PORTFOLIO Próbki tekstu składanego systemem L A TEX

Transkrypt

1 PORTFOLIO Próbki tekstu składanego systemem L A TEX Autor:

2 Spis treści Wstęp. Wprowadzenie Warunki korzystania z usługi Przykładowe próbki tekstu 3. Definicje i twierdzenia Macierze Iloczyn tensorowy macierzy Macierz odwrotna Układy równań Granice Wzory Sumy uogólnione Algorytm mrówkowy Brachistochrona Tabele Struktura trójkątna Krzyżowanie chromosomów Zestawienie danych testowych Domino matematyczne Siatka pomiarowa Linear differential equations of second order Zestawy zadań Algebra liniowa Potęgi i pierwiastki liczb rzeczywistych Funkcja wykładnicza i logarytmiczna Grafika Wykresy funkcji trygonometrycznych Wykresy fynkcji parametrycznych Pole wektorowe Kontakt Literatura 3

3 Wstęp. Wprowadzenie Prezentowana broszura została złożona w systemie L A TEX - komputerowym składzie tekstów drukarskich, który pozwala tworzyć profesjonalne publikacje naukowe o wysokiej jakości typograficznej. W szczególności zawiera bogatą ofertę składania tekstów matematycznych oraz technicznych. W rozdziale drugim tego artykułu zamieszczono kilka przykładów tekstu technicznego, zawierającego skomplikowane wyrażenia matematyczne, tabele czy grafikę. Ponadto system L A TEXpozwala w łatwy sposób podzielić publikację na rozdziały, dołączyć spis treści, bibliografię czy przypisy autora, które są tworzone dynamicznie za pomocą kilku komend. Dzięki temu tekst staje się przejrzysty i bardziej czytelny dla odbiorcy, a autor artykułu nie musi martwić się o prawidłową redakcję tych jakże ważnych części swojej publikacji.. Warunki korzystania z usługi Oferta dotyczy wyłącznie złożenia wcześniej przygotowanego tekstu w systemie L A TEX. Nie zajmujemy się pisaniem prac zaliczeniowych. Tekst źródłowy może być dostarczony w formacie.txt,.doc,.docx,.pdf, bądź jako skan rękopisu. Klient otrzymuje plik w formacie.pdf. Za dodatkową opłatą, na życzenie klienta, istnieje możliwość uzyskania także pliku w formacie.tex. Przed przystąpieniem do wykonania usługi dokonywana jest indywidualna wycena, zależna od stopnia skomplikowania projektu, jego objętości ilość stron), jakości tekstu źródłowego łatwość jego odczytu), czy czasu przeznaczonego na realizację zlecenia. Po szczegółowym omówieniu warunków umowy oraz zaakceptowaniu wyceny klient dokonuje przedpłaty w wysokości 50% uzgodnionej należności. Drugą połowę należy uregulować po wykonaniu usługi.

4 3 Przykładowe próbki tekstu. Definicje i twierdzenia Klasa tzw. najprostszych zadań rachunku wariacyjnego [], określonych za pomocą całki: J [ yx) ] = x B x A F oraz warunków brzegowych yx A ) = y A, yx B ) = y B. [ x, yx), y x) ] dx ) Definicja. Jeżeli krzywe y x) i y x) mają w przedziale [a, b] ciągłe pochodne do n-tego rzędu, to odległością n-tego rzędu między tymi krzywymi na przedziale [a, b] nazywa się następującą, nieujemną liczbę ρ n : ρ n = ρ n y x), y x) ) = max 0 k n max a x b y k) x) y k) x). Definicja. Poprzez ε-otoczenie n-tego rzędu funkcji y C n a, b) nazywamy zbiór wszystkich funkcji ȳ C n a, b), spełniających nierówność: gdzie ε > 0. ρ n y, ȳ ) ε, Definicja.3 Funkcjonał J [ yx) ] osiąga na pewnej krzywej y 0 x) słabe maksimum minimum) lokalne, jeżeli na wszystkich krzywych dopuszczalnych yx), leżacych w pewnym ε-otoczeniu pierwszego rzędu krzywej y 0 x), zachodzi nierówność: J [ yx) ] J [ y 0 x) ] J [ yx) ] J [ y 0 x) ]). Twierdzenie. Warunkiem koniecznym na to, aby funkcjonał ), określony w zbiorze funkcji y = yx), x A x x B, mających ciągłą pochodną i spełniających warunki yx A ) = y A, yx B ) = y B, osiągał dla danej funkcji yx) słabe ekstremum jest, aby funkcja F spełniała tzw. równanie Eulera: F y d [ ] F = 0. ) dx y. Macierze.. Iloczyn tensorowy macierzy [ 0 0 ] =

5 .. Macierz odwrotna Przykład 5. Za pomocą operacji elementarnych na kolumnach znaleźć macierz odwrotną do macierzy A= Rozwiązanie. Obliczenia mogą tu przebiegać następująco: Zatem A = K K 3K K K 3 K K K K K K K 3K K 3 K 3 + 3K K 3 K K K + 5K K K 3K Wskazać macierz odwrotną do danej macierzy elementarnej: a) 0 0 ; b) 0 0 ; c) d) ; e) ; f) ;.

