Modelowanie rozwoju pożaru w pomieszczeniach zamkniętych. Cz. I. Model matematyczny.

Transkrypt

1 Modeloaie rozoj ożar omieszczeiach zamkiętych. Cz. I. Model matematyczy. Dr hab. iż. Tadesz Maciak, mgr iż. Przemysła Czaoski, Sis ażiejszych ozaczeń stosoaych modeloai ożar: B(x,λ) róaie emisji dla źródła romieioaia C s stała Smagorisky ego C cieło łaście D α sółczyik dyfzji dla daej sbstacji f b siły zeętrze za yjątkiem siły graitacji g ektor rzysieszeia ziemskiego h α etalia łaścia dla sbstacji α I λ (x,s) atężeie romieioaia dla fali o dłgości, kierk yzaczoym rzez ektor s dla ozycji x I b (x) atężeie romieioaia dla ciała doskoale czarego k rzeodicto ciele m skaźik aliaia masy a jedostkę objętości dla składika α Pr stała Pradtl a ciśieie q rędkość aliaia cieła a jedostkę objętości R stała gazoa Sc stała Schmidt a S tesor odkształceń T temeratra = [,,] ektor rędkości rzeły gazó W α masa cząsteczkoa składika α Y łamek masoy masy składika α szystkich sbstacji ε szybkość rozraszaia eergii к(x,s) sółczyik lokalej absorcji romieioaia ρ gęstość ośrodka τ tesor arężeń σ s (x,λ) sółczyik lokalego rozraszaia romieioaia σ stała Stefaa-Boltzmaa ω ektor iroości. Modeloaie rozrzestrzeiaia się ożar. W rzyadk modeloaia ożar, ykorzystyae są raa fizycze oisjące zachoaie się i rzełyy gazó. Dziedzia ta jest dobrze zaa i ierotie zalazła zastosoaie oisie mechaiki łyó []. Nosi oa azę meryczej mechaiki łyó, Comtatioal Flids Dyamic CFD. Większość sółczesych rogramó CFD oiera się a yzaczai róań Naier-Stokes a. Dla yzaczaia kokretych ielkości z tych róań żyae są róże metody dyskretyzacji takie jak metoda

2 skończoych objętości (Fiite Volme Method), metoda elemetó skończoych (Fiite Elemet Method) oraz metoda różic skończoych (Fiite Differece Method). W rzyadk zastosoań CFD symlacji ożaró ależy zględić rocesy salaia, rzekształceia ali, zmiay skład chemiczego atmosfery i rozrzestrzeiaia się romieioaia cielego. W każdym z oyższych rzyadkó zastosoaia modeli CFD, będzie to modeloaie roszczoe, bo omimo możliości sółczesych maszy matematyczych, akcetoalym czasie daję się osiągąć jedyie rzybliżoe roziązaia badaych roblemó i zjaisk... Model hydrodyamiczy Model hydrodyamiczy FDS roziązje meryczie jedą z ostaci rzezaczoych dla rzełyó iedżej rędkości róań Naier-Stokes a z zględieiem zjaiska rzeły cieła oraz sali z ogia. Róaia Naier-Stokes a oisją oiązaie ze sobą rędkości, ciśieia, temeratry oraz gęstości orszającego się ły. Zostały oe zyskae iezależie rzez G. Stokes a, Aglii, M. Naier a e Fracji a oczątk 800 rok. Omaiae róaia są rozszerzeiem róań Elera i obejmją sktki zięcia od agę ły lekości a rzeły ły. Bazją a trzech odstaoych zasadach: zasadzie zachoaia masy, zasadzie zachoaia ęd (drga zasada dyamiki Netoa a) oraz zasadzie zachoaia eergii (iersze rao termodyamiki ). Róaia te są oszechie zae i moża z imi zaozać się zaych blikacji książkoych z mechaiki łyó czy CFD jak. [, ]. Mamy t cztery zmiee iezależe: x, y, z są ymiarami kład sółrzędych domey obliczeioej oraz czas t. Zesta sześci róań, różiczkoych cząstkoych zaiera sześć ieiadomych zależych: gęstość ρ, trzy składoe ektora rędkości = [,,] T, temeratrę T oraz ciśieie. Zesta omaiaych róań został rzedstaioy oiżej zgodie z adotacjami stosoaymi oisie model matematyczego rzez NIST [3]. A. Zasada zachoaia masy Zasada zachoaia masy może być yrażoa zaróo arkach gęstości ρ; t m b () jak róież arkach ojedyczego składika gazoego mieszaiy Y α : t Y Y D Y m m b, ()

