Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki klasa 2c- poziom rozszerzony

Transkrypt

1 Szczegółowe wymgni edukcyjne z mtemtyki kls 2c- poziom rozszerzony Wymgni konieczne () dotyczą zgdnieo elementrnych, stnowiących swego rodzju podstwę, ztem powinny byd opnowne przez kżdego uczni. Wymgni podstwowe () zwierją wymgni z poziomu () wzbogcone o typowe problemy o niewielkim stopniu trudności. Wymgni rozszerzjące (R), zwierjące wymgni z poziomów () i (), dotyczą zgdnieo brdziej złożonych i nieco trudniejszych. Wymgni dopełnijące (D), zwierjące wymgni z poziomów (), () i (R), dotyczą zgdnieo problemowych, trudniejszych, wymgjących umiejętności przetwrzni przyswojonych informcji. Wymgni wykrczjące (W) dotyczą zgdnieo trudnych, oryginlnych. oniżej przedstwiony zostł podził n poszczególne oceny szkolne: ocen dopuszczjąc wymgni n poziomie () ocen dostteczn wymgni n poziomie () i () ocen dobr wymgni n poziomie (), () i (R) ocen brdzo dobr wymgni n poziomie (), (), (R) i (D) ocen celując wymgni n poziomie (), (), (R), (D) i (W) Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci uczni 1. WIELOMIANY 1. Stopieo i współczynniki wielominu definicj jednominu, dwuminu, wielominu pojęcie stopni jednominu i stopni wielominu pojęcie współczynników wielominu i wyrzu wolnego pojęcie wielominu zerowego rozróżni wielomin, określ jego stopieo i podje wrtości jego współczynników zpisuje wielomin określonego stopni o dnych współczynnikch zpisuje wielomin w sposób uporządkowny oblicz wrtośd wielominu dl dnego rgumentu sprwdz, czy dny punkt nleży do wykresu dnego wielominu wyzncz współczynniki wielominu, mjąc dne wrunki

2 2. Dodwnie i odejmownie wielominów dodwnie wielominów odejmownie wielominów stopieo sumy i różnicy wielominów 3. Mnożenie wielominów mnożenie wielominów stopieo iloczynu wielominów porównywnie wielominów wielomin dwóch (trzech) zmiennych 4. Rozkłd wielominu n czynniki (1) rozkłd wielominu n czynniki: wyłącznie wspólnego czynnik przed nwis, rozkłd trójminu kwdrtowego n czynniki zstosownie wzorów skróconego mnożeni: kwdrtu sumy i różnicy orz wzoru n różnicę kwdrtów twierdzenie o rozkłdzie wielominu n czynniki wyzncz sumę wielominów wyzncz różnicę wielominów określ stopieo sumy i różnicy wielominów szkicuje wykres wielominu będącego sumą jednominów stopni pierwszego i drugiego określ stopieo iloczynu wielominów bez wykonywni mnożeni wyzncz iloczyn dnych wielominów podje współczynnik przy njwyższej potędze orz wyrz wolny iloczynu wielominów bez wykonywni mnożeni wielominów oblicz wrtośd wielominu dwóch (trzech) zmiennych dl dnych rgumentów stosuje wielomin do opisni pol powierzchni prostopdłościnu i określ jego dziedzinę porównuje wielominy dne w postci iloczynu innych wielominów stosuje wielominy wielu zmiennych w zdnich różnych typów wyłącz wskzny czynnik przed nwis stosuje wzory n kwdrt sumy i różnicy orz wzór n różnicę kwdrtów do rozkłdu wielominu n czynniki zpisuje wielomin w postci iloczynu czynników możliwie njniższego stopni stosuje rozkłd wielominu n czynniki w zdnich różnych typów R R R D

3 5. Rozkłd wielominu n czynniki (2) zstosownie wzorów skróconego mnożeni: sumy i różnicy sześcinów metod grupowni wyrzów 6. Równni wielominowe pojęcie pierwistk wielominu równnie wielominowe 7. Dzielenie wielominów lgorytm dzieleni wielominów podzielnośd wielominów twierdzenie o rozkłdzie wielominu stosuje metodę grupowni wyrzów i wyłączni wspólnego czynnik przed nwis do rozkłdu wielominów n czynniki stosuje wzory n sumę i różnicę sześcinów do rozkłdu wielominu n czynniki rozkłd dny wielomin n czynniki, stosując metodę podną w przykłdzie rozwiązuje równni wielominowe wyzncz punkty przecięci się wykresu wielominu i prostej podje przykłd wielominu, znjąc jego stopieo i pierwistki dzieli wielomin przez dwumin x zpisuje wielomin w postci w ( x) p( x) q( x) sprwdz poprwnośd wykonnego dzieleni dzieli wielomin przez inny wielomin i zpisuje go w postci w ( x) p( x) q( x) r( x) 8. Równośd wielominów wielominy równe wyzncz wrtości prmetrów tk, by wielominy były równe r D D D D R

