Metody statystyczne kontroli jakości i niezawodności Lekcja II: Niezawodność systemów. Charakterystyki niezawodności.

Transkrypt

1 Metody statystyczne kontroli jakości i niezawodności Lekcja II: Niezawodność systemów. Charakterystyki niezawodności. Wydział Matematyki Politechniki Wrocławskiej

2 Wprowadzenie Czym jest niezawodność? (ang. reliability)

3 Wprowadzenie Czym jest niezawodność? (ang. reliability) Niezawodność jest to własność obiektu lub systemu mówiąca o tym, czy dany obiekt pracuje poprawnie w określonych warunkach eksploatacji oraz w określonym czasie.

4 Wprowadzenie Czym jest niezawodność? (ang. reliability) Niezawodność jest to własność obiektu lub systemu mówiąca o tym, czy dany obiekt pracuje poprawnie w określonych warunkach eksploatacji oraz w określonym czasie. W praktyce czas pracy urządzenia nie jest zdeterminowany. Nie można powiedzieć, że samochód zepsuje się po h jazdy lub żarówka przepali się po h świecenia.

5 Obiekty niezawodne Potocznie o maszynach mówimy, że są niezawdone jeśli nie ulegają awarii. Przykłady: Rysunek : Moduł pamięci RAM: praktycznie nie ulega awarii.

6 Obiekty niezawodne Rysunek : Mercedes Benz W123 produkowany w latach

7 Funkcja niezawodności Ponieważ niezawodność jest zmienna w czasie, możemy opisać ją za pomocą funkcji. Taką funkcję nazywamy funkcją niezawodności lub funkcją przeżycia. Jest to prawdopodobieńtwo (szansa) tego, że czas pracy bezawaryjnej będzie większy niż pewna liczba t.

8 Funkcja niezawodności Ponieważ niezawodność jest zmienna w czasie, możemy opisać ją za pomocą funkcji. Taką funkcję nazywamy funkcją niezawodności lub funkcją przeżycia. Jest to prawdopodobieńtwo (szansa) tego, że czas pracy bezawaryjnej będzie większy niż pewna liczba t. R(t) = P(T > t), t 0. (1)

9 Własności R(t) Funkcja niezawodności ma cztery podstawowe własności:

10 Własności R(t) Funkcja niezawodności ma cztery podstawowe własności: Przyjmuje wartości od 0 do 1. Czasami można się spotkać z zapisem, że przyjmuje wartości od 0% do 100%.

11 Własności R(t) Funkcja niezawodności ma cztery podstawowe własności: Przyjmuje wartości od 0 do 1. Czasami można się spotkać z zapisem, że przyjmuje wartości od 0% do 100%. Jest to funkcja nierosnąca.

12 Własności R(t) Funkcja niezawodności ma cztery podstawowe własności: Przyjmuje wartości od 0 do 1. Czasami można się spotkać z zapisem, że przyjmuje wartości od 0% do 100%. Jest to funkcja nierosnąca. R(0) = 1, czyli na początku zakłada się, że mamy urządzenie w 100% sprawne.

13 Własności R(t) Funkcja niezawodności ma cztery podstawowe własności: Przyjmuje wartości od 0 do 1. Czasami można się spotkać z zapisem, że przyjmuje wartości od 0% do 100%. Jest to funkcja nierosnąca. R(0) = 1, czyli na początku zakłada się, że mamy urządzenie w 100% sprawne. R( ) = 0, czyli w nieskończenie długim czasie urządzenie na pewno ulegnie awarii.

14 Intensywność awarii Drugą istotną charakterystyką niezawodności jest intensywność awarii, nazywana czasami także intensywnością uszkodzeń lub funkcją hazardu.

15 Intensywność awarii Drugą istotną charakterystyką niezawodności jest intensywność awarii, nazywana czasami także intensywnością uszkodzeń lub funkcją hazardu. Definiujemy ją jako szansę na to, że urządzenie będzie nam pracowało w dowolnie krótkim odcinku czasu t, pod warunkiem, że już pracowało nam do chwili t bezawaryjnie.

