Wyznaczanie przyspieszenia ziemskiego przy uŝyciu wahadła matematycznego

Transkrypt

1 POLITECHNIKA ŚLĄSKA WYDZIAŁ CHEMICZNY KATEDRA FIZYKOCHEMII I TECHNOLOGII POLIMERÓW LABORATORIUM Z FIZYKI Wyznaczanie przyspieszenia ziemskieo przy uŝyciu wahadła matematyczneo

2 WYZNACZANIE PRZYSPIESZENIA ZIEMSKIEGO Wyznaczanie przyspieszenia ziemskieo przy uŝyciu wahadła matematyczneo..wprowadzenie Wahadło matematyczne to punkt matriany zawieszony na niewaŝkiej i nierozciąiwej nici, wkonujacy ruch w płaszczyźnie piomnowej pod działaniem siły cięŝkości. W aboratorium składa się ono z małeo obiektu (obciąŝnika wahadła) zawieszoneo na niewaŝkiej nici. Nić powinna być nierozciąiwa, a odwaŝnik wahadła musi być mały w stosunku do dłuości nici. Wychyenia wahadła w przód i w tył, bez uwzędnienia tarcia, reaizuje ruch drający prosty. Punkt materiany porusza się po łuku osiąając jednakowe wychyenie (ampitudę) po obu stronach od punktu równowai (punkt dzie znajduje się wahadło, dy jest w spoczynku). Przechodząc przez punkt równowai wahadło osiąa maksymaną prędkość. Gdy wahadło wychyone jest o kąt φ, moŝemy siłę cięŝkości Q (a w konsekwencji przyspieszenie jakieo doznaje obciąŝnik w pou siły cięŝkości) rozłoŝyć na dwie składowe: jedną składową odpowiadającą sie napręŝenia nici N i na składową styczną do toru S (S = - msinφ). ObciąŜnik wahadła jest traktowany jako punkt materiany. Rys.. Wahadło matematyczne Łuk zatoczony przez punkt materiany ma dłuość: s = ϕ (.) s ϕ s ϕ π π

3 WYZNACZANIE PRZYSPIESZENIA ZIEMSKIEGO 3 dzie φ jest kątem pomiędzy nicią, a pionem, zaś jest dłuością nici, jak na rys.. Przyspieszenie styczne moŝna zapisać następująco: Da małych kątów moŝemy przyjąć: d s d ϕ = = sinϕ (.) dt dt sin ϕ ϕ i s x (.3) Stąd z równania (.) otrzymujemy: d ϕ = ϕ, a poniewaŝ s = ϕ to dt d s d x = s ub + x = 0 to jest równanie ruchu harmoniczneo prosteo (.4) dt dt Wahadło, wychyone o mały kąt z połoŝenia równowai, wykonuje drania harmoniczne proste. Uwzędniając, Ŝe okres wahań: ω = (oscyator harmoniczny) i ω = π moŝemy napisać równanie na T T = π (.5) dzie: dłuość wahadła, tj. odełość środka cięŝkości ciała od osi obrotu przyspieszenie ziemskie Stąd przyspieszenie ziemskie moŝemy obiczyć z następująceo wyraŝenia: Prosty oscyator harmoniczny 4π = (.6) T Poziomo poruszający się cięŝarek jest przykładem oscyatora harmoniczneo prosteo. Jest to ciało o masie m na spręŝynie na który działa iniowa siła spręŝystości F odwrotnie proporcjonana do wychyenia x. Zakładając, Ŝe na układ nie działają siły zewnętrzne, otrzymujemy: F = kx Siłę moŝemy zapisać zodnie z II zasadą dynamiki Newtona jako ioczyn masy i przysieszenia: d x F = ma = m dt kx = m d x dt

