochodne Matematyka finansowa - 8 Wycena papierów wartościowych - instrumenty pochodne W ujęciu probabilistycznym cena akcji w momencie t jest zmienną losową P t o pewnym (zwykle nieznanym) rozkładzie prawdopodobieństwa,

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji

Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji Statystyka dla jakości produktów i usług Six sigma i inne strategie Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji StatSoft Polska Wybrane zagadnienia analizy korelacji Przy analizie zjawisk i procesów stanowiących

Bardziej szczegółowo

Analiza zdarzeń Event studies

Analiza zdarzeń Event studies Analiza zdarzeń Event studies Dobromił Serwa akson.sgh.waw.pl/~dserwa/ef.htm Leratura Campbell J., Lo A., MacKinlay A.C.(997) he Econometrics of Financial Markets. Princeton Universy Press, Rozdział 4.

Bardziej szczegółowo

Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności. dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl

Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności. dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl Statystyczna teoria korelacji i regresji (1) Jest to dział statystyki zajmujący

Bardziej szczegółowo

Streszczenia referatów

Streszczenia referatów Streszczenia referatów mgr Marcin Krzywda Jak estymować zmienność na rynku akcji? Do praktycznego zastosowania modeli matematyki finansowej musimy potrafić wyznaczyć parametry zmiennych rynkowych. Jednym

Bardziej szczegółowo

ZESZYTY NAUKOWE UNIWERSYTETU SZCZECIŃSKIEGO NR 689 FINANSE, RYNKI FINANSOWE, UBEZPIECZENIA NR 50 2012 ANALIZA WŁASNOŚCI OPCJI SUPERSHARE

ZESZYTY NAUKOWE UNIWERSYTETU SZCZECIŃSKIEGO NR 689 FINANSE, RYNKI FINANSOWE, UBEZPIECZENIA NR 50 2012 ANALIZA WŁASNOŚCI OPCJI SUPERSHARE ZESZYTY NAUKOWE UNIWERSYTETU SZCZECIŃSKIEGO NR 689 FINANSE, RYNKI FINANSOWE, UBEZPIECZENIA NR 5 212 EWA DZIAWGO ANALIZA WŁASNOŚCI OPCJI SUPERSHARE Wprowadzenie Proces globalizacji rynków finansowych stwarza

Bardziej szczegółowo

Wykłady specjalistyczne. (specjalność: Matematyka w finansach i ekonomii) oferowane na stacjonarnych studiach I stopnia (dla 3 roku)

Wykłady specjalistyczne. (specjalność: Matematyka w finansach i ekonomii) oferowane na stacjonarnych studiach I stopnia (dla 3 roku) Wykłady specjalistyczne (specjalność: Matematyka w finansach i ekonomii) oferowane na stacjonarnych studiach I stopnia (dla 3 roku) w roku akademickim 2015/2016 (semestr zimowy) Spis treści 1. MODELE SKOŃCZONYCH

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 26.05.2014 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 26 maja 2014 r. Część I

Matematyka finansowa 26.05.2014 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 26 maja 2014 r. Część I Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 26 maja 2014 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1. Przyjmijmy

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa w pakiecie Matlab

Matematyka finansowa w pakiecie Matlab Matematyka finansowa w pakiecie Matlab Wykład 6. Wycena opcji modele ciągłe, metoda Monte Carlo Bartosz Ziemkiewicz Wydział Matematyki i Informatyki UMK Kurs letni dla studentów studiów zamawianych na

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 15.06.2015 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXXI Egzamin dla Aktuariuszy z 15 czerwca 2015 r.

Matematyka finansowa 15.06.2015 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXXI Egzamin dla Aktuariuszy z 15 czerwca 2015 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXXI Egzamin dla Aktuariuszy z 1 czerwca 201 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1. Pracownik

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXIII Egzamin dla Aktuariuszy z 25 marca 2013 r. Część I

Matematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXIII Egzamin dla Aktuariuszy z 25 marca 2013 r. Część I Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXIII Egzamin dla Aktuariuszy z 25 marca 2013 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1.