16 Intensywność awarii Drugą istotną charakterystyką niezawodności jest intensywność awarii, nazywana czasami także intensywnością uszkodzeń lub funkcją hazardu. Definiujemy ją jako szansę na to, że urządzenie będzie nam pracowało w dowolnie krótkim odcinku czasu t, pod warunkiem, że już pracowało nam do chwili t bezawaryjnie. r(t) P(t T < t + t T > t) t = R(t) R(t + t). (2) R(t) t

17 Intensywność awarii Drugą istotną charakterystyką niezawodności jest intensywność awarii, nazywana czasami także intensywnością uszkodzeń lub funkcją hazardu. Definiujemy ją jako szansę na to, że urządzenie będzie nam pracowało w dowolnie krótkim odcinku czasu t, pod warunkiem, że już pracowało nam do chwili t bezawaryjnie. r(t) P(t T < t + t T > t) t = R(t) R(t + t). (2) R(t) t Dla osób, które znają już pojęcie pochodniej można to przybliżenie zapisać dokładnie: r(t) = R (t) R(t).

18 Monotoniczne intensywności awarii Oczywiście intensywność awarii jest zawsze większa od 0. Jednak nie ma powiedziane jaka musi być jej monotoniczność. Wyróżniamy dwa podstawowe modele:

19 Monotoniczne intensywności awarii Oczywiście intensywność awarii jest zawsze większa od 0. Jednak nie ma powiedziane jaka musi być jej monotoniczność. Wyróżniamy dwa podstawowe modele: rosnąca intensywność awarii (RIA) (ang. IFR)

20 Monotoniczne intensywności awarii Oczywiście intensywność awarii jest zawsze większa od 0. Jednak nie ma powiedziane jaka musi być jej monotoniczność. Wyróżniamy dwa podstawowe modele: rosnąca intensywność awarii (RIA) (ang. IFR) malejąca intensywność awarii (MIA) (ang. DFR).

21 Model występujący najczęściej. Najczęstszym przypadkiem jest jednak inny model. Zaprezentowany jest on na poniższym wykresie:

22 Model występujący najczęściej. Najczęstszym przypadkiem jest jednak inny model. Zaprezentowany jest on na poniższym wykresie: Intensywność typu Bathtube, czyli krzywa wannowa. Można ją podzielić na trzy charakterystyczne części.

23 Model występujący najczęściej. Najczęstszym przypadkiem jest jednak inny model. Zaprezentowany jest on na poniższym wykresie: Intensywność typu Bathtube, czyli krzywa wannowa. Można ją podzielić na trzy charakterystyczne części.część pierwsza to okres malejącej intensywności awarii. Nazywamy to czasem docierania się elementów. Eliminowane są elementy o małej niezawodności.

24 Model występujący najczęściej. Najczęstszym przypadkiem jest jednak inny model. Zaprezentowany jest on na poniższym wykresie: Intensywność typu Bathtube, czyli krzywa wannowa. Można ją podzielić na trzy charakterystyczne części.część pierwsza to okres malejącej intensywności awarii. Nazywamy to czasem docierania się elementów. Eliminowane są elementy o małej niezawodności. W drugim przedziale intensywność awarii jest w przybliżeniu stała i ten okres nazywamy okresem normalnej eksploatacji elementów.

25 Model występujący najczęściej. Najczęstszym przypadkiem jest jednak inny model. Zaprezentowany jest on na poniższym wykresie: Intensywność typu Bathtube, czyli krzywa wannowa. Można ją podzielić na trzy charakterystyczne części.część pierwsza to okres malejącej intensywności awarii. Nazywamy to czasem docierania się elementów. Eliminowane są elementy o małej niezawodności. W drugim przedziale intensywność awarii jest w przybliżeniu stała i ten okres nazywamy okresem normalnej eksploatacji elementów. W trzecim okresie intensywność awarii rośnie i jest to okres starzenia się elementów.

