Politechnika Lubelska Podyplomowe Studium Matematyki z Elementami Informatyki. Zdzisław Dziura

Transkrypt

1 Politechnika Lubelska Podyplomowe Studium Matematyki z Elementami Informatyki Zdzisław Dziura CELOWOŚĆ STOSOWANIA GIER DYDAKTYCZNYCH W NAUCZANIU MATEMATYKI Praca dyplomowa napisana w Katedrze Matematyki Stosowanej Politechniki Lubelskiej pod kierunkiem dr Janusza Szustera LUBLIN 2003

2 Spis treści 1. Wstęp Sześć etapów Dienesa procesu nauczania matematyki Pojęcie gry i zabawy dydaktycznej Funkcje dydaktyczne gier i zabaw w nauczaniu matematyki Podział gier matematycznych Funkcje gier i zabaw matematycznych Celowość stosowania gier dydaktycznych w procesie aktywizacji uczniów Opis typowych gier i zabaw matematycznych Domino dydaktyczne Kółko i krzyżyk Krzyżówki matematyczne Mrówka Szachownica Wieże Hanoi Figury Pola figur Podział Wykreślanki Układanki z zapałek Arytmograf Układanki Sissa Ben Dahir Figury magiczne Inne mniej popularne gry i zabawy matematyczne Konspekt lekcji matematyki w klasie I gimnazjum, z wykorzystaniem gry dydaktycznej Wnioski Literatura

3 1. Wstęp Matematyka, jak każda inna dziedzina, dla niespecjalistów wydaje się nauką trudną. Jest królową nauk, budząc powszechny szacunek. Niezrozumiały jest fakt, że matematycy rozwiązują zawiłe problemy oraz zadania, z nieprzymuszonej woli, doznając przy tym przyjemności. Często uważa się, iż matematyka wymaga osobliwych właściwości umysłu, wybitnych uzdolnień, a myślenie matematyczne dostępne jest tylko nielicznym. Niewątpliwie jest prawdą, że tych, którzy potrafią odkrywać nowe fakty matematyczne, jest niewielu, tak jak niewielu jest tych, którzy potrafią komponować wartościowe utwory muzyczne, którzy potrafią pisać dobre wiersze, czy osiągać wybitne wyniki w sporcie. Ale iluż jest koneserów muzyki, muzykologów, muzyków odtwarzających zapis nutowy. Wielu z nas uprawia sport dla zdrowia i przyjemności, mimo że nie ustanawiamy żadnych rekordów. Tych, którzy są w stanie zrozumieć matematykę, którym rozwiązywanie prostych a ciekawych problemów czy zadań matematycznych sprawia przyjemność, jest prawdopodobnie tylu, co tych, o których można powiedzieć, iż są muzykalni, bądź pasjonują się geografią czy historią. Uczenie się wymaga oczywiście wysiłku umysłowego jak i dużej aktywności uczącego się, także nauczającego. Niezbędna jest motywacja, którą trzeba kształtować. Nawet najlepszy nauczyciel i doskonałe pomoce nie spełnią swojej roli, gdy uczeń będzie stroną bierną. Doskonałą okazją do pobudzenia aktywności ucznia mogą być gry i zabawy dydaktyczne. Chęć wygrania stanowi silną motywację do podjęcia ryzyka i przełamania awersji. Wszak sama matematyka w dużej mierze przypomina grę, która bawi dopóki się w niej wygrywa, zbyt prosta lub nazbyt trudna zniechęca. Gra pobudza do szukania strategii wygrywającej, a w przypadku matematyki poszukiwanie, zadawanie pytań, odkrywanie jest szczególnie istotne. Matematyka powinna przestać być lamusem szablonowej wiedzy, zbiorem prawideł i definicji, które trzeba wykuć na pamięć i zapomnieć, stając się przedmiotem rozwijającym kulturę myślenia, wrażliwość na prawdę, subtelność rozumowania. Wykorzystanie gier i zabaw dydaktycznych w procesie nauczania jest coraz powszechniejsze w okresie wczesnoszkolnym ucznia (nauczanie zintegrowane, szkoła podstawowa czy gimnazjum). Wybitni dydaktycy dostrzegają w tym narzędziu światełko na końcu tunelu. Może to powstrzyma powszechną modę na ściąganie w czasie pisania prac pisemnych klasowych czy domowych, na rzecz doskonalenia umiejętności przez działanie. 3

4 2. Sześć etapów Dienesa procesu nauczania matematyki Twórcą oryginalnej teorii uczenia się matematyki na bazie gier i zabaw jest Z.P. Dienes. Według tej teorii pojęcia i struktury logiczne lub matematyczne można kształtować za pomocą gier rozgrywanych przez uczniów. Autor podkreśla, że każde uczenie się polega na przystosowywaniu się organizmu do otoczenia. Dziecko nauczyło się czegoś, jeżeli potrafi zmienić swoje zachowanie w stosunku do otoczenia, gdy jest zdolne do opanowania sytuacji, które spotka w swoim otoczeniu. Zabawy i gry dzieci stanowią pewien rodzaj ćwiczeń, które pozwalają im na przystosowanie się do sytuacji, jakie mogą potem spotkać w życiu. Analizując proces przyswajania i rozumienia matematyki przez ucznia Dienes wyróżnia sześć następujących etapów: 1) Etap swobodnej zabawy którego celem jest wprowadzenie dziecka w sztucznie stworzone otoczenie tak, aby można było na tej podstawie wyprowadzić pewne konstrukcje logiczne lub matematyczne; 2) Etap gier strukturalnych, gier prowadzonych według ustalonych reguł, które przyzwyczajają ucznia do pewnych ograniczeń w sytuacjach matematycznych.(zbiory reguł w tych grach muszą być tak dobrane, by dotyczyły własności struktur, które dziecko ma poznawać) Rozgrywanie gier strukturalnych nie jest jeszcze uczeniem się matematyki; dla edukacji matematycznej bardzo ważny jest: 3) Etap porównywania gier dla dostrzeżenia ich izomorfizmów; 4) Etap graficznej reprezentacji gier, która pozwala dziecku spojrzeć na gry z zewnątrz, niejako wyjść z góry. Schematyzacja ikoniczna może tu wiązać się na przykład z wykorzystaniem grafów, tabel kartezjańskich, diagramów Venna lub Carolla; 5) Etap symbolicznego opisu reprezentacji graficznej gry i jej badania w odpowiednio dobranym języku; 6) Etap aksjomatyzacji traktowanej jako syntetyczny opis własności tej reprezentacji. 4

