O agregacji kapita lu ludzkiego w heterogenicznych kohortach populacji
|
|
|
- Irena Kosińska
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 O agregacji kapita lu ludzkiego w heterogenicznych kohortach populacji Jakub Growiec 1,2 Christian Groth 3 1 Narodowy Bank Polski 2 Szko la G lówna Handlowa 3 Uniwersytet w Kopenhadze Seminarium IE NBP, 28 maja 2013 Jakub Growiec, Christian Groth (.) O agregacji kapita lu ludzkiego 28 maja / 29
2 Plan wystapienia 1 Wprowadzenie 2 Model teoretyczny 3 Warunki wystarczajace dla równania makro-mincerowskiego 4 Warunki konieczne dla równania makro-mincerowskiego 5 Równanie makro-mincerowskie jako aproksymacja 6 Podsumowanie Jakub Growiec, Christian Groth (.) O agregacji kapita lu ludzkiego 28 maja / 29
3 Plan wystapienia 1 Wprowadzenie 2 Model teoretyczny 3 Warunki wystarczajace dla równania makro-mincerowskiego 4 Warunki konieczne dla równania makro-mincerowskiego 5 Równanie makro-mincerowskie jako aproksymacja 6 Podsumowanie Jakub Growiec, Christian Groth (.) O agregacji kapita lu ludzkiego 28 maja / 29
4 T lo literaturowe: mikro-mincer kontra makro-mincer Duża liczba wp lywowych publikacji makroekonomicznych (Bils i Klenow, 2000; Jones, 2002, 2005; Acemoglu, 2009; Hazan, 2009) zak lada log-liniowa zależność mi edzy zagregowanym zasobem kapita lu ludzkiego i przeci etn a liczba lat edukacji i doświadczenia zawodowego wśród pracowników. Jakub Growiec, Christian Groth (.) O agregacji kapita lu ludzkiego 28 maja / 29
5 T lo literaturowe: mikro-mincer kontra makro-mincer Duża liczba wp lywowych publikacji makroekonomicznych (Bils i Klenow, 2000; Jones, 2002, 2005; Acemoglu, 2009; Hazan, 2009) zak lada log-liniowa zależność mi edzy zagregowanym zasobem kapita lu ludzkiego i przeci etn a liczba lat edukacji i doświadczenia zawodowego wśród pracowników. Motywacja takiego za lożenia jest powszechnie uznany wynik empiryczny Mincera (1958, 1974), że wynagrodzenia indywidualne (w danych przekrojowych) sa zwiazane log-liniowa zależnościa z liczba lat edukacji oraz doświadczenia zawodowego pracowników. Jakub Growiec, Christian Groth (.) O agregacji kapita lu ludzkiego 28 maja / 29
6 Pytanie badawcze Pytanie: czy log-liniowa zależność mikro-mincerowska mi edzy p lacami indywidualnymi (lub zasobami kapita lu ludzkiego) i liczba lat edukacji może zostać przeniesione na dane (na poziomie krajów) o zagregowanym kapitale ludzkim oraz przeci etnej liczbie lat edukacji (zależność makro-mincerowska)? Jakub Growiec, Christian Groth (.) O agregacji kapita lu ludzkiego 28 maja / 29
7 Pytanie badawcze Pytanie: czy log-liniowa zależność mikro-mincerowska mi edzy p lacami indywidualnymi (lub zasobami kapita lu ludzkiego) i liczba lat edukacji może zostać przeniesione na dane (na poziomie krajów) o zagregowanym kapitale ludzkim oraz przeci etnej liczbie lat edukacji (zależność makro-mincerowska)? Potencjalne problemy: Niedoskona la substytucyjność pracy wykwalifikowanej i niewykwalifikowanej (Pandey, 2008, B. Jones, 2011a, 2011b). Heterogeniczność zadań i umiej etności (B. Jones, 2011b). Optymalne decyzje poszczególnych osób nt. lat edukacji (B. Jones, 2011a). Kapita l ludzki jest ucieleśniony w osobach o skończonym czasie życia (Growiec, 2010, MD). Jakub Growiec, Christian Groth (.) O agregacji kapita lu ludzkiego 28 maja / 29
8 Pytanie badawcze Pytanie: czy log-liniowa zależność mikro-mincerowska mi edzy p lacami indywidualnymi (lub zasobami kapita lu ludzkiego) i liczba lat edukacji może zostać przeniesione na dane (na poziomie krajów) o zagregowanym kapitale ludzkim oraz przeci etnej liczbie lat edukacji (zależność makro-mincerowska)? Potencjalne problemy: Niedoskona la substytucyjność pracy wykwalifikowanej i niewykwalifikowanej (Pandey, 2008, B. Jones, 2011a, 2011b). Heterogeniczność zadań i umiej etności (B. Jones, 2011b). Optymalne decyzje poszczególnych osób nt. lat edukacji (B. Jones, 2011a). Kapita l ludzki jest ucieleśniony w osobach o skończonym czasie życia (Growiec, 2010, MD). należy oczekiwać odst epstw od zależności makro-mincerowskiej. Jakub Growiec, Christian Groth (.) O agregacji kapita lu ludzkiego 28 maja / 29
9 Bieżace opracowanie: za lożenia i wk lad do literatury Za lożenia: Poziomy umiej etności sa doskonale substytucyjne. Brak heterogeniczności zadań badź umiej etności w ramach kohort. Heterogeniczność jest wy lacznie skutkiem faktu, iż osoby rodza si e w różnych momentach czasu i stopniowo akumuluja kapita l ludzki w toku swojego życia. Jakub Growiec, Christian Groth (.) O agregacji kapita lu ludzkiego 28 maja / 29
10 Bieżace opracowanie: za lożenia i wk lad do literatury Za lożenia: Poziomy umiej etności sa doskonale substytucyjne. Brak heterogeniczności zadań badź umiej etności w ramach kohort. Heterogeniczność jest wy lacznie skutkiem faktu, iż osoby rodza si e w różnych momentach czasu i stopniowo akumuluja kapita l ludzki w toku swojego życia. Wk lad do literatury: 1 Wykazujemy na gruncie teoretycznym, że zależność makro-mincerowska jest utracona w procesie agregacji, nawet jeśli zależność mikro-mincerowska jest spe lniona w przekroju osób (zob. Growiec, 2010, MD). Jakub Growiec, Christian Groth (.) O agregacji kapita lu ludzkiego 28 maja / 29
11 Bieżace opracowanie: za lożenia i wk lad do literatury Za lożenia: Poziomy umiej etności sa doskonale substytucyjne. Brak heterogeniczności zadań badź umiej etności w ramach kohort. Heterogeniczność jest wy lacznie skutkiem faktu, iż osoby rodza si e w różnych momentach czasu i stopniowo akumuluja kapita l ludzki w toku swojego życia. Wk lad do literatury: 1 Wykazujemy na gruncie teoretycznym, że zależność makro-mincerowska jest utracona w procesie agregacji, nawet jeśli zależność mikro-mincerowska jest spe lniona w przekroju osób (zob. Growiec, 2010, MD). Wyj atek 1: przypadki homogeniczne jeśli wszyscy pracownicy maja identyczne zasoby kapita lu ludzkiego. Wyj atek 2: jeśli osoby najpierw tylko ucz eszczaj a do szko ly, a potem tylko pracuja, wtedy zależność makro-mincerowska jest osiagana w przypadku struktury demograficznej tzw. wiecznej m lodości (Blanchard, 1985). Jakub Growiec, Christian Groth (.) O agregacji kapita lu ludzkiego 28 maja / 29
12 Bieżace opracowanie: za lożenia i wk lad do literatury Za lożenia: Poziomy umiej etności sa doskonale substytucyjne. Brak heterogeniczności zadań badź umiej etności w ramach kohort. Heterogeniczność jest wy lacznie skutkiem faktu, iż osoby rodza si e w różnych momentach czasu i stopniowo akumuluja kapita l ludzki w toku swojego życia. Wk lad do literatury: 1 Wykazujemy na gruncie teoretycznym, że zależność makro-mincerowska jest utracona w procesie agregacji, nawet jeśli zależność mikro-mincerowska jest spe lniona w przekroju osób (zob. Growiec, 2010, MD). Wyj atek 1: przypadki homogeniczne jeśli wszyscy pracownicy maja identyczne zasoby kapita lu ludzkiego. Wyj atek 2: jeśli osoby najpierw tylko ucz eszczaj a do szko ly, a potem tylko pracuja, wtedy zależność makro-mincerowska jest osiagana w przypadku struktury demograficznej tzw. wiecznej m lodości (Blanchard, 1985). 2 Wyniki numeryczne wskazuja, że równanie makro-mincerowskie jest mimo wszystko empirycznie uzasadniona aproksymacja prawdziwej zależności: przynajmniej przy standardowych kalibracjach (niskie zwroty z doświadczenia zawodowego); dopóki różne kraje charakteryzuj a si e jednakowymi stopami zwrotu zgodnie z za lożeniami modelu teoretycznego. Jakub Growiec, Christian Groth (.) O agregacji kapita lu ludzkiego 28 maja / 29