26 Stała intensywność awarii Z praktycznego punktu widzenia najbardziej interesującym okresem jest okres normalnej eksploatacji elementu. Intensywność awarii jest wtedy w przybliżeniu stała: r(t) = λ = const.

27 Stała intensywność awarii Z praktycznego punktu widzenia najbardziej interesującym okresem jest okres normalnej eksploatacji elementu. Intensywność awarii jest wtedy w przybliżeniu stała: r(t) = λ = const. Intensywność podajemy w jednostkach odwrotnych do czasu, np. 1/rok, 1/miesiąc, 1/h.

28 Stała intensywność awarii Z praktycznego punktu widzenia najbardziej interesującym okresem jest okres normalnej eksploatacji elementu. Intensywność awarii jest wtedy w przybliżeniu stała: r(t) = λ = const. Intensywność podajemy w jednostkach odwrotnych do czasu, np. 1/rok, 1/miesiąc, 1/h. Jeśli intensywność awarii jest stała, to funkcja niezawodności ma wtedy postać: gdzie e jest stałą Eulera (e 2, 73). R(t) = e λt,

29 Eksperymentalne opracowanie danych Informacje o funkcjach niezawodności i intensywności awarii uzyskuje się na podstawie eksperymentu.

30 Eksperymentalne opracowanie danych Informacje o funkcjach niezawodności i intensywności awarii uzyskuje się na podstawie eksperymentu. Przypuśćmy, że mamy dostępnych n urządzeń jednakowego typu, t 1, t 2,..., t n oznacza czasy pracy poszczególnych elementów.

31 Eksperymentalne opracowanie danych Informacje o funkcjach niezawodności i intensywności awarii uzyskuje się na podstawie eksperymentu. Przypuśćmy, że mamy dostępnych n urządzeń jednakowego typu, t 1, t 2,..., t n oznacza czasy pracy poszczególnych elementów. Niech n(t) oznacza liczbę obserwowanych urządzeń w chwili t, które znajdują się w pracy w chwili t. n(t, t) = n(t) n(t + t).

32 Eksperymentalne opracowanie danych Informacje o funkcjach niezawodności i intensywności awarii uzyskuje się na podstawie eksperymentu. Przypuśćmy, że mamy dostępnych n urządzeń jednakowego typu, t 1, t 2,..., t n oznacza czasy pracy poszczególnych elementów. Niech n(t) oznacza liczbę obserwowanych urządzeń w chwili t, które znajdują się w pracy w chwili t. n(t, t) = n(t) n(t + t). Wtedy: R(t) = n(t) n, n(t, t) r(t) = n(t) t.

33 Eksperymentalne opracowanie danych Załóżmy, że wiemy, iż intensywność awarii jest stała. Jak na podstawie próby t 1, t 2,..., t n wyznaczyć jej wartość?

34 Eksperymentalne opracowanie danych Załóżmy, że wiemy, iż intensywność awarii jest stała. Jak na podstawie próby t 1, t 2,..., t n wyznaczyć jej wartość? Okazuje się, że jeżeli mamy intensywność stałą, to wielkość ET = 1 λ jest średnim czasem pracy elementu. Np. jeśli intensywność przepalania się żarówki wynosi 2, 5 10 [ ] 5 1 h, to średni czas pracy żarówki wynosi 40000[h]

35 Eksperymentalne opracowanie danych Zatem jeśli oznaczymy prze t = 1 n n t i, i=1 to wartość parametru λ przybliżamy wielkością λ = 1 t.

36 Rezerwowanie i odnowa W praktyce mamy rzadko kiedy do czynienia z pojedynczymi elementami. Najczęściej jest to system elementów.

