Model Sommerfelda elektrony w pudle

Transkrypt

1 Model Sommerfelda elektrony w pudle

2 Metody pasmowe - LDA n( r ) E[ n( r )] Zjawiska, właściwości

3 Model jellium n (z) n dla z 0 0 dla z 0 a z Oscylacje Friedela o długości : n ( z) n r s =5 k F 2, kf (3 n ) 1 3 r s =2 (4 / 3) r 3 s 1/ n z/a

4 A quantum corral of 60 Fe atoms assembled and viewed on Cu(001) by STM at 4K. The tip imaging parameters are (a) V t =+10 mv and (b) -10 mv, with current I=1 na ((after Crommie et al., IBM Almaden, 1995)

5 Model jellium Powierzchniowy moment dipolowy n ( z) n r s =5 + Praca wyjścia Energia powierzchniowa 1000 Al Zn Mg r s =2 z/a (erg/cm 3 ) Li Na K Rb Cs 0 r s -500

6 Pochodzenie stanów powierzchniowych - od elektronów zlokalizowanych przy powierzchni - defektów - atomów domieszek Zerwanie periodycznego potencjału kryształu na jego powierzchni (J.Tamm-1932) prowadzi do innych warunków brzegowych niż w przypadku nieskończonego kryształu Powstają stany powierzchniowe od zlokalizowanych elektronów

7 Jednowymiarowa teoria pasmowa - metale Model prawie swobodnych elektronów dla 1D łańcucha atomów - zaniedbywanie oddziaływań elektron-elektron - LDA (przybliżenie lokalnej gęstości stanów) - potencjał pochodzi tylko od rdzeniów jonowych - gruba bariera powierzchniowa z = 0 łańcuszek atomów a V 0 z

8 Aby otrzymać stany powierzchniowe należy rozwiązać równanie Schrödingera 2 2m d dz 2 2 V ( z) ( z) E ( z), gdzie V(z) = -V 0 + 2V 1 cos(gz), g = 2/a - najkrótszy wektor sieci odwrotnej łańcucha Dla układu z powierzchnią (z) składa się z dwóch fal płaskich ( z ) Ae ikz Be i ( k g ) z

9 0, ) ( ) ( 2 ) ( B A V k E g k m V V V k E k m Po wstawieniu funkcji do równania Schrödingera otrzymujemy warunek: który daje : ) ( ) 1/2 ( V k g k g V E cos( 2 1 ) gz e ikz

10 Dozwolone stany energii EV 0 ( g) k ( g k V1 ) 2 Warunek periodyczności wymusza istnienie przerwy wzbronionej

11 Rozwiązując dla powierzchni Dla k = ik kz ( z) e cos( 2 ( z) e qz 1 g ) z < a/2 z > a/2 gdzie q 2 V 0 E Musimy mieć ciągłość funkcji i jej pochodnej warunek ten jest spełniony tylko dla V 1 >0

12 z = 0 a Funkcja falowa stanu powierzchniowego V 0 z Energia stanu powierzchniowego leży w przerwie wzbronionej Stany Schockley a Elektrony są zlokalizowane przy powierzchni, stany powstają dzięki przecięciu pasm energetycznych w małych odległościach międzyatomowych i są wynikiem silnego oddziaływania między atomami

13 Trójwymiarowa teoria pasmowa - metale Lokalna gęstość stanów (LDOS), E) zależy od liczby koordynacyjnej z Drugi moment LDOS, E) ( E) E 2 de z S - 2 B S S - 1 E

14 Magnetyczne efekty na powierzchi i w cienkich warstwach Złamana symetria translacyjna Anizotropia: kształtu magnetokrystaliczna powierzchniowa Zmodyfikowane momenty magnetyczne T= 0 T > 0 Sprzężenie międzywarstwowe Powierzchniowe i rozmiarowe przejścia fgazowe

15

16 Splitting of the virtual impurity state depends on the ratio: U Δ Coulomb integral width of the virtual state

17 Formation of magnetic moments on Fe impurities in a transition metal host Ti V Cr Zr Nb Mo Hf Ta W T. Beuerle, K. Hummler, M. Fähnle, C. Elssäser, Phys. Rev. B (1994)

18 According to the Stoner - Wohlfahrt theory, magnetism and magnetic order depends on the criterion: JN(E F )>1. Question: how does this criterion depend on the chemical elements and the dimensionality of the system; can it be modified? The exchange integral depends on the d-band of the transition metals and is different for 3d, 4d, and 5d elements. The exchange integral is a question of overlap of the d-wave functions which decreases from 3d to 5d elements. In general: J 3d > J 4d > J 5d

19 The density of states at the Fermi level depends on the width of the d-band roughly like: with N(E F )~1/W d W 2 d h d N = coordination number, h d hopping matrix element of the d-electrons nearest neighbours. h d depends on the transition metal and scales reciprocal with the localization of the wave function: h 3d < h 4d < h 5d Therefore, for equal coordination: W 3d < W < W 4d 5d N(E F ) 3d > N(E F ) > N(E 4d F ) 5d We can decrease W d by reducing the coordination number. N

20

21 Band width of metals W: N(E F ) 1/W

22 Characteristic values for N: bulk surface isolated film fcc bcc sc For an fcc 3d metal the density of states at the Fermi-level increases with reduction of N: N(E F ) ML : N(E F ) 001-surface : N(E F ) bulk =1.73:1.22:1 This affects the magnetic moment. Example: Ni (using always the same nearest neighbour distance): N m ( B )

23

24

25

26 Fe V 2.2 B 0 B -0.4 B 1.4 B 2.2 B 1.4 B -0.4 B

27 1. Isolated monolayers: Due to the reduced co-ordination number in the monolayer, the magnetic moment increases. Calculated moments for some examples of monolayers, assuming same atomic distance as in the bulk: structure m ( B ), Vol m ( B ), Surf. Cr bcc Fe bcc Ni fcc

28 2. Magnetic monolayer on a paramagnetic (diamagnetic) substrate Two effects have to be considered: reduction of band width due to reduced co-ordination, like the case for the monolayer; hybridisation with the bands of the substrate. Hybridisation usually causes band expansion, such that the density of states decreases at the Fermi level. However, hybridisation of magnetic monolayers on noble metal substrates is weak since the d-band of the noble metals lies several ev below the Fermi level. Therefore, magnetic monolayers on Cu, Ag, and Au behave (theoretically) similar to isolated monolayers.

29 Ferromagnet: E Noble metal: E E F E F N(E) N(E) Example: Fe atom 4 Fe ML 3.4 Fe on Ag 3.0 Fe bulk 2.2 m ( B )

30 3. Surface of ferro- or antiferromagnets Is the Stoner enhancement bigger at the surface of ferromagnets? Reduced coordination helps again. However, for an enhancement there must be enough holes in the minority-band. Therefore the effect should be weaker for Co and Ni than for Fe and Cr. Very large effect for Cr p(1x1) surface with a moment of B Cr-surface: topological antiferromagnet with enhanced magnetic moment:

31

32

33

34

35

36

37

38

39 Origin of the magnetic anisotropy in thin films izotropic Magnetic dipolar anisotropy (shape anisotropy)

40 Magnetic dipolar anisotropy (shape anisotropy) M - magnetization vector, N - shape-dependent demagnetizing tensor For a thin film, all tensor elements are zero except for the direction perpendicular to the layer: in ultrathin limit: N n N n

41

42 Microscopic sources of MAE: (a) the dipole dipole interaction: (b) the spin orbit coupling:

43

44 Characteristic energies of a metallic ferromagnet.

45

46

47

48

49

50

51

52