Geometria stanów kwantowych

Transkrypt

1 Załącznik nr 1 do komunikatu dziekana WFAIS UJ nr 1/2014 Uniwersytet Jagielloński w Krakowie Wydział Fizyki, Astronomii i Informatyki Stosowanej Konrad Szymański Nr albumu: Geometria stanów kwantowych Praca licencjacka na kierunku fizyka Praca wykonana pod kierunkiem prof. dr hab. Karola Życzkowskiego Instytut Fizyki UJ, Zakład Optyki Atomowej Kraków :

2 Załącznik nr 1 do komunikatu dziekana WFAIS UJ nr 1/2014 Oświadczenie autora pracy Świadom odpowiedzialności prawnej oświadczam, że niniejsza praca dyplomowa została napisana przeze mnie samodzielnie i nie zawiera treści uzyskanych w sposób niezgodny z obowiązującymi przepisami. Oświadczam również, że przedstawiona praca nie była wcześniej przedmiotem procedur związanych z uzyskaniem tytułu zawodowego w wyższej uczelni. Podpis autora pracy Data Oświadczenie kierującego pracą Potwierdzam, że niniejsza praca została przygotowana pod moim kierunkiem i kwalifikuje się do przedstawienia jej w postępowaniu o nadanie tytułu zawodowego. Podpis kierującego pracą Data 2:

3 SPIS TREŚCI Spis treści 1 Streszczenie 4 2 Wstęp Macierze gęstości H 2 kula Blocha Zagadnienie 7 4 Metody Generowanie obrazów metodą numeryczną Generowanie obrazów przy użyciu bazy Gröbnera Generowanie obrazów metodą Monte Carlo Wyniki Klasyfikacja dwuwymiarowych rzutów ze względu na relacje komutacji Klasyfikacja rzutów trójwymiarowych ze względu na relacje komutacji Klasyfikacja trójwymiarowych rzutów ze względu na właściwości geometryczne Podsumowanie 16 A Macierze odpowiadające wygenerowanym obrazom 17 3:

4 1 Streszczenie Rzuty macierzy gęstości o wymiarze 2 na płaszczyznę tworzą koło lub elipsę, która może być zdegenerowana do odcinka. Znana jest również klasyfikacja podobnych obiektów dla macierzy gęstości wymiaru 3, jednak uogólnienia na obiekty trójwymiarowe nie były dotąd rozważane. W niniejszej pracy zaprezentowano sposób przedstawiania rzutów zbioru macierzy gęstości wymiaru 3 na trójwymiarowe podprzestrzenie. Dokonano próby klasyfikacji kształtów korzystając z istniejących klasyfikacji dla rzutów dwuwymiarowych. Przykładowe rzuty wydrukowano na drukarce 3D. 4:

5 2 Wstęp 2.1 Macierze gęstości Mechanika kwantowa w najprostszym ujęciu operuje wektorami stanu należącymi do pewnej przestrzeni Hilberta H. Dzięki obecności struktury liniowej możliwe są efekty kwantowe, takie jak interferencja. W sytuacji, gdy potrzebny jest opis stanów niekoherentnych lub mieszanin statystycznych potrzebny jest obiekt o innych własnościach [1]. Najprostszym uogólnieniem wektorów są operatory działające na pierwotnej przestrzeni Hilberta H. Jest to uogólnienie, gdyż każdemu wektorowi stanu ψ odpowiada operator rzutowy ρ ψ = ψ ψ. (1) W ortonormalnej bazie elementy diagonalne takiego operatora mają interpretację prawdopodobieństwa: w bazie { 1,..., n } prawdopodobieństwo zmierzenia i tego stanu to p i = i ψ 2, (2) zaś skoro to równanie (1) przyjmuje postać ψ = i i ψ, (3) i ρ ψ = i j i ψ ψ j. (4) i,j skąd można odczytać elementy diagonalne: i ty element jest równy właśnie ψ i 2. Operatory jednak można do siebie dodawać i mnożyć przez dodatnie wagi p i (przyjmuję i p i = 1) ρ = i p i ψ i ψ i. (5) Uzyskane w ten sposób obiekty niekoniecznie będą projektorami. Taka konstrukcja oznacza, że stan ρ jest z prawdopodobieństwem p i stanem ψ i. Jest to oczywisty wniosek, gdy obliczeń dokona się w bazie złożonej z wektorów ψ i (gdy tworzą ortonormalną bazę), widać to również w obliczeniu wartości średniej mierzonej obserwabli A: wartości średniej dla stanu czystego ψ A ψ odpowiada wartość Tr ρ ψ A (6) i uogólnia się to na stany mieszane. Dla stanu opisanego równaniem (5) wartość średnia to Tr ρa = i p i Tr ρ i A, (7) czyli wartości średnie zmierzone dla stanów i zmieszane z takimi samymi wagami, z jakimi zmieszane były stany. Ogólne obiekty powstałe w ten sposób nazywane są macierzami (lub operatorami) gęstości. Spełniają one trzy warunki: 5:

6 2.2 H 2 kula Blocha 1. ślad macierzy gęstości jest jednostkowy, Tr ρ = 1, wynika to z interpretacji elementów diagonalnych jako prawdopodobieństwa, 2. są one hermitowskie, ρ = ρ, 3. są słabo dodatnio określone, ρ 0 prawdopodobieństwo jest nieujemne. 2.2 H 2 kula Blocha W przestrzeni Hilberta H 2 opisującej między innymi stan polaryzacji światła monochromatycznego lub cząstki o spinie 1/2 można wprowadzić macierze gęstości i zinterpretować je geometrycznie. Z warunków normalizacji i hermitowskości podanych wcześniej wynika bowiem parametryzacja każdego (niekoniecznie czystego) stanu o postaci ( ) 1/2 + z x + iy ρ = (8) x iy 1/2 z Pozostaje do wykorzystania dodatnia określoność. Ponieważ wartości własne powyższej macierzy λ 1, λ 2 sumują się już z samej parametryzacji do 1, przynajmniej jedna z nich jest dodatnia. W takim wypadku wyznacznik macierzy, będący iloczynem λ 1 λ 2 wyznacza warunkiem det ρ 0 obszar dodatniej określoności. Jawnie jest to nierówność det ρ = 1 4 (x2 + y 2 + z 2 ) 0. (9) A więc macierze gęstości tworzą kulę o promieniu r = 1 w przestrzeni parametrów. 2 Warto zauważyć, że w tym przykładzie na powierzchni obszaru są jedynie stany czyste dla wyższych wymiarów macierzy gęstości to nie jest prawda. Wynika to z faktu, iż zbiór stanów czystych opisywany jest 2N 2 parametrami, a powierzchnia zbioru macierzy gęstości opisana jest N 2 2 parametrami. 6:

7 3 Zagadnienie Ogólnie parametrów opisujących macierze gęstości wymiaru N jest N 2 1. W przypadku N = 2 prowadzi to do trójwymiarowego zbioru parametrów opisującego macierze gęstości, jednak dla wyższych wymiarów opis i wizualizacja nie są proste. Intuicje, które działają dla przykładu N = 2 nie przenoszą się na wyższe wymiary. W ogólności zbiór macierzy gęstości nie jest kulą, a jego powierzchnia zawiera też stany mieszane. Aby zbadać geometrię zbioru stanów kwantowych, warto mieć pewne intuicje co do niżej wymiarowych obiektów związanych z tym zbiorem jego trójwymiarowych rzutów. Rzuty są uogólnieniem metody zastosowanej przy analizie kuli Blocha. Biorąc 3 hermitowskie macierze F 1, F 2, F 3 można dokonać rzutowania macierzy gęstości ρ, dostając pewien punkt x = (x, y, z) R 3 : x = (Tr ρf 1, Tr ρf 2, Tr ρf 3 ). (10) Warto zauważyć, że punkt x należy do przestrzeni rozpiętej przez trzy obserwable i przedstawia wynik pomiarów trzech wartości oczekiwanych różnych obserwabli dokonanych na oddzielnych kopiach badanego stanu ρ. Rzutem całego zbioru macierzy gęstości Ω (jest to zbiór wszystkich dodatnio określonych operatorów odpowiedniego wymiaru o unormowanym do 1 śladzie) jest więc {(Tr ρf 1, Tr ρf 2, Tr ρf 3 ) ρ Ω}. (11) I tak obrazem zbioru macierzy gęstości jednego kubitu jest kula Blocha trójką operatorów w tym przypadku są trzy macierze Pauliego, σ 1, σ 2, σ 3 : ( ) 0 1 σ 1 =, (12) 1 0 ( ) 0 i σ 2 =, (13) i 0 ( ) 1 0 σ 3 =. (14) 0 1 7:

