Optymalizacja. doc. dr inż. Tadeusz Zieliński r. ak. 2013/14. Metody komputerowe w inżynierii komunikacyjnej. ograniczenie kosztów budowy.

Transkrypt

1 koszty optimum ograniczenie kosztów budowy Metody komputerowe w inżynierii komunikacyjnej Optymalizacja koszty całkowite koszty budowy koszty eksploatacji zła jakość rozwiązania dobra doc. dr inż. Tadeusz Zieliński r. ak. 2013/14

2 Układ wykładu podstawy teoretyczne wiadomości podstawowe optymalizacja według jednego kryterium optymalizacja wielokryterialna metody poszukiwania ekstremum podsumowanie zastosowanie optymalizacji w projektowaniu dróg historia obecny zakres zastosowania literatura

3 Wiadomości podstawowe optymalizacja wybór najlepszego rozwiązania według zadanego kryterium dwa rodzaje zagadnień optymalizacyjnych: 1. wybór najlepszego z n rozpatrywanych wariantów (quasi-optymalizacja) podejście praktyczne analiza wielokryterialna 2. ustalenie ekstremum funkcji celu (funkcji optymalizującej) podejście czysto matematyczne podstawowe znaczenie mają kryteria optymalizacji: optymalizacja według jednego kryterium 1 funkcja celu optymalizacja wielokryterialna (polikryterialna) > 1 funkcja celu

4 Wiadomości podstawowe Matematyczne sformułowanie problemu określenie zmiennych decyzyjnych, czyli wielkości występujących w rozwiązywanym problemie, których wartości poszukujemy (np.: wymiary elementów, współrzędne punktów, promienie łuków, pochylenia niwelety): x 1, x 2,..., x n n liczba zmiennych decyzyjnych określenie dopuszczalnego obszaru rozwiązań (warunków brzegowych), tzn. obszaru w którym muszą mieścić się zmienne decyzyjne: g j (x 1, x 2,..., x n ) 0 dla j= 1, 2,... m m liczba warunków utworzenie funkcji celu, czyli kryterium określającego jakość rozwiązania: f c = f (x 1, x 2,..., x n ) miara jakości rozwiązania = f (parametrów rozwiązania) problem sprowadza się do: wybrania kryterium i zbudowania funkcji celu znalezienia rozwiązania przy zadanych ograniczeniach

5 koszty optimum ograniczenie kosztów budowy Podstawy teoretyczne Optymalizacja według jednego kryterium najczęstszym kryterium są koszty całkowite: K c = K b + K e koszty całkowite koszty budowy koszty eksploatacji zła jakość rozwiązania dobra

6 poziom przydatności eksploatacyjnej Podstawy teoretyczne Optymalizacja według jednego kryterium tendencja do uwzględniania zmienności w czasie poziomu przydatności eksploatacyjnej uogólniona postać kryterium kosztów całkowitych: K c = K b [Q, P(Q,t)] + K e [Q, P(Q,t)] gdzie: K c koszty całkowite K b koszty budowy K e koszty eksploatacji Q obciążenie użytkowe P przydatność (jakość) obiektu w procesie eksploatacji t czas eksploatacji trudno wykorzystać taką postać funkcji, bo zależność P(t) jest trudna do określenia (często nieznana) P3(t) P2(t) P1(t) projektowany okres eksploatacji b. dobry dobry ograniczony nieprzydatny t czas eksploatacji

7 Optymalizacja według jednego kryterium ostatnio tendencja do przejścia na kryteria bardziej ogólne typu: energia całkowita globalny rachunek energii zużytej na budowę i używanej w czasie eksploatacji (żmudne i pracochłonne, trudno precyzyjnie wyliczyć) zadowolenie społeczne na razie teoria, bo trudno zapisać funkcję celu

8 Optymalizacja wielokryterialna zagadnienie znacznie bardziej skomplikowane stosuje się następujące sposoby rozwiązania: 1. część kryteriów redukuje się zmieniając je na warunki ograniczające dopuszczalny obszar rozwiązań, tzn. zamiast osiągania ekstremum dla jakiejś cechy przyjmuje się pewien minimalny sposób jej spełnienia (np.: zamiast minimum zużycia benzyny, warunek zużycia od dopuszczalnego) 2. sprowadza się do jednej funkcji celu: f c = w 1 f c1 + w 2 f c2 + w 3 f c w i f ci gdzie: w i przyjęte a priori wagi; wynikają ze znaczenia poszczególnych, cząstkowych kryteriów f ci 3. przypisanie poszczególnym kryteriom różnych priorytetów, wymaga się, aby rozwiązanie optymalne spełniało z największą dokładnością kryterium 1, następnie kryterium 2, potem kryterium 3 itd.