5 3. Pojęcie gry i zabawy dydaktycznej Czym jest zabawa? Na pewno czymś przyjemnym, co nie męczy nas psychicznie, jest odreagowaniem na stresy życia codziennego. Obok pracy i uczenia się jest główną formą aktywności człowieka. Towarzyszy mu od urodzenia do śmierci, przybierając w różnych fazach życia coraz inne kształty, zawsze nacechowane pozytywnymi uczuciami. Najwcześniej w rozwoju dziecka pojawiają się zabawy manipulacyjne, później tematyczne oraz równolegle z nimi zabawy konstrukcyjne. W miarę dojrzewania do rozumienia istoty praw i zasad otaczającej nas rzeczywistości, zaczynają pojawiać się gry, najpierw ruchowe, później towarzyskie i dydaktyczne. W literaturze fachowej spotkać można nieco różniące się od siebie definicje gier i zabaw dydaktycznych. Oto kilka przykładów: 1. Zabawa dydaktyczna. To taka zabawa, która prowadzi z reguły do rozwiązania jakiegoś założonego w niej zadania. Natomiast gra dydaktyczna to odmiana zabawy polegająca na respektowaniu ustalonych ściśle reguł i wymagająca wysiłku umysłowego.[w. Okoń, Słownik pedagogiczny, PWN, Warszawa 1975] 2. Zabawa dydaktyczna. To zabawa, która bazuje na podstawowej funkcji psychiki dziecka, na potrzebie zabawy wywiera świadomie wpływ na jego czynności umysłowe. [E. Talarczyk, Zbiór gier i zabaw matematycznych, Warszawa 1985] H. Pieprzyk (Gry i zabawy w nauczaniu matematyki, Oświata i Wychowanie, 1987) przez grę rozumie czynności wykonywane przez grające osoby (zespoły) w liczbie co najmniej dwu, zgodnie z ustalonymi naprzód regułami, których celem jest wygrana jednej z grających osób (jednego z zespołów ). Posunięcia graczy są przypadkowe bądź świadome. W tym drugim przypadku o wygranej decyduje przede wszystkim wysiłek intelektualny i pomysłowość grającego, prowadzące do wyboru właściwej strategii. Zakres pojęcia zabawy jest szerszy od zakresu pojęcia gry. Tak więc każda gra jest zabawą, lecz nie każda zabawa jest grą. Główną cechą różniącą grę od zabawy jest to, iż celem wykonywanych podczas gry czynności jest wygrana jednej ze stron. Ta właśnie chęć wygranej jest motorem do maksymalnego wysiłku intelektualnego i poprzez stosowany wybór reguł może być wykorzystana jako narzędzie dydaktyczne, rozwijające zainteresowania i kształtujące motywację. 5

6 4. Funkcje dydaktyczne gier i zabaw w nauczaniu matematyki 4.1 Podział gier matematycznych Gry matematyczne można podzielić na sprawnościowe, tj. takie, których celem jest rozwijanie umiejętności i sprawności matematycznych uczniów, oraz strukturalne, w których reguły gry oraz poszukiwanie strategii wygrania sprzyjają poznawaniu przez uczniów struktur logicznych lub matematycznych. 4.2 Funkcje gier i zabaw matematycznych Jednym z propagatorów stosowania gier i zabaw w nauczaniu matematyki jest Z. Semadeni. Stoi na stanowisku, iż gry dydaktyczne stanowią doskonałą okazję do pobudzenia i dowartościowania dzieci nieśmiałych lub przekonanych o swoim braku zdolności do matematyki. Gra kojarzy się dzieciom z zabawą, a zaangażowanie emocjonalne pozwala przezwyciężyć lęk przed włączaniem się do wspólnego działania. Ważne jest także to, że gry prowadzone są między uczniami, a nie w relacji uczeń nauczyciel. Dziecko rozmawia z partnerem równorzędnym, swoim kolegą. Wprowadzenie pewnych pojęć za pomocą gier może dać lepsze wyniki niż stosowanie metod tradycyjnych. W praktyce nauczania gry i zabawy matematyczne pełnią funkcje: a) motywacyjne - pozwalają na okazjonalne nauczanie matematyki; uczeń bawiąc się i nie odczuwając znużenia ćwiczy swoje umiejętności matematyczne, poznaje pojęcia i struktury matematyczno logiczne; gry budzą potrzebę uczenia się matematyki i aktywności matematycznej, b) poznawcze - ułatwiają poznanie i pogłębiają rozumienie pewnych pojęć i twierdzeń, a nawet mogą powodować wytworzenie nowego ich obrazu; dążenie do sukcesu w grze jest motorem rozwoju myślenia, bowiem jednym z warunków wygranej w grze matematycznej jest umiejętność szybszego niż u partnera przejścia od chaotycznych prób i błędów na drogę racjonalnego przewidywania na podstawie logicznego rozumowania; o wygranej decyduje tu wysiłek intelektualny i pomysłowość, c) dydaktyczne dają okazję do rozwijania mowy dziecka, które w grze musi adekwatnie przedstawiać pewne informacje; są środkiem pozwalającym na wyrównywanie braków w rozwoju intelektualnym dzieci, zwiększają ich zainteresowanie matematyką, aktywizują procesy poznawcze, wymuszając działanie ucznia w sposób nierepresyjny, bowiem w grze uczestnicy kontrolują się wzajemnie, d) wychowawcze - uczą opanowania i cierpliwości; przyzwyczajają do przestrzegania dyscypliny oraz uświadamiają uczniom potrzebę podporządkowania się wymogom współdziałania w zespole. 6