8 Rysunek 1: Przedstawienie metody numerycznego generowania obrazu w przypadku dwuwymiarowym przy pomiarze wartości oczekiwanych dwóch obserwabli. Przecięcie prostej x = λ max z brzegiem analizowanej powierzchni (tutaj jest to jeden punkt) jest podzbiorem brzegu generowanym w czasie jednego przebiegu algorytmu numerycznego. Brzeg w przypadku trójwymiarowym generowany jest analogicznie. 4 Metody Obraz rzutowania zbioru macierzy gęstości można otrzymać na różne sposoby. W niektórych przypadkach możliwe jest otrzymanie wyniku analitycznego, gdy okazuje się to zbyt skomplikowane, istnieją metody numeryczne zwracające wynik z dowolną zadaną dokładnością. Wszystkie one wyznaczają brzeg rzutu zbioru macierzy gęstości. 4.1 Generowanie obrazów metodą numeryczną Kluczową obserwacją jest fakt, że rzutowanie pojedyńczej macierzy hermitowskiej F, to jest zbiór W (F ) = {Tr ρf ρ Ω} (15) jest przedziałem domkniętym o brzegu składającym się z najmniejszej i największej wartości własnej F, λ min, λ max. Zbiór ten nazywany jest zakresem numerycznym lub obrazem numerycznym, a na pamiątkę oryginalnych prac Hausdorffa [2] z roku 8:

9 4.1 Generowanie obrazów metodą numeryczną 1919, który nazywał go Wertebereich lub Wertvorrat oznaczany często jest literą W. Tak więc W (F ) = [λ min, λ max ]. (16) Przeciwobrazem λ max jest oczywiście zbiór projektorów na podprzestrzeń własną do wartości własnej λ max operatora F. Fakt ten przydaje się przy analizie rzutów dwu i trójwymiarowych. Dla dwóch operatorów hermitowskich F 1, F 2 definiuję łączny zakres numeryczny (ang. joint numerical range) W (F 1, F 2 ) = {(Tr ρf 1, Tr ρf 2 ) ρ Ω}. (17) Oznaczam P za zbiór projektorów na największą wartość własną F 1. Jeżeli przestrzeń ta jest jednowymiarowa, zbiór P jest singletonem. Korzystając z poprzednio udowodnionego lematu, można powiedzieć, że zbiór {(λ max, Tr pf 2 ) p P } (18) należy do brzegu I(F 1, F 2 ) jest to pozbiór prostej x = λ max. Procedura numerycznego generowania obrazu dwuwymiarowego polega na znajdowaniu zbiorów wygenerowanych w opisany powyżej sposób dla wielu kierunków (w powyższej procedurze wyznaczono fragment brzegu w kierunku x) zob. Rys. 1. W związku z ogólnymi własnościami zrzutowanego zbioru macierzy gęstości (jest on wypukły, ponieważ zbiór macierzy gęstości jest wypukły), powstały w ten sposób zbiór jest podzbiorem brzegu, w przypadku granicznym dokładnie nim. W pseudokodzie, algorytm prezentuje się następująco: φ 0 W {} dopóki φ 2π wykonuj G 1 cos φf 1 + sin φf 2 G 2 cos φf 2 sin φf 1 λ max największa wartość własna G 1 W {(λ max, Tr ρg 2 ) ρ P )} W {(cos φx sin φy, cos φy + sin φx) (x, y) W } W W W φ φ + φ koniec: dopóki Przejście do trójwymiarowych rzutów postępuje analogicznie: dla danego unormowanego do długości 1 wektora n determinuje się największą wartość własną macierzy n 1 G 1 + n 2 G 2 + n 3 G 3. (19) Następnie wyznaczany jest zbiór projektorów P na podprzestrzeń własną do tej wartości własnej. W ten sposób wyznaczany jest fragment brzegu rzutu zbioru macierzy gęstości w R 3. 9:

10 4.2 Generowanie obrazów przy użyciu bazy Gröbnera 4.2 Generowanie obrazów przy użyciu bazy Gröbnera W niektórych przypadkach możliwa do zastosowania jest procedura analityczna [3, 4]. Definiuję dla ustalonej trójki operatorów hermitowskich F 1, F 2, F 3 wielomian oraz zmienne P (x, y, z, t) = det (1t + F 1 x + F 2 y + F 3 z) (20) u = x P, v = y P, w = z P, s = t P. (21) Zmienne te wyrażają tak zwane współrzędne liniowe i odpowiadają parametryzacji płaszczyzn stycznych do badanego kształtu. Za pomocą istniejących algorytmów znajdujących bazę Gröbnera można znaleźć taki zbiór wielomianów, który ma identyczny zbiór pierwiastków jak wielomiany P, u x P, v y P, w z P, s t P, natomiast wyrażony jest w zmiennych u, v, w, s i jest znacznie uproszczony. Korzystając z metod geometrii rzutowej można udowodnić, że przy postawieniu s = 1 zbiór pierwiastków tych wielomianów ma podzbiór w postaci poszukiwanej powierzchni brzegu zbioru rzutów. Baza Gröbnera pozwala uprościć problem, jednak wybór odpowiednich wielomianow zawierających fragmenty poszukiwanej powierzchni w zbiorach pierwiastków jest nieoczywisty i w zasadzie musi zostać przeprowadzony ręcznie. Często powierzchnia zawarta jest w zbiorach pierwiastków dużej liczby wielomianów, dlatego też metoda ta ma ograniczone zastosowanie Generowanie obrazów metodą Monte Carlo W sytuacjach, gdy niemożliwe jest użycie powyższych technik, można zastosować metodę Monte Carlo. Przykładem potencjalnego celu jest generowanie obrazów zbioru stanów separowalnych. Sposób ten opiera się o numeryczne wyznaczanie rzutów całego zbioru macierzy gęstości przy użyciu próbek. Próbkowanie zbioru może przebiegać na różne sposoby. Jedną z możliwości jest generowanie losowych macierzy gęstości metodą Ginibre a. Gdy dany jest zbiór M macierzy wielkości n n o elementach będących niezależnymi zmiennymi zespolonego rozkładu normalnego N(0, 1), zbiór { } mm Ω = Tr mm m M (22) zawiera elementy spełniające warunki, których należy oczekiwać od macierzy gęstości wymiaru n. Są one dodatkowo rozłożone równomiernie w przestrzeni rzutów, tj. dla n 2 1 liniowo niezależnych macierzy hermitowskich {F 1,..., F n 2 1} zmienna losowa (Tr ρf 1,..., Tr ρf n 2 1) (23) ma rozkład jednorodny w granicach nośnika rozkładu. 10:

11 4.3 Wyniki Rysunek 2: Cztery możliwe geometrie dwuwymiarowych rzutów zbioru macierzy gęstości wymiaru 3. Czerwonym kolorem zaznaczono odcinki. Poszczególne przypadki różnią się liczbą odcinków zawartych w brzegu zbioru: w (a) widoczne są 3, (b) 2, (c) 3, (d) 0. Można również próbkować tylko pozdbiór stanów czystych jest to procedura szybsza, gdyż generuje mniej punktów nieużywanych w obliczeniach powierzchni. W tym celu generowany jest zbiór wektorów V o elementach z rozkładu jednostkowej sfery zespolonej, a zbiór próbek wyznaczany jest z niego przez stworzenie operatorów rzutowych. Ω = { v v v V } (24) Po stworzeniu zbioru próbek Ω w dowolny sposób jest on rzutowany przy użyciu macierzy F 1, F 2, F 3 rzut oznaczam literą W : W = {(Tr ρf 1, Tr ρf 2, Tr ρf 3 ) ρ Ω}. (25) Następnie przy użyciu znanych algorytmow tworzona jest otoczka wypukła zbioru W jest to wynik działania algorytmu. 4.3 Wyniki Klasyfikacja dwuwymiarowych rzutów ze względu na relacje komutacji W przypadku obrazów dwuwymiarowych możliwe są cztery przypadki [5] (zob. Rys. 2) 11:

