Ekstrema lokalne i punkty otwarto±ci funkcji ci gªej

Transkrypt

1 Politechnika Šódzka, Instytut Matematyki Konopnica, maj 2016

2 Plan Wspóªautorzy Omawiane wyniki zostaªy uzyskane w pracy M. Balcerzak, M. Popªawski, J. Wódka, Local extrema and nonopenness points for continuous functions, wysªanej do Amer. Math. Monthly.

3 Plan Wspóªautorzy Omawiane wyniki zostaªy uzyskane w pracy M. Balcerzak, M. Popªawski, J. Wódka, Local extrema and nonopenness points for continuous functions, wysªanej do Amer. Math. Monthly. 1 Punkty otwarto±ci 2 Wszystkie drogi prowadz do Rzymu 3 Zbiór ekstremów ci gªej funkcji f : [0, 1] R 4 Problemy otwarte

4 Punkty otwarto±ci Niech X oraz Y b d przestrzeniami topologicznymi. Denicja Powiemy,»e odwzorowanie f : X Y jest otwarte w punkcie x X je»eli f (x) intf [U] dla dowolnego otoczenia U punktu x. Powiemy,»e odwzorowanie f jest otwarte je»eli jest otwarte w ka»dym punkcie x X.

5 Punkty otwarto±ci Niech X oraz Y b d przestrzeniami topologicznymi. Denicja Powiemy,»e odwzorowanie f : X Y jest otwarte w punkcie x X je»eli f (x) intf [U] dla dowolnego otoczenia U punktu x. Powiemy,»e odwzorowanie f jest otwarte je»eli jest otwarte w ka»dym punkcie x X. Odwzorowanie jest otwarte je»eli obraz zbioru otwartego jest otwarty.

6 Punkty otwarto±ci Niech X oraz Y b d przestrzeniami topologicznymi. Denicja Powiemy,»e odwzorowanie f : X Y jest otwarte w punkcie x X je»eli f (x) intf [U] dla dowolnego otoczenia U punktu x. Powiemy,»e odwzorowanie f jest otwarte je»eli jest otwarte w ka»dym punkcie x X. Odwzorowanie jest otwarte je»eli obraz zbioru otwartego jest otwarty. Zbiór punktów otwarto±ci funkcji f : X Y oznacza b dziemy symbolem Op(f ).

7 Punkty otwarto±ci Niech X oraz Y b d przestrzeniami topologicznymi. Denicja Powiemy,»e odwzorowanie f : X Y jest otwarte w punkcie x X je»eli f (x) intf [U] dla dowolnego otoczenia U punktu x. Powiemy,»e odwzorowanie f jest otwarte je»eli jest otwarte w ka»dym punkcie x X. Odwzorowanie jest otwarte je»eli obraz zbioru otwartego jest otwarty. Zbiór punktów otwarto±ci funkcji f : X Y oznacza b dziemy symbolem Op(f ). Uwaga Denicja otwarto±ci kojarzy si w sposób naturalny z denicj ci gªo±ci. Jednak»e istniej przykªady funkcji ci gªych, które nie s otwarte i vice-versa.

8 Niektóre wyniki Twierdzenie Niech X i Y b d przestrzeniami metrycznymi a f : X Y funkcj ci gª. Zbiór Op(f ) jest typu G δ. Szkic dowodu Op(f ) = ε>0 δ>0 A εδ, gdzie A εδ := {x X : B(f (x), δ) f [B(x, ε)]}. Je»eli f jest ci gªa, to A εδ inta 2ε δ. 2 ε Q δ>0 + A εδ ε Q + δ>0 inta 2ε δ 2 ε Q δ>0 + inta εδ ε Q + δ>0 A εδ. =

9 Punkty otwarto±ci funkcji ci gªej Niech Y = R. Šatwo wida,»e je»eli punkt x jest ekstremum funkcji f (x Extr f ), to odwzorowanie f nie jest otwarte w x.

10 Punkty otwarto±ci funkcji ci gªej Niech Y = R. Šatwo wida,»e je»eli punkt x jest ekstremum funkcji f (x Extr f ), to odwzorowanie f nie jest otwarte w x. Prawdziwe jest ogólniejsze twierdzenie. Twierdzenie Zaªó»my,»e X jest przestrzeni lokalnie zwart oraz funkcja f : X R jest ci gªa. Niech x X. Nast puj ce warunki s równowa»ne: 1 x jest ekstremum lokalnym funkcji f ; 2 odwzorowanie f nie jest otwarte w x. Przestrze«lokalnie zwarta Przestrze«topologiczna X jest lokalnie zwarta je»eli dla dowolnego x X oraz dowolnego otoczenia U punktu x istnieje zwarty zbiór E U speªniaj cy warunek x inte.