3 Gdzie Y α jest łamkiem masoym składika α, D α ozacza sółczyik dyfzji składika α mieszaiy, m jest szybkością ostaaia składika α, m b m b, jest szybkością ostaaia składika orzez odaroaie kroelek lb cząsteczek. B. Zasada zachoaia ęd Zasada zachoaia ęd może być yrażoa astęjącej formie: t g f b (3) Czło róaia jest tesorem diadyczym. W otacji macierzoej, z = [,,] T, diadyczość jest daa rzez rzemożeie ektoró i T. Czło jest ttaj ektorem ostającym rzez zastosoaie oeratora ektoroego,, x y z do tesora. Czło siłoy f b róai rerezetje zeętrze siły jak. siły yierae rzez krole cieczy. Wektor graitacji rerezetje symbol g. Tesor arężeia τ jest defiioay ostaci: S ; 3 i j 0 i j ; i j S xi xi i, j =,,3 (4) Czło S jest symetryczym tesorem odkształceia, zaisyaym koecjoalej otacji tesoroej. Symbol μ jest dyamiczą lekością ły. Zaiedbjąc rozatryaym róai zaróo momet skręceia ola baroklioego oraz rozkład składika ciśieia, atomiast biorąc dyergecję róaia ęd, otrzymje się róaie ciśieia ostaci: H F ; t F g 0 f b (5) Gdzie jest tesorem iroości, =. Dla arkó bez rzeły strmieia lb brak ymszoego rzeły, róaie (5) sroadza się do ostaci: H F t Gdzie F określa składoą ormalą ektora siły F. (6) 3

4 C. Zasada zachoaia eergii Zasada zachoaia eergii może być zaisaa orzez etalię h s : t D Dt '' h h q q q s s b (7) Etalia jest fkcją temeratry: ' ' ; hs, T c, T dt h Y s h, s Użya się ttaj ochodych materiałoych T (8) T0 D / Dt. Termi t szybkością ydzielaia cieła a jedostkę objętości z reakcji chemiczej. Czło eergię trasferoaą do odarojących kroli. Wyraz rzeodzeia i radiacyjy: q określa q b określa '' q rerezetje strmień cieła q '' kt '' hs, D Y q r (9) Gdzie k jest sółczyikiem rzeodzeia cieła. Czło ε róai (7) określa szybkość rozraszaia eergii. Jest to szybkość z którą eergia kietycza jest zamieiaa a eergię cielą ze zględ a lekość cieczy. Czło te jest zazyczaj omay ze zględ a jego relatyie ieielki kład do ydzielaia cieła ożar. D. Róaie sta gaz doskoałego Róaie sta iąże ze sobą ciśieie, temeratrę T i gęstość gaz ρ : RT (0) W W model stosje się rzybliżoe ostacie róań Naier-Stokes a odoiedie dla iskich liczb Macha. Aroksymacje obejmją filtroaie fal akstyczych, ozalając jedocześie a dże zmiay temeratry i gęstości [4]. To daje róaia o charakterze elityczym, sóje z małą rędkością rzebieg koekcyjych rocesó cielych. W raktyce ozacza to, że rzestrzeie roziązaia a ciśieie (x, y, z) jest zastęoae rzez "średie" lb "odstaoe" ciśieie, ( z, t), które jest fkcją czas i ysokości ad oziom grt. m 4

