Rozdział 8: Podstawowe zadania geodezyjne z rachunku współrzędnych

Transkrypt

1 183 Rozział 8: ostawowe zaania geoezyjne z rachunku współrzęnych 8.1. Orientacja pomiarów geoezyjnych W rozziale 1 przestawiliśmy krótką charakterystykę ukłaów współrzęnych stosowanych w geoezji, w tym wykorzystywane najczęściej płaskie ukłay prawoskrętne: prostokątny i biegunowy. Orientację boku osnowy lub kierunku wzglęem osi ukłau określa się za pomocą azymutu lub kąta kierunkowego, które tym różnią się o siebie, że stałym ramieniem azymutu jest kierunek północy, zaś w przypaku kąta kierunkowego ramieniem tym jest oatni kierunek osi x ukłau, która nie musi być zorientowana weług północy. W rachunku współrzęnych wielkościami wyjściowymi lub szukanymi mogą być zarówno elementy liniowe, o których zalicza się: współrzęne punktów X, Y, przyrosty współrzęnych ocinków x, y, ługości zreukowane (poziome), jak i elementy kątowe: azymuty, kąty kierunkowe, kąty wierzchołkowe w sieciach osnów poziomych i figurach geometrycznych. zymutem boku nazywamy kąt poziomy, zawarty w przeziale o 0 o 360, pomięzy kierunkiem północy wychozącym z punktu a anym bokiem, liczony o kierunku północy w prawo, czyli zgonie z ruchem wskazówek zegara (rys. 8.1). 180 Rys zymuty: boku wyjściowego i boku owrotnego Jeśli punktem początkowym boku, la którego określamy azymut jest punkt, wtey po wyprowazeniu z niego kierunku północy i zakreśleniu kąta w prawo pomięzy północą a bokiem otrzymamy azymut boku owrotnego, oznaczony symbolem:. Zgonie z rys. 8.1 azymut ten różni się o azymutu boku o wartość kąta półpełnego: = 180 (8.1) W powyższym wzorze znak plus onosi się o azymutów wyjściowych mniejszych o 180 (lub 00 g ), zaś znak minus otyczy azymutów wyjściowych przekraczających 180. Kierunek północy występujący w efinicji azymutu może być określany w różny sposób, w związku z czym wyróżnia się kierunki północy: geograficznej, topograficznej i magnetycznej (rys. 8.). Kierunek północy geograficznej (astronomicznej) wychozący z anego punktu ziemskiego jest kierunkiem północnej części połunika geograficznego, łączącego ten punkt z geograficznym biegunem północnym Ziemi. Wyznaczenie kierunku północy geograficznej i azymutu przemiotu ziemskiego stanowią jeno z ważniejszych zaań astronomii geoezyjnej. Dość okłanie kierunek ten wskazuje Gwiaza olarna ( -Ursae Minoris) w gwiazozbiorze Małej Nieźwiezicy. Kierunek północy magnetycznej jest wskazywany przez igłę magnetyczną busoli, umieszczonej w punkcie początkowym.

2 Orientacja pomiarów geoezyjnych ieguny magnetyczne Ziemi oznaczają się zmiennością położenia i z reguły nie pokrywają się z biegunami geograficznymi, toteż kierunki połuników: geograficznego i magnetycznego są o siebie ochylone o zmieniający się w czasie i przestrzeni kąt zwany eklinacją magnetyczną. zymut geograficzny g obliczymy na postawie azymutu magnetycznego m i eklinacji po oaniu tych kątów o siebie. Kierunek północy topograficznej (kartograficznej) jest ściśle związany z przyjętym owzorowaniem kartograficznym oraz z zależnym o niego ukłaem współrzęnych prostokątnych. Doatni kierunek osi x ukłau pokrywa się przeważnie z kierunkiem północy geograficznej (połunika geograficznego), lecz la punktów znajujących się poza osią x, kierunek północy topograficznej stanowi prostą równoległą o półosi +x, natomiast połuniki wyznaczające północ geograficzną w różnych punktach terenowych nie są równoległe, lecz zbiegają się w punkcie N biegunie północnym Ziemi, toteż ochylenie kierunku północy topograficznej anego punktu o północy geograficznej tego punktu jest równe kątowi, zwanemu zbieżnością połuników (rys. 8.). Doając kąt o azymutu topograficznego t, otrzymamy azymut geograficzny. Dla ułatwienia obliczania azymutu, przyjmującego wartości w przeziale o 0 o 360, wygone jest posługiwanie się kątem ostrym noszącym nazwę czwartaka, który jako kąt nie przekraczający 90 występuje tylko w pierwszej ćwiartce kąta pełnego (stą nazwa czwartak). Wszystkie funkcje trygonometryczne czwartaka są więc oatnie, zaś wyznaczenie wartości kąta na postawie wartości tych funkcji ma charakter jenoznaczny. Czwartak jest efiniowany jako kąt ostry zawarty pomięzy linią osi x, czyli jej oatnim lub ujemnym kierunkiem, a anym bokiem. W ćwiartkach: I i IV ramieniem wyjściowym czwartaków jest prosta skierowana na północ, natomiast w ćwiartkach: II i III ramię to stanowi prosta skierowana na połunie. Na postawie rysunku 8.3 można określić zestawione w tabeli 8.1 zależności pomięzy azymutem a czwartakiem w poszczególnych ćwiartkach ukłau współrzęnych prostokątnych. Zależności te pozwalają na ustalenie orientacji owolnego kierunku, czyli obliczenie jego azymutu na postawie wartości czwartaka φ i znajomości numeru lub oznaczenia ćwiartki (NE, SE, SW, NW). Nr i oznaczenie ćwiartki Tabela 8.1. zymut i czwartak φ Zakres azymutu Związek mięzy azymutem a czwartakiem I (NE) 0 90 = II (SE) = 180 III (SW) = IV (NW) = 360 g t m Rys. 8.. zymuty: geograficzny, topograficzny, magnetyczny