7 5. Celowość stosowania gier i zabaw dydaktycznych w procesie aktywizacji uczniów Rola gier i zabaw wydaje się niezbyt doceniana jako ważny czynnik w procesie aktywizacji uczniów. Przeważnie nauczyciele koncentrują swoją uwagę na realizacji książkowego materiału, w końcu na testach kompetencji czy egzaminach nie sprawdza się znajomości gier dydaktycznych, więc nie ma czasu na zbyteczny luksus. Ponadto problem może stanowić organizacja lekcji z grami. Możliwe są rozwiązania, niekiedy kontrowersyjne: 1. Wszyscy uczniowie grają przez dłuższy czas; 2. Uczniowie grają krótko, a następnie analizują problem związany z grą; 3. Rozwiązuje się pewien problem matematyczny po pokazowej grze wybranych uczniów z tej klasy; 4. Uczniowie grają w domu, a na lekcji analizuje się otrzymane wyniki. Na konferencjach metodycznych z matematyki, celowość stosowania gier i zabaw w toku lekcji, ma zarówno zwolenników, jak i przeciwników. Zaleca się najczęściej umiar w stosowaniu powszechnym tych narzędzi metodycznych. Wymieniam niektóre możliwości wykorzystania gier i zabaw w nauczaniu matematyki: a) ćwiczenie tabliczki mnożenia i innych sprawności rachunkowych, w miejsce słupków ; b) utrwalanie poznanych wcześniej pojęć; c) sprawdzanie poprawności wykonanych obliczeń; d) mogą przygotowywać do wprowadzenia pojęć z kombinatoryki i rachunku prawdopodobieństwa; e) kształcenie wyobraźni przestrzennej i pomysłowości; f) rozwijanie zdolności myślenia heurystycznego (arytmograf). Aby gry i zabawy aktywizowały uczniów należy przestrzegać następujących reguł : 1. Gra powinna być dostosowana do możliwości percepcyjnych dziecka.gry za łatwe nie rozwijają, za trudne zniechęcają; 2. Przepisy gry muszą być jasne, jednoznaczne i łatwe do opanowania, aby gra mogła przebiegać uczciwie, a przepisy były przestrzegane. W celu przyswojenia reguł danej gry nauczyciel musi dokładnie je wyjaśnić, a nawet wskazane jest, by rozegrał partię z wybranym uczniem lub całą klasą; 3. Gra winna być celową, wnosząc do lekcji coś nowego, by uczniowie byli nią zainteresowani; 4. Ze względu na krótkotrwały charakter uwagi dziecka gra nie powinna przeciągać się w czasie; 5. W czasie gry nie wolno podsycać indywidualnego współzawodnictwa; 6. Należy pamiętać, aby każdy uczeń brał udział w grze, by nikomu nie zabrakło elementów (materiałów); 7

8 7. Pomoce do gier powinny być estetyczne, aby samym wyglądem zachęcały dzieci do podejmowania gry. Nasuwa się jeszcze problem oceny uczniów za wyniki gry, by nie zniechęcić tych, którzy przegrywają. Krakowskim targiem można poprosić uczniów, by sami się ocenili. Skrajnym rozwiązaniem jest brak oceny, ewentualna pochwała ustna. Rekapitulując rozważania, stwierdzam, iż stosując gry i zabawy łatwo można wywołać u uczniów gotowość i zapał do nauki, co jest zasadniczym warunkiem skutecznego uczenia się i nauczania. Gry i zabawy matematyczne to nie tylko rodzaj pomocniczych zajęć, stanowiących przerywnik w uczeniu się na serio, ale mogą być wykorzystane w charakterze poważnego i równoważnego środka w przekazywaniu wiadomości. 6. Opis typowych gier i zabaw matematycznych 6.1 Domino dydaktyczne Ważnym czynnikiem przemawiającym za upowszechnieniem tej gry w szkole jest element samokontroli. Uczniowie wzajemnie kontrolują swoje ruchy, nabierając przy tym wprawy w obliczeniach, które im zlecił nauczyciel. Gra oparta jest na zasadach domina klasycznego, przeznaczona zaś dla dwóch lub czterech osób. Każdy z zawodników otrzymuje po pięć kamieni z talonu, reszta pozostaje w ukryciu. Osoba rozdająca odkrywa pierwszy kamień z talonu. Następnie gracze dokładają po jednym kamieniu do dowolnego końca powstającej układanki, zgodnie z liczbą oczek stykających się ze sobą połówek kamieni. Jeśli gracz nie posiada odpowiedniego kamienia do dołożenia, bierze jeden kamień z talonu i dokłada według zasad. Jeśli nie może wykonać ruchu traci kolejkę. Gra kończy się w momencie, gdy jeden z uczestników pozbędzie się wszystkich kamieni lub kiedy nikt nie może żadnego dołożyć. Ten gracz, który pierwszy pozbył się swoich kamieni wygrywa od przeciwników po tyle samo punktów ile pozostało im kamieni ( reszta otrzymuje punkty karne).jeśli gra została zablokowana wygrywa ten, któremu pozostało najmniej kamieni. Domino składa się zwykle z 28 kamieni, zawierających wszystkie możliwe zestawienia par liczb A, B, C, D, E, F, G. W dominie tradycyjnym przyjmują one wartości 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. W dominie dydaktycznym mogą to być: 1/ liczby wymierne 1, -1,-1/3, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, 0; 2/ liczby całkowite -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3; 3/ potęgi liczb całkowitych, pierwiastki kwadratowe i inne; 4/ wyrażenia algebraiczne itd. 8

9 Każda z liczb w dominie dydaktycznym jest przedstawiana na siedem różnych sposobów. Na przykład: 4; 8/2; 9-5; itd. Oto przykład domina dydaktycznego: 9

10 6.2 Kółko i krzyżyk Reguły tej gry są powszechnie znane. Zawodnik dąży do tego, aby otrzymać trzy kółka lub trzy krzyżyki pionowo, poziomo lub ukośnie na planszy 3x3. Jedna z osób stawia kółka, druga krzyżyki. Aby jednak można było postawić symbol należy rozwiązać zadanie ukryte pod numerem odpowiedniego pola. Jeśli osoba nie da poprawnego rozwiązania traci kolejkę. Następnie wybiera pole osoba przeciwna i tak na przemian. Wygrywa osoba, która wcześniej postawi trzy krzyżyki w linii prostej. Omawiana gra może być użyteczna w celu powtórzenia większych partii materiału. Można przeprowadzić ją między parami uczniów, między zespołami, rozwiązanie może zaś przedstawić kapitan drużyny lub wyznaczona osoba. Zadania przygotowujemy wówczas tematycznie tak, że każde pole reprezentuje inną dziedzinę np. rozwiązywanie równań, wyrażenia algebraiczne, zadania geometryczne i inne. Do każdego tematu dobieramy po kilka zadań w zależności ile partii rozgrywamy. Następująca plansza ilustruje zabawę powtórkową Kółko i krzyżyk. równania procenty pola figur trygonometria funkcje objętość brył wzory skróconego mnożenia podzielność liczb układy równań Przykładowe zadania: Równania: Rozwiąż równanie 2x+5= 24 Podzielność liczb: Sprawdź podzielność liczby przez 3 Objętość brył: Oblicz objętość walca o promieniu podstawy 4 cm i wysokości 63 cm. 10