5 Y m ( z, t) TR () W Biorąc ochodą materiał ciśieia a oziomie grt i odstaiając yik do róaia zachoaia eergii otrzymjemy yrażeie a dyergecje rędkości,, która jest ażym człoem meryczym algorytmie, oieaż skteczie elime otrzebę roziązaia róaia trasort dla secyficzych artości etalii. Warki źródła z róaia zachoaia eergii są łączoe do dyergecji, która ojaia się róań trasort masy. Temeratra jest zajdoaa z gęstości i ciśieia a oziomie grt rzez róaia sta gaz doskoałego... Procedra roziązyaia róań Proces obliczeioy może być ykoay zaróo jako symlacja merycza ykoaa rost, której róaia Naier-Stokes a są roziązyae bez zględieia jakiegokoliek model trblecji (Direct Nmerical Simlatio DNS) lb jako symlacja dżych iró (Large Eddy Simlatio LES). Nmeryczy algorytm obliczeioy został t zarojektoay taki sosób, że symlacja dżych iró (LES) staje się symlacją liczoą rost (DNS) raz ze zmiaą ymiaró siatki obliczeioej. Podstaą działaia symlacji dżych iró LES jest redkcja dłgości skali roziązań róań Naier-Stokes a zaroooaa rzez Smagorisky ego [5]. Takie odejście redkje koszty rzeliczeń symlacyjych. Róaia są rzekształcae a roziązaiem jest odoiedio rzefiltroae ole rędkości. Sosób rzekształcaia daych jest zgody z teorią trblecji. Techika LES jest stosoaa chętie tam gdzie mamy do czyieia z rocesami rozraszaia (. dyfzja materiałó, rzeodość ciela, lekość), które zachodzą skali miejszej iż siatka obliczeioa ystęjąca rocesie symlacji komteroej. To ozacza, że takie arametry jak μ, k i D ystęjące rzytoczoych oyżej róaiach Naier-Stokes a, ie mogą być brae rost, iększości roadzoych symlacji. Problemy ziązae z techiką LES są yjaśioe oracoai daym rzez Poe [6]. Są iektóre scearisze obliczeń, gdzie jest możlie życie moleklarych artości μ, k i D rost. Zazyczaj, ozacza to, że merycza siatka obliczeioa jest rzęd mm lb miejsza. Przeroadza się óczas symlację DNS. W symlacji DNS lekość, rzeodość ciela i sółczyik dyfzji materiałó są rzybliżae z teorii kietyczej, oieaż ich zależości temeratroe są aże scearisz ożar [3]. Jak jż somiao cześiej, ielkościami do yzaczeia zarezetoaym model są: gęstość ρ, składoe ektora rędkości,,, etalia łaścia hs oraz ciśieie. Parametrami ejścioymi jest rędkość ydzielaia cieła odarojących kroel określoa rzeodzoego i yromieioaego cieła q, eergia rzekazaa do q b, tesor arężeń lekości τ oraz gęstość strmieia '' q. 5

6 6 Istotym arametrem zasady zachoaia ęd oisaym róaiem (3) jest tesor arężeń, którego istotym yrażeiem jest tesor odkształceń S. Tesor odkształceń może być zaisay zgodie z (4) formie astęjącej: z z y z x y z y y x x z x y x S t () W rzyadk somiaej metody LES, lekość jest oisyaa edłg odejścia Smagorisky ego [5]: 3 S S C s LES (3) Gdzie: C s - jest stałą emiryczą, - jest dłgością ojedyczej komórki obliczeioej. Ie arametry dyfzyje, takie jak rzeodość ciela i sółczyik dyfzji materiał są ziązae z lekością trbletą rzez yrażeia: r LES LES c k ; c LES S D (4) Gdzie: Pr stała Pradtl a, C cieło łaście, Sc stała Schmidt a. Istotym rzyadk model hydrodyamiczego jest modeloaie rzeły trbletego. Metoda LES jest komromisem omiędzy dokładością roziązań a ymagaymi mocami obliczeioymi komteró. Ideą metody LES jest średieie ły oddziałyań iró małych ( iezależych od geometrii rzeły ) i yrażeie tych oddziałyań rzez dodatkoe człoy arężeń, oszkjąc roziązań jedyie dla iró dżych ( zależych od geometrii, arkó brzegoych it. ).

