Ćwiczenia IV i V. 1 Rozwiązanie: Π. średnia liczba obsługiwanych klientów: 6.67 w ciągu godziny = Π1

Transkrypt

1 Ćwiczeia IV i V We wszystkich poiższych zadaiach ależy przyjąć, że zgłoszeia (lub ich odpowiediki) przychodzą zgodie z rozkładem Poissoa, a czasy obsługi podlegają rozkładowi wykładiczemu. Zadaia r i pochodzą z książki Roberta Coopera: "Itroductio to Queueig Theory".. Proszę arysować grafy przejść i apisać macierze itesywości dla poiższych systemów kolejkowych : a. M/M/ b. M/M/ c. M/M/N d. M/M/ e. M/M//N f. M/M//8 g. M/M/N/N/N h. M/M///N i. M/M//5/ W przypadkach ieskończoej liczby źródeł geerujących zgłoszeia (podpukty a f), ależy przyjąć, że sumarycza itesywość zgłoszeń jest rówa. Gdy liczba źródeł geerujących zgłoszeia jest skończoa (podpukty g, h, i), każde ze źródeł geeruje zgłoszeia o średiej itesywości (czyli p. źródeł będzie geerować zgłoszeia o sumaryczej itesywości ). Itesywość obsługi pojedyczego staowiska obsługi jest rówa.. Do zakładu pucybuta przychodzi średio klietów w ciągu godziy. Czyszczeie butów trwa średio 6 miut. W zakładzie są dwa krzesła, ale tylko jede pucybut. Klieci, którzy widzą, że oba krzesła są zajęte (jede kliet obsługiway, drugi czeka) odchodzą. Proszę arysować graf przejść opisujący te system kolejkowy i obliczyć prawdopodobieństwa wszystkich możliwych staów. Proszę też zaleźć średią liczbę klietów obsługiwaych w ciągu godziy. W drugie kolejości, proszę rozwiązać to samo zadaie dla zakładu, w którym pucybut ma pomocika. Rozwiązaie: średia liczba obsługiwaych klietów: 6.6 w ciągu godziy W drugim przypadku:, 5 5 średia liczba obsługiwaych klietów: 8 w ciągu godziy

2 . a. Rozważmy system kolejkowy z pojedyczym serwerem (staowiskiem obsługi) i ieskończeie długim buforem (ieograiczoą pojemością systemu). Załóżmy, że itesywość zgłoszeń zależy od stau systemu i jest rówa j. Itesywość j + obsługi jest rówa. b. Rozważmy system o ieskończoej liczbie staowisk obsługi. Całkowita itesywość zgłoszeń jest rówa, a itesywość obsługi każdego serwera. c. Do systemu z pojedyczym serwerem i ieskończoą pojemością przychodzą zgłoszeia z itesywością. Nadchodzące zgłoszeie, gdy widzi, że w systemie jest już zgłoszeń rezyguje z prawdopodobieństwem. Itesywość obsługi jest rówa. + We wszystkich trzech przypadkach proszę obliczyć prawdopodobieństwo, że system jest w staie i średią ilość zgłoszeń jedocześie przebywających w systemie. Dla podpuktu c proszę policzyć rówież średie prawdopodobieństwo, że przychodzące zgłoszeie zrezyguje z wejścia do systemu. Rozwiązaie: Odpowiedzi dla wszystkich trzech podpuktów są takie same: ( )! e, L Dla podpuktu c, prawdopodobieństwo rezygacji: P + e 4. Na stacji bezyowej stoją dystrybutory paliwa. Obsługa przy każdym z ich trwa średio miuty. Na stację przyjeżdża średio 4 samochodów w ciągu godziy, wszystkie karie czekają a swoją kolej. Proszę arysować graf przejść opisujący tę sytuację i obliczyć prawdopodobieństwo, że a stacji ie ma żadego samochodu Do cetrali telefoiczej w małej firmie przyłączoych jest pracowików. Każdy z ich średio razy a godzię próbuje zadzwoić poza firmę, rozmowy trwają średio miuty. Cetrala ma łącza wyjściowe. Proszę obliczyć prawdopodobieństwo, że w daej chwili dokładie dwa łącza wyjściowe będą zajęte. 9 9

3 6. Z pojedyczego serwera bazy daych korzysta osób. Każda osoba geeruje pytaie do serwera, czeka a odpowiedź, astępie odczekuje średio miut i geeruje astępe pytaie. Obsługa każdego pytaia trwa średio 5 sekud. Proszę arysować graf przejść i podać zależość a prawdopodobieństwo, że serwer jest woly.! 4 ( )!. Do wyroczi w Delfach tłumie przybywają ludzie średio osób a dobę i czekają w wielkim ogoku. Ziecierpliwioa wyroczia stara się ich szybko załatwić i mieć choć chwilę wolego. Średio, z jedą osobą rozmawia sekud. Ile czasu wolego pozostaje jej średio w ciągu każdej godziy? Jak długi przeciętie jest ogoek? Odpowiedzi : Czas woly wyroczi sekud w ciągu godziy Ogoek średio osoby 8. W systemie operacyjym uruchomioo właśie proces wyszukiwaia wirusów. Proces te średio co sekud (czas day rozkładem wykładiczym) zajduje plik, który potecjalie może być zarażoy. Natychmiast po zalezieiu każdego takiego pliku uruchamiay jest dodatkowy pod-proces, który sprawdza ów plik i usuwa ewetualego wirusa trwa to statystyczie miuty (czas day rozkładem wykładiczym). Proszę podać prawdopodobieństwo, że w daej chwili działa pod-procesów sprawdzających zaifekowae pliki. 6 6 e! 9. Na tydzień przed urodziami króla Fracji, pa de Treville postaowił sprawdzić formę podległych mu muszkieterów i przy okazji dać im małą lekcję fechtuku. Atos, Portos, Aramis i d Artaga zostali poproszei o stawieie się a placu treigowym i przeprowadzeie krótkiej walki sparigowej z każdym muszkieterem. Muszkieterowie zaczęli schodzić się z samego raa, średio 9 a godzię, w razie potrzeby ustawiając się w kolejce. Czterech fechmistrzów pracowało w pocie czoła, dając lekcje szermierki trwające średio miuty. Proszę podać prawdopodobieństwa wszystkich staów tego systemu. Jaka jest średia liczba muszkieterów ćwiczących jedocześie? Odpowiedzi : 5, 6 5, 9 9 5, dla > : 5 4 Średia liczba ćwiczących muszkieterów jest rówa (lub 6 przy uwzględieiu fechmistrzów).

