ZESZYTY NAUKOWE WYDZIAŁU ELEKTRONIKI, TELEKOMUNI- KACJI I INFORMATYKI POLITECHNIKI GDAŃSKIEJ Nr 9 Seria: ICT Young 2011

Transkrypt

1 ZESZYTY NAUKOWE WYDZIAŁU ELEKTRONIKI, TELEKOMUNI- KACJI I INFORMATYKI POLITECHNIKI GDAŃSKIEJ Nr 9 Seria: ICT Young 2011 IMPLEMENTACJA PROGRAMOWA I BADANIE KWATERNIONOWEGO SYSTEMU KRYPTOGRAFICZNEGO Mariusz Dzwonkowski, Roman Rykaczewski Politechnika Gdańska, Wydział ETI, ul. Narutowicza 11/12, Gdańsk Streszczenie W pracy przedstawiono zastosowanie kwaternionów w dziedzinie szyfrowania danych. Opisywana metoda szyfrowania opiera się na kwaternionowej rotacji przestrzennej wektora danych względem kwaternionu-klucza i może zostać zrealizowana na dwa sposoby. Pierwszy skupia się na obliczeniu macierzy rotacji i przeprowadzeniu szyfrowania jako mnożenia macierzowego, drugi natomiast realizuje rotację kwaternionową zgodnie z rachunkiem kwaternionowym. Pokazano, że dzięki dużej szybkości działania, szyfrowanie kwaternionowe może być wykorzystane w kryptografii symetrycznej dla bezprzewodowej transmisji danych. Dodatkowo pokazano możliwość uzupełnienia szyfru kwaternionowego opcjonalnymi metodami wstępnego przekształcenia danych zwiększającymi skuteczność szyfrowania. 1. WSTĘP Bezpieczeństwo przesyłania informacji przez niezabezpieczone kanały staje się problemem skupiającym coraz większą uwagę. Ponieważ liczba metod, pozwalających na przechwycenie transmitowanych danych wzrasta bardzo dynamicznie, zatem ciągle poszukuje się skutecznych sposobów, aby utrudnić/uniemożliwić przeprowadzenie potencjalnych ataków ze strony osób trzecich. Dla zapewnienia poufności informacji stosowane są powszechnie systemy kryptograficzne. W pracy [1] zaproponowano wykorzystanie szyfrowania kwaternionowego w asymetrycznym systemie kryptograficznym, lecz zaproponowany przez autorów tej publikacji system nie jest w istocie asymetryczny, gdyż nie występuje tam klucz publiczny i klucz tajny. Szyfrowanie kwaternionowe opisane w [1] wykorzystuje szczególne właściwości kwaternionów do szybkiego przeprowadzania obrotów (rotacji) wektorów danych. W prezentowanej pracy zbadano kwaternionowy symetryczny system kryptograficzny wykorzystujący do szyfrowania i do deszyfrowania ten sam klucz. Dodatkowo uzupełniono szyfrowanie kwaternionowe metodami wstępnego przetwarzania danych, zwiększającymi bezpieczeństwo danych bez istotnego wpływu na szybkość szyfrowania. Na sam koniec przedstawiono wyniki symulacji, na podstawie [2], pokazującej zastosowanie szyfrowania kwaternionowego i jego wpływ na zabezpieczenie danych.