11 6.3 Krzyżówki matematyczne Krzyżówki mogą być stosowane na lekcji jako forma utrwalenia materiału wprowadzonego w czasie zajęć bądź jako samodzielna praca domowa. Zbudowanie przez nauczyciela krzyżówki jest z pewnością żmudne i pracochłonne, jednakże wysiłek ten na pewno się opłaci, a uczniowie łatwiej i chętniej wykonują nie lubiane obliczenia i rachunki. Oto niektóre z możliwych typów krzyżówek: A/ Wykonaj działania i wpisz wynik w odpowiednie pola krzyżówki. A B C D E F G H I K L M N O P R S T U Poziomo: Pionowo: A 9 4 A 8 4 C 6 3 B 7 9 E 9 5 C 4 3 G 1 7 D 9 9 H 3 3 E 6 7 I 7 3 F 6 9 K 9 8 O 7 7 L 4 8 P 10 8 M 0 6 R 10 2 N 2 2 S 2 6 O 8 6 T 3 7 R 3 7 U 8 5 T 6 4 Rozwiązanie: A 3 B 6 C 1 D 8 E 4 F G 7 H 9 I 2 1 K 7 2 L 3 2 M 0 N 4 O 4 P 8 R 2 S 1 T 2 U

12 B/ W pola krzyżówki należy wpisać 14 kwadratów liczb naturalnych. Każda liczba jest inna i żadna nie zaczyna się od zera. W diagramie ujawniono wszystkie cyfry Rozwiązanie: Mrówka Mrówka wędruje brzegami kwadracików w taki sposób, że zawsze ma ciemny kwadracik po swojej lewej stronie. Wędruje ona od punktu P do punktu R po najkrótszej drodze. Ile jest takich dróg? P Odpowiedź: P R R 12

13 6.5 Szachownica Istnieje wiele różnego rodzaju gier na szachownicy. Większość z nich dotyczy szachownicy 8x8. Są jednak i takie, które rozpatrują szachownice m x k, a nawet szachownice nieograniczone. Oto dwa przykłady: A/ Mucha siedziała w lewym górnym rogu na planszy do gry w szachy. W pewnym momencie zaczęła iść po planszy i stwierdziła ze zdziwieniem, iż jej droga prowadziła przez wszystkie białe pola, przy czym ani razu mucha nie była na czarnym polu, ani razu również nie przeszła dwukrotnie przez ten sam wierzchołek małych kwadratów na szachownicy. Spróbuj odtworzyć drogę muchy. Rozwiązanie: 13

14 B/ Na szachownicy należy umieścić osiem punktów tak, aby żadne dwa nie leżały w tym samym wierszu, w tej samej kolumnie ani na tej samej przekątnej. Ponadto nie wolno wykorzystywać pól tworzących dwie główne przekątne. Jeden punkt został już umieszczony i nie można zmienić jego położenia. Rozwiązanie: 14

15 6.6 Wieże Hanoi Jest to klasyczny przykład problemu algorytmicznego. Mamy trzy paliki - oznaczamy je A, B, C - oraz pewna (n) liczba krążków różnej wielkości z otworami, nałożonych na palik A w kolejności od największego do najmniejszego, największy znajduje się na dole. Łamigłówka polega na przeniesieniu wszystkich krążków z palika A na palik B, z możliwością posłużenia się przy tym palikiem C, w taki sposób, że: a) pojedynczy ruch polega na przeniesieniu jednego krążka między dwoma palikami; b) w żadnej chwili rozwiązywania łamigłówki, większy krążek nie może leżeć na mniejszym. Jaka najmniejsza liczba ruchów jest potrzebna, aby przejść od konfiguracji początkowej do konfiguracji końcowej? Zadanie można rozwiązywać dla dowolnego n>1. Łamigłówkę tę zaproponował w XIX wieku Edouard Lucas, kładąc 8 krążków na paliku A. Odwoływał się przy tym do legendy pochodzącej z Tybetu, która mówi o mnichach rozwiązujących tę łamigłówkę z 64 krążkami. Podobno po uporaniu się przez nich ze wszystkimi krążkami ma nastąpić koniec świata. 15

16 Rozwiązanie dla wieży hanojskiej. Liczba przeniesień: 1) dla dwu krążków L= = 2+1=3( krążek 1 przenosimy dwa razy, krążek 2 jeden raz) 2) dla 3 krążków L= =7 3) dla 4 krążków L= =15 4) dla n krążków L=2 n-1 +2 n-2 +2 n ) dla 64 krążków L= = Gdyby każde przeniesienie trwało tylko 1 sekundę, to czas przeniesienia 64 krążków wyniósłby 5 miliardów stuleci. Ziemia liczy około 4,5 mld lat( Wszechświat 10 mld lat ), co stanowi 0,045 mld stuleci. Do końca świata daleko! 6.7 Figury Zadania te pozwalają powtórzyć pojęcia z geometrii. Ćwiczą wyobraźnię i uczą precyzji. Oto przykłady: A/ Ile prostokątów jest na rysunku obok? Odpowiedź: 34 B/ Ile trójkątów jest na poniższym rysunku? Odpowiedź: 33 16

17 C/ Ile przekątnych posiada wielokąt na rysunku? H G F E A B C D Rozwiązanie: L p = 2 1 n (n-3)= =20; n- liczba boków wielokąta 6.8 Pola figur Przedstawiam zadanie, utrwalające wzory na pola figur płaskich, wymagające pomysłowości i wyobraźni, także manipulowania na planszy. Treść zadania : Pan Kowalski, właściciel hektarowej działki (ma kształt kwadratu), postanowił podzielić swoją posiadłość pomiędzy czterech synów: Bolka, Lolka, Olka i Tolka, pozostawiając sobie jedną czwartą gruntu w kształcie trójkąta. Działki, które pan Kowalski dał synom, nie różniły się między sobą ani kształtem, ani powierzchnią, a ponadto każda z nich była ograniczona linią ciągłą. Jak podzielił pan Kowalski swoją działkę i jaka jest różnica pomiędzy obwodem działki każdego syna i ojca? Rozwiązanie: I Własność Kowalskiego IV I III II III IV II 17