3 Rozz. 8: ostawowe zaania geoezyjne z rachunku współrzęnych 185 W N +x O E +y W N +x O E +y W C N +x O E +y W D N +x O E +y S I ćw. = S II ćw. =180 - S III ćw. =180 + S IV ćw. =360 - Rys Zależności pomięzy azymutem i czwartakiem w poszczególnych ćwiartkach ukłau współrzęnych W geoezji niższej na ogół nie uwzglęnia się krzywizny Ziemi, a więc wyniki pomiarów wykonywanych na małych obszarach, onoszone są o płaszczyzny. Z tego wzglęu linie połuników traktowane są jako proste równoległe o osi x, zaś równoleżniki jako proste prostopałe o połuników. Linie te naniesione w stałych ostępach wynoszących 10 cm, tworzą na arkuszach mapy siatkę kwaratów, zorientowaną wzglęem stron świata. Opis współrzęnych X, Y linii siatki umożliwia graficzne określenie położenia owolnego punktu na mapie wzglęem ukłau współrzęnych prostokątnych. 8.. ostawowe związki w ukłazie współrzęnych prostokątnych Dla uproszczenia alszych rozważań załóżmy, że rozpatrywany bok znajuje się w I ćwiartce ukłau współrzęnych prostokątnych, płaskich, zaś jego azymut jest kątem ostrym (rys. 8.4). o zrzutowaniu punktów, na osie ukłau możemy oczytać ich współrzęne: X, Y, X, Y, natomiast rzuty prostokątne boku na obie osie stanowią graficzną ilustrację tzw. przyrostów współrzęnych: x, y, bęących różnicami pomięzy współrzęnymi punktów:,, a więc: Δx X X +x (8.) K y Δy Y Y X X x y O Y Y +y Rys. O 8.4. Związki pomięzy azymutem, ługością i przyrostami boku Na postawie wzorów (8.) można ustalić ogólną zasaę obliczania przyrostów x, y anego boku. Jest nią oejmowanie o opowienich współrzęnych punktu końcowego boku, współrzęnych jego punktu początkowego. W zapisie symbolu przyrostu... zawarty jest zwrot boku, lecz poczas oejmowania współrzęnych w celu obliczenia przyrostu kolejność wprowazania współrzęnych jako ojemnej i ojemnika jest owrotna: tzn. przyrost równa się: współrzęna punktu minus współrzęna punktu. Z wzorów (8.) i zależności geometrycznych w trójkącie K (rys. 8.4) można określić następujące postawowe wzory rachunku współrzęnych: X Y X Y Δx Δy (8.3)

