Matlab/Octave wprowadzenie

Transkrypt

1 Matlab/Octave wprowadzenie Tomasz Sobiech, Politechnika Warszawska, Wydział Fizyki 2 marca 2015 Skrypt ten ma na celu zapoznanie państwa z działaniem i podstawową pracą z Matlab/Octave, czyli obliczeniach na macierzach i wizualizacji wyników. Działania tablicowe omówione zostały już w poprzedniej części, jednak ze względu na ich duże znaczenie i problemy w ich stosowaniu przez początkujących, wracamy do nich raz jeszcze. W skrypcie wprowadzone zostało ważne pojęcie (bardzo ważne) wektoryzacji, pomimo początkowych trudności, musi zostać przyswojone przez każdego użytkownika wszystkich języków skryptowych Matlab/Octave, Python, Julia itd. 1 Operatory (raz jeszcze) 1.1 Operator zakresu Składnia operatora : wygląda następująco start : krok : nie większe niż. Przykład: >> a = 3:0.7:7 a = Domyślna wartość kroku to jeden, składnia upraszcza się wtedy do postaci: >> a = 3:7 a = W kontekście macierzy operator ten może przybrać jeszcze jedną formę: Strona 1 z 14

2 >> A = zeros(3,4); >> A(:,2) = 1 A = Zapis A(:,2) weź wszystkie wartości z kolumny 2. Operatora zakresu możemy też używać z typem danych char: >> s = a : f s = abcdef 1.2 Działania arytmetyczne Operatory macierzowe Możliwość wykonywania działań macierzowych jest absolutnie niezbędna dla programisty-fizyka, środowisko Matlab/Octave pozwala na wykonywanie takich obliczeń w szybki sposób przez zdefiniowane operatory (tab. 1), bez pisania zbędnych pętli for. Tablica 1: Operatory macierzowe Operacja Operator Dodawanie + Odejmowanie - Mnożenie * Potęgowanie ^ Lewostronne dzielenie \ Prawostronne dzielenie / Jeszcze słowo komentarza á propos dzielenia, oprócz dzielenia prawostronnego (/) mamy do dyspozycji dzielenie lewostronne (\). Dzielenie takie stosowane jest w równaniach macierzowych. W szczególności polecenie x = A\b rozwiązuje równanie Ax = b. Jest ono odpowiednikiem inv(a)*b, ale działa szybciej i numerycznie stabilniej Operatory tablicowe Prawdopodobnie dużo częściej wykorzystywane są operatory tablicowe (tab. 2). Za ich pomocą możemy uzyskać takie struktury jak v.*w = [v 1 w 1, v 2 w 2,..., v n w n ], czy v.^w = [v w1 1, vw2 2,..., vwn n ]. Te same zasady stosują się do macierzy. Dla dwóch macierzy A i B polecenie C = A.*B, w wyniku daje macierz z elementami C ij = A ij B ij. Strona 2 z 14

3 Tablica 2: Działania tablicowe Operacja Operator Dodawanie + Odejmowanie - Mnożenie.* Potęgowanie.^ Lewostronne dzielenie.\ Prawostronne dzielenie./ 1.3 Operatory relacji Działania z użyciem operatorów relacji dają wynik w postaci macierzy o tej samej wielkości co argumenty, gdzie 1 oznacza prawdziwość relacji, a 0 oznacza fałsz. Tablica 3: Operatory relacji Operacja Operator Mniejszy niż < Mniejszy lub równy <= Większy niż > Większy lub równy >= Równy == Różny od = Przykłady: >> x = [1, 5, 3, 7]; >> y = [0, 2, 8, 7]; >> k = x<y k = >> k = x>=y k = >> k = x~=y k = Operatory logiczne Operatory logicznie działają analogicznie do operatorów relacji, zwracają macierz o tej samej wielkości co argumenty: Strona 3 z 14

4 Tablica 4: Operatory logiczne Operacja Operator Koniunkcja & Alternatywa Negacja Alternatywa wykluczająca xor 2 Praca z macierzami 2.1 Indeksowanie macierzy W środowisku Matlab/Octave istnieją dwa sposoby indeksowania tablic (patrz rys. 1) tzw. index oraz subscripts, jak to działa sprawdzimy na prostym przykładzie: >> A = rand(4, 5) A = >> A(4) %w notacji index >> A(4,1) %to samo w notacji subscripts >> A(5) %w notacji index >> A(1, 2) %to samo w notacji subscripts Strona 4 z 14