18 Pole działki ojca stanowi 4 1 całości. Pole działki każdego z synów stanowi = + całości. Obwód działki ojca: ( )m Obwód działki każdego z synów stanowi: ( )m. Różnica między obwodami wynosi: 50 m. 6.9 Podział Zadania tego typu nazwać można zabawą, gdyż wymagają pomysłowości i cierpliwości, a rozwiązanie wymaga manipulowania oraz kombinowania, co wymaga czasu, a wynik końcowy nie zawsze jest pozytywny. Oto przykłady: A/ Czy można podzielić sześciokąt foremny tak, aby z jego części ułożyć kwadrat? Odpowiedź: Tak. Rozwiązanie szczegółowe można znaleźć na str. 241 Rozmaitości matematycznych, autorstwa Cecylii Rauszer. B/ Podziel kwadrat na 4 jednakowe części w taki sposób, żeby w każdej z nich każdy z 4 symboli wystąpił dokładnie raz. 18

19 Rozwiązanie: Jest to podział na 4 równe pola, a nie 4 jednakowe co do kształtu figury Wykreślanki Zadaniem rozwiązującego wykreślankę jest znalezienie haseł na podstawie podanych określeń i wykreślenie ich z diagramu. Pozostałe, nie skreślone, litery czytane w odpowiednim porządku -tworzą hasło. Ten rodzaj zabaw tworzony jest dla różnego przedziału wiekowego i cieszy się podobno powodzeniem. Wykorzystanie tego narzędzia dydaktycznego na matematyce, przyzwyczaja do samodzielnej pracy z tekstem matematycznym, zmusza do czytania słowników, podręczników, encyklopedii. Uczniowie poznają hasła, często będące ciekawymi maksymami sławnych ludzi związanych tematycznie z matematyką. Wykreślanki mogą być użyte na lekcji jako forma utrwalenia materiału, jako wprowadzenie nowych pojęć lub jako samodzielna praca domowa. Przygotowanie wykreślanki jest czasochłonne i nie każdy nauczyciel decyduje się na taki krok. Oto przykłady wykreślanek: 19

20 A/ Z poziomych linii wykreśl odgadnięte hasła. Pozostałe litery, czytane poziomo utworzą rozwiązanie. 1 Ł Ą C Z S U M A N O Ś Ć 2 I P R Z E Z E R O M I E 3 N C Z Y N N I K I N O Ś 4 Ć P R A W R Ó Ż N I C A 5 A D Z I E L N I K Z N A 6 N E K A Ż D W Y N I K E 7 M U O D J E M N I K P I 8 Ą T K O I L O R A Z W E 9 I L O C Z Y N M U C Z W 10 A R T D Z I E L N A O K 11 O D J E M N A L A S I Ś 12 C I S K Ł A D N I K I E 1- wynik dodawania; 2- dokończ: mnożenie przez daje zawsze zero; 3- liczby, które mnożymy; 4- wynik odejmowania; 5- liczba, przez którą dzielimy; 6- co jest po znaku równa się w każdym działaniu?; 7- liczba, którą odejmujemy; 8- wynik dzielenia; 9- wynik mnożenia; 10- liczba, którą dzielimy; 11- liczba, od której odejmujemy; 12- liczby, które dodajemy. Rozwiązanie: Ł Ą C Z N O Ś Ć I P R Z E M I E N N O Ś Ć P R A W A Z N A N E K A Ż D E M U P I Ą T K O W E M U C Z W A R T O K L A S I Ś C I E 20

21 Hasło: Łączność i przemienność -prawa znane każdemu piątkowemu czwartoklasiście. B/ Wykreśl z diagramu umieszczone niżej hasła. Są one wpisane poziomo po liniach prostych, wprost lub wspak. Hasła w diagramie nie są umieszczone w kolejności ich podania. Pozostałe litery - czytane kolejno rzędami - utworzą rozwiązanie. S T K O B E F A N B A K E Ł O H C Z R E I W N P R O S T A A C H T Ł A M A N A O P O L S K Y T K N U P I M A T E M A T O D C I N E K Y A T S O R P Ł Ó P K * na przykład: A, B, M; * składa się z kilku odcinków, np.: * wyróżniony odcinek to...łamanej; * część prostej ograniczona dwoma punktami, wraz z tymi punktami; * nie ma początku ani końca, należy do niej nieskończenie wiele punktów; * punkt łączący dwa kolejne boki łamanej; * nieograniczona część prostej. Rozwiązanie: S T E F A N B A N A C H T O P O L S K I M A T E M A T Y K Hasło: Stefan Banach to polski matematyk. 21

22 6.11 Układanki z zapałek Zapałki są prostą i tanią pomocą, ułatwiającą ujrzenie rzeczy niewidocznych, rozwijającą wyobraźnię przestrzenną. Można budować różne figury. Niektóre przykłady: A/ Ułóż z 6 zapałek 4 równe trójkąty. Rozwiązanie: Zapałki tworzą szkielet czworościanu foremnego. B/ Mamy 12 zapałek, przy czym każdą z nich uważamy za jednostkę długości. Ułóż figurę, której pole miałoby 3 jednostki kwadratowe. C/ Ułóżmy z 6 zapałek ułamek 1/7. (patrz rysunek) Czy można, przesuwając jedną zapałkę, różną od tej, która leży poziomo, otrzymać wyrażenie równe 1? Rozwiązanie: I I = 1 D/ Na poniższym rysunku za pomocą 6 zapałek przedstawiona jest liczba 57(zapis rzymski). Należy tak przesunąć dwie zapałki, aby otrzymać wyrażenie równe 0 (pozostałych nie wolno ruszać). Podać przynajmniej jedno rozwiązanie. Rozwiązanie: I I = 0 lub NIL(po łacinie- zero) 22

23 6.12 Arytmograf Jest to zadanie logiczne, będące zabawą matematyczną, dzięki któremu rozwijamy zdolności logicznego myślenia i utrwalamy reguły działań na liczbach naturalnych. Wykorzystuje się symbole liter, czasami symbole graficzne. Podaję przykład: A/ KL : M = N P - K = R S + T = KS Odpowiedź: To zadanie nie ma rozwiązania bo S+T=KS T=10(nie jest to możliwe) B/ Rozwiązanie:

24 6.13 Układanki W tej grze niezbędny jest zmysł do form geometrycznych, bez tego będzie trudno znaleźć rozwiązanie łamigłówki. Gra rozwija wyobraźnię. 1) celem gry jest ułożenie nowych figur geometrycznych z podanych części kwadratu; 2) przed rozpoczęciem gry trzeba sporządzić szablony z brystolu albo tektury; 3) na podstawie rysunku wzorca wykonujemy jego powiększenie, przenosząc składowe figury na karton; 4) wycinamy części wzdłuż linii; 5) z poszczególnych części układamy inne figury (patrz rysunek poniższy ); 6) wykorzystujemy wszystkie części kwadratu. 24