6 5.3 Układy równań k x = αa x + βb x δd x k y = αa y + βb y δd y k z = αa z + βb z δd z F x F y F z + λt) G x d dt + λt) G y d dt + λt) G z d dt F x ) = 0 F ) = 0 y ) F = 0 z. Granice lim x 3 lim n fx) = lim + x n n) = lim + n n x x x x + 3 = lim xx ) x 3 + x )x 3) = lim x 3 + ) [ n ) ] n = lim + n n = e x x = +.5 Wzory.5. Sumy uogólnione [ A n = A A n \ n= n= n i= A i )] 3).5. Algorytm mrówkowy Ilość feromonu τ k+ ij w punkcie i, j), po operacji aktualizacji śladu feromonowego, można wyznaczyć z poniższych wzorów: τ k+ ij = max τij k ρ, ) τ k+ ij = { max, min τ k+ ij µ Lk ij = n ξ l k l straight, 55, τ k+ ij )) + µ Lk ij, i, j) L k, i, j) / L k gdzie: τij k - ilość feromonu w punkcie i, j), w iteracji k; ρ - współczynnik określający szybkość parowania feromonu; ξ - wpółczynnik określający ilosć feromonu nanoszonego na trasę; l k - długość trasy L k ; l straight - długość trasy w linii prostej z A do B..5.3 Brachistochrona T = x A x B + [ y x) ] g y A yx) ) dx = πr g J B y, y,..., y n ) = n+ i= 0 + [ y x) ] ya yx) + y i y i h gya y i ) ) dx ) h 5) Feromon pozostawiony przez mrówkę wraz z upływem czasu paruje, stąd potrzebna jest ciągła aktualizacja jego ilości, pozostałej na trasie.

7 6.6 Tabele.6. Struktura trójkątna Krzyżowanie chromosomów ) ) ) ) ) 0 0 0).6.3 Zestawienie danych testowych 0 0 ) ) ) ) 0 0 0) ) n Liczba iteracji Ilość mrówek Czas działania algorytmu w sekundach Długość uzyskanej trasy w 5 uruchomieniach max min avg max min avg 0 0,36 0,99 0,369 06,89 7,969 7,37 0 0,977 0,5 0,73 8,89 6,85 86,79 0,97,368,687 03,565 5,659 6,50 0 7,707,775,8 33,39 9,68 3, ,77,3,777 33,39 8,7 30,35 0 5,99 3,97 5,39 30,69 7,87 8,78 0,687,06 3,630 3,063 8,60 8, ,56 3, 5,9 9,39 8,6 8,758 0,768,0,63 9,635 7,360 8,77 0,59 8,35 0,5 39,007 3,570 35,8 0 0,3 9,79 0,80 38,7 3,8 35,00 0 0,558 36,55 38,950 35,9 9,666 3, ,377 9,693,08 3,5 30,7 3, ,33 38,63 3,76 37,69 3,80 3, ,998 76,689 80,89 3,658 30,63 30,80

8 7.6. Domino matematyczne log 8 e 0 log log log + log 5 ln 3) 3 log ,5 log 0, log 8 log log 3 7 log 0,0 log 5 0,0 ) 3 log0,5 6 ) 3 log 3 9 log 0 log 5) log 5 + log 6 ) log ) log log Siatka pomiarowa 6 0, ) 7, ) 8, ) 9 3, ) 0, 3) 3, 3), 3) 5 3, 3) 8 0, ) 9, ) 0, ) 3, ) 0, ) 5, ) 6, ) 7 3, ) 0 0, 0), 0), 0) 3 3, 0)

9 8.7 Linear differential equations of second order Problem 8. a) d y dt + y = cost), y0) = 0, dy dt t=0 = 0 According to the Problem 7 question b) the solution is: yt) = B cost) + B sint) + ω cosωt) Consider the conditions: y0) = 0 dy dt t=0 = 0 Therefore: = B + ω = 0 B = 0 = B = ω B = 0 yt) = ω cost) + ω cosωt) = ) cost) cosωt) ω = [ ) ) ) )] sin t + ωt sin t ωt ω = ω sin t + ω ) ) sin t ω ) ) b) Consider the solution: yt) = ω sin t + ω ) ) sin t ω ) ) The function sinx) is limited by the values of the interval [-,], so the product: sin t + ω ) ) sin t ω ) ) is limited too. Then the amplitude of function yt) strongly depends on factor Consider ω > 0. ω 0, ) = ω 0, ) = ω > Therefore the amplitude increases when ω 0, ) increases. ω > = ω < Therefore the amplitude decreases when ω > increases. ω.