2 Mariusz Dzwonkowski, Roman Rykaczewski 2. PODSTAWY RACHUNKU KWATERNIONÓW Kwaterniony to struktura algebraiczna, będąca rozszerzeniem ciała liczb zespolonych. Kwaternionu q jest zdefiniowany wzorem: (2.1) gdzie współczynniki w, x, y, z są współczynnikami rzeczywistymi kwaternionu q, a i,j,k są jednostkami urojonymi mającymi następujące właściwości: i 2 =j 2 =k 2 =ijk=-1, ij=-ji=k, jk=-kj=i, ki=-ik=j. Kwaternion q można też przedstawić jako wektor: jest tzw. czy- lub jako złożenie dwóch części: skalarnej i wektorowej, w której wektor stym kwaternionem: (2.2) (2.3) W ciele kwaternionów dodawanie i odejmowanie wykonywane jest względem odpowiadającym sobie komponentów analogicznie jak w przypadku liczb zespolonych np. suma dwóch kwaternionów q 1 i q 2 jest równa: (2.4) Mnożenie dwóch kwaternionów jest bardziej złożone z uwagi na nieprzemienność operacji mnożenia jednostek urojonych. Z tego powodu, ciało kwaternionów nazywane jest ciałem nieprzemiennym. Przy zapisie kwaternionów w postaci (2.3) mnożenie kwaternionowe zawiera w sobie zarówno mnożenie skalarne jak i wektorowe i iloczyn dwóch kwaternionów q 1 i q 2 jest następujący [2]: (2.5) Dodatkowo, podane będą jeszcze trzy istotne właściwości kwaternionów: sprzężenie, norma oraz wartość odwrotna kwaternionu. (2.6) Warto zwrócić uwagę, że w przypadku kwaternionu jednostkowego, tzn. takiego, którego norma jest równa jedności, zachodzi zależność q -1 = q*. 3. SZYFROWANIE KWATERNIONOWE Istnieje wiele sposobów parametryzacji przestrzeni rotacji obiektów w przestrzeni trójwymiarowej. Jednym z ważniejszych i bardziej popularnych sposobów na osiągniecie tego celu są kwaterniony. Oczywiście do obrotu obiektów można wykorzystać rotację Eulera, jednak kwaterniony, z uwagi na swoje właściwości, na chwilę obecną cieszą się znacznie większą popularnością. Aby mówić o rotacji kwaternionowej musimy dysponować kwaternionem, wokół którego obracać będziemy inny kwaternion. Jeżeli obracany kwaternion potraktujemy jako wektor danych w przestrzeni trójwymiarowej, to jesteśmy w stanie zrealizować koncepcję szyfrowania kwaternionowego. Rozpatrzmy zatem dwa kwaterniony q=[w,x,y,z] T oraz P=[0,a,b,c] T, gdzie wektor [a b c] T reprezentujący cześć wektorową kwaternionu P o zerowej części skalarnej, przechowywać będzie informację o danych, które chcemy poddać obrotowi wokół kwaternionu

3 Implementacja programowa i badanie kwaternionowego systemu kryptograficznego q. Otrzymany w ten sposób kwaternion P rot, będzie przestrzennym odwzorowaniem obróconego wektora danych [a b c] T. Rotację kwaternionową zapisuje się następująco: (3.1) W zależności od tego, jak zechcemy przeprowadzić rotację kwaternionową można zdefiniować dwie metody na przeprowadzenie szyfrowania kwaternionowego. Jeżeli posiadamy narzędzia obsługujące działania kwaternionowe, to możemy skorzystać z metody konwencjonalnej, realizując szyfrowanie danych w oparciu o wzór (3.1). Alternatywą jest obliczenie macierzy rotacji, dzięki której możemy zrealizować rotację kwaternionową za pomocą mnożenia macierzowego Macierz rotacji Realizując mnożenie kwaternionowe występujące we wzorze (3.1) i korzystając przy tym ze wzorów (2.6) i (2.9), otrzymamy postać kwaternionu P rot, na podstawie której jesteśmy w stanie obliczyć macierz rotacji [2]: (3.2) (3.3) gdzie Г(q) jest macierzą rotacji wyznaczoną na podstawie części wektorowej kwaternionu P rot, obliczonego zgodnie z wzorem (3.1). Tak otrzymana macierz rotacji pozwala na zrealizowanie rotacji kwaternionowej identycznej do tej zrealizowanej według wzoru (3.1). Macierz ta jest bezpośrednio powiązana z kwaternionem, na podstawie którego została wyznaczona, w tym przypadku będzie to kwaternion q. Istnieje też możliwość utworzenia macierzy rotacji wyższych rzędów, co pozwala na skuteczniejsze zabezpieczenie przesyłanych danych. Proces obliczania macierzy rotacji wyższych rzędów został przedstawiony na rys.1. Proces ten polega na zgrupowaniu trzech kolumn macierzy rotacji i potraktowaniu elementów każdej kolumny jako elementy następnych kwaternionów. q 11 = (0, w 2 +x 2 y 2 z 2, 2wz+2xy, 2xz 2wy) q 13 = (0, 2xz+2wy, 2yz 2wx, w 2 x 2 y 2 +z 2 ) q 12 = (0, 2xy 2wz, w 2 x 2 +y 2 z 2, 2yz+2wx) Rys.1. Sposób uzyskania kwaternionów rzędu pierwszego z początkowej macierzy rotacji Jak łatwo zauważyć, im większy rząd wybierzemy, tym większą liczbę kwaternionów danego rzędu otrzymamy, z których następnie wyznaczymy nowe macierze rotacji. Jeżeli przez n oznaczymy wartość rzędu, to liczba uzyskanych macierzy rotacji dla danego rzędu wynosić będzie 3 n. Przykładowo, dla rzędu drugiego otrzymamy 9 kwaternionów, a z każdego z nich stworzymy nową macierz rotacji. Należy pamiętać, że proces jest iteracyjny,

