Dystrybuanty pozorne. w analizie ekstremów szeregów czasowych

Transkrypt

1 w analizie ekstremów szeregów czasowych XXX-lecie Instytutu Zastosowań Matematyki i Mechaniki Uniwersytet Warszawski, 20 kwietnia 2017 r. Uniwersytet Mikołaja Kopernika Toruń 1

2 Wykład oparty jest na wynikach własnych oraz pracach współautorskich z P. Doukhanem, G. Langiem, N. Soja-Kukieł a i P. Truszczyńskim 2

3 Problem zdarzeń ekstremalnych: dwa podejścia 3

4 Japońskie... 4

5 Japońskie... Lata 60-te XX wieku: Japonia przygotowuje się do budowy swojej sieci elektrowni atomowych. 4

6 Japońskie... Lata 60-te XX wieku: Japonia przygotowuje się do budowy swojej sieci elektrowni atomowych. Problem: jakość zabezpieczeń wobec trzęsień ziemi, w szczególności przeciw tsunami powstałych w wyniku trzęsień ziemi. 4

7 Japońskie... Lata 60-te XX wieku: Japonia przygotowuje się do budowy swojej sieci elektrowni atomowych. Problem: jakość zabezpieczeń wobec trzęsień ziemi, w szczególności przeciw tsunami powstałych w wyniku trzęsień ziemi. W okolicach elektrowni w Fukushimie Dai-Ichi w ciagu ok. 100 lat rejestracji, nie zanotowano trzęsienia ziemi o sile większej niż 8 st. 4

8 Japońskie... Lata 60-te XX wieku: Japonia przygotowuje się do budowy swojej sieci elektrowni atomowych. Problem: jakość zabezpieczeń wobec trzęsień ziemi, w szczególności przeciw tsunami powstałych w wyniku trzęsień ziemi. W okolicach elektrowni w Fukushimie Dai-Ichi w ciagu ok. 100 lat rejestracji, nie zanotowano trzęsienia ziemi o sile większej niż 8 st. Ponieważ okres eksploatacji elektrowni atomowej ocenia się na 60 lat, zdroworozsadkowo przyjęto że należy je zabezpieczać przed wstrzasami o sile do 8 st. 4

9 Japońskie... Lata 60-te XX wieku: Japonia przygotowuje się do budowy swojej sieci elektrowni atomowych. Problem: jakość zabezpieczeń wobec trzęsień ziemi, w szczególności przeciw tsunami powstałych w wyniku trzęsień ziemi. W okolicach elektrowni w Fukushimie Dai-Ichi w ciagu ok. 100 lat rejestracji, nie zanotowano trzęsienia ziemi o sile większej niż 8 st. Ponieważ okres eksploatacji elektrowni atomowej ocenia się na 60 lat, zdroworozsadkowo przyjęto że należy je zabezpieczać przed wstrzasami o sile do 8 st. W istocie zignorowano 2 trzęsienia ziemi o sile 8,4-8,5 st., które miały miejsce kilkaset km na północ. 4

10 Japońskie... Lata 60-te XX wieku: Japonia przygotowuje się do budowy swojej sieci elektrowni atomowych. Problem: jakość zabezpieczeń wobec trzęsień ziemi, w szczególności przeciw tsunami powstałych w wyniku trzęsień ziemi. W okolicach elektrowni w Fukushimie Dai-Ichi w ciagu ok. 100 lat rejestracji, nie zanotowano trzęsienia ziemi o sile większej niż 8 st. Ponieważ okres eksploatacji elektrowni atomowej ocenia się na 60 lat, zdroworozsadkowo przyjęto że należy je zabezpieczać przed wstrzasami o sile do 8 st. W istocie zignorowano 2 trzęsienia ziemi o sile 8,4-8,5 st., które miały miejsce kilkaset km na północ. Rezultat jest znany: w 2011 roku elektrownia była bezbronna wobec tsunami wywołanego trzęsieniem ziemi o sile 9 st. 4

11 Holenderskie... 5

12 Holenderskie... Ok. 40 % powierzchni Holandii to depresja, w większości oddzielana od morza przez system grobli i tam. 5

13 Holenderskie... Ok. 40 % powierzchni Holandii to depresja, w większości oddzielana od morza przez system grobli i tam. Ta ochrona stale narażona jest na uszkodzenia lub zniszczenia w wyniku fal sztormowych o różnym natężeniu. 5

14 Holenderskie... Ok. 40 % powierzchni Holandii to depresja, w większości oddzielana od morza przez system grobli i tam. Ta ochrona stale narażona jest na uszkodzenia lub zniszczenia w wyniku fal sztormowych o różnym natężeniu. Swego czasu rzad holenderski postawił przed naukowcami zadanie określenia takiej wysokości wałów, aby prawdopodobieństwo ich przełamania w okresie roku wynosiło 0,

15 Holenderskie... Ok. 40 % powierzchni Holandii to depresja, w większości oddzielana od morza przez system grobli i tam. Ta ochrona stale narażona jest na uszkodzenia lub zniszczenia w wyniku fal sztormowych o różnym natężeniu. Swego czasu rzad holenderski postawił przed naukowcami zadanie określenia takiej wysokości wałów, aby prawdopodobieństwo ich przełamania w okresie roku wynosiło 0,0001. Podstawa do oszacowań miały być dane z 1887 poważnych sztormów, zgromadzone w okresie 100 lat w mieście Delfzijl w północnej Holandii. 5

16 Holenderskie... Ok. 40 % powierzchni Holandii to depresja, w większości oddzielana od morza przez system grobli i tam. Ta ochrona stale narażona jest na uszkodzenia lub zniszczenia w wyniku fal sztormowych o różnym natężeniu. Swego czasu rzad holenderski postawił przed naukowcami zadanie określenia takiej wysokości wałów, aby prawdopodobieństwo ich przełamania w okresie roku wynosiło 0,0001. Podstawa do oszacowań miały być dane z 1887 poważnych sztormów, zgromadzone w okresie 100 lat w mieście Delfzijl w północnej Holandii. Dane sa niewystarczajace do pełnego, tzn. matematycznie ścisłego rozwiazania. 5

17 Holenderskie... Ok. 40 % powierzchni Holandii to depresja, w większości oddzielana od morza przez system grobli i tam. Ta ochrona stale narażona jest na uszkodzenia lub zniszczenia w wyniku fal sztormowych o różnym natężeniu. Swego czasu rzad holenderski postawił przed naukowcami zadanie określenia takiej wysokości wałów, aby prawdopodobieństwo ich przełamania w okresie roku wynosiło 0,0001. Podstawa do oszacowań miały być dane z 1887 poważnych sztormów, zgromadzone w okresie 100 lat w mieście Delfzijl w północnej Holandii. Dane sa niewystarczajace do pełnego, tzn. matematycznie ścisłego rozwiazania. Ale żaden bootstrap tu nie pomoże. Konieczna jest skuteczna ekstrapolacja. 5

18 Wspólny mianownik 6

19 Wspólny mianownik Niech X 1, X 2,... oznaczaj a wartości badanej wielkości (np. roczna maksymalna wysokość fali sztormowej w punkcie pomiarowym), mierzone w regularnych odstępach czasu. To szereg czasowy. 6

20 Wspólny mianownik Niech X 1, X 2,... oznaczaj a wartości badanej wielkości (np. roczna maksymalna wysokość fali sztormowej w punkcie pomiarowym), mierzone w regularnych odstępach czasu. To szereg czasowy. Niech M n = max 1 j n X j. 6

21 Wspólny mianownik Niech X 1, X 2,... oznaczaja wartości badanej wielkości (np. roczna maksymalna wysokość fali sztormowej w punkcie pomiarowym), mierzone w regularnych odstępach czasu. To szereg czasowy. Niech M n = max X j. 1 j n Poszukujemy q-kwantyla dla M n, czyli takiej wielkości v n, żeby P ( M n v n ) = q. 6

22 Wspólny mianownik Niech X 1, X 2,... oznaczaja wartości badanej wielkości (np. roczna maksymalna wysokość fali sztormowej w punkcie pomiarowym), mierzone w regularnych odstępach czasu. To szereg czasowy. Niech M n = max X j. 1 j n Poszukujemy q-kwantyla dla M n, czyli takiej wielkości v n, żeby P ( M n v n ) = q. Np. w zadaniu holenderskim", w istocie poszukujemy v 100, które odpowiada q = 0, 99. Rzeczywiście, jeśli P ( X j v ) = 0, 9999 i zmienne {X j } sa niezależne i maja jednakowe rozkłady, to P ( M 100 v ) = P ( X 1 v ) 100 0, 99. 6

23 Wspólny mianownik Niech X 1, X 2,... oznaczaja wartości badanej wielkości (np. roczna maksymalna wysokość fali sztormowej w punkcie pomiarowym), mierzone w regularnych odstępach czasu. To szereg czasowy. Niech M n = max X j. 1 j n Poszukujemy q-kwantyla dla M n, czyli takiej wielkości v n, żeby P ( M n v n ) = q. Np. w zadaniu holenderskim", w istocie poszukujemy v 100, które odpowiada q = 0, 99. Rzeczywiście, jeśli P ( X j v ) = 0, 9999 i zmienne {X j } sa niezależne i maja jednakowe rozkłady, to P ( M 100 v ) = P ( X 1 v ) 100 0, 99. Oczekiwania rzadu holenderskiego nie były więc nierozsadnie pesymistyczne! 6

24 Kilka uwag 7

25 Kilka uwag Ciagi niezależnych zmiennych losowych realizuja (asymptotycznie) najszybszy wzrost maksimów czyli najgorsze scenariusze. 7

26 Kilka uwag Ciagi niezależnych zmiennych losowych realizuja (asymptotycznie) najszybszy wzrost maksimów czyli najgorsze scenariusze. Realne szeregi czasowe rzadko spełniaja założenie niezależności, nawet w przybliżeniu. 7

27 Kilka uwag Ciagi niezależnych zmiennych losowych realizuja (asymptotycznie) najszybszy wzrost maksimów czyli najgorsze scenariusze. Realne szeregi czasowe rzadko spełniaja założenie niezależności, nawet w przybliżeniu. Znacznie bardziej realistyczne (i nadal efektywne) sa założenia: 7

28 Kilka uwag Ciagi niezależnych zmiennych losowych realizuja (asymptotycznie) najszybszy wzrost maksimów czyli najgorsze scenariusze. Realne szeregi czasowe rzadko spełniaja założenie niezależności, nawet w przybliżeniu. Znacznie bardziej realistyczne (i nadal efektywne) sa założenia: stacjonarności (własności statystyczne szeregu czasowego nie zależa od momentu rozpoczęcia obserwacji); 7

29 Kilka uwag Ciagi niezależnych zmiennych losowych realizuja (asymptotycznie) najszybszy wzrost maksimów czyli najgorsze scenariusze. Realne szeregi czasowe rzadko spełniaja założenie niezależności, nawet w przybliżeniu. Znacznie bardziej realistyczne (i nadal efektywne) sa założenia: stacjonarności (własności statystyczne szeregu czasowego nie zależa od momentu rozpoczęcia obserwacji); słabej zależności (odległe człony szeregu czasowego sa asymptotycznej niezależne"). 7

30 Kilka uwag Ciagi niezależnych zmiennych losowych realizuja (asymptotycznie) najszybszy wzrost maksimów czyli najgorsze scenariusze. Realne szeregi czasowe rzadko spełniaja założenie niezależności, nawet w przybliżeniu. Znacznie bardziej realistyczne (i nadal efektywne) sa założenia: stacjonarności (własności statystyczne szeregu czasowego nie zależa od momentu rozpoczęcia obserwacji); słabej zależności (odległe człony szeregu czasowego sa asymptotycznej niezależne"). Jest interesujace, że w analizie zagadnień postaci lim P( ) M n v n = q n dla stacjonarnych i słabo zależnych szeregów czasowych nadal możemy stosować techniki zwiazane z niezależnościa! 7

31 8

32 Pojęcie dystrybuanty j wprowadził O Brien (1987). 8

33 Pojęcie dystrybuanty j wprowadził O Brien (1987). Niech {X j } będzie procesem stacjonarnym z częściowymi maksimami M n = max 1 j n X j i rozkładem brzegowym F(x) = P(X 1 x). 8

34 Pojęcie dystrybuanty j wprowadził O Brien (1987). Niech {X j } będzie procesem stacjonarnym z częściowymi maksimami M n = max 1 j n X j i rozkładem brzegowym F(x) = P(X 1 x). Mówimy, że proces stacjonarny {X j } ma dystrybuantę pozorna G, jeśli sup P(M n u) G(u) n 0, gdy n. u R 8

35 Pojęcie dystrybuanty j wprowadził O Brien (1987). Niech {X j } będzie procesem stacjonarnym z częściowymi maksimami M n = max 1 j n X j i rozkładem brzegowym F(x) = P(X 1 x). Mówimy, że proces stacjonarny {X j } ma dystrybuantę pozorna G, jeśli sup P(M n u) G(u) n 0, gdy n. u R Jest oczywiste, że G nie jest jednoznacznie określone, bo ważne jest tylko zachowanie G w prawym końcu G = sup{x ; G(x) < 1}. 8

36 Istnienie dystrybuant pozornych 9

37 Istnienie dystrybuant pozornych Twierdzenie (A.J. 1993, D-J-L 2015) Niech {X j } będzie procesem stacjonarnym. Następujace warunki sa równoważne. 9

38 Istnienie dystrybuant pozornych Twierdzenie (A.J. 1993, D-J-L 2015) Niech {X j } będzie procesem stacjonarnym. Następujace warunki sa równoważne. Ciag {X j } posiada ciagł a dystrybuantę pozorna. 9

39 Istnienie dystrybuant pozornych Twierdzenie (A.J. 1993, D-J-L 2015) Niech {X j } będzie procesem stacjonarnym. Następujace warunki sa równoważne. Ciag {X j } posiada ciagł a dystrybuantę pozorna. Istnieje ciag {v n } oraz liczba γ (0, 1) takie, że P(M n v n ) γ, i spełniony jest Warunek B (v n ): sup P ( ) ( ) ( ) M p+q v n P Mp v n P Mq v n 0. p,q N 9

40 Istnienie dystrybuant pozornych Twierdzenie (A.J. 1993, D-J-L 2015) Niech {X j } będzie procesem stacjonarnym. Następujace warunki sa równoważne. Ciag {X j } posiada ciagł a dystrybuantę pozorna. Istnieje ciag {v n } oraz liczba γ (0, 1) takie, że P(M n v n ) γ, i spełniony jest Warunek B (v n ): sup P ( ) ( ) ( ) M p+q v n P Mp v n P Mq v n 0. p,q N Wniosek (D-J-L 2015) Jeśli {X j } jest stacjonarnym ciagiem α-mieszajacym z ciagłymi rozkładami brzegowymi, to posiada ciagł a dystrybuantę pozorna. 9

41 10

42 Warunek P(M n u) G(u) n 0, gdy n sup u R oznacza, że asymptotyka M n jest taka sama, jak asymptotyka maksimów ciagu niezależnych zmiennych losowych o dystrybuancie G. 10

43 Warunek P(M n u) G(u) n 0, gdy n sup u R oznacza, że asymptotyka M n jest taka sama, jak asymptotyka maksimów ciagu niezależnych zmiennych losowych o dystrybuancie G. Problem w tym, że G(x) i F(x) = P ( X 1 x ) moga być zupełnie różne. 10

44 Warunek P(M n u) G(u) n 0, gdy n sup u R oznacza, że asymptotyka M n jest taka sama, jak asymptotyka maksimów ciagu niezależnych zmiennych losowych o dystrybuancie G. Problem w tym, że G(x) i F(x) = P ( X 1 x ) moga być zupełnie różne. Przykład G(x) = F (x) 1/2 Niech {Y j } będzie ciagiem niezależnych zmiennych losowych o dystrybuancie G i niech X j = Y j Y j+1, j = 1, 2,.... Wtedy F(x) = G(x) 2 i jeśli v n G, to P ( M n v n ) = G(vn ) n+1 = G(v n ) n +o(1) = ( F 1/2 (v n ) ) n +o(1). 10

45 Bładzenie losowe według algorytmu Metropolisa 11

46 Bładzenie losowe według algorytmu Metropolisa Niech {Z j } będzie ciagiem i.i.d. z dystrybuanta rozkładu brzegowego H zadana przez gęstość h ( proposal density ), która jest symetryczna wokół 0. Niech {U j } będzie ciagiem i.i.d. o rozkładzie jednostajnym na [0, 1], niezależnym od {Z j }. Niech f (x) będzie zadana gęstościa rozkładu, który chcemy symulować ( target density ). Rozważmy łańcuch Markowa zadany równaniem rekurencyjnym X j+1 = X j + Z j+1 1 { U j+1 ψ ( X j, X j + Z j+1 )}, gdzie ψ(x, y) jest określone wzorem { { } min f (y)/f (x), 1 jeśli f (x) > 0, ψ(x, y) = 1 jeśli f (x) = 0. 11

47 Bładzenie losowe według algorytmu Metropolisa Niech {Z j } będzie ciagiem i.i.d. z dystrybuanta rozkładu brzegowego H zadana przez gęstość h ( proposal density ), która jest symetryczna wokół 0. Niech {U j } będzie ciagiem i.i.d. o rozkładzie jednostajnym na [0, 1], niezależnym od {Z j }. Niech f (x) będzie zadana gęstościa rozkładu, który chcemy symulować ( target density ). Rozważmy łańcuch Markowa zadany równaniem rekurencyjnym X j+1 = X j + Z j+1 1 { U j+1 ψ ( X j, X j + Z j+1 )}, gdzie ψ(x, y) jest określone wzorem { { } min f (y)/f (x), 1 jeśli f (x) > 0, ψ(x, y) = 1 jeśli f (x) = 0. Jeśli prawy ogon f jest ciężki, to ciag {X j } ma indeks ekstremalny θ = 0 (Roberts et al. (2006)), ale nadal posiada ciagł a dystrybuantę pozorna (D-J-L 2015). 11

48 Dalsze komentarze 12

49 Dalsze komentarze Stwierdzenie, że {X j } ma indeks ekstremalny zero oznacza, że maksima M n rosna dużo wolniej w porównaniu z przypadkiem niezależnym determinowanym przez F (oraz F θ itd.). W szczególności informacje o F nie określaja asymptotyki M n. 12

50 Dalsze komentarze Stwierdzenie, że {X j } ma indeks ekstremalny zero oznacza, że maksima M n rosna dużo wolniej w porównaniu z przypadkiem niezależnym determinowanym przez F (oraz F θ itd.). W szczególności informacje o F nie określaja asymptotyki M n. Powszechność dystrybuant pozornych dla maksimów jest wyjatkowym zjawiskiem. Analogiczne pojęcie dla sum stacjonarnych i słabo zależnych zmiennych losowych ma bardzo ograniczonych zakres. 12

51 Dalsze komentarze Stwierdzenie, że {X j } ma indeks ekstremalny zero oznacza, że maksima M n rosna dużo wolniej w porównaniu z przypadkiem niezależnym determinowanym przez F (oraz F θ itd.). W szczególności informacje o F nie określaja asymptotyki M n. Powszechność dystrybuant pozornych dla maksimów jest wyjatkowym zjawiskiem. Analogiczne pojęcie dla sum stacjonarnych i słabo zależnych zmiennych losowych ma bardzo ograniczonych zakres. Konsekwencje istnienia dystrybuant pozornych wykraczaja poza estetykę sformułowań odpowiednich twierdzeń! 12

52 Dalsze komentarze Stwierdzenie, że {X j } ma indeks ekstremalny zero oznacza, że maksima M n rosna dużo wolniej w porównaniu z przypadkiem niezależnym determinowanym przez F (oraz F θ itd.). W szczególności informacje o F nie określaja asymptotyki M n. Powszechność dystrybuant pozornych dla maksimów jest wyjatkowym zjawiskiem. Analogiczne pojęcie dla sum stacjonarnych i słabo zależnych zmiennych losowych ma bardzo ograniczonych zakres. Konsekwencje istnienia dystrybuant pozornych wykraczaja poza estetykę sformułowań odpowiednich twierdzeń! Zachodzi bowiem 12

53 Dalsze komentarze Stwierdzenie, że {X j } ma indeks ekstremalny zero oznacza, że maksima M n rosna dużo wolniej w porównaniu z przypadkiem niezależnym determinowanym przez F (oraz F θ itd.). W szczególności informacje o F nie określaja asymptotyki M n. Powszechność dystrybuant pozornych dla maksimów jest wyjatkowym zjawiskiem. Analogiczne pojęcie dla sum stacjonarnych i słabo zależnych zmiennych losowych ma bardzo ograniczonych zakres. Konsekwencje istnienia dystrybuant pozornych wykraczaja poza estetykę sformułowań odpowiednich twierdzeń! Zachodzi bowiem Fakt godny uwagi Asymptotyka rozkładów maksimów M n ciagów stacjonarnych i słabo zależnych jest w pełni określona przez pojedynczy ciag poziomów v n! 12

54 Równoważność dystrybuant ze względu na maksima 13

55 Równoważność dystrybuant ze względu na maksima Obserwacja 13

56 Równoważność dystrybuant ze względu na maksima Obserwacja Niech dystrybuanta G będzie regularna, tzn. spełnia 1 G(x ) G(G ) = 1 oraz lim x G 1 G(x) = 1. 13

57 Równoważność dystrybuant ze względu na maksima Obserwacja Niech dystrybuanta G będzie regularna, tzn. spełnia 1 G(x ) G(G ) = 1 oraz lim x G 1 G(x) = 1. Dla dowolnej dystrybuanty H następujace warunki sa równoważne. 13

58 Równoważność dystrybuant ze względu na maksima Obserwacja Niech dystrybuanta G będzie regularna, tzn. spełnia 1 G(x ) G(G ) = 1 oraz lim x G 1 G(x) = 1. Dla dowolnej dystrybuanty H następujace warunki sa równoważne. sup G(x) n H(x) n 0, gdy n. x R 13

59 Równoważność dystrybuant ze względu na maksima Obserwacja Niech dystrybuanta G będzie regularna, tzn. spełnia 1 G(x ) G(G ) = 1 oraz lim x G 1 G(x) = 1. Dla dowolnej dystrybuanty H następujace warunki sa równoważne. sup G(x) n H(x) n 0, gdy n. x R Istnieje γ (0, 1) i niemalejacy ciag {v n } taki, że G(v n ) n γ, H(v n ) n γ. 13

60 Równoważność dystrybuant ze względu na maksima Obserwacja Niech dystrybuanta G będzie regularna, tzn. spełnia 1 G(x ) G(G ) = 1 oraz lim x G 1 G(x) = 1. Dla dowolnej dystrybuanty H następujace warunki sa równoważne. sup G(x) n H(x) n 0, gdy n. x R Istnieje γ (0, 1) i niemalejacy ciag {v n } taki, że G(v n ) n γ, H(v n ) n γ. H jest regularna i ma ogon równoważny z G, tj. G = H oraz 1 H(x) 1 G(x) 1, gdy x G. 13

61 Kluczowe uwagi 14

62 Kluczowe uwagi W tradycyjnym podejściu badano granice lim n P( (M n b n )/a n x ) = lim P ( ) (M n a n x + b n, n dla rodziny poziomów v n (x) = a n x + b n, x R 1. 14

63 Kluczowe uwagi W tradycyjnym podejściu badano granice lim n P( (M n b n )/a n x ) = lim P ( ) (M n a n x + b n, n dla rodziny poziomów v n (x) = a n x + b n, x R 1. Prowadziło to do granicznych rozkładów max-stabilnych, obszarów przyciagania itp. 14

64 Kluczowe uwagi W tradycyjnym podejściu badano granice lim n P( (M n b n )/a n x ) = lim P ( ) (M n a n x + b n, n dla rodziny poziomów v n (x) = a n x + b n, x R 1. Prowadziło to do granicznych rozkładów max-stabilnych, obszarów przyciagania itp. Okazuje się, że wystarczy znaleźć granicę γ (0, 1) dla jednego ciagu poziomów v n = a n x 0 + b n! 14

65 Kluczowe uwagi W tradycyjnym podejściu badano granice lim n P( (M n b n )/a n x ) = lim P ( ) (M n a n x + b n, n dla rodziny poziomów v n (x) = a n x + b n, x R 1. Prowadziło to do granicznych rozkładów max-stabilnych, obszarów przyciagania itp. Okazuje się, że wystarczy znaleźć granicę γ (0, 1) dla jednego ciagu poziomów v n = a n x 0 + b n! Z naszej teorii wynika, że również w dużo obszerniejszej klasie stacjonarnych i słabo zależnych ciagów zmiennych losowych wystarczy estymować jeden ciag v n spełniajacy P(M n v n ) = G(v n ) n +o(1) γ (0, 1), gdy n. 14

66 Kluczowe uwagi W tradycyjnym podejściu badano granice lim n P( (M n b n )/a n x ) = lim P ( ) (M n a n x + b n, n dla rodziny poziomów v n (x) = a n x + b n, x R 1. Prowadziło to do granicznych rozkładów max-stabilnych, obszarów przyciagania itp. Okazuje się, że wystarczy znaleźć granicę γ (0, 1) dla jednego ciagu poziomów v n = a n x 0 + b n! Z naszej teorii wynika, że również w dużo obszerniejszej klasie stacjonarnych i słabo zależnych ciagów zmiennych losowych wystarczy estymować jeden ciag v n spełniajacy P(M n v n ) = G(v n ) n +o(1) γ (0, 1), gdy n. Trzeba tylko pamiętać, że F i G nie musza mieć wiele wspólnego., więc istotne dla kształtu ogona G będa dopiero odległe" v n. 14

67 Kluczowe uwagi 15

68 Kluczowe uwagi Niekiedy ciag v n mamy dany za darmo. 15

69 Kluczowe uwagi Niekiedy ciag v n mamy dany za darmo. Jeśli np. rozkłady brzegowe {X j } sa ciagłe, wtedy wystarczy estymować medianę lub trzeci kwartyl M n, co prowadzi do P ( M n v n ) γ = 1/2 (lub 3/4). 15

70 Kluczowe uwagi Niekiedy ciag v n mamy dany za darmo. Jeśli np. rozkłady brzegowe {X j } sa ciagłe, wtedy wystarczy estymować medianę lub trzeci kwartyl M n, co prowadzi do P ( M n v n ) γ = 1/2 (lub 3/4). Takie podejście pozbawione jest podstawowej słabości metody peaks-over-threshold (POT)", która polega na ograniczeniu analizy do nielicznych danych o wartościach bliskich G. 15

71 Kluczowe uwagi Niekiedy ciag v n mamy dany za darmo. Jeśli np. rozkłady brzegowe {X j } sa ciagłe, wtedy wystarczy estymować medianę lub trzeci kwartyl M n, co prowadzi do P ( M n v n ) γ = 1/2 (lub 3/4). Takie podejście pozbawione jest podstawowej słabości metody peaks-over-threshold (POT)", która polega na ograniczeniu analizy do nielicznych danych o wartościach bliskich G. Estymujac pewien odcinek v m0, v m0 +1,..., v n0 15

72 Kluczowe uwagi Niekiedy ciag v n mamy dany za darmo. Jeśli np. rozkłady brzegowe {X j } sa ciagłe, wtedy wystarczy estymować medianę lub trzeci kwartyl M n, co prowadzi do P ( M n v n ) γ = 1/2 (lub 3/4). Takie podejście pozbawione jest podstawowej słabości metody peaks-over-threshold (POT)", która polega na ograniczeniu analizy do nielicznych danych o wartościach bliskich G. Estymujac pewien odcinek v m0, v m0 +1,..., v n0 możemy pokusić się o dopasowanie zależności v n = f (n), 15

73 Kluczowe uwagi Niekiedy ciag v n mamy dany za darmo. Jeśli np. rozkłady brzegowe {X j } sa ciagłe, wtedy wystarczy estymować medianę lub trzeci kwartyl M n, co prowadzi do P ( M n v n ) γ = 1/2 (lub 3/4). Takie podejście pozbawione jest podstawowej słabości metody peaks-over-threshold (POT)", która polega na ograniczeniu analizy do nielicznych danych o wartościach bliskich G. Estymujac pewien odcinek v m0, v m0 +1,..., v n0 możemy pokusić się o dopasowanie zależności v n = f (n), co z kolei prowadzi do ekstrapolacji wysokiego kwantyla, zgodnie z wzorem P ( M n f ([(n ln γ)/ ln q]) ) q. 15

74 Kluczowe uwagi Niekiedy ciag v n mamy dany za darmo. Jeśli np. rozkłady brzegowe {X j } sa ciagłe, wtedy wystarczy estymować medianę lub trzeci kwartyl M n, co prowadzi do P ( M n v n ) γ = 1/2 (lub 3/4). Takie podejście pozbawione jest podstawowej słabości metody peaks-over-threshold (POT)", która polega na ograniczeniu analizy do nielicznych danych o wartościach bliskich G. Estymujac pewien odcinek v m0, v m0 +1,..., v n0 możemy pokusić się o dopasowanie zależności v n = f (n), co z kolei prowadzi do ekstrapolacji wysokiego kwantyla, zgodnie z wzorem P ( M n f ([(n ln γ)/ ln q]) ) q. Wierzymy, że w strefach bliskich G nie nastapi zmiana zasad, którymi rzadzi się badane zjawisko. 15

75 Symulacja kliniczna 16

76 Symulacja kliniczna 17

77 w wielu wymiarach 18

78 w wielu wymiarach Czy istnieje podobna teoria dla maksimów wektorów losowych w R d? 18

79 w wielu wymiarach Czy istnieje podobna teoria dla maksimów wektorów losowych w R d? Rozważmy dla prostoty d = 2. 18

80 w wielu wymiarach Czy istnieje podobna teoria dla maksimów wektorów losowych w R d? Rozważmy dla prostoty d = 2. Definicja jest oczywista: G jest dystrybuanta pozorna dla ciagu stacjonarnego wektorów losowych ( (1) X 1, X (2) ) ( (1) 1, X 2, X (2) ) ( (1) 2, X 3, X (2) ) 3,... z częściowymi maksimami jeśli M n = ( M n (1), M n (2) ) ( = max sup u=(u 1,u 2 ) R 2 X (1) 1 j n j, max X (2) ) 1 j n j, P ( M n u ) G n (u) 0, gdy n. 18

81 w wielu wymiarach Czy istnieje podobna teoria dla maksimów wektorów losowych w R d? Rozważmy dla prostoty d = 2. Definicja jest oczywista: G jest dystrybuanta pozorna dla ciagu stacjonarnego wektorów losowych ( (1) X 1, X (2) ) ( (1) 1, X 2, X (2) ) ( (1) 2, X 3, X (2) ) 3,... z częściowymi maksimami jeśli M n = ( M n (1), M n (2) ) ( = max sup u=(u 1,u 2 ) R 2 X (1) 1 j n j, max X (2) ) 1 j n j, P ( M n u ) G n (u) 0, gdy n. W istocie wygodniej jest rozpatrywać sup nad R 2! 18

82 Działamy podobnie jak R. Perfekt (1997), ale według własnego schematu 19

83 Działamy podobnie jak R. Perfekt (1997), ale według własnego schematu Znajdujemy v n (i), i = 1, 2, takie, że P ( M 1 n v (1) n ) ρ1 (0, 1), P ( Mn 2 v n (2) ) ρ2 (0, 1). 19

84 Działamy podobnie jak R. Perfekt (1997), ale według własnego schematu Znajdujemy v n (i), i = 1, 2, takie, że P ( M 1 n v (1) n ) ρ1 (0, 1), P ( Mn 2 v n (2) ) ρ2 (0, 1). Załóżmy B (v n (1) ) dla {X (1) 1, X (1) 2,...} oraz B (v n (2) ) dla {X (2) 1, X (2) 2,...}. 19

85 Działamy podobnie jak R. Perfekt (1997), ale według własnego schematu Znajdujemy v n (i), i = 1, 2, takie, że P ( M 1 n v (1) n ) ρ1 (0, 1), P ( Mn 2 v n (2) ) ρ2 (0, 1). Załóżmy B (v n (1) ) dla {X (1) 1, X (1) 2,...} oraz B (v n (2) ) dla {X (2) 1, X (2) 2,...}. Wtedy dla i = 1, 2 P ( M (i) n v (i) ) 1/s [ns i ] ρ i i jeśli s i [0, + ]. 19

86 Działamy podobnie jak R. Perfekt (1997), ale według własnego schematu 20

87 Działamy podobnie jak R. Perfekt (1997), ale według własnego schematu Dla s [0, + ] 2 określamy v n (s) = ( v (1) [ns 1 ], v (2) [ns 2 ]). 20

88 Działamy podobnie jak R. Perfekt (1997), ale według własnego schematu Dla s [0, + ] 2 określamy Rozważmy v n (s) = ( v (1) [ns 1 ], v (2) [ns 2 ]). L = {s [1, + ) 2 ; s 1 s 2 = 1}. 20

89 Działamy podobnie jak R. Perfekt (1997), ale według własnego schematu Dla s [0, + ] 2 określamy Rozważmy v n (s) = ( v (1) [ns 1 ], v (2) [ns 2 ]). L = {s [1, + ) 2 ; s 1 s 2 = 1}. Przypuśćmy, że dla pewnego ρ : L (0, 1) P ( M n v n (s) ) ρ(s), s L. 20

90 Działamy podobnie jak R. Perfekt (1997), ale według własnego schematu Dla s [0, + ] 2 określamy Rozważmy v n (s) = ( v (1) [ns 1 ], v (2) [ns 2 ]). L = {s [1, + ) 2 ; s 1 s 2 = 1}. Przypuśćmy, że dla pewnego ρ : L (0, 1) P ( M n v n (s) ) ρ(s), s L. Przypuśćmy, że B (v n (s)) jest spełniony dla każdego s L. 20

91 Działamy podobnie jak R. Perfekt (1997), ale według własnego schematu Dla s [0, + ] 2 określamy Rozważmy v n (s) = ( v (1) [ns 1 ], v (2) [ns 2 ]). L = {s [1, + ) 2 ; s 1 s 2 = 1}. Przypuśćmy, że dla pewnego ρ : L (0, 1) P ( M n v n (s) ) ρ(s), s L. Przypuśćmy, że B (v n (s)) jest spełniony dla każdego s L. Twierdzenie 20

92 Działamy podobnie jak R. Perfekt (1997), ale według własnego schematu Dla s [0, + ] 2 określamy Rozważmy v n (s) = ( v (1) [ns 1 ], v (2) [ns 2 ]). L = {s [1, + ) 2 ; s 1 s 2 = 1}. Przypuśćmy, że dla pewnego ρ : L (0, 1) P ( M n v n (s) ) ρ(s), s L. Przypuśćmy, że B (v n (s)) jest spełniony dla każdego s L. Twierdzenie Warunek B (v n (s)) jest spełniony dla każdego s [0, + ]. 20

93 Działamy podobnie jak R. Perfekt (1997), ale według własnego schematu Dla s [0, + ] 2 określamy Rozważmy v n (s) = ( v (1) [ns 1 ], v (2) [ns 2 ]). L = {s [1, + ) 2 ; s 1 s 2 = 1}. Przypuśćmy, że dla pewnego ρ : L (0, 1) P ( M n v n (s) ) ρ(s), s L. Przypuśćmy, że B (v n (s)) jest spełniony dla każdego s L. Twierdzenie Warunek B (v n (s)) jest spełniony dla każdego s [0, + ]. Istnieje H : [0, + ] 2 [0, 1] takie, że P ( M n v n (s) ) H(s), s [0, + ] 2. 20

94 Postać H(s) 21

95 Postać H(s) Twierdzenie Funkcja H(s), określona na [0, + ) 2, jest dystrybuant a dwuwymiarowego rozkładu ekstremalnego ( extreme value distribution ). 21

96 Postać H(s) Twierdzenie Funkcja H(s), określona na [0, + ) 2, jest dystrybuanta dwuwymiarowego rozkładu ekstremalnego ( extreme value distribution ). Co więcej, jeśli H (1) i H (2) sa rozkładami brzegowymi H(s), to H (i) (( log ρ i )s) = G 2,1 (s), i = 1, 2, gdzie G 2,1 (s) jest dystrybuant a standardowego rozkładu ekstremalnego Frécheta. 21

97 Dystrybuanta pozorna dla wektorów losowych 22

98 Dystrybuanta pozorna dla wektorów losowych Twierdzenie G(x) = H(n(x)), gdzie n i (x) = sup{n N ; v (i) n x i }, i = 1, 2, jest dystrybuanta pozorna dla X 1, X 2,