4 Obliczenie azymutu i ługości boku ze współrzęnych tg y x (8.4) x y (8.5) Δx Δy cos sin (8.6) oraz cos sin Δx Δy (8.6a) 8.3. Obliczenie azymutu i ługości boku ze współrzęnych Zaanie obliczenia azymutu i ługości boku na postawie anych współrzęnych jego punktów końcowych występuje w obliczeniach geoezyjnych barzo często i opiera się na poanych wyżej wzorach: (8.4) i (8.5). Korzystając z wzoru (8.4) otrzymujemy jenak tangens azymutu, a więc na postawie wartości tej funkcji nie możemy określić jenoznacznie wartości kąta. Z tego powou poczas obliczania wartości liczbowej azymutu korzystamy ze związku pomięzy azymutem boku a jego czwartakiem wyrażonym poprzez jeen z wzorów zawartych w tabeli 8.1. Wybór opowieniego przeliczenia wymaga znajomości przeziału kątowego (ćwiartki), w którym występuje poszukiwany azymut. Ćwiartkę tę ustalamy na postawie znaków przyrostów x, y, które zgonie z wzorami (8.6) są takie same jak znaki funkcji trygonometrycznych azymutu: sin, cos. Określonej ćwiartce azymutu opowiaa więc tylko jena kombinacja pary znaków (tabela 8.). Tabela 8.. Znaki przyrostów w zależności o ćwiartki azymutu Numer Znaki przyrostów Zależność mięzy ćwiartki azymutu x (cos ) y (sin ) azymutem i czwartakiem I + + = II + = 00 g III = 00 g + IV + = 400 g rzebieg obliczenia azymutu i ługości boku na postawie współrzęnych punktów, : X, Y ; X, Y obejmuje następujące etapy: 1. Obliczenie przyrostów x, y zgonie z wzorami (8.).. Obliczenie tangensa czwartaka z zależności: y tg x (8.7) 3. Obliczenie wartości czwartaka na postawie jego funkcji tangens. 4. Ustalenie numeru ćwiartki weług znaków przyrostów (tabela 8.). 5. Obliczenie azymutu z zależności mięzy azymutem a czwartakiem, wybranej zgonie z ustalonym numerem ćwiartki azymutu (tabela 8.).

5 Rozz. 8: ostawowe zaania geoezyjne z rachunku współrzęnych Obliczenie ługości boku w oparciu o wzór (8.5). 7. Wykonanie obliczeń kontrolnych azymutu i ługości. Obliczenia kontrolne azymutu i ługości polegają na ich ponownym obliczeniu w oparciu o wzory kontrolne. Kontrola obliczenia azymutu opiera się na uzyskaniu azymutu powiększonego o kąt 45 (50 g ). Na postawie wzoru na tangens sumy kątów i wzoru (8.4) możemy napisać: stą: tg 45 tg tg tg 45 1 tg tg 45 x 45 x Δy 1 Δx, Δy 1 Δx y y (8.8) Kontrola obliczenia azymutu w oparciu o wzór (8.8) polega na pozieleniu sumy przyrostów przez różnicę przyrostów, a następnie po orzuceniu znaku otrzymanego ilorazu, uzyskamy wartość tg, gzie jest czwartakiem kąta (+45 ) tj. azymutu powiększonego o 45. x tg x y y Jego obliczenie obywa się na tej samej zasazie co obliczenie azymutu, tzn. znaki sumy: x+y oraz różnicy: x y, traktujemy tak samo jak poczas obliczenia wynikowego znaki przyrostów potrzebne o określania ćwiartki azymutu. Należy zauważyć, że ćwiartka kąta (+45) albo pozostaje bez zmian w stosunku o ćwiartki azymutu albo zmienia się na następną. o kontrolnym obliczeniu kąta (+45), sprawzamy, czy otrzymaliśmy tą samą wartość, co po bezpośrenim oaniu kąta 45o wartości azymutu z obliczenia wyjściowego. Dokłana zgoność obywu wyników świaczy o poprawności rachunku. W ramach kontroli obliczenia ługości można określić ługość boku na postawie przekształconych wzorów (8.6), czyli: x cos y sin (8.9) Opowienikami wzorów (8.9) są poobne wzory z uziałem czwartaka zamiast azymutu : Δx Δy (8.10) cos sin Uwaga: Wykorzystanie wzorów (8.4) i (8.7) poczas programowania komputerowego stwarza niebezpieczeństwo zatrzymania programu, gy x=0 (błą zielenia przez zero). Z tego wzglęu należy wtey korzystać z wzorów: (8.5) i (8.6a), obliczając ze współrzęnych ługość boku, a następnie azymut na postawie funkcji sin lub cos. W tabeli 8.3 zostały zamieszczone wa przykłay na obliczenie ze współrzęnych azymutów (w stopniach i graach) oraz ługości boków.