13 Plan wystapienia 1 Wprowadzenie 2 Model teoretyczny 3 Warunki wystarczajace dla równania makro-mincerowskiego 4 Warunki konieczne dla równania makro-mincerowskiego 5 Równanie makro-mincerowskie jako aproksymacja 6 Podsumowanie Jakub Growiec, Christian Groth (.) O agregacji kapita lu ludzkiego 28 maja / 29
14 Akumulacja kapita lu ludzkiego Za lożenie Kapita l ludzki osoby w wieku τ lat, urodzonej w roku j, akumulowany jest zgodnie z liniowa funkcja produkcji: τ h(j,τ) = [λl h(j,τ)+µl Y (j,τ)]h(j,τ), (1) gdzie λ 0 oznacza jednostkowa produktywność edukacji, a µ 0 oznacza jednostkowa produktywność uczenia si e przez praktyk e (akumulacji doświadczenia zawodowego). Jakub Growiec, Christian Groth (.) O agregacji kapita lu ludzkiego 28 maja / 29
15 Akumulacja kapita lu ludzkiego Za lożenie Kapita l ludzki osoby w wieku τ lat, urodzonej w roku j, akumulowany jest zgodnie z liniowa funkcja produkcji: τ h(j,τ) = [λl h(j,τ)+µl Y (j,τ)]h(j,τ), (1) gdzie λ 0 oznacza jednostkowa produktywność edukacji, a µ 0 oznacza jednostkowa produktywność uczenia si e przez praktyk e (akumulacji doświadczenia zawodowego). Równanie (1) można sca lkować wzgl edem τ, otrzymujac zasób kapita lu ludzkiego osoby urodzonej w roku t τ, w wieku τ: h(t τ,τ) = h 0 exp λ τ To jest równanie mikro-mincerowskie. l h (t τ,s)ds } 0 {{ } edukacja τ + µ 0 l Y (t τ,s)ds. (2) }{{} doświadczenie zawodowe Jakub Growiec, Christian Groth (.) O agregacji kapita lu ludzkiego 28 maja / 29
16 Demografia Za lożenie W każdym wieku τ 0, osoba może przeżyć lub umrzeć. Bezwarunkowe prawdopodobieństwo przeżycia τ lat jest oznaczane jako m(τ), gdzie m(0) = 1, lim τ m(τ) = 0 oraz m(τ) jest nierosnaca w ca lej dziedzinie. Prawdopodobieństwo przeżycia nie zależy od roku kalendarzowego t. Jakub Growiec, Christian Groth (.) O agregacji kapita lu ludzkiego 28 maja / 29
17 Demografia Za lożenie W każdym wieku τ 0, osoba może przeżyć lub umrzeć. Bezwarunkowe prawdopodobieństwo przeżycia τ lat jest oznaczane jako m(τ), gdzie m(0) = 1, lim τ m(τ) = 0 oraz m(τ) jest nierosnaca w ca lej dziedzinie. Prawdopodobieństwo przeżycia nie zależy od roku kalendarzowego t. Za lożenie Struktura wiekowa populacji (dystrybuanta) jest stacjonarna. W roku t żyje P(t,τ) = bn(t τ)m(τ) osób w wieku τ w populacji. Ca lkowita liczebność populacji w roku t wynosi N(t), gdzie N(t) = 0 P(t,τ)dτ = Ca lkowita si la robocza w roku t jest natomiast równa L(t) = 0 P(t,τ)l Y (t τ,τ)dτ = 0 0 bn(t τ)m(τ)dτ. (3) bn(t τ)m(τ)l Y (t τ,τ)dτ. (4) Jakub Growiec, Christian Groth (.) O agregacji kapita lu ludzkiego 28 maja / 29
18 Implikacje stacjonarności Ze wzgl edu na Prawo Wielkich Liczb, zagregowana stopa urodzeń b i stopa zgonów d sa sta le. To implikuje sta la stop e wzrostu populacji: N(t) = N 0 e (b d)t. W konsekwencji udzia ly poszczególnych pokoleń w ca lkowitej populacji sa sta le: P(t,τ) N(t) N(t τ) = bm(τ) = bm(τ)e (b d)τ, niezależnie od t. (5) N(t) Jakub Growiec, Christian Groth (.) O agregacji kapita lu ludzkiego 28 maja / 29
19 Implikacje stacjonarności Ze wzgl edu na Prawo Wielkich Liczb, zagregowana stopa urodzeń b i stopa zgonów d sa sta le. To implikuje sta la stop e wzrostu populacji: N(t) = N 0 e (b d)t. W konsekwencji udzia ly poszczególnych pokoleń w ca lkowitej populacji sa sta le: P(t,τ) N(t) N(t τ) = bm(τ) = bm(τ)e (b d)τ, niezależnie od t. (5) N(t) Stopa zgonów d jest obliczana w sposób jednoznaczny na podstawie funkcji przeżycia m(τ). Jeśli przeci etna liczba przeżywajacego potomstwa na osob e (stopa urodzeń razy oczekiwana d lugość życia w momencie narodzin) przekracza jedność, wtedy b > d i ca lkowita populacja rośnie. I vice versa. Jakub Growiec, Christian Groth (.) O agregacji kapita lu ludzkiego 28 maja / 29
20 Implikacje stacjonarności Ze wzgl edu na Prawo Wielkich Liczb, zagregowana stopa urodzeń b i stopa zgonów d sa sta le. To implikuje sta la stop e wzrostu populacji: N(t) = N 0 e (b d)t. W konsekwencji udzia ly poszczególnych pokoleń w ca lkowitej populacji sa sta le: P(t,τ) N(t) N(t τ) = bm(τ) = bm(τ)e (b d)τ, niezależnie od t. (5) N(t) Stopa zgonów d jest obliczana w sposób jednoznaczny na podstawie funkcji przeżycia m(τ). Jeśli przeci etna liczba przeżywajacego potomstwa na osob e (stopa urodzeń razy oczekiwana d lugość życia w momencie narodzin) przekracza jedność, wtedy b > d i ca lkowita populacja rośnie. I vice versa. Przy stacjonarnej strukturze wiekowej populacji oraz przy za lożeniu, że profile czasowe edukacji i pracy sa niezależne od czasu kalendarzowego t, zasób kapita lu ludzkiego poszczególnych osób h(j,τ) zależy wy l acznie od ich wieku τ, a nie od roku urodzenia j. Jakub Growiec, Christian Groth (.) O agregacji kapita lu ludzkiego 28 maja / 29
21 Implikacje stacjonarności Ze wzgl edu na Prawo Wielkich Liczb, zagregowana stopa urodzeń b i stopa zgonów d sa sta le. To implikuje sta la stop e wzrostu populacji: N(t) = N 0 e (b d)t. W konsekwencji udzia ly poszczególnych pokoleń w ca lkowitej populacji sa sta le: P(t,τ) N(t) N(t τ) = bm(τ) = bm(τ)e (b d)τ, niezależnie od t. (5) N(t) Stopa zgonów d jest obliczana w sposób jednoznaczny na podstawie funkcji przeżycia m(τ). Jeśli przeci etna liczba przeżywajacego potomstwa na osob e (stopa urodzeń razy oczekiwana d lugość życia w momencie narodzin) przekracza jedność, wtedy b > d i ca lkowita populacja rośnie. I vice versa. Przy stacjonarnej strukturze wiekowej populacji oraz przy za lożeniu, że profile czasowe edukacji i pracy sa niezależne od czasu kalendarzowego t, zasób kapita lu ludzkiego poszczególnych osób h(j,τ) zależy wy l acznie od ich wieku τ, a nie od roku urodzenia j. Stopa zatrudnienia L(t) N(t) również nie zależy od roku kalendarzowego t. Jakub Growiec, Christian Groth (.) O agregacji kapita lu ludzkiego 28 maja / 29
22 Profile czasowe edukacji i pracy Scenariusz S+W. Do wieku S tylko szko la, potem praca na ca ly etat aż do śmierci: { { 1, τ S, 0, τ S, l h (t,τ) = l Y (t,τ) = (6) 0, τ > S, 1, τ > S. Jakub Growiec, Christian Groth (.) O agregacji kapita lu ludzkiego 28 maja / 29
23 Profile czasowe edukacji i pracy Scenariusz S+W. Do wieku S tylko szko la, potem praca na ca ly etat aż do śmierci: { { 1, τ S, 0, τ S, l h (t,τ) = l Y (t,τ) = (6) 0, τ > S, 1, τ > S. Scenariusz S+W+R. Do wieku S tylko szko la, potem praca na ca ly etat do wieku R, potem emerytura aż do śmierci: { { 1, τ S, 0, τ [0,S] [R,+ ), l h (t,τ) = l Y (t,τ) = (7) 0, τ > S, 1, τ (S,R). Jakub Growiec, Christian Groth (.) O agregacji kapita lu ludzkiego 28 maja / 29
24 Profile czasowe edukacji i pracy Scenariusz S+W. Do wieku S tylko szko la, potem praca na ca ly etat aż do śmierci: { { 1, τ S, 0, τ S, l h (t,τ) = l Y (t,τ) = (6) 0, τ > S, 1, τ > S. Scenariusz S+W+R. Do wieku S tylko szko la, potem praca na ca ly etat do wieku R, potem emerytura aż do śmierci: { { 1, τ S, 0, τ [0,S] [R,+ ), l h (t,τ) = l Y (t,τ) = (7) 0, τ > S, 1, τ (S,R). Scenariusz Fix. Sta ly odsetek czasu poświ ecanego na edukacj e i prac e przez ca le życie: l h (t,τ) l h, l Y (t,τ) l Y. (8) Jakub Growiec, Christian Groth (.) O agregacji kapita lu ludzkiego 28 maja / 29
25 Kluczowe definicje (1) Definicja Zagregowany zasób kapita lu ludzkiego pracowników w roku t: H LF (t) = 0 P(t,τ)(l Y (t τ,τ)h(t τ,τ))dτ. (9) Praca osób w dowolnym wieku jest doskonale substytucyjna. Przeci etny poziom kapita lu ludzkiego pracowników wynosi h LF (t) = H LF(t) L(t). Jakub Growiec, Christian Groth (.) O agregacji kapita lu ludzkiego 28 maja / 29
