Rozdział 1. Ryzyko i zwrot. 1.1 Pojedynczy okres
|
|
- Marta Bielecka
- 8 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Rozdział 1 Ryzyko i zwrot W tym rozdziale analizujemy różne sposoby wprowadzenia dwóch podstawowych pojęć związanych z decyzjami finansowymi, mianowicie pojęcia ryzyka i stopy zwrotu. Mówiąc krótko, zwrot odzwierciedla skuteczność inwestycji mierzoną procentowo a nie kwotowo, natomiast ryzyko związane jest z poziomem niepewności. Związek pomiędzy tymi dwoma aspektami inwestycji jest podstawą teorii portfela. 1.1 Pojedynczy okres Na początek ograniczamy się do dwóch chwil czasowych: chwili obecnej t = 0 oraz chwili przyszłej t = 1, przy czym nie precyzujemy długości jednostki czasu, czyli chwila 1 może oznaczać dowolną ustaloną chwilę przyszłą. Nasza inwestycja jest nastawiona na ten właśnie okres, podejmujemy ją w chwili początkowej i zamykamy w chwili końcowej. Zakładając inwestycję w akcję (lub dowolny walor lecz oznaczenie dostosowujemy do akcji - ang. stock oznaczamy wartość jednostkową w chwili początkowej przez i jest to wielkość znana (deterministyczna i wartość w chwili końcowej przez S(1 i jest to zmienna losowa. Jako taka jest funkcją określoną na pewnej przestrzeni probabilistycznej S(1 : Ω [0, +. Zakładamy, że przestrzeń probabilistyczna jest zbiorem skończonym, jej ele- 1
2 2 ROZDZIAŁ 1. RYZYKO I ZWROT menty nazywamy wynikami lub stanami pisząc lub dla prostoty Ω = {ω 1,..., ω N } Ω = {1,..., N}. Drugi zapis jest prostszy i będziemy go stosować pisząc i Ω. Możliwe wartości końcowych cen (S i (1 N i=1 tworzą wektor (S 1 (1,..., S N (1 R N Wyposażamy zbiór Ω w trywialne sigma-ciało wszystkich podzbiorów Aby zdefiniować prawdopodobieństwo F = 2 Ω. P : F [0, 1] wystarczy określić je na zbiorach jedno-elementowych wybierając liczby p i [0, 1] tak aby P ({i} = p i N p i = 1. i=1 Wtedy rozszerzamy P na całe sigma ciało w znany sposób kładąc P (A = i A p i. Ta definicja daje automatycznie własność addytywności P (A B = P (A + P (B dla rozłącznych zbiorów (zdarzeń A i B. Indukcyjnie ta własność rozszerza się na dowolne skończone rodziny zbiorów parami rozłącznych: jeśli A j A k = to m m P ( A k = P (A k. k=1 k=1
3 1.2. OCZEKIWANY ZWROT 3 Oznaczając wektor prawdopodobieństw przez p = (p 1,..., p N wartość oczekiwaną ceny końcowej możemy zapisać w postaci N E(S(1 = S i (1p i i=1 E(S(1 = S(1, p używając oznaczenia, na iloczyn skalarny wektorów w R N. 1.2 Oczekiwany zwrot Stopa zwrotu, lub krótko zwrot, jest zdefiniowana jako procentowa zmiana ceny akcji K i = Si (1, K = (K 1,..., K N. Jest to zmienna losowa, gdyż występująca we wzorze wielkość S(1 jest zmienną losową. Jej wartość oczekiwana dana jest wzorem E(K = K, p = N K i p i i=1 = : µ K = µ, dla prostoty oznaczeń opuszczając indeks K jeśli nie prowadzi to do nieporozumień. Przyjmujemy konwencję użycia litery greckiej µ jako wartości oczekiwanej stopy zwrotu. Dzięki liniowości wartości oczekiwanej mamy µ = ( S i (1 E = E(S(1.
4 4 ROZDZIAŁ 1. RYZYKO I ZWROT (wyłączamy stałą 1 przed wartość oczekiwaną i korzystamy z tego że wartość oczekiwana to jest. Przekształcając, otrzymujemy wzór pokazujący jak za pomocą stopy zwrotu obliczyć przyszłą cenę S(1 = (1 + K. Obliczając wartość oczekiwaną obu stron otrzymujemy E(S(1 = E((1 + K = (1 + E(K = (1 + µ, gdzie znów korzystamy z liniowości wartości oczekiwanej. Te rozważania ilustrują dowolność wybrania punktu wyjściowego: mogą to być ceny jak i zwroty, oba punkty widzenia są równoważne. W teorii portfela kładziemy nacisk na zwroty a ceny są drugorzędne. Liczba 1 + K to tak zwany czynnik wzrostu. Z teorii stóp procentowych wiemy, że ten czynnik można zapisywać w innej postaci, jedna z nich jest podstawą następującej definicji Definicja 1.1. Zwrot logarytmiczny to liczba k spełniająca zależność 1 + K = e k. Fakt 1.2. Zwrot logarytmiczny dany jest wzorem Dowód Z definicji mamy k = ln S(1. k = ln(1 + K ale korzystając z równości S(1 = = (1 + K, czyli 1 + K = S(1 otrzymujemy tezę. Zwroty logarytmiczne będą odgrywały dużą role gdy będziemy rozważać przypadek wielu okresów. Uwaga 1.3. Jesteśmy głównie zainteresowani dyskretnymi przestrzeniami probabilistycznymi ale oczywiście zmienne losowe mające dyskretne wartości
5 1.2. OCZEKIWANY ZWROT 5 można zdefiniować na innych przestrzeniach, jak na przykład Ω = [0, 1] z miarą Lebesgue a będącą rozszerzeniem długości przedziału. Przestrzeń probabilistyczna może być dowolna a to co jest istotne to rozkłady zmiennych losowych S(1, K, czy k. Najbardziej popularny rozkład to rozkład normalny musimy jednak zachować ostrożność aby nie dopuścić nierealistycznych modeli. Na przykład ceny ujemne nie mogą się pojawić z dodatnim prawdopodobieństwem co wyklucza normalny rozkład zmiennej losowej S(1. Pożądana własność to rozkład S(1 skoncentrowany na przedziale [0, czyli P (S(1 0 = 1. W języku zwrotu oznacza to, że wykluczamy wartości k mniejsze od 1, czyli P (K 1 = 1 co również wyklucza rozkład normalny. Natomiast jest on dopuszczalny do zwrotów logarytmicznych gdyż wtedy S(1 = e k jest zawsze dodatnie (tak zwany rozkład logarytmicznonormalny. Dywidenda. W chwili t = 1 posiadacz akcji może otrzymać dywidendę. Jej wypłata w praktyce oznacza spadek ceny akcji o wypłaconą kwotę. Musimy więc rozróżnić cenę akcji przed jej wypłaceniem, która zawiera prawo do jej uzyskania (tzw cena cum dividend oraz ceną po jej wypłacie, już pomniejszoną (tzw. cena ex dividend. Zakładamy, że oznaczenie S(1 to cena po wypłacie dywidendy. Do obliczenia zwrotu musimy więc uwzględnić dodatkową gotówkę otrzymaną przez posiadacza akcji. Wzory na zwroty są takie jak poprzednio z zastąpieniem S(1 przez kwotę skorygowaną: K = S(1 + Div(1, k = S(1 + Div(1 ln. Obligacja. Obligacja to walor którego wartość w chwili końcowej jest znana. Zwrot nie jest więc zmienną losową. Zakładamy, że cena obligacji oznaczona jest literą B, jest to obligacja jednostkowa: B(1 = 1 a cena zakupu zgodnie z zasadami wartości pieniądza w czasie musi być mniejsza B(0 < 1. Zwrot jest więc dany wzorem R = 1 B(0 B(0