5 Rysunek 1: Dwa sposoby indeksowania macierzy Oczywiście tyczy się to też macierzy o większej ilości wymiarów. Do konwersji pomiędzy tymi dwoma stylami indeksowania macierzy można wykorzystać funkcję ind2sub oraz sub2ind. Przykład (Macierz A z poprzedniego przykładu): >> idx = [sub2ind(size(a), 3, 2), sub2ind(size(a), 4, 4), sub2ind(size(a), 4, 5)]... %tworzymy wektor 3 indeksów które chcemy wybrać z macierzy idx = >> A(idx) %wypisujemy podane elementy >> A(idx) = 0; %nadpisujemy wartość podanych elementów >> A A = Możemy też podawać w obu konwencjach wektory. W konwencji index przykład jest już wyżej, z macierzy wybierane są wszystkie elementy, których index jest podany w wektorze. Trochę więcej przykładów: >> A([1, 3, 5, 6, 7]) >> A(1:2:20) %co drugi element Strona 5 z 14

6 Columns 1 through Column >> i = 5:5:20 %co piąty indeks od piątego do dwudziestego i = >> A(i) W konwencji subscripts zwracany jest produkt kartezjański podanych indeksów: >> A([1, 2], [1, 2]) %produkt kartezjański to elementy (1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2) >> A(1:3,1:3) %wykorzystując operator zakresu >> A(1:2:3,1:3) %co drugi wiersz od pierwszego do trzeciego i od pierwszej kolumny do trzeciej Należy tu jeszcze wspomnieć o kolejnym ważnym elemencie dotyczącym indeksowania, mianowicie słowo kluczowe end. Standardowo słowo end kończy blok kodu po for, if itd., w tym kontekście indeksowania ma ono inne znaczenie, tj. oznacza ostatni element macierzy. Strona 6 z 14

7 >> A(end) 0 >> A(end-4:end) %ostatnie pięć elementów >> A(end-1:end, 1) %korzystając z subscripts: przedostatni i ostatni element pierwszej kolumny >> A(2:end, 1:end-3) Typowe zastosowanie wybierania indeksów z którym na pewno się spotkacie: >> x = 0:0.01:10*pi; >> y = sin(x); >> idx = find(abs(y) < 5e-3);... %funkcja find zwraca indeksy elementów wektora równych 1 (działanie operatora relacji już znacie) >> plot(x, y, b-, x(idx), y(idx), ro ) Na rysunku 2 przedstawiony jest wynik powyższych operacji. 2.2 Wektoryzacja Przez wektoryzację rozumiemy nadanie obliczeniom takiej struktury, w której można zastosować zmienne wektorowe lub tablicowe z operatorami tablicowymi zamiast seryjnych obliczeń skalarnych. Jako przykład rozważ aproksymację funkcji wykładniczej za pomocą pierwszych dziesięciu wyrazów rozwinięcia w szereg e x = k x k 1 (k 1)! Można to liczyć w pętli, co jest czasochłonne, gdyż interpreter musi dziesięć razy wykonać tą czynność (interpreter jest wolny). W formie zwektoryzowanej interpreter parsuje jedną linijkę, reszta liczy się w wewnętrznych funkcjach Strona 7 z 14

8 Rysunek 2: Miejsca zerowe funkcji f(x) = sin(x) Matlab/Octave napisanych w szybkich językach typu C/C++ >> x = 1; >> k=1:10; >> e = sum(x.^(k-1)./factorial(k-1)) e = >>%lub w inny sposób po wykonaniu drobnych przekształceń w głowie >> format long >> sum(1./factorial(0:10))-exp(1) e-08 >> sum(1./factorial(0:10))-exp(1) %policzmy błąd takiego przybliżenia e-08 >> sum(1./factorial(0:20))-exp(1) %zwiększmy nieco ilość wyrazów szeregu 0 W ten oto prosty sposób policzyliśmy liczbę Nepera. Stosować wektoryzację należy zawsze (o ile to jest możliwe)! Inny przykład, odtworzymy sobie działanie funkcji diff, i policzmy pochodną funkcji: Strona 8 z 14