26 Kluczowe definicje (2) Definicja Skumulowana liczba lat edukacji pracowników w roku t: ( τ ) Y LF (t) = P(t,τ)l Y (t τ,τ) l h (t τ,s)ds dτ. (10) 0 Przeci etna liczba lat edukacji pracowników wynosi zatem y LF (t) = Y LF(t) L(t). Skumulowane doświadczenie zawodowe pracowników w roku t: ( τ ) X LF (t) = P(t,τ)l Y (t τ,τ) l Y (t τ,s)ds dτ. (11) 0 Przeci etne doświadczenie zawodowe pracowników wynosi zatem x LF (t) = X LF(t) L(t). 0 0 Jakub Growiec, Christian Groth (.) O agregacji kapita lu ludzkiego 28 maja / 29
27 Definicja równania makro-mincerowskiego Definicja Równanie makro-mincerowskie przyjmuje postać: h LF (t) = exp(αy LF (t)+βx LF (t)). (12) Parametry α 0 i β 0 b edziemy nazywać odpowiednio mincerowskim wspó lczynnikiem edukacji oraz mincerowskim wspó lczynnikiem doświadczenia zawodowego. Jakub Growiec, Christian Groth (.) O agregacji kapita lu ludzkiego 28 maja / 29
28 Plan wystapienia 1 Wprowadzenie 2 Model teoretyczny 3 Warunki wystarczajace dla równania makro-mincerowskiego 4 Warunki konieczne dla równania makro-mincerowskiego 5 Równanie makro-mincerowskie jako aproksymacja 6 Podsumowanie Jakub Growiec, Christian Groth (.) O agregacji kapita lu ludzkiego 28 maja / 29
29 Wyniki (1): wieczna m lodość Funkcja przeżycia o sta lym ryzyku śmierci (model wiecznej m lodości Blancharda, 1985): m(τ) = e dτ Jakub Growiec, Christian Groth (.) O agregacji kapita lu ludzkiego 28 maja / 29
30 Wyniki (1): wieczna m lodość Funkcja przeżycia o sta lym ryzyku śmierci (model wiecznej m lodości Blancharda, 1985): m(τ) = e dτ Stwierdzenie (Warunki wystarczajace dla równania makro-mincerowskiego ) Niech Za lożenia 1 3 b ed a spe lnione, a funkcja przeżycia przyjmie postać funkcji wiecznej m lodości. Wtedy równanie makro-mincerowskie jest spe lnione dla si ly roboczej (ale nie dla ca lej populacji): przy scenariuszu S+W, przy scenariuszu S+W+R o ile µ = 0. Mincerowski wspó lczynnik edukacji jest wtedy równy indywidualnej stopie zwrotu z edukacji λ. Poza tymi dwoma przypadkami, równanie makro-mincerowskie nie jest spe lnione. Zależność makro-mincerowska jest niezgodna z heterogenicznościa pod wzgl edem edukacji oraz z istnieniem emerytur. Jakub Growiec, Christian Groth (.) O agregacji kapita lu ludzkiego 28 maja / 29
31 Wyniki (2): sta ly czas trwania życia m(τ) = { 1 τ < T 0 τ T, T > S T R. (13) Struktura wiekowa populacji spe lnia P(t,τ) N(t) = be (b d)τ dla τ < T oraz 0 w przeciwnym przypadku. Agregatowa stopa zgonów d jest powiazana z czasem trwania życia T równościa T = lnb lnd b d. Otrzymujemy, że b > d wtw gdy T > 1/b. Jakub Growiec, Christian Groth (.) O agregacji kapita lu ludzkiego 28 maja / 29
32 Wyniki (2): sta ly czas trwania życia m(τ) = { 1 τ < T 0 τ T, T > S T R. (13) Struktura wiekowa populacji spe lnia P(t,τ) N(t) = be (b d)τ dla τ < T oraz 0 w przeciwnym przypadku. Agregatowa stopa zgonów d jest powiazana z czasem trwania życia T równościa T = lnb lnd b d. Otrzymujemy, że b > d wtw gdy T > 1/b. Stwierdzenie (Warunki wystarczajace dla równania makro-mincerowskiego ) Niech Za lożenia 1 3 b ed a spe lnione, a osoby b ed a ży ly przez sta ly, znany okres T. Wtedy równanie makro-mincerowskie jest spe lnione dla si ly roboczej: przy scenariuszu S+W o ile µ = 0, przy scenariuszu S+W+R o ile µ = 0. Mincerowski wspó lczynnik edukacji jest wówczas równy indywidualnej stopie zwrotu z edukacji λ. Poza tymi dwoma przypadkami, równanie makro-mincerowskie nie jest spe lnione. Jakub Growiec, Christian Groth (.) O agregacji kapita lu ludzkiego 28 maja / 29
33 Wyniki (3): brak nabywania umiej etności przez praktyk e Stwierdzenie (Warunki wystarczajace dla równania makro-mincerowskiego ) Niech Za lożenia 1 3 b ed a spe lnione. Za lóżmy dodatkowo µ = 0. Wtedy przy scenariuszach S+W i S+W+R, równanie makro-mincerowskie jest spe lnione dla si ly roboczej h LF (t) niezależnie od kszta ltu funkcji przeżycia m(τ). Mincerowski wspó lczynnik edukacji jest równy indywidualnej stopie zwrotu z edukacji λ. Jakub Growiec, Christian Groth (.) O agregacji kapita lu ludzkiego 28 maja / 29
34 Wyniki (3): brak nabywania umiej etności przez praktyk e Stwierdzenie (Warunki wystarczajace dla równania makro-mincerowskiego ) Niech Za lożenia 1 3 b ed a spe lnione. Za lóżmy dodatkowo µ = 0. Wtedy przy scenariuszach S+W i S+W+R, równanie makro-mincerowskie jest spe lnione dla si ly roboczej h LF (t) niezależnie od kszta ltu funkcji przeżycia m(τ). Mincerowski wspó lczynnik edukacji jest równy indywidualnej stopie zwrotu z edukacji λ. Dowód. Przy scenariuszu S+W mamy: P(t, τ) h LF (t) = 0 L(t) l Y(t τ,τ)h(t τ,τ)dτ = h 0 e λs be (b d)τ m(τ) N(t) S L(t) dτ = = h 0 e λs S be (b d)τ m(τ)dτ S be (b d)τ m(τ)dτ = h 0e λs. (14) Przy scenariuszu S+W+R mamy: P(t, τ) R h LF (t) = 0 L(t) l Y(t τ,τ)h(t τ,τ)dτ = S h 0 e λs be (b d)τ m(τ) N(t) L(t) dτ = = h 0 e λs R S be (b d)τ m(τ)dτ R S be (b d)τ m(τ)dτ = h 0e λs. (15) Jakub Growiec, Christian Groth (.) O agregacji kapita lu ludzkiego 28 maja / 29
35 Plan wystapienia 1 Wprowadzenie 2 Model teoretyczny 3 Warunki wystarczajace dla równania makro-mincerowskiego 4 Warunki konieczne dla równania makro-mincerowskiego 5 Równanie makro-mincerowskie jako aproksymacja 6 Podsumowanie Jakub Growiec, Christian Groth (.) O agregacji kapita lu ludzkiego 28 maja / 29
36 Warunki konieczne Stwierdzenie (Warunki konieczne dla równania makro-mincerowskiego przy S+W) Niech Za lożenia 1 3 b ed a spe lnione, przy czym µ (0,b). Za lóżmy, że równanie makro-mincerowskie jest spe lnione dla si ly roboczej. Wtedy przy scenariuszu S+W funkcja przeżycia musi być postaci m(τ) = e dτ, tj. musi spe lniać w lasność wiecznej m lodości. Implikowany mincerowski wspó lczynnik edukacji jest równy indywidualnej stopie zwrotu z edukacji λ. Jakub Growiec, Christian Groth (.) O agregacji kapita lu ludzkiego 28 maja / 29
37 Warunki konieczne Stwierdzenie (Warunki konieczne dla równania makro-mincerowskiego przy S+W) Niech Za lożenia 1 3 b ed a spe lnione, przy czym µ (0,b). Za lóżmy, że równanie makro-mincerowskie jest spe lnione dla si ly roboczej. Wtedy przy scenariuszu S+W funkcja przeżycia musi być postaci m(τ) = e dτ, tj. musi spe lniać w lasność wiecznej m lodości. Implikowany mincerowski wspó lczynnik edukacji jest równy indywidualnej stopie zwrotu z edukacji λ. Stwierdzenie (Warunki konieczne dla równania makro-mincerowskiego przy S+W+R) Niech Za lożenia 1 3 b ed a spe lnione, przy czym µ (0,b). Wtedy przy scenariuszu S+W+R nie istnieje funkcja przeżycia zgodna z za lożeniem, że równanie makro-mincerowskie jest spe lnione dla si ly roboczej. Jakub Growiec, Christian Groth (.) O agregacji kapita lu ludzkiego 28 maja / 29
38 Plan wystapienia 1 Wprowadzenie 2 Model teoretyczny 3 Warunki wystarczajace dla równania makro-mincerowskiego 4 Warunki konieczne dla równania makro-mincerowskiego 5 Równanie makro-mincerowskie jako aproksymacja 6 Podsumowanie Jakub Growiec, Christian Groth (.) O agregacji kapita lu ludzkiego 28 maja / 29
39 Konstrukcja badania numerycznego Zak ladamy realistyczna funkcj e przeżycia (Boucekkine, de la Croix i Licandro, 2002), m : [0,T ] [0,1]: m(τ) = e βτ α, α > 1,β < 0. (16) 1 α Maksymalny czas trwania życia wynosi T = lnα β. Przeci etny czas trwania życia wynosi E = 1 β + αlnα (1 α)β. Deprecjacja kapita lu ludzkiego ze wspó lczynnikiem δ = Zak ladamy scenariusz S+W+R. Jakub Growiec, Christian Groth (.) O agregacji kapita lu ludzkiego 28 maja / 29