11 Historia Na sesji problemowej w czasie 34th Winter School in Abstract Analysis (stycze«2006) M.R. Wójcik zapytaª, czy zbiór Extr(f ) mo»e by równy [0, 1] dla funkcji f : [0, 1] R, która jest ci gªa, ale nie staªa.

12 Historia Na sesji problemowej w czasie 34th Winter School in Abstract Analysis (stycze«2006) M.R. Wójcik zapytaª, czy zbiór Extr(f ) mo»e by równy [0, 1] dla funkcji f : [0, 1] R, która jest ci gªa, ale nie staªa. W 2008 roku S. Geschke udowodniª,»e zbiór ekstremów lokalnych nigdzie niestaªej funkcji ci gªej f : [0, 1] R jest zawsze I kategorii, cho mo»e by peªnej miary.

13 Historia Na sesji problemowej w czasie 34th Winter School in Abstract Analysis (stycze«2006) M.R. Wójcik zapytaª, czy zbiór Extr(f ) mo»e by równy [0, 1] dla funkcji f : [0, 1] R, która jest ci gªa, ale nie staªa. W 2008 roku S. Geschke udowodniª,»e zbiór ekstremów lokalnych nigdzie niestaªej funkcji ci gªej f : [0, 1] R jest zawsze I kategorii, cho mo»e by peªnej miary. W 2007 roku E. Behrends, S. Geschke, T. Natkaniec pokazali,»e ka»da ci gªa funkcja f : X R speªniaj ca warunek Extr(f ) = X jest staªa je»eli zachodzi który± z warunków: X jest spójn i o±rodkow przestrzen metryczn ; X jest spójn i o±rodkow liniowo uporz dkowan przestrzeni topologiczn ; X jest spójn, lokalnie spójn i zupeªn przestrzeni metryczn.

14 Nowy problem Problem Co mo»na powiedzia o zbiorze ekstremów ci gªej funkcji f : [0, 1] R? Oczywi±cie dla f : [0, 1] R zbiór Extr f jest typu F σ.

15 Nowy problem Problem Co mo»na powiedzia o zbiorze ekstremów ci gªej funkcji f : [0, 1] R? Oczywi±cie dla f : [0, 1] R zbiór Extr f jest typu F σ. Naturalnie nasuwa si pytanie: Pytanie Niech A [0, 1] b dzie zbiorem typu F σ. Czy istnieje ci gªa funkcja f : [0, 1] R, dla której Extr f = A?

16 Odpowied¹ na pytanie Twierdzenie Dla»adnej funkcji ci gªej f : [0, 1] R zbiór Extr(f ) nie jest: (i) dopeªnieniem niepustego zbioru przeliczalnego; (ii) nigdzie g stym niepustym zbiorem doskonaªym. Szkic dowodu Obraz f [Extr(f )] jest zawsze zbiorem przeliczalnym. Przypu± my,»e [0, 1] \ A = Extr f. Przypu± my,»e D = Extr(f ), wówczas D jest przeliczaln sum domkni tych zbiorów D y := f 1 [{y}] D, gdzie y f [Extr(f )]. Istnieje takie y,»e zbiór D y zawiera niepust porcj zbioru D, tj. podzbiór D postaci D (a, b). Rozwa»my spójn skªadow (c, d) (a, b) zbioru R \ D. Skoro f (x) = y dla dowolnego x D y, to f (c) = y = f (d) ma ekstremum lokalne w pewnym punkcie przedziaªu (c, d). Sprzeczno±.

17 Ekstrema niewªa±ciwe Rozró»nia b dziemy dwa rodzaje ekstremów niewªa±ciwych funkcji ci gªej f : [0, 1] R: punkty nale» ce do przedziaªów staªo±ci funkcji f (b dziemy je nazywa c-ekstremami) oraz pozostaªe punkty. Przykªady Rozwa»amy funkcj dziaªaj c z przedziaªu [0, 1] w R. Zdeniujmy f (x) := { 0, dla x [0, 1/2], (x 1/2) sin(1/(x 1/2)), dla x (1/2, 1]. Maj c klasyczny zbiór Cantora C, rozwa»my funkcj g(x) = d(x, C), gdzie d jest odlegªo±ci punktu od zbioru C.