4 9. Twierdzenie Bézout twierdzenie o reszcie twierdzenie Bézout dzielenie wielominu przez wielomin stopni drugiego 10. ierwistki cłkowite i pierwistki wymierne wielominu twierdzenie o pierwistkch cłkowitych wielominu twierdzenie o pierwistkch wymiernych wielominu sprwdz podzielnośd wielominu przez dwumin x bez wykonywni dzieleni wyzncz resztę z dzieleni wielominu przez dwumin x sprwdz, czy dn liczb jest pierwistkiem wielominu i wyzncz pozostłe pierwistki wyzncz wrtośd prmetru tk, by wielomin był podzielny przez dny dwumin sprwdz podzielnośd wielominu przez wielomin (x p)(x q) bez wykonywni dzieleni wyzncz resztę z dzieleni wielominu, mjąc określone wrunki przeprowdz dowód twierdzeni Bézout określ, które liczby mogą byd pierwistkmi cłkowitymi wielominu określ, które liczby mogą byd pierwistkmi wymiernymi wielominu rozwiązuje równni wielominowe z wykorzystniem twierdzeo o pierwistkch cłkowitych i wymiernych wielominu stosuje twierdzeni o pierwistkch cłkowitych i wymiernych wielominu w zdnich różnych typów przeprowdz dowody twierdzeo o pierwistkch cłkowitych i wymiernych wielominu W W

5 11. ierwistki wielokrotne definicj pierwistk k-krotnego twierdzenie o liczbie pierwistków wielominu stopni n 12. Wykres wielominu pojęcie wykresu wielominu (wykres wielominu stopni pierwszego, wykres wielominu stopni drugiego powtórzenie) znk wielominu w przedzile ; zmin znku wielominu wyzncz pierwistki wielominu i podje ich krotnośd, mjąc dny wielomin w postci iloczynowej bd, czy wielomin m inne pierwistki orz określ ich krotnośd, znjąc stopieo wielominu i jego pierwistek rozwiązuje równnie wielominowe, mjąc dny jego jeden pierwistek i znjąc jego krotnośd podje przykłdy wielominów, znjąc ich stopieo orz pierwistki i ich krotnośd rozwiązuje zdni z prmetrem dotyczące pierwistków wielokrotnych szkicuje wykresy wielominów stopni pierwszego i drugiego szkicuje wykres wielominu, mjąc dną jego postd iloczynową dobier wzór wielominu do szkicu wykresu podje wzór wielominu, mjąc dny współczynnik przy njwyższej potędze orz szkic wykresu szkicuje wykres dnego wielominu, wyznczjąc jego pierwistki

6 13. Nierówności wielominowe Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci uczni wrtości dodtnie i ujemne funkcji nierówności wielominowe sitk znków wielominu rozwiązuje nierówności wielominowe, korzystjąc ze szkicu wykresu rozwiązuje nierówności wielominowe, wykorzystując postd iloczynową wielominu (dowolną metodą: szkicując wykres lub tworząc sitkę znków) rozwiązuje nierównośd wielominową, gdy dny jest wzór ogólny wielominu stosuje nierówności wielominowe do wyznczeni dziedziny funkcji zpisnej z pomocą pierwistk wykonuje dziłni n zbiorch określonych nierównościmi wielominowymi stosuje nierówności wielominowe w zdnich z prmetrem 14. Wielominy zstosowni zstosownie wielominów do rozwiązywni zdo tekstowych opisuje wielominem zleżności dne w zdniu i wyzncz jego dziedzinę rozwiązuje zdni tekstowe 2. FUNCJE WYMIERNE

7 1. roporcjonlnośd odwrotn 2. Wykres funkcji f ( x) x określenie proporcjonlności odwrotnej wielkości odwrotnie proporcjonlne współczynnik proporcjonlności hiperbol wykres funkcji f ( x), gdzie 0 x symptoty poziome i pionowe wykresu funkcji włsności funkcji f ( x), gdzie x 0 wyzncz współczynnik proporcjonlności wskzuje wielkości odwrotnie proporcjonlne podje wzór proporcjonlności odwrotnej, znjąc współrzędne punktu nleżącego do wykresu rozwiązuje zdni tekstowe, stosując proporcjonlnośd odwrotną szkicuje wykres funkcji f ( x), gdzie 0 i podje jej x włsności (dziedzinę, zbiór wrtości, przedziły monotoniczności) wyzncz symptoty wykresu powyższej funkcji szkicuje wykres funkcji f ( x), gdzie 0, w podnym x zbiorze wyzncz współczynnik tk, by funkcj f ( x) spełnił x podne wrunki R

