Matematyka dla biologów wykład 2 (skrót).

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Matematyka dla biologów wykład 2 (skrót)."

Transkrypt

1 Matematyka dla biologów wykład 2 (skrót). Dariusz Wrzosek 11 października 2016 Matematyka dla biologów Wykład października / 39

2 Zbiory Zbiory Przez wieki poszukiwano pojęcia podstawowego, za pomoca którego można by określić przedmiot badań matematyków. Na przełomie XIX i XX wieku zaczęło kształtować się przekonanie, że podstawowym pojęciem w matematyce jest pojęcie zbioru. Tego pojęcia nie definiuje się formalnie, jest to tak zwane pojęcie pierwotne, którego znaczenie przedstawia się opisowo odnoszac się do intuicji. Koncepcja zbioru w matematyce Zbiór jest pewnym obiektem, który albo nic nie zawiera, to znaczy nie należa do niego żadne elementy, albo zawiera jakieś elementy, które też moga hierarchicznie składać się z jakiś elementów i.t.d. Matematyka dla biologów Wykład października / 39

3 Zbiory Pojęcia należenia do zbioru i inkluzji Jest rzecza podstawowej wagi by rozróżnić dwa pojęcia: 1 pojecie pierwotne należenia elementu do jakiegoś zbioru, albo inaczej bycia elementem zbioru; 2 od pojęcia inkluzji, czyli zawierania się jednego zbioru w drugim lub inaczej bycia podzbiorem zbioru. Sens stwierdzenia, że x należy do zbioru A, czyli x jest elementem zbioru A uznajemy za powszechnie zrozumiały. W tym sensie pojęcie należenia elementu do zbioru uznajemy za pierwotne. Powszechnie używa się zapisu x A, co oznacza, x należy do A. Matematyka dla biologów Wykład października / 39

4 Zbiory Pojęcie inkluzji definicja W oparciu o pierwotne pojęcie należenia do zbioru i pojęcie implikacji określamy pojęcie zawierania się zbiorów, czyli inkluzji zbiorów. Definicja Zbiór A jest zawarty w zbiorze B, co oznaczamy A B w.t.w. gdy prawda jest, że (x A) (x B). Zbiór A zawarty w zbiorze B nazywamy jego podzbiorem. W szczególności każdy zbiór jest swoim własnym podzbiorem. Taki podzbiór, który jest różny od całego zbioru nazywamy podzbiorem właściwym. Nawiasy klamrowe { oraz } oznaczaja w zapisie poczatek i koniec listy elementów danego zbioru. Matematyka dla biologów Wykład października / 39

5 Zbiory Niech A będzie zbiorem dwóch elementów A = {a, b}. Zbiór którego jedynym elementem jest a, czyli {a} jest zawarty w zbiorze A, co zapisujemy jako {a} A. Zbiór pusty Zbiór pusty, to taki zbiór, który nie zawiera żadnych elementów. Oznaczamy go symbolem Z definicji implikacji wynika, że dla dowolnego zbioru A A. Z punktu widzenia matematyki jest niepoprawne stwierdzenie, że liczba 2 zawiera się w zbiorze liczb parzystych. Powiemy poprawnie, że liczba 2 należy do zbioru liczb parzystych. Natomiast zbiór, którego jedynym elementem jest liczba 2, czyli {2} jest zawarty w zbiorze liczb parzystych. Matematyka dla biologów Wykład października / 39

6 Aksjomaty Aksjomaty Matematyka jest nauka aksjomatyczna pojęcia pierwotne sa niezbędne, aby wprowadzić podstawy teorii ujęte w postaci aksjomatów. Za pomoca aksjomatów postuluje się istnienie pewnych zbiorów i wprowadza się ich podstawowe własności. Postać tych aksjomatów została zaakceptowana przez zdecydowana większość matematyków. Aksjomaty inaczej pewniki to zdania, których prawdziwość godzimy się przyjać bez dowodu. Warto tu podkreślić różnicę pomiędzy naukami aksjomatycznymi, takimi jak matematyka lub logika oraz naukami przyrodniczymi, takimi jak biologia czy fizyka. Tu pojęcia podstawowe takie jak gen lub materia sa wciaż przedmiotem gruntownych badań. Matematyka dla biologów Wykład października / 39

7 Aksjomaty Aksjomaty teorii mnogości Znane jako system Zermelo-Fraenkla z 1905 roku. Większość aksjomatów ustanawia istnienie pewnych zbiorów. Oto niektóre z nich 1 Istnieje zbiór pusty, który nie zawiera żadnych elementów. Wyróżnienie każdego innego zbioru byłoby sporne, a zbiór pusty ma w pewnym sensie cechy zbioru minimalnego. 2 istnieje zbiór potęgowy danego zbioru A, który składa się ze wszystkich podzbiorów zbioru A; 3 Zbiór A jest równy zbiorowi B, wtedy i tyko wtedy gdy ( x A x B) ( x B x A) 4 dotyczy istnienia w zbiorze A elementów spełniajacych ustalona funkcję zdaniowa ϕ tzn. {x A : ϕ(x)}. Aksjomatycznie wprowadza się także istnienie zbiorów: sumy, przecięcia i produktu zbiorów. Sa to aksjomaty określajace naturalne operacje, które Matematyka dla biologów Wykład października / 39

8 Aksjomaty Działanie na zbiorach: suma i iloczyn zbiorów 1. Suma zbiorów Suma zbioru A i zbioru B nazywa się zbiór oznaczany jako A B, który składa się z tych elementów, które należa do zbioru A lub do zbioru B, co zapisujemy następujaco: x A B (x A) (x B). A B 2. Przecięcie zbiorów (inaczej część wspólna albo iloczyn zbiorów) Przecięciem (iloczynem, częścia wspólna) zbiorów A i B nazywa się zbiór oznaczany jako A B, który składa się z tych elementów, które należa do zbioru A i do zbioru B, co zapisujemy następujaco: x A B (x A) (x B). A B Matematyka dla biologów Wykład października / 39

9 Aksjomaty Działanie na zbiorach 3. Różnica zbiorów Dla danych zbiorów A i B różnica zbiorów oznaczana jako A \ B jest zbiór tych wszystkich elementów ze zbioru A, które nie należa do zbioru B, czyli x A \ B (x A ) (x B) A B 4. Produkt kartezjański zbiorów (iloczyn kartezjański zbiorów) Dla dowolnych dwóch zbiorów A i B istnieje zbiór wszystkich uporzadkowanych par, oznaczany. A B, który nazywa się produktem kartezjańskim lub iloczynem kartezjańskim zbiorów, A B = {(a, b) : a A, b B}. B A B A Matematyka dla biologów Wykład października / 39

10 Liczby naturalne, całkowite, wymierne i rzeczywiste Liczby naturalne i całkowite Pojęcie liczby zdaje się być czymś pierwotnym. Dziecko spontanicznie próbuje liczyć na palcach. Mamy pewna sprawność w posługiwaniu się liczbami naturalnymi przy wykonywaniu podstawowych operacji arytmetycznych. Wiemy, że do dowolnej liczby naturalnej można dodać 1, aby otrzymać liczbę od niej większa i tak dalej w nieskończoność. Zbiór liczb naturalnych oznacza się zwykle jako. Przyjmujemy, że 0. Zbiór liczb naturalnych można rozszerzyć o liczby ujemne, które świetnie nadaja się do reprezentowania długów. Tak powstaje zbiór liczb całkowitych, który oznaczamy przez (w szkole zwykle jest oznaczany przez ). Matematyka dla biologów Wykład października / 39

11 Liczby naturalne, całkowite, wymierne i rzeczywiste Liczby wymierne i rzeczywiste Gdy chcemy określić proporcje różnych wielkości, np. stosunek wysokości danej osoby do jej obwodu w talii wyrażonych w centymetrach lub wziać ćwierć kilograma maki w celu wypieczenia ciasta pojawiaja się ułamki, czyli liczby wymierne, które oznaczamy przez. W zasadzie w zdecydowanej większości życiowych przypadków można się ograniczyć do tych trzech zbiorów liczb, gdyby nie frustrujacy przypadek kwadratu o boku 1. Nikt nie powatpiewa w istnienie takiego obiektu i nikt pewnie nie powatpiewa w istnienie przekatnej kwadratu odcinka łacz acego dwa jego przeciwległe wierzchołki. Problem pojawia się, gdy chcemy określić długość tej przekatnej. Zobaczymy dalej, że nie istnieje liczba wymierna, która określa długość przekatnej kwadratu o boku 1. Liczby wymierne uzupełnione o zbiór liczb niewymiernych tworza zbiór liczb rzeczywistych oznaczany przez. Matematyka dla biologów Wykład października / 39

12 Liczby naturalne, całkowite, wymierne i rzeczywiste Aksjomatyka liczb naturalnych Liczby naturalne można wprowadzić aksjomatycznie za pomoca pojęcia pierwotnego liczba oraz własności bycia następnikiem. Pierwsza aksjomatyczna definicja liczb naturalnych pochodzi od Peano z 1889 r. Jedna z najważniejszych własności zbioru jest twierdzenie zwane zasada indukcji Matematyka dla biologów Wykład października / 39

13 Zasada indukcji matematycznej Zasada indukcji matematycznej Przedstawimy teraz bardzo ważna metodę dowodzenia twierdzeń dotyczacych własności elementów zbiorów, które można ponumerować liczbami naturalnymi, poczawszy od jakiejś ustalonej liczby n 0 0. Metoda ta opiera się na twierdzeniu zwanym Zasada indukcji matematycznej Polega ona na: 1 sprawdzeniu, że teza danego twierdzenia jest prawdziwa dla n 0 0, 2 udowodnieniu, że jeśli teza jest prawdziwa dla liczby n, to jest także prawdziwa dla n + 1 (ten punkt nazywamy krokiem indukcyjnym) Wypełnienie obu punktów stanowi dowód, że twierdzenie jest prawdziwe dla wszystkich liczb naturalnych n n 0. Matematyka dla biologów Wykład października / 39

14 Zasada indukcji matematycznej Przykład zastosowania indukcji matematycznej Twierdzenie Dla dowolnej liczby n 1 zbiór n prostych na płaszczyźnie przechodzacych przez ten sam punkt P dzieli płaszczyznę na 2n rozłacznych podzbiorów, które otrzymamy po usunięciu wszystkich prostych. Dowód indukcyjny: 1. Sprawdzamy, że dla n = 1 istotnie jedna prosta dzieli płaszczyznę na dwie części. 2. Przypuśćmy, że podzielono płaszczyznę na 2n części za pomoca n prostych. Wstawiamy kolejna prosta (teraz jest ich n + 1) przechodzac a przez punkt P. Matematyka dla biologów Wykład października / 39

15 Zasada indukcji matematycznej Przechodzi ona powiedzmy pomiędzy prostymi, które oznaczymy l i r. Jeśli wykluczyć dwa obszary pomiędzy prostymi l i r, pozostaje 2n 2 podzbiorów. Dołożenie kolejnej prostej spowodowało pojawienie się czterech nowych podzbiorów, zatem wszystkich ich jest (2n 2) + 4 = 2(n + 1), co kończy dowód kroku indukcyjnego i zarazem całego twierdzenia. l r P Matematyka dla biologów Wykład października / 39

16 Zasada indukcji matematycznej Indukcja matematyczna pozwala stwierdzić, że jakaś własność maja elementy zbioru nieskończonego bez sprawdzania jej dla każdego elementu tego zbioru z osobna, co w przypadku zbiorów nieskończonych jest niewykonalne w czasie skończonym. W naukach przyrodniczych buduje się zdania dotyczace cech elementów jakiegoś zbioru o nieokreślonej liczbie elementów. Przypomnijmy zdanie Wszystkie kruki sa czarne. Takie zdanie wypowiada się na podstawie dużej liczby przebadanych przypadków i uogólnienia. Jest to przykład indukcji niezupełnej. Indukcja niezupełna nie prowadzi do wiedzy niepodważalnej o rzeczywistości empirycznej, natomiast indukcja zupełna prowadzi do wiedzy niepodważalnej, ale o rzeczywistości idealnej (matematycznej). Matematyka dla biologów Wykład października / 39

17 Liczby i działania Przypomnimy definicje liczb całkowitych, wymiernych i rzeczywistych. Ich podstawowe własności znane sa ze szkoły. W zbiorze liczb naturalnych określa się dodatkowa strukturę: działania dodawania i mnożenia. Badaniem zbiorów liczb wraz z działaniami na nich określonymi zajmuje się algebra, jedna z podstawowych dziedzin matematyki. Dodawanie i mnożenie nie wyprowadzaja poza zbiór liczb naturalnych n, m (n + m n m ). Matematyka dla biologów Wykład października / 39

18 Liczby i działania Liczby całkowite W wyniku odejmowania i dzielenia, tylko dla niektórych liczb naturalnych otrzymamy również liczbę naturalna. Odejmowanie powstaje, gdy chcemy rozwiazać równanie x + n = m i znaleźć niewiadoma x. Mamy x = m n. Wymóg wykonywalności odejmowania prowadzi do zbioru liczb całkowitych. Liczby całkowite oznaczamy przez = { 2, 1,, 0, 1, 2,... }. Matematyka dla biologów Wykład października / 39

19 Liczby i działania Liczby wymierne Wykonywalność dzielenia prowadzi do liczb wymiernych. Szukajac rozwiazania równania z niewiadoma x, qx = p, gdzie p i q to liczby całkowite, dostajemy liczbę ułamkowa x = p, o ile q 0. q Każdy ułamek można doprowadzić do postaci nieskracalnej, tzn. takiej, dla której nie istnieje liczba całkowita większa od 1, będaca wspólnym dzielnikiem licznika i mianownika. Każde dwa ułamki, które można doprowadzić do tej samej postaci 8 nieskracalnej wyznaczaja tę sama liczbę, np. 16 = 2 4 = 1 2. Zbiór wszystkich takich liczb nazywamy zbiorem liczb wymiernych i oznaczamy przez. = { p q : p, q \ {0} } Matematyka dla biologów Wykład października / 39

20 Liczby i działania Liczby całkowite a wymierne Następujaca własność odróżnia liczby wymierne od całkowitych Twierdzenie Dla dwóch różnych liczb wymiernych a i b istnieje liczba wymierna c, taka że a < c < b. Dowód: Na przykład: c = a + b 2. Matematyka dla biologów Wykład października / 39

21 Liczby rzeczywiste Liczby rzeczywiste Ścisłe zdefiniowanie liczb rzeczywistych stanowiło problem przez dziesięciolecia. Wiadomo, że sa liczby, które nie sa wymierne np.: 2 długość przekatnej kwadratu o boku 1 π połowa obwodu okręgu o promieniu 1. Zbiór liczb rzeczywistych najlepiej charakteryzuje aksjomat ciagłości. Zamiast precyzyjnego sformułowania ograniczymy się do interpretacji. Aksjomat ciagłości mówi, że zbiór liczb rzeczywistych, który nazywa się także osia liczbowa, jest ciagły w tym sensie, że nie ma w nim luk każdemu punktowi na osi odpowiada jakaś liczba rzeczywista. Matematyka dla biologów Wykład października / 39

22 Liczby rzeczywiste Zapis pozycyjny liczby rzeczywistej W systemie pozycyjnym dziesiętnym liczbę rzeczywista r, 0 r 1 przedstawia się w postaci rozwinięcia dziesiętnego r = 0,a 1 a 2 a 3..., gdzie a i moga przyjmować jedna z wartości 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Takiej liczbie odpowiada pewien szereg nieskończony (czyli suma nieskończenie wielu składników, w dalszej części kursu dowiemy się jak rozmieć taka nieskończona sumę) r = a a a Liczbę całkowita dodatnia w systemie dziesiętnym przedstawia się zapisujac po kolei cyfry stojace w rozwinięciu dziesiętnym przy kolejnych całkowitych potęgach liczby 10 np = Matematyka dla biologów Wykład października / 39

23 Liczby rzeczywiste Zapis pozycyjny liczby rzeczywistej W ogólnym przypadku zapisujemy liczbę rzeczywista w postaci sumy części ułamkowej i całkowitej, np. 22,22 = Wszystkie liczby niewymierne maja nieskończone rozwinięcia dziesiętne. Liczby wymierne maja rozwinięcia skończone, tzn. takie że od pewnego miejsca w zapisie występuja wyłacznie zera np. 1, = , lub nieskończone (od pewnego miejsca) okresowe np = 0, (84), przy czym dwie ostatnie cyfry w nawiasie powtarzaja się dalej okresowo. Matematyka dla biologów Wykład października / 39

24 Liczby rzeczywiste Niejednoznaczność zapisu pozycyjnego liczby rzeczywistej Każda liczbę wymierna majac a skończone rozwinięcie można także zapisać w postaci nieskończonego rozwinięcia. Na przykład liczbę 1 = 1, można zapisać za pomoca nieskończonego szeregu liczb 1 = 0, = Można zatem stwierdzić, że każda liczba rzeczywista ma istotnie nieskończone rozwinięcie dziesiętne. Matematyka dla biologów Wykład października / 39

25 Liczby rzeczywiste Definicja Zbiór wszystkich liczb rzeczywistych leżacych na osi liczbowej pomiędzy dwoma zadanymi liczbami nazywamy odcinkiem. na przykład (2, 3) oznacza odcinek z wyłaczonymi końcami 2 i 3, a [2, 3] oznacza odcinek wraz z końcami. Definicja Dla każdej pary liczb rzeczywistych a b oznaczamy (a, b) = {x : a < x < b} [a, b] = {x : a x b} Zauważmy, że jeśli a = b, to wówczas: (a, b) = oraz [a, b] = {a} = {b}. Matematyka dla biologów Wykład października / 39

26 Liczby rzeczywiste Istnienie liczb niewymiernych Wykażemy teraz, że liczby niewymierne nie sa tylko wymysłem matematyków. Twierdzenie ( 2 nie jest liczba wymierna) Jeśli dla pewnej liczby a zachodzi a 2 = 2, to a nie jest liczba wymierna. Inne sformułowanie twierdzenia: Nie istnieje liczba wymierna, której kwadrat wynosi 2. Oznacza to, że przekatna kwadratu o boku 1 nie jest liczba wymierna z twierdzenia Pitagorasa długość przekatnej kwadratu o boku 1 to właśnie = Matematyka dla biologów Wykład października / 39

27 Liczby rzeczywiste Dowód niewymierności 2 Dowód niewprost: Dowód niewprost polega na wykazaniu, że zaprzeczenie twierdzenia (czyli zazwyczaj implikacji jeśli coś to coś innego ) jest fałszywe i skorzystaniu z prawa podwójnego zaprzeczenia: (twierdzenie) = fałsz ( (twierdzenie)) = twierdzenie = (fałsz) = prawda Z poprzedniego wykładu wiemy, że zaprzeczeniem implikacji jest koniunkcja poprzednika implikacji i zaprzeczenia następnika. Zaprzeczeniem implikacji twierdzenia jest zatem: Dla pewnej liczby a zachodzi a 2 = 2 i a jest liczba wymierna. Powyższe zdanie możemy łatwiej zapisać jako: Istnieje liczba wymierna a, taka że a 2 = 2. Aby udowodnić twierdzenie wystarczy wykazać, że to zdanie jest fałszywe. Matematyka dla biologów Wykład października / 39 ( )

28 Liczby rzeczywiste Doprowadzenie do sprzeczności Skoro a jest liczba wymierna, to przedstawia się w postaci ilorazu a = p q, gdzie p i q 0 to pewne liczby całkowite. Zatem zdanie ( ) jest równoważne zdaniu: istnieja liczby całkowite p, q, takie że p 2 = 2q 2 Rozważmy możliwe przypadki: 1 p i q sa niepodzielne przez 2, czyli nieparzyste. W tym przypadku zdanie ( ) jest fałszywe, gdyż po lewej stronie równania p 2 = 2q 2 mamy liczbę nieparzysta, a po prawej parzysta. 2 p i q sa parzyste. Można je zatem przedstawić jako p = 2 n s oraz q = 2 m w, gdzie n 0, m 0 to liczby naturalne, a s i w to liczby nieparzyste. Podstawiajac to do równania p 2 = 2q 2 dostajemy 2 2n s 2 = 2 2m+1 w 2, co nie może być prawda, gdyż po lewej stronie 2 występuje parzysta liczbę razy, a po prawej nieparzysta, czyli zdanie ( ) jest fałszywe. ( ) Matematyka dla biologów Wykład października / 39

29 Liczby rzeczywiste 3 Tylko jedna z p, q liczb jest parzysta: Wniosek 1 q jest parzysta, p nieparzysta. Wówczas zdanie ( ) jest fałszywe, bo po lewej stronie równania p 2 = 2q 2 mamy liczbę nieparzysta, a po prawej parzysta. 2 q jest nieparzysta, p jest parzysta. Również w tym przypadku zdanie ( ) jest fałszywe, gdyż: p = 2n oraz q = 2m + 1, gdzie n, m to pewne liczby całkowite. Równanie p 2 = 2q 2 przyjmuje postać 4n 2 = 2(4m 2 + 4m + 1) 2n 2 = 4m 2 + 4m + 1. Po lewej stronie stoi liczba parzysta, a po prawej nieparzysta. Zdanie ( ) jest fałszywe, czyli fałszywe jest zdanie ( ). Zatem twierdzenie jest prawdziwe. Można oszacować wartość liczby 2 1, Matematyka dla biologów Wykład października / 39

30 Liczby zespolone Liczby zespolone Motywacje Zbiór liczb naturalnych rozszerzamy o kolejne elementy (liczby) aby móc rozwiazywać pewne równania. x + 5 = 2 daje x = 3, czyli liczbę ujemna = otrzymujemy zbiór liczb całkowitych. 2x = 3 daje x = 3/2, czyli liczbę wymierna = otrzymujemy zbiór liczb wymiernych. x 2 = 2 daje x = 2, czyli liczbę niewymierna = otrzymujemy zbiór liczb rzeczywistych. Poszukiwanie rozwiazań równania x 2 = 1 prowadzi do zbioru liczb zespolonych.. Matematyka dla biologów Wykład października / 39

31 Liczby zespolone Zbiór liczb zespolonych pojawia się w naturalny sposób przy poszukiwaniu rozwiazań równań. Pełni on bardzo ważna rolę zarówno w samej matematyce jak i w fizyce. Zbiór liczb wymiernych nie zawiera rozwiazania równania drugiego stopnia x 2 = 2 (choć współczynniki sa liczbami wymiernymi). Zbiór liczb wymiernych uzupełniliśmy o liczby niewymierne w efekcie otrzymujemy liczby rzeczywiste. Podobny problem wiaże się z określeniem zbioru rozwiazań, czyli pierwiastków równie prostego równania x 2 = 1. Wiadomo, że nie ma liczby rzeczywistej, której kwadrat jest liczba ujemna. Aby takie równania miały rozwiazania wprowadzono zbiór liczb zespolonych oznaczany, który zawiera liczby rzeczywiste. Istnienie liczb zespolonych zaakceptowano wcześniej (w XVI w.) niż istnienie liczb ujemnych! Matematyka dla biologów Wykład października / 39

32 Liczby zespolone Definicja liczb zespolonych Zdefiniujmy liczbę urojona oznaczana powszechnie jako i i 2 = 1. ( ) Ze względów historycznych nazywa się ja jednostka urojona. Termin liczby urojone (łac. imaginaris) zawdzięczamy Kartezjuszowi (1637), który chciał w ten sposób zaakcentować ich nierzeczywistość i absurdalność w odróżnieniu od dobrze znanych liczb istniejacych w rzeczywistości (rzeczywistych, łac. realis). Euler wprowadził symbol i. Zbiór liczb zespolonych Zbiór liczb zespolonych określa się jako zbiór uporzadkowanych par liczb rzeczywistych {(x, y) : x, y }. wraz z odpowiednio zdefiniowanymi działaniami dodawania i mnożenia. Ze względu na pożadane własności arytmetyczne i tradycję parę (x, y) zapisuje się jako x + yi. Matematyka dla biologów Wykład października / 39

33 Działania w zbiorze liczb zespolonych Dzięki takiemu zapisowi łatwo wykonuje się dodawanie, mnożenie i dzielenie liczb zespolonych zdefiniowane tak, aby spełnione było równanie ( ) oraz by w odniesieniu do liczb rzeczywistych (czyli jeśli y = 0) działania te miały zwykły sens. Oznaczajac przez dodawanie liczb zespolonych i przez mnożenie mamy (x + yi) (z + wi) = x + z + (y + w)i, (x + yi) (z + wi) = xz yw + (xw + yz)i. Ostatnia równość jest konsekwencja konwencji, w myśl której wyrażenia zawierajace liczby zespolone przekształcamy w zgodzie z regułami zwykłej arytmetyki liczb rzeczywistych wzbogaconej o relację i 2 = 1. (x + yi) (z + wi) = xz + xwi + yzi + ywi 2 = xz yw + (xw + yz)i. Dla liczb rzeczywistych, tzn. gdy powyżej y = 0 oraz w = 0, otrzymujemy zwykłe mnożenie. Matematyka dla biologów Wykład października / 39

34 Działania w zbiorze liczb zespolonych Interpretacja geometryczna i równanie kwadratowe Im(z) yi i Równanie kwadratowe x ax 2 + bx + c = 0 z = x + yi Re(z) ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste, o ile wyróżnik ( ) = b 2 4ac spełnia warunek > 0 oraz jeden pierwiastek podwójny, jeśli = 0. Oba pierwiastki x + i x oraz pierwiastek podwójny dane sa wzorem x +, = b ± 2a. ( ) Gdy < 0 równanie ( ) ma również dwa pierwiastki, które sa liczbami zespolonymi zadanymi tym samym wzorem ( ). Matematyka dla biologów Wykład października / 39

35 Działania w zbiorze liczb zespolonych Liczby zespolone sa pierwiastkami wielomianów o współczynnikach rzeczywistych Wyliczajac pierwiastki zespolone trzeba jedynie uwzględnić, że pierwiastkami z liczby ujemnej a sa dwie liczby zespolone a i oraz a i skoro a = ( 1) a, to ( a i) 2 = ( a i) 2 = a. Można sprawdzić ( ćwiczenia), że równanie kwadratowe ma wyróżnik oraz dwa pierwiastki x 2 2x + 2 = 0 = 4 = = 4 = 2i x = 1 i i x + = 1 + i. Matematyka dla biologów Wykład października / 39

36 Działania w zbiorze liczb zespolonych Podstawowe twierdzenie algebry(dla trójmianu kwadratowego) tzn. równania ax 2 + bx + c = 0. Twierdzenie Każdy trójmian kwadratowy o współczynnikach zespolonych ma dokładnie 2 pierwiastki będace liczbami zespolonymi (pierwiastek podwójny tzn. 0 krotności 2 traktujemy jako dwa pierwiastki. Ogólnie prawda jest że Ponieważ równania tego typu i ich uogólnienia (równania wielomianowe) pełnia kluczowa rolę w zagadnieniach algebry i analizy matematycznej, trudno sobie wyobrazić matematykę, a co za tym idzie fizykę i chemię bez liczb zespolonych. Matematyka dla biologów Wykład października / 39

37 Relacje Definicje Definicja relacji Z jest zbiorem jakiś obiektów obdarzonych pewnymi cechami. Jest rzecza naturalna łaczenie obiektów majacych pewne wspólne cechy w pary w celu ich sklasyfikowania lub uporzadkowania. Każde takie połaczenie obiektów w pary jest określeniem pewnej relacji w zborze Z. Definicja Niech A oraz B oznaczaja pewne zbiory. Dowolny podzbiór R zbioru A B nazywamy relacja. Jeżeli A = B, to mówimy, że R jest relacja w A. Aby zapisać, że a jest w relacji oznaczonej przez R z b, czyli (a, b) R A B, używa się skróconego zapisu arb lub a R b. Matematyka dla biologów Wykład października / 39

38 Relacje Definicje Przykład relacji Oznaczmy przez A zbiór osób w audytorium. Określimy dwie różne relacje w tym zbiorze. 1 Osoba a jest w relacji R 1 z osoba b w.t.w. gdy urodziły się w tym samym miesiacu. 2 Osoba a jest w relacji R 2 z b w.t.w. gdy nie urodziła się o co najmniej o jeden dzień później niż b. Cechy sa wspólne. Osoba a w oczywisty sposób jest w relacji R 1, a także R 2 z sama soba. Ta własność to zwrotność relacji. Jeśli osoba a urodziła się w tym samym miesiacu co osoba b, a osoba b w tym samym miesiacu co osoba c, to osoba a urodziła się w tym samym miesiacu co osoba c. Tę własność nazywa się przechodniościa relacji. Przechodnie sa obie relacje R 1 i R 2. Matematyka dla biologów Wykład października / 39

39 Relacje Definicje Przykład relacji Jeśli jakaś osoba a urodziła się w tym samym miesiacu co osoba b, to także zamiennie osoba b urodziła się w tym samym miesiacu co a. Ta własność to symetria. Relacja R 2 nie jest symetryczna, gdyż jeśli osoba a urodziła się o dwa dni wcześniej od osoby b, to zamienić miejscami a i b w tym zdaniu nie można. Matematyka dla biologów Wykład października / 39

Liczby zespolone. x + 2 = 0.

Liczby zespolone. x + 2 = 0. Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą

Bardziej szczegółowo

LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW

LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW Logika Logika jest nauką zajmującą się zdaniami Z punktu widzenia logiki istotne jest, czy dane zdanie jest prawdziwe, czy nie Nie jest natomiast istotne o czym to zdanie mówi Definicja

Bardziej szczegółowo

Przykładowe zadania z teorii liczb

Przykładowe zadania z teorii liczb Przykładowe zadania z teorii liczb I. Podzielność liczb całkowitych. Liczba a = 346 przy dzieleniu przez pewną liczbę dodatnią całkowitą b daje iloraz k = 85 i resztę r. Znaleźć dzielnik b oraz resztę

Bardziej szczegółowo

Indukcja matematyczna. Zasada minimum. Zastosowania.

Indukcja matematyczna. Zasada minimum. Zastosowania. Indukcja matematyczna. Zasada minimum. Zastosowania. Arkadiusz Męcel Uwagi początkowe W trakcie zajęć przyjęte zostaną następujące oznaczenia: 1. Zbiory liczb: R - zbiór liczb rzeczywistych; Q - zbiór

Bardziej szczegółowo

Zbiory, relacje i funkcje

Zbiory, relacje i funkcje Zbiory, relacje i funkcje Zbiory będziemy zazwyczaj oznaczać dużymi literami A, B, C, X, Y, Z, natomiast elementy zbiorów zazwyczaj małymi. Podstawą zależność między elementem zbioru a zbiorem, czyli relację

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c, Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.

Bardziej szczegółowo

LOGIKA MATEMATYCZNA, ZBIORY, LICZBY RZECZYWISTE

LOGIKA MATEMATYCZNA, ZBIORY, LICZBY RZECZYWISTE LOGIKA MATEMATYCZNA, ZBIORY, LICZBY RZECZYWISTE POJĘCIE PIERWOTNE, AKSJOMAT, TWIERDZENIE Pojęcie pierwotne jest to pojęcie, którego nie definiujemy, a mimo to przyjmujemy za oczywiste np.: liczba, punkt,

Bardziej szczegółowo

1 Działania na zbiorach

1 Działania na zbiorach M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 1 1 1 Działania na zbiorach W rozdziale tym przypomnimy podstawowe działania na zbiorach koncentrując się na własnościach tych działań, które będą przydatne w dalszej

Bardziej szczegółowo

Dlaczego nie wystarczają liczby wymierne

Dlaczego nie wystarczają liczby wymierne Dlaczego nie wystarczają liczby wymierne Analiza zajmuje się problemami, w których pojawia się przejście graniczne. Przykładami takich problemów w matematyce bądź fizyce mogą być: 1. Pojęcie prędkości

Bardziej szczegółowo

Matematyka liczby zespolone. Wykład 1

Matematyka liczby zespolone. Wykład 1 Matematyka liczby zespolone Wykład 1 Siedlce 5.10.015 Liczby rzeczywiste Zbiór N ={0,1,,3,4,5, } nazywamy zbiorem Liczb naturalnych, a zbiór N + ={1,,3,4, } nazywamy zbiorem liczb naturalnych dodatnich.

Bardziej szczegółowo

Liczby rzeczywiste. Działania w zbiorze liczb rzeczywistych. Robert Malenkowski 1

Liczby rzeczywiste. Działania w zbiorze liczb rzeczywistych. Robert Malenkowski 1 Robert Malenkowski 1 Liczby rzeczywiste. 1 Liczby naturalne. N {0, 1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8...} Liczby naturalne to liczby używane powszechnie do liczenia i ustalania kolejności. Liczby naturalne można ustawić

Bardziej szczegółowo

Arytmetyka. Działania na liczbach, potęga, pierwiastek, logarytm

Arytmetyka. Działania na liczbach, potęga, pierwiastek, logarytm Arytmetyka Działania na liczbach, potęga, pierwiastek, logarytm Zbiory liczbowe Zbiór liczb naturalnych N = {1,2,3,4, }. Zbiór liczb całkowitych Z = {, 3, 2, 1,0,1,2,3, }. Zbiory liczbowe Zbiór liczb wymiernych

Bardziej szczegółowo

Maria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... PRZYKŁADOWE ZADANIA MATURALNE Z MATEMATYKI

Maria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... PRZYKŁADOWE ZADANIA MATURALNE Z MATEMATYKI Maria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... PRZYKŁADOWE ZADANIA MATURALNE Z MATEMATYKI Matematyka dla liceum ogólnokształcącego i technikum w zakresie podstawowym i rozszerzonym Z E S Z Y T M E T O D Y C Z N Y Miejski

Bardziej szczegółowo

W planie dydaktycznym założono 172 godziny w ciągu roku. Treści podstawy programowej. Propozycje środków dydaktycznych. Temat (rozumiany jako lekcja)

W planie dydaktycznym założono 172 godziny w ciągu roku. Treści podstawy programowej. Propozycje środków dydaktycznych. Temat (rozumiany jako lekcja) Ramowy plan nauczania (roczny plan dydaktyczny) dla przedmiotu matematyka w zakresie rozszerzonym dla klasy I liceum ogólnokształcącego uwzględniający kształcone i treści podstawy programowej W planie

Bardziej szczegółowo

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA PROSTO DO MATURY KLASA 1 ZAKRES PODSTAWOWY

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA PROSTO DO MATURY KLASA 1 ZAKRES PODSTAWOWY PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA PROSTO DO MATURY KLASA 1 ZAKRES PODSTAWOWY Warszawa 2019 LICZBY RZECZYWISTE stosować prawidłowo pojęcie zbioru, podzbioru, zbioru pustego; zapisywać zbiory w różnej postaci

Bardziej szczegółowo

W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1

W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 Zadanie IV. Dany jest prostokątny arkusz kartony o długości 80 cm i szerokości 50 cm. W czterech rogach tego arkusza wycięto kwadratowe

Bardziej szczegółowo

Zbiór liczb rzeczywistych, to zbiór wszystkich liczb - wymiernych i niewymiernych. Zbiór liczb rzeczywistych oznaczamy symbolem R.

Zbiór liczb rzeczywistych, to zbiór wszystkich liczb - wymiernych i niewymiernych. Zbiór liczb rzeczywistych oznaczamy symbolem R. Zbiór liczb rzeczywistych, to zbiór wszystkich liczb - wymiernych i niewymiernych. Zbiór liczb rzeczywistych oznaczamy symbolem R. Liczby naturalne - to liczby całkowite, dodatnie: 1,2,3,4,5,6,... Czasami

Bardziej szczegółowo

0.1. Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek zdań.

0.1. Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek zdań. Wykłady z Analizy rzeczywistej i zespolonej w Matematyce stosowanej Wykład ELEMENTY LOGIKI ALGEBRA BOOLE A Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek

Bardziej szczegółowo

4. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych.

4. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych. Jarosław Wróblewski Matematyka dla Myślących, 008/09. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych. 15 listopada 008 r. Uwaga: Przyjmujemy,

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy I gimnazjum wg programu Matematyka z plusem

Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy I gimnazjum wg programu Matematyka z plusem Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy I gimnazjum wg programu Matematyka z plusem pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej rozszerzenie osi liczbowej na liczby ujemne sposób i potrzebę zaokrąglania

Bardziej szczegółowo

Równoliczność zbiorów

Równoliczność zbiorów Logika i Teoria Mnogości Wykład 11 12 Teoria mocy 1 Równoliczność zbiorów Def. 1. Zbiory X i Y nazywamy równolicznymi, jeśli istnieje bijekcja f : X Y. O funkcji f mówimy wtedy,że ustala równoliczność

Bardziej szczegółowo

Ciała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a);

Ciała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a); Ciała i wielomiany 1 Ciała i wielomiany 1 Definicja ciała Niech F będzie zbiorem, i niech + ( dodawanie ) oraz ( mnożenie ) będą działaniami na zbiorze F. Definicja. Zbiór F wraz z działaniami + i nazywamy

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne.

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcja homograficzna. Definicja. Funkcja homograficzna jest to funkcja określona wzorem f() = a + b c + d, () gdzie współczynniki

Bardziej szczegółowo

domykanie relacji, relacja równoważności, rozkłady zbiorów

domykanie relacji, relacja równoważności, rozkłady zbiorów 1 of 8 2012-03-28 17:45 Logika i teoria mnogości/wykład 5: Para uporządkowana iloczyn kartezjański relacje domykanie relacji relacja równoważności rozkłady zbiorów From Studia Informatyczne < Logika i

Bardziej szczegółowo

PLAN WYNIKOWY PROSTO DO MATURY KLASA 1 ZAKRES PODSTAWOWY

PLAN WYNIKOWY PROSTO DO MATURY KLASA 1 ZAKRES PODSTAWOWY PLAN WYNIKOWY PROSTO DO MATURY KLASA 1 ZAKRES PODSTAWOWY Copyright by Nowa Era Sp. z o.o. Warszawa 019 Liczba godzin TEMAT ZAJĘĆ EDUKACYJNYCH Język matematyki 1 Wzory skróconego mnożenia 3 Liczby pierwsze,

Bardziej szczegółowo

Jest to zasadniczo powtórka ze szkoły średniej, być może z niektórymi rzeczami nowymi.

Jest to zasadniczo powtórka ze szkoły średniej, być może z niektórymi rzeczami nowymi. Logika Jest to zasadniczo powtórka ze szkoły średniej, być może z niektórymi rzeczami nowymi. Często słowu "logika" nadaje się szersze znaczenie niż temu o czym będzie poniżej: np. mówi się "logiczne myślenie"

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA I GIMNAZJUM Małgorzata Janik

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA I GIMNAZJUM Małgorzata Janik WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA I GIMNAZJUM Małgorzata Janik DOPUSZCZAJĄCY DOSTATECZNY DOBRY BARDZO DOBRY LICZBY I DZIAŁANIA zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej. rozumie rozszerzenie

Bardziej szczegółowo

1. Wielomiany Podstawowe definicje i twierdzenia

1. Wielomiany Podstawowe definicje i twierdzenia 1. Wielomiany Podstawowe definicje i twierdzenia Definicja wielomianu. Wielomianem stopnia n zmiennej rzeczywistej x nazywamy funkcję w określoną wzorem w(x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0, przy

Bardziej szczegółowo

5. Logarytmy: definicja oraz podstawowe własności algebraiczne.

5. Logarytmy: definicja oraz podstawowe własności algebraiczne. 5. Logarytmy: definicja oraz podstawowe własności algebraiczne. 78. Uprościć wyrażenia a) 4 2+log 27 b) log 3 2 log 59 c) log 6 2+log 36 9 a) 4 2+log 27 = (2 2 ) log 27 4 = 28 2 = 784 29 listopada 2008

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13 35. O zdaniu 1 T (n) udowodniono, że prawdziwe jest T (1), oraz że dla dowolnego n 6 zachodzi implikacja T (n) T (n+2). Czy można stąd wnioskować, że a) prawdziwe jest T (10), b) prawdziwe jest T (11),

Bardziej szczegółowo

1 Podstawowe oznaczenia

1 Podstawowe oznaczenia Poniżej mogą Państwo znaleźć skondensowane wiadomości z wykładu. Należy je traktować jako przegląd pojęć, które pojawiły się na wykładzie. Materiały te nie są w pełni tożsame z tym co pojawia się na wykładzie.

Bardziej szczegółowo

Indukcja. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak

Indukcja. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Indukcja Materiały pomocnicze do wykładu wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Charakteryzacja zbioru liczb naturalnych Arytmetyka liczb naturalnych Jedną z najważniejszych teorii matematycznych jest arytmetyka

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k. Funkcje wymierne Jerzy Rutkowski Teoria Przypomnijmy, że przez R[x] oznaczamy zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x i o współczynnikach rzeczywistych Definicja Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, lato 2012/13. Czwartek 28 marca zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 1.

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, lato 2012/13. Czwartek 28 marca zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 1. Czwartek 28 marca 2013 - zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 1. 122. Uprościć wyrażenia a) 4 2+log 27 b) log 3 2 log 59 c) log 6 2+log 36 9 123. Dla ilu trójek liczb rzeczywistych dodatnich a,

Bardziej szczegółowo

Powtórzenie podstawowych zagadnień. związanych ze sprawnością rachunkową *

Powtórzenie podstawowych zagadnień. związanych ze sprawnością rachunkową * Powtórzenie podstawowych zagadnień związanych ze sprawnością rachunkową * (Materiały dydaktyczne do laboratorium fizyki) Politechnika Koszalińska październik 2010 Spis treści 1. Zbiory liczb..................................................

Bardziej szczegółowo

Wielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria

Wielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria Wielomiany dr Tadeusz Werbiński Teoria Na początku przypomnimy kilka szkolnych definicji i twierdzeń dotyczących wielomianów. Autorzy podręczników szkolnych podają różne definicje wielomianu - dla jednych

Bardziej szczegółowo

Wielomiany podstawowe wiadomości

Wielomiany podstawowe wiadomości Rozdział Wielomiany podstawowe wiadomości Funkcję postaci f s = a n s n + a n s n + + a s + a 0, gdzie n N, a i R i = 0,, n, a n 0 nazywamy wielomianem rzeczywistym stopnia n; jeżeli współczynniki a i

Bardziej szczegółowo

1. Równania i nierówności liniowe

1. Równania i nierówności liniowe Równania i nierówności liniowe Wykonać działanie: Rozwiązać równanie: ( +x + ) x a) 5x 5x+ 5 = 50 x 0 b) 6(x + x + ) = (x + ) (x ) c) x 0x (0 x) 56 = 6x 5 5 ( x) Rozwiązać równanie: a) x + x = 4 b) x x

Bardziej szczegółowo

Kombinowanie o nieskończoności. 3. Jak policzyć nieskończone materiały do ćwiczeń

Kombinowanie o nieskończoności. 3. Jak policzyć nieskończone materiały do ćwiczeń Kombinowanie o nieskończoności. 3. Jak policzyć nieskończone materiały do ćwiczeń Projekt Matematyka dla ciekawych świata spisał: Michał Korch 22 marzec 2018 Szybkie przypomnienie z wykładu Prezentacja

Bardziej szczegółowo

Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 1

Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 1 Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 1 Poniżej podajemy umiejętności, jakie powinien zdobyć uczeń z każdego działu, aby uzyskać poszczególne stopnie. Na ocenę dopuszczającą uczeń powinien opanować

Bardziej szczegółowo

WSTĘP DO ANALIZY I ALGEBRY, MAT1460

WSTĘP DO ANALIZY I ALGEBRY, MAT1460 WSTĘP DO ANALIZY I ALGEBRY, MAT460 Listy zadań Literatura polecana. M.Gewert, Z.Skoczylas Wstęp do analizy i algebry. Teoria,przykłady,zadania.,Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 04.. D.Zakrzewska, M.Zakrzewski,

Bardziej szczegółowo

Indukcja matematyczna

Indukcja matematyczna Indukcja matematyczna Zadanie. Zapisać, używając symboli i, następujące wyrażenia (a) n!; (b) sin() + sin() sin() +... + sin() sin()... sin(n); (c) ( + )( + /)( + / + /)... ( + / + / +... + /R). Zadanie.

Bardziej szczegółowo

Klasa pierwsza: I TE 1, I TE 2, 1 TG, 1 TH, I TRA, 1TI Poziom podstawowy 3 godz. x 30 tyg.= 90 nr programu DKOS /07 I. Liczby rzeczywiste

Klasa pierwsza: I TE 1, I TE 2, 1 TG, 1 TH, I TRA, 1TI Poziom podstawowy 3 godz. x 30 tyg.= 90 nr programu DKOS /07 I. Liczby rzeczywiste Klasa pierwsza: I TE 1, I TE 2, 1 TG, 1 TH, I TRA, 1TI Poziom podstawowy 3 godz. x 30 tyg.= 0 nr programu DKOS-5002-7/07 I. Liczby rzeczywiste Liczby naturalne Liczby całkowite. Liczby wymierne. 1 Wykonalność

Bardziej szczegółowo

1. LICZBY DZIAŁ Z PODRĘCZNIKA L.P. NaCoBeZu kryteria sukcesu w języku ucznia

1. LICZBY DZIAŁ Z PODRĘCZNIKA L.P. NaCoBeZu kryteria sukcesu w języku ucznia L.P. DZIAŁ Z PODRĘCZNIKA NaCoBeZu kryteria sukcesu w języku ucznia 1. LICZBY 1. Znam pojęcie liczby naturalne, całkowite, wymierne, dodatnie, ujemne, niedodatnie, odwrotne, przeciwne. 2. Potrafię zaznaczyć

Bardziej szczegółowo

LX Olimpiada Matematyczna

LX Olimpiada Matematyczna LX Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia drugiego 13 lutego 2009 r. (pierwszy dzień zawodów) Zadanie 1. Liczby rzeczywiste a 1, a 2,..., a n (n 2) spełniają warunek a 1

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2013/14. Czwartek 21 listopada zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 2.

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2013/14. Czwartek 21 listopada zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 2. Czwartek 21 listopada 2013 - zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 2. Uprościć wyrażenia 129. 4 2+log 27 130. log 3 2 log 59 131. log 6 2+log 36 9 log 132. m (mn) log n (mn) dla liczb naturalnych

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2012/13

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2012/13 Poniedziałek 12 listopada 2012 - zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 1. Wtorek 13 listopada 2012 - odbywają się zajęcia czwartkowe. 79. Uprościć wyrażenia a) 4 2+log 27 b) log 3 2 log 59 c) log

Bardziej szczegółowo

6. Liczby wymierne i niewymierne. Niewymierność pierwiastków i logarytmów (c.d.).

6. Liczby wymierne i niewymierne. Niewymierność pierwiastków i logarytmów (c.d.). 6. Liczby wymierne i niewymierne. Niewymierność pierwiastków i logarytmów (c.d.). 0 grudnia 008 r. 88. Obliczyć podając wynik w postaci ułamka zwykłego a) 0,(4)+ 3 3,374(9) b) (0,(9)+1,(09)) 1,() c) (0,(037))

Bardziej szczegółowo

Elementy logiki i teorii mnogości

Elementy logiki i teorii mnogości Elementy logiki i teorii mnogości Zdanie logiczne Zdanie logiczne jest to zdanie oznajmujące, któremu można przypisać określoną wartość logiczną. W logice klasycznej zdania dzielimy na: prawdziwe (przypisujemy

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone. Magdalena Nowak. 23 marca Uniwersytet Śląski

Liczby zespolone. Magdalena Nowak. 23 marca Uniwersytet Śląski Uniwersytet Śląski 23 marca 2012 Ciało liczb zespolonych Rozważmy zbiór C = R R, czyli C = {(x, y) : x, y R}. W zbiorze C definiujemy następujące działania: dodawanie: mnożenie: (a, b) + (c, d) = (a +

Bardziej szczegółowo

Uwaga 1. Zbiory skończone są równoliczne wtedy i tylko wtedy, gdy mają tyle samo elementów.

Uwaga 1. Zbiory skończone są równoliczne wtedy i tylko wtedy, gdy mają tyle samo elementów. Logika i teoria mnogości Wykład 11 i 12 1 Moce zbiorów Równoliczność zbiorów Def. 1. Zbiory X i Y są równoliczne (X ~ Y), jeśli istnieje bijekcja f : X Y. O funkcji f mówimy wtedy, że ustala równoliczność

Bardziej szczegółowo

Wielomiany. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #2 1 / 1

Wielomiany. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #2 1 / 1 XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #2 1 / 1 Definicja Definicja Wielomianem stopnia n zmiennej rzeczywistej x nazywamy funkcję W (x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 gdzie

Bardziej szczegółowo

1. ZBIORY PORÓWNYWANIE ZBIORÓW. WYKŁAD 1

1. ZBIORY PORÓWNYWANIE ZBIORÓW. WYKŁAD 1 WYKŁAD 1 1 1. ZBIORY. Pojęcie ZBIORU i NALEŻENIA do niego są pojęciami pierwotnymi(niedefiniowalnymi) w matematyce, reszta matematyki jest zdefiniowana lub opisana za pomocą tych pojęć. Można by, opierając

Bardziej szczegółowo

Próbny egzamin z matematyki dla uczniów klas II LO i III Technikum. w roku szkolnym 2012/2013

Próbny egzamin z matematyki dla uczniów klas II LO i III Technikum. w roku szkolnym 2012/2013 Próbny egzamin z matematyki dla uczniów klas II LO i III Technikum w roku szkolnym 2012/2013 I. Zakres materiału do próbnego egzaminu maturalnego z matematyki: 1) liczby rzeczywiste 2) wyrażenia algebraiczne

Bardziej szczegółowo

2) R stosuje w obliczeniach wzór na logarytm potęgi oraz wzór na zamianę podstawy logarytmu.

2) R stosuje w obliczeniach wzór na logarytm potęgi oraz wzór na zamianę podstawy logarytmu. ZAKRES ROZSZERZONY 1. Liczby rzeczywiste. Uczeń: 1) przedstawia liczby rzeczywiste w różnych postaciach (np. ułamka zwykłego, ułamka dziesiętnego okresowego, z użyciem symboli pierwiastków, potęg); 2)

Bardziej szczegółowo

Matematyka dla biologów Zajęcia nr 1.

Matematyka dla biologów Zajęcia nr 1. Matematyka dla biologów Zajęcia nr 1. Koordynator - Prof. Dariusz Wrzosek Instytut Matematyki Stosowanej i Mechaniki, Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki, Uniwersytet Warszawski, Banacha 2, 02-097

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI dla klasy I ba Rok szk. 2012/2013

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI dla klasy I ba Rok szk. 2012/2013 Dział LICZBY RZECZYWISTE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą lub dostateczną, jeśli: podaje przykłady liczb: naturalnych, całkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych oraz przyporządkowuje

Bardziej szczegółowo

Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki z zakresu klasy pierwszej TECHNIKUM

Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki z zakresu klasy pierwszej TECHNIKUM Zespól Szkół Ogólnokształcących i Zawodowych w Ciechanowcu 3 czerwca 017r. Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki z zakresu klasy pierwszej TECHNIKUM Strona 1 z 8 1. Wprowadzenie do matematyki. Pojęcia

Bardziej szczegółowo

Zestaw zadań dotyczących liczb całkowitych

Zestaw zadań dotyczących liczb całkowitych V Zestaw zadań dotyczących liczb całkowitych Opracowanie Monika Fabijańczyk ROZDZIAŁ 1 Cechy podzielności Poniższe zadania zostały wybrane z różnych zbiorów zadań, opracowań, konkursów matematycznych.

Bardziej szczegółowo

1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych.

1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych. Elementy logiki i teorii zbiorów. 1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych. Pojęcia pierwotne to najprostsze

Bardziej szczegółowo

Jeśli lubisz matematykę

Jeśli lubisz matematykę Witold Bednarek Jeśli lubisz matematykę Część 3 Opole 011 1 Wielokąt wypukły i kąty proste Pewien wielokąt wypukły ma cztery kąty proste. Czy wielokąt ten musi być prostokątem? Niech n oznacza liczbę wierzchołków

Bardziej szczegółowo

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA PROSTO DO MATURY KLASA 1 ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA PROSTO DO MATURY KLASA 1 ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA PROSTO DO MATURY KLASA 1 ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY Copyright by Nowa Era Sp. z o.o. Warszawa 2019 LICZBY RZECZYWISTE Na poziomie wymagań koniecznych lub podstawowych

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI W KLASIE IV

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI W KLASIE IV WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI W KLASIE IV Zna zależności wartości cyfry od jej położenia w liczbie Zna kolejność działań bez użycia nawiasów Zna algorytmy czterech działań pisemnych

Bardziej szczegółowo

Próbny egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszerzony

Próbny egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszerzony Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA Zadanie 1 (4 pkt) Rozwiąż równanie: w przedziale 1 pkt Przekształcenie równania do postaci: 2 pkt Przekształcenie równania

Bardziej szczegółowo

W. Guzicki Próbna matura, grudzień 2014 r. poziom rozszerzony 1

W. Guzicki Próbna matura, grudzień 2014 r. poziom rozszerzony 1 W. Guzicki Próbna matura, grudzień 01 r. poziom rozszerzony 1 Próbna matura rozszerzona (jesień 01 r.) Zadanie 18 kilka innych rozwiązań Wojciech Guzicki Zadanie 18. Okno na poddaszu ma mieć kształt trapezu

Bardziej szczegółowo

Definicja i własności wartości bezwzględnej.

Definicja i własności wartości bezwzględnej. Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności

Bardziej szczegółowo

Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki dla klasy I C LO (Rok szkolny 2015/16) Wykaz zakładanych osiągnięć ucznia klasy I liceum

Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki dla klasy I C LO (Rok szkolny 2015/16) Wykaz zakładanych osiągnięć ucznia klasy I liceum Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki dla klasy I C LO (Rok szkolny 05/6) Wykaz zakładanych osiągnięć ucznia klasy I liceum (osiągnięcia ucznia w zakresie podstawowym) I. Liczby rzeczywiste. Język

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria Środowiska w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era

Bardziej szczegółowo

Kryteria ocen z matematyki

Kryteria ocen z matematyki Klasa I DZIAŁ: Liczby i działania Kryteria ocen z matematyki obliczać wartości wyrażeń arytmetycznych, w których występują liczby wymierne skracać i rozszerzać ułamki zwykłe porównywać dwa ułamki zwykłe

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA WYKAZ UMIEJĘTNOŚCI WYMAGANYCH NA POSZCZEGÓLNE OCENY DLA KLASY PIERWSZEJ

MATEMATYKA WYKAZ UMIEJĘTNOŚCI WYMAGANYCH NA POSZCZEGÓLNE OCENY DLA KLASY PIERWSZEJ MATEMATYKA WYKAZ UMIEJĘTNOŚCI WYMAGANYCH NA POSZCZEGÓLNE OCENY 1. LICZBY RZECZYWISTE DLA KLASY PIERWSZEJ 1. Podawanie przykładów liczb: naturalnych, całkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i

Bardziej szczegółowo

Rozdział 2. Liczby zespolone

Rozdział 2. Liczby zespolone Rozdział Liczby zespolone Zbiór C = R z działaniami + oraz określonymi poniżej: x 1, y 1 ) + x, y ) := x 1 + x, y 1 + y ), 1) x 1, y 1 ) x, y ) := x 1 x y 1 y, x 1 y + x y 1 ) ) jest ciałem zob rozdział

Bardziej szczegółowo

KRYTERIA OCEN Z MATEMATYKI DLA KLASY VII

KRYTERIA OCEN Z MATEMATYKI DLA KLASY VII KRYTERIA OCEN Z MATEMATYKI DLA KLASY VII Na ocenę dopuszczającą uczeń powinien : Na ocenę dostateczną uczeń powinien: Na ocenę dobrą uczeń powinie: Na ocenę bardzo dobrą uczeń powinien: Na ocenę celującą

Bardziej szczegółowo

Plan realizacji materiału nauczania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych

Plan realizacji materiału nauczania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych Plan realizacji materiału nauczania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych Poziomy wymagań edukacyjnych: K konieczny ocena dopuszczająca (2) P podstawowy ocena dostateczna (3) R rozszerzający ocena dobra

Bardziej szczegółowo

Matematyka rozszerzona matura 2017

Matematyka rozszerzona matura 2017 Matematyka rozszerzona matura 017 Zadanie 1 Liczba ( 3 + 3) jest równa A. B. 4 C. 3 D. 3 ( 3 + 3) = 3 ( 3)( + 3) + + 3 = A. 3 4 3 + + 3 = 4 1 = 4 = Zadanie. Nieskończony ciąg liczbowy jest określony wzorem

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy VII

Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy VII Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy VII Szkoły Podstawowej nr 100 w Krakowie Na podstawie programu Matematyka z plusem Na ocenę dopuszczającą Uczeń: rozumie rozszerzenie osi liczbowej na liczby

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka 1. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony Klasa pierwsza

MATeMAtyka 1. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony Klasa pierwsza MATeMAtyka 1 Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych Zakres podstawowy i rozszerzony Klasa pierwsza Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki dla uczniów klasy VII szkoły podstawowej

Wymagania edukacyjne z matematyki dla uczniów klasy VII szkoły podstawowej Wymagania edukacyjne z matematyki dla uczniów klasy VII szkoły podstawowej Ocenę dopuszczającą otrzymuje uczeń, który: rozumie rozszerzenie osi liczbowej na liczby ujemne umie porównywać liczby wymierne,

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy system oceniania

Przedmiotowy system oceniania Przedmiotowy system oceniania gimnazjum - matematyka Opracowała mgr Katarzyna Kukuła 1 MATEMATYKA KRYTERIA OCEN Kryteria oceniania zostały określone przez podanie listy umiejętności, którymi uczeń musi

Bardziej szczegółowo

Szczegółowe wymagania edukacyjne na poszczególne oceny dla klasy I gimnazjum

Szczegółowe wymagania edukacyjne na poszczególne oceny dla klasy I gimnazjum Szczegółowe wymagania edukacyjne na poszczególne oceny dla klasy I gimnazjum POZIOMY WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH: K konieczny ocena dopuszczająca DZIAŁ 1. LICZBY I DZIAŁANIA pojęcie liczby naturalnej, całkowitej,

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY MATEMATYKA KL.VII

WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY MATEMATYKA KL.VII WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY MATEMATYKA KL.VII ROZDZIAŁ I LICZBY 1. rozpoznaje cyfry używane do zapisu liczb w systemie rzymskim w zakresie do 3000 2. odczytuje liczby naturalne dodatnie zapisane w

Bardziej szczegółowo

3a. Wstęp: Elementarne równania i nierówności

3a. Wstęp: Elementarne równania i nierówności 3a. Wstęp: Elementarne równania i nierówności Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2017/2018 Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3a. Wstęp: w Krakowie) Elementarne równania

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA na poszczególne oceny-klasa I Gimnazjum

WYMAGANIA na poszczególne oceny-klasa I Gimnazjum WYMAGANIA na poszczególne oceny-klasa I Gimnazjum Oceny z plusem lub minusem otrzymują uczniowie, których wiadomości i umiejętności znajdują się na pograniczu wymagań danej oceny głównej. (Znaki + i -

Bardziej szczegółowo

GIMNAZJUM WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI

GIMNAZJUM WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI GIMNAZJUM WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI Klasa I Liczby i działania wskazać liczby naturalne, całkowite, wymierne zaznaczyć liczbę wymierną na osi liczbowej podać liczbę przeciwną do danej

Bardziej szczegółowo

Kryteria oceniania z matematyki zakres podstawowy Klasa I

Kryteria oceniania z matematyki zakres podstawowy Klasa I Kryteria oceniania z matematyki zakres podstawowy Klasa I zakres Dopuszczający Dostateczny Dobry bardzo dobry Zdanie logiczne ( proste i złożone i forma zdaniowa oraz prawa logiczne dotyczące alternatywy,

Bardziej szczegółowo

Systemy liczbowe. 1. Przedstawić w postaci sumy wag poszczególnych cyfr liczbę rzeczywistą R = (10).

Systemy liczbowe. 1. Przedstawić w postaci sumy wag poszczególnych cyfr liczbę rzeczywistą R = (10). Wprowadzenie do inżynierii przetwarzania informacji. Ćwiczenie 1. Systemy liczbowe Cel dydaktyczny: Poznanie zasad reprezentacji liczb w systemach pozycyjnych o różnych podstawach. Kodowanie liczb dziesiętnych

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony

Zagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony Zagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony Uczeń realizujący zakres rozszerzony powinien również spełniać wszystkie wymagania w zakresie poziomu podstawowego. Zakres

Bardziej szczegółowo

Dr Maciej Grzesiak, Instytut Matematyki

Dr Maciej Grzesiak, Instytut Matematyki liczbowe Dr Maciej Grzesiak, Instytut Matematyki liczbowe Dr Maciej Grzesiak, pok.724 E e-mail: maciej.grzesiak@put.poznan.pl http://www.maciej.grzesiak.pracownik.put.poznan.pl podręcznik: i algebra liniowa

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy pierwszej zasadniczej szkoły zawodowej

Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy pierwszej zasadniczej szkoły zawodowej Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy pierwszej zasadniczej szkoły zawodowej ocena dopuszczająca ocena dostateczna ocena dobra ocena bardzo dobra ocena celująca Dział I. LICZBY RZECZYWISTE I DZIALANIA

Bardziej szczegółowo

Zasada indukcji matematycznej

Zasada indukcji matematycznej Zasada indukcji matematycznej Twierdzenie 1 (Zasada indukcji matematycznej). Niech ϕ(n) będzie formą zdaniową zmiennej n N 0. Załóżmy, że istnieje n 0 N 0 takie, że 1. ϕ(n 0 ) jest zdaniem prawdziwym,.

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA VII

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA VII WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA VII Ocena Dopuszczający Osiągnięcia ucznia rozpoznaje cyfry używane do zapisu liczb w systemie rzymskim w zakresie do 3000 odczytuje liczby naturalne dodatnie zapisane

Bardziej szczegółowo

Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu

Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu Wymagania edukacyjne niezbędne do uzyskania poszczególnych śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych z obowiązkowych

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II

ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II POZIOM ROZSZERZONY Równania i nierówności z wartością bezwzględną. rozwiązuje równania i nierówności

Bardziej szczegółowo

Matematyka z kluczem. Szkoła podstawowa nr 18 w Sosnowcu. Przedmiotowe zasady oceniania klasa 7

Matematyka z kluczem. Szkoła podstawowa nr 18 w Sosnowcu. Przedmiotowe zasady oceniania klasa 7 Matematyka z kluczem Szkoła podstawowa nr 18 w Sosnowcu Przedmiotowe zasady oceniania klasa 7 KlasaVII wymagania programowe- wymagania na poszczególne oceny ROZDZIAŁ I LICZBY 1. rozpoznaje cyfry używane

Bardziej szczegółowo

Plan wynikowy z wymaganiami edukacyjnymi z matematyki w zakresie podstawowym dla klasy 1 zsz Katarzyna Szczygieł

Plan wynikowy z wymaganiami edukacyjnymi z matematyki w zakresie podstawowym dla klasy 1 zsz Katarzyna Szczygieł Plan wynikowy z wymaganiami edukacyjnymi z matematyki w zakresie podstawowym dla klasy 1 zsz Katarzyna Szczygieł Lp. Temat Kształcone umiejętności 1 Zasady pracy na lekcjach matematyki. Dział I. LICZBY

Bardziej szczegółowo

1. ODPOWIEDZI DO ZADAŃ TESTOWYCH

1. ODPOWIEDZI DO ZADAŃ TESTOWYCH R O Z W I A Z A N I A 1. ODPOWIEDZI DO ZADAŃ TESTOWYCH 1. Dla dowolnych zbiorów A, B, C zachodzi równość (A B) (B C) (C A) = (A B C) (A B C), A (B C) = (A B) (A C), A (B C) = (A B) (A C). 2. Wyrażenie

Bardziej szczegółowo

Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu

Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu Wymagania edukacyjne niezbędne do uzyskania poszczególnych śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych z obowiązkowych

Bardziej szczegółowo

Rozwiązaniem jest zbiór (, ] (5, )

Rozwiązaniem jest zbiór (, ] (5, ) FUNKCJE WYMIERNE Definicja Miech L() i M() będą niezerowymi wielomianami i niech D { R : M( ) 0 } Funkcję (*) D F : D R określoną wzorem F( ) L( ) M( ) nazywamy funkcją wymierną Funkcja wymierna, to iloraz

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY MATEMATYKA KLASA 8 DZIAŁ 1. LICZBY I DZIAŁANIA

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY MATEMATYKA KLASA 8 DZIAŁ 1. LICZBY I DZIAŁANIA WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY MATEMATYKA KLASA 8 DZIAŁ 1. LICZBY I DZIAŁANIA zna znaki używane do zapisu liczb w systemie rzymskim; zna zasady zapisu liczb w systemie rzymskim; umie zapisać

Bardziej szczegółowo