7 . Algorytm obliczeń model hydrodyamiczego Głóy algorytm działa edłg schemat redykcyjo korekcyjego, który olega a yzaczei oczątkoych artości dla badaych ielkości ierszym krok działaia algorytm, a astęie yzaczei artości skorygoaych dla tych samych ielkości a odstaie określoych odgórych zasad... Pojedycza domea obliczeioa W rzyadk ojedyczej domey obliczeioej, rzestrzeń symlacji może mieć jede z dóch kształtó: rostoadłościey lb cylidryczy. W dalszych rozażaiach od agę będzie bray jedyie rzyadek rostoadłościey jako ajczęściej żyay raktyczych symlacjach. Obliczeia dla jedej domey są ykoyae rzez jede roces. Domea obliczeioa jest odzieloa a rostoadłościee komórki o takich samych ymiarach (rysek ). Możlie są także trasformacje rozmiaró komórek, cel osiągięcia różych rozmiaró komórek, jedak ie będą oe rozatryae iiejszej racy. Zaróo rozmiary domey obliczeioej, jak i ojedyczej komórki są arametrami ejścioymi odczas defiioaia scearisza symlacji. Rysek. Podział domey obliczeioej a komórki; źródło oracoaie łase Kryteria dobieraia ymiaró, tak by ziększyć efektyość obliczeń zostaą rzedstaioe kolejej części racy omaiającej zagadieia symlacji ożaró omieszczeiach zamkiętych.... Dyskretyzacja czasoa Przebieg algorytm ma charakter iteracyjy. Dla dyskretyzacji czasoej czas traia symlacji oraz krok czasoy są arametrami ejścioym odczas defiioaia scearisza symlacji. Ze zględ a zachoaie stabilości obliczeń, krok czasoy może legać 7

8 modyfikacjom. Warki jakie mszą sełiać koleje kroki czasoe zostały ymieioe schemacie działaia algorytm. Do szystkich obliczeń arkami oczątkoymi są arametry otoczeia. Dla obliczeń każdego krok czasoego gęstość ρ, masa oszczególych składikó atmosfery Y, rędkość rzeły, ciśieie zmodyfikoae H, ciśieie otoczeia m są zae a oczątk każdej iteracji. Pozostałe ielkości moża yzaczyć a odstaie ymieioych arametró otoczeia. Wyzaczaie oszczególych ielkości dla (+) krok czasoego ostęje zgodie ze schematem redykcyjo - korekcyjym. W ierszej fazie astęje yzaczaie artości, drgim krok korekcja yzaczoych artości. Wielkości ozaczoe górym ideksem (+)e są yzaczoe krok redykcyjym, ielkości ozaczoe górym ideksem (+) są yzaczae krok korekcyjym. Głóe kroki fazy redykcyjej algorytm mają astęjącą ostać: a/. Wielkości termodyamicze ρ, Y, m dla astęego krok czasoego są yzaczae rzy życi metody Elera a do yzaczaia roziązań róań różiczkoych [7]. Dla rzykład yzaczeie gęstości + krok astęje orzez zastosoaie zależości: t( ) (5) e b/. Wyzaczeie artości ciśieia zmodyfikoaego a odstaie ielkości termodyamiczych z krok a. c/. Obliczeie ektora rędkości rzeły dla kolejego krok czasoego. d/. Sradzeie krok czasoego, czy sełia arki: t x y, max, < ; z t x y z < (6) Jeżeli krok czasoy ie sełia któregoś z arkó (6) jest zmiejszay do oziom, dla którego te arki są sełioe i roces yzaczaia ielkości rozoczya się od oa, z oym krokiem czasoym. Jeżeli krok czasoy sełia oyższe arki, roces yzaczaia ielkości rzechodzi do części korygoaia artości yzaczoych ielkości. Korekcja yzaczoych artości: a/. Wielkości termodyamicze ρ, Y, m odlegają korekcji dla astęego krok czasoego,. oraioa artość gęstości jest yzaczaa ze zor: e t (7) e e e e 8

