HYDROSTATYKA. Niektóre powody dla których warto zafascynować się tym działem:

Transkrypt

1 HYDROTATYKA Niektóre powody dla których warto zafascynować się tym działem: istnieje mnóstwo i to niekiedy bardzo efektownych doświadczeń w tym dziale daje odpowiedzi na mnóstwo praktycznych pytań (dlaczego statek pływa, dlaczego samolot lata itp.) jest bardzo łatwy na poziomie liceum i w dużej części był omawiany w gimnazjum, zawiera w sobie kilka wyprowadzeń wzorów; łatwych a jednocześnie niezwykle pouczających Ciśnienie i prawo Pascala Podstawowym pojęciem niezbędnym przy omawianiu własności cieczy i gazów jest ciśnienie, lecz wbrew pozorom mimo łatwej definicji nie jest ono poprawnie rozumiane. Mówiąc o ciśnieniu nieraz pokazujemy w którą stronę działa myląc je z IŁĄ; ciśnienie jest wielkością skalarną (podobnie jak temperatura a przecież nie mówimy że: w tym kierunku jest 10 o C ) i określamy je następująco: Ciśnieniem nazywamy stosunek siły nacisku po pola powierzchni na którą ta siła nacisku działa. n p = n. [p] = N m 2 = Pa Wartość ciśnienia 1Pa jest bardzo mała i dlatego w praktyce stosuje się wielokrotności 1Pa; dla przykładu: 1kPa = 10 3 Pa 1hPa = 10 5 Pa 1MPa = 10 6 Pa Przyrządy służące do pomiaru ciśnienia w danej objętości to manometry; natomiast do pomiarów ciśnienia atmosferycznego używamy barometrów. Z koleji jednym z podstawowych praw hydroststyki jest Prawo Pascala. Również i 1

2 ono jest niejednokrotnie źle rozumiane; tyle że wbrew pozorom nie jest to prawo łatwe. Można sformułować następująco: Przyrost ciśnienia spowodowany np. działaniem siły zewnętrznej na pewną objęość cieczy lub gazu jest w każdym punkcie tej objętości jednakowy (rozchodzi się w każdym kierunku jednakowo) Należy mocno podkreślić że nie oznacza to że ciśnienie jest w każdym punkcie jednakowe, co jest częstą pomyłką. Prawo Pascala można uzasadnić opierając się na kinetyczno-molekularnej teorii cieczy lub gazu; mowiąc krótko jest to konsekwencja chaotycznego ruchu cząsteczek cieczy lub gazu który to ruch powoduje że np. zmiejszenie się objętości dostępnej dla ruchu cząsteczek (sprężenie gazu) będzie takie samo w całej objętości a tym samym i zmana ciśnienia będzie wszędzie jednakowa (jednym z czynników od których zależy ciśnienie jest to jak często w daną powierzchnie uderzają cząsteczki a to zależy również od objętości dostępnej dla ruchu cząsteczek) Ciśnienie Hydrostatyczne Ciśnienie hydrostatyczne jest to ciśnienie wytwarzane przez słup cieczy lub gazu pod wpływem siły ciężkości. Aby je obliczyć rozważmy słup naczynie np. w kształcie walca który napełniamy cieczą o stałej gęstości do wysokości h. Z definicji ciśnienia mamy: p = n iła nacisku cieczy na dno naczynia to ciężar tej cieczy: h p = c Korzystając z definicji ciężaru, gęstości i objętości: ρ p = mg = Vg = hg kracając pole podstawy naczynia () otrzymujemy wzór na ciśnienie hydrosta- 2