25 6.14 Sissa Ben Dahir Sissa poprosił króla, żeby umieścił należną mu wypłatę na polach szachownicy: jedno ziarno pszenicy na pierwszym polu, dwa ziarna pszenicy na drugim polu, cztery ziarna pszenicy na trzecim polu, osiem ziaren na czwartym polu, itd. Jaka będzie łączna liczba ziaren na szachownicy? Zadanie sprowadza się do obliczenia sumy ciągu geometrycznego. Dla nowicjuszy stanowi niewiadomą, pracochłonną do wyliczenia. Rozwiązanie: Wykorzystujemy wzór na sumę ciągu geometrycznego. S n =a 1 q n 1 ; a 1 =1; q=2; n=64 q 1 2 S 64 = = Figury magiczne Zadania tego typu znane były już w starożytności. Wyróżnia się: kwadraty magiczne; trójkąty magiczne; prostokąty magiczne; wielokąty magiczne; koła magiczne; sześciany magiczne. 25

26 Najbardziej popularne są kwadraty magiczne. Obowiązuje tu zasada, że suma liczb w każdym rzędzie i w każdej pionowej kolumnie, a także na obu przekątnych jest zawsze taka sama. Najbardziej znanym kwadratem magicznym w Europie jest ten, który widnieje na jednym z arcydzieł pędzla Durera o tytule: Melancholia Inne przykłady zadań z kwadratami magicznymi: 1) Wpisz brakujące liczby od 1 do 16 tak, aby powstał kwadrat magiczny, w którym suma liczb w każdej linii pionowej, poziomej i na przekątnych jest równa

27 Rozwiązanie: ) Rozmieść liczby od 1 do 25 w tabelce, aby powstał kwadrat magiczny, w którym sumy liczone pionowo, poziomo i na przekątnych są równe 65. Rozwiązanie: Suma wynosi: 65 27

28 7. Inne mniej popularne gry i zabawy matematyczne Do gier i zabaw logicznych mniej popularnych na lekcjach matematyki można zaliczyć: Czang szi-tsy (w USA nazywają tę grę Nim ), Tac-Tix, Hex, Sim, zadania z teorii grafów, Go, Za in, Ran ka, U-ro, Ho-en, Shudan oraz tangramy. O zasadach obowiązujących w tych grach można dowiedzieć się z podręcznika Cecylii Rauszer: Rozmaitości matematyczne, Instytut Wydawniczy Nasza Księgarnia, Warszawa Na uwagę zasługuje też: Gra w dzielniki. Omawiam zasady tej gry w całości. Używa się planszy z liczbami Grają dwie osoby. Oto zasady: 1. Gracz A wybiera liczbę na planszy i zaznacza ją swoim kolorem; 2. Używając innego koloru gracz B zaznacza wszystkie poprawne dzielniki liczby gracza A; 3. Gracz B zaznacza swoim kolorem nową liczbę, a gracz A koloruje wszystkie jej dzielniki, które nie są jeszcze pokolorowane; 4. W każdej turze gracze zamieniają się rolami; 5. Jeżeli gracz wybierze liczbę, która nie ma już pokolorowanych dzielników, przegrywa turę i nie dostaje punktów za pokolorowaną liczbę; 6. Gra kończy się, jeżeli nie ma liczb z wolnymi dzielnikami; 7. Każdy gracz liczy ilość liczb pokolorowanych własnym kolorem; gracz z największą liczbą pól swojego koloru wygrywa. 28

29 Inną grą, zasługującą na uwagę jest: Gra w równe ułamki. Zasady tej gry : Na stole leżą 42 karty z ułamkami odwrócone grzbietem do góry. Każdy z czterech graczy losuje sześć kart. Wśród wylosowanych kart szuka kart z równymi ułamkami. Jeśli takie znajdzie, gromadzi je, aż utworzy komplet. Komplet składa się z trzech kart: z ułamkiem przedstawionym w najprostszej postaci i dwóch innych, równych mu. Jeśli gracz ma komplet musi ułożyć go na stole frontem do góry. Gracze wykonują kolejno ruchy. W każdym ruchu można zamienić jedną na stole. swoją kartę z kartą leżącą Wygrywa gracz, który pierwszy ujawni dwa komplety. [Gdy karty się skończą, przekazujemy następnej osobie jedną kartę. Wygrywa gracz, który zbierze najwięcej kompletów kart] Załączam planszę z 42 kartami, zawierającymi ułamki zwykłe. 29

30 30

31 Chociaż uczę matematyki w klasie IV szkoły podstawowej, wykorzystuję zabawy i gry, chętniej stosowane w nauczaniu zintegrowanym. Do realizacji dodawania i odejmowania liczb naturalnych wykorzystuję zabawę Dopełnianka 1, zabawę Głuchy telefon oraz zabawę Dopełnianka 2. Krótki opis ww. zabaw: Zabawa Dopełnianka 1 : Wersja I. Dodawanie pamięciowe. Nauczyciel zapisuje na tablicy dowolną liczbę (sumę ) np. 45, a mówi inną liczbę, np. 23. Zadaniem ucznia jest podanie drugiego składnika, dopełniającego do liczby 45. Wersja II.Dodawanie i odejmowanie pamięciowe. Ustalmy, że celem naszych operacji będą pełne dziesiątki. Ile dodać lub ile odjąć, żeby otrzymać najbliższą pełną dziesiątkę? Przykład: Nauczyciel mówi 45- uczeń odpowiada dodać 5, równa się 50, nauczyciel mówi 32- uczeń odpowiada odjąć 2, równa się 30. Przy tej zabawie wyjaśniam zasadę dodawania i odejmowania pamięciowego. Gra Głuchy telefon : Gra toczy się rzędami. Każdy uczeń ma kartkę papieru. Nauczyciel pisze na kartce liczbę i podaje pierwszemu uczniowi w każdym rzędzie. Uczeń na swojej kartce zapisuje działanie (np. dodawanie ), którego czynnikiem była dana przez nauczyciela liczba i przekazuje ją koledze w rzędzie. Ten pisze wynik działania otrzymanego od kolegi, itd. Ostatni uczeń oddaje nauczycielowi kartkę z wynikiem lub działaniem w zależności od tego, czy liczba uczniów w rzędzie jest parzysta czy nieparzysta. Wygrywa ten rząd, który pierwszy bezbłędnie wykona polecenie. Należy zapewnić w rzędach jednakową liczbę uczniów. Grę można urozmaicić wprowadzając dodatkową punktację za zapisy różnych składników w sumie, np. 43= = , itd. Inną formą tej gry może być suma wyrażona trzema składnikami. Zabawa Dopełnianka 2 : Jest urozmaiceniem pamięciowego dodawania i odejmowania. Nauczyciel podaje liczbę dwucyfrową, a zadaniem ucznia jest dopełnić do najbliższej liczbie dwucyfrowej o ostatniej wskazanej cyfrze, np. umawiamy się, iż dopełniamy do liczby o ostatniej cyfrze 7. Nauczyciel mówi: 54, uczeń odpowiada: dodać 3 równa się 57. Nauczyciel mówi: 60, uczeń odpowiada: odjąć 3 równa się