4 Mariusz Dzwonkowski, Roman Rykaczewski tzn. do wyznaczenia kwaternionów wyższych rzędów należy najpierw wyznaczyć kwaterniony rzędów niższych Szyfrowanie macierzy danych Z uwagi na to, że macierz rotacji ma wymiar 3x3 można rozpatrywany wektor danych tak rozszerzyć, aby zoptymalizować mnożenie macierzowe. Zamiast wektora danych P wymiaru 3x1, wprowadźmy macierz danych B o wymiarze 3x3. W taki sposób nie tylko zachowamy zasadę szyfrowania, ale również lepiej wykorzystamy mnożenie macierzowe, jednorazowo szyfrując większą porcję danych. (3.4) Załóżmy, że sygnał A chcemy poddać transmisji w kanale. Taki sygnał próbkujemy i organizujemy w odpowiednie macierze danych B. Następnie tak uzyskane macierze danych poddajemy rotacji kwaternionowej, zgodnie ze wzorem (3.4). Odszyfrowanie przeprowadzamy zgodnie ze wzorem (3.5). (3.5) Wstępne przekształcenie danych przed zastosowaniem właściwego szyfrowania znacznie podnosi odporność systemu kryptograficznego na ataki. W kolejnym punkcie przedstawiono trzy takie metody. 4. PRZEKSZTAŁCENIA WSTĘPNE DANYCH Oprócz samego szyfrowania kwaternionowego, istnieje możliwość zastosowania innych, dodatkowych metod polepszających właściwości szyfrogramu. Każda z nich wprowadza dodatkowe przetwarzanie danych, co może niekorzystnie wpłynąć na wydajność pracy naszego systemu. Dlatego też, przy ich zastosowaniu korzystne jest wykorzystanie metody konwencjonalnej do szyfrowania kwaternionowego, która z uwagi na swoją szybkość przy przeprowadzaniu rotacji, potrafi skompensować opóźnienia związane z dodatkowym przetwarzaniem Wykorzystanie transformacji Arnolda Ideą transformacji Arnolda jest przeprowadzenie scramblingu na obrazie, w celu wprowadzenia w nim przemieszania elementów [3]. Ponieważ taka metoda nie jest szyfrowaniem, a jedynie odwzorowaniem chaotycznym, cechuje się zmienną okresowością, zależną od wielkości obrazu. Dwuwymiarową transformację Arnolda można przedstawić następująco [3]: (4.1) gdzie (x, y) to współrzędne wybranego piksela, a N jest wysokością lub szerokością rozpatrywanego, kwadratowego obrazu. W wyniku przekształcenia opisanego wzorem (4.1) otrzymujemy nowe współrzędne (x, y ) i w ich miejsce umieszczana jest wartość poprzednich współrzędnych (x, y). Transformacja ta zamienia pozycję dwóch pikseli i jeżeli zostanie wykonana odpowiednią liczbę razy, to uzyskamy obraz z chaotycznie przemieszanymi pikselami. Kluczowymi parametrami do rozpatrzenia w przypadku transformacji Arnolda