37 Rezerwowanie Niezawodność całego systemu to pewna kombinacja niezawodności poszczególnych składowych tego systemu. Wyrożniamy trzy główne typy takich systemów:

38 Rezerwowanie Niezawodność całego systemu to pewna kombinacja niezawodności poszczególnych składowych tego systemu. Wyrożniamy trzy główne typy takich systemów: 1 system szeregowy

39 Rezerwowanie Niezawodność całego systemu to pewna kombinacja niezawodności poszczególnych składowych tego systemu. Wyrożniamy trzy główne typy takich systemów: 1 system szeregowy 2 system równoległy

40 Rezerwowanie Niezawodność całego systemu to pewna kombinacja niezawodności poszczególnych składowych tego systemu. Wyrożniamy trzy główne typy takich systemów: 1 system szeregowy 2 system równoległy 3 system złożony.

41 System szeregowy Mówimy, że system ma układ szeregowy, jeżeli znajduje się on w stanie pracy wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie elementy tego układu są w stanie pracy.

42 System szeregowy Mówimy, że system ma układ szeregowy, jeżeli znajduje się on w stanie pracy wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie elementy tego układu są w stanie pracy. Przykładem takiego systemu jest np. łańcuch rowerowy. Jeśli każde ogniwo jest sprawne to łańcuch spełnia swoje zadanie. Jeśli choć jedno ogniwo jes uszkodzone, to rowerem nie pojedziemy.

43 System szeregowy Jeśli system złożony z n elementów jest szeregowy i każda z jego składowych ma stałą intensywność awarii λ i, i = 1,..., n, to cały system też ma stałą intensywność awarii: λ sys = n λ i. i=1

44 System szeregowy Jeśli system złożony z n elementów jest szeregowy i każda z jego składowych ma stałą intensywność awarii λ i, i = 1,..., n, to cały system też ma stałą intensywność awarii: λ sys = n λ i. i=1 Zatem średni czas pracy takiego systemu wynosi ES s = 1 λ λ n.

45 System szeregowy Jeśli system złożony z n elementów jest szeregowy i każda z jego składowych ma stałą intensywność awarii λ i, i = 1,..., n, to cały system też ma stałą intensywność awarii: λ sys = n λ i. i=1 Zatem średni czas pracy takiego systemu wynosi ES s = 1 λ λ n. Zatem dodanie do systemu kolejnego ogniwa powoduje skrócenie jego średniego czasu pracy!

46 System równoległy Mówimy, że system ma układ równoległy, jeżeli znajduje się on w stanie pracy wtedy i tylko wtedy, gdy co najmniej jeden element tego układu jest w stanie pracy.

47 System równoległy Mówimy, że system ma układ równoległy, jeżeli znajduje się on w stanie pracy wtedy i tylko wtedy, gdy co najmniej jeden element tego układu jest w stanie pracy. Przykładem takiego systemu jest np. system oświetlenia. Będzie on działał do momentu, aż ostania żarówka nie przepali się.

48 System równoległy Jeśli system złożony z n elementów jest równoległy i każda z jego składowych ma stałą intensywność awarii λ i, i = 1,..., n, to cały system nie ma stałej intensywnośćci awarii. Ma ona dość złożoną postać.

49 System równoległy Jeśli system złożony z n elementów jest równoległy i każda z jego składowych ma stałą intensywność awarii λ i, i = 1,..., n, to cały system nie ma stałej intensywnośćci awarii. Ma ona dość złożoną postać. Możemy jednak podać postać średniego czasu życia takiego systemu. Też nie jest to postać mało skomplikowana: ES r = n i=1 1 λ i n n i=1 j=i ( 1) n+1 1. λ i + λ i λ λ n

50 System równoległy Jeśli system złożony z n elementów jest równoległy i każda z jego składowych ma stałą intensywność awarii λ i, i = 1,..., n, to cały system nie ma stałej intensywnośćci awarii. Ma ona dość złożoną postać. Możemy jednak podać postać średniego czasu życia takiego systemu. Też nie jest to postać mało skomplikowana: ES r = n i=1 1 λ i n n i=1 j=i ( 1) n+1 1. λ i + λ i λ λ n Jeśli jednak przyjmiemy, że każda z tych intensywności jest taka sama i wynosi λ, to wtedy: ES r = 1 ( λ ). n