6 6 ROZDZIAŁ 1. RYZYKO I ZWROT i definiuje on stopę wolną od ryzyka (przy założeniu że długością kroku jest rok, a w przeciwnym przypadku wymaga to stosownego przeskalowania. Cena obligacji jest dana przez zwrot tak jak dla akcji: czyli B(1 = B(0(1 + R B(0 = R. W języku zwrotów logarytmicznych mamy r = ln B(1 B(0 = ln 1 B(0, B(0 = e r. Cena jednostkowej obligacji odgrywa rolę czynnika dyskontującego. Specjalne rodzaje inwestycji. Dwa przykłady które teraz omówimy mają uzasadnienie w pewnych praktycznych regulacjach. Potem zostaną one zanurzone w ogólną teorię i pewne ograniczenia, które teraz przedyskutujemy zostaną pominięte. 1 Zakup finansowany częściowo pożyczką (tzw. zakup z dźwignią. Przypuśćmy, że na zakup akcji możemy uzyskać pożyczkę oprocentowaną stopą R d R, oraz że musimy wnieść własne środki w pewnej wysokości, czyli dana jest liczba w [0, 1] która wyznacza kwotę wyłożoną przez inwestora w wysokości E(0 = w. Kwota pożyczona wynosi więc D(0 = (1 w. Oznaczenia D (debt E (equity mają źródło w finansach firm. Tworzymy jak gdyby firmę, która zajmuje się inwestycją, częściowo finansowaną kapitałem własnym E a częściowo długiem D. Interesuje nas stopa zwrotu uzyskana na środkach przez nas, właścicieli firmy, zainwestowanych, czyli na kapitale własnym. Zakupiwszy jedną akcję mamy na koniec E(1 = S(1 D(1 D(1 = (1 + R d (1 w
7 1.2. OCZEKIWANY ZWROT 7 czyli stopa zwrotu wyniesie K E = E(1 E(0 E(0 = S(1 (1 + R d(1 w w w piszemy S(1 = ws(1 + (1 ws(1 = S(1 + 1 w w = K + 1 w w (K R d. S(1 (1 + R d Widać, że kluczem powodzenia jest związek pomiędzy K i R d. Zakładamy że E(K > R d i wtedy mamy dodatkowy oczekiwany zwrot a współczynnik 1 w w wynosi 1 w 1 w w (E(K R d w = D(0 E(0 czyli mierzy strukturę finansowania naszej firmy. Im niższy udział kapitału własnego, tym wyższy dodatkowy zwrot. Niemniej, dodatkowy oczekiwany zwrot nie oznacza gwarancji dochodu. Z dodatnim prawdopodobieństwem poniesiemy stratę. Będzie tak gdy w jakimś stanie ceny akcji spadną, czyli K i < 0. Każdy realistyczny model musi dopuścić taką sytuację. Przy małym w współczynnik 1 w 1 w będzie duży i ujemna liczba w w (Ki R d może oznaczać ogromne straty W chwili końcowej nie musi nastąpić zamknięcie inwestycji. Na ogół nastąpi jednak jej rozliczenie polegające na przywróceniu poziomu długu do ułamka 1 w. Czyli nowa wysokość długu wyniesie (1 ws(1. Inwestor jednocześnie odda pożyczkę z odsetkami w wysokości (1 + R d (1 w co oznacza przepływy gotówki w wysokości (1 w[s(1 (1 + R d = (1 w[k R d ] na jedna akcję. Będą one dodatnie gdy K przewyższy R d i ujemne w przeciwnym przypadku. Taka procedura co-okresowych rozliczeń nosi w języku angielskim nazwę marking-to-market.
8 8 ROZDZIAŁ 1. RYZYKO I ZWROT 2 Krótka sprzedaż (ang. short-selling. Inwestycja polega na sprzedaży akcji której nie posiadamy aby przy spadku cen odkupić ją z zyskiem. W tym celu pożyczamy jedną akcję płacąc jakiś procent jej wartości jako depozyt zabezpieczający, powiedzmy d, gdzie d [0, 1]. Ten depozyt jest jak lokata bankowa, ale ze stopą niższą niż stopa wolna od ryzyka, 0 R z R. Sprzedajemy pożyczoną akcję inkasując i lokujemy tą kwotę w obligację ze stopą zwrotu R (w praktyce często kupimy inną akcję. Na koniec odkupujemy akcję płacąc S(1 i odzyskujemy depozyt d(1+ R z. Możemy policzyć stopę zwrotu z inwestycji K ss = S(1 + d(1 + R z d = K + (1 ds(1 + dr z d = K + (1 d(1 + K + dr z. d Stopa zwrotu odzwierciedla fakt, że korzystamy przy spadku cen a drugi składnik reprezentuje koszty związane z systemem depozytów. Podobnie jak powyżej stosuje się system rozliczeń, który pozwala utrzymać krótką pozycję na kolejny okres. Na ogół też przepływy gotówki nie są wymagane jeśli wskaźnik depozytu nie spadnie poniżej z góry określonego poziomu i tylko wtedy następuje przepływy gotówki, które prowadzą do odbudowania wyjściowej sytuacji. 1.3 Wariancja jako miara ryzyka Pojęcie ryzyka w finansach jest opisywane na wiele sposobów. Podstawowe podejście oparte jest na rozważeniu pewnej wielkości, na przykład stopy zwrotu inwestycji, lub związanych z nią przepływów gotówki, oraz próbie zmierzenia reprezentowanym przez nią stopniu niepewności. Wielkość taka, dotycząca przyszłości jest oczywiście zmienną losową i jako taka jest niepewna. Pytanie o stopień tej niepewności oznacza właśnie próbę wprowadzenia miary liczbowej rozróżniającej pomiędzy niepewnościami o różnym stopniu nasilenia. Ta miara powinna być intuicyjna i łatwa do wyliczenia. Wprowadzamy więc, na razie wciąż intuicyjnie, miarę niepewności jako stopień rozproszenia przyszłych wartości. Można to zrealizować na wiele spo-
9 1.3. WARIANCJA JAKO MIARA RYZYKA 9 sobów. Na przykład przyjmijmy różnicę pomiędzy największą i najmniejszą wartością. Można się zgodzić, że jest to miara rozproszenia ale nie ulega wątpliwości że bardzo niedoskonała choćby dlatego, że uwzględnia tylko dwie wartości. Krok dalej, to rozważanie pewnego punktu odniesienia i uwzględnienie wszystkich wartości, a konkretnie ich odległości od punktu odniesienia. Naturalnym kandydatem na punkt odniesienia jest wartość oczekiwana naszej wielkości. Dalej, odległość powinna być liczbą nieujemną, więc wchodzi w rachubę wartość bezwzględna różnicy lub kwadrat różnicy, ten drugi prostszy rachunkowo. Dalej, powinniśmy uwzględnić prawdopodobieństwa, gdyż wartość bardzo odległą od średniej, ale przyjmowana z bardzo małym prawdopodobieństwem, nie powinna mieć wielkiego wpływu. Dochodzimy do wniosku, że przyjęcie wariancji jako miary ryzyka jest usprawiedliwione. Obejmuje ona dwa aspekty: Odległości pomiędzy możliwymi wartościami i wartością oczekiwaną Prawdopodobieństw z którymi te wartości są przyjmowane Definicja 1.4. Jako miarę ryzyka przyjmujemy wariancję stopy zwrotu Var(K = E(K µ 2 = E(K 2 µ 2 lub odchylenie standardowe σ K = Var(K. Fakt 1.5. Własności: 1. Var(aK = a 2 Var(K, 2. σ ak = a σ K. Zakładamy, że inwestorzy są logiczni w następującym sensie: unikają ryzyka oraz wolą mieć więcej niż mniej. To oznacza że teoria nie obejmie graczy dla których gra i związane z nią podniecenie jest celem samym w sobie, jak i nie obejmie instytucji charytatywnych. Matematycznie, oznacza to, że racjonalny inwestor wybierze większy oczekiwany zwrot i mniejsze odchylenie standardowe. Dokładniej, wprowadzamy relację która odzwierciedla takie preferencje.