8 3. rzesunięcie wykresu funkcji f ( x) o wektor x przesunięcie wykresu funkcji f ( x) o wektor p, q x osie symetrii hiperboli środek symetrii hiperboli 4. Funkcj homogrficzn określenie funkcji homogrficznej wykres funkcji homogrficznej postd knoniczn funkcji homogrficznej symptoty wykresu funkcji homogrficznej przesuw wykres funkcji f ( x) o dny wektor, podje wzór i x określ włsności otrzymnej funkcji wyzncz dziedzinę i podje równni symptot wykresu funkcji określonej wzorem f ( x) q x p podje współrzędne wektor, o jki nleży przesunąd wykres funkcji y f (x), by otrzymd wykres funkcji g ( x) q x p wyzncz wzór funkcji spełnijącej podne wrunki wyzncz równni osi symetrii orz współrzędne środk symetrii hiperboli opisnej dnym równniem rozwiązuje zdni, stosując włsności hiperboli przeksztłc wzór funkcji homogrficznej do postci knonicznej szkicuje wykresy funkcji homogrficznych i określ ich włsności wyzncz równni symptot wykresu funkcji homogrficznej rozwiązuje zdni z prmetrem dotyczące funkcji homogrficznej R R W R W

9 5. rzeksztłceni wykresu funkcji 6. Mnożenie i dzielenie wyrżeo wymiernych 7. Dodwnie i odejmownie wyrżeo wymiernych metody szkicowni wykresu funkcji y f (x) i y f ( x ) mnożenie i dzielenie wyrżeo wymiernych dziedzin iloczynu i ilorzu wyrżeo wymiernych dodwnie i odejmownie wyrżeo wymiernych dziedzin sumy i różnicy wyrżeo wymiernych szkicuje wykres funkcji y f (x), gdzie y f (x) jest funkcją homogrficzną i opisuje jej włsności szkicuje wykres funkcji y f ( x ), gdzie y f (x) jest funkcją homogrficzną i opisuje jej włsności szkicuje wykres funkcji y f ( x ), gdzie y f (x) jest funkcją homogrficzną i opisuje jej włsności wyzncz dziedzinę iloczynu orz ilorzu wyrżeo wymiernych mnoży wyrżeni wymierne dzieli wyrżeni wymierne wyzncz dziedzinę sumy i różnicy wyrżeo wymiernych dodje i odejmuje wyrżeni wymierne przeksztłc wzory, stosując dziłni n wyrżenich wymiernych 8. Równni wymierne równni wymierne rozwiązuje równni wymierne i podje odpowiednie złożeni stosuje równni wymierne w zdnich różnych typów R R R R R

10 9. Nierówności wymierne znk ilorzu znk iloczynu nierówności wymierne 10. Funkcje wymierne funkcj wymiern dziedzin funkcji wymiernej równośd funkcji 11. Równni i nierówności z wrtością bezwzględną 12. Wyrżeni wymierne zstosowni 3. FUNCJE TRYGONOMETRYCZNE równni i nierówności z wrtością bezwzględną zstosownie wyrżeo wymiernych do rozwiązywni zdo tekstowych s zstosownie zleżności t v odczytuje z dnego wykresu zbiór rozwiązo nierówności wymiernej rozwiązuje nierówności wymierne i podje odpowiednie złożeni stosuje nierówności wymierne do porównywni wrtości funkcji homogrficznych rozwiązuje grficznie nierówności wymierne rozwiązuje ukłdy nierówności wymiernych określ dziedzinę i miejsce zerowe funkcji wymiernej dnej wzorem podje wzór funkcji wymiernej spełnijącej określone wrunki rozwiązuje zdni z prmetrem dotyczące funkcji wymiernej stosuje włsności wrtości bezwzględnej do rozwiązywni równo i nierówności wymiernych zzncz w ukłdzie współrzędnych zbiory punktów spełnijących zdne wrunki wykorzystuje wyrżeni wymierne do rozwiązywni zdo tekstowych wykorzystuje wielkości odwrotnie proporcjonlne do rozwiązywni zdo tekstowych dotyczących szybkości R D