3 tyczne: p = gh Uwzględniając ponadto ciśnienie atmosferyczne działające na górną powierzchnię cieczy otrzymujemy: p = p at + gh W przypadku gdy ściany naczynia nie będą prostopadłe do podstawy ciśnienie wywierane przez słup cieczy nie ulegnie zmianie, ale w tym przypadku siła nacisku cieczy na dno naczynia: będzie większa niż ciężar cieczy w naczyniach zwężających się ku górze będzie mniejsza niż ciężar dla naczyń rozszerzających się ku górze iły nacisku słupa cieczy na dno naczynia o ustalonej powierzchni zależą zatem jedynie od wysokosci słupa cieczy, jest to tzw. paradoks hydrostatyczny. Znając już: pojęcie ciśnienia, prawo Pascala i definicje ciśnienia hydrostatycznego można omówić kilka zastosować praktycznych poznanych pojęć; są to: 1. Naczynia połączone 2. Prasa hydrauliczna 3. Barometr Torricelliego 4. Podciśnienie Ad.1 Jeżeli dwa naczynia połączymy np. rurką znajdującą się w pobliżu ich podstaw otrzymamy naczynia połączone; klasycznym przykładem jest tzw. u-rurka przedstawiona na poniższym rysunku: Wlewając do takiego naczynia ciecz po pewnym czasie ustali się stan równowagi w którym poziomy w obydwu jego częściach wyrównają się; pokażemy, że jest to konsekwencją następującego prawa naczyń połączonych: Ciśnienia wywierane przez słupy cieczy w naczyniach połączonych są na ustalonym poziomie jednakowe 3

4 Linia przewywana oznacza ustalony poziom względem którego ciśnienia mają być jednakowe, zatem: h 1 h 2 ρ p 1 = p 2 gh 1 = gh 2 h 1 = h 2, czyli słupy cieczy mają tą samą wysokość W tym przypadku mamy różne ciecze i dostajemy: ρ 2 h h 2 1 ρ 1 p 1 = p 2 1gh 1 = 2gh 2 zatem otrzymujemy: 1h 1 = 2h 2 h = const Mamy więc że im większa gęstość cieczy w jednym ramieniu u-rurki tym mniejsza musi być jej wysokość. Ad.2 Rysunek przedstawia poglądowy schemat prasy hydraulicznej p p p p kłada się ona z dwóch zamkniętych tłokami i połączonych zbiorników z cieczą. Mniejszy tłok niech ma pole powierzchni 1 a większy 2. Gdy zadziałamy na mniejszy tłok siłą 1 to w zbiorniku powstanie przyrost 4

5 ciśnienia p = 1 1 Zgodnie z prawem Pascala przyrost ten będzie w każdym miejscu zbiornika jednakowy a zatem za duży tłok zacznie działać siła: 2 = p 2 2 = = Bedzie ona większa od siły działającej na mały tłok (bo 2 1 > 1) a zatem dostaniemy zysk na sile. Ad.3 Zasada działania barometru Torricelliego przedstawiona jest na poniższym rysunku: proznia Po całkowitm napełnieniu próbówki rtęcią zatykamy ją np. palcem, odwracamy i torricelliego RTEC wkładamy ją do zbiorniczka z rtęcią. Następuje obniżenie poziomu rtęci w pró- H bówce do H, a nad nią tworzy się tzw. próżnia Torricelliego. W stanie równowagi:p atm = p sl.rt.h stąd:p atm = gh Wyznaczenie ciśnienia sprowadza się do pomiaru wysokości H; do niedawna w prognozie pogody wysokość słupa rtęci była podawana jako jednostka ciśnienia. Ad.4 Z podciśnieniem mamy do czynienia gdy z danej objętości zostanie wypompowane powietrze. W takiej sytuacji ciśnienie atmosferyczne działające z zewnątrz tej objętości nie jest równoważone ćiśnieniem od wewnątrz. Pojawia się wówczas ogromna siła próbująca zgnieść naczynie z którego odpompowano powietrze. Przykładem takiego naczynia jest kineskop (część odpowiedzialna za wyświetlanie obrazu) w telewizorze CRT (statego typu) i niech wymiary ekranu takiego kineskopu wynoszą 0.3x0.4m. iła nacisku powietrza atmosferycznego na taki 5