40 Konstrukcja badania numerycznego Zak ladamy realistyczna funkcj e przeżycia (Boucekkine, de la Croix i Licandro, 2002), m : [0,T ] [0,1]: m(τ) = e βτ α, α > 1,β < 0. (16) 1 α Maksymalny czas trwania życia wynosi T = lnα β. Przeci etny czas trwania życia wynosi E = 1 β + αlnα (1 α)β. Deprecjacja kapita lu ludzkiego ze wspó lczynnikiem δ = Zak ladamy scenariusz S+W+R. Obliczamy dok ladne wielkości przeci etnych poziomów kapita lu ludzkiego. Jakub Growiec, Christian Groth (.) O agregacji kapita lu ludzkiego 28 maja / 29
41 Konstrukcja badania numerycznego Zak ladamy realistyczna funkcj e przeżycia (Boucekkine, de la Croix i Licandro, 2002), m : [0,T ] [0,1]: m(τ) = e βτ α, α > 1,β < 0. (16) 1 α Maksymalny czas trwania życia wynosi T = lnα β. Przeci etny czas trwania życia wynosi E = 1 β + αlnα (1 α)β. Deprecjacja kapita lu ludzkiego ze wspó lczynnikiem δ = Zak ladamy scenariusz S+W+R. Obliczamy dok ladne wielkości przeci etnych poziomów kapita lu ludzkiego. Nast epnie aproksymujemy je za pomoca równania makro-mincerowskiego (log-liniowego). Parametry równania sa zidentyfikowane poprzez estymacj e modelu regresji: lnh LF,i = b 0 +b 1 q LF,i +b 2 x LF,i +η i (17) za pomoca metody najmniejszych kwadratów, w oparciu o sztuczne dane uzyskane z prawdziwego modelu. Jakub Growiec, Christian Groth (.) O agregacji kapita lu ludzkiego 28 maja / 29
42 Konstrukcja badania numerycznego Zak ladamy realistyczna funkcj e przeżycia (Boucekkine, de la Croix i Licandro, 2002), m : [0,T ] [0,1]: m(τ) = e βτ α, α > 1,β < 0. (16) 1 α Maksymalny czas trwania życia wynosi T = lnα β. Przeci etny czas trwania życia wynosi E = 1 β + αlnα (1 α)β. Deprecjacja kapita lu ludzkiego ze wspó lczynnikiem δ = Zak ladamy scenariusz S+W+R. Obliczamy dok ladne wielkości przeci etnych poziomów kapita lu ludzkiego. Nast epnie aproksymujemy je za pomoca równania makro-mincerowskiego (log-liniowego). Parametry równania sa zidentyfikowane poprzez estymacj e modelu regresji: lnh LF,i = b 0 +b 1 q LF,i +b 2 x LF,i +η i (17) za pomoca metody najmniejszych kwadratów, w oparciu o sztuczne dane uzyskane z prawdziwego modelu. Obliczamy R 2, MAPE wewnatrz próby. Porównujemy oszacowania stóp zwrotu z edukacji na poziomie makro b 1,b 2 ze stopami zwrotu na poziomie mikro λ,µ (które sa znane a priori). Jakub Growiec, Christian Groth (.) O agregacji kapita lu ludzkiego 28 maja / 29
43 Stylizowany przyk lad: losowe wartości S, R, α 1.6 Whole population 2 Labor force Human capital ln h= q x R 2 =0.9973; F stat= ; MAPE=0.68% ln h= q R 2 =0.9783; F stat= ; MAPE=1.96% Human capital ln h= q x R 2 =1.0000; F stat= ; MAPE=0.10% ln h= q R 2 =0.9809; F stat= ; MAPE=2.62% Years of schooling Years of schooling Residuals Residuals Years of schooling Years of schooling Jakub Growiec, Christian Groth (.) O agregacji kapita lu ludzkiego 28 maja / 29
44 Stylizowany przyk lad: zależność wyników od wielkości stopy zwrotu z doświadczenia zawodowego Human capital ln h= q x mu=0.02, R 2 = ln h= q mu=0.02, R 2 = Human capital ln h= q x mu=0.04, R 2 = ln h= q mu=0.04, R 2 = Human capital ln h= q x mu=0.06, R 2 = ln h= q mu=0.06, R 2 = Years of schooling Years of schooling Years of schooling Human capital ln h= q x mu=0.08, R 2 = ln h= q mu=0.08, R 2 = Human capital ln h= q x mu=0.10, R 2 = ln h= q mu=0.10, R 2 = Human capital ln h= q x mu=0.12, R 2 = ln h= q mu=0.12, R 2 = Years of schooling Years of schooling Years of schooling Jakub Growiec, Christian Groth (.) O agregacji kapita lu ludzkiego 28 maja / 29
45 Eksperyment Monte Carlo B = 2000 iteracji ćwiczenia numerycznego, przy losowych wartościach trzech parametrów S, R, α. W każdej iteracji, próba sk lada si e ze 100 hipotetycznych krajów, dla których obliczamy prawdziwe zasoby kapita lu ludzkiego. Nast epnie estymujemy równanie makro-mincerowskie dla przekroju krajów. Zapami etujemy oszacowania parametrów z każdej iteracji procedury Monte Carlo, jak również R 2 i MAPE. Jakub Growiec, Christian Groth (.) O agregacji kapita lu ludzkiego 28 maja / 29
46 Eksperyment Monte Carlo B = 2000 iteracji ćwiczenia numerycznego, przy losowych wartościach trzech parametrów S, R, α. W każdej iteracji, próba sk lada si e ze 100 hipotetycznych krajów, dla których obliczamy prawdziwe zasoby kapita lu ludzkiego. Nast epnie estymujemy równanie makro-mincerowskie dla przekroju krajów. Zapami etujemy oszacowania parametrów z każdej iteracji procedury Monte Carlo, jak również R 2 i MAPE. Eksperyment Monte Carlo zosta l powtórzony dla różnych stóp zwrotu z doświadczenia zawodowego µ, która jest kluczowa determinanta stopnia heterogeniczności agregowanych kohort. Jeśli µ jest niskie, wtedy równanie makro-mincerowskie jest dobrze dopasowane do danych. Dok ladność dopasowania spada wraz z µ, lecz aproksymacja pozostaje empirycznie użyteczna nawet, gdy µ wynosi aż Jakub Growiec, Christian Groth (.) O agregacji kapita lu ludzkiego 28 maja / 29
47 Eksperyment Monte Carlo B = 2000 iteracji ćwiczenia numerycznego, przy losowych wartościach trzech parametrów S, R, α. W każdej iteracji, próba sk lada si e ze 100 hipotetycznych krajów, dla których obliczamy prawdziwe zasoby kapita lu ludzkiego. Nast epnie estymujemy równanie makro-mincerowskie dla przekroju krajów. Zapami etujemy oszacowania parametrów z każdej iteracji procedury Monte Carlo, jak również R 2 i MAPE. Eksperyment Monte Carlo zosta l powtórzony dla różnych stóp zwrotu z doświadczenia zawodowego µ, która jest kluczowa determinanta stopnia heterogeniczności agregowanych kohort. Jeśli µ jest niskie, wtedy równanie makro-mincerowskie jest dobrze dopasowane do danych. Dok ladność dopasowania spada wraz z µ, lecz aproksymacja pozostaje empirycznie użyteczna nawet, gdy µ wynosi aż Równanie makro-mincerowskie oszacowane dla ca lej populacji dużo gorzej odzworowuje prawdziwa zależność funkcyjna. To samo można powiedzieć o uproszczonym równaniu makro-mincerowskim. Jakub Growiec, Christian Groth (.) O agregacji kapita lu ludzkiego 28 maja / 29
48 Wyniki eksperymentu Monte Carlo R POP 2 R LF 2 M POP [%] M LF [%] a 0 a 1 a 2 b 0 b 1 b 2 Parametry na poziomie mikro µ µ µ = 0.02 Mean S.D µ = 0.04 Mean S.D µ = 0.06 Mean S.D µ = 0.08 Mean S.D µ = 0.10 Mean S.D µ = 0.12 Mean S.D Jakub Growiec, Christian Groth (.) O agregacji kapita lu ludzkiego 28 maja / 29
49 Plan wystapienia 1 Wprowadzenie 2 Model teoretyczny 3 Warunki wystarczajace dla równania makro-mincerowskiego 4 Warunki konieczne dla równania makro-mincerowskiego 5 Równanie makro-mincerowskie jako aproksymacja 6 Podsumowanie Jakub Growiec, Christian Groth (.) O agregacji kapita lu ludzkiego 28 maja / 29
50 Podsumowanie Celem artyku lu by la weryfikacja hipotezy nt. zasadności pos lugiwania si e równaniem makro-mincerowskim w analizach makroekonomicznych. 1 Z teoretycznego punktu widzenia, równanie makro-mincerowskie jest na ogó l tracone w procesie agregacji, nawet jeśli w przekroju osób dok ladnie spe lnione jest równanie mikro-mincerowskie (cf. Growiec, 2010). Jakub Growiec, Christian Groth (.) O agregacji kapita lu ludzkiego 28 maja / 29
51 Podsumowanie Celem artyku lu by la weryfikacja hipotezy nt. zasadności pos lugiwania si e równaniem makro-mincerowskim w analizach makroekonomicznych. 1 Z teoretycznego punktu widzenia, równanie makro-mincerowskie jest na ogó l tracone w procesie agregacji, nawet jeśli w przekroju osób dok ladnie spe lnione jest równanie mikro-mincerowskie (cf. Growiec, 2010). Wyj atek 1: przypadki homogeniczne jeśli wszyscy pracownicy maja identyczne zasoby kapita lu ludzkiego. Wyj atek 2: jeśli osoby najpierw tylko ucz eszczaj a do szko ly, a potem tylko pracuja, wtedy zależność makro-mincerowska jest osiagana w przypadku struktury demograficznej tzw. wiecznej m lodości (Blanchard, 1985). Jakub Growiec, Christian Groth (.) O agregacji kapita lu ludzkiego 28 maja / 29