51 System równoległy Jeśli system złożony z n elementów jest równoległy i każda z jego składowych ma stałą intensywność awarii λ i, i = 1,..., n, to cały system nie ma stałej intensywnośćci awarii. Ma ona dość złożoną postać. Możemy jednak podać postać średniego czasu życia takiego systemu. Też nie jest to postać mało skomplikowana: ES r = n i=1 1 λ i n n i=1 j=i ( 1) n+1 1. λ i + λ i λ λ n Jeśli jednak przyjmiemy, że każda z tych intensywności jest taka sama i wynosi λ, to wtedy: ES r = 1 ( λ ). n Czyli dodanie kolejnego elementu do systemu zwiększa jego średni czas pracy, choć o niewiele.

52 System równoległy Jeśli system złożony z n elementów jest równoległy i każda z jego składowych ma stałą intensywność awarii λ i, i = 1,..., n, to cały system nie ma stałej intensywnośćci awarii. Ma ona dość złożoną postać. Możemy jednak podać postać średniego czasu życia takiego systemu. Też nie jest to postać mało skomplikowana: ES r = n i=1 1 λ i n n i=1 j=i ( 1) n+1 1. λ i + λ i λ λ n Jeśli jednak przyjmiemy, że każda z tych intensywności jest taka sama i wynosi λ, to wtedy: ES r = 1 ( λ ). n Czyli dodanie kolejnego elementu do systemu zwiększa jego średni czas pracy, choć o niewiele. Dla dużych n można to przybliżyć wartością (ln(n) + 0, 57712). 1 λ

53 Rezerwowanie Oczywiście, aby zapewnić działanie systemu w sposób ciągły można posiadać także elementy zapasowe. Nazywa się to rezerwowaniem elementów. W zależności od tego, w jakim stanie znajdują się elementy wyróżnia się trzy typy rezerwy:

54 Rezerwowanie Oczywiście, aby zapewnić działanie systemu w sposób ciągły można posiadać także elementy zapasowe. Nazywa się to rezerwowaniem elementów. W zależności od tego, w jakim stanie znajdują się elementy wyróżnia się trzy typy rezerwy: 1 rezerwa gorąca

55 Rezerwowanie Oczywiście, aby zapewnić działanie systemu w sposób ciągły można posiadać także elementy zapasowe. Nazywa się to rezerwowaniem elementów. W zależności od tego, w jakim stanie znajdują się elementy wyróżnia się trzy typy rezerwy: 1 rezerwa gorąca 2 rezerwa zimna

56 Rezerwowanie Oczywiście, aby zapewnić działanie systemu w sposób ciągły można posiadać także elementy zapasowe. Nazywa się to rezerwowaniem elementów. W zależności od tego, w jakim stanie znajdują się elementy wyróżnia się trzy typy rezerwy: 1 rezerwa gorąca 2 rezerwa zimna 3 rezerwa ciepła.

57 Rezerwa gorąca Rezerwę nazywamy gorącą, jeśli elementy rezerwowe zachowują się tak samo jak element zasadniczy podczas pracy. Mają tą samą intensywność awarii.

58 Rezerwa gorąca Rezerwę nazywamy gorącą, jeśli elementy rezerwowe zachowują się tak samo jak element zasadniczy podczas pracy. Mają tą samą intensywność awarii. Przykład: odczynniki chemiczne. Jedna butelka jest używana, reszta stoi w magazynie. Nie oznacza to jednak, że odczynnik nie może się popsuć jako nieużywany.