Bardziej szczegółowo

Współczynniki Greckie

Współczynniki Greckie Wojciech Antniak 05.0.008r. Wstęp Współczynniki greckie określają ryzyko opcji europejskiej na zmiany rynku. ażdy z nich określa w jaki sposób wpłynie zmiana jakiegoś czynnika na cenę akcji. W dalszej

Bardziej szczegółowo

Kalibracja. W obu przypadkach jeśli mamy dane, to możemy znaleźć równowagę: Konwesatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW 1

Kalibracja. W obu przypadkach jeśli mamy dane, to możemy znaleźć równowagę: Konwesatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW 1 Kalibracja Kalibracja - nazwa pochodzi z nauk ścisłych - kalibrowanie instrumentu oznacza wyznaczanie jego skali (np. kalibrowanie termometru polega na wyznaczeniu 0C i 100C tak by oznaczały punkt zamarzania

Bardziej szczegółowo

7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej

7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej 7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej Definicja 1 n-elementowa losowa próba prosta nazywamy ciag n niezależnych zmiennych losowych o jednakowych rozkładach

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa i ubezpieczeniowa - 8 Wycena papierów wartościowych

Matematyka finansowa i ubezpieczeniowa - 8 Wycena papierów wartościowych Matematyka finansowa i ubezpieczeniowa - 8 Wycena papierów wartościowych W ujęciu probabilistycznym cena akcji w momencie t jest zmienną losową P t o pewnym (zwykle nieznanym) rozkładzie prawdopodobieństwa,

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych

Weryfikacja hipotez statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych Hipoteza Test statystyczny Poziom istotności Testy jednostronne i dwustronne Testowanie równości wariancji test F-Fishera Testowanie równości wartości średnich test t-studenta

Bardziej szczegółowo

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 1.10.2012 r.

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 1.10.2012 r. Zadanie. W pewnej populacji każde ryzyko charakteryzuje się trzema parametrami q, b oraz v, o następującym znaczeniu: parametr q to prawdopodobieństwo, że do szkody dojdzie (może zajść co najwyżej jedna

Bardziej szczegółowo

Analiza inwestycji i zarządzanie portfelem SPIS TREŚCI

Analiza inwestycji i zarządzanie portfelem SPIS TREŚCI Analiza inwestycji i zarządzanie portfelem Frank K. Reilly, Keith C. Brown SPIS TREŚCI TOM I Przedmowa do wydania polskiego Przedmowa do wydania amerykańskiego O autorach Ramy książki CZĘŚĆ I. INWESTYCJE

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar... 1. Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16

Spis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar... 1. Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16 Spis treści Przedmowa.......................... XI Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar................. 1 1.1. Wielkości fizyczne i pozafizyczne.................. 1 1.2. Spójne układy miar. Układ SI i jego

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 20.06.2011 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LVII Egzamin dla Aktuariuszy z 20 czerwca 2011 r.

Matematyka finansowa 20.06.2011 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LVII Egzamin dla Aktuariuszy z 20 czerwca 2011 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LVII Egzamin dla Aktuariuszy z 20 czerwca 2011 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1.

Bardziej szczegółowo

Symulacyjne metody wyceny opcji amerykańskich

Symulacyjne metody wyceny opcji amerykańskich Metody wyceny Piotr Małecki promotor: dr hab. Rafał Weron Instytut Matematyki i Informatyki Politechniki Wrocławskiej Wrocław, 0 lipca 009 Metody wyceny Drzewko S 0 S t S t S 3 t S t St St 3 S t St St

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 04.04.2011 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LVI Egzamin dla Aktuariuszy z 4 kwietnia 2011 r. Część I

Matematyka finansowa 04.04.2011 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LVI Egzamin dla Aktuariuszy z 4 kwietnia 2011 r. Część I Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LVI Egzamin dla Aktuariuszy z 4 kwietnia 2011 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1.

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 08.01.2007 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLI Egzamin dla Aktuariuszy z 8 stycznia 2007 r. Część I

Matematyka finansowa 08.01.2007 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLI Egzamin dla Aktuariuszy z 8 stycznia 2007 r. Część I Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XLI Egzamin dla Aktuariuszy z 8 stycznia 2007 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 00 minut . Ile

Bardziej szczegółowo

Kiedy opcja jest bezpieczna?

Kiedy opcja jest bezpieczna? Kiedy opcja jest bezpieczna? Jacek Podlewski Koło Naukowe Modelowania Finansowego AGH Kraków Toruń, 8 grudnia 2012 Wprowadzenie Plan prezentacji 1 Krótki wstęp do opcji 2 Problem wyceny i osłony 3 Delta

Bardziej szczegółowo

Marcin Bartkowiak Krzysztof Echaust INSTRUMENTY POCHODNE WPROWADZENIE DO INŻYNIERII FINANSOWEJ