52 Podsumowanie Celem artyku lu by la weryfikacja hipotezy nt. zasadności pos lugiwania si e równaniem makro-mincerowskim w analizach makroekonomicznych. 1 Z teoretycznego punktu widzenia, równanie makro-mincerowskie jest na ogó l tracone w procesie agregacji, nawet jeśli w przekroju osób dok ladnie spe lnione jest równanie mikro-mincerowskie (cf. Growiec, 2010). Wyj atek 1: przypadki homogeniczne jeśli wszyscy pracownicy maja identyczne zasoby kapita lu ludzkiego. Wyj atek 2: jeśli osoby najpierw tylko ucz eszczaj a do szko ly, a potem tylko pracuja, wtedy zależność makro-mincerowska jest osiagana w przypadku struktury demograficznej tzw. wiecznej m lodości (Blanchard, 1985). 2 Wyniki numeryczne wskazuja, że równanie makro-mincerowskie jest mimo wszystko empirycznie uzasadniona aproksymacja prawdziwej zależności: przynajmniej przy standardowych kalibracjach (niskie zwroty z doświadczenia zawodowego); dopóki różne kraje charakteryzuj a si e jednakowymi stopami zwrotu zgodnie z za lożeniami modelu teoretycznego. Jakub Growiec, Christian Groth (.) O agregacji kapita lu ludzkiego 28 maja / 29
53 Koniec prezentacji Dzi ekuj e za uwag e. Jakub Growiec, Christian Groth (.) O agregacji kapita lu ludzkiego 28 maja / 29
ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 2 Tablice trwania życia
Wst ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 2 Tablice trwania życia 1 Cele (na dzisiaj): Zrozumieć w jaki sposób można wyznaczyć przysz ly czas życia osoby w wieku x. Zrozumieć parametry
WNIOSKOWANIE W MODELU REGRESJI LINIOWEJ
WNIOSKOWANIE W MODELU REGRESJI LINIOWEJ Dana jest populacja generalna, w której dwuwymiarowa cecha (zmienna losowa) (X, Y ) ma pewien dwuwymiarowy rozk lad. Miara korelacji liniowej dla zmiennych (X, Y
ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 3 Tablice trwania życia 2
Wst ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 3 Tablice trwania życia 2 1 Przypomnienie Jesteśmy już w stanie wyznaczyć tp x = l x+t l x, gdzie l x, l x+t, to liczebności kohorty odpowiednio
Ekonomia matematyczna i dynamiczna optymalizacja
Ekonomia matematyczna i dynamiczna optymalizacja Ramy wyk ladu i podstawowe narz edzia matematyczne SGH Semestr letni 2012-13 Uk lady dynamiczne Rozwiazanie modelu dynamicznego bardzo czesto można zapisać
Rozdzia l 11. Przestrzenie Euklidesowe Definicja, iloczyn skalarny i norma. iloczynem skalarnym.
Rozdzia l 11 Przestrzenie Euklidesowe 11.1 Definicja, iloczyn skalarny i norma Definicja 11.1 Przestrzenia Euklidesowa nazywamy par e { X K,ϕ }, gdzie X K jest przestrzenia liniowa nad K, a ϕ forma dwuliniowa
Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu
23 kwietnia 2014 Korelacja - wspó lczynnik korelacji 1 Gdy badamy różnego rodzaju rodzaju zjawiska (np. przyrodnicze) możemy stwierdzić, że na każde z nich ma wp lyw dzia lanie innych czynników; Korelacja
Mnożniki funkcyjne Lagrange a i funkcje kary w sterowaniu optymalnym
Mnożniki funkcyjne Lagrange a i funkcje kary w sterowaniu optymalnym Sprowadzanie zadań sterowania optymalnego do zadań wariacyjnych metod a funkcji kary i mnożników Lagrange a - zadania sterowania optymalnego
Sterowanie optymalne dla uk ladów nieliniowych. Zasada maksimum Pontriagina.
Sterowanie optymalne dla uk ladów nieliniowych. Zasada maksimum Pontriagina. Podstawowy problem sterowania optymalnego dla uk ladów nieliniowych W podstawowym problemie sterowania optymalnego minimalizacji
Sterowalność liniowych uk ladów sterowania
Sterowalność liniowych uk ladów sterowania W zadaniach sterowania docelowego należy przeprowadzić obiekt opisywany za pomoc a równania stanu z zadanego stanu pocz atkowego ẋ(t) = f(x(t), u(t), t), t [t,
Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu
22 marca 2011 Przestrzeń statystyczna - podstawowe zadania statystyki Zdarzeniom losowym określonym na pewnej przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω można zazwyczaj na wiele różnych sposobów przypisać jakieś
Grupy i cia la, liczby zespolone
Rozdzia l 1 Grupy i cia la, liczby zespolone Dla ustalenia uwagi, b edziemy używać nast epuj acych oznaczeń: N = { 1, 2, 3,... } - liczby naturalne, Z = { 0, ±1, ±2,... } - liczby ca lkowite, W = { m n
Dyskretne modele populacji
Dyskretne modele populacji Micha l Machtel Adam Soboczyński 17 stycznia 2007 Typeset by FoilTEX Dyskretne modele populacji [1] Wst ep Dyskretny opis modelu matematycznego jest dobry dla populacji w których
Normy wektorów i macierzy
Rozdzia l 3 Normy wektorów i macierzy W tym rozdziale zak ladamy, że K C. 3.1 Ogólna definicja normy Niech ψ : K m,n [0, + ) b edzie przekszta lceniem spe lniaj acym warunki: (i) A K m,n ψ(a) = 0 A = 0,
Dyskretne modele populacji
Dyskretne modele populacji Micha l Machtel Adam Soboczyński 19 stycznia 2007 Typeset by FoilTEX Dyskretne modele populacji [1] Wst ep Dyskretny opis modelu matematycznego jest dobry dla populacji w których
Wyk lad 12. (ii) najstarszy wspó lczynnik wielomianu f jest elementem odwracalnym w P. Dowód. Niech st(f) = n i niech a bedzie
1 Dzielenie wielomianów Wyk lad 12 Ważne pierścienie Definicja 12.1. Niech P bedzie pierścieniem, który może nie być dziedzina ca lkowitości. Powiemy, że w pierścieniu P [x] jest wykonalne dzielenie z
Mnożniki funkcyjne Lagrange a i funkcje kary w sterowaniu optymalnym
Mnożniki funkcyjne Lagrange a i funkcje kary w sterowaniu optymalnym Sprowadzanie zadań sterowania optymalnego do zadań wariacyjnych metod a funkcji kary i mnożników Lagrange a - zadania sterowania optymalnego
Dziedziny Euklidesowe
Dziedziny Euklidesowe 1.1. Definicja. Dziedzina Euklidesowa nazywamy pare (R, v), gdzie R jest dziedzina ca lkowitości a v : R \ {0} N {0} funkcja zwana waluacja, która spe lnia naste ce warunki: 1. dla
Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu
29 marca 2011 Przestrzeń statystyczna - podstawowe zadania statystyki Zdarzeniom losowym określonym na pewnej przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω można zazwyczaj na wiele różnych sposobów przypisać jakieś
Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu
31 marca 2014 Przestrzeń statystyczna - podstawowe zadania statystyki Zdarzeniom losowym określonym na pewnej przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω można zazwyczaj na wiele różnych sposobów przypisać jakieś
Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Baza przestrzeni liniowej Niech V bedzie przestrzenia liniowa. Powiemy, że podzbiór X V jest maksymalnym zbiorem liniowo niezależnym, jeśli X jest zbiorem
Testowanie hipotez statystycznych
round Testowanie hipotez statystycznych Wyk lad 9 Natalia Nehrebecka Stanis law Cichocki 13 grudnia 2014 Plan zajeć 1 Rozk lad estymatora b Rozk lad sumy kwadratów reszt 2 Hipotezy proste - test t Badanie
g liczb rzeczywistych (a n ) spe lnia warunek
. Czy jest prawda, że a) R y R z R y + yz + = 0 ; b) R y R z R y + yz + 0 ; c) R y R z R y + yz + = 0 ; d) R y R z R y + yz + 0? 2. Czy jest prawdziwa nierówność a) ctg > ; b) tg < cos ; c) cos < sin ;
ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 5 Kalkulacja sk ladki netto I
Wst ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 5 Kalkulacja sk ladki netto I 1 Kodeks cywilny Tytu l XXVII, Umowa ubezpieczenia Dzia l I. Przepisy ogólne Dzia l II. Ubezpieczenia majatkowe