10 10 ROZDZIAŁ 1. RYZYKO I ZWROT Definicja 1.6. Mówimy, że walor o oczekiwanym zwrocie µ 1 i odchyleniu standardowym zwrotu σ 1 do min uje walor o oczekiwanym zwrocie µ 2 i odchyleniu σ 2 jeśli µ 1 µ 2 i σ 1 σ 2 i piszemy wtedy jeśli Dodatkowo piszemy (µ 1, σ 1 (µ 2, σ 2. (µ 1, σ 1 > (µ 2, σ 2 (µ 1, σ 1 (µ 2, σ 2 oraz (µ 1, σ 1 (µ 2, σ 2 czyli zachodzi przynajmniej jedna z nierówności: µ 1 µ 2, σ 1 σ 2. Odnotujmy, że relacja jest zdefiniowana pomiędzy parami liczb, czyli porządkujemy płaszczyznę. Uwaga 1.7. Uporządkowanie płaszczyzny można zrealizować w inny sposób wprowadzając tak zwany porządek leksykograficzny. Jest to jak gdyby porządkowanie alfabetyczne słów dwuliterowych, ale zamiast liter mamy liczby. Porządek ten zdefiniowany jest następująco: (a, b L (c, d gdy a c a gdy a = c, to b d. Ten sposób uporządkowania nie jest dobry z naszego punktu widzenia, gdyż preferuje on parę (11%, 10000% względem pary (10.99%, 0, (11%, 10000% > L (10.99%, 0, co jest nielogiczne gdyż narażenie się na duże ryzyko aby mieć minimalnie większy oczekiwany zwrot nie jest zgodne z realiami. Później poznamy dokładniejsze uzasadnienie nieracjonalności wyboru tej relacji. Twierdzenie 1.8. Relacja ma następujące własności: 1. Jest zwrotna: (µ, σ (µ, σ 2. Jest przechodnia: (µ 1, σ 1 (µ 2, σ 2 oraz (µ 2, σ 2 (µ 3, σ 3 pociąga (µ 1, σ 1 (µ 3, σ 3 3. Jest antysymetryczna: (µ 1, σ 1 (µ 2, σ 2 oraz (µ 2, σ 2 (µ 1, σ 1 pociąga (µ 1, σ 1 = (µ 2, σ 2
11 1.4. INNE MIARY RYZYKA 11 Dowód jest bardzo prosty i wynika z własności relacji nierówności porządkującej elementy rozważanych par. Teoria portfela rozgrywa się na płaszczyźnie oczekiwanych zwrotów i odchyleń standardowych. Przy ocenie walorów nie bierzemy nic innego pod uwagę jak te dwie wielkości. Jest to oczywiście znaczne uproszczenie ale jak się okaże, w pewnych szczególnych sytuacjach tego typu informacja jest pełna (tak jest dla zmiennych losowych których rozkłady są w pełni wyznaczone przez wartość oczekiwaną i odchylenie standardowe, jak na przykład dla gęstości normalnych czy logarytmiczno-normalnych. Każdy walor jest reprezentowany jako punkt na płaszczyźnie, a dokładnie, na półpłaszczyźnie, gdyż odchylenia standardowe są nieujemne z definicji. Relację dominacji można interpretować geograficznie: punkt dominuje punkty położone w stosunku do niego na południowy wschód. Zauważmy, że nie każde pary możemy porównać, na przykład żadna z par (10%, 20%, (15%, 22% nie dominuje drugiej. Definicja 1.9. Mając dany zbiór A walorów, elementy maksymalne względem relacji dominacji to zbiór efektywny. Przez element maksymalny rozumiemy walor który nie jest zdominowany przez żaden inny walor. Jeśli zbiór A jest skończony, wyznaczenie zbioru efektywnego jest proste. Na Rysunku 1.1 mamy zbiór A złożony z 7 walorów a zbiór efektywny składa się z walorów o numerach 1, 3, oraz Rysunek Inne miary ryzyka Wariancja jako miara ryzyka ma pewne niedostatki. Poniższy przykład pokazuje jeden z nich w najprostszej sytuacji.
12 12 ROZDZIAŁ 1. RYZYKO I ZWROT Przykład Załóżmy, że możliwe są zwroty { 10% K 1 = 10% każdy z prawdopodobieństwem 0.5. Wtedy σ 1 = 10 gdzie skorzystaliśmy ze wzoru na odchylenie standardowe dla zmiennej losowej przyjmującej dwie wartości a, b z prawdopodobieństwami p, q, σ = pq b a. Rozważmy teraz inne zwroty, bez wątpienia bardziej korzystne dla inwestora { 30% K 2 = 10% ale mamy większe odchylenie standardowe σ 2 = 20 czyli inwestycja jest bardziej ryzykowna. źródłem powiększonego odchylenia standardowego jest zwiększony korzystny zwrot. Wariancja jednakowo traktuje odchylenia w górę czy w dół od wartości oczekiwanej, co nie jest zgodne z intuicją. Rozwiązaniem jest modyfikacja definicji wariancji która ignoruje wartości korzystne, czyli będące powyżej wartości oczekiwanej. Definicja Semiwariancja zmiennej losowej K określonej na skończonej przestrzeni probabilistycznej Ω = {1,..., N} jest dana wzorem: min{0, K i µ K } 2 p i. Jej pierwiastek kwadratowy to semi odchylenie standardowe. Niestety, ta modyfikacja, choć wydaje się logiczna, nie rozwiązuje powyższego paradoksu. Semi odchylenie standardowe zmiennej K 2 a powyższego przykładu jest większe od semi odchylenia zmiennej K 1 gdyż µ 2 = 10% > µ 1 = 0 więc dla semiwariancji mamy odpowiednio 10% oraz 20%2 1 2.