6 Obliczenie azymutu i ługości boku ze współrzęnych L.p. Oznaczenia punktów: końcowy- początkowy- Oznaczenie boku: Tabela 8.3. Obliczenie azymutu i ługości ze współrzęnych X Y y tg = x cos x+y Kontrola X Y Czwartak sin x y +45 (50 g ) x = y = X X Y Y zymut Oległość x y tg x y x y x y cos sin , , , ,059 0, , , ,95 0, ,95 D 3 978, ,78 0, , , ,8 C +56, , , 0, , ,8 C - D +736,63-59, ,8 945,96 0, ,96 Korzystanie ze wzoru (8.8) o kontroli obliczenia azymutu, opiera się na wcześniej wyliczonych przyrostach, a więc nie aje możliwości wykrycia błęu ich obliczenia. Z tego powou można zalecić wykonywanie obliczeń kontrolnych azymutu weług poanego niżej wzoru (8.11), stanowiącego łatwą o wyprowazenia moyfikację wzoru (8.8): tg X Y X Y X Y X Y 45 (8.11) Ze wzoru (8.11) wynika, że różnicę sum współrzęnych tych samych punktów należy pozielić przez różnicę różnic tych współrzęnych. Dość często w prostych zaaniach zawierających obliczanie azymutów ze współrzęnych występują okrągłe wartości kątów np.: 0, 90, 180, 70. jako azymutów boków równoległych o osi ukłau współrzęnych. Wskazują na to wartości przyrostów, z których jeen jest równy zero. Rysunek 8.5 przestawia kwarat, którego pary boków są równoległe o osi x lub y ukłau. oki 1- oraz 3-4 są równoległe o osi y, toteż ich przyrosty: x 1- i x 3-4 są równe zero. oczas obliczania funkcji tg zielnik jest zerowy, przez co iloraz stanowi symbol nieokreślony. Mimo, że wartość funkcji tg nie aje się wyznaczyć, to kąt ma ustaloną wartość, zależną o znaku rugiego przyrostu y. Dla y>0, =90, zaś gy y<0, =70. Dla kwaratu przestawionego na rys. 8.5 azymuty boków równoległych o osi y wynoszą: 1- = 90, 3-4 = 70. oki równoległe o osi x (na rys. 8.5 są to boki: -3, 4- X 1 =X X 3 =X 4 1) posiaają przyrosty y = 0, a więc tangensy azymutów tych boków są też zerowe, natomiast same azymuty mogą przyjmować wartości: 0 ( 4-1 ) i 180 ( -3 ). zymut boku jest O +x Y 1 =Y 4 Y =Y 3 +y Rys zymuty boków i przekątnych

7 Rozz. 8: ostawowe zaania geoezyjne z rachunku współrzęnych 189 równy zero, gy y=0, zaś x>0, natomiast wynosi 180, kiey y=0, zaś przyrost x jest ujemny. Dla boku 1-3, przekątnej kwaratu bezwzglęne wartości przyrostów są równe, lecz x ma znak minus, zaś y znak plus, a więc azymut, zgonie z tabelą 8. znajuje się w II ćwiartce. Otrzymamy zatem: tg =1; = 45; 1-3 = = 135. Z kolei la przekątnej -4, wartości obu przyrostów są równe, lecz ujemne, a więc azymut, zgonie z tabelą 8. znajuje się w III ćwiartce. Otrzymamy zatem: tg =1; = 45; -4 = = Obliczenie współrzęnych punktów posiłkowych Obliczenie współrzęnych punktu na prostej Zaanie obliczenia współrzęnych punktu pośreniego (posiłkowego), położonego na prostej, polega na wyznaczeniu jego współrzęnych X,Y na postawie znanych współrzęnych punktów skrajnych ocinka : X,Y ; X,Y i pomierzonej oległości punktu o jenego z tych punktów (l lub l ). Z zaaniem tym mamy o czynienia barzo często poczas zagęszczania poziomej osnowy pomiarowej, szczególnie zaś wtey, gy o zjęcia szczegółów sytuacyjnych wykorzystuje się metoę ortogonalną. Z punktów posiłkowych na bokach osnowy mogą następnie wychozić boki linii pomiarowych i ciągów sytuacyjnych niższych rzęów. Zaganienie to zostanie przestawione szerzej poczas omawiania osnowy pomiarów sytuacyjnych (ust. 11.). Z rys. 8.6 i wzorów (8.3) wynikają zależności: X = X + x ; Y = Y + y. +x X K rzyrosty: x, y, zgonie z wzorami (8.6), wynoszą: X K y x = l cos ; y = l sin l X zymuty boków i są jenakowe, ponieważ y oba ocinki znajują się na tej samej prostej i mają ten sam zwrot, toteż można zapisać: y x cos cos cos O Y Y Y +y oraz Rys Współrzęne punktu na prostej y sin sin sin Funkcje trygonometryczne azymutu boku : sin, cos obliczone wg wzorów (8.6 a) noszą nazwę współczynników kierunkowych boku. Ostateczne wzory na obliczenie współrzęnych punktu posiłkowego na prostej przyjmą postać: X = X + l cos (8.1) Y = Y + l sin x x Oległość l, stanowi tzw. miarę bieżącą punktu. o jej zmierzeniu należy kontynuować wyznaczanie innych miar bieżących o alszych punktów posiłkowych