10 9.8 Zestawy zadań.8. Algebra liniowa 8. Przekształcenie liniowe ϕ : R 3 R określone jest wzorem: ϕ[x, x, x 3 ]) = [5x x + 3x 3, 9x 7x + x 3 ] Wyznaczyć jedną z baz przestrzeni kerϕ. 9. Znaleźć po jednej bazie jądra i obrazu przekształcenia liniowego φ : R R 3, którego wartość w dowolnym punkcie [x, x, x 3, x ] R jest równa: a) [x + 5x + x 3 + x, 3x + x + x 3 + x, 5x + x + 5x 3 + x ]; b) [x x + x 3 + x, x + 5x x 3 + 3x, 3x + x 3 + x ]; c) [x x + 5x 3 + 3x, x x + 6x 3 + 5x, x x + 7x 3 + 7x ]; d) [x x + x 3 3x, x x + x 3 3x, x x + 8x 3 6x ]; e) [x x + 3x, x 8x + 5x, 5x 0x + 8x ]. 50. Zbudować tabelki działań w podanej przestrzeni ilorazowej: a) Z 3 /W, gdzie W = {[0, 0, 0], [, 0, 0]} b) Z /W, gdzie W =lin[,, 0, 0], [0, 0,, ]) c) Z 3/W, gdzie W =lin[, ]) d) Z 3 /W, gdzie W =lin[,, 0], [0, 0, ]) 5. Opisać warstwy przestrzeni wektorowej V względem jej podprzestrzeni W. Korzystając z tego opisu, udowodnić związek V/W = V, jeśli: a) V = R, W = {a n ) n= R : a = 0}, V = R; b) V = R, W = {a n ) n= R : a = a = 5a 3 }, V = R ; { } c) V = C 0,, W = f C 0, : fx)dx = 0, V = R; d) V = C 0, ), W = 0 { f C 0, ) : n N } fn) = 0, V = R ; e) V = M, R), W = {[a ij ] M, R) : a = a = 0}, V = R ; f) V = Mn, K), W = {A Mn, K) : tra = 0}, V = K..8. Potęgi i pierwiastki liczb rzeczywistych Zadania zamknięte.. Jeżeli a = 6 : 6, b = 6 3 ), c = 6 6 ) 3 i d = 6 : 6 ) 3, to A) d < a < c < b, B) d < a < b < c, C) a < d < c < b, D) a < d < b < c.. Która z podanych liczb jest największa? 3 A) , B) 8, C) 9 ) 3, D) ). 3. Dla a = 3 5 i b = 8 6 wartość wyrażenia a b wynosi: A) 33 3, B) , C) 7 + 3, D)

11 0 Zadania otwarte.. Porównaj liczby x i y. x = [ ) ] , y = + 3 ) ) ) Uporządkuj rosnąco liczby: a = c =, , , , 3 b = , , 5 3 0, 6 + : 3 6, 5 5) , 0005 ) Co jest większe, 3 liczby x, czy 66% liczby y? x = , y = , Funkcja wykładnicza i logarytmiczna. Rozwiąż nierówności: a) log x log 5x 6), 3 3 b) log x x + ) <, c) log x5x ) + log x.. Rozwiąż równania i nierówności. a) x = 3x b) ) 5x 3 < 6 x 3) c) x = x + d) x ) x 5) > 5 e) 3 x +8 = ) 3x f) 0, 5 3x 0, 5 x+ 9 g) 3 x+ + 3 x = 30 h) x+ + x 8 3. Przyjmując, że a = log 3 0 oraz b = log 3 5, wyraź za pomocą a i b wartość logarytmu: a) log 3 50, b) log 3 500, c) log 3 50, d) log 3.. Wykaż, że x = log 3 + log 3, 5) log 5 5 jest liczbą całkowitą.

12 .9 Grafika.9. Wykresy funkcji trygonometrycznych sin x cos x.9. Wykresy fynkcji parametrycznych.9.3 Pole wektorowe

13 3 Kontakt Usługi Edukacyjne ScienceU ul. Zbożowa / Katowice mobile: website: www. facebook: MatmaScienceU

14 3 Literatura [] R. Grzymkowski, E. Hetmaniok, D.Słota: Wykłady z modelowania matematycznego. Wybrane metody obliczeniowe w rachunku wariacyjnym oraz w równaniach różniczkowych i całkowych, Pracownia Komputerowa Jacka Skalmierskiego, Gliwice 00.