13 1.4. INNE MIARY RYZYKA 13 Niepożądane zjawisko, gdzie lepsze scenariusze prowadzą do większego ryzyka, występuje również w semiwariancji ale nasuwa się sposób poprawienia tego pojęcia. Ponieważ źródłem paradoksu jest zmieniona wartość oczekiwana, wystarczy zmienić punkt odniesienia. Naturalne jest przyjęcie stopy zwrotu bez ryzyka jako obiektywnego puntu względem którego porównujemy rozmaite zwroty co prowadzi do następującej modyfikacji semiwariancji min{0, K i r} 2 p i co eliminuje powyższe niepożądane zjawiska. Inny logiczny wybór, to zastąpienie wartości oczekiwanej zwrotu przez tak zwany koszt kapitału, czyli wymaganą stopę zwrotu przez inwestora dostosowaną do poziomu ryzyka. Do tego celu potrzebujemy metody wyznaczania takiej stopy, co nastąpi później. Te wersje nie są szczególnie popularne w literaturze finansowej. Jeden z powodów to trudności obliczeniowe wariancja ma zalety jako funkcja kwadratowa gdyż pozwala na łatwe rozwiązanie problemu optymalizacji (minimalizacji ryzyka. Ponadto jak już wspomnieliśmy, dla prawdopodobieństw Gaussowskich (normalnych niepożądane efekty nie występują a takie prawdopodobieństwa pojawiają się w naturalny sposób na przykład jako przypadki graniczne. W naszej teorii ograniczamy się do wariancji w ślad za jej twórcą, H. Markowitzem, który został za nią uhonorowany nagrodą Nobla w dziedzinie ekonomii, a później poznamy inną ważną miarę ryzyka, opartą na analizie niekorzystnych scenariuszy, tak zwaną wartość narażoną na ryzyko.
Parametr Λ w populacji ubezpieczonych ma rozkład dany na półosi dodatniej gęstością: 3 f
Zadanie. W kolejnych latach t =,,,... ubezpieczony charakteryzujący się parametrem ryzyka Λ generuje N t szkód. Dla danego Λ = λ zmienne N, N, N,... są warunkowo niezależne i mają (brzegowe) rozkłady Poissona:
Bardziej szczegółowoO PEWNEJ ANOMALII W WYCENIE INSTRUMENTÓW DŁUŻNYCH
O PEWNEJ ANOMALII W WYCENIE INSTRUMENTÓW DŁUŻNYCH A. KARPIO KATEDRA EKONOMETRII I STATYSTYKI SGGW W WARSZAWIE Krzywa dochodowości Obligacja jest papierem wartościowym, którego wycena opiera się na oczekiwanych
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa w pakiecie Matlab
Matematyka finansowa w pakiecie Matlab Wykład 5. Wycena opcji modele dyskretne Bartosz Ziemkiewicz Wydział Matematyki i Informatyki UMK Kurs letni dla studentów studiów zamawianych na kierunku Matematyka
Bardziej szczegółowoWykład z równań różnicowych
Wykład z równań różnicowych 1 Wiadomości wstępne Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp. Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp.
Bardziej szczegółowoREZERWY UBEZPIECZEŃ I RENT ŻYCIOWYCH
REZERWY UBEZPIECZEŃ I RENT ŻYCIOWYCH M. BIENIEK Przypomnijmy, że dla dowolnego wektora przepływów c rezerwę w chwili k względem funkcji dyskonta v zdefiniowaliśmy jako k(c; v) = Val k ( k c; v), k = 0,
Bardziej szczegółowoDlaczego nie wystarczają liczby wymierne
Dlaczego nie wystarczają liczby wymierne Analiza zajmuje się problemami, w których pojawia się przejście graniczne. Przykładami takich problemów w matematyce bądź fizyce mogą być: 1. Pojęcie prędkości
Bardziej szczegółowo4,5. Dyskretne zmienne losowe (17.03; 31.03)
4,5. Dyskretne zmienne losowe (17.03; 31.03) Definicja 1 Zmienna losowa nazywamy dyskretna (skokowa), jeśli zbiór jej wartości x 1, x 2,..., można ustawić w ciag. Zmienna losowa X, która przyjmuje wszystkie
Bardziej szczegółowoDyskretne zmienne losowe
Dyskretne zmienne losowe dr Mariusz Grządziel 16 marca 2009 Definicja 1. Zmienna losowa nazywamy dyskretna (skokowa), jeśli zbiór jej wartości x 1, x 2,..., można ustawić w ciag. Zmienna losowa X, która
Bardziej szczegółowo1 Funkcja użyteczności
1 Funkcja użyteczności Funkcja użyteczności to funkcja, której wartościami są wartości użyteczności (satysfakcji, komfortu psychicznego). Można mówić o użyteczności różnych zjawisk. Użyteczność pieniądza
Bardziej szczegółowoKomisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLIV Egzamin dla Aktuariuszy z 3 grudnia 2007 r. Część I. Matematyka finansowa
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XLIV Egzamin dla Aktuariuszy z 3 grudnia 2007 r. Część I Matematyka finansowa Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1. Rachunki oszczędnościowe
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń majątkowych r.