59 Rezerwa gorąca Rezerwę nazywamy gorącą, jeśli elementy rezerwowe zachowują się tak samo jak element zasadniczy podczas pracy. Mają tą samą intensywność awarii. Przykład: odczynniki chemiczne. Jedna butelka jest używana, reszta stoi w magazynie. Nie oznacza to jednak, że odczynnik nie może się popsuć jako nieużywany. Łatwo zauważyć, że system z rezerwą gorącą jest równoważny systemowi o układzie równoległym.

60 Rezerwa zimna Rezerwę nazywamy zimną, jeżeli elementy rezerwowe nie zmieniają swych właściwości w rezerwie, nie ulegają uszkodzeniom ani starzeniu się. W tym przypadku elementy są kolejno instalowane do pracy.

61 Rezerwa zimna Rezerwę nazywamy zimną, jeżeli elementy rezerwowe nie zmieniają swych właściwości w rezerwie, nie ulegają uszkodzeniom ani starzeniu się. W tym przypadku elementy są kolejno instalowane do pracy. Przykład: zapasowe żarówki w magazynie.

62 Rezerwa zimna Rezerwę nazywamy zimną, jeżeli elementy rezerwowe nie zmieniają swych właściwości w rezerwie, nie ulegają uszkodzeniom ani starzeniu się. W tym przypadku elementy są kolejno instalowane do pracy. Przykład: zapasowe żarówki w magazynie. Łatwo zauważyć, że system z rezerwą zimną to system, w którym czas jego pracy jest sumą czasów pracy każdego elementu. Zatem także i średni czas pracy tego systemu jest sumą średnich czasów pracy każdego komponentu.

63 Rezerwa ciepła Rezerwę nazywamy ciepłą, jeżeli elementy rezerwowe zmieniają swoje właściwości w rezerwie, ale nie w tym samym tempie co elementy zasadnicze.

64 Rezerwa ciepła Rezerwę nazywamy ciepłą, jeżeli elementy rezerwowe zmieniają swoje właściwości w rezerwie, ale nie w tym samym tempie co elementy zasadnicze. Przykład: uszczelki gumowe. Kiedy pracują są narażone na działanie innych czynników niż gdy leżą w pudełku. Ale niestety guma też się starzeje.

65 Rezerwa ciepła Rezerwę nazywamy ciepłą, jeżeli elementy rezerwowe zmieniają swoje właściwości w rezerwie, ale nie w tym samym tempie co elementy zasadnicze. Przykład: uszczelki gumowe. Kiedy pracują są narażone na działanie innych czynników niż gdy leżą w pudełku. Ale niestety guma też się starzeje. Jeżeli elementy systemu nie są jednakowe (np. pochodzą od innego prducenta) to kolejność instalowania elementów w systemie NIE jest obojętna.

66 Kolejność instalowania elementów Załóżmy, że w systemie n elementowym Jednym z kryteriów, jakie przyjmuje się dla kolejności instalowania elementów jest Kryterium Kolejność instalowania elementów do pracy jest optymalna, jeżeli niezawodność systemu w początkowym okresie pracy jest maksymalna.

67 Kolejność instalowania elementów Załóżmy, że w systemie n elementowym Jednym z kryteriów, jakie przyjmuje się dla kolejności instalowania elementów jest Kryterium Kolejność instalowania elementów do pracy jest optymalna, jeżeli niezawodność systemu w początkowym okresie pracy jest maksymalna. Wtedy zachodzi twierdzenie Twierdzenie Kolejność instalowania elementów do pracy w systemie n elementowym jest optymalna wtedy i tylko wtedy, gdy spełnione są nierówności λ 1 Λ 1 λ 2 Λ 2... λ n Λ n (3) gdzie λ i to intensywność awarii i-tego elementu w rezerwie, zaś Λ i to intensywność awarii i-tego elementu podczas pracy.

68 Kolejność instalowania elementów Inne kryterium podawane jest dla n = 2. Brzmi ono następująco: Kryterium Kolejność instalowania elementów do pracy jest optymalna, jeżeli średni czas pracy jest maksymalny.