9 Metody poszukiwania ekstremum rachunek różniczkowy programowanie liniowe programowanie dynamiczne przeszukiwanie obszaru rozwiązań

10 Metody poszukiwania ekstremum Rachunek różniczkowy aby znaleźć ekstremum funkcji celu trzeba policzyć: y ekstremum funkcji znajduje się tam, gdzie y = 0 y : maksimum gdy: y < 0 minimum gdy: y > 0 aby można było policzyć pochodne muszą być spełnione 4 warunki

11 Metody poszukiwania ekstremum Rachunek różniczkowy warunki wykonania obliczeń funkcja celu jest określona analitycznie w obszarze możliwych rozwiązań: musi być zapisana w postaci wyrażenia y = f(x) w praktyce często niespełnione, bo niektóre parametry funkcji celu określone z tablic, z wyników pomiarów lub opisane inaczej (np. klotoida rozwinięcie w szereg) ekstremum leży wewnątrz analizowanego obszaru: f c max f c min x min x max w praktyce często leży na krawędzi obszaru i y 0 funkcja celu ma ciągłą pierwszą pochodną: f c f c min x w praktyce często niespełnione równania otrzymane z różniczkowania funkcji są rozwiązywalne: nieraz nie jest spełnione dla skomplikowanych postaci funkcji celu wniosek: w praktyce inżynierskiej rachunek różniczkowy najczęściej nieprzydatny

12 Metody poszukiwania ekstremum Programowanie liniowe warunek stosowania funkcja celu i funkcje opisujące warunki brzegowe są liniowe zasady szczegółowe: obszar dopuszczalnych rozwiązań jest wypukły funkcja celu osiąga ekstremum w punkcie wierzchołkowym zbioru możliwych rozwiązań metoda rozwiązania: wyznaczyć wierzchołki wieloboku (wielościanu) dopuszczalnych rozwiązań obliczyć dla tych punktów wartości funkcji celu wybrać wartość ekstremalną w praktyce inżynierskiej: bardzo rzadko są to funkcje liniowe czasami upraszcza się je do opisu liniowego stosowane w ograniczonym zakresie przykład dla 2 zmiennych decyzyjnych

13 Metody poszukiwania ekstremum Programowanie dynamiczne warunki stosowania: funkcja celu ma postać sumy funkcji od poszczególnych zmiennych decyzyjnych, czyli w funkcji celu zmienne decyzyjne nie występują wspólnie w jednym składniku, np.: może być postać: ax bx 1 + cx 2 3 nie może być: a x 1 x 2 tzn. funkcja celu ma postać: n f c = f j (x i ) j=1 gdzie: f j (x i ) dowolna funkcja w zasadzie najwyżej jeden warunek brzegowy (w praktyce bardzo mało); przy 2 rozwiązanie bardzo się komplikuje dla tych ograniczeń wniosek rozwiązanie można znaleźć poszukując oddzielnie ekstremów ze względu na każde x j w praktyce inżynierskiej stosuje się do rozwiązania problemu komiwojażera (zagadnienia transportowego)

14 Metody poszukiwania ekstremum Przeszukiwanie obszaru rozwiązań zasada oblicza się funkcję celu dla wybranych wartości zmiennych decyzyjnych zbiór wartości f c ekstremum f c zaleta nie ma warunków stosowania (lub są bardzo delikatne) różne metody przeszukiwania: systematyczne (regularne) losowe z kluczem kombinowane

15 Metody poszukiwania ekstremum Przeszukiwanie obszaru rozwiązań Systematyczne (regularne) zasada: ustala się Δ x i dla każdej zmiennej decyzyjnej x i oblicza się wartości f c dla wszystkich możliwych kombinacji liczba kombinacji bardzo silnie ze liczby zmiennych decyzyjnych i ew. Δ x i stosuje się automatyczną zmianę kroku (rozwiązanie wielostopniowe): duży krok wybranie podobszaru z obszaru dopuszczalnych rozwiązań dla tego podobszaru mniejszy krok zmniejszenie obszaru poszukiwań itd. wada teoretycznie można zgubić ekstremum, jeśli było między węzłami pierwotnej siatki

16 Metody poszukiwania ekstremum Przeszukiwanie obszaru rozwiązań Losowe zasada wartości zmiennych decyzyjnych dobiera się losowo według zadanych rozkładów prawdopodobieństwa; dla tych wartości oblicza się funkcję celu często stosuje się metodę Monte-Carlo; przykład zastosowania metody do obliczenia powierzchni dla niecałkowalnej (nieciągłej) funkcji: F dolnej części = n dolnych n wszystkich F prostokąta wada wolna zbieżność wyników z reguły stosuje się do wyznaczenia rozwiązania przybliżonego, wokół którego poszukuje się ekstremum inną metodą