Matematyka ubezpieczeń majątkowych..00 r. Zadanie. Proces szkód w pewnym ubezpieczeniu jest złożonym procesem Poissona z oczekiwaną liczbą szkód w ciągu roku równą λ i rozkładem wartości szkody o dystrybuancie
Bardziej szczegółowoInne kryteria tworzenia portfela. Inne kryteria tworzenia portfela. Poziom bezpieczeństwa. Analiza i Zarządzanie Portfelem cz. 3. Dr Katarzyna Kuziak
Inne kryteria tworzenia portfela Analiza i Zarządzanie Portfelem cz. 3 Dr Katarzyna Kuziak. Minimalizacja ryzyka przy zadanym dochodzie Portfel efektywny w rozumieniu Markowitza odchylenie standardowe
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa 11.10.2004 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XXXIII Egzamin dla Aktuariuszy - 11 października 2004 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXIII Egzamin dla Aktuariuszy - 11 października 2004 r. Część I Matematyka finansowa Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... WERSJA TESTU Czas egzaminu: 100 minut
Bardziej szczegółowoKomisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XXXII Egzamin dla Aktuariuszy z 7 czerwca 2004 r. Część I. Matematyka finansowa
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXII Egzamin dla Aktuariuszy z 7 czerwca 2004 r. Część I Matematyka finansowa Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1. Trzy osoby biorą
Bardziej szczegółowoStatystyka i eksploracja danych
Wykład II: i charakterystyki ich rozkładów 24 lutego 2014 Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa,
Bardziej szczegółowoOGÓLNY MODEL MATEMATYKI FINANSOWEJ
OGÓLNY MODEL MATEMATYKI FINANSOWEJ M. BIENIEK W tym wykładzie przedstawimy ogólny model matematyki finansowej, używany w dalszym ciągu. Wprowadzimy również wiele pojęć i oznaczeń stosowanych w dalszych
Bardziej szczegółowoMatematyka Ekonomiczna
Matematyka Ekonomiczna David Ramsey, Prof. PWr e-mail: david.ramsey@pwr.edu.pl strona domowa: www.ioz.pwr.edu.pl/pracownicy/ramsey Pokój 5.16, B-4 Godziny konsultacji: Poniedziałek 14-16, Wtorek 16-18
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa- wykład 2
Rachunek prawdopodobieństwa- wykład 2 Pojęcie dyskretnej przestrzeni probabilistycznej i określenie prawdopodobieństwa w tej przestrzeni dr Marcin Ziółkowski Instytut Matematyki i Informatyki Uniwersytet
Bardziej szczegółowoDrugie kolokwium z Rachunku Prawdopodobieństwa, zestaw A
Drugie kolokwium z Rachunku Prawdopodobieństwa, zestaw A Zad. 1. Korzystając z podanych poniżej mini-tablic, oblicz pierwszy, drugi i trzeci kwartyl rozkładu N(10, 2 ). Rozwiązanie. Najpierw ogólny komentarz
Bardziej szczegółowoW rachunku prawdopodobieństwa wyróżniamy dwie zasadnicze grupy rozkładów zmiennych losowych:
W rachunku prawdopodobieństwa wyróżniamy dwie zasadnicze grupy rozkładów zmiennych losowych: Zmienne losowe skokowe (dyskretne) przyjmujące co najwyżej przeliczalnie wiele wartości Zmienne losowe ciągłe
Bardziej szczegółowoFinanse i Rachunkowość studia niestacjonarne Wprowadzenie do teorii ciągów liczbowych (treść wykładu z 21 grudnia 2014)
dr inż. Ryszard Rębowski DEFINICJA CIĄGU LICZBOWEGO Finanse i Rachunkowość studia niestacjonarne Wprowadzenie do teorii ciągów liczbowych (treść wykładu z grudnia 04) Definicja ciągu liczbowego Spośród
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa 08.01.2007 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLI Egzamin dla Aktuariuszy z 8 stycznia 2007 r. Część I
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XLI Egzamin dla Aktuariuszy z 8 stycznia 2007 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 00 minut . Ile
Bardziej szczegółowo3.1 Analiza zysków i strat
3.1 Analiza zysków i strat Zakładamy że firma decyduje czy ma wdrożyć nowy produkt lub projekt. Firma musi rozważyć czy przyszłe zyski (dyskontowane w czasie) z tego projektu są większe niż koszty poniesione
Bardziej szczegółowo2b. Inflacja. Grzegorz Kosiorowski. Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie. Matematyka finansowa
2b. Inflacja Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie Matematyka finansowa rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2b. Inflacja Matematyka finansowa 1 / 22 1 Motywacje i
Bardziej szczegółowoWykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni.
Wykład 4 Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Twierdzenie 1 Niech m, n Z. Jeśli n > 0 to istnieje dokładnie jedna para licz q, r, że: m = qn + r, 0 r < n. Liczbę r nazywamy resztą z dzielenia
Bardziej szczegółowo1. ZBIORY PORÓWNYWANIE ZBIORÓW. WYKŁAD 1
WYKŁAD 1 1 1. ZBIORY. Pojęcie ZBIORU i NALEŻENIA do niego są pojęciami pierwotnymi(niedefiniowalnymi) w matematyce, reszta matematyki jest zdefiniowana lub opisana za pomocą tych pojęć. Można by, opierając
Bardziej szczegółowoZadanie 1. Liczba szkód N w ciągu roku z pewnego ryzyka ma rozkład geometryczny: k =
Matematyka ubezpieczeń majątkowych 0.0.006 r. Zadanie. Liczba szkód N w ciągu roku z pewnego ryzyka ma rozkład geometryczny: k 5 Pr( N = k) =, k = 0,,,... 6 6 Wartości kolejnych szkód Y, Y,, są i.i.d.,
Bardziej szczegółowoWymagania na egzamin poprawkowy z matematyki z zakresu klasy pierwszej TECHNIKUM
Zespól Szkół Ogólnokształcących i Zawodowych w Ciechanowcu 3 czerwca 017r. Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki z zakresu klasy pierwszej TECHNIKUM Strona 1 z 8 1. Wprowadzenie do matematyki. Pojęcia
Bardziej szczegółowoGranice ciągów liczbowych
Granice ciągów liczbowych Obliczyć z definicji granicę ciągu o wyrazie, gdzie jest pewną stałą liczbą. Definicja: granicą ciągu jest liczba, jeśli Sprawdzamy, czy i kiedy granica rozpatrywanego ciągu wynosi
Bardziej szczegółowoN ma rozkład Poissona z wartością oczekiwaną równą 100 M, M M mają ten sam rozkład dwupunktowy o prawdopodobieństwach:
Zadanie. O niezależnych zmiennych losowych N, M M, M 2, 3 wiemy, że: N ma rozkład Poissona z wartością oczekiwaną równą 00 M, M M mają ten sam rozkład dwupunktowy o prawdopodobieństwach: 2, 3 Pr( M = )
Bardziej szczegółowoSTOPA DYSKONTOWA 1+ =
Piotr Cegielski, MAI, MRICS, CCIM STOPA DYSKONTOWA (Wybrane fragmenty artykułu opublikowanego w C.H. Beck Nieruchomości, numer 10 z 2011 r. Całość dostępna pod adresem internetowym: www.nieruchomosci.beck.pl)
Bardziej szczegółowoTRANSAKCJE ARBITRAŻOWE PODSTAWY TEORETYCZNE cz. 1
TRANSAKCJE ARBITRAŻOWE PODSTAWY TEORETYCZNE cz. 1 Podstawowym pojęciem dotyczącym transakcji arbitrażowych jest wartość teoretyczna kontraktu FV. Na powyższym diagramie przedstawiono wykres oraz wzór,
Bardziej szczegółowoPrawa wielkich liczb, centralne twierdzenia graniczne
, centralne twierdzenia graniczne Katedra matematyki i ekonomii matematycznej 17 maja 2012, centralne twierdzenia graniczne Rodzaje zbieżności ciągów zmiennych losowych, centralne twierdzenia graniczne
Bardziej szczegółowoZASTOSOWANIE ZASADY MAKSIMUM PONTRIAGINA DO ZAGADNIENIA
ZASTOSOWANIE ZASADY MAKSIMUM PONTRIAGINA DO ZAGADNIENIA DYNAMICZNYCH LOKAT KAPITAŁOWYCH Krzysztof Gąsior Uniwersytet Rzeszowski Streszczenie Celem referatu jest zaprezentowanie praktycznego zastosowania
Bardziej szczegółowoSTOPA PROCENTOWA I STOPA ZWROTU
Piotr Cegielski, MAI, MRICS, CCIM STOPA PROCENTOWA I STOPA ZWROTU (Wybrane fragmenty artykułu opublikowanego w C.H. Beck Nieruchomości, numer 9 z 2011 r. Całość dostępna pod adresem internetowym: www.nieruchomosci.beck.pl)
Bardziej szczegółowo1. Charakterystyka obligacji. 2. Rodzaje obligacji. 3. Zadania praktyczne-duration/ceny obligacji.