11 1. Funkcje trygonometryczne dowolnego kąt kąt w ukłdzie współrzędnych funkcje trygonometryczne dowolnego kąt znki funkcji trygonometrycznych wrtości funkcji trygonometrycznych niektórych kątów zzncz kąt w ukłdzie współrzędnych wyzncz wrtości funkcji trygonometrycznych kąt, gdy dne są współrzędne punktu leżącego n jego koocowym rmieniu określ znki funkcji trygonometrycznych dnego kąt określ, w której dwirtce ukłdu współrzędnych leży koocowe rmię kąt, mjąc dne wrtości funkcji trygonometrycznych oblicz wrtości funkcji trygonometrycznych szczególnych kątów, np.: 90, 120, 135, 225 wykorzystuje funkcje trygonometryczne do rozwiązywni zdo 2. ąt obrotu dodtni i ujemny kierunek obrotu wrtości funkcji trygonometrycznych kąt k 360, gdzie k C, 0 ; Mir łukow kąt mir łukow kąt zmin miry stopniowej kąt n mirę łukową i odwrotnie zzncz w ukłdzie współrzędnych kąt o dnej mierze wyzncz kąt, mjąc dny punkt nleżący do jego koocowego rmieni bd, czy punkt nleży do koocowego rmieni dnego kąt oblicz wrtości funkcji trygonometrycznych kątów, mjąc dną ich mirę stopniową wyzncz kąt, mjąc dną wrtośd jego jednej funkcji trygonometrycznej zmieni mirę stopniową n łukową i odwrotnie oblicz wrtości funkcji trygonometrycznych dowolnych kątów, mjąc dną ich mirę łukową

12 4. Funkcje okresowe funkcj okresow okres podstwowy funkcji trygonometrycznych 5. Wykresy funkcji sinus i cosinus 6. Wykresy funkcji tngens i cotngens 7. rzesunięcie wykresu funkcji o wektor wykresy funkcji sinus i cosinus środki symetrii wykresu funkcji sinus osie symetrii wykresu funkcji sinus osie symetrii wykresu funkcji cosinus przystośd funkcji wykresy funkcji tngens i cotngens środki symetrii wykresów funkcji tngens i cotngens metod otrzymywni wykresu funkcji y f ( x p) r odczytuje okres podstwowy funkcji n podstwie jej wykresu szkicuje wykres funkcji okresowej stosuje okresowośd funkcji do wyznczni jej wrtości szkicuje wykresy funkcji sinus i cosinus w dnym przedzile określ włsności funkcji sinus i cosinus w dnym przedzile wykorzystuje włsności funkcji sinus i cosinus do obliczeni wrtości tej funkcji dl dnego kąt rozwiązuje równni typu sin x i cos x sprwdz przystośd funkcji szkicuje wykresy funkcji tngens i cotngens w dnym przedzile wykorzystuje włsności funkcji tngens i cotngens do obliczeni wrtości tych funkcji dl dnego kąt rozwiązuje równni typu tg x, ctgx szkicuje wykresy funkcji trygonometrycznych y f ( x p) r i określ ich włsności szkicuje wykresy funkcji trygonometrycznych, stosując symetrię względem osi ukłdu współrzędnych orz symetrię względem początku ukłdu współrzędnych szkicuje wykresy funkcji trygonometrycznych będące efektem wykonni kilku opercji D W

13 8. rzeksztłceni wykresu funkcji (1) 9. rzeksztłceni wykresu funkcji (2) 10. rzeksztłceni wykresu funkcji (3) 11. Tożsmości trygonometryczne metod szkicowni wykresu funkcji y f (x), gdzie y f (x) jest funkcją trygonometryczną metod szkicowni wykresu funkcji y f (x), gdzie y f (x) jest funkcją trygonometryczną metod szkicowni wykresów funkcji y f (x) orz y f x, gdzie y f x jest funkcją trygonometryczną podstwowe tożsmości trygonometryczne metod uzsdnini tożsmości trygonometrycznych szkicuje wykresy funkcji y f (x), gdzie y f (x) jest funkcją trygonometryczną i określ ich włsności szkicuje wykresy funkcji trygonometrycznych będące efektem wykonni kilku opercji orz określ ich włsności szkicuje wykresy funkcji y f (x), gdzie y f (x) jest funkcją trygonometryczną i określ ich włsności szkicuje wykresy funkcji trygonometrycznych będące efektem wykonni kilku opercji orz określ ich włsności szkicuje wykresy funkcji y f (x) orz y f x, gdzie y f x jest funkcją trygonometryczną i określ ich włsności szkicuje wykresy funkcji trygonometrycznych będące efektem wykonni kilku opercji orz określ ich włsności stosuje wykresy funkcji trygonometrycznych do rozwiązywni równo stosuje tożsmości trygonometryczne w prostych sytucjch dowodzi tożsmości trygonometryczne, podjąc odpowiednie złożeni oblicz wrtości pozostłych funkcji trygonometrycznych kąt, gdy dn jest jedn z nich