FUNKCJE LICZBOWE. x 1
FUNKCJE LICZBOWE Zbiory postaci {x R: x a}, {x R: x a}, {x R: x < a}, {x R: x > a} oznaczane sa symbolami (,a], [a, ), (,a) i (a, ). Nazywamy pó lprostymi domknie tymi lub otwartymi o końcu a. Symbol odczytujemy
Testowanie hipotez statystycznych
Testowanie hipotez statystycznych Wyk lad 8 Natalia Nehrebecka Stanis law Cichocki 29 listopada 2015 Plan zajeć 1 Rozk lad estymatora b Rozk lad sumy kwadratów reszt 2 Hipotezy proste - test t Badanie
Mikro II: Popyt, Preferencje Ujawnione i Równanie S luckiego
Mikro II: Popyt, Preferencje Ujawnione i Równanie S luckiego Jacek Suda (slajdy: Krzysztof Makarski) 1 / 47 Popyt Wst ep Przypomnijmy: Podstawy teoria konsumenta. Zastosowanie wsz edzie. W szczególności
WYK LAD 5: GEOMETRIA ANALITYCZNA W R 3, PROSTA I P LASZCZYZNA W PRZESTRZENI R 3
WYK LAD 5: GEOMETRIA ANALITYCZNA W R 3, PROSTA I P LASZCZYZNA W PRZESTRZENI R 3 Definicja 1 Przestrzenia R 3 nazywamy zbiór uporzadkowanych trójek (x, y, z), czyli R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} Przestrzeń
Testowanie hipotez statystycznych
Testowanie hipotez statystycznych Wyk lad 9 Natalia Nehrebecka Stanis law Cichocki 28 listopada 2018 Plan zaj eć 1 Rozk lad estymatora b 2 3 dla parametrów 4 Hipotezy l aczne - test F 5 Dodatkowe za lożenie
Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu
21 marca 2011 Zmienna losowa - wst ep Przeprowadzane w praktyce badania i eksperymenty maja bardzo różnorodny charakter, niemniej jednak wiaż a sie one z rejestracja jakiś sygna lów (danych). Moga to być
Mikro II: Popyt, Preferencje Ujawnione i Równanie S luckiego
Mikro II: Popyt, Preferencje Ujawnione i Równanie S luckiego Krzysztof Makarski 6 Popyt Wstep Przypomnijmy: Podstawy teoria konsumenta. Zastosowanie wszedzie. W szczególności poszukiwanie informacji zawartych
po lożenie cz astki i od czasu (t). Dla cz astki, która może poruszać siȩ tylko w jednym wymiarze (tu x)
Stan czastki określa funkcja falowa Ψ zależna od wspó lrzȩdnych określaj acych po lożenie cz astki i od czasu (t). Dla cz astki, która może poruszać siȩ tylko w jednym wymiarze (tu x) Wartości funkcji
Niech X bȩdzie dowolnym zbiorem. Dobry porz adek to relacja P X X (bȩdziemy pisać x y zamiast x, y P ) o w lasnościach:
Teoria miary WPPT IIr semestr zimowy 2009 Wyk lad 4 Liczby kardynalne, indukcja pozaskończona DOBRY PORZA DEK 14/10/09 Niech X bȩdzie dowolnym zbiorem Dobry porz adek to relacja P X X (bȩdziemy pisać x
PODSTAWOWE W LASNOŚCI W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH
PODSTAWOWE W LASNOŚCI DZIA LAŃ I NIERÓWNOŚCI W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH W dalszym cia gu be dziemy zajmować sie g lównie w lasnościami liczb rzeczywistych, funkcjami określonymi na zbiorach z lożonych
Mikro II: Popyt, Preferencje Ujawnione i Równanie S luckiego
Mikro II: Popyt, Preferencje Ujawnione i Równanie S luckiego Krzysztof Makarski 6 Popyt Wstep Przypomnijmy: Podstawy teoria konsumenta. Zastosowanie wszedzie. W szczególności poszukiwanie informacji zawartych
Wyk lad 9 Przekszta lcenia liniowe i ich zastosowania
Wyk lad 9 Przekszta lcenia liniowe i ich zastosowania 1 Przekszta lcenia liniowe i ich w lasności Definicja 9.1. Niech V i W bed przestrzeniami liniowymi. Przekszta lcenie f : V W spe lniajace warunki:
Zagadnienie Dualne Zadania Programowania Liniowego. Seminarium Szkoleniowe Edyta Mrówka
Zagadnienie Dualne Zadania Programowania Liniowego Seminarium Szkoleniowe Edyta Mrówka Ogólne zagadnienie PL Znajdź taki wektor X = (x 1, x 2,..., x n ), który minimalizuje kombinacje liniow a przy ograniczeniach
po lożenie cz astki i od czasu (t). Dla cz astki, która może poruszać siȩ tylko w jednym wymiarze (tu x)
Stan czastki określa funkcja falowa Ψ zależna od wspó lrzȩdnych określaj acych po lożenie cz astki i od czasu (t). Dla cz astki, która może poruszać siȩ tylko w jednym wymiarze (tu x) Wartości funkcji
Rachunek zdań - semantyka. Wartościowanie. ezyków formalnych. Semantyka j. Logika obliczeniowa. Joanna Józefowska. Poznań, rok akademicki 2009/2010
Logika obliczeniowa Instytut Informatyki Poznań, rok akademicki 2009/2010 1 formu l rachunku zdań Wartościowanie i sta le logiczne Logiczna równoważność 2 Model formu ly Formu la spe lniona Formu la spe
Wyk lad 7 Metoda eliminacji Gaussa. Wzory Cramera
Wyk lad 7 Metoda eliminacji Gaussa Wzory Cramera Metoda eliminacji Gaussa Metoda eliminacji Gaussa polega na znalezieniu dla danego uk ladu a x + a 2 x 2 + + a n x n = b a 2 x + a 22 x 2 + + a 2n x n =
ANALIZA II 15 marca 2014 Semestr letni. Ćwiczenie 1. Czy dan a funkcjȩ da siȩ dookreślić w punkcie (0, 0) tak, żeby otrzymana funkcja by la ci ag la?
Ci ag lość i norma Ćwiczenie. Czy dan a funkcjȩ da siȩ dookreślić w punkcie (0, 0) tak, żeby otrzymana funkcja by la ci ag la? f (x, y) = x2 y 2 x 2 + y 2, f 2(x, y) = x2 y x 2 + y 2 f 3 (x, y) = x2 y
Kalibracja. W obu przypadkach jeśli mamy dane, to możemy znaleźć równowagę: Konwesatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW 1
Kalibracja Kalibracja - nazwa pochodzi z nauk ścisłych - kalibrowanie instrumentu oznacza wyznaczanie jego skali (np. kalibrowanie termometru polega na wyznaczeniu 0C i 100C tak by oznaczały punkt zamarzania
Niesimpleksowe metody rozwia zywania zadań PL. Seminarium Szkoleniowe Edyta Mrówka
Niesimpleksowe metody rozwia zywania zadań PL Seminarium Szkoleniowe Metoda Simplex: wady i zalety Algorytm SIMPLEX jest szeroko znany i stosowany do rozwi azywania zadań programowania liniowego w praktyce.
P (x, y) + Q(x, y)y = 0. g lym w obszrze G R n+1. Funkcje. zania uk ladu (1) o wykresie przebiegaja
19. O ca lkach pierwszych W paragrafie 6 przy badaniu rozwia zań równania P (x, y) + Q(x, y)y = 0 wprowadzono poje cie ca lki równania, podano pewne kryteria na wyznaczanie ca lek równania. Znajomość ca
Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu
10 marca 2014 Zmienna losowa - wst ep Przeprowadzane w praktyce badania i eksperymenty maja bardzo różnorodny charakter, niemniej jednak wiaż a sie one z rejestracja jakiś sygna lów (danych). Moga to być
Cia la i wielomiany Javier de Lucas
Cia la i wielomiany Javier de Lucas Ćwiczenie 1. Za lóż, że (F, +,, 1, 0) jest cia lem i α, β F. w laściwości s a prawd a? Które z nastȩpuj acych 1. 0 α = 0. 2. ( 1) α = α. 3. Każdy element zbioru F ma
Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych
I Newton sformu lowa l podstawowe zasady dynamiki Druga zasada dynamiki ma postać wzoru F = m a F oznacza tu si le dzia laja ca na cia lo o masie m, a oznacza przyspieszenie tego cia la Przyspieszenie
Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu
4 kwietnia 2012 Testy nieparametryczne Dotychczas zajmowaliśmy si e praktycznym zastosowaniem testów istotności nasze zadanie sprowadza lo si e do testowania hipotez o parametrach rozk ladu. Teraz b edziemy
(α + β) a = α a + β a α (a + b) = α a + α b (α β) a = α (β a). Definicja 4.1 Zbiór X z dzia laniami o wyżej wymienionych w lasnościach
Rozdzia l 4 Przestrzenie liniowe 4.1 Przestrzenie i podprzestrzenie 4.1.1 Definicja i podstawowe w lasności Niech X z dzia laniem dodawania + b edzie grupa przemienna (abelowa). Oznaczmy przez 0 element
Przyk ladowe Zadania z MSG cz
mgr Leszek Wincenciak, Katedra Makroekonomii i Teorii Handlu Zagranicznego Przyk ladowe Zadania z MSG cz eść handlowa 1. W modelu Ricardo mamy do czynienia z dwoma krajami prowadzacymi wymiane handlowa.