8 Obliczenie współrzęnych punktów posiłkowych i zakończyć pomiar oległości na punkcie, w wyniku czego otrzymujemy miarę końcową, czyli ługość boku - pomierzoną. Miara ta powinna być zgona z ługością obliczoną, uzyskaną ze współrzęnych wzorem (8.5). Zgonie z instrukcją techniczną G-4 * różnica pomięzy ługością pomierzoną i obliczoną, czyli ochyłka f, nie może przekraczać ochyłki opuszczalnej obliczonej ze wzoru: f max u c (8.13) gzie: u współczynnik błęów przypakowych pomiarów liniowych (weług instrukcji G-4: u = 0,0059), ługość mierzonego boku wyrażona w metrach, c wpływ błęów położenia punktów nawiązania (wg instr. G-4: c = 0,10 m). Jeśli otrzymana ochyłka f mieści się w ochyłce opuszczalnej, wtey poprawiamy wszystkie miary bieżące znajujące się na anym boku o poprawkę v obliczoną przy założeniu, że błą określenia miary bieżącej wzrasta wprost proporcjonalnie o jej ługości. oprawka v i i-tej miary bieżącej l i wyniesie więc: v i f li (8.14) omierzona ługość końcowa, bęąca miarą bieżącą punktu, otrzyma zatem poprawkę równą całej ochyłce f ze znakiem minus, przez co zostanie oprowazona o ługości obliczonej ze współrzęnych. Kontrolę obliczenia współrzęnych punktu może stanowić rachunek oparty na założeniu, że punktem wyjściowym o obliczenia współrzęnych punktu pośreniego jest teraz punkt. Do obliczenia wykorzystamy zmoyfikowane wzory (8.1) w postaci: X = X + l cos Y = Y + l sin We wzorach tych występuje azymut boku owrotnego, którego funkcje: cos, sin różnią się o tych samych funkcji azymutu wyjściowego tylko przeciwnymi znakami, wynikającymi ze zmiany znaków przyrostów x, y w stosunku o przyrostów boku wyjściowego. otrzebną o obliczeń ługość l otrzymamy jako różnicę: l = l Dla większej ilości punktów posiłkowych położonych na anym boku stosowanie powyższej metoy kontroli rachunku może okazać się zbyt pracochłonne, toteż wygoniej jest korzystać ze sposobu sprawzania obliczeń przestawionego w tabeli 8.6. Obliczenia związane z wyznaczeniem współrzęnych punktu pośreniego na prostej zostały przestawione na przykłazie zamieszczonym w tabeli 8.4. * Instrukcja techniczna o symbolu G-4 nosi tytuł omiary sytuacyjne i wysokościowe.

9 Rozz. 8: ostawowe zaania geoezyjne z rachunku współrzęnych 191 Oznaczenia punktów Tabela 8.4. Obliczenie współrzęnych punktu na prostej Ocięte l Miara końcowa Rzęne h ok osnowy x y obliczone Ochyłki: f, rzyrosty punktów na prostej i omiarach prostokątnych Współrzęne punktów Współczynniki kierunkowe: anych szukanych w w cos = x x = l cos y = l sin prawo lewo pomierzone h sin + h cos X Y + sin = y f max p-45 0,00 p-46 s , ,15-40, ,0-0, , Oznaczenia punktów , ,90 p ,18-15, , , ,77 s8-0,03 0, ,0 04,9 p Obliczenie współrzęnych punktu na omiarze prostokątnym oczas zagęszczania poziomej +x osnowy pomiarowej można wykorzystać X sposób utworzenia oatkowego punktu posiłkowego (rys. 8.7), znajującego się na y X prostopałej (omiarze prostokątnym), wytyczonej węgielnicą z punktu pośreniego l h(+) X na linii pomiarowej utworzonej przez K y punkty, o znanych współrzęnych: X X, Y ; X, Y. Do określenia współrzęnych punktu należy wyznaczyć omiary prostokątne tego punktu tj.: ociętą l równą O Y Y Y Y +y ługości ocinka i rzęną h, której wartość bezwzglęna * jest równa ługości ocinka. unkt posiłkowy znajujący się Rys unkt na omiarze prostokątnym na omiarze prostokątnym może zastąpić często stosowaną w praktyce konstrukcję ciągu wiszącego z pojeynczym bokiem, nazywanego popularnie bagnetem. W przeciwieństwie o wyznaczenia punktu na omiarze prostokątnym, o czego wystarcza węgielnica, założenie takiego bagnetu wymaga użycia teoolitu, którym musimy zmierzyć kąt nawiązania ciągu wiszącego. Z trójkąta prostokątnego K (rys. 8.8) wynikają następujące zależności: K = x = h sin ; K = + y = h cos x Współrzęne punktu wynoszą: a ostatecznie: X = X + x + x Y = Y + y + y X = X + l cos h sin Y = Y + l sin + h cos (8.15) * W zależności o położenia wzglęem boku rzęna h jest także opatrzona znakiem + lub.