mgr Maciej Jagódka 1. Charakterystyka obligacji 2. Rodzaje obligacji. 3. Zadania praktyczne-duration/ceny obligacji. Wierzycielski papier wartościowy, w którym emitent obligacji jest dłużnikiem posiadacza
Bardziej szczegółowodomykanie relacji, relacja równoważności, rozkłady zbiorów
1 of 8 2012-03-28 17:45 Logika i teoria mnogości/wykład 5: Para uporządkowana iloczyn kartezjański relacje domykanie relacji relacja równoważności rozkłady zbiorów From Studia Informatyczne < Logika i
Bardziej szczegółowoUczeń: -podaje przykłady ciągów liczbowych skończonych i nieskończonych oraz rysuje wykresy ciągów
Wymagania edukacyjne PRZEDMIOT: Matematyka KLASA: III Th ZAKRES: zakres podstawowy Poziom wymagań Lp. Dział programu Konieczny-K Podstawowy-P Rozszerzający-R Dopełniający-D Uczeń: 1. Ciągi liczbowe. -zna
Bardziej szczegółowoFunkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.
Funkcje wymierne Jerzy Rutkowski Teoria Przypomnijmy, że przez R[x] oznaczamy zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x i o współczynnikach rzeczywistych Definicja Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy
Bardziej szczegółowoWykład 1. Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych
Arytmetyka liczb całkowitych Wykład 1 Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych Z = {0, ±1, ±2,...}. Zakładamy, że czytelnik zna relację
Bardziej szczegółowoWYRAŻENIA ALGEBRAICZNE
WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE Wyrażeniem algebraicznym nazywamy wyrażenie zbudowane z liczb, liter, nawiasów oraz znaków działań, na przykład: Symbole literowe występujące w wyrażeniu algebraicznym nazywamy zmiennymi.
Bardziej szczegółowoProgramowanie celowe #1
Programowanie celowe #1 Problem programowania celowego (PC) jest przykładem problemu programowania matematycznego nieliniowego, który można skutecznie zlinearyzować, tzn. zapisać (i rozwiązać) jako problem
Bardziej szczegółowoZadanie 1. są niezależne i mają rozkład z atomami: ( ),
Zadanie. Zmienne losowe są niezależne i mają rozkład z atomami: ( ) ( ) i gęstością: ( ) na przedziale ( ). Wobec tego ( ) wynosi: (A) 0.2295 (B) 0.2403 (C) 0.2457 (D) 0.25 (E) 0.269 Zadanie 2. Niech:
Bardziej szczegółowoRozwiązaniem jest zbiór (, ] (5, )
FUNKCJE WYMIERNE Definicja Miech L() i M() będą niezerowymi wielomianami i niech D { R : M( ) 0 } Funkcję (*) D F : D R określoną wzorem F( ) L( ) M( ) nazywamy funkcją wymierną Funkcja wymierna, to iloraz
Bardziej szczegółowoKomisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXX Egzamin dla Aktuariuszy z 23 marca 2015 r. Część I Matematyka finansowa
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXX Egzamin dla Aktuariuszy z 23 marca 2015 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1. Rozważmy
Bardziej szczegółowoWycena equity derivatives notowanych na GPW w obliczu wysokiego ryzyka dywidendy
Instrumenty pochodne 2014 Wycena equity derivatives notowanych na GPW w obliczu wysokiego ryzyka dywidendy Jerzy Dzieża, WMS, AGH Kraków 28 maja 2014 (Instrumenty pochodne 2014 ) Wycena equity derivatives
Bardziej szczegółowoCIĄGI wiadomości podstawowe
1 CIĄGI wiadomości podstawowe Jak głosi definicja ciąg liczbowy to funkcja, której dziedziną są liczby naturalne dodatnie (w zadaniach oznacza się to najczęściej n 1) a wartościami tej funkcji są wszystkie
Bardziej szczegółowo1. Klasyfikacja stóp zwrotu 2. Zmienność stóp zwrotu 3. Mierniki ryzyka 4. Mierniki wrażliwości wyceny na ryzyko rynkowe
I Ryzyko i rentowność instrumentów finansowych 1. Klasyfikacja stóp zwrotu 2. Zmienność stóp zwrotu 3. Mierniki ryzyka 4. Mierniki wrażliwości wyceny na ryzyko rynkowe 1 Stopa zwrotu z inwestycji w ujęciu
Bardziej szczegółowoLogarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne.
Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Definicja. Niech a i b będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi i niech a. Logarytmem liczby b przy podstawie
Bardziej szczegółowoz przedziału 0,1 liczb dodatnich. Rozważmy dwie zmienne losowe:... ma złożony rozkład dwumianowy o parametrach 1,q i, gdzie X, wszystkie składniki X
Zadanie. Mamy dany ciąg liczb q, q,..., q n z przedziału 0,, oraz ciąg m, m,..., m n liczb dodatnich. Rozważmy dwie zmienne losowe: o X X X... X n, gdzie X i ma złożony rozkład dwumianowy o parametrach,q
Bardziej szczegółowoWykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa
Wykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa Marek Kubiak Instytut Informatyki Politechnika Poznańska Plan wykładu Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa Rozkład
Bardziej szczegółowoElementy Modelowania Matematycznego Wykład 4 Regresja i dyskryminacja liniowa
Spis treści Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 4 Regresja i dyskryminacja liniowa Romuald Kotowski Katedra Informatyki Stosowanej PJWSTK 2009 Spis treści Spis treści 1 Wstęp Bardzo często interesujący
Bardziej szczegółowoIndukcja matematyczna. Zasada minimum. Zastosowania.
Indukcja matematyczna. Zasada minimum. Zastosowania. Arkadiusz Męcel Uwagi początkowe W trakcie zajęć przyjęte zostaną następujące oznaczenia: 1. Zbiory liczb: R - zbiór liczb rzeczywistych; Q - zbiór
Bardziej szczegółowoSystem finansowy gospodarki. Zajęcia nr 5 Matematyka finansowa
System finansowy gospodarki Zajęcia nr 5 Matematyka finansowa Wartość pieniądza w czasie 1 złoty posiadany dzisiaj jest wart więcej niż 1 złoty posiadany w przyszłości, np. za rok. Powody: Suma posiadana
Bardziej szczegółowoTeoria. a, jeśli a < 0.