69 Kolejność instalowania elementów Inne kryterium podawane jest dla n = 2. Brzmi ono następująco: Kryterium Kolejność instalowania elementów do pracy jest optymalna, jeżeli średni czas pracy jest maksymalny. Wtedy zachodzi twierdzenie Twierdzenie Kolejność instalowania elementów do pracy w systemie 2 elementowym jest optymalna wtedy i tylko wtedy, gdy spełniona jest nierówność λ 1 Λ 1 λ 2 Λ 2 λ 1 + Λ 2 Λ 1 + λ 2 (4) gdzie λ i to intensywność awarii i-tego elementu w rezerwie, zaś Λ i to intensywność awarii i-tego elementu podczas pracy.

70 Średni czas pracy systemu z rezerwą ciepłą Średni czas pracy systemu z rezerwą zimną można wyznaczyć, jednak jest on dany dość skomplikowanymi wzorami.

71 Średni czas pracy systemu z rezerwą ciepłą Średni czas pracy systemu z rezerwą zimną można wyznaczyć, jednak jest on dany dość skomplikowanymi wzorami. Niemniej jednak podamy go dla n = 2: ES c = 1 Λ 1 + Λ 1 Λ 2 (λ 2 + Λ 2 ).

72 Przybliżanie wartości funkcji niezawodności w przypadku stałej intensywności awarii W przypadku, gdy intensywność awarii jest stała, to można przybliżyć funkcję niezawodności w iinny sposób.

73 Przybliżanie wartości funkcji niezawodności w przypadku stałej intensywności awarii W przypadku, gdy intensywność awarii jest stała, to można przybliżyć funkcję niezawodności w iinny sposób. Niech t będzie średnią czasów bezawaryjnej pracy n elementowego systemu.

74 Przybliżanie wartości funkcji niezawodności w przypadku stałej intensywności awarii W przypadku, gdy intensywność awarii jest stała, to można przybliżyć funkcję niezawodności w iinny sposób. Niech t będzie średnią czasów bezawaryjnej pracy n elementowego systemu. Wtedy R(t) = e t t, t 0.

75 Przybliżanie wartości funkcji niezawodności w przypadku stałej intensywności awarii W przypadku, gdy intensywność awarii jest stała, to można przybliżyć funkcję niezawodności w iinny sposób. Niech t będzie średnią czasów bezawaryjnej pracy n elementowego systemu. Wtedy R(t) = e t t, t 0. Powyższy estymator niedoszacuje nam prawdziwej funkcji niezawodności, tzn. jego oczekiwana wartość jest mniejsza niż powinna być. Ma on też duże wahania.

76 Przybliżanie wartości funkcji niezawodności w przypadku stałej intensywności awarii W przypadku, gdy intensywność awarii jest stała, to można przybliżyć funkcję niezawodności w iinny sposób. Niech t będzie średnią czasów bezawaryjnej pracy n elementowego systemu. Wtedy R(t) = e t t, t 0. Powyższy estymator niedoszacuje nam prawdziwej funkcji niezawodności, tzn. jego oczekiwana wartość jest mniejsza niż powinna być. Ma on też duże wahania. Lepszym przybliżeniem o mniejszym wahaniu jest następujące: R(t) = ( 1 t ) n 1, 0 t n t. n t

77 Przybliżanie wartości funkcji niezawodności w przypadku stałej intensywności awarii W przypadku, gdy intensywność awarii jest stała, to można przybliżyć funkcję niezawodności w iinny sposób. Niech t będzie średnią czasów bezawaryjnej pracy n elementowego systemu. Wtedy R(t) = e t t, t 0. Powyższy estymator niedoszacuje nam prawdziwej funkcji niezawodności, tzn. jego oczekiwana wartość jest mniejsza niż powinna być. Ma on też duże wahania. Lepszym przybliżeniem o mniejszym wahaniu jest następujące: R(t) = Niestety jego zakres jest ograniczony. ( 1 t ) n 1, 0 t n t. n t