W poszukiwaniu kszta ltów kulistych
W poszukiwaniu kszta ltów kulistych Piotr Mankiewicz April 4, 2005 Konwersatorium dla doktorantów Notacje 1 Cia lo wypuk le - wypuk ly, domkniȩty podzbiór ograniczony w R n. Odleg lość geometryczna dwóch
Modelowanie rynków finansowych
Zaj ecia 2 8 października, 2012 Plan zaj eć 1 Czym nie b edziemy si e zajmować - finanse behawioralne 2 Autokorelacja mi edzy stopami zwrotu Efekt kalendarza Efekt wielkości firmy 3 Pu lapka reprezentatywności
STATYSTYKA MATEMATYCZNA dla ZPM I dr inż Krzysztof Bryś wyk lad 1,2 KLASYCZNY RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA
1 STATYSTYKA MATEMATYCZNA dla ZPM I dr inż Krzysztof Bryś wyk lad 1,2 KLASYCZNY RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1. Pojȩcia wstȩpne. Doświadczeniem losowym nazywamy doświadczenie, którego wynik nie jest znany.
Wyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera
Wyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera Określenie podpierścienia Definicja 9.. Podpierścieniem pierścienia (P, +,, 0, ) nazywamy taki podzbiór A P, który jest pierścieniem ze wzgledu
POCHODNA KIERUNKOWA. DEFINICJA Jeśli istnieje granica lim. to granica ta nazywa siȩ pochodn a kierunkow a funkcji f(m) w kierunku osi l i oznaczamy
POCHODNA KIERUNKOWA Pochodne cz astkowe funkcji f(m) = f(x, y, z) wzglȩdem x, wzglȩdem y i wzglȩdem z wyrażaj a prȩdkość zmiany funkcji w kierunku osi wspó lrzȩdnych; np. f x jest prȩdkości a zmiany funkcji
Wyk ad II. Stacjonarne szeregi czasowe.
Wyk ad II. Stacjonarne szeregi czasowe. W wi ekszości przypadków poszukiwanie modelu, który dok adnie by opisywa zachowanie sk adnika losowego " t, polega na analizie pewnej klasy losowych ciagów czasowych
w modelu równowagi Zaawansowana Makroekonomia: Pieniadz 1 Model z ograniczeniem CIA Krzysztof Makarski Wprowadzenie Wst ep Model z pieniadzem.
Zaawansowana Makroekonomia: Pieniadz w modelu równowagi ogólnej Krzysztof Makarski Model z ograniczeniem CIA Wprowadzenie Wst ep Model z pieniadzem. Ocena modelu Optymalna polityka pieni eżna Koszty nieoptymalnej
Uproszczony dowod twierdzenia Fredricksona-Maiorany
Uproszczony dowod twierdzenia Fredricksona-Maiorany W. Rytter Dla uproszczenia rozważamy tylko teksty binarne. S lowa Lyndona sa zwartymi reprezentacjami liniowymi s lów cyklicznych. Dla s lowa x niech
STYSTYSTYKA dla ZOM II dr inż Krzysztof Bryś Wykad 1
1 STYSTYSTYKA dla ZOM II dr inż Krzysztof Bryś Wykad 1 Klasyczny Rachunek Prawdopodobieństwa. 1. Pojȩcia wstȩpne. Doświadczeniem losowym nazywamy doświadczenie, którego wynik nie jest znany. Posiadamy
WYK LAD 2: PODSTAWOWE STRUKTURY ALGEBRAICZNE, PIERWIASTKI WIELOMIANÓW, ROZK LAD FUNKCJI WYMIERNEJ NA U LAMKI PROSTE
WYK LAD 2: PODSTAWOWE STRUKTURY ALGEBRAICZNE, PIERWIASTKI WIELOMIANÓW, ROZK LAD FUNKCJI WYMIERNEJ NA U LAMKI PROSTE Definicja 1 Algebra abstrakcyjna nazywamy teorie, której przedmiotem sa dzia lania na
TEORIA FUNKCJONA LÓW. (Density Functional Theory - DFT) Monika Musia l
TEORIA FUNKCJONA LÓW GȨSTOŚCI (Density Functional Theory - DFT) Monika Musia l PRZEDMIOT BADAŃ Uk lad N elektronów + K j ader atomowych Przybliżenie Borna-Oppenheimera Zamiast funkcji falowej Ψ(r 1,σ 1,r
Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu lista nr 7
Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu lista nr 7 1 B l edy pomiaru Wskutek niedoskona lości przyrzadów jak również niedoskona lości naszych zmys lów - wszystkie pomiary sa dokonywane z określonym
Liczby zespolone, liniowa zależność i bazy Javier de Lucas. a d b c. ad bc
Liczby zespolone, liniowa zależność i bazy Javier de Lucas Ćwiczenie. Dowieść, że jeśli µ := c d d c, to homografia h(x) = (ax+b)/(cx+d), a, b, c, d C, ad bc, odwzorowuje oś rzeczywist a R C na okr ag
Uzgadnianie wyrażeń rachunku predykatów. Adam i orzeszki. Joanna Józefowska. Poznań, rok akademicki 2009/2010
Instytut Informatyki Poznań, rok akademicki 2009/2010 Instytut Informatyki Poznań, rok akademicki 2009/2010 1 Podstawienia Motywacja Podstawienie 2 Sk ladanie podstawień Motywacja Z lożenie podstawień
Ekstrema funkcji wielu zmiennych.
Ekstrema funkcji wielu zmiennych. Adam Kiersztyn Lublin 2013 Adam Kiersztyn () Ekstrema funkcji wielu zmiennych. kwiecień 2013 1 / 13 Niech dana b ¾edzie funkcja f (x, y) określona w pewnym otoczeniu punktu
METODY STATYSTYCZNE W BIOLOGII
METODY STATYSTYCZNE W BIOLOGII 1. Wykład wstępny 2. Populacje i próby danych 3. Testowanie hipotez i estymacja parametrów 4. Planowanie eksperymentów biologicznych 5. Najczęściej wykorzystywane testy statystyczne
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA I STATYSTYKA. Spis pojȩċ teoretycznych
1 RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA I STATYSTYKA Spis pojȩċ teoretycznych 1. Podstawowe pojȩcia: doświadczenie losowe, zdarzenie elementarne, zdarzenie losowe, przestrzeń zdarzeń elementarnych, zbiór zdarzeń
Wyk lad 8 macierzy i twierdzenie Kroneckera-Capellego
Wyk lad 8 Rzad macierzy i twierdzenie Kroneckera-Capellego 1 Określenie rz edu macierzy Niech A bedzie m n - macierza Wówczas wiersze macierzy A możemy w naturalny sposób traktować jako wektory przestrzeni
Przestrzenie wektorowe, liniowa niezależność Javier de Lucas
Przestrzenie wektorowe, liniowa niezależność Javier de Lucas Ćwiczenie 1. W literaturze można znaleźć pojȩcia przestrzeni liniowej i przestrzeni wektorowej. Obie rzeczy maj a tak a sam a znaczenie. Nastȩpuj
Funkcje dwóch zmiennych
Funkcje dwóch zmiennych Je zeli ka zdemu punktowi P o wspó rzednych x; y) z pewnego obszaru D na p aszczyźnie R 2 przyporzadkujemy w sposób jednoznaczny liczb e rzeczywista z, to przyporzadkowanie to nazywamy
Matematyka ubezpieczeń majątkowych r.
