Temat 2: Podstawy optyki geometrycznej-1. Zasada Fermata. Prawo odbicia światła

Transkrypt

1 Temat : Podstawy optyk geometrycznej-1 Ilość godzn na temat wykładu: Zagadnena: Zasada Fermata. Zasada Huygensa. Wyprowadzene praw odbca załamana śwatła z zasad Fermata Huygensa. Współczynnk załamana. Zasada Fermata Wadomo, że śwatło wdzalne jest falą elektromagnetyczną o długośc od 4 nm do około 78 nm. Dłuższe fale (λ > 78 nm) odpowadają promenowanu podczerwonemu, krótsze zaś (λ < 4 nm) nadfoletowemu. W zwązku z tym wększość zjawsk optycznych znajduje swoje wytłumaczene na baze prezentacj śwatła jako fal elektromagnetycznej. Te zjawska rozpatrują sę w rozdzale optyk, który nazywa sę optyką falową. Jednak szereg zjawsk optycznych łatwej można wytłumaczyć, ne korzystając bezpośredno z falowej natury śwatłą. Take zjawska rozpatrują sę w rozdzale optyk, który nazywa sę optyką geometryczną. Do zjawsk, rozpatrywanych metodam optyk geometrycznej, można odneść: prostolnowe rozchodzena sę śwatła; zjawsko lustrzanego odbca śwatła; zjawsko załamana śwatła na grance rozdzału dwóch ośrodków. by zjawsko optyczne nadawało sę do rozpatrywana metodam optyk geometrycznej trzeba ażeby długość odpowednej fal elektromagnetycznej λ była o wele mnejsza od charakterystycznych wymarów a dla rozpatrywanego zagadnena: λ << a. Przy takm ogranczenu, efekty dyfrakcj fal elektromagnetycznych śwatła ne wywerają wyraźnego wpływu na jego rozchodzene sę, które w tym przypadku może być opsane w marę dokładne w ramach optyk geometrycznej. Węc z takego punktu wdzena, optyka geometryczna jest przyblżenem optyk ogólnej w przypadku gdy λ << a. U podstaw optyk geometrycznej leży tzw. zasada Fermata albo zasada najkrótszego czasu. Zgodne z tą zasadą śwatło wybera taką trajektorę, dla której czas przelotu jest ekstremalny (zwykle najkrótszy). Posługując sę zasadą Fermata łatwo wyprowadzć podstawowe dla optyk geometrycznej prawa odbca załamana śwatła. Prawo odbca śwatła Rozważmy sytuację na rysunku.1, gdze śwatło przechodz z punktu do punktu B odbjając sę od zwercadła. Odległość w pozome mędzy punktam B jest równa d. Zadane polega na odnalezenu takego położena punktu O odbca śwatła na powerzchn zwercadła (początek układu odnesena), aby czas przejśca śwatła t wzdłuż drog -O-B był ekstremalny (mnmalny). B h α β H x O Rysunek.1. Śwatło znajduje mnmalną ze względu na czas drogę przejśca: punkt - zwercadło - punkt B. d-x 1

2 Optymalna trajektora pownna składać sę zatem z prostych odcnków, jak na rysunku.1. Czas przelotu śwatła po takej drodze wynos h + x t = + v H + ( d x) Z warunku ekstremum dt dx = (x jest zmenną określającą punkt, w którym śwatło dotyka" zwercadła). Z ostatnego równana otrzymujemy x d x = h + x H + ( d x) co jest równoważne z równoścą skąd znajdujemy prawo odbca, v (.1) (.) snα = snβ, (.3) α = β. (.4) Prawo załamana śwatła Śwatło rozchodz sę w jednorodnym przezroczystym ośrodku ze stałą prędkoścą v (v < c). Tutaj c to prędkość śwatłą w próżn, c = (ε µ ) -½ (ε = 8, F/m, µ = 1, H/m). Welkość, c n = = ε v, (.5) nazywa sę współczynnkem załamana ośrodku delektrycznego jest zwązana z przenkalnoścą delektryczna względną ośrodku próżn ε. Rozpatrujemy dwa przezroczyste ośrodk z różnym prędkoścam rozchodzena sę śwatła v 1 v. Zadanem jest znaleźć mnmalną ze względu na czas ruchu drogę łączącą punkty B w obu ośrodkach (Rys..). I α v1 h d-x x v 1 > v O β H v B II Rysunek.. Śwatło znajduje mnmalną ze względu na czas drogę łączącą B Podobne jak w poprzednm przypadku, dopók śwatło porusza sę w jednorodnym ośrodku, to jego trajektorą jest odcnek prostej (dla takej drog czas jest najkrótszy). Zatem trajektora - B będze mała kształt łamanej. Czas ruchu śwatła dla takej trajektor wynos (w funkcj zmennej x),