32 Następną grę matematyczną, którą stosuje się w klasie IV na lekcji matematyki jest zabawa Musztra. Lekcja rozpoczyna się tą zabawą, przeprowadzoną na korytarzu. Zabawa Musztra : 1. Baczność, spocznij. 2. W szeregu zbiórka. 3. Kolejno odlicz. 4. Dwuszereg twórz. 5. Trójki twórz. 6. Czwórki twórz, itd. Liczba uczniów danej klasy jest dzielną. Jeżeli dzieci są ustawione w dwuszereg, to badam resztę z dzielenia przez 2 (0 lub 1). Jeżeli dzieci są ustawione trójkami, to badam resztę z dzielenia przez 3 ( 0, 1 lub 2 ). Jeżeli uczniowie tworzą czwórki, to badam resztę z dzielenia przez 4 ( 0, 1, 2 lub 3). Za każdym razem zadaję dzieciom pytanie, jakie dzielenie określa dana sytuacja, np. przy tworzeniu trójek: 29 : 3 = 9 r 2. Po powrocie do klasy zapisujemy dzielenie z zabawy na tablicy i w zeszycie. Następnie formułujemy wnioski. Wnioski : 1. Reszta z dzielenia jest mniejsza od dzielnika. 2. O liczbach, których reszta z dzielenia przez daną liczbę jest równa 0, mówimy, że są podzielne przez tą liczbę. Uczniowie nie przepisują wniosków, nie uczą się ich na pamięć. Kolejną zabawą pomocną w kształtowaniu motywacji i rozwijaniu zainteresowań jest zabawa Bazar. Zabawę tą można wykorzystać w realizowaniu tematu: dodawanie i odejmowanie ułamków dziesiętnych w klasie IV i V. Metoda nauczania: zabawa; Forma: praca w grupach; Pomoce: owoce i warzywa przyniesione przez uczniów, zbudowany z ławek bazar, notesy, długopisy i kalkulatory kieszonkowe. Przebieg zabawy: Uczniowie zostają podzieleni na grupy poprzez losowanie karteczek w czterech kolorach. Z grupy 4- lub 5-osobowej wybierają kramarza. Pozostali uczniowie są klientami. Kupujący nabywają u swojego sklepikarza owoce i warzywa, które zawsze wyrażają się cenami w liczbach dziesiętnych. 32

33 Sprzedawca, który nie może się pomylić, oblicza sumy zakupów przy pomocy notesu i długopisu. Kupujący mogą sprawdzić czy kramarz nie pomylił się, przy pomocy kieszonkowego kalkulatora. W przypadku, gdy wykryją błąd, dochodzi do zmiany sklepikarza z kupującym. W chwili, gdy nabywca pomylił się płacąc za kupowany towar, odpada z gry. Klienci płacą przygotowanymi papierkowymi pieniędzmi o nominałach: 0,1; 0,2; 0,5 w danej walucie. Pod koniec lekcji uczniowie wybierają najlepszego sklepikarza oraz klientów. Należy sądzić, że cele lekcji zostaną osiągnięte. Wszyscy uczniowie poprzez zabawę doskonalą swoja wiedzę i umiejętności, które mogą wykorzystać praktycznie, nie tylko w zabawie. Zabawa z figurami : W tej grze wykorzystuje się około 50 figur płaskich wykonanych wcześniej na lekcjach matematyki oraz chustę do zawiązywania oczu dzieciom. Wszyscy uczniowie ustawiają się w kręgu, wewnątrz którego na podłodze leżą rozsypane figury. Jedno z dzieci wchodzi do środka koła. Zawiązuje mu się oczy, po czym uczeń losuje jedną z figur. Jego zadaniem jest odgadnięcie, jaką figurę wylosował. Gdy uczeń prawidłowo określił figurę, np. że jest to trójkąt, powinien jeszcze określić, czy jest to trójkąt ostrokątny, rozwartokątny czy też prostokątny. W ten sposób każdy uczeń może sprawdzić swoją wiedzę i umiejętności z figur. Uczniowie oceniają się wzajemnie, mówiąc z czym mieli najwięcej kłopotów. 33

34 8. Konspekt lekcji matematyki w klasie I gimnazjum, z wykorzystaniem gry dydaktycznej Temat lekcji: Cele lekcji: DZIAŁANIA NA LICZBACH WYMIERNYCH utrwalenie własności liczb wymiernych, kształcenie umiejętności wykorzystania poznanych wiadomości w różnorodnych sytuacjach, ćwiczenie biegłego wykonywania działań na liczbach wymiernych, kolejność wykonywania działań, wyrabianie umiejętności organizowania pracy w grupie, zapoznanie uczniów z dominem matematycznym (dydaktycznym). Metody: gra dydaktyczna- domino matematyczne, pogadanka heurystyczna. Formy pracy: praca w grupach, praca indywidualna. Pomoce dydaktyczne: tablica i kreda, podręcznik i zbiór zadań, plansza z zadaniem, krzyżówka dla każdego ucznia(na pracę domową). Przebieg lekcji: Sprawdzenie listy obecności. Podział na grupy. Uczniowie losują przynależność do grupy (liczby naturalne, liczby całkowite dodatnie, liczby całkowite ujemne, ułamki zwykłe, ułamki dziesiętne) i zajmują swoje miejsce (na stołach leżą nazwy ww. grup). Wybór liderów grup. Sprawdzenie pracy domowej.(oceniamy stopniem zadanie dodatkowe) 34