9 >> plot(x, y, x, Dy) >> dx = 0.001; >> x = 0:dx:2*pi; >> y = sin(x); >> Dy = (y(2:end)-y(1:end-1))./dx;... %diff => y(2:end)-y(1:end-1), dzieląc przez dx otrzymujemy pochodną >> Dy = [Dy, Dy(end)]; %powielenie ostatniego elementu, żeby zgadzały się długości wektorów >> plot(x, y, x, Dy) Rysunek 3: Funkcja f(x) = sin(x) oraz jej pochodna f (x) = cos(x) 2.3 Trudniejsze przykłady Rozwiążmy teraz typowy fizyczny problem tj. rozwiążemy dwuwymiarowe równanie Poissona { u(x, y) = f(x, y) (x,y) 0, 100 0, 100 = Ω u(x, y) Ω = 0 gdzie f(x, y) = { 100 (x,y) 49, 51 10, 90 = ω 0 (x,y) Ω\ω Przedstawione tu rozumowanie jest nieco uproszczone, więcej o rozwiązywaniu równań różniczkowych można dowiedzieć się na wykładnie z Metod Numerycznych lub w internecie. Dyskretyzując równanie dla prostokątnej siatki otrzymujemy: u i 1,j + u i,j 1 + u i+1,j + u i,j+1 4 u i,j = f i,j (1) u 0,j = u 100,j = u i,0 = u i,100 = 0 (2) Obliczenie tego wyrażenia w C wymagałoby iteracji po całej macierzy w dwóch pętlach for, możemy jednak to zwektoryzować. Graficznie pierwszy składnik tego równania można przedstawić jak poniżej: Strona 9 z 14

10 Tak powstałą nową macierz należy jeszcze podzielić przez cztery i odjąć od niej macierz początkową. 1 close all, clear all, clc %zamknij wszystkie wykresy, wyczysc zmienne, wyczysc linie komend 2 3 %definicja geometrii 4 N = 100; 5 u = zeros(n, N); 6 %rysuje prostokat 7 %wybieramy podmacierz i przypisujemy ladunek 8 %floor (podloga) zaokraglenie, aby miec pewnosc ze bedzie liczba calkowita 9 w1 = floor((n/2))-1; 10 w2 = floor((n/2))+1; 11 u(10:n-10, w1:w2) = 100; for i = 0:1e4 14 %liczymy laplasjan (to tu cala magia) 15 nabla = zeros(n, N); 16 nabla(1:end-1,:) = nabla(1:end-1,:) + u(2:end,:); 17 nabla(2:end,:) = nabla(2:end,:) + u(1:end-1,:); 18 nabla(:,1:end-1) = nabla(:,1:end-1) + u(:,2:end); 19 nabla(:,2:end) = nabla(:,2:end) + u(:,1:end-1); 20 nabla = nabla./4.0; 21 nabla = nabla - u; u = u + nabla; %warunki brzegowe 26 u(1,:) = zeros(1, N); 27 u(end,:) = zeros(1, N); 28 u(:,1) = zeros(1, N); 29 u(:,end) = zeros(1, N); Strona 10 z 14

11 30 31 u(10:n-10, w1:w2) = 100; 32 end contourf(u); hold on; 35 rectangle('position',[w1, 10, w2-w1, N-20],'FaceColor','k') Rysunek 4: Rozwiązanie równania Na koniec jeszcze przykład rozwiązania jednego z zadań z KADD. Zadanie 1. Wygenerować macierz 3D zgodnie ze wzorem v = x sin ( x 2 y 2 z 2) w przedziale [ 2, 2] z krokiem Wyświetlić ją na ekranie. 1 close all, clear all, clc %zamknij wszystkie wykresy, wyczysc zmienne, wyczysc linie komend 2 3 [X,Y,Z] = meshgrid(-2:0.05:2,-2:0.05:2,-2:2); %tworzymy 3 macierze 3D 4 V = X.*sin(X.^2-Y.^2-Z.^2); %tworzymy nowa macierz 3D z wartosciami ze wzoru 5 6 for i = 1:5 7 % conturf rysuje wykres w formie mapy 8 [,h] = contourf(x(:,:,3), Y(:,:,3), V(:,:,3)); hold on; 9 10 %tu troche magicznych funkcji w sumie nieistotne 11 hh = get(h,'children'); 12 set(hh, {'ZData'}, cellfun(@(x) (i-3)*ones(size(x)), get(hh,{'xdata'}), 'UniformOutput',false)) 13 end Uwaga 1. Rysowanie kilku map na jednym wykresie nie zadziała w Octave, przynajmniej nie w ten sposób. Jednak to nieduża strata bo ten sposób jest bardzo nie czytelny. 3 Wizualizacja W tym rozdziale przedstawione zostały różne przykłady wizualizacji danych w Matlab/Octave. Najbardziej użyteczną funkcją generującą wykresy jest plot, jej składnia wygląda następująco: plot(vec_x1, vec_y1, opcje stylu, vec_x1, vec_y1, opcje stylu,...) Strona 11 z 14