Marcin Bartkowiak Krzysztof Echaust INSTRUMENTY POCHODNE WPROWADZENIE DO INŻYNIERII FINANSOWEJ Marcin Bartkowiak Krzysztof Echaust INSTRUMENTY POCHODNE WPROWADZENIE DO INŻYNIERII FINANSOWEJ Spis treści Przedmowa... 7 1. Rynek instrumentów pochodnych... 9 1.1. Instrumenty pochodne... 9 1.2. Rynek

Bardziej szczegółowo

Opcje koszykowe a lokaty strukturyzowane - wycena

Opcje koszykowe a lokaty strukturyzowane - wycena Opcje koszykowe a lokaty strukturyzowane - wycena Basket options and structured deposits - pricing Janusz Gajda Promotor: dr hab. inz. Rafał Weron Politechnika Wrocławska Plan prezentacji Cel pracy Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

Zadania ze statystyki, cz.7 - hipotezy statystyczne, błąd standardowy, testowanie hipotez statystycznych

Zadania ze statystyki, cz.7 - hipotezy statystyczne, błąd standardowy, testowanie hipotez statystycznych Zadania ze statystyki, cz.7 - hipotezy statystyczne, błąd standardowy, testowanie hipotez statystycznych Zad. 1 Średnia ocen z semestru letniego w populacji studentów socjologii w roku akademickim 2011/2012

Bardziej szczegółowo

Metody statystyczne kontroli jakości i niezawodności Lekcja II: Karty kontrolne.

Metody statystyczne kontroli jakości i niezawodności Lekcja II: Karty kontrolne. Metody statystyczne kontroli jakości i niezawodności Lekcja II: Karty kontrolne. Wydział Matematyki Politechniki Wrocławskiej Karty kontroli jakości: przypomnienie Załóżmy, że chcemy mierzyć pewną charakterystykę.

Bardziej szczegółowo

Zmienność. Co z niej wynika?

Zmienność. Co z niej wynika? Zmienność. Co z niej wynika? Dla inwestora bardzo ważnym aspektem systemu inwestycyjnego jest moment wejścia na rynek (moment dokonania transakcji) oraz moment wyjścia z rynku (moment zamknięcia pozycji).

Bardziej szczegółowo

Czy opcje walutowe mogą być toksyczne?

Czy opcje walutowe mogą być toksyczne? Katedra Matematyki Finansowej Wydział Matematyki Stosowanej AGH 11 maja 2012 Kurs walutowy Kurs walutowy cena danej waluty wyrażona w innej walucie np. 1 USD = 3,21 PLN; USD/PLN = 3,21 Rodzaje kursów walutowych:

Bardziej szczegółowo

PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version http://www.fineprint.com

PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version http://www.fineprint.com Analiza korelacji i regresji KORELACJA zależność liniowa Obserwujemy parę cech ilościowych (X,Y). Doświadczenie jest tak pomyślane, aby obserwowane pary cech X i Y (tzn i ta para x i i y i dla różnych

Bardziej szczegółowo

Sterowanie wielkością zamówienia w Excelu - cz. 3

Sterowanie wielkością zamówienia w Excelu - cz. 3 Sterowanie wielkością zamówienia w Excelu - cz. 3 21.06.2005 r. 4. Planowanie eksperymentów symulacyjnych Podczas tego etapu ważne jest określenie typu rozkładu badanej charakterystyki. Dzięki tej informacji

Bardziej szczegółowo

Model Blacka-Scholesa

Model Blacka-Scholesa WYCENA OPCJI EUROPEJSKIEJ I AMERYKAŃSKIEJ W MODELACH DWUMIANOWYCH I TRÓJMIANOWYCH COXA-ROSSA-RUBINSTEINA I JARROWA-RUDDA Joanna Karska W modelach dyskretnych wyceny opcji losowość wyrażana jest poprzez

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji

Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXXIII Egzamin dla Aktuariuszy z 7 marca 2016 r. Część I

Matematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXXIII Egzamin dla Aktuariuszy z 7 marca 2016 r. Część I Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXXIII Egzamin dla Aktuariuszy z 7 marca 2016 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1.