35 Treść pracy domowej: 1. Oblicz: a) (- ) = 3 11 b) 3 (-0,5) 2 (-1) 3 4 (- 3 1 ) = 2. Cena detaliczna towaru wynosi 1348,25 zł. Cena hurtowa jest niższa o 4 % ceny detalicznej. Jaka jest cena hurtowa tego towaru? Zadanie dodatkowe: NWD dwóch liczb wynosi 3. Czy najmniejsza wspólna wielokrotność (NWW) tych liczb może wynosić 100? Odpowiedź uzasadnij. Odpowiedź: Nie, ponieważ 100 nie dzieli się przez 3. Powtórzenie wiadomości o liczbach wymiernych (wykorzystujemy planszę z zadaniami). Treść zadań: 1. Dany jest zbiór liczb: Z:{ -7; 4,5; -3; 0; 1,25; 7 1 ; - 1,25; 0,(3); 7; \-2\ } - jak nazywamy liczby należące do tego zbioru?; - wymień liczby N, C; - wymień parę liczb przeciwnych; - wymień parę liczb odwrotnych. 2. (zadanie utrwalające przybliżenia ) Ile łokci wzrostu miał król Władysław Łokietek? ( około 140 cm, jeden łokieć wynosi około 59,6 cm) Zapisanie tematu lekcji i określenie jej celu. Praca w grupach. Określenie zasad gry w domino matematyczne i porównanie z tradycyjnym dominem. Opracowane domino składa się z 17 kostek. Uczniowie mają do wykonania 32 działania na liczbach wymiernych w grupach 5 osobowych. Która grupa pierwsza ułoży wszystkie kostki, ta wygrywa.(otrzymuje ocenę) Przykłady są identyczne we wszystkich grupach. Dla łatwiejszego sprawdzenia poprawności obliczeń, na odwrocie można napisać litery tworzące sensowne hasła. 35

36 Praca domowa.(treść przygotowana na kartce dla każdego ucznia) Treść zadania: Rozwiąż krzyżówkę A B C D E F G Poziomo: 1 1 A-1 6+ (6 +4) : ; A-4 12, ; 1 1 B-3 167: :(- ); 3 50 B-5 9 ( ); E ,4; 2 5 F Pionowo: A-1 ( ): 2,5; B-3 ( ) : 0, ; C-1 ( ) 84; 6 13 E : 10,25; 7 28 F-4 5: ; G

37 Rozwiązanie: A B C D E F G

38 DOMINO MATEMATYCZNE - LICZBY WYMIERNE ,09 1 : (- ) + (- ) (7,29-1,29): ,7 +0, : -1,2 (-20) ( ) : : (-0,4) : - : z (-2-6 ) : (1,2-0,6) + 4,8-2 ( -1 ) 2,125-0, : ( 0,8 0,4 ) -2 : (7-11) 0,75 + 1,25 3,2 1,6 (- 4 ) : ( -8) 2,4 :10 3,07 +2,05 0, :

39 9. Wnioski Z przeprowadzonych rozważań teoretycznych i badań dydaktyków wynika celowość stosowania gier dydaktycznych na lekcjach matematyki. Przemawiają za tym następujące argumenty: przeprowadzone zajęcia z użyciem gier i zabaw sprawiają uczniom dużo satysfakcji oraz stanowią element samokontroli, dostarczając samym zainteresowanym informacji o stopniu opanowania przerobionego materiału; tego typu narzędzie dydaktyczne wzmacnia poczucie własnej wartości dziecka, sprzyja rozwijaniu zainteresowań matematycznych i kształtuje motywację do uczenia się matematyki; gry i zabawy dają szansę indywidualizowania zadań, w zależności od uzdolnień podopiecznych (trudniejsze gry dla zdolniejszych); różne środki i metody dydaktyczne zapobiegają popadaniu nauczyciela w rutynę, dając rękojmię przeciwdziałania nudzie na lekcji (w różnorodności metod ukryte jest piękno); stwarzamy atmosferę pracy przez zabawę; gry i zabawy dydaktyczne wykorzystujemy do urozmaicenia rachunku pamięciowego, do tzw. gimnastyki umysłu, przy wprowadzaniu nowego materiału, utrwalaniu materiału wprowadzonego na lekcji, przy stosowaniu formy lekcji indywidualnej bądź grupowej; chęć wygrania stanowi silną motywację do podjęcia ryzyka i przełamania awersji; wg Dienesa pojęcia i struktury logiczne można kształtować za pomocą gier rozgrywanych przez uczniów; zabawy i gry dydaktyczne stanowią doskonałą okazję do pobudzenia i dowartościowania dzieci nieśmiałych lub przekonanych o swoim braku zdolności do matematyki; nauczyciele przeważnie swoją uwagę koncentrują na realizacji książkowego materiału, traktując gry i zabawy jako zbyteczny luksus ; stosując gry i zabawy łatwo wywołać u uczniów gotowość i zapał do nauki, co jest zasadniczym warunkiem skutecznego uczenia się i nauczania. 39

40 10.Literatura [1] Bednarek W.: Zbiór zadań dla lubiących matematykę, GWO, Gdańsk 1995 [2] Bogusz L., Zarzycki P., Zieliński J.: Łamigłówki logiczne, GWO, Gdańsk 2000 [3] Jeleński Sz.: Rozrywki matematyczne, t. I Lilavati, Warszawa 1971 [4] Jeleński Sz.: Rozrywki matematyczne, t. II Śladami Pitagorasa, Warszawa 1974 [5] Kowal S.: Przez rozrywkę do wiedzy, WN-T, Warszawa 1986 [6] Kruszewski K.: Gry dydaktyczne zarys tematu, Kwartalnik Pedagogiczny 2/1984 [7] Krygowska Z.: Zarys dydaktyki matematyki t. 3, WS i P, Warszawa 1977 [8] Okoń W.: Słownik pedagogiczny, PWN, Warszawa 1975 [9] Pieprzyk H.: Gry i zabawy w nauczaniu matematyki, Oświata i Wychowanie 1987 [10] Rauszer C.: Rozmaitości matematyczne, Instytut Wydawniczy Nasza Księgarnia, Warszawa 1983 [11] Semadeni Z.: Nauczanie początkowe matematyki, WS i P, Warszawa 1991 [12] Steinhaus H.: Kalejdoskop matematyczny, WS i P, Warszawa 1989 [13] Talarczyk E.: Zbiór gier i zabaw matematycznych, Warszawa