4 . Siedmiu krasoludków zadręcza królewę Śieżkę prośbami o opowiadaie bajek. Co gorsza, każdy krasal lubi ie bajki i propozycje iych karzełków zupełie go ie iteresują. Królewa jest cierpliwa, wszystkie prośby zapamiętuje i realizuje po kolei. Niecierpliwe krasale Śieżka ucisza groźym i tajemiczo brzmiącym okrzykiem FIFO!. Z koieczości, przy tak dużej liczbie chętych, bajki są krótkie trwają średio 4 miuty. Każdy karzełek średio co godzię żąda owej opowieści, chyba, że akurat słucha swojej bajki lub jego propozycja czeka w kolejce. Proszę arysować graf przejść opisujący ciężki żywot królewy oraz obliczyć prawdopodobieństwo, że Śieżka ma chwilę wolą a malowaie pazokci. Proszę też policzyć ile bajek królewa opowiada średio w ciągu godziy. Rozwiązaie :! Średia liczba bajek a godzię : (/5) ( )! ( ) 5! (/5) ( )!. Polska, lata -te PRL w pełej krasie. W sklepie a Krakowskim Przedmieściu tylko ocet i zapałki. Dwie aburmuszoe sprzedawczyie ie śpieszą się z obsługą klietów każda z ich załatwia pojedyczego klieta średio w miuty. Na szczęście, ie ma też wielu chętych a zakupy, przeciętie osób a godzię. W razie potrzeby, klieci cierpliwie czekają a swoją kolej. Proszę arysować graf przejść i macierz itesywości opisujące te system i podać zależość a prawdopodobieństwo, że system jest w staie. Rozwiązaie :, dla > : 4. Rzeką Jeisej a Syberii spływają wielkie bale drewa średio 4 w ciągu doby. Trzy łodzie z ekipami z pobliskiego tartaku pracują bez przerwy, łapiąc owe bale i odholowywując je do brzegu. Holowaie pojedyczej kłody zajmuje średio miut. Proszę arysować graf przejść opisujący te system i obliczyć prawdopodobieństwa wszystkich jego staów. Proszę też policzyć średią liczbę ekip holujących kłody. Rozwiązaie : 9, 6 9, 6 9, 4 9 Średia liczba ekip holujących kłody : L 9

5 . Proszę rozważyć system kolejkowy, który ie ma bufora, ale posiada ieskończeie wiele staowisk obsługi każde z ich obsługuje zgłoszeia średio przez sekud. Zgłoszeia przychodzą do systemu ze średią itesywością 4/miutę. Proszę arysować macierz itesywości opisującą te system i policzyć prawdopodobieństwa wszystkich jego staów. Proszę też podać średią liczbę zgłoszeń zajdujących się w systemie. Odpowiedzi: e!, N. 4. Serwer baza daych posiada staowiska obsługi (a każdym z ich zgłoszeie przetwarzae jest przeciętie przez 5 miut) i bufor zdoly pomieścić jeszcze zgłoszeia. Użytkowików serwera jest tylko czterech każdy z ich wysyła swoje zgłoszeie, a po otrzymaiu odpowiedzi czeka średio miut i dopiero wtedy wysyła koleje zgłoszeie. Proszę arysować macierz prawdopodobieństw i obliczyć prawdopodobieństwa wszystkich staów systemu. Proszę też policzyć, jak często (średio) obsłużoe zgłoszeia opuszczają system? Odpowiedzi: 6, 4 6, 8 6, 6 6, Obsłużoe zgłoszeia opuszczają system ze średią częstotliwością a godzię. 6 Uwaga : zadaie z sezou. Wciąż jeszcze aktuale Mamy EURO! W Polsce obłęd: każdy już teraz chce kupić bilet. Polski Związek Piłki Nożej staął a wysokości zadaia a Stadioie Dziesięciolecia otwarto trzy pukty sprzedaży biletów. Kibice doceiają zaagażowaie władz polskiej piłki, tłumie schodzą się a Stadio i ustawiają w jedej wielkiej kolejce. Zakładając, że obsługa jedego kibica przy okieku trwa średio sekud, a chętych przybywa średio ośmiu a miutę, proszę arysować graf staów opisujących te system i policzyć prawdopodobieństwo, że w daej chwili puktów sprzedaży jest wolych, oczekując a kibiców. Proszę rówież policzyć średi odstęp czasu jaki mija między dwoma kibicami wychodzącymi ze Stadiou z kupioymi biletami. Odpowiedzi: Prawdopodobieństwo puktów wolych: P, P 8, P, P 56. Średi odstęp czasu między dwoma wychodzącymi kibicami:.5 sekudy.