14 12. Funkcje trygonometryczne sumy i różnicy kątów funkcje trygonometryczne sumy i różnicy kątów wyzncz wrtości funkcji trygonometrycznych kątów z zstosowniem wzorów n funkcje trygonometryczne sumy i różnicy kątów stosuje wzory n funkcje trygonometryczne kąt podwojonego stosuje poznne wzory do przeksztłcni wyrżeo zwierjących funkcje trygonometryczne, w tym również do uzsdnini tożsmości trygonometrycznych 13. Wzory redukcyjne wzory redukcyjne π zpisuje dny kąt w postci k 2 lub k 90, gdzie ( 0; 90 ) 14. Równni trygonometryczne 15. Nierówności trygonometryczne 4. CIĄGI 1. ojęcie ciągu pojęcie ciągu wykres ciągu wyrz ciągu metody rozwiązywni równo trygonometrycznych wzory n sumę i różnicę sinusów i cosinusów metody rozwiązywni nierówności trygonometrycznych, gdzie wyzncz wrtości funkcji trygonometrycznych dnych kątów z zstosowniem wzorów redukcyjnych wyzncz wrtości funkcji trygonometrycznych dnych kątów z zstosowniem włsności funkcji trygonometrycznych rozwiązuje równni trygonometryczne stosuje wzory n sumę i różnicę sinusów i cosinusów rozwiązuje nierówności trygonometryczne wyzncz kolejne wyrzy ciągu, gdy dnych jest kilk jego początkowych wyrzów szkicuje wykres ciągu 0 ; π 2 D D

15 2. Sposoby określni ciągu sposoby określni ciągu wyzncz wzór ogólny ciągu, mjąc dnych kilk jego początkowych wyrzów wyzncz początkowe wyrzy ciągu określonego wzorem ogólnym wyzncz, które wyrzy ciągu przyjmują dną wrtośd wyzncz wzór ogólny ciągu spełnijącego podne wrunki 3. Ciągi monotoniczne (1) definicj ciągu rosnącego, mlejącego, stłego, niemlejącego i nierosnącego 4. Ciągi określone rekurencyjnie określenie rekurencyjne ciągu podje przykłdy ciągów monotonicznych, których wyrzy spełniją dne wrunki uzsdni, że dny ciąg nie jest monotoniczny, mjąc dne jego kolejne wyrzy wyzncz wyrz n 1 ciągu określonego wzorem ogólnym bd monotonicznośd ciągu, korzystjąc z definicji wyzncz wrtośd prmetru tk, by ciąg był ciągiem monotonicznym dowodzi monotoniczności ciągów określonych wzormi postci: 2 bn c n d orz b n n, gdzie ( n ) jest ciągiem monotonicznym, zś c, d R wyzncz początkowe wyrzy ciągu określonego rekurencyjnie wyzncz wzór rekurencyjny ciągu, mjąc dny wzór ogólny rozwiązuje zdni o podwyższonym stopniu trudności, związne ze wzorem rekurencyjnym ciągu R W

16 5. Ciągi monotoniczne (2) sum, różnic, iloczyn i ilorz ciągów 6. Ciąg rytmetyczny (1) określenie ciągu rytmetycznego i jego różnicy wzór ogólny ciągu rytmetycznego monotonicznośd ciągu rytmetycznego pojęcie średniej rytmetycznej 7. Ciąg rytmetyczny (2) stosownie włsności ciągu rytmetycznego do rozwiązywni zdo 8. Sum początkowych wyrzów ciągu rytmetycznego wzór n sumę n początkowych wyrzów ciągu rytmetycznego wyzncz wzór ogólny ciągu, będący wynikiem wykonni dziło n dnych ciągch bd monotonicznośd sumy, różnicy, iloczynu i ilorzu ciągów rozwiązuje zdni o podwyższonym stopniu trudności, dotyczące monotoniczności ciągu podje przykłdy ciągów rytmetycznych wyzncz wyrzy ciągu rytmetycznego, mjąc dny pierwszy wyrz i różnicę wyzncz wzór ogólny ciągu rytmetycznego, mjąc dne dowolne dw jego wyrzy stosuje średnią rytmetyczną do wyznczni wyrzów ciągu rytmetycznego określ monotonicznośd ciągu rytmetycznego sprwdz, czy dny ciąg jest ciągiem rytmetycznym wyzncz wrtości zmiennych tk, by wrz z podnymi wrtościmi tworzyły ciąg rytmetyczny stosuje włsności ciągu rytmetycznego do rozwiązywni zdo oblicz sumę n początkowych wyrzów ciągu rytmetycznego stosuje włsności ciągu rytmetycznego do rozwiązywni zdo tekstowych rozwiązuje równni z zstosowniem wzoru n sumę wyrzów ciągu rytmetycznego R R W