78 Po co to wszystko? Podczas tych zajęć zajęliśmy się przypadkiem, kiedy już mamy działające urządzenia. Jak widać, czas pracy urządzeń jest losowy, a nie deterministyczny. Oszacowanie go pozwala odpowiedzieć producentowi na wiele pytań, m.in.:

79 Po co to wszystko? Podczas tych zajęć zajęliśmy się przypadkiem, kiedy już mamy działające urządzenia. Jak widać, czas pracy urządzeń jest losowy, a nie deterministyczny. Oszacowanie go pozwala odpowiedzieć producentowi na wiele pytań, m.in.: Jaki przedstawić okres gwarancji produktu?

80 Po co to wszystko? Podczas tych zajęć zajęliśmy się przypadkiem, kiedy już mamy działające urządzenia. Jak widać, czas pracy urządzeń jest losowy, a nie deterministyczny. Oszacowanie go pozwala odpowiedzieć producentowi na wiele pytań, m.in.: Jaki przedstawić okres gwarancji produktu? Ile części zamiennych produkować?

81 Po co to wszystko? Podczas tych zajęć zajęliśmy się przypadkiem, kiedy już mamy działające urządzenia. Jak widać, czas pracy urządzeń jest losowy, a nie deterministyczny. Oszacowanie go pozwala odpowiedzieć producentowi na wiele pytań, m.in.: Jaki przedstawić okres gwarancji produktu? Ile części zamiennych produkować? Użytkownikom też pozwala uzyskać wskazówkę do wielu zagadnień, m.in.:

82 Po co to wszystko? Podczas tych zajęć zajęliśmy się przypadkiem, kiedy już mamy działające urządzenia. Jak widać, czas pracy urządzeń jest losowy, a nie deterministyczny. Oszacowanie go pozwala odpowiedzieć producentowi na wiele pytań, m.in.: Jaki przedstawić okres gwarancji produktu? Ile części zamiennych produkować? Użytkownikom też pozwala uzyskać wskazówkę do wielu zagadnień, m.in.: Ile części zapasowych magazynować?

83 Po co to wszystko? Podczas tych zajęć zajęliśmy się przypadkiem, kiedy już mamy działające urządzenia. Jak widać, czas pracy urządzeń jest losowy, a nie deterministyczny. Oszacowanie go pozwala odpowiedzieć producentowi na wiele pytań, m.in.: Jaki przedstawić okres gwarancji produktu? Ile części zamiennych produkować? Użytkownikom też pozwala uzyskać wskazówkę do wielu zagadnień, m.in.: Ile części zapasowych magazynować? W jakiej kolejności podłączać kolejne urządzenia zapasowe?.

84 Po co to wszystko? Podczas tych zajęć zajęliśmy się przypadkiem, kiedy już mamy działające urządzenia. Jak widać, czas pracy urządzeń jest losowy, a nie deterministyczny. Oszacowanie go pozwala odpowiedzieć producentowi na wiele pytań, m.in.: Jaki przedstawić okres gwarancji produktu? Ile części zamiennych produkować? Użytkownikom też pozwala uzyskać wskazówkę do wielu zagadnień, m.in.: Ile części zapasowych magazynować? W jakiej kolejności podłączać kolejne urządzenia zapasowe?. Jest to przykład praktycznego zastosowania statystyki matematycznej i rachunku prawdopodobieństwa.

85 Literatura Douglas C. Montgomery, Introduction to Statistical Quality Control, John Willey & Sons Inc., 6th edition, W. Krysicki, J. Bartos, W. Dyczka, K. Królikowska, M. Wasilewski, Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna w zadaniach, cz. II, PWN, wyd. VIII, B. Kopociński, Zarys teorii odnowy i niezawodności, Biblioteka Naukowa Inżyniera, PWN, Warszawa, 1973.

86 Podziękowania Dziękuję za uwagę