10 16,39 65,3 11,14 0,00 Oznaczenia punktow szukanych anych Obliczenie współrzęnych punktów posiłkowych Dwa pierwsze skłaniki wzorów (8.15) zwierają poane wcześniej obliczenie współrzęnych punktu na prostej. Kolejny człon wzorów stanowi wyznaczenie wzłuż ocinka przyrostów współrzęnych: x, y. ostawiając o wzorów wartość rzęnej h, należy uwzglęnić jej znak. Rzęna w prawo otrzymuje znak plus, natomiast rzęna w lewo znak minus. Z rys 8.7 wiać, że w stosunku o położenia punktu omiar prostokątny skierowany w prawo o linii powouje zmniejszenie współrzęnej X, zaś zwiększenie współrzęnej Y. Wynika to również stą, że linia pomiarowa jest osią ociętych prawoskrętnego ukłau prostokątnego z początkiem w punkcie wyjściowym, natomiast oatni kierunek osi rzęnych tego ukłau skierowany jest w prawo. Domiary prostokątne: l ocięta punktu oraz rzęna h są współrzęnymi prostokątnymi punktu w tym ukłazie (rys. 8.8). oobnie jak poczas obliczania współrzęnych punktu na prostej kontrolę rachunku może stanowić powtórne obliczenie współrzęnych punktu po zmianie kierunku obliczenia na owrotny. 54,47 X=105,93 Y=359,0 X=1111,95 Y=607, l Oznaczenia punktów Tabela 8.5. Obliczenie współrzęnych punktu na omiarze prostokątnym Ocięte l Miara końcowa pomierzone Rzęne h w prawo + w lewo ok osnowy x y obliczone Ochyłki: f, f max Współczynniki kierunkowe: cos = x sin = y rzyrosty ocinków x = l cos -h sin Współrzęne punktów y = l sin + h cos X Y , , ,3 55 0,00 +h Rys. 8.8 Szkic o zaania z obliczania współrzęnych punktów na omiarze prostokątnym -93,98 +48,16-0, , ,91 +15, ,31 +5,80 105,93 359, ,39 65, ,35 478, ,04 0,14 KONTROL +93,98-48,16 +0, , ,07 +15,33-134,85 +5, ,95 607, ,95 607, ,0 +16,39 65, ,35 478, ,36 105,93 359,0 54 Obliczenia wynikowe i kontrolne zostały wykonane w tabeli 8.5 na przykłazie, którego ane wyjściowe zapisano na szkicu (rys. 8.9).

11 Oznaczenia punktow 14,56 78,1 187,50 1,40 3,94 47,93 34,75 0,00 Oznaczenia punktow Rozz. 8: ostawowe zaania geoezyjne z rachunku współrzęnych 193 rzy użej ilości punktów posiłkowych, związanych poprzez omiary z anym bokiem osnowy, poany wyżej sposób obliczania ich współrzęnych i kontroli rachunku jest zanato pracochłonny. oobnie jak ma to miejsce poczas obliczania ciągu poligonowego, występujące we wzorach: (8.1) i (8.15) przyrosty liczone wzglęem punktu wyjściowego, można w obu rozajach zaań zastąpić przyrostami obliczanymi mięzy sąsienimi punktami. Ich obliczenie otyczy zarówno omiarów prostokątnych l, h, jak i współrzęnych X, Y i wykonywane jest na zasazie: współrzęna punktu następnego N minus współrzęna punktu poprzeniego. Wzory (8.15) przyjmą wtey postać: x -N = l -N cos h -N sin y -N = l -N sin + h -N cos (8.16) Na rys. 8.9 i w tabeli 8.6 przestawiono ane i przykła obliczenia współrzęnych punktów posiłkowych w oparciu o wzory (8.16). Domiary prostokątne Ocięta l Rzęna h Tabela 8.6. Obliczenie współrzęnych punktów posiłkowych rzyrosty omiarów ociętej l rzęnej h x y obl. f, f max ok osnowy Współczynniki kierunkowe cos sin rzyrosty współrzęnych x= lcos hsin y= lsin +hcos Współrzęne punktów ,00 0,00 +14,3 +0, ,1 751, ,74 0,00 +,65 34, ,89 0, ,75 0,00 495,77 717, ,17 15,68 187,44 14,63 14,33-47,93 15, ,14 70,87 +0,06 0,00 6, ,5-0, ,93, ,37 70, , , ,59 6, ,1 + 3, , , ,43 11,54 7,96 47, ,56 + 1,40 497,00 718, ,9 1,40 7,56 63, ,00 187, , ,95 54 SUMY: 187,44 0, ,3 186,89 3,47 15,68 X Y Rys Szkic o zaania z obliczania współrzęnych grupy punktów posiłkowych