Teoria Definicja 1 Wartością bezwzględną liczby a R nazywamy liczbę a określoną wzorem a, jeśli a 0, a = a, jeśli a < 0 Zgodnie z powyższym określeniem liczba a jest równa odległości liczby a od liczby
Bardziej szczegółowoMatematyka Ekonomiczna
Matematyka Ekonomiczna Dr. hab. David Ramsey e-mail: david.ramsey@pwr.edu.pl strona domowa: www.ioz.pwr.edu.pl/pracownicy/ramsey Pokój 5.16, B-4 Godziny konsultacji: Wtorek 11-13, Czwartek 11-13 28 września
Bardziej szczegółowoUBEZPIECZENIA NA ŻYCIE
UBEZPIECZENIA NA ŻYCIE M BIENIEK Ubezpieczenie na życie jest to kontrakt pomiędzy ubezpieczycielem a ubezpieczonym gwarantujący, że ubezpieczyciel w zamian za opłacanie składek, wypłaci z góry ustaloną
Bardziej szczegółowoWykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średn
Wykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średniej Wrocław, 21 grudnia 2016r Przedział ufności Niech będzie dana próba X 1, X 2,..., X n z rozkładu P θ, θ Θ. Definicja 10.1 Przedziałem
Bardziej szczegółowoZatem, jest wartością portfela (wealth) w chwili,. j=1
Model Rynku z czasem dyskretnym n = 0,1,2, S 1 (n), S 2,, S m (n) - czas - ceny m aktywów obciążanych ryzykiem (akcji) w momencie : dodatnie zmienne losowe. - cena aktywa wolnego od ryzyka (obligacji)
Bardziej szczegółowoZasada indukcji matematycznej
Zasada indukcji matematycznej Twierdzenie 1 (Zasada indukcji matematycznej). Niech ϕ(n) będzie formą zdaniową zmiennej n N 0. Załóżmy, że istnieje n 0 N 0 takie, że 1. ϕ(n 0 ) jest zdaniem prawdziwym,.
Bardziej szczegółowoZAKRES PODSTAWOWY CZĘŚĆ II. Wyrażenia wymierne
CZĘŚĆ II ZAKRES PODSTAWOWY Wyrażenia wymierne Temat: Wielomiany-przypomnienie i poszerzenie wiadomości. (2 godz.) znać i rozumieć pojęcie jednomianu (2) znać i rozumieć pojęcie wielomianu stopnia n (2)
Bardziej szczegółowoEstymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średnich. Wrocław, 5 grudnia 2014
Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średnich Wrocław, 5 grudnia 2014 Przedział ufności Niech będzie dana próba X 1, X 2,..., X n z rozkładu P θ, θ Θ. Definicja Przedziałem ufności dla paramertu
Bardziej szczegółowoArytmetyka. Działania na liczbach, potęga, pierwiastek, logarytm
Arytmetyka Działania na liczbach, potęga, pierwiastek, logarytm Zbiory liczbowe Zbiór liczb naturalnych N = {1,2,3,4, }. Zbiór liczb całkowitych Z = {, 3, 2, 1,0,1,2,3, }. Zbiory liczbowe Zbiór liczb wymiernych
Bardziej szczegółowo1. Ubezpieczenia życiowe
1. Ubezpieczenia życiowe Przy ubezpieczeniach życiowych mamy do czynienia z jednorazową wypłatą sumy ubezpieczenia. Moment jej wypłaty i wielkość wypłaty może być funkcją zmiennej losowej T a więc czas
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń majątkowych r.
Zadanie 1. W pewnej populacji podmiotów każdy podmiot narażony jest na ryzyko straty X o rozkładzie normalnym z wartością oczekiwaną równą μ i wariancją równą. Wszystkie podmioty z tej populacji kierują
Bardziej szczegółowodr hab. Renata Karkowska 1
dr hab. Renata Karkowska 1 Czym jest ryzyko? Rodzaje ryzyka? Co oznacza zarządzanie? Dlaczego zarządzamy ryzykiem? 2 Przedmiot ryzyka Otoczenie bliższe/dalsze (czynniki ryzyka egzogeniczne vs endogeniczne)
Bardziej szczegółowo1. Liczby wymierne. x dla x 0 (wartością bezwzględną liczby nieujemnej jest ta sama liczba)
1. Liczby wymierne. - wartość bezwzględna liczby. dla 0 (wartością bezwzględną liczby nieujemnej jest ta sama liczba) - dla < 0 ( wartością bezwzględną liczby ujemnej jest liczba do niej przeciwna) W interpretacji
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa 15.06.2015 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXXI Egzamin dla Aktuariuszy z 15 czerwca 2015 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXXI Egzamin dla Aktuariuszy z 1 czerwca 201 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1. Pracownik
Bardziej szczegółowoKONSPEKT FUNKCJE cz. 1.
KONSPEKT FUNKCJE cz. 1. DEFINICJA FUNKCJI Funkcją nazywamy przyporządkowanie, w którym każdemu elementowi zbioru X odpowiada dokładnie jeden element zbioru Y Zbiór X nazywamy dziedziną, a jego elementy
Bardziej szczegółowoODRZUCANIE WYNIKÓW POJEDYNCZYCH POMIARÓW
ODRZUCANIE WYNIKÓW OJEDYNCZYCH OMIARÓW W praktyce pomiarowej zdarzają się sytuacje gdy jeden z pomiarów odstaje od pozostałych. Jeżeli wykorzystamy fakt, że wyniki pomiarów są zmienną losową opisywaną
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń majątkowych r.
Matematyka ubezpieczeń majątkowych 0.0.005 r. Zadanie. Likwidacja szkody zaistniałej w roku t następuje: w tym samym roku z prawdopodobieństwem 0 3, w następnym roku z prawdopodobieństwem 0 3, 8 w roku
Bardziej szczegółowoInwestowanie w obligacje
Inwestowanie w obligacje Ile zapłacić za obligację aby uzyskać oczekiwaną stopę zwrotu? Jaką stopę zwrotu uzyskamy kupując obligację po danej cenie? Jak zmienią się ceny obligacji, kiedy Rada olityki ieniężnej
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXI Egzamin dla Aktuariuszy z 1 października 2012 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXI Egzamin dla Aktuariuszy z 1 października 2012 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1
Bardziej szczegółowoGiełda Papierów Wartościowych w Warszawie oferuje inwestorom nową możliwość zawierania transakcji.
Giełda Papierów Wartościowych w Warszawie oferuje inwestorom nową możliwość zawierania transakcji. Giełda Papierów Wartościowych w Warszawie oferuje inwestorom nową możliwość zawierania transakcji. Od
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa. Ćwiczenia ZPI. Ćwiczenia do wykładu Zarządzanie portfelem inwestycyjnym 1
Matematyka finansowa Ćwiczenia ZPI 1 Zadanie 1. Procent składany W banku A oprocentowanie lokat 4% przy kapitalizacji kwartalnej. W banku B oprocentowanie lokat 4,5% przy kapitalizacji miesięcznej. W banku
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa 04.04.2011 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LVI Egzamin dla Aktuariuszy z 4 kwietnia 2011 r. Część I
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LVI Egzamin dla Aktuariuszy z 4 kwietnia 2011 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1.
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa 8.12.2014 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXIX Egzamin dla Aktuariuszy z 8 grudnia 2014 r. Część I
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXIX Egzamin dla Aktuariuszy z 8 grudnia 2014 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1.