17 9. Ciąg geometryczny (1) określenie ciągu geometrycznego i jego ilorzu wzór ogólny ciągu geometrycznego 10. Ciąg geometryczny (2) monotonicznośd ciągu geometrycznego pojęcie średniej geometrycznej 11. Sum początkowych wyrzów ciągu geometrycznego 12. Ciągi rytmetyczne i ciągi geometryczne zdni wzór n sumę n początkowych wyrzów ciągu geometrycznego włsności ciągu rytmetycznego i geometrycznego 13. rocent skłdny procent skłdny kpitlizcj, okres kpitlizcji stop procentow: nominln i efektywn podje przykłdy ciągów geometrycznych wyzncz wyrzy ciągu geometrycznego, mjąc dny pierwszy wyrz i ilorz wyzncz wzór ogólny ciągu geometrycznego, mjąc dne dowolne dw jego wyrzy sprwdz, czy dny ciąg jest ciągiem geometrycznym określ monotonicznośd ciągu geometrycznego stosuje średnią geometryczną do rozwiązywni zdo wyzncz wrtości zmiennych tk, by wrz z podnymi wrtościmi tworzyły ciąg geometryczny oblicz sumę n początkowych wyrzów ciągu geometrycznego stosuje wzór n sumę n początkowych wyrzów ciągu geometrycznego w zdnich stosuje włsności ciągu rytmetycznego i geometrycznego do rozwiązywni zdo oblicz wysokośd kpitłu przy różnym okresie kpitlizcji oblicz oprocentownie lokty określ okres oszczędzni rozwiązuje zdni związne z kredytmi

18 14. Grnic ciągu określenie grnicy ciągu pojęci: ciąg zbieżny, grnic włściw ciągu, prwie wszystkie wyrzy ciągu, ciąg stły twierdzeni o grnicy ciągu n n q, gdy q 1 ; 1 orz ciągu 1 n k, gdy k > 0 n 15. Grnic niewłściw pojęci: ciąg rozbieżny, grnic niewłściw określenie ciągu rozbieżnego do orz ciągu rozbieżnego do - twierdzeni o rozbieżności ciągu 16. Oblicznie grnic ciągów (1) 17. Oblicznie grnic ciągów (2) n n q n k, gdy q > 1 orz ciągu n, gdy k > 0 twierdzenie o grnicch: sumy, różnicy, iloczynu i ilorzu ciągów zbieżnych twierdzenie o włsnościch grnic ciągów rozbieżnych symbole nieoznczone twierdzenie o trzech ciągch bd n podstwie wykresu, czy dny ciąg m grnicę i w przypdku ciągu zbieżnego podje jego grnicę bd, ile wyrzów dnego ciągu jest oddlonych od dnej liczby o podną wrtośd n 1 podje grnicę ciągu n q, gdy q 1 ; 1 orz ciągu n k n, gdy k > 0 rozpoznje ciąg rozbieżny n podstwie wykresu i określ, czy m on grnicę niewłściwą, czy nie m grnicy bd, ile wyrzów dnego ciągu jest większych (mniejszych) od dnej liczby wie, że ciągi n rozbieżne do q n, gdy q > 1orz ciągi n n k, gdy k > 0 są oblicz grnice ciągów, korzystjąc z twierdzeni o grnicch: sumy, różnicy, iloczynu i ilorzu ciągów zbieżnych oblicz grnice niewłściwe ciągów, korzystjąc z twierdzeni o włsnościch grnic ciągów rozbieżnych oblicz grnice ciągu, korzystjąc z twierdzeni o trzech ciągch W