12 Rysunek 5: Mapy kostki Przykładowo: plot(y) %tworzy domyślny wykres na osi x odłożone są ideksy wektora y plot(x,y, -- ) %zamiast linii ciągłej jest przerywana plot(x,y, ro ) %rysuje czerwone kółka Tablica 5: Opcje stylów Opcje koloru Opcje stylu linii Opcje stylu znacznika y żółty - linia ciągła + symbol plusa m purpurowy linia przerywana o kółko c granatowy : linia kropkowana * gwiazdka r czerwony -. linia kreskowo-kropkowa x znak x g zielony. kropka b niebieski ^ daszek w biały s kwadrat k czarny d rąb 3.1 Etykiety, tytuły, legendy i inne Wykresy można opisywać za pomocą poleceń: xlabel( napis x ) % tytuł osi x ylabel( napis y ) % tytuł osi y title( tytul ) % tytuł wykresu text(x, y, napis ) % umieszcza na wykresie napis w pozycji (x,,y) Legendę można utworzyć, jak nie trudno się zgadnąć, za pomocą funkcji legend legend( linia 1, linia 2,...) % tworzy legendę zawierającą etykiety linia 1,... legend( StylLinii1, linia 1,...) % przypisuje każdej etykiecie styl linii legend(..., pos) % pos = 1 (lub inna wartość) ustawia pozycję legendy legend off % wyłącza legendę Strona 12 z 14

13 Ustawiać zakresy osi możemy za pomocą polecenia axis axis([x_min, x_max]) % ustawia zakres osi x axis([x_min, x_max, y_min, y_max]) % ustawia zakres osi x i y axis( equal ) % ustawia jednakową skalę na obu osiach itd. 3.2 Wykresy nakładane Istnieje kilka sposobów narysowania wielu linii na jednym wykresie, oto przykład: 1 t = linspace(0, 2*pi, 100); 2 y1 = sin(t); 3 y2 = t; 4 y3 = t - (t.^3)/6 + (t.^5)/120; 5 6 %rysuje y1 jako ciagla linie (domyslnie) 7 plot(t,y1) 8 % %dodaje y2 jako linie przerywana 9 line(t,y2, 'linestyle', '--') 10 % %dodaje y3 jako serie kolek 11 line(t,y3, 'linestyle', 'o') %inaczej ale robi to samo 14 plot(t,y1) 15 hold on 16 plot(t,y2, 'linestyle', '--') 17 plot(t,y3, 'linestyle', 'o') 18 hold off %w ten sposob podobnie ale dodatkowo automatycznie zmienia kolory linii 21 plot(t,y1,t,y2, '--',t,y3, 'o') axis([ ]) %nowe zakresy osi 24 xlabel('t') 25 ylabel('aproksymacja sin(t)') 26 title('wykresy nakladane') 27 legend('sin(t)', 'aproksymacja liniowa', 'aproksymacja piatego rzedu') 3.3 Tworzenie wykresów równoległych przy użyciu subplot Do rysowania kilku wykresów w jednym oknie służy polecenie subplot. Funkcja ta dzieli okno na siatkę (n, m) podwykresów, na przykład: subplot(3,2,1) % trzeci argument oznacza na którym wykresie aktualnie rysujemy plot(x) subplot(3,2,2) plot(y)... 1 t = linspace(0, 8*pi, 200); 2 y = t.*sin(t); 3 4 figure(1) %tworzy okno 5 subplot(1, 2, 1)% dzieli okno na macierz (1,2) wykresow rysuje na 1 6 area(t, y); 7 subplot(1, 2, 2)% teraz rysuje na 2 8 t = linspace(0, 2*pi, 200); 9 y = sqrt(abs(2.*sin(5.*t))); Strona 13 z 14

14 10 polar(t, y) figure(2) %tworzy drugie okno 13 subplot(1, 2, 1) 14 hist(randn(1, 1000)); 15 subplot(1, 2, 2) 16 t = linspace(0, 2*pi, 500); 17 r = sqrt(abs(2.*sin(5.*t))); 18 x = r.*cos(t); 19 y = r.*sin(t); 20 fill(x, y, 'r') ciąg dalszy nastąpi Literatura [Paratap] Rudra Paratap Matlab 7 dla naukowców i inżynierów Wydawnictwo Naukowe PWN, [Krzy2012] Piotr Krzyżanowski Matematyka stosowana Obliczenia naukowe Uniwersytet Warszawski, Strona 14 z 14