Bardziej szczegółowo

Inne kryteria tworzenia portfela. Inne kryteria tworzenia portfela. Poziom bezpieczeństwa. Analiza i Zarządzanie Portfelem cz. 3. Dr Katarzyna Kuziak

Inne kryteria tworzenia portfela. Inne kryteria tworzenia portfela. Poziom bezpieczeństwa. Analiza i Zarządzanie Portfelem cz. 3. Dr Katarzyna Kuziak Inne kryteria tworzenia portfela Analiza i Zarządzanie Portfelem cz. 3 Dr Katarzyna Kuziak. Minimalizacja ryzyka przy zadanym dochodzie Portfel efektywny w rozumieniu Markowitza odchylenie standardowe

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA

STATYSTYKA Wykład 1 20.02.2008r. 1. ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1.1 Rozkład dwumianowy Rozkład dwumianowy, 0 1 Uwaga: 1, rozkład zero jedynkowy. 1 ; 1,2,, Fakt: Niech,, będą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym

Bardziej szczegółowo

Pobieranie prób i rozkład z próby

Pobieranie prób i rozkład z próby Pobieranie prób i rozkład z próby Marcin Zajenkowski Marcin Zajenkowski () Pobieranie prób i rozkład z próby 1 / 15 Populacja i próba Populacja dowolnie określony zespół przedmiotów, obserwacji, osób itp.

Bardziej szczegółowo

ANALIZA OPCJI ANALIZA OPCJI - WYCENA. Krzysztof Jajuga Katedra Inwestycji Finansowych i Zarządzania Ryzykiem Uniwersytet Ekonomiczny we Wrocławiu

ANALIZA OPCJI ANALIZA OPCJI - WYCENA. Krzysztof Jajuga Katedra Inwestycji Finansowych i Zarządzania Ryzykiem Uniwersytet Ekonomiczny we Wrocławiu Krzysztof Jajuga Katedra Inwestycji Finansowych i Zarządzania Ryzykiem Uniwersytet Ekonomiczny we Wrocławiu Podstawowe pojęcia Opcja: in-the-money (ITM call: wartość instrumentu podstawowego > cena wykonania

Bardziej szczegółowo

Rozkłady statystyk z próby

Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Przypuśćmy, że wykonujemy serię doświadczeń polegających na 4 krotnym rzucie symetryczną kostką do gry, obserwując liczbę wyrzuconych oczek Nr kolejny

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne.

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcja homograficzna. Definicja. Funkcja homograficzna jest to funkcja określona wzorem f() = a + b c + d, () gdzie współczynniki

Bardziej szczegółowo

Statystyki: miary opisujące rozkład! np. : średnia, frakcja (procent), odchylenie standardowe, wariancja, mediana itd.

Statystyki: miary opisujące rozkład! np. : średnia, frakcja (procent), odchylenie standardowe, wariancja, mediana itd. Wnioskowanie statystyczne obejmujące metody pozwalające na uogólnianie wyników z próby na nieznane wartości parametrów oraz szacowanie błędów tego uogólnienia. Przewidujemy nieznaną wartości parametru

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia do wykładu Zarządzanie portfelem inwestycyjnym. Opcje Strategie opcyjne

Ćwiczenia do wykładu Zarządzanie portfelem inwestycyjnym. Opcje Strategie opcyjne Ćwiczenia do wykładu Zarządzanie portfelem inwestycyjnym Opcje Strategie opcyjne 1 Współczynniki greckie Współczynniki greckie określają o ile zmieni się kurs opcji w wyniku zmiany wartości poszczególnych

Bardziej szczegółowo

Monte Carlo, bootstrap, jacknife

Monte Carlo, bootstrap, jacknife Monte Carlo, bootstrap, jacknife Literatura Bruce Hansen (2012 +) Econometrics, ze strony internetowej: http://www.ssc.wisc.edu/~bhansen/econometrics/ Monte Carlo: rozdział 8.8, 8.9 Bootstrap: rozdział

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 10.12.2012 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXII Egzamin dla Aktuariuszy z 10 grudnia 2012 r.

Matematyka finansowa 10.12.2012 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXII Egzamin dla Aktuariuszy z 10 grudnia 2012 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXII Egzamin dla Aktuariuszy z 10 grudnia 2012 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1.

Bardziej szczegółowo

Wykorzystanie opcji w zarządzaniu ryzykiem finansowym

Wykorzystanie opcji w zarządzaniu ryzykiem finansowym Prof. UJ dr hab. Andrzej Szopa Instytut Spraw Publicznych Uniwersytet Jagielloński Wykorzystanie opcji w zarządzaniu ryzykiem finansowym Ryzyko finansowe rozumiane jest na ogół jako zjawisko rozmijania

Bardziej szczegółowo

Strategie inwestowania w opcje. Filip Duszczyk Dział Rynku Terminowego

Strategie inwestowania w opcje. Filip Duszczyk Dział Rynku Terminowego Strategie inwestowania w opcje Filip Duszczyk Dział Rynku Terminowego Agenda: Opcje giełdowe Zabezpieczenie portfela Spekulacja Strategie opcyjne 2 Opcje giełdowe 3 Co to jest opcja? OPCJA JAK POLISA Zabezpieczenie