9 b/. Obliczeie skorygoaej artości ciśieia zmodyfikoaego c/. Korekcja rędkości rzeły.... Dyskretyzacja rzestrzea Każda komórka z domey obliczeioej jest jedozaczie oisaa trzema ideksami i,j,k kierkach odoiedio x, y, z rostokątego kład sółrzędych. Wielkości skalare są rzyisae do cetrm każdej komórki (. jest gęstością -tego krok czasoego cetrm komórki o sółrzędych i,j,k ). Wielkości ektoroe są rzyisae do łaszczyz a brzegach komórki tak jak to jest rzedstaioe a rysk. Zgodie z ryskiem, jest składoą x-oą rędkości a oierzchi od stroy rosących artości a osi x dla komórki o ideksach i, j, k, stroy malejących artości a osi x. i jest rędkością a oierzchi od Rysek. Wielkości ektoroe dla ojedyczej komórki; źródło oracoaie łase Przykładoo yliczaie gęstości krok redykcyjym (5) dla każdego krok czasoego i, j, k tej komórki odbya się zgodie ze zorem: e t (8)..3. Wymiaa masy W rzyadk oisyaego model hydrodyamiczego omiędzy komórkami rzestrzei symlacji ystęje koekcyja i dyfzyja ymiaa masy omiędzy komórkami. Oisje ją jede ze składikó róaia (8): 9

10 i y k i x z i x i i z k y (9) Gdzie symbol ozacza + krok redykcyjym, atomiast krok korekcyjym. t t t Symbol odrotie.,,. Wartości gęstości z ideksami x y z różymi od i, j, k dotyczą gęstości dla sąsiedich komórek... Przyadek iel dome obliczeioych FDS możliia odzieleie rzestrzei obliczeń a iele dome obliczeioych. Każda z dome może zostać rzyisaa tylko jedem rocesoi, rzy czym jede roces może ykoyać obliczeia dla iel dome. Obliczeia ykoyae dla iel dome rzez róże rocesy do komikacji ykorzystją MPI (Message Passig Iterface - Iterfejs Trasmisji Wiadomości) []. Podział a domey obliczeioe ma charakter statyczy i jest ykoyay odczas defiioaia scearisza symlacji, odział ie moża zmieiać trakcie ykoyaia symlacji. Rysek 3. Podział a domey obliczeioe; źródło oracoaie łase... Dyskretyzacja czasoa Podobie jak dla rzyadk ojedyczej domey obliczeioej, algorytm działa zgodie ze schematem redykcyjo-korekcyjym, a obliczeia mają charakter iteracyjy. Wyzaczeie artości ykoje się iezależie dla każdej domey obliczeioej. W trakcie działaia algorytm ystęją kty sychroizacji. Sychroizacja olega a yzaczai ielkości dla komórek leżących a graicach rzyległych dome obliczeioych. 0