17 Metody poszukiwania ekstremum Przeszukiwanie obszaru rozwiązań Z kluczem zasada następny punkt poszukiwań zależy od wartości funkcji celu w punkcie poprzednim: przeszukiwanie siatki w kierunku ekstremalnej wartości: oblicza się funkcje w sąsiednich węzłach i przechodzi się do węzła o lepszej wartości funkcji wada można znaleźć ekstremum lokalne przeszukiwanie w kierunku największego spadku: ekstrapoluje się wyniki obliczenia funkcji celu w małym obszarze, poszukuje się rozwiązania w kierunku, gdzie Δf = max nie zawsze da się stosować

18 Metody poszukiwania ekstremum Przeszukiwanie obszaru rozwiązań Kombinowane np. losowo-systematycznie metoda losowania na kuli i wyboru kierunku: losuje się punkt P 1 f c (P 1 ) na kuli o promieniu R losowo wybieramy punkty P R, aż: f c (P R ) < f c (P 1 ) jeśli szukamy minimum przeszukujemy prostą P 1 P R systematycznie, szukając P i takiego, że f c (P i ) = min P i staje się środkiem kuli itd.

19 Podsumowanie najistotniejsze jest określenie kryterium optymalizacji: nie ma rozwiązań najlepszych pod każdym względem, jest optymalne pod względem jakiegoś kryterium ogromne znaczenie doboru funkcji celu jest to istotniejsze od bardzo precyzyjnego określenia położenia ekstremum funkcji, ponieważ korzystniejsze jest ustalenie przybliżonego położenia ekstremum właściwej funkcji celu niż bardzo dokładne dla niewłaściwej funkcji (był opracowany program do optymalizacji niwelety ze względu na minimalizację robót ziemnych w przekroju) kryterium minimum kosztów jest w praktyce określane bardzo nieprecyzyjnie, opiera się na nieścisłych danych konieczność analizy czułości (wrażliwości)

20 Zastosowanie optymalizacji w projektowaniu dróg Historia 3 etapy rozwoju poszukiwań najlepszych rozwiązań: 1. wybór wariantu rozwiązania na wstępnym etapie 2. bardziej szczegółowe rozwiązanie kilku wariantów (możliwe dzięki zastosowaniu komputerów) wybór najlepszego; w Polsce trochę teoria, główny nacisk na tempa, a nie jakości rozwiązań 3. optymalizacja drogownictwo na świecie jest na granicy 2 i 3 etapu; zależy od dziedziny: projektowanie geometryczne 2 etap (optymalizacja stosowana tylko dla niwelety) projektowanie nawierzchni bliżej 3 etapu świat: W. Brytania system HOPS Francja system Apollon (SETRA) RFN system EPOS Polska: Politechnika Wrocławska optymalizacja niwelety Politechnika Warszawska: optymalizacja niwelety prace dyplomowe optymalizacja łącznic na węzłach praca doktorska

21 Zastosowanie optymalizacji w projektowaniu dróg Obecny zakres zastosowania optymalizuje się: konstrukcje obiekty, nawierzchnię; najszersze zastosowanie geometrię drogi: niweletę (najczęściej, bo stosunkowo najprostsza); rzadko trasę: etap wstępnej lokalizacji korytarz; rzadko ścisła lokalizacja nieudane próby (system HOPS) łącznie trasę + niweletę praktycznie nie wyszło poza fazę wstępnych prac (system HOPS) wykonawstwo: minimalizacja kosztu robót ziemnych (optymalizacja przewozów skąd dokąd ) minimum czasu budowy przy ograniczonych środkach; powszechne

22 Literatura Basiewicz T. Procesy optymalizacyjne w projektowaniu dróg komunikacyjnych, sympozjum Nowoczesne metody projektowania dróg komunikacyjnych, Muszyna, 1974 Kuś S. Projektowanie optymalne, Problemy Projektowania Dróg i Mostów (PPDiM) 1/78 Stańczyk S. Numeryczne rozwiązania zagadnień optymalizacji, PPDiM 2/72 Pownug P. Metodyka optymalizacji projektowania elementów trasy drogi, Raport Instytutu I. L. Pol. Wrocławskiej, praca doktorska, PRE nr 76/83 Domaradzki S. Optymalizacja niwelety trasy drogowej ze względu na koszt robót ziemnych, praca dyplomowa 1983 Zieliński L. Optymalizacja niwelety, praca dyplomowa na studium podyplomowym, 1976