4 WYZNACZANIE PRZYSPIESZENIA ZIEMSKIEGO 4 d x m + kx = 0 (*) dt Da: x = Acos ϖ t + ϕ ( ) ( ϖ ϕ) x& = Aϖ sin t + ( ϖ ϕ) & x = Aϖ cos t + A po wstawieniu do rów. (*) ma ϖ cos mϖ + k = 0 ( ϖt + ϕ) + kacos( ϖt + ϕ) = 0 k = m Da wahadła matematyczneo ϖ m k =.. Część doświadczana Dokonujemy serii pomiarów okresu wahań T przy dowonej dłuości wahadła. Następnie skracamy ub wydłuŝamy dłuość wahadła o znaną wartość D i mierzymy nowy okres T PoniewaŜ: T = π (.7) oraz T = π (.8) Stąd: D T T 4 π 4 = ( ) = π (.9) A zatem zaeŝność na obiczenie przyspieszenia ziemskieo przybiera postać: 4π D = T T (.0)

5 WYZNACZANIE PRZYSPIESZENIA ZIEMSKIEGO 5 MoŜemy przyjąć takie przybiŝenie poniewaŝ pomimo, Ŝe drania wahadła są w istocie draniami tłumionymi i ich ampituda maeje z czasem do zera, ecz ich okres, jako niezaeŝny od ampitudy nie uea zmianie. Wzór (.5) jest waŝny tyko da bardzo małych ampitud (φ < 5 0 ). W ceu zmierzenia okresu T mierzymy kikakrotnie (5-0 razy) czas trwania kikudziesięciu (50-00) okresów. Z otrzymanych wyników tworzymy średnią a następnie obiczamy okres drań T. Wyniki zapisujemy w tabei: Numer pomiaru Dłuość D Okres drań T.3 Wyniki, obiczenia i anaiza błędów Z danych zebranych w tabei obiczamy średni okres drań T: T = n n T i i= (.) średnią dłuość D: n D = D i (.) n i= Oraz odpowiednie odchyenia standardowe. Po obiczeniu przyspieszenia ziemskieo z równania (.0) naeŝy obiczyć niepewność pomiaru złoŝoneo ze wzoru: d = dd + dt + dt (.3) D dt dt Końcowy wynik naeŝy podać w postaci:.4 Pytania = ± d (.4). Jakie załoŝenia trzeba przyjąć, aby otrzymać równanie drań harmonicznych prostych?. Wyjaśnij źródło przybiŝenia sinx=x. PokaŜ da jakich warunków jest to poprawne. 3. Czy moŝemy przewidzieć wartość okresu drań na Marsie? 4. Jak zmieni się okres T, dy wahadło będzie się poruszało z przyspieszeniem a? 5. Co to jest wahadło fizyczne? Wyprowadź równanie jeo okresu. 6. Daczeo bierzemy w obiczeniach pomiary da dwóch róŝnych dłuości wahadła, a nie tyko jedneo? 7. Wyprowadź i omów prosty oscyator harmoniczny.

6 WYZNACZANIE PRZYSPIESZENIA ZIEMSKIEGO 6 8. Omów drania harmoniczne proste, tłumione i wymuszone. 9. Co to jest wahadło matematyczne? Wyprowadź równanie jeo okresu. 0. Wyprowadź wzory na enerię kinetyczną, potencjaną i całkowitą da ciała o masie m poruszająceo się ruchem harmonicznym..5 Literatura. S.Szczeniowski, Fizyka Doświadczana, Część I, Mechanika i Akustyka,PWN, Warszawa, 980. J.Orear, Fizyka, Tom I, PWN Warszawa R.Resnick, D.Haiday, Fizyka, Tom I, PWN, Warszawa, H.Szydłowski, Pracownia fizyczna, PWN, Warszawa, Douas C.Giancoi, Physics for Scientist & Enineers,Prentice Ha, 000

7 WYZNACZANIE PRZYSPIESZENIA ZIEMSKIEGO 7 POLITECHNIKA ŚLĄSKA WYDZIAŁ CHEMICZNY KATEDRA FIZYKOCHEMII I TECHNOLOGII POLIMERÓW LABORATORIUM Z FIZYKI Wyznaczanie momentów bezwładności brył sztywnych metodą zawieszenia trójnitkoweo