18 Zbiór Extr c (f ) Twierdzenie Je»eli f : [0, 1] R jest monotoniczn funkcj ci gª, to Extr c (f ) jest przeliczaln sum parami rozª cznych niepustych przedziaªów I n. Odwrotnie, je»eli A := n I n, dla przeliczalnej rodziny parami rozª cznych domkni tych niezdegenerowanych przedziaªów I n [0, 1], to istnieje niemalej ca funkcja ci gªa f : [0, 1] R, dla której Extr c (f ) = A.

19 Lemat Lemat Je»eli B = n J n, gdzie J n to otwarte przedziaªy zawarte w J := [α, β] oraz dist(j m, J n ) > 0 dla dowolnych m n, to zbiór W := J \ B jest nieprzeliczalny (precyzyjniej, jest mocy continuum).

20 Lemat Lemat Je»eli B = n J n, gdzie J n to otwarte przedziaªy zawarte w J := [α, β] oraz dist(j m, J n ) > 0 dla dowolnych m n, to zbiór W := J \ B jest nieprzeliczalny (precyzyjniej, jest mocy continuum). Zamiast przedziaªów otwartych mo»na rozwa»a te» przedziaªy domkni te. Szkic dowodu intw - oczywi±cie W zawiera przedziaª. intw = - konstruujemy zbiór Cantora.

21 Szkic dowodu " Niech F := cl([0, 1] \ A) oraz bd F = P E. Je»eli P =, zdeniujmy g(x) := 0 dla x [0, 1]. Gdy P, to P jest zbiorem typu Cantora, wi c mo»emy rozwa»y ci gª niemalej c funkcj g dziaªaj c z przedziaªu [a, b] na [0, 1], gdzie a := min P and b := max P. Niech h(x) := λ(f [0, x]) dla x [0, 1], gdzie λ jest miar Lebesgue'a na R. Zauwa»my,»e f := g + h jest ci gªa, monotoniczna oraz staªa na domkni ciu ka»dej skªadowej spójno±ci zbioru [0, 1] \ F, wi c zbiór Extr c f rozª cznych przedziaªów domkni tych.

22 Problem otwarty Problem Scharakteryzowa rodzin zbiorów, które mog by zbiorem ekstremów funkcji ci gª j f : [0, 1] R.

23 A.V. Arhangel'skii, Some metrization theorems, Uspehi Mat. Nauk, 18 (1963), no. 5 (113), (in Russian). E. Behrends, S. Geschke, T. Natkaniec, Functions for which all points are local extrema, Real Anal. Exchange 33 (2007/2008). A. Bella, J.J. Charatonik, A. Villani, Many continuous functions have many proper local extrema, J. Math. Anal. Appl. 154, (1991), W.G. Bloch, Open discontinuous maps from R n onto R n, Amer. Math. Monthly 122 (2015), F.S. Cater, Functions with preassigned local maximum points, Rocky Mountain J. Math. 15 (1985), V. Drobot, M. Morayne, Continuous functions with a dense set of proper local maxima, Amer. Math. Monthly 92 (1985), R. Engelking, General Topology, PWN, Warsaw 1977.

24 A. Fedeli, A. Le Donne, On metric spaces and local extrema, Topology Appl. 156 (2009), S. Geschke, Functions with many local extrema, KURENAI (Kioto University Research Information Repository) (2008), 1619: 43-47; URL: L. Holá, A.K. Mirmostafaee, Z. Piotrowski, Points of openness and closedness of some mappings, Banach J. Math. Anal. 9 (2015), V. Kelar, On strict local extrema of dierentiable functions, Real Anal. Exchange 6 ( ), E.E. Posey, J.E. Vaughan, Functions with a proper local maximum in each interval, Amer. Math. Monthly 90 (1983), A. Schoenies, Die Entwickelung der Lehre von den Punktmanningfaltigkeiten, Bericht, esrstattet der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, Z. Zalcwasser, Sur le fonctions de Kepcke, Prace Mat. Fiz. 35 ( ), 5799.

25 Thank you for your attention