12 Obliczenie współrzęnych punktu zjętego metoą biegunową Nietruno uowonić, że tak obliczane przyrosty omiarów prostokątnych l, h i współrzęnych X, Y muszą spełniać niżej zestawione warunki, które można wykorzystać o kontroli obliczeń * : [l] = ; [h] = 0 ; [x] = x ; [y] = y. Warto zwrócić uwagę, że zaanie obliczania współrzęnych punktów na omiarach prostokątnych jest tożsame z najprostszym przypakiem transformacji współrzęnych przy wóch punktach ostosowania, czyli przeliczania współrzęnych z jenego ukłau, zwanego ukłaem pierwotnym, na inny ukła, zwany wtórnym. Rolę ukłau pierwotnego pełni ukła współrzęnych l, h linii pomiarowej, natomiast ukłaem wtórnym jest ukła OXY. unkty, spełniają rolę punktów ostosowania, których współrzęne są znane w obywu ukłaach, zaś azymut jest opowienikiem kąta skręcenia ukłau pierwotnego w stosunku o ukłau wtórnego. Współrzęne punktu : X, Y są współrzęnymi początku ukłau pierwotnego w ukłazie wtórnym Obliczenie współrzęnych punktu zjętego metoą biegunową Wyznaczenie metoą biegunową położenia sytuacyjnego punktu wzglęem boku osnowy pomiarowej polega na wyznaczeniu omiarów biegunowych: kąta poziomego = i oległości poziomej =. Kąt jest liczony w prawo o boku osnowy o linii celowania (rys. 8.10). N Rys Domiary biegunowe:, określające położenie punktu Etapami rozwiązania tego zaania są: 1) obliczenie azymutu boku ze współrzęnych, ) określenie azymutu boku : = + lub = + 00 g 3) obliczenie przyrostów boku : x = cos ; y = sin 4) obliczenie współrzęnych punktu : X = X + x ; Y = Y + y rzykła: Obliczyć współrzęne punktu la następujących anych: X = Y = 1000,00 m; X = 501,11 m, Y = 645,1 m ; = 30 g 54 c 69 cc ; = 135,78 m. Rozwiązanie: tg =(354,88) : (498,89) = + 0, ; = = 39 g 36 c 19 cc ; = 39 g 36 c 19 cc. Dalsze etapy obliczenia (o o 4) zamieszczono w tabeli 8.7. * Nawias kwaratowy [ ] otaczający symbol oznacza w geoezji znak sumy i jest opowienikiem znaku.

13 unkt unkt Rozz. 8: ostawowe zaania geoezyjne z rachunku współrzęnych 195 Tabela 8.7. Obliczenie współrzęnych punktu zjętego metoą biegunową Kąt poziomy g c cc zymut g c cc Długość boku rzyrosty Współrzęne x y X Y 501,11 645, , , , , ,78-83, ,41 916, , Obliczenie kąta ze współrzęnych Zaanie obliczenia wartości kąta na postawie współrzęnych trzech punktów: C wierzchołka kąta, L punktu na lewym ramieniu, punktu na prawym ramieniu, sprowaza się o obliczenia azymutów obu ramion kąta, czyli ocinków CL i C (rys. 8.11) oraz wyznaczeniu ich różnicy: = C CL (8.17) C CL przy czym: C L Rys Kąt jako różnica azymutów ramion tg tg tg Jeśli obliczona w ten sposób różnica jest ujemna, wówczas, to należy o niej oać wartość kąta pełnego (360 lub 400 g ). Zaletą powyższego sposobu obliczenia jest przejrzystość rachunku i mniejsze prawopoobieństwo pomyłek niż przy korzystaniu ze sposobu wyrażonego wzorem (8.18), natomiast waą sposobu jest konieczność wukrotnego wykonania obliczeń azymutów ze współrzęnych (wraz z kontrolą). Drugi sposób obliczenia kąta ze współrzęnych punktów: C, L, polega na wykorzystaniu niżej wyprowazonego wzoru (8.18). Zgonie z zależnością (8.17) tangens kąta wyniesie: CL C y x CL C CL ; tg C tg CL 1 tg tg tg C C y x o postawieniu powyższych wzorów na tg CL i tg C o wzoru na tg otrzymamy: yc y xc x tg yc y 1 x x C CL CL CL CL C C CL x y y x CL C CL C xcl xc x x y y CL C CL C x CL x C o okonaniu przekształceń tg zostanie wyrażony wzorem: x y x y tg x x y y CL C C CL CL C CL C (8.18)