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład XIV: Metody Monte Carlo 19 stycznia 2016 Przybliżone obliczanie całki oznaczonej Rozważmy całkowalną funkcję f : [0, 1] R. Chcemy znaleźć przybliżoną wartość liczbową całki 1 f (x) dx. 0 Jeden ze
Bardziej szczegółowo3.1 Analiza zysków i strat
3.1 Analiza zysków i strat Zakładamy że firma decyduje czy ma wdrożyć nowy produkt lub projekt. Firma musi rozważyć czy przyszłe zyski (dyskontowane w czasie) z tego projektu są większe niż koszty podniesione.
Bardziej szczegółowoEstymacja parametrów w modelu normalnym
Estymacja parametrów w modelu normalnym dr Mariusz Grządziel 6 kwietnia 2009 Model normalny Przez model normalny będziemy rozumieć rodzine rozkładów normalnych N(µ, σ), µ R, σ > 0. Z Centralnego Twierdzenia
Bardziej szczegółowoRACHUNEK EFEKTYWNOŚCI INWESTYCJI METODY ZŁOŻONE DYNAMICZNE
RACHUNEK EFEKTYWNOŚCI INWESTYCJI METODY ZŁOŻONE DYNAMICZNE Projekt Nakłady inwestycyjne, pożyczka + WACC Prognoza przychodów i kosztów Prognoza rachunku wyników Prognoza przepływów finansowych Wskaźniki
Bardziej szczegółowoStopa Inflacji. W oparciu o zbiór składający się z n towarów, stopa inflacji wyraża się wzorem. n 100w k p k. , p k
2.1 Stopa Inflacji Stopa inflacji, i, mierzy jak szybko ceny się zmieniają jako zmianę procentową w skali rocznej. Oblicza się ją za pomocą średniej ważonej cząstkowych stóp inflacji, gdzie cząstkowa stopa
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa 03.10.2011 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 3 października 2011 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 3 października 2011 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. L Egzamin dla Aktuariuszy z 5 października 2009 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy L Egzamin dla Aktuariuszy z 5 października 2009 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 0 minut 1 1.
Bardziej szczegółowoMatematyka bankowa 1 1 wykład
Matematyka bankowa 1 1 wykład Dorota Klim Department of Nonlinear Analysis, Faculty of Mathematics and Computer Science, University of Łódź, Banacha 22, 90-238 Łódź, Poland E-mail address: klimdr@math.uni.ldz.pl
Bardziej szczegółowoProf. nadzw. dr hab. Marcin Jędrzejczyk
Prof. nadzw. dr hab. Marcin Jędrzejczyk 1. Zakup akcji, udziałów w obcych podmiotach gospodarczych według cen nabycia. 2. Zakup akcji i innych długoterminowych papierów wartościowych, traktowanych jako
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXIII Egzamin dla Aktuariuszy z 25 marca 2013 r. Część I
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXIII Egzamin dla Aktuariuszy z 25 marca 2013 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1.
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa 10.12.2012 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXII Egzamin dla Aktuariuszy z 10 grudnia 2012 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXII Egzamin dla Aktuariuszy z 10 grudnia 2012 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1.
Bardziej szczegółowoWycena opcji. Dr inż. Bożena Mielczarek
Wycena opcji Dr inż. Bożena Mielczarek Stock Price Wahania ceny akcji Cena jednostki podlega niewielkim wahaniom dziennym (miesięcznym) wykazując jednak stały trend wznoszący. Cena może się doraźnie obniżać,
Bardziej szczegółowoStatystyka. Wydział Zarządzania Uniwersytetu Łódzkiego
Statystyka Wydział Zarządzania Uniwersytetu Łódzkiego 2017 Zmienna losowa i jej rozkład Mając daną przestrzeń probabilistyczną, czyli parę (&, P) stanowiącą model pewnego doświadczenia losowego (gdzie
Bardziej szczegółowo8. Papiery wartościowe: obligacje
8. Papiery wartościowe: obligacje Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie Matematyka finansowa rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w 8. Krakowie) Papiery wartościowe: obligacje
Bardziej szczegółowoĆwiczenia ZPI. Katarzyna Niewińska, ćwiczenia do wykładu Zarządzanie portfelem inwestycyjnym 1
Ćwiczenia ZPI 1 Kupno opcji Profil wypłaty dla nabywcy opcji kupna. Z/S Kurs wykonania Opcji (X) Premia (P) Punkt opłacalności X + P WIG20 2 Kupno opcji Profil wypłaty dla nabywcy opcji sprzedaży. Z/S
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXIV Egzamin dla Aktuariuszy z 17 czerwca 2013 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXIV Egzamin dla Aktuariuszy z 17 czerwca 2013 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 0 minut 1 1. Rozważamy
Bardziej szczegółowoĆwiczenia ZPI. Katarzyna Niewińska, ćwiczenia do wykładu Zarządzanie portfelem inwestycyjnym 1
Ćwiczenia ZPI 1 W banku A oprocentowanie lokat 4% przy kapitalizacji kwartalnej. W banku B oprocentowanie lokat 4,5% przy kapitalizacji miesięcznej. W banku A ulokowano kwotę 1000 zł. Jaki kapitał należy
Bardziej szczegółowo1a. Lokaty - wstęp. Grzegorz Kosiorowski. Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie. Matematyka finansowa
1a. Lokaty - wstęp Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie Matematyka finansowa rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 1a. Lokaty - wstęp Matematyka finansowa 1 / 44 1
Bardziej szczegółowoMODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH
MODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH WYKŁAD 6: SKŁADKI OKRESOWE Składki okresowe netto Umowę pomiędzy ubezpieczycielem a ubezpieczonym dotyczącą ubezpieczenia na życie nazywa się polisą ubezpieczeniową
Bardziej szczegółowoSpacery losowe generowanie realizacji procesu losowego
Spacery losowe generowanie realizacji procesu losowego Michał Krzemiński Streszczenie Omówimy metodę generowania trajektorii spacerów losowych (błądzenia losowego), tj. szczególnych procesów Markowa z
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład VII: Rozkład i jego charakterystyki 22 listopada 2016 Uprzednio wprowadzone pojęcia i ich własności Definicja zmiennej losowej Zmienna losowa na przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P) to funkcja
Bardziej szczegółowoPapiery wartościowe o stałym dochodzie
Papiery wartościowe o stałym dochodzie Inwestycje i teoria portfela Strona 1 z 42 1. Wartość pieniądza w czasie Złotówka dzisiaj (którą mamy w ręku) jest więcej warta niż (przyrzeczona) złotówka w przyszłości,
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA WYKAZ UMIEJĘTNOŚCI WYMAGANYCH NA POSZCZEGÓLNE OCENY DLA KLASY DRUGIEJ
MATEMATYKA WYKAZ UMIEJĘTNOŚCI WYMAGANYCH NA POSZCZEGÓLNE OCENY 1. SUMY ALGEBRAICZNE DLA KLASY DRUGIEJ 1. Rozpoznawanie jednomianów i sum algebraicznych Obliczanie wartości liczbowych wyrażeń algebraicznych
Bardziej szczegółowo