6 kineskop przy ciśnieniu p = 10 5 Pa wynosi: p = n n = pab = = 12000N Czyli jest taka jak ciężar przeciętniego samochodu osobowego; dlatego można zauważyć, że ekrany tych telewizorów są wykonane z grubego na ok 1cm szkła. Prawo Archimedesa Legenda głosi, że Archimedes wymyślił je podczas kąpieli wydając słynny okrzyk eureka i można je sformułować następująco: Na ciało zanurzone w cieczy lub gazie działa, zwrócona pionowo do góry, siła wyporu równa ciężarowi cieczy wypartej przez to ciało ama definicja nie jest jednak tak istotna jak to skąd bierze się siła wyporu. Rozważmy w tym celu poniższy rysunek. H A 1 2 h 1 h 2 p 1 Ciśnienie hydrostatyczne na poziomie górnej podstawy (p 1 ) jest mniejsze niż na poziomie dolnej (p 2 ) a zatem siła nacisku na dolną podstawę będzie większa niż na górną podstawę (mają one jednakowe pola powierzchni ) i pojawi się skierowana do góry siła wyporu: p 2 A = 2 1 Korzystając z definicji ciśnienia i ciśnienia hydrostatycznego można łatwo policzyć wartość tej siły: A = p 2 p 1 = gh 2 gh 1 = g(h 2 h 1 ) = gh Przy czym zauważyliśmy, że wysokość rozważanego ciała to H = h 2 h 1. Korzystając z definicji objętości graniastosłupa (V = H) mamy ostatecznie: A = ciecz gv cialo 6

7 Korzystając ze wzorów na gęstość i ciężar łatwo pokazać że siła wyporu jest równa ciężarowi wypartej cieczy: A = ciecz gv ciecz = m ciecz g = cciecz I stąd, podana na początku definicja prawa Archimedesa. Z prawa Archimedesa łatwo wyprowadzić warunki pływania ciał w tym celu rozważmy ciało wrzucane do cieczy. Po całkowitym zanurzeniu działają na nie: siła ciężkości (w dół) i siła wyporu (w górę); od tego która z tych sił będzie większa zależy to czy ciało będzie pływać, czy zatonie: wrzucamy cialo cialo zanurza sie A A A C C (1) (2) (3) C cialo wyplywa lub tonie Ad.1 W przypadku tym c < A i ciało wypłynie na powierzchnie wynurzając się częściowo aby tak nastąpiło... c < A m cialo g < ciecz gv cialo cialo V cialo < ciecz V cialo... to jego gęstość musi być mniejsza niż gęstość cieczy: cialo < ciecz Ad.2 W tym przypadku c = A i ciało będzie również pływało, ale całkowicie zanurzone wykonując podobne obliczenia otrzymamy: cialo = ciecz 7

8 Ad.3 W tym przypadku c > A i ciało zatonie stanie się tak gdy jego gęstość będzie większa niż gęstość cieczy: cialo > ciecz Prawo Bernouliego Mając 2 czyste kartki papieru można wykonać następujące doświadczenia: 1) Trzymając swobodnie, pionowo i równolegle do siebie dwie kartki papieru dmuchamy pomiędzy nie powietrze. Wbrew oczekiwaniom obserwujemy zbliżanie się kartek do siebie. 2) Utrzymując kartkę poziomo dmuchamy powietrze ponad nią ; spodziewamy się że kartka będzie opadać a obserwujemy wznoszenie się jej. DMUCHAMY DMUCHAMY 1) 2) Te nieoczekiwane rezultaty naszych prostych doświadczeń da się wytłumaczyć stosując Prawo Bernouliego: W szybko poruszającym się strumieniu cieczy lub gazu panuje niższe ciśnienie, niż w strumieniu poruszającym się wolniej, bądź spooczywającym Zatem np. wyniki doświadczenia z kartką papieru da się wyjaśnić następująco: Nad kartką mamy szybko poruszający się strumień powietrza więc (z pr. Bern.) będzie tam niższe ciśnienie niż ciśnienie pod kartką gdzie strumień powietrza przecież spoczywa. Zatem nacisk na spód kartki będzie większy niż na jej wierzch i kartka będzie się podnosić. Prawo Bernouliego znalazło zastosowanie przy konstrukcji profilu skrzydła: N trumien powietrza 8