12 4.3 Wyniki (a) macierze F 1, F 2 komutują obraz rzutu jest trójkątem, (b) macierze F 1, F 2 komutują na jednowymiarowej podprzestrzeni (mają jeden wspólny wektor własny) obraz rzutu jest powłoką wypukłą owalu i punktu poza owalem, (c) macierze F 1, F 2 nie mają żadnego wektora własnego i wielomian związany z wielomianem det (z1 + xf 1 + yf 2 ) relacją dualności w przestrzeni rzutowej ma stopień 4 obraz rzutu zawiera w swoim brzegu jeden odcinek [3], (d) macierze F 1, F 2 nie mają żadnego wspólnego wektora własnego i powyższy wielomian ma stopień 6 obraz rzutu jest owalem Klasyfikacja rzutów trójwymiarowych ze względu na relacje komutacji Klasyfikację obrazów dwuwymiarowych można uogólnić na obrazy 3D. Uogólnienia można dokonać rozważając wszystkie trzy pary F 1, F 2, F 3. Z dokładnością do permutacji są więc możliwe następujące możliwości: 1. żadna para nie komutuje, a ponadto (a) żadna para operatorów nie generuje odcinka, (b) jedna para operatorów generuje odcinek, (c) dwie pary operatorów generują odcinek, (d) trzy pary operatorów generują odcinek 2. jedna para ma jeden wspólny wektor własny, a ponadto (a) żadna para operatorów niekomutujących nie generuje odcinka, (b) jedna para operatorów niekomutujących generuje odcinek, (c) dwie pary operatorów niekomutujących generują odcinek, 3. jedna para komutuje, a ponadto (a) żadna para operatorów niekomutujących nie generuje odcinka, (b) jedna para operatorów niekomutujących generuje odcinek, (c) dwie pary operatorów niekomutujących generują odcinek, 4. dwie pary mają po wspólnym wektorze własnym, a ponadto (a) żadna para operatorów niekomutujących nie generuje odcinka, 12:

13 4.3 Wyniki (b) jedna para operatorów niekomutujących generuje odcinek, 5. jedna para ma wspólny wektor własny i jedna para komutuje, a ponadto (a) żadna para operatorów niekomutujących nie generuje odcinka, (b) jedna para operatorów niekomutujących generuje odcinek, 6. dwie pary komutują, a ponadto (a) żadna para operatorów niekomutujących nie generuje odcinka, (b) jedna para operatorów niekomutujących generuje odcinek, 7. dwie pary mają po wspólnym wektorz własnym, jedna para komutuje, 8. dwie pary komutują, jedna ma wspólny wektor własny, 9. trzy pary mają po wspólnym wektorze własnym, 10. trzy pary komutują. Klasyfikacja ta często nie pozwala na wnioskowanie o właściwościach geometrycznych obiektu. Poza przypadkiem trzech komutujących par relacje komutacji nie są zachowane przy operacjach liniowych. Gdy zdefiniuje się przekształcenie F i = j L j i F j, (26) łatwo wykazać, że obraz W (F 1, F 2, F 3) jest przekształceniem liniowym obrazu danego oryginalnymi macierzami. Komutatory jednak w przypadku ogólnym się zmieniają (też liniowo, jednak z innymi współczynnikami): [F i, F j] = L k i L l j[f k, F l ]. (27) k,l Pozostają one takie same, niezależnie od przekształcenia liniowego, tylko w jednym przypadku gdy wszystkie pary F 1, F 2, F 3 komutują. Możliwe jest przykładowo przekształcenie liniowe operatorów tworzących obraz stożka (a więc dwie pary komutują, jedna nie) do przypadku, gdzie żadna z par nie komutuje. W ogólnym przypadku można zbadać liniową zależność komutatorów w przypadku, gdy jeden jest wyrażalny kombinacją innych, przez odpowiednią zmianę bazy możliwe jest sprowadzenie jednego z rzutów dwuwymiarowych do trójkąta. 13:

14 4.3 Wyniki Klasyfikacja trójwymiarowych rzutów ze względu na właściwości geometryczne Analiza przykładów pozwala dokonać klasyfikacji ze względu na właściwości geometryczne rzutów. Mogą one posiadać płaskie powierzchnie, odcinki oraz wyeksponowane punkty wierzchołki. Podczas analizy przykładów natrafiono na następujące klasy: (a) figury zdegenerowane: odcinki i figury płaskie (wszystkie możliwe klasy), (b) bryły bez ścian, odcinków, wierzchołków owale i elipsoidy, (c) bryły o dwóch ścianach, (d) bryły o dwóch ścianach i łączącym je odcinku, (e) bryły o jednej ścianie i wierzchołku stożki, (f) bryły o jednej ścianie i odcinku, (g) bryły o jednym wierzchołku (otoczka wypukła owalu i punktu), (h) bryły o trzech ścianach, (i) bryły o czterech ścianach. Na chwilę obecną nie jest wiadome, czy są to wszystkie możliwe geometrie rzutów zbioru macierzy gęstości. Odcinek jest obrazem zbioru, gdy wszystkie trzy macierze są liniowo zależne z dokładnością do dodania wielokrotności macierzy jednostkowej, figura płaska natomiast, gdy przez transformację liniową możliwe jest utworzenie macierzy proporcjonalnej do jednostkowej (warto zauwazyć, że jest to możliwe w szczególności gdy trójka operatorów jest liniowo niezależna i wszystkie pary komutują). Oznaczenia w liście odpowiadają tym na Rys. 3. Widoczna jest bogata geometria zbioru stanów: w zależności od wyboru trójki operatorów używanych w rzutowaniu, obraz zmienia się całkowicie od sfery do trójkąta. W przypadku typowym, gdzie macierzami F 1, F 2, F 3 są losowymi macierzami hermitowskimi, obraz jest bryłą bez ścian, odcinków ani wierzchołków (nie jest to elipsoida). Gdy jednak przestrzeń, z której próbkuje się macierze, zawęzi się do projektorów, powstaje figura o czterech ścianach: trzy z nich wynikają z faktu, że dowolne dwa różne projektory wymiaru 3 na przestrzenie jednowymiarowe komutują na jednowymiarowej podprzestrzeni (ortogonalnej do podprzestrzeni, na które rzutują te dwa projektory), istnienie czwartej można wyjaśnić tym, że z trzech różnych projektorów można zbudować operacjami liniowymi operator identycznościowy, komutujący ze wszystkimi innymi. 14:

15 4.3 Wyniki Rysunek 3: Przykłady trójwymiarowych rzutów zbioru macierzy gęstości wymiaru 3. Oznaczenia na obrazku odpowiadają tym w tekście. Poszczególne rzuty różnią się metodami obliczeń w szczególności niektóre z nich, zaznaczone kolorem niebieskim, zostałe wygenerowane metodą Monte Carlo, co prowadzi do nieregularnego kształtu generowanej powierzchni. 15:

16 5 Podsumowanie Przedstawiono sposoby generowania trójwymiarowych rzutów zbioru macierzy gęstości wymiaru 3. Stosując powyższe metody, badano różne rzuty pod kątem różnych właściwości geometrycznych: czy brzeg zawiera wierzchołek, odcinek, ścianę. Znaleziono kilka różnych klas, do których obrazy mogą należeć. Dokonano próby sklasyfikowania rzutów ze względu na relacje komutacji macierzy występujących w operacji rzutowania, jednak są one niejednoznaczne i zazwyczaj możliwe do zmiany operacjami liniowymi (nie zmieniającymi geometrii rzutu). Przykładowe trójwymiarowe figury będące rezultatem pracy zostały wydrukowane na drukarce 3D, co umożliwia ich prezentację w wygodniejszy sposób niż opis słowny. Potencjalnym rozszerzeniem niniejszej pracy może być rozważanie wyżej wymiarowych macierzy gęstości. Przykładowo, już dla wymiaru 4 można analizować różnicę kształtów brył dla pełnego zbioru macierzy gęstości oraz pozbioru stanów separowalnych. Potencjalnie geometria może zmieniać się w nietrywialny sposób możliwe byłoby zastosowanie wygenerowanego w ten sposób obrazu do odróżnienia stanu splątanego od separowalnego przy użyciu pomiarów średnich wartości trzech obserwabli. Można również próbować dokonać wydruku 4D obrazu rzutowania na cztery macierze, W (F 1, F 2, F 3, F 4 ), drukując pewną ilość trójwymiarowych przecięć czterowymiarowej figury lub przedstawiając animację cięć zrzutowanego zbioru na komputerze. Podziękowania Serdecznie dziękuję profesorowi Karolowi Życzkowskiemu za wartościowe dyskusje, przekazaną wiedzę i pomoc w redagowaniu pracy. Dziękuję również doktorowi Stephanowi Weisowi za pomoc w znajdowaniu przykładów oraz czas poświęcony na rozmowę. Za cenne objaśnienia dziękuję także Damianowi Orlefowi. 16:

17 A Macierze odpowiadające wygenerowanym obrazom Oznaczenia odpowiadają tym na Rys. 3. Figury zdegenerowane (a): Odcinek: Elipsa: Trójkąt: F 1 =, (28) F 2 =, (29) F 3 = (30) F 1 = 1 0 0, (31) 0 i 0 F 2 = i 0 0, (32) F 3 = (33) 17:

18 1 0 0 F 1 =, (34) F 2 = 0 1 0, (35) F 3 =. (36) Kula (b): Figura (c) z dwoma płaskimi powierzchniami: F 1 = 1 0 0, (37) 0 i 0 F 2 = i 0 0, (38) F 3 = (39) F 1 = 1 0 0, (40) F 2 =, (41) F 3 = (42) Figura (d) z dwoma płaskimi powierzchniami i odcinkiem: 18:

19 0 1 0 F 1 = 1 0 0, (43) F 2 =, (44) F 3 =. (45) Stożek figura (e): F 1 = 1 0 0, (46) 0 i 0 F 2 = i 0 0, (47) F 3 =. (48) Płetwa rekina figura (f): F 1 = 0 1 0, (49) F 2 = 2 0 1, (50) F 3 = (51) Krasnoludek figura (g): 19:

20 Figura (h) z trzema płaskimi powierzchniami: F 1 = 0 1 0, (52) F 2 = 1 0 0, (53) 0 i 0 F 3 = i 0 0. (54) F 1 = 1 0 0, (55) 0 i 1 F 2 = i 0 0, (56) F 3 =. (57) Figura (i) z czterema płaskimi powierzchniami (otoczka wypukła powierzchni Steinera): F 1 = 1 0 0, (58) F 2 =, (59) F 3 =. (60) :

21 LITERATURA Literatura [1] Bengtsson, Ingemar i Życzkowski, Karol. Geometry of quantum states: an introduction to quantum entanglement. Cambridge University Press, [2] Hausdorff, F., Der Wertvorrat einer Bilinearform, Mathematische Zeitschrift 3 (1919): [3] Keeler, Dennis S., Rodman, Leiba i Spitkovsky, Ilya M. The numerical range of 3 3 matrices. Linear Algebra and its Applications (1997): [4] Shapiro, Helene. A conjecture of Kippenhahn about the characteristic polynomial of a pencil generated by two Hermitian matrices. II. Linear Algebra and Its Applications 45 (1982): [5] Dunkl, Charles F., Gawron, P., Holbrook, J. A., Miszczak, J. A., Puchała, Z. i Życzkowski, K. Numerical shadow and geometry of quantum states. Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical (2011): :