Matematyka ubezpieczeń majątkowych 5.0.00 r. Zadanie. Dla dowolnej zmiennej losowej X o wartości oczekiwanej µ wariancji oraz momencie centralnym µ k rzędu k zachodzą nierówności (typu Czebyszewa): ( X
c n (z z 0 ) n (2) Powiemy, że szereg Laurenta (2) jest zbieżny, jeśli każdy z szeregów zdefiniowanych w (1) jest f(z). Sume
Szeregi Laurenta, punkty osobliwe izolowane, klasyfikacja funkcji ze wzgl edu na osobliwości Dane s dwa szeregi postaci c n (z z 0 ) n i c n (z z 0 ) n. (1) n=1 1 Pierwszy z tych szeregów jest zbieżny
Wyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Wyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Operacje elementarne na uk ladach wektorów Niech α 1,..., α n bed dowolnymi wektorami przestrzeni liniowej V nad cia lem K. Wyróżniamy nastepuj ace operacje
Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu
21 marca 2011 Zmienna losowa wst ep Przeprowadzane w praktyce badania i eksperymenty maja bardzo różnorodny charakter, niemniej jednak wiaż a sie z rejestracja jakiś sygna lów (danych). Moga to być na
Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów statystycznych
Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów stat. Hipoteza statystyczna Dowolne przypuszczenie co do rozkładu populacji generalnej
LOGIKA ALGORYTMICZNA
LOGIKA ALGORYTMICZNA 0.0. Relacje. Iloczyn kartezjański: A B := (a, b) : a A i b B} (zak ladamy, że (x, y) i (u, v) s a równe wtedy i tylko wtedy gdy x = u i y = v); A n := (x 1,..., x n ) : x i A}; R
Równania różniczkowe liniowe drugiego rze
Przyk lad 14.1 Omówimy jeszcze jeden przyk lad zagadnienia prowadza cego do równania pierwszego rze. Za lóżmy, że spadochroniarz wyskoczy l z samolotu na wysokości 1500 m i że spada swobodnie aż do wysokości
c a = a x + gdzie = b 2 4ac. Ta postać wielomianu drugiego stopnia zwana jest kanoniczna, a wyrażenie = b 2 4ac wyróżnikiem tego wielomianu.
y = ax 2 + bx + c WIELOMIANY KWADRATOWE Zajmiemy sie teraz wielomianami stopnia drugiego, zwanymi kwadratowymi. Symbol w be dzie w tym rozdziale oznaczać wielomian kwadratowy, tj. w(x) = ax 2 + bx + c
Test numer xxx EGZAMIN PISEMNY Z MATEMATYKI DLA KANDYDATÓW NA KIERUNEK MATEMATYKA 5 LIPCA 2001 ROKU. Czas trwania egzaminu: 180 min.
Test numer xxx EGZAMIN PISEMNY Z MATEMATYKI DLA KANDYDATÓW NA KIERUNEK MATEMATYKA 5 LIPCA 001 ROKU Czas trwania egzaminu: 180 min Liczba zadań: 30 Każde zadanie sk lada sie z trzech cześci Odpowiedź do
Elementy logiki i teorii mnogości Wyk lad 1: Rachunek zdań
Elementy logiki i teorii mnogości Wyk lad 1: Rachunek zdań Micha l Ziembowski m.ziembowski@mini.pw.edu.pl www.mini.pw.edu.pl/ ziembowskim/ October 2, 2016 M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii
Analiza szeregów czasowych: 6. Liniowe modele niestacjonarne
Analiza szeregów czasowych: 6. Liniowe modele niestacjonarne P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ semestr letni 2007/08 Warunki stacjonarności modelu AR(p) y n = β 1 y n 1 + β 2 y n 2 + + β
DZYSZKOLNE ZAWODY MATEMATYCZNE. Eliminacje rejonowe. Czas trwania zawodów: 150 minut
XLIII MIE DZYSZKOLNE ZAWODY MATEMATYCZNE Eliminacje rejonowe Czas trwania zawodów: 150 minut Każdy uczeń rozwia zuje dwadzieścia cztery zadania testowe, w których podano za lożenia oraz trzy (niekoniecznie
Wyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste
Wyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste 1 Konstrukcja pierścienia wielomianów Niech P bedzie dowolnym pierścieniem, w którym 0 1. Oznaczmy przez P [x] zbiór wszystkich nieskończonych ciagów o wszystkich
Jeden przyk lad... czyli dlaczego warto wybrać MIESI.
Jeden przyk lad... czyli dlaczego warto wybrać MIESI. Micha l Ramsza Szko la G lówna Handlowa Micha l Ramsza (Szko la G lówna Handlowa) Jeden przyk lad... czyli dlaczego warto wybrać MIESI. 1 / 13 Dlaczego
Weryfikacja hipotez statystycznych
Weryfikacja hipotez statystycznych Hipoteza Test statystyczny Poziom istotności Testy jednostronne i dwustronne Testowanie równości wariancji test F-Fishera Testowanie równości wartości średnich test t-studenta
Definicja 1 Statystyką nazywamy (mierzalną) funkcję obserwowalnego wektora losowego
Rozdział 1 Statystyki Definicja 1 Statystyką nazywamy (mierzalną) funkcję obserwowalnego wektora losowego X = (X 1,..., X n ). Uwaga 1 Statystyka jako funkcja wektora zmiennych losowych jest zmienną losową
ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 1 Wprowadzajacy
Wst ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 1 Wprowadzajacy 1 Matematyka aktuarialna 1. matematyka w ubezpieczeniach, 2. dok ladniej, matematyka ubezpieczeń na życie, 3. czasami szerzej,
Równania Maxwella. prawo Faraday a. I i uogólnione prawo Ampera. prawo Gaussa. D ds = q. prawo Gaussa dla magnetyzmu. si la Lorentza E + F = q( Fizyka
Równania Maxwella L L S S Φ m E dl = t Φ e H dl = + t D ds = q B ds = 0 prawo Faraday a n I i uogólnione prawo Ampera i=1 prawo Gaussa prawo Gaussa dla magnetyzmu F = q( E + v B) si la Lorentza 1 Równania
Procesy Stochastyczne - Zestaw 1
Procesy Stochastyczne - Zestaw 1 Zadanie 1 Niech ξ i η bed a niezależnymi zmiennymi losowymi o rozk ladach N (0, 1). Niech X = ξ +η i Y = ξ η. Znaleźć rozk lad (X, Y ) i rozk lad warunkowy L X ( Y ). Zadanie
1 Przekształcenie Laplace a
Przekztałcenie Laplace a. Definicja i podtawowe właności przekztałcenia Laplace a Definicja Niech dana będzie funkcja f określona na przedziale [,. Przekztałcenie (tranformatę Laplace a funkcji f definiujemy
Ekonometria. Prognozowanie ekonometryczne, ocena stabilności oszacowań parametrów strukturalnych. Jakub Mućk. Katedra Ekonomii Ilościowej
Ekonometria Prognozowanie ekonometryczne, ocena stabilności oszacowań parametrów strukturalnych Jakub Mućk Katedra Ekonomii Ilościowej Jakub Mućk Ekonometria Wykład 4 Prognozowanie, stabilność 1 / 17 Agenda
Tablice trwania życia
ROZDZIAŁ 3 Tablice trwania życia 1 Przyszły czas życia Osobę, która ukończyła x lat życia, będziemy nazywać x-latkiem i oznaczać symbolem x Jej przyszły czas życia, tzn od chwili x do chwili śmierci, będziemy
Aproksymacja kraw. Od wielu lokalnych cech (edge elements) do spójnej, jednowymiarowej. epnej aproksymacji
Aproksymacja kraw edzi Od wielu lokalnych cech (edge elements) do spójnej, jednowymiarowej cechy (edge). Różne podejścia: szukanie w pobliżu wst epnej aproksymacji transformacja Hough a. Wiedza o obiektach:
Jednorazowa sk ladka netto w przypadku stochastycznej stopy procentowej. Ubezpieczenie na ca le życie z n-letnim okresem odroczenia.
Jednorazowa sk ladka netto w przypadku stochastycznej stopy procentowej Ubezpieczenie na ca le życie z n-letnim okresem odroczenia Wartość obecna wyp laty Y = Zatem JSN = = Kx +1 0, K x = 0, 1,..., n 1,
Szymon G l ab. Struktury losowe II Graf losowy. Instytut Matematyki, Politechnika Lódzka
Instytut Matematyki, Politechnika Lódzka Graf losowy jako granica Fraisse Przez K graf oznaczmy rodzinȩ wszystkich skończonych grafów (np. na N). Niech G bȩdzie granic a Fraisse rodziny K graf. Strukturȩ
Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów statystycznych
Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów stat. Hipoteza statystyczna Dowolne przypuszczenie co do rozkładu populacji generalnej
O pewnym modelu cyklu koniunkturalnego z oczekiwaniami
O pewnym modelu cyklu koniunkturalnego z oczekiwaniami Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej Szko a G ówna Handlowa w Warszawie Zakopane, 12 września 2016 Plan 1 Cel 2 Model Kaldora 3 Funkcja konsumpcji
SYSTEM DIAGNOSTYCZNY OPARTY NA LOGICE DOMNIEMAŃ. Ewa Madalińska. na podstawie prac:
SYSTEM DIAGNOSTYCZNY OPARTY NA LOGICE DOMNIEMAŃ Ewa Madalińska na podstawie prac: [1] Lukaszewicz,W. (1988) Considerations on Default Logic: An Alternative Approach. Computational Intelligence, 44[1],
Wyk lad 14 Cia la i ich w lasności
Wyk lad 4 Cia la i ich w lasności Charakterystyka cia la Określenie cia la i w lasności dzia lań w ciele y ly omówione na algerze liniowej. Stosujac terminologie z teorii pierścieni możemy powiedzieć,
Wyk lad 5. Natalia Nehrebecka Stanis law Cichocki. 7 listopada 2015
Wyk lad 5 Natalia Nehrebecka Stanis law Cichocki 7 listopada 2015 N. Nehrebecka Plan zaj eć 1 Sprowadzenie modelu nieliniowego do liniowego 2 w modelu liniowym Elastyczność w modelu logliniowym Semielastyczność
Zadania. kwiecień 2009. Ćwiczenia III. Zadanie 1. Uk lad A o energii E A skontaktowano termicznie z uk ladem B o energii E B.
kwiecień 009 Ćwiczenia III Zadania Zadanie 1 Uk lad A o energii E A skontaktowano termicznie z uk ladem B o energii E B Udowodnić że jeżeli ln Ω A (E A < ln Ω B(E B E A E B to energia przep lynie z uk