19 18. Szereg geometryczny pojęci: szereg geometryczny, sum szeregu geometrycznego wzór n sumę szeregu geometrycznego o ilorzie q 1;1 wrunek zbieżności szeregu geometrycznego 5. RACHUNE RÓŻNICZOWY 1. Grnic funkcji w punkcie intuicyjne pojęcie grnicy określenie grnicy funkcji w punkcie 2. Oblicznie grnic twierdzenie o grnicch: sumy, różnicy, iloczynu i ilorzu funkcji w punkcie twierdzenie o grnicy funkcji y f (x) w punkcie twierdzenie o grnicch funkcji sinus i cosinus w punkcie 3. Grnice jednostronne określenie grnic: prwostronnej, lewostronnej funkcji w punkcie twierdzenie o związku między wrtościmi grnic jednostronnych w punkcie grnicą funkcji w punkcie sprwdz, czy dny szereg geometryczny jest zbieżny oblicz sumę szeregu geometrycznego zbieżnego stosuje wzór n sumę szeregu geometrycznego do rozwiązywni zdo, również osdzonych w kontekście prktycznym uzsdni, że funkcj nie m grnicy w punkcie, również n podstwie jej wykresu uzsdni, korzystjąc z definicji, że dn liczb jest grnicą funkcji w punkcie oblicz grnice funkcji w punkcie, korzystjąc z twierdzeni o grnicch: sumy, różnicy, iloczynu i ilorzu funkcji, które mją grnice w tym punkcie oblicz grnicę funkcji y f (x) w punkcie oblicz grnice funkcji w punkcie, stosując włsności grnic funkcji sinus i cosinus w punkcie oblicz grnice jednostronne funkcji w punkcie stosuje twierdzenie o związku między wrtościmi grnic jednostronnych w punkcie grnicą funkcji w punkcie R R D

20 4. Grnice niewłściwe określenie grnicy niewłściwej funkcji w punkcie określenie grnicy niewłściwej jednostronnej funkcji w punkcie twierdzenie o wrtościch grnic niewłściwych funkcji wymiernych w punkcie pojęcie symptoty pionowej wykresu funkcji 5. Grnice funkcji w nieskooczoności określenie grnicy funkcji w nieskooczoności twierdzenie o włsnościch grnicy funkcji w nieskooczoności pojęcie symptoty poziomej wykresu funkcji 6. Ciągłośd funkcji określenie ciągłości funkcji twierdzenie o ciągłości sumy, różnicy, iloczynu i ilorzu funkcji ciągłych w punkcie 7. Włsności funkcji ciągłych twierdzenie o przyjmowniu wrtości pośrednich twierdzenie Weierstrss oblicz grnice niewłściwe jednostronne funkcji w punkcie oblicz grnice niewłściwe funkcji w punkcie wyzncz równni symptot pionowych wykresu funkcji oblicz grnice funkcji w nieskooczoności wyzncz równni symptot poziomych wykresu funkcji sprwdz ciągłośd funkcji w punkcie sprwdz ciągłośd funkcji wyzncz wrtości prmetrów, dl których funkcj jest ciągł w dnym punkcie lub zbiorze stosuje twierdzeni o przyjmowniu wrtości pośrednich do uzsdnini istnieni rozwiązni równni stosuje twierdzenie Weierstrss do wyznczni wrtości njmniejszej orz njwiększej funkcji w dnym przedzile domkniętym D D R

21 8. ochodn funkcji pojęci: ilorz różnicowy, styczn, sieczn określenie pochodnej funkcji w punkcie interpretcj geometryczn pochodnej funkcji w punkcie 9. Funkcj pochodn określenie funkcji pochodnej dl dnej funkcji wzory n pochodne funkcji orz 10. Dziłni n pochodnych twierdzeni o pochodnej sumy, różnicy, iloczynu i ilorzu funkcji pochodne funkcji trygonometrycznych 11. Interpretcj fizyczn pochodnej y x y n x interpretcj fizyczn pochodnej korzystjąc z definicji, oblicz pochodną funkcji w punkcie stosuje interpretcję geometryczn pochodnej funkcji w punkcie do wyznczeni współczynnik kierunkowego stycznej do wykresu funkcji w punkcie oblicz mirę kąt, jki styczn do wykresu funkcji w punkcie tworzy z osią OX uzsdni, że funkcj nie m pochodnej w punkcie korzyst ze wzorów do wyznczeni funkcji pochodnej orz wrtości pochodnej w punkcie wyzncz punkt wykresu funkcji, w którym styczn do niego spełni podne wrunki n podstwie definicji wyprowdz wzory n pochodne funkcji stosuje twierdzeni o pochodnej sumy, różnicy, iloczynu i ilorzu funkcji do wyznczni wrtości pochodnej w punkcie orz do wyznczni funkcji pochodnej stosuje wzory n pochodne do rozwiązywni zdo dotyczących stycznej do wykresu funkcji wyprowdz wzory n pochodną sumy, różnicy, iloczynu i ilorzu funkcji stosuje pochodną do wyznczeni prędkości orz przyspieszeni poruszjących się cił R R R W D D W R

22 12. Funkcje rosnące i mlejące twierdzeni o związku monotoniczności funkcji i znku jej pochodnej 13. Ekstrem funkcji pojęci: minimum loklne, mksimum loklne wrunki konieczny i wystrczjący istnieni ekstremum 14. Wrtośd njmniejsz i wrtośd njwiększ funkcji 15. Zgdnieni optymlizcyjne 16. Szkicownie wykresu funkcji 6. LANIMETRIA wrtości njmniejsz i njwiększ funkcji w przedzile domkniętym zgdnieni optymlizcyjne schemt bdni włsności funkcji korzyst z włsności pochodnej do wyznczeni przedziłów monotoniczności funkcji uzsdni monotonicznośd funkcji w dnym zbiorze wyzncz wrtości prmetrów tk, by funkcj był monotoniczn podje ekstremum funkcji, korzystjąc z jej wykresu wyzncz ekstrem funkcji stosując wrunek konieczny i wystrczjący jego istnieni wyzncz wrtości prmetrów tk, by funkcj mił ekstremum w dnym punkcie uzsdni, że dn funkcj nie m ekstremum wyzncz njmniejszą i njwiększą wrtośd funkcji w przedzile domkniętym stosuje umiejętnośd wyznczni njmniejszej i njwiększej wrtości funkcji do rozwiązywni zdo stosuje umiejętnośd wyznczni njmniejszej i njwiększej wrtości funkcji do rozwiązywni zdo optymlizcyjnych zn schemt bdni włsności funkcji bd włsności funkcji i zpisuje je w tbeli szkicuje wykres funkcji n podstwie jej włsności R R R D D

23 1. Długośd okręgu i pole koł wzory n długośd okręgu i długośd łuku okręgu wzory n pole koł i pole wycink koł 2. ąty w okręgu pojęcie kąt środkowego pojęcie kąt wpisnego twierdzenie o kącie środkowym i wpisnym, oprtych n tym smym łuku twierdzenie o kątch wpisnych, oprtych n tym smym łuku twierdzenie o kącie wpisnym, oprtym n półokręgu twierdzenie o kącie między styczną cięciwą okręgu wielokąt wpisny w okrąg 3. Okrąg opisny n trójkącie okrąg opisny n trójkącie wielokąt opisny n okręgu 4. Okrąg wpisny w trójkąt okrąg wpisny w trójkąt wzór n pole trójkąt b c r, gdzie, b, c są 2 długościmi boków tego trójkąt, r długością promieni okręgu wpisnego w ten trójkąt podje wzory n długośd okręgu i długośd łuku okręgu orz wzory n pole koł i pole wycink koł stosuje poznne wzory do obliczni pól i obwodów figur rozpoznje kąty wpisne i środkowe w okręgu orz wskzuje łuki, n których są one oprte stosuje twierdzenie o kącie środkowym i wpisnym, oprtych n tym smym łuku orz twierdzenie o kącie między styczną cięciwą okręgu rozwiązuje zdni dotyczące wielokąt wpisnego w okrąg formułuje i dowodzi twierdzeni dotyczące kątów w okręgu rozwiązuje zdni związne z okręgiem opisnym n trójkącie stosuje włsności środk okręgu opisnego n trójkącie w zdnich z geometrii nlitycznej rozwiązuje zdni dotyczące okręgu wpisnego w trójkąt prostokątny rozwiązuje zdni związne z okręgiem wpisnym w trójkąt przeksztłc wzory n pole trójkąt i udowdni je R D W D D D W

24 5. Czworokąty wypukłe pojęcie figury wypukłej rodzje czworokątów 6. Okrąg opisny n czworokącie 7. Okrąg wpisny w czworokąt twierdzenie o okręgu opisnym n czworokącie twierdzenie o okręgu wpisnym w czworokąt określ włsności czworokątów stosuje włsności czworokątów wypukłych do rozwiązywni zdo z plnimetrii sprwdz, czy n dnym czworokącie możn opisd okrąg stosuje twierdzenie o okręgu opisnym n czworokącie do rozwiązywni zdo sprwdz, czy w dny czworokąt możn wpisd okrąg stosuje twierdzenie o okręgu wpisnym w czworokąt do rozwiązywni zdo dowodzi twierdzeni dotyczące okręgu wpisnego w wielokąt 8. Twierdzenie sinusów twierdzenie sinusów stosuje twierdzenie sinusów do rozwiązywni trójkątów stosuje twierdzenie sinusów do rozwiązywni zdo o kontekście prktycznym przeprowdz dowód twierdzeni sinusów 9. Twierdzenie cosinusów twierdzenie cosinusów stosuje twierdzenie cosinusów do rozwiązywni trójkątów stosuje twierdzenie cosinusów do rozwiązywni zdo o kontekście prktycznym przeprowdz dowód twierdzeni cosinusów D W D W D W