3 h + x H + ( d x) t = + v1 v. (.6) Z warunku ekstremum, dt dx =, znajdujemy, x d x = v1 h + x v H + ( d x), (.7) czyl znaną postać prawa załamana śwatła snα v1 n1 sn β = v =, (.8) gdze n 1 = v 1 /v nazywamy współczynnkem załamana śwatła ośrodka II względem ośrodka I. Prawa odbca załamana śwatła pozwalają na rozwązane wszystkch sytuacj optycznych zwązanych ze zwercadłam, pryzmatam soczewkam. Należy jednak pamętać, że optyka geometryczna jest tylko przyblżenem rzeczywstośc stąd dla najdokładnejszych nawet konstrukcj optycznych pojawają sę ogranczena zwązane z falową naturą śwatła. Dobrym przykładem może być ogranczene zdolnośc rozdzelczej mkroskopu, która zależy w głównej merze od długośc używanego śwatła. Stąd zdolność rozdzelcza mkroskopu dzałającego np. w śwetle nebeskm będze wększa nż w śwetle czerwonym. Gdy zaś falę śwetlną zastąpć dużo krótszą falą mater (np. elektronu), można skonstruować mkroskop elektronowy o neporównywalne wększej rozdzelczośc nż optyczny. Warto dodać, że dla fal radowych o długoścach rzędu 1 m, używanych np. w radoastronom, elementy optyk" geometrycznej stosowane do konstrukcj radoteleskopów mogą być wykonane z dokładnoścą rzędu l cm, spełnając równocześne wszystke wymagana optyczne", tak jak dla śwatła wdzalnego o długośc rzędu 1-7 m wystarcza dokładność atomowa ~1-1 m. Zasada Huygensa Według zasady Huygensa (Chrstaan Huygens, , holendersk astronom, matematyk fzyk) każdy punkt ośrodka, do którego dotarła fala, staje sę źródłem nowej fal sferycznej. Jest to zasada obowązująca w optyce fzycznej. Zasada Huygensa może być wykorzystana do wyprowadzena praw odbca załamana. Nech na powerzchną odbjającą pada fala płaska. Jest to fala, której powerzchne falowe są płaszczyznam (Rys..3). Powerzchnę falową fal padającej w danej chwl zaznaczono jako lnę prostą przechodzącą przez punkty B, promene a b są prostopadłe do tej powerzchn falowej. Rozważmy pewen krótk czas potrzebny, by fala wychodząca z punktu B begnąc wzdłuż promena b, dotarła do powerzchn odbjającej (w punkce B'). W tym samym czase elementarne fale kulste wychodzące z punktu dotrą do punktu '. Lna styczna do tego okręgu przechodząca przez punkt B' tworzy nową płaską powerzchnę falową 'B'. Lna 3

4 prosta prostopadła do tej nowej powerzchn falowej wyznacza kerunek rozchodzena sę fal odbtej, czyl kerunek odbtego promena śwatła. Kąty oznaczone przez są równe jako kąty o ramonach odpowedno prostopadłych. Podobne równe są kąty oznaczone przez '. Poneważ trójkąt 'B' jest przystający do trójkąta BB' (jako dwa trójkąty prostokątne o jednym boku wspólnym), węc mają one odpowedne kąty równe. Zatem, = BB' = 'B' = '. (.9) a' b' a b ' ' B B' Rysunek.3. Wyprowadzene prawa odbca z zasady Huygensa. nalogczne rozumujemy, wyprowadzając prawo załamana (rysunek.4). W czase, gdy fala wychodząca z punktu B dotrze do powerzchn załamującej wzdłuż promena b, z punktu rozchodz sę elementarna fala sferyczna. Styczna do powerzchn sferycznej w punkce ' przechodząca przez punkt B' jest nową powerzchną falową. Promene fal załamanej są prostopadłe do tej powerzchn. Kąty oznaczone przez są równe jako kąty o ramonach odpowedno prostopadłych. Podobne kąty oznaczone przez r. Z rysunku.4 wynka, że snr = '/B', oraz sn = BB'/B'. Poneważ długośc odcnków BB' ' są proporcjonalne do odpowednch prędkośc śwatła v 1 v, z powyższych wyrazów otrzymuję sę prawo załamana śwatła, sn v1 = = n1 sn ' v. (.1) ' a b B v 1 r B' ' v r a' b' Rysunek.4. Wyprowadzene prawa załamana z zasady Huygensa. 4