5 Implementacja programowa i badanie kwaternionowego systemu kryptograficznego są wymiar obrazka N oraz okres transformacji, który informuje nas, ile razy należy wykonać transformację Arnolda, aby otrzymać obraz początkowy Wykorzystanie macierzy permutacyjnej Wymiar macierzy permutacyjnej musi odpowiadać wielkości obrazu, bądź bloku danych, jaki chcemy poddać przetwarzaniu. Macierz permutacyjną tworzymy w oparciu o permutację elementów wierszy macierzy jednostkowej. Mnożenia przez macierz permutacyjną możemy dokonać na dwa sposoby. W zależności od tego, z której strony macierzy bloku danych chcemy wykonać mnożenie, wyróżniamy permutację po wierszach i po kolumnach. Jeżeli macierz permutacyjna znajdzie się z lewej strony macierzy bloku danych, to mówimy wtedy o permutacji po wierszach, jeżeli z prawej po kolumnach. Oczywiście można wykonać też obie permutacje jednocześnie Wykorzystanie filtracji TEC Celem filtracji TEC (ang. transform encryption coding) jest uzyskanie niezależnych współczynników transformacyjnych podczas przetwarzania sygnału poprzez wstępną filtrację [4]. Taki zabieg poprawia właściwości metod kwantyzacji oraz współczynniki transformacyjne mają rozkład gaussowski dzięki czemu zwiększa się zabezpieczenie samego sygnału. Filtracja TEC polega na przekształceniu sygnału x(t) do dziedziny częstotliwości, za pomocą transformaty Fouriera (FT) i następnie przemnożeniu jej przez ciąg odniesienia, będący ciągiem pseudolosowym, o odpowiedniej długości, o elementach +1 i 1. Po dokonaniu odwrotnej transformacji Fouriera otrzymamy przefiltrowany obraz. Kwaterniony znajdują wiele zastosowań w technice, a także ostatnio w kryptografii. Znane są zastosowania kwaternionów dla tworzenia wielowymiarowych funkcji haszujących, czy też zastosowanie rotacji kwaternionowej w kryptografii symetrycznej i asymetrycznej [1]. Jednakże bliższa analiza pokazuje, że zastosowanie szyfrowania kwaternionowego nie może zostać zrealizowane w oparciu o infrastrukturę klucza publicznego (PKI), gdyż potraktowanie macierzy rotacji jako klucza publicznego, nie spełnia wymogów szyfrowania asymetrycznego z uwagi na sposób deszyfracji realizowany według wzoru (3.5). Inaczej sprawa wygląda w przypadku kryptografii symetrycznej, używającej jednego klucza do szyfrowania i do deszyfracji przesyłanych danych. Klucz może być przekazany na stronę odbiorczą za pomocą algorytmu asymetrycznego, dlatego też może on mieć postać macierzy rotacji bądź, oszczędniej, kwaternionu, względem którego dokonywana jest rotacja wektora danych. 5. WYNIKI SYMULACJI Poniżej zaprezentowano wpływ szyfrowania kwaternionowego, zastosowanego łącznie z jedną z trzech, przedstawionych w p. 4, metod wspomagających. Obrazy (b) przedstawiają użycie wyłącznie wybranej metody wspomagającej na oryginale (a). Obrazy (c) to zastosowanie szyfrowania kwaternionowego na obrazach (b). Z kolei obrazy (d) pokazują próbę odszyfrowania treści obrazu w oparciu o użytą metodę, bez uprzedniego odszyfrowania kwaternionowego. Dla transformacji Arnolda będzie to zastosowanie odwrotnej transformaty Arnolda, dla mnożenia permutacyjnego zastosowanie odwrotnej macierzy permutacji, natomiast dla filtracji TEC ponowne przemnożenie przez ten sam ciąg pseudolosowy. Więcej testów, ukazujących właściwości szyfrowania kwaternionowego, zostało przedstawionych w ramach pracy [2].

6 Mariusz Dzwonkowski, Roman Rykaczewski Transformacja Arnolda (a) (b) (c) (d) Mnożenie permutacyjne (a) (b) (c) (d) Filtracja TEC (a) (b) (c) (d) Rys.2. Wpływ przekształceń wstępnych i szyfrowania kwaternionowego na przykładowy obraz: (a) oryginał, (b) zastosowanie wybranej metody, (c) szyfrowanie kwaternionowe rzędu 3, (d) zastosowanie przekształcenia odwrotnego do przekształcenia wstępnego dla danej metody 6. PODSUMOWANIE Na podstawie przeprowadzonych symulacji można stwierdzić, że potencjalny haker, chcąc odszyfrować przechwycony obraz, mimo pełnej znajomości użytej metody przekształcenia wstępnego, nie będzie wstanie uzyskać oryginału bez znajomości klucza, użytego do przeprowadzenia szyfrowania kwaternionowego. Liczba możliwych kluczy w tym systemie jest praktycznie nieskończona, z uwagi na zastosowanie zmiennej liczby rzędów rotacji kwaternionów i odpowiedni dobór 4 parametrów kwaternionu początkowego [1], a ataki, szczególnie przy rotacjach wyższych rzędów, są niezwykle złożone. Dlatego też szyfrowanie kwaternionowe może być zastosowane przy transmisjach bezprzewodowych, zapewniając wysoki poziom bezpieczeństwa i, co należy szczególnie podkreślić, dużą szybkość przetwarzania danych, szczególnie przy zastosowaniu metody konwencjonalnej. BIBLIOGRAFIA [1] Nagase T., Araki T., Watanabe A., Ostuki H.: New Encryption System Architecture for Image Transmission, Faculty of Science and Technology, Hirosaki University. [2] Dzwonkowski M.: Implementacja programowa i badanie kwaternionowego systemu kryptograficznego, praca dyplomowa, WETI PG, [3] Wu L., Deug W., Zhang J., He D.: Arnold Transformation Algorithm and Anti-Arnold transformation Algorithm, ICISE2009. [4] Kuo C.J., Deller J.R., Jain A.K.: Pre/post-filter for performance improvement of transform coding, Image Communication 8 (1996).