Bardziej szczegółowo

Rynek, opcje i równania SDE

Rynek, opcje i równania SDE Rynek, opcje i równania SDE Adam Majewski Uniwersytet Gdański kwiecień 2009 Adam Majewski (Uniwersytet Gdański) Rynek, opcje i równania SDE kwiecień 2009 1 / 16 1 Rynek, portfel inwestycyjny, arbitraż

Bardziej szczegółowo

Mikroekonometria 4. Mikołaj Czajkowski Wiktor Budziński

Mikroekonometria 4. Mikołaj Czajkowski Wiktor Budziński Mikroekonometria 4 Mikołaj Czajkowski Wiktor Budziński Regresja kwantylowa W standardowej Metodzie Najmniejszych Kwadratów modelujemy warunkową średnią zmiennej objaśnianej: E( yi Xi) = μ ( Xi) Pokazaliśmy,

Bardziej szczegółowo

Papiery wartościowe o stałym dochodzie

Papiery wartościowe o stałym dochodzie Papiery wartościowe o stałym dochodzie Inwestycje i teoria portfela Strona 1 z 42 1. Wartość pieniądza w czasie Złotówka dzisiaj (którą mamy w ręku) jest więcej warta niż (przyrzeczona) złotówka w przyszłości,

Bardziej szczegółowo

Krzysztof Piontek MODELOWANIE I PROGNOZOWANIE ZMIENNOŚCI INSTRUMENTÓW FINANSOWYCH

Krzysztof Piontek MODELOWANIE I PROGNOZOWANIE ZMIENNOŚCI INSTRUMENTÓW FINANSOWYCH Akademia Ekonomiczna im. Oskara Langego we Wrocławiu Wydział Zarządzania i Informatyki Krzysztof Piontek MODELOWANIE I PROGNOZOWANIE ZMIENNOŚCI INSTRUMENTÓW FINANSOWYCH rozprawa doktorska Promotor: prof.

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA WSTĘPNE W ZAKRESIE WIEDZY, UMIEJĘTNOŚCI I INNYCHY KOMPETENCJI EFEKTY KSZTAŁCENIA

WYMAGANIA WSTĘPNE W ZAKRESIE WIEDZY, UMIEJĘTNOŚCI I INNYCHY KOMPETENCJI EFEKTY KSZTAŁCENIA I. KARTA PRZEDMIOTU. Nazwa przedmiotu: MATEMATYKA STOSOWANA 2. Kod przedmiotu: Ms 3. Jednostka prowadząca: Wydział Nawigacji i Uzbrojenia Okrętowego 4. Kierunek: Nawigacja 5. Specjalność: Nawigacja morska

Bardziej szczegółowo

OPCJE MIESIĘCZNE NA INDEKS WIG20

OPCJE MIESIĘCZNE NA INDEKS WIG20 OPCJE MIESIĘCZNE NA INDEKS WIG20 1 TROCHĘ HISTORII 1973 Fisher Black i Myron Scholes opracowują precyzyjną metodę obliczania wartości opcji słynny MODEL BLACK/SCHOLES 2 TROCHĘ HISTORII 26 kwietnia 1973

Bardziej szczegółowo

b) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań jest co najwyżej jedno o dawce 15 mg. Wówczas:

b) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań jest co najwyżej jedno o dawce 15 mg. Wówczas: ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI Zadanie A1. Można założyć, że przy losowaniu trzech kul jednocześnie kolejność ich wylosowania nie jest istotna. A więc: Ω = 20 3. a) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań

Bardziej szczegółowo

Matematyka ubezpieczeń majątkowych r.

Matematyka ubezpieczeń majątkowych r. Zadanie. W pewnej populacji kierowców każdego jej członka charakteryzują trzy zmienne: K liczba przejeżdżanych kilometrów (w tysiącach rocznie) NP liczba szkód w ciągu roku, w których kierowca jest stroną

Bardziej szczegółowo

Narzędzia statystyczne i ekonometryczne. Wykład 1. dr Paweł Baranowski

Narzędzia statystyczne i ekonometryczne. Wykład 1. dr Paweł Baranowski Narzędzia statystyczne i ekonometryczne Wykład 1 dr Paweł Baranowski Informacje organizacyjne Wydział Ek-Soc, pok. B-109 pawel@baranowski.edu.pl Strona: baranowski.edu.pl (w tym materiały) Konsultacje:

Bardziej szczegółowo

KORELACJE I REGRESJA LINIOWA

KORELACJE I REGRESJA LINIOWA KORELACJE I REGRESJA LINIOWA Korelacje i regresja liniowa Analiza korelacji: Badanie, czy pomiędzy dwoma zmiennymi istnieje zależność Obie analizy się wzajemnie przeplatają Analiza regresji: Opisanie modelem

Bardziej szczegółowo

Wycena equity derivatives notowanych na GPW w obliczu wysokiego ryzyka dywidendy

Wycena equity derivatives notowanych na GPW w obliczu wysokiego ryzyka dywidendy Instrumenty pochodne 2014 Wycena equity derivatives notowanych na GPW w obliczu wysokiego ryzyka dywidendy Jerzy Dzieża, WMS, AGH Kraków 28 maja 2014 (Instrumenty pochodne 2014 ) Wycena equity derivatives

Bardziej szczegółowo

Excel i VBA w analizach i modelowaniu finansowym Pomiar ryzyka. Pomiar ryzyka

Excel i VBA w analizach i modelowaniu finansowym Pomiar ryzyka. Pomiar ryzyka Pomiar ryzyka Miary obiektywne stosowane w kwantyfikacji ryzyka rynkowego towarzyszącego zaangażowaniu środków w inwestycjach finansowych obejmują: Miary zmienności, Miary zagrożenia, Miary wrażliwości.

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 03.10.2011 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 3 października 2011 r.

Matematyka finansowa 03.10.2011 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 3 października 2011 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 3 października 2011 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut

Bardziej szczegółowo

Zmienne losowe, statystyki próbkowe. Wrocław, 2 marca 2015

Zmienne losowe, statystyki próbkowe. Wrocław, 2 marca 2015 Zmienne losowe, statystyki próbkowe Wrocław, 2 marca 2015 Zasady zaliczenia 2 kolokwia (każde po 20 punktów) projekt (20 punktów) aktywność Zasady zaliczenia 2 kolokwia (każde po 20 punktów) projekt (20

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY WNIOSKOWANIA STATYSTYCZNEGO czȩść II

PODSTAWY WNIOSKOWANIA STATYSTYCZNEGO czȩść II PODSTAWY WNIOSKOWANIA STATYSTYCZNEGO czȩść II Szkic wykładu 1 Wprowadzenie 2 3 4 5 Weryfikacja hipotez statystycznych Obok estymacji drugim działem wnioskowania statystycznego jest weryfikacja hipotez

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: y t. X 1 t. Tabela 1.

Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: y t. X 1 t. Tabela 1. tel. 44 683 1 55 tel. kom. 64 566 811 e-mail: biuro@wszechwiedza.pl Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: gdzie: y t X t y t = 1 X 1

Bardziej szczegółowo

1) jednostka posiada wystarczające środki aby zakupić walutę w dniu podpisania kontraktu

1) jednostka posiada wystarczające środki aby zakupić walutę w dniu podpisania kontraktu Przykład 1 Przedsiębiorca będący importerem podpisał kontrakt na zakup materiałów (surowców) o wartości 1 000 000 euro z datą płatności za 3 miesiące. Bieżący kurs 3,7750. Pozostałe koszty produkcji (wynagrodzenia,

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna dla leśników

Statystyka matematyczna dla leśników Statystyka matematyczna dla leśników Wydział Leśny Kierunek leśnictwo Studia Stacjonarne I Stopnia Rok akademicki 03/04 Wykład 5 Testy statystyczne Ogólne zasady testowania hipotez statystycznych, rodzaje

Bardziej szczegółowo

PLANOWANIE I OCENA PRZEDSIĘWZIĘĆ INWESTYCYJNYCH

PLANOWANIE I OCENA PRZEDSIĘWZIĘĆ INWESTYCYJNYCH Mariusz Próchniak Katedra Ekonomii II, SGH PLANOWANIE I OCENA PRZEDSIĘWZIĘĆ INWESTYCYJNYCH Ekonomia menedżerska 1 2 Wartość przyszła (FV future value) r roczna stopa procentowa B kwota pieniędzy, którą

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 11.10.2004 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XXXIII Egzamin dla Aktuariuszy - 11 października 2004 r.

Matematyka finansowa 11.10.2004 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XXXIII Egzamin dla Aktuariuszy - 11 października 2004 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXIII Egzamin dla Aktuariuszy - 11 października 2004 r. Część I Matematyka finansowa Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... WERSJA TESTU Czas egzaminu: 100 minut

Bardziej szczegółowo

Giełda Papierów Wartościowych w Warszawie oferuje inwestorom nową możliwość zawierania transakcji.