9 trumień powietrza nad skrzydłem będzie miał dłuższą drogę do przebycia (z powodu kształtu skrzydła) niż strumień pod skrzydłem, zatem prędkość str. nad sktzudłem będzie większa niż pod. Z prawa Bernouliego nad skrzydłem będzie mniejsze ciśnienie niż pod. Zatem nacisk na spód skrzydła będzie większy niż na jego wierzch co spowoduje powstanie siły nośnej. Gaz w polu grawitacyjnym Na wstępie rozważmy następujący przykład. Oszacujemy wysokość atmosfery dla ciśnienia normalnego Pa. Gęstość powietrza wynosi: 1.3 kg m 3 Ciśnienie atmosferyczne jest efektem nacisku słupa powietrza atmosferycznego na powierzchnię Ziemi, zatem: p at = gh h = p at g = = 7945m Otrzymany wynik jest jednak kompletnie nierealny, ponieważ oznaczało by to że np. na szczycie Mount Everestu (8851m) nie powinno być już atmosfery. Niedorzeczność ta bierze się z założenia że gęstość powietrza atmosferycznego jest stała, natomiast w rzeczywistości maleje ona wraz z wysokością. posób malenia tego ciśnienia jest dość skomplikowany, ponieważ skomplikowana jest budowa atmosfety. Jednak w uproszczeniu można przyjąc, że prawdziwy jest następujący model: p(h) = p 0 e αh gdzie: p 0 jest ciśnieniem na poziomie morza, zaś α to stała opisująca tempo zmniejszania się ciśnienia wraz z wysokością. Liczba e jest podstawą logarytmu naturalnego (e = 2.718), α = g 0 p 0 ( 0 - gęstość powietrza na poziomie morza). Dla temperatury t = 20 o C współczynnik α = m Wyznaczanie gęstości cieczy. Omówimy metodę polegającą ważeniu ciała; raz w wodzie a raz w danej cieczy. Okaże się (można rzecz: oczywiście), że parametry ważonego ciała nie będą 9

10 miały znaczenia. Ponadto pominiemy siłę wyporu powietrza (poprawka mniejsza o trzy rzędy wielkości) Doświadczenie przeprowadzamy w sposób pokazany na rysunku: (1) (2) (3) woda badana ciecz Wypowadzenie wzoru na gęstość badanej cieczy: w P,R c P siła reakcji (dla znanej gęst. cieczy), R siła reakcji (dla nieznanej gęstości), w siła wyporu, c siła ciężkości. Dla cieczy o znanej gęstości, warunek równowagi układu ma postać: P + w + c = 0 Wektory mają ten sam kierunek więc po ustaleniu zwrotu osi y P + w c = 0 P + cv z g = c V z = c P cg Korzystając z definicji gęstości i siły ciężkości: z = m z V z = m z c P cg c = mg c c P z = c c P 10

11 Przeprowadzając powyższe wyprowadzenie dla x otrzymamy: V z = c R xg (P R, c x) Ale objętość ciała zanurzonego jest taka sama V z = const c R xg = c P cg c R x = c c P Otrzymany rezultat jest bardzo pożyteczny, ponieważ daje możliwość szybkiego wyznaczenia gęstości badanej cieczy poprzez pomiar ciężaru ciała ( c ), ciężaru w cieczy o znanej gęstości (np. w wodzie) i ciężaru ciała w badanej cieczy. Oczywiście aby wzór ten miał sens to gęstość ciała musi być większa od gęstości obydwu cieczy Definicja ciśnienia: p = n, gęstości: = m V, objętości: V = h, Definicja ciśnienia hydrostarycznego: p = g h Prawo Archimedesa: w = V z c g Objętości; kuli: V = 4 3 π r3, sześcianu: V = a 3, prostopadłościanu: V = a b c 11