8 WYZNACZANIE PRZYSPIESZENIA ZIEMSKIEGO 8 Wyznaczanie momentów bezwładności brył sztywnych metodą zawieszenia trójnitkoweo. Wprowadzenie Rozpatrzmy obracającą się bryłę sztywną, np. koło obracające się wokół osi przechodzącej przez jeo środek. MoŜemy potraktowac koło, jako obiekt, który składa się z wieu cząsteczek umieszczonych w róŝnych odełościach R, R,... R n od jeo osi obrotu. Moment bezwładności bryły mierzy siłę z jaką obiekt przeciwstawia się zmianom prędkości obrotowej i jest okreśony równaniem: I = R mi Ri = mr + m +...[k m ] (.) Suma m R i jest sumą ioczynów mas cząstek i kwadratów ich odełości do osi obrotu. Jak wynika z równania (.) moment bezwładności bryły zaeŝy nie tyko od jeo masy ae równieŝ od teo jak rozłoŝona jest jeo masa wzędem osi obrotu. Na przykład cyinder o duŝej średnicy będzie miał większy moment bezwładności niŝ waec o tej samej masie ecz mniejszej średnicy wynika to z teo, Ŝe cząstki bardziej oddaone muszą podeać większym zmianom prędkości stycznej przy zadanej zmianie prędkości kątowej. Moment bezwładności daneo obiektu jest róŝny da róŝnych osi obrotu. Wiee brył sztywnych moŝe być rozpatrywanych jako obiekty o ciąłym rozkładzie masy. W takim przypadku moment bezwładności otrzymujemy z wyraŝenia: I = R dm dzie dm odpowiada infinitezymanie małym częściom ciała a R jest odełością prostopadłą do osi obrotu. Całkowanie wykonuje się po całej objętości (zazwyczaj jest to całka podwójna ub potrójna). (.). Część doświadczana Bryłę o masie m, której moment bezwładności I wzędem osi (łównej, centranej) praniemy wyznaczyć, kładziemy na poziomej, jednorodnej tarczy kołowej o promieniu R 0, zawieszonej na trzech pionowych niciach. Nici mają jednakową dłuość i są przymocowane do tarczy w równych odełościach R od jej środka O w wierzchołkach trójkąta równoboczneo. Oś łówna bezwładności bryły powinna pokrywać się z osią tarczy OO (rys. ).

9 WYZNACZANIE PRZYSPIESZENIA ZIEMSKIEGO 9 Rys.. Przyrząd do wyznaczania momentów bezwładności JeŜei obrócimy tarczę o niewieki (kika stopni) kąt φ, to punkt C zajmie połoŝenie D, a środek cięŝkości zawieszonych mas podniesie się o niewieki odcinek z. JeŜei teraz puścimy tarczę, będzie ona wykonywać drania o okresie: T R I + I m + m 0 0 = π = C (.3) 0 I + I m + m 0 dzie: m 0 - masa tarczy I 0 - moment bezwładności pustej tarczy Wzór ten wynika bezpośrednio z zapisania druieo prawa Newtona ruchu obrotoweo da układu tarczy. Gdy obrócimy tarczę o pewien kąt φ, nitki odchyą się od pionu w przybiŝeniu o kąt β=φr/. Na odchyone nitki działa siła rawitacji pochodząca od tarczy i badaneo ciała. Siła ta wyznacza składową pionową napręŝenia nici. Da małych wychyeń, składowa ta jest prawie równa całkowitemu napręŝeniu nici. Z koei składowa pozioma napręŝenia równa jest napręŝeniu, przemnoŝonemu przez sinβ. Stąd, druie prawo Newtona da teo układu to