14 Obliczenie współrzęnych punktów przecięcia się boku osnowy z ramką sekcyjną arkusza mapy Znaczne uproszczenie zapisu wzoru (8.18) na obliczenie kąta ze współrzęnych uzyskamy, stosując omówione w ust symbole rachunkowe S. Hausbranta. Zaletą tego sposobu jest obliczenie funkcji tg, a następnie kąta bezpośrenio z przyrostów współrzęnych, bez potrzeby określania wartości azymutów obu ramion, natomiast waą jest konieczność ustalenia ćwiartki kąta w celu prawiłowego obliczenia wartości kąta, która może mieścić się w przeziale o 0 o 360. oobnie jak poczas obliczania azymutu ze współrzęnych można przy tym korzystać z pośrenictwa czwartaka, traktując znaki licznika i mianownika ułamka we wzorze (8.18) tak samo jak poprzenio znaki przyrostów współrzęnych. rzykła: Obliczyć w mierze stopniowej kąt ze współrzęnych punktów: 1,, s Szkic kąta x CL = +50,00 m ; y CL = 500,00 m ; x C = 450,00 m; y C = 600 m. I sposób: CL = arc tg (-)= , ; C = arctg 4 = ,4 3 s 13 Kontrola obliczenia azymutów: unkt X Y tg ( CL + 45) = , 3 CL+ 45= , ; 1(L) 1000, ,00 tg ( C + 45) = C + 45=780748,4. (C) 750, ,00 s 13() 300,00 900,00 = , , = , II sposób: ( tg 50) ( 600) ( 450) ( 500) (kąt w IV ćw.) ( 50) ( 450) ( 500) ( 600) = arctg = 63605,8 ; = 360 = , 8.7. Obliczenie współrzęnych punktów przecięcia się boku osnowy z ramką sekcyjną arkusza mapy Mapa zasanicza, bęąca postawowym opracowaniem kartograficznym, oraz większość map topograficznych o celów gospoarczych jest sporzązana w poziale sekcyjnym, prostokątnym. ojeynczy arkusz mapy zasaniczej formatu 1 ( mm), zwany sekcją mapy, zawiera w sobie prostokąt ramki sekcyjnej o wymiarach mm, ograniczającej rysunek treści anego arkusza mapy. Rysunek mapy zawarty wewnątrz ramki sekcji bieżącej jest kontynuowany na sekcjach przyległych, bez powtórzeń przestawianych obiektów oraz luk mięzy nimi. ionowe ramki sekcyjne są równoległe o osi x ukłau współrzęnych prostokątnych, natomiast ramki poziome zachowują równoległość o osi y ukłau. oczas sporzązania mapy należy w pierwszej kolejności nanieść osnowę geoezyjną, a następnie sytuację i rzeźbę terenu. Nanoszenie tych elementów na arkusz nazywa się kartowaniem pierworysu mapy. ierworys mapy (oryginał mapy) jest to pierwszy jej rysunek wykonany na postawie wyników bezpośrenich pomiarów w terenie. Oprócz ramki sekcyjnej kolejnym elementem ukłau współrzęnych na mapie zasaniczej jest siatka kwaratów znajująca się wewnątrz ramki. Jeen kwarat siatki ma wymiary mm, a więc ramka zawiera w sobie 40 (58) kwaratów. Wartości współrzęnych poszczególnych punktów przecięć linii siatki można określić na postawie skali mapy, oznaczenia (goła) każej sekcji oraz opisu na każym arkuszu jenego punk-

15 Rozz. 8: ostawowe zaania geoezyjne z rachunku współrzęnych 197 tu, którym jest zwykle lewy, olny narożnik ