ZASTOSOWANIE ROZKŁADU GUTENBERGA-RICHTERA DO PROGNOZY ZAGROŻENIA SEJSMICZNEGO, WRAZ Z OCENĄ JEGO NIEPEWNOŚCI

Transkrypt

1 GÓRICWO I GEOLOGIA 2011 om 6 Zeszyt 3 Iwona GOŁDA Politechnika Śląska, Gliwice Jerzy KOROWSKI Główny Instytut Górnictwa ZASOSOWAIE ROZKŁADU GUEERGA-RICHERA DO PROGOZY ZAGROŻEIA SEJSMICZEGO, WRAZ Z OCEĄ JEGO IEPEWOŚCI Streszczenie Artykuł ma częściowo przeglądowy charakter i stanowi wprowadzenie do ilościowej prognozy jednoznacznie jako prawdopodobieństwo wstrząsu o energii E>E zdefiniowanego zagrożenia sejsmicznego, wraz z ilościową oceną niepewności tej prognozy Pokazano, że obliczenia są nieskomplikowane, a niepewność wynikowej prognozy zależy wprost od jakości i ilości informacji bazowej (na której prognoza ta jest oparta) APPLICAIO OF HE GUEERG-RICHER RELAIO O ROCKURS HAZARD PREDICIO OGEHER WIH UCERAIY SUDY Summary his paper has partly review character, of introducing to quantitative forecasting rockburst hazard, defined as probability of the tremor of energy E>E, together with quantitative estimation of prediction uncertainty We show that calculations are very easy and uncertainty of forecasting directly depends on quality and quantity of basic information 1 Wprowadzenie i cel pracy Artykuł dotyczy oceny i prognozy zagrożenia sejsmicznego (Z S ) czyli zagrożenia wstrząsami określanych przy wykorzystaniu relacji Gutenberga-Richtera [8, 10], z parametrami wyznaczanymi na podstawie zbioru danych o zaistniałych wstrząsach z zagrożonego obszaru Zbiór ten nazywamy bazą (informacyjną) lub archiwum, natomiast to liczebność bazy, a to czas objęty rejestracjami zawartymi w bazie aza, jej liczebność

2 50 I Gołda, J Kornowski i czas trwania mogą się zmieniać, lecz muszą być znane w chwili prognozowania ależy podkreślić, że jakość (niepewność) prognoz opartych na dowolnej bazie informacyjnej nie może być lepsza (a niepewność mniejsza) od jakości (niepewności) informacji bazowej Zdanie to nie jest sloganem i musi być traktowane serio Oprócz niepewności energii zawartych w bazie, na jakość prognoz może wpływać także liczebność bazy oraz w przypadku zmiennych warunków aktualność informacji bazowej Celem tej pracy jest analiza czynników wpływających na jakość prognoz ależy dodać, że prognoza oparta na rozkładzie Gutenberga-Richtera (dalej: G-R) nie jest jedyną metodą prognozy Z S, lecz jest bardzo prosta i ma małe wymagania względem informacji wejściowej, ograniczone do danych o wstrząsach tylko z tego obszaru, którego dotyczy prognoza (zatem bardzo ważna jest rzetelna lokalizacja i rzetelna ocena energii) Za tę prostotę płaci się jednak dużą niepewnością ocen zagrożenia Inną metodą prognozy, która co najmniej w teorii obiecuje lepsze wyniki, jest teoria szeregów czasowych, która wymaga znacznie więcej informacji o wejściu (min zarówno o wstrząsach, jak i o emisji sejsmoakustycznej AE) Artykuł ten dotyczy jednak wyłącznie prognozy opartej na rozkładzie G-R ależy zwrócić uwagę, że w całej pracy słowo ocena dotyczy przeszłości (i być może chwili bieżącej), a słowo prognoza przyszłości, nieznanej w chwili formułowania prognozy W przypadku procesów stacjonarnych lub stacjonarnych ciągów zdarzeń, różnica między oceną a prognozą się zaciera Ponadto, log x log 10 x, kreska nad zmienną 2 ( x ) oznacza jej wartość średnią, a symbol x ~ ( x, ) oznacza, że x jest zmienną losową o rozkładzie normalnym () z wartością średnią x i wariancją x 2 x 2 Definicje i pojęcia: zagrożenie sejsmiczne oraz jego prognoza, niepewność prognoz i rozkłady W wielu dziedzinach nauk znane i stosowane jest pojęcie ryzyka, definiowanego jako iloczyn prawdopodobieństwa i strat: prawdopodobienstwo straty ryzyko szkodliwego spowodowane ( 21) zdarzenia zdarzeniem

3 Zastosowanie rozkładu Gutenberga-Richtera do prognozy 51 Akceptujemy tę ogólnie przyjętą definicję, lecz chcąc uniknąć dyskusji o cenie życia i zdrowia ludzi, pomijamy drugi czynnik tego iloczynu i by nie wprowadzać zamieszania w terminologii stosujemy dalej także ogólnie znane pojęcie zagrożenia zamiast ryzyka Zatem: Definicja D1 Zagrożenie sejsmiczne S Z lub Z lub Z S [( t, t t), E E ] jest to t prawdopodobieństwo, że (w obszarze przestrzennym, z którego pochodzi baza informacyjna) energia E co najmniej jednego wstrząsu przekroczy, w okresie ( t, t t), zadaną wartość (krytyczną) E Jeżeli przedział czasu ( t, t t) leży w przyszłości względem chwili prognozowania (np gdy prognozuje się w chwili t ), to definicja ta określa też prognozę zagrożenia sejsmicznego W zagadnieniach związanych z tąpaniami często E jest to tzw elementarna energia tąpnięcia [5, 11], czyli najmniejsza energia wstrząsu związanego z tąpnięciem Definicja D1 może też dotyczyć zagrożenia wstrząsem o energii zamiast E E piszemy E E E E E E, wówczas Powyższa definicja jest w sejsmologii od dawna znana i stosowana, ze względu na jej ilościowy i konstruktywny charakter, umożliwiający ilościowe obliczenie S Z Ponieważ prawdopodobieństwo spełnia nierówność 0 P 1, więc obszar (0,1) możliwych zagrożeń zawsze można podzielić na odcinki (np ), oznaczyć je literami (np A,, C, D) i nazwać stanami zagrożenia sejsmicznego, nawiązując w ten sposób do pojęć znanych inżynierom górnikom Analizując zagrożenie, w przypadku gdy wartości piszemy skrótowo Z t E i t nie budzą wątpliwości, ależy powtórzyć, że prognoza dotyczy obszaru, z którego pochodzą informacje bazowe Zaśmiecanie bazy wstrząsami obcymi odbiera prognozie sens, gdyż nie wiadomo wówczas, jakiego obszaru ona dotyczy Zakłada się stacjonarność procesu emisji wstrząsów i przyjmuje, że intensywność emisji (czyli liczba zdarzeń w jednostce czasu), obserwowana w okresie (bazowym), pozostanie bez zmiany w okresie ( t, t t), zwanym horyzontem prognozy Ponieważ dane tworzące bazę (w tym energie wstrząsów i współrzędne źródeł) zawsze obarczone są przypadkowymi błędami, również wyznaczone na ich podstawie wartości intensywności i zagrożenia zawsze obarczone są przypadkowymi błędami akie wielkości

4 52 I Gołda, J Kornowski nazywamy zmiennymi losowymi i opisujemy za pomocą rozkładów prawdopodobieństwa Rozkład liczebności wstrząsów w zależności od ich energii często przedstawia się w formie histogramu h E ) rys 21a w którym przedziały (lub pasma czy szerokości ( i słupków ) Ei mają stałą szerokość na (poziomej) osi energii, a wysokości hi h( Ei ) słupków są proporcjonalne do liczebności wstrząsów w Ei aka postać rozkładu, choć popularna i ogólnie rozumiana, często jest przyczyną trudności ie powinna być więc stosowana, gdyż kształt wynikowego histogramu z obserwacji zależy od przyjętej szerokości Ei i od położenia początku histogramu Gdy E 0, a zawartość przedziałów jest unormowana, czyli podzielona przez całkowitą liczebność bazy tak, że suma unormowanych wartości h E ) równa się 1, norm ( i histogram przekształca się w rozkład p (E) gęstości prawdopodobieństwa z obserwacji rys 21b W badaniach równie często spotykany jest rozkład skumulowany H E ), określający liczbę wstrząsów o energii EK ( K E, który także po unormowaniu i dla E 0 przekształca się w dystrybuantę, czyli w rozkład prawdopodobieństwa P(E) z obserwacji rys 21c Dla potrzeb oceny i prognozy zagrożenia sejsmicznego najlepiej posługiwać się rozkładem przewyższeń G( E) 1 P( E) W badaniach zagrożenia sejsmicznego rozkład ten informuje dla dowolnej wartości o energii większej od Warto więc pamiętać, że: E o prawdopodobieństwie wystąpienia wstrząsu E, zatem bezpośrednio wiąże się z zagrożeniem (porównaj z D1) h ( Ei ) H ( Ei ) H ( Ei 1) ; H ( EK ) h( E i ) (22a, b) p ( E) d[ P( E)] / de ; P ( E) p( E) de (23a, b) E G( E) 1 P( E) ( 24) K i1 Rozkłady te wyłącznie dla ilustracji i ułatwienia zrozumienia pokazano na rys 21 Ponieważ rozkład przewyższeń G (E) jest zazwyczaj najsłabiej rozumiany przez inżynierów, a jest on najważniejszy i bardzo łatwy do zrozumienia, należy powtórzyć, że:

5 Zastosowanie rozkładu Gutenberga-Richtera do prognozy 53 Empiryczny, czyli określony na podstawie zbioru (bazy) obserwacji, rozkład G (E) lub (E) przewyższeń energii E aproksymuje liczbę wstrząsów lub po unormowaniu empiryczne prawdopodobieństwo wystąpienia wstrząsu o energii przewyższającej E, zatem bezpośrednio aproksymuje warunkowe (pod warunkiem, że wstrząs wystąpi) zagrożenie sejsmiczne S Z Jakość tej aproksymacji zależy od liczebności bazy obserwacji, od poprawności ocen energii poszczególnych wstrząsów i od tego, czy wstrząsy rzeczywiście pochodzą z rejonu zainteresowania a) b) c) d) Rys 21 Przykład ilustrujący pojęcia: a) histogramu h( Ei ), b) rozkładu gęstości prawdopodobieństwa p(e), c) dystrybuanty, czyli rozkładu prawdopodobieństwa P(E), d) rozkładu przewyższeń G(E)=1-P(E), czyli funkcji przeżycia lub niezawodności Fig 21 Example illustrating notions of: a) histogram h( Ei ), b) probability density p(e), c) cumulative distribution function P(E), d) survival function G(E)=1-P(E) ależy zauważyć, że w praktyce, gdy rozkład przewyższeń stosowany jest do prognozy, (a nie do oceny minionego) zagrożenia, to jakość prognozy zależeć może od aktualności informacji bazowej 3 Magnituda i energia wstrząsów oraz rozkład G-R rzęsienia ziemi są obserwowane i katalogowane przez sejsmologów od stuleci wraz z analizą rozkładów ich wielkości W sejsmologii miarą wielkości trzęsienia ziemi jest

6 54 I Gołda, J Kornowski magnituda (m), której definicję podaje min [1] Ponieważ w górnictwie wielkość wstrząsów kwantyfikuje się, określając ich energię (a nie magnitudę), wystarczy pamiętać, że: log E c dm, ( 31) gdzie: E energia [J]; m magnituda; c, d stałe lokalne Dla GZW Dubiński [4] podał, że: log E 1,8 1, 9 m, ( 32) i zależność ta wiąże magnitudy określane przez Stacje Geofizyki PA z energiami określanymi przez GIG; warto zapoznać się również z pracą [2] adania sejsmologów [10] prowadzą do wniosku, że rozkład liczebności n(m) trzęsień ziemi może być, w dużym przedziale magnitud, aproksymowany równaniem: log n( m) A' bm ; ln n( m) A' 'm (33a, b) n bm ( m) 10 ; n m ( m) e, (34a, b) gdzie: A ' log ; A '' ln ; b log e 0, 4343 Formy logarytmiczne ( 33a, b) zwane są równaniem Gutenberga-Richtera od nazwisk sejsmologów, którzy je wprowadzili [8, 9] Równania te mają charakter empiryczny i statystyczny, a ich parametry są estymowane na lokalnej bazie obserwacyjnej Po wyznaczeniu m z równania (31) i podstawieniu do (33a) otrzymuje się: log n( E) A 0 0 log E, ( 35) gdzie: A 0 A' bc / d ; 0 b / d Antylogarytmując równanie (35) i całkując wynik w przedziale ( E, ) gdzie E to minimalna, poprawnie obserwowana energia (np E oceny i prognozy Z S rozkład przewyższeń (jest to tzw rozkład Pareto): który można przedstawić w postaci logarytmicznej: gdzie: E E / E ; a log J ) otrzymuje się potrzebny do ( E ) E, (36a) log ( E ) a log E, (36b) ; liczebność lokalnej bazy Dla stacjonarnych procesów emisji wstrząsów ich liczebność w okresie ( t, t t) jest proporcjonalna do t : t ( E ) ( t / ) E, (36c) skąd wynikają intensywność emisji w jednostce czasu oraz liczba przewyższeń:

7 Zastosowanie rozkładu Gutenberga-Richtera do prognozy 55 1 E 1 (36d) oraz zlogarytmowana liczba przewyższeń w przedziale czasu ( t, t t) : log t ( E ) a log E log( t / ) (36e) Równania te są znane [13], a równanie (36b) po obliczeniu lokalnych parametrów (a,) ma podstawowe znaczenie dla oceny i prognozy Z S ak jak w przypadku stosowania magnitudy, także dla oceny energii ma ono charakter empiryczny, statystyczny i stosuje się w określonym przedziale (energii), a parametry (a,) dotyczą tego samego rejonu co baza użyta do ich estymacji Parametr w równaniu (36b) musi być dodatni, tak by (36b) przedstawiało liczbę wstrząsów malejącą ze wzrostem energii Im bardziej wykres log jest nachylony ( w dół ), tym mniej jest (w ustalonym przedziale czasu) silnych wstrząsów i tym mniejsze zagrożenie Z S Jeżeli więc, na podstawie np trzydziestodniowych (=30) obserwacji wstrząsów o energiach 4 E E 110 J, zgromadzono bazę 100 wstrząsów i obliczono 0, 6, to, zakładając stacjonarność, można wyliczyć oczekiwaną dla najbliższych np trzech dni ( t 3, t / 0, 1) liczbę wstrząsów t o energiach 5 E E 510 J : log log100 0,6 log( E / E ) 2 0,6log50 0, , ,563 10, ( t / ) 1 t W ten sposób można oszacować oczekiwaną liczbę wstrząsów w dowolnym przedziale czasu ( t, t t) i energii ( E, E ) Wynik t jest wartością średnią zmiennej losowej t 4 Estymacja parametru i prognoza zagrożenia Z S Znany estymator parametru b, występujący w równaniu (33a), ma postać [7]: gdzie: m średnia (a 1 b ( m m ), ( 41) m minimalna) magnituda wstrząsów bazowych Ponieważ z równania (31) wynika, że: to m m ( 1/ d) log E, ( 42) b( E ) d / log E, ( 43)

8 56 I Gołda, J Kornowski i wykazać można, że dla bazy zawierającej energie (a nie magnitudy): log 10 log 10 e E log 10 E 0,4343 (44a, b) log E Jest to ważny, łatwo obliczalny estymator (dysponując bazowym zbiorem 10 E 10 q i inż ( i) p i oraz znając E i liczebność bazy, należy energię E inż (i) przekształcić do postaci logarytmicznej log E i qi log pi, obliczyć wartość średnią log E, odjąć log E oraz wykonać dzielenie zgodnie z (44 a, b) Parametr zawiera dokładnie tę samą informację co średnia (logarytmowana) energia bazowa Ponieważ wartość zawsze szacowana jest na niezbyt wielkich bazach, zawierających niezbyt dokładne oceny energii wstrząsów, to wyliczona wg (44 a, b) wartość jest zawsze realizacją zmiennej losowej () o rozkładzie 2 normalnym () z parametrami (, ) : Odchylenie standardowe 2 ~ (, ) (45) parametru określone jest przybliżonym równaniem [7]: / (46a) lub dokładniejszym i stosowalnym również w przypadku, gdy nie jest zachowana ścisła stacjonarność ciągu wstrząsów [15]: 2, log E log E( i) / ( 1) 1/ 2 2 (46b) i1 Losowość parametru powoduje, że oszacowana (na podstawie informacji bazowej i równania G-R, np z (36 e)) liczba przewyższeń t dowolnej energii E w okresie ( t, t t), a także jak zobaczymy oszacowane na tej podstawie zagrożenie zmienną losową obarczoną (nieraz dużą) niepewnością Ilustruje to rys 41 Wartości i E E Symbole obliczane są zawsze na podstawie bazy wstrząsów i w okresach odpowiednio i t oznaczają liczbę wstrząsów o energiach S Z, też jest o energiach E E t Ponieważ funkcja liniowa (np y=a+x) zmiennej losowej (np ) o rozkładzie normalnym np równanie (45) jest zmienną losową o rozkładzie normalnym, więc log będąc, zgodnie z równaniem G-R (np (36 e)), liniową funkcją t zmiennej jest zmienną losową o rozkładzie normalnym: log 2 log t ~ (log t, log ) (47a) a log E ; log t log log( t / ) (47b, c)

9 Zastosowanie rozkładu Gutenberga-Richtera do prognozy 57 E (47d) log log i p-procentowy (lub rzędu p) kwantyl, log t, P%, tej zmiennej ma postać: log gdzie: X 0 ; X 1, 28 ; X 1, 645; X 2, % 90% t, P% log t X P, (47e) log 95% 99% Rys 41 Wykres relacji G-R ilustrujący interpretację: - parametru (w równaniu log a log E ) jako zmiennej losowej (, ) - rozkładu warunkowego [( log ~ log, ) E ] zmiennej losowej log rzeba zauważyć, że chociaż const oraz const, to rozproszenie ( log ) zmiennej log rośnie ze wzrostem log E Symbol oznacza rozkład normalny o parametrach podanych w nawiasie Log to logarytm liczby przewyższeń Fig 41 Diagram of G-R relationship illustrating interpretation of: - parameter (in equation log a log E ) as the random variable (, ) - conditional distribution [( log ~ log, ) E ] of the random variable log We have to notice that, though const and const, the dispersion ) of random variable log increases with ( log the increase of log E Symbol denotes Gaussian distribution, Log is the logarithm of exceedances number iepewność oszacowania t, określona różnicą między kwantylem rzędu p>50% i kwantylem rzędu 50%, jest skutkiem niepewności oszacowania, zatem, na podstawie (46 a), zależy od liczebności bazy a podstawie powyższego można więc łatwo rozwiązać następujące zagadnienia: 1 Dla danych wartości (,, E,, ), zakładając użyteczne w praktyce wartości: t horyzontu prognozy, E energii zagrażającej oraz P prawdopodobieństwa, obliczyć

10 58 I Gołda, J Kornowski t,p%, liczbę wstrząsów nie będzie przewyższona E E, która w okresie, ( t, t t), z prawdopodobieństwem P, 2 Zakładając, że liczebność bazy może być zmieniana (i pamiętając o (46 a)), obliczyć minimalną liczebność min potrzebną, by P-procentowa niepewność oszacowania log t (czyli różnica log, log t P% t ) nie przewyższała dopuszczalnej (np uzgodnionej z użytkownikiem) wartości znaczenie praktyczne log tol Ponieważ log Z t ~ log t, zagadnienie to ma duże adania trzęsień ziemi doprowadziły do wniosku, że ciągi trzęsień ziemi stanowią stacjonarne procesy Poissona W przybliżeniu to samo obserwuje się w przypadku wstrząsów górniczych dla E E [12, 13], przy czym im większa jest wartość E, tym lepsza jest aproksymacja modelem Poisonna [12, s 139] Dalej więc przyjmuje się, że dla E E E ciągi wstrząsów górniczych mogą być aproksymowane stacjonarnym procesem Poissona o intensywności ( t 1), określonej równaniami (47a, b, c, d, e) Zgodnie z definicją D1, zagrożenie o energii Z jest to prawdopodobieństwo wystąpienia wstrząsu E E, zatem ze znanych twierdzeń matematycznych [3, 6], dotyczących procesu Poissona, wynika, że dla ustalonego, związanego z bazą informacyjną, obszaru S predyktorem zagrożenia sejsmicznego Z Z [( t, t t), E E ], wstrząsem t E E w horyzoncie ( t, t t), jest wyrażenie: gdzie: intensywność wstrząsów 0 Z t 1 exp[ t] 1, (48a) E E, gdy 1 t o samo równanie (w przypadku stacjonarnym) zapisywane bywa [7, 14] w równoważnej postaci: Z t 1 exp t [1 F( E )], (48b) gdzie: 1 F( E ) G( E ) prawdopodobieństwo przewyższenia energii Predyktor (48a) umożliwia ilościową ocenę zagrożenia Ponieważ 0 Z 1, przedział możliwych zagrożeń zawsze można podzielić na stany, jak opisano w rozdziale drugim zatem Rozwijając funkcję z 1 e x E w szereg aylora, można otrzymać np dla x=0,01 z=0,01, z x z błędem względnym 0,005( 0,5%) czy x=0,1 z=0,095, zatem z x z błędem względnym 0,051( 5,1 %) itd t

11 Zastosowanie rozkładu Gutenberga-Richtera do prognozy 59 Zatem dla małych wartości x, 1 e x x Jeżeli podstawi się x t i Z t 1 zagrożenia: e x, to dla małych wartości Z t można stosować przybliżoną ocenę t t ( ), (49) t co znakomicie ułatwia obliczenie szczególnie kwantyli (zgodnie z równaniem (47e)) zagrożenia a pytanie, jak małe mają być wartości stosujemy równanie 49)) był tolerowalny można odpowiedzieć dwojako: t t, by błąd aproksymacji (gdy 1 Przyjmując arbitralnie, że np błąd tol 20% jest maksymalnym błędem tolerowalnym Wówczas równanie (49) można stosować dla 0, 4 2 Ustalając tol dowolną (racjonalną) granicę błędu względnego: t tol [ (1 e )]/[1 e ] (410) Wówczas, dla rozsądnie wybranej wartości początkowej 0, kilkukrotne powtórzenie iteracji i i 1 (1 tol ) (1 e ) daje poszukiwaną maksymalną wartość max, dla której równanie (49) może być stosowane z błędem tol a przykład, niech tol 0,25( 25%) Dla 0,5 0 otrzymuje się 0, ,, 0, i dla tej wartości t t równanie (49) stosuje się z błędem mniejszym niż 25% Dla uproszczenia analiz zakłada się dalej, że błąd 20% (przy ocenie zagrożenia) jest maksymalnym błędem tolerowanym i równanie (49) można stosować dla t t 0, 4 Zwracamy uwagę, że dla wartości i przedstawiona tu zatem uproszczona metoda jest użyteczna t i E E, zazwyczaj t 0, 4 Jeżeli 0, 4 (co zawsze należy sprawdzać), równania (47a, b, c, d, e) określają t również zagrożenie sejsmiczne log Z log Z S Z : t ~ [( a log E log t / ), log E ] ( 411) t, P log Z t X P log E, ( 412) przy czym równanie (412) określa P-procentowy kwantyl zagrożenia, czyli wartość zagrożenia, która w świetle informacji bazowej z P-procentowym prawdopodobieństwem nie będzie przewyższona w okresie ( t, t t) 4 a przykład dla bazy { 60, 100, E 110 J, 0,9, 0,08} należy obliczyć 5 5 Z dla E 5 10 J, czyli zagrożenie wstrząsem o energii E 510 J, które 4,95%

12 60 I Gołda, J Kornowski w ciągu 4 dób, z prawdopodobieństwem 95%, nie zostanie przekroczone Co oblicza się w sposób następujący: 4 60 log Z 60 log100 0,9log50 0,471; log Z log Z log(4 / 60) 0, 705 log Z 4,95% 0,705 1,645 0,08 log 50 0,481; Z 4,95% 0, 33 ależy dodać, że nie istnieje taka wartość zagrożenia, która na 100% nie zostanie przewyższona Celowe za to jest liczenie rozsądnej, górnej granicy zagrożenia na przykład Z t,95% czyli granicy 95-procentowej, i informowanie użytkownika o jej wartości ajłatwiejsze do obliczenia, stąd popularne, zagrożenie średnie Z t, 50% Z t, może być przewyższone z prawdopodobieństwem 50%, co może stać się przyczyną pretensji i konfliktów, lepiej więc informować użytkownika o wartości Z t,95%, która niemal na pewno nie zostanie przekroczona w okresie ( t, t t) Jeżeli przyjmuje się, że miarą niepewności (log Z t,p ) P-procentowej oceny/prognozy zagrożenia ( log Z wstrząsem t E E w okresie ( t, t t) ) jest różnica (lub odległość) między P%-kwantylem a wartością średnią tego zagrożenia, to z (412) wynika, że: gdzie: P (log Z t, P ) log Z t, P log Z t X P log E, ( 413) X odpowiedni kwantyl rozkładu (0,1) Podstawiając (46a), otrzymujemy: (log Z, ) X ( / ) log E t P P ( 414) Jeżeli więc użytkownik określi wartość (log tol Z t,p ), maksymalną tolerowalną niepewność (dopuszczalny błąd log Z ) oceny/prognozy zagrożenia, to można wyznaczyć min, czyli minimalną wartość potrzebną by zapewnić, że (log Z t, P ) tol (log Z t, P ) : min X P [ / tol (log Z t, P )] log E ( 415) Równanie to powinno być traktowane jako podstawowe w zagadnieniu prognozy zagrożenia (stosując metodę G-R), tymczasem jest nieznane w literaturze przedmiotu i w praktyce nie jest stosowane co jest jedną z przyczyn nietrafnych prognoz