11 Krok redykcyjy: a/. Wyzaczeie średioej rędkości a graicy dome obliczeioych. Dla jedej składoej tego ektora jego artość jest stalaa a odstaie zależości: ( m) dla 0 i x ( m) ( m) ( om) x, 0, dla i x (0) ( om), dla i x Gdzie: góre ideksy (m), (om) ozaczają sąsiadjące domey obliczeioe, x ozacza ideks skrajych komórek kierk rosących artości osi x dla domey (m). Podobie yglądają obliczeia dla składoych oraz ektora rędkości, tyle, że arek formły (0) dotyczy odoiedio ideksó j oraz k. b/. Wielkości termodyamicze ρ, Y, m dla astęego krok czasoego są yzaczae rzy życi metody Elera a. Dla rzykład yzaczeie gęstości + krok: e t () Przed zastosoaiem arkó brzegoych dla ρ, Y, artości tych ielkości a graicach dome obliczeioych są ymieiae rzez yołaia MPI. c/. Wyzaczeie artości ciśieia zmodyfikoaego a odstaie ielkości termodyamiczych z krok. d/. Wyzaczeie ektora rędkości rzeły. e/. Sradzeie krok czasoego. Jeżeli krok czasoy sełia arki (7). Nastęje ymiaa ielkości ' H oraz a brzegach dome obliczeioych rzez yołaia MPI. Korekcja yzaczoych artości: a/. Wyzaczeie średioej rędkości ( ) e a graicy dome obliczeioych. b/. Wielkości termodyamicze ρ, Y, m odlegają korekcji dla astęego krok czasoego. N. oraioa artość gęstości jest yzaczaa ze zor: e t () e e e e

12 Przed zastosoaiem arkó brzegoych dla ρ, Y, artości tych ielkości a graicach dome obliczeioych są ymieiae rzez yołaia MPI. d/. Wartość ciśieia zmodyfikoaego jest rzeliczaa a oo. e/. Korekcja ektora rędkości. f/. Ostatim krokiem eta korekcji artości jest ymiaa komórek sąsiadjących dome obliczeioych rzez MPI. ' H oraz dla brzegoych Bibliografia :. Jeżoiecka-Kabsch, K., Szeczyk H.; Mechaika łyó, Oficya ydaicza olitechiki rocłaskiej, Wrocła 00, [dostę.06.0]. Dostęy Iterecie: htt://.dbc.roc.l/cotet/486/kabsch_szeczyk.df. Aderso, D.A., Taehill, J.C., Pletcher, R.H.; Comtatioal Flid Mechaics ad Heat Trafer [olie]. Wyd. 4. Philadelhia: Hemishere Pblishig Cororatio, 997, [dostę.06.0], Dostęy Iterecie: htt://books.google.com/books?id=zjpbtheilcgc 3. McGratta, K., Hostikka, S., Floyd, J, Bam, H., Rehm, R., Mell, W., McDermott, R.; Fire Dyamics Simlator (Versio 5) Techical Referece Gide, Volme : Mathematical Model [olie]. NIST Secial Pblicatio Washigto: NIST Secial Pblicatio, 00, [dostę.06.0]. Dostęy Iterecie: htt://fdssm.googlecode.com/s/trk/fds/trk/maals/all_pdf_files/fds_techical_referec e_gide.df 4. Rehm, R.G., Bam, H.R.; The Eqatios of Motio for Thermally Drie, Boyat Flos, Joral of Research of the NBS, 978, ol.83, r 3, str , 5. Smagorisky J.; Geeral Circlatio Exerimets ith the Primitie Eqatios. I. Basic Exerimet, [olie]. Washigto: Mothly Weather Reie, 963, ol.9, r 3, str [dostę.06.0]. Dostęy Iterecie: htt://docs.lib.oaa.go/resce/mr/09/mr df 6. Poe, S.B.; Te qestios cocerig the large-eddy simlatio of trblet flos, [olie], Ne Joral of Physics, ol.6, r. 35, 004. str. 4, [dostę.06.0], Dostęy Iterecie: htt://iosciece.io.org/ /6//035/df/ _6 035.df. 7. Kalioski, E., Termodyamika, Wyd.. Wrocła, Wydaicta Politechiki Wrocłaskiej, Message Passig Iterface, [olie], Wikiedia, [dostę.06.0], Dostęy Iterecie: htt://l.ikiedia.org/iki/message_passig_iterface