10 WYZNACZANIE PRZYSPIESZENIA ZIEMSKIEGO 0 Iε = Rm sin β Iε Rmβ R Iε Rm ϕ d ϕ m R ϕ dt I Ostatnie równanie jest równaniem oscyatora harmoniczneo wzędem φ. W równaniu takim, współczynnik stojący przy -φ po prawej stronie to kwadrat częstości koowej ω. Wobec teo, ω = π T = R π T I M m = R I Da znanych wartości R i moŝemy obiczyć stałą π C =, a następnie moment R bezwładności pustej tarczy I 0 z równania: m0r0 I 0 = (.4) Następnie mierząc T wyiczamy I ze wzoru (.3). Wyznaczamy moment bezwładności drewnianeo prostopadłościanu wzędem jednej z łównych, centranych osi bezwładności i porównujemy wiekość otrzymaną z wiekością obiczoną na podstawie pomiarów dłuości krawędzi i masy (rys..). Rys.. Prostopadłościan z wymiarami potrzebnymi do obiczenia momentu bezwładności Moment bezwładności jednorodneo prostopadłościanu (rys..) o masie m wzędem osi OO prostopadłej do krawędzi W i L wynosi:

11 WYZNACZANIE PRZYSPIESZENIA ZIEMSKIEGO ( W ) I = m L + (.5 Anaoicznie naeŝy poiczyć moment bezwładności da staoweo prostopadłościanu oraz drewnianeo krąŝka (rys..3) Moment bezwładności waca o promieniu r jest równy: mr I = (.6) Rys. 3Waec z wymiarami potrzebnymi do obiczenia momentu bezwładności Pomiary okresu T naeŝy przeprowadzić sześć razy da kaŝdeo rodzaju bryły sztywnej. Dane naeŝy umieścić w tabei..3 Wyniki, obiczenia i anaiza błędów Da danych zebranych w tabei. obiczamy średnie wartości pomiaru i błąd metodą róŝniczki zupełnej. Tabea. Typ ciała (np. metaowy waec, drewniany waec, metaowy prostopadłościan) Czas [s] Okres T [s] T = (.7) n n T i i=

12 WYZNACZANIE PRZYSPIESZENIA ZIEMSKIEGO Po obiczeniu I z równania (.3) naeŝy obiczyc niepewność pomiaru złoŝoneo z wzoru: di I I I I = dt + d + dr + dr0 (.8) T d dr R0 Końcowy wynik naeŝy podac w postaci: I = I ± di (.9) Porównaj moment bezwładności uzyskaneo z danych eksperymentanych z wiekością obiczoną na podstawie pomiarów dłuości krawędzi i masy..4 Pytania. PokaŜ, Ŝe moment bezwładności jednorodnej tuei (wydrąŝoneo waca) o wewnętrznym promieniu R, zewnętrznym promieniu R i masie M jest równe I M ( R + R ) = przy załoŝeniu, Ŝe oś obrotu pokrywa się z osią symetrii.. Na czym poea zasada zachowania momentu pędu? 3. Wyprowadź i wyjaśnij pojęcie enerii kinetycznej w ruchu obrotowym. 4. Zdefiniuj moment siły. Gdzie moŝemy wykorzystać moment siły? 5. Wyprowadź wzór na pracę i moc da ciała obracająceo się wokół ustaonej osi. 6. Omów miary bezwładności w ruchu postępowym i obrotowym. 7. Wyprowadź i omów równanie oscyatora harmoniczneo wzędem φ 8. Podaj i omów twierdzenie Steinera. 9. Co to jest bryła sztywna? 0. Omów podstawowe prawa dynamiki bryły sztywnej..5 Literatura. S.Szczeniowski, Fizyka Doświadczana, Część I, Mechanika i Akustyka,PWN, Warszawa, 980. J.Orear, Fizyka, Tom I, PWN Warszawa R.Resnick, D.Haiday, Fizyka, PWN, Warszawa, H.Szydłowski, Pracownia fizyczna, PWN, Warszawa, Douas C.Giancoi, Physics for Scientist & Enineers,Prentice Ha, 000