Giełda Papierów Wartościowych w Warszawie oferuje inwestorom nową możliwość zawierania transakcji. Giełda Papierów Wartościowych w Warszawie oferuje inwestorom nową możliwość zawierania transakcji. Giełda Papierów Wartościowych w Warszawie oferuje inwestorom nową możliwość zawierania transakcji. Od

Bardziej szczegółowo

1 Funkcja użyteczności

1 Funkcja użyteczności 1 Funkcja użyteczności Funkcja użyteczności to funkcja, której wartościami są wartości użyteczności (satysfakcji, komfortu psychicznego). Można mówić o użyteczności różnych zjawisk. Użyteczność pieniądza

Bardziej szczegółowo

Oznacza to, że chcemy znaleźć minimum, a właściwie wartość najmniejszą funkcji

Oznacza to, że chcemy znaleźć minimum, a właściwie wartość najmniejszą funkcji Wykład 11. Metoda najmniejszych kwadratów Szukamy zależności Dane są wyniki pomiarów dwóch wielkości x i y: (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ),..., (x n, y n ). Przypuśćmy, że nanieśliśmy je na wykres w układzie

Bardziej szczegółowo

Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania

Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania Politechnika Poznańska Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania Joanna Józefowska POZNAŃ 2010/11 Spis treści Rozdział 1. Metoda programowania dynamicznego........... 5

Bardziej szczegółowo

Ważne rozkłady i twierdzenia c.d.

Ważne rozkłady i twierdzenia c.d. Ważne rozkłady i twierdzenia c.d. Funkcja charakterystyczna rozkładu Wielowymiarowy rozkład normalny Elipsa kowariacji Sploty rozkładów Rozkłady jednostajne Sploty z rozkładem normalnym Pobieranie próby

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 5 TEORIA ESTYMACJI II

WYKŁAD 5 TEORIA ESTYMACJI II WYKŁAD 5 TEORIA ESTYMACJI II Teoria estymacji (wyznaczanie przedziałów ufności, błąd badania statystycznego, poziom ufności, minimalna liczba pomiarów). PRÓBA Próba powinna być reprezentacyjna tj. jak

Bardziej szczegółowo

( x) Równanie regresji liniowej ma postać. By obliczyć współczynniki a i b należy posłużyć się następującymi wzorami 1 : Gdzie:

( x) Równanie regresji liniowej ma postać. By obliczyć współczynniki a i b należy posłużyć się następującymi wzorami 1 : Gdzie: ma postać y = ax + b Równanie regresji liniowej By obliczyć współczynniki a i b należy posłużyć się następującymi wzorami 1 : xy b = a = b lub x Gdzie: xy = też a = x = ( b ) i to dane empiryczne, a ilość

Bardziej szczegółowo

Statystyka od podstaw Janina Jóźwiak, Jarosław Podgórski

Statystyka od podstaw Janina Jóźwiak, Jarosław Podgórski Statystyka od podstaw Janina Jóźwiak, Jarosław Podgórski Książka jest nowoczesnym podręcznikiem przeznaczonym dla studentów uczelni i wydziałów ekonomicznych. Wykład podzielono na cztery części. W pierwszej

Bardziej szczegółowo

Szukanie rozwiązań funkcji uwikłanych (równań nieliniowych)

Szukanie rozwiązań funkcji uwikłanych (równań nieliniowych) Szukanie rozwiązań funkcji uwikłanych (równań nieliniowych) Funkcja uwikłana (równanie nieliniowe) jest to funkcja, która nie jest przedstawiona jawnym przepisem, wzorem wyrażającym zależność wartości

Bardziej szczegółowo

WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI KARTA PRZEDMIOTU

WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI KARTA PRZEDMIOTU Zał. nr do ZW WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim BADANIA OPERACYJNE Nazwa w języku angielskim Operational research Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Matematyka

Bardziej szczegółowo

Opcja jest to prawo przysługujące nabywcy opcji wobec jej wystawcy do:

Opcja jest to prawo przysługujące nabywcy opcji wobec jej wystawcy do: Jesteś tu: Bossa.pl Opcje na WIG20 - wprowadzenie Opcja jest to prawo przysługujące nabywcy opcji wobec jej wystawcy do: żądania w ustalonym terminie dostawy instrumentu bazowego po określonej cenie wykonania

Bardziej szczegółowo

Inwestor musi wybrać następujące parametry: instrument bazowy, rodzaj opcji (kupna lub sprzedaży, kurs wykonania i termin wygaśnięcia.

Inwestor musi wybrać następujące parametry: instrument bazowy, rodzaj opcji (kupna lub sprzedaży, kurs wykonania i termin wygaśnięcia. Opcje na GPW (II) Wbrew ogólnej opinii, inwestowanie w opcje nie musi być trudne. Na rynku tym można tworzyć strategie dla doświadczonych inwestorów, ale również dla początkujących. Najprostszym sposobem

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez. Hipoteza prosta zawiera jeden element, np. H 0 : θ = 2, hipoteza złożona zawiera więcej niż jeden element, np. H 0 : θ > 4.

Testowanie hipotez. Hipoteza prosta zawiera jeden element, np. H 0 : θ = 2, hipoteza złożona zawiera więcej niż jeden element, np. H 0 : θ > 4. Testowanie hipotez Niech X = (X 1... X n ) będzie próbą losową na przestrzeni X zaś P = {P θ θ Θ} rodziną rozkładów prawdopodobieństwa określonych na przestrzeni próby X. Definicja 1. Hipotezą zerową Θ

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia ZPI. Katarzyna Niewińska, ćwiczenia do wykładu Zarządzanie portfelem inwestycyjnym

Ćwiczenia ZPI. Katarzyna Niewińska, ćwiczenia do wykładu Zarządzanie portfelem inwestycyjnym Ćwiczenia ZPI 1 Współczynniki greckie Odpowiadają na pytanie o ile zmieni się wartość opcji w wyniku: Współczynnik Delta (Δ) - zmiany wartości instrumentu bazowego Współczynnik Theta (Θ) - upływu czasu

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 15.12.2008 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 15 grudnia 2008 r.

Matematyka finansowa 15.12.2008 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 15 grudnia 2008 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XLVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 15 grudnia 2008 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 13.12.2010 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LV Egzamin dla Aktuariuszy z 13 grudnia 2010 r. Część I

Matematyka finansowa 13.12.2010 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LV Egzamin dla Aktuariuszy z 13 grudnia 2010 r. Część I Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LV Egzamin dla Aktuariuszy z 13 grudnia 2010 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1. Pan

Bardziej szczegółowo

Greckie współczynniki kalkulowane są po zamknięciu sesji na podstawie następujących danych:

Greckie współczynniki kalkulowane są po zamknięciu sesji na podstawie następujących danych: Metodologia wyznaczania greckich współczynników. (1) Dane wejściowe. Greckie współczynniki kalkulowane są po zamknięciu sesji na podstawie następujących danych: S wartość zamknięcia indeksu WIG20 (pkt),

Bardziej szczegółowo

Dodatek Solver Teoria Dodatek Solver jest częścią zestawu poleceń czasami zwaną narzędziami analizy typu co-jśli (analiza typu co, jeśli?

Dodatek Solver Teoria Dodatek Solver jest częścią zestawu poleceń czasami zwaną narzędziami analizy typu co-jśli (analiza typu co, jeśli? Dodatek Solver Teoria Dodatek Solver jest częścią zestawu poleceń czasami zwaną narzędziami analizy typu co-jśli (analiza typu co, jeśli? : Proces zmieniania wartości w komórkach w celu sprawdzenia, jak

Bardziej szczegółowo

Przykładowe zadania z teorii liczb

Przykładowe zadania z teorii liczb Przykładowe zadania z teorii liczb I. Podzielność liczb całkowitych. Liczba a = 346 przy dzieleniu przez pewną liczbę dodatnią całkowitą b daje iloraz k = 85 i resztę r. Znaleźć dzielnik b oraz resztę

Bardziej szczegółowo

SYLABUS PRZEDMIOTU rok akademicki 2012/2013

SYLABUS PRZEDMIOTU rok akademicki 2012/2013 SYLABUS PRZEDMIOTU rok akademicki 2012/2013 Elementy składowe sylabusu Opis Nazwa przedmiotu Kod przedmiotu Nazwa kierunku Nazwa jednostki prowadzącej kierunek Język przedmiotu Charakterystyka przedmiotu

Bardziej szczegółowo

Struktura terminowa rynku obligacji

Struktura terminowa rynku obligacji Krzywa dochodowości pomaga w inwestowaniu w obligacje Struktura terminowa rynku obligacji Wskazuje, które obligacje są atrakcyjne a których unikać Obrazuje aktualną sytuację na rynku długu i zmiany w czasie

Bardziej szczegółowo