5 Tabela.1. Współczynnk załamana n nektórych materałów [6] Ośrodek n εω ε ω = Powetrze Wodór Woda Kwarc Szkło = 1,94 1,138 1,33 1,55 1,5 1,95 1,13 9,,1,3 W tabel.1, częstotlwość ω = odpowada stałemu w czase polu elektrycznemu, natomast symbole ω oznaczają, że częstotlwość pola elektrycznego jest zbyt duża aby uruchomć cząstk o mase przekraczającą masę elektronów. Węc w tym przypadku (ω ) do współczynnka załamana n materału wnosek jest możlwy tylko od odpowednch elektronów walencyjnych, dlatego, współczynnk załamana n = εω jest zawsze ε ω mnejszy od welkośc =. Prędkość śwatła w każdym ośrodku, z wyjątkem próżn, zależy od częstotlwośc śwatła, a zatem kąt załamana r jest także funkcją barwy. Zjawsko to nazywa sę dyspersją. Współczynnk załamana śwatła dla szkła, które jest najpopularnejszym materałem optycznym, zależy od długośc fal. Łatwe jest dośwadczalne sprawdzene tego faktu. Wadomo, że jeżel przepuśc sę przez pryzmat szklany wąską wązkę śwatła słonecznego (Rys..5), za pryzmatem powstane wdmo tęczy. Z dośwadczena z pryzmatem wynka, że współczynnk załamana szkła dla śwatła czerwonego, a węc śwatła o wększej długośc fal, jest mnejszy, nż dla śwatła foletowego. Zjawsko zmany współczynnka załamana wraz z długoścą fal (częstotlwoścą) nos nazwę dyspersj. Poneważ wartość c jest nezależna od długośc fal, to z wzoru (.5) wynka, że w ośrodkach dyspersyjnych prędkość v rozchodzena sę fal elektromagnetycznej zależy od jej długośc. Teora zjawska dyspersj opera sę na rozpatrywanu drgań wymuszonych elektronów znajdujących sę w atomach pod wpływem dzałana fal elektromagnetycznej. Rozwązane równana ruchu elektronu pozwala uzyskać zależność wążącą stałą delektryczną ε (oraz współczynnk załamana n = ε ½ ) z częstotlwoścą fal ω. Rysunek.4. Ilustracja zjawsk załamana śwatła dyspersj współczynnka załamana n(λ) przy przejścu wązk śwatła przez pryzmat szklany. 5

6 W tabel. podano podzał wdma śwatła słonecznego na barwy opowadające m długośc fal λ w próżn. Tabela.. Barwy promenowana monochromatycznego. Barwa Foletowa Indygo Błęktna Nebeska Nebesko-zelona Zelona Zelono-żółta Żółta Żółto-pomarańczowa Pomarańczowa Pomarańczowo-czerwona Czerwona 6 λ /nm Dla ośrodków o współczynnku załamana blskm n = 1 (gazy), przy pomnęcu zjawska absorpcj energ fal przez atom, otrzymuje sę prostą zależność lustrującą zjawsko dyspersj. ε 1 = n 1 = ω ω, (.11) gdze to stała zależna od ładunku masy elektronu, ω - częstotlwość własna elektronu, ω - częstotlwość fal padającej (ω = πt -1, T - okres drgań fal). Dla cał stałych, a węc ośrodków o wartoścach współczynnka załamana odbegających od n = 1, zależność n(ω) jest bardzej złożona, ale charakter zjawska pozostaje ten sam. Ze względów teoretycznych dobrze jest znać zależność współczynnka załamana od długośc fal padającego śwatła w postac analtycznej. Dla ośrodków mających obszar absorpcj w krótkofalowej częśc wdma współczynnk załamana dla pozostałej jego częśc można wyznaczyć ze wzoru Cauchy [6], B C n = + + λ 4 λ, (.1) gdze, B, C - stałe wyznaczane dośwadczalne dla każdego materału przez pomar współczynnków załamana n dla 3 lub wększej lczby długośc fal λ. W tym ostatnm przypadku stałe oblczane są za pomocą metody najmnejszych kwadratów. Z uwag na newygodną potęgę współczynnka załamana stosowany jest równeż w praktyce wzór Herzbergera [6], c d n = a + bλ λ ( λ.35 ), (.13) gdze a, b, c, d - nowe stałe, λ długośc fal padającego śwata w µm.

7 Wzór ten dość dokładne aproksymuje dyspersję wszystkch szkeł optycznych w zakrese wdzalnym oraz blskej podczerwen nadfolece. Jeżel rozpatrywany jest zbór cał zanurzony w jednorodnym ośrodku materalnym, to wygodne jest korzystać z pojęca względnego współczynnka załamana (.1). Względny współczynnk załamana ośrodka względem ośrodka l równy jest stosunkow bezwzględnych współczynnków załamana tych ośrodków. Najczęścej spotykanym ośrodkem odnesena jest powetrze o cśnenu 76 mm Hg temperaturze C dlatego zwykle mów sę o współczynnku załamana cał, rozumejąc przez to jego względną wartość w stosunku do powetrza. Z tego powodu mogą wynknąć neporozumena, poneważ bezwzględny współczynnk załamana powetrza jest funkcją temperatury, cśnena, składu chemcznego długośc fal. W poblżu warunków normalnych wartość współczynnka załamana powetrza można wyrazć za pomocą wzoru a p n = αt 76, (.14) gdze: p - cśnene atmosferyczne w mm słupa rtęc, t - temperatura w C, α = 1/73 C -1 współczynnk rozszerzalnośc ceplnej powetrza, a - stała zależna od długośc fal padającego śwatła składu chemcznego powetrza. Lteratura 1. J. Nowak, M. Zając, Optyka. Kurs elementarny, Ofcyna Wyd. PW, s.. E. Wnuczak, Fzyka, dzały wybrane, Wyd. PW oraz Ofcyny Wyd. PW, s. 3. K. Booth, S. Hll, Optoelektronka, WKŁ, B.M. Jaworsk.. Detłaf. Fzyka, T J. Petykewcz, Optyka falowa, PWN, R. Jóźwck, Optyka nstrumentalna, WNT Warszawa,