13 Zastosowanie rozkładu Gutenberga-Richtera do prognozy 61 5 Podstawowe wnioski z pracy Celem artykułu była min analiza czynników wpływających na jakość prognozy opartej na rozkładzie G-R Można wyciągnąć następujące wnioski: 1 iewątpliwą zaletą stosowania rozkładu G-R do prognozy wymaga tylko elementarnych i nielicznych obliczeń S Z jest prostota metody, która 2 Ze względu na małe wymagania dotyczące informacji wejściowej może i powinna być znacznie szerzej stosowana jako najprostsza, przybliżona metoda prognozy zagrożenia sejsmicznego 3 Podstawowym założeniem w tej metodzie jest rzetelna baza informacyjna energii wstrząsów, dotycząca konkretnego obszaru niezniekształcona przez przypadkowe wstrząsy pochodzące z innych rejonów wartość dla którego oceniana/prognozowana jest S Z ależy więc pamiętać o rzetelnej lokalizacji i ocenie energii, gdyż ich niepewność zawsze zwiększa niepewność samej metody 4 iepewność oceny zagrożenia jest min skutkiem niepewności oszacowania, zatem zależy ona od liczebności bazy i równanie (415) powinno być systematycznie stosowane do oceny liczebność bazy niezbędnej dla ograniczenia niepewności ocen ILIOGRAFIA 1 Aki K, Richards PG: Quantitative Seismology (2 ed ) Sausalito California University Science ook, ańka P, Jaworski A: Problemy związane z prognozowaniem wielkości drgań gruntu spowodowanych wysokoenergetycznymi wstrząsami górotworu Górnictwo i Geologia t 1, Gliwice enjamin JR, Cornell CA: Rachunek prawdopodobieństwa, statystyka matematyczna i teoria decyzji dla inżynierów W, Warszawa Dubiński J: Obliczanie energii sejsmicznej, [w:] Poradnik geofizyka górniczego, t 2, iblioteka Szkoły Eksploatacji Podziemnej, Wyd CPPGSMiE PA, Kraków 1995, s Dubiński J, Konopko W: ąpania: ocena, prognoza, zwalczanie Wyd GIG, Katowice Fisz M: Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna PW, Warszawa Gibowicz SJ, Kijko A: An Introduction to Mining Seismology Academic Press, ew York Gutenberg, Richter CF: Frequency of earthquakes in California ull Seism Soc Am, o 34, 1944, p

14 62 I Gołda, J Kornowski 9 Gutenberg, Richter CF: Seismicity of the Earth and Associated Phenomene, 2 nd ed Princeton University Press, owy Jork Gutenberg, Richter CF: Magnitude and Energy of Earthquakes Science, Vol 83, 1956, p Konopko W: Doświadczalne podstawy kwalifikowania wyrobisk górniczych w kopalniach węgla kamiennego do stopni zagrożenia tąpaniami Prace aukowe GIG, nr 795, Katowice Kornowski J, Kurzeja J: Krótkookresowa prognoza zagrożenia sejsmicznego w górnictwie Wyd GIG, Katowice Lasocki S: Predykcja silnych wstrząsów górniczych Zeszyty aukowe Akademii Górniczo-Hutniczej, z 7, Kraków Lasocki S: Statystyczna analiza zagrożenia sejsmicznego, [w:] Dubiński J, Pilecki Z, Zuberek W (red): adania Geofizyczne w Kopalniach Wyd IGSMiE PA, Kraków Shi Y, olt A: he Standard Error of the Magnitude Frequency b Value ull Seismol Soc Amer, Vol72, o 5, 1982, p Recenzent: Dr hab inż Zenon Pilecki, prof IGSMiE PA Abstract In this paper the estimation method of seismic (tremors) hazard, ZS and its uncertainty witch the known Gutenberg-Richter (G-R) distribution and assuming Poisson process of events have been described, applying only elementary methods and with simple numerical examples o estimate numerical uncertainty of the ZS, the probabilistic interpretation of the G-R equation has been stressed and graphically illustrated, assuming that uncertainty emerges from unsufficient number and unsufficient quality of events energy data in a data archive We conclude that both ZS and its uncertainty can be estimated with simple equations, (48a) or (48b) and (for not to large ZS) (412) and that hazard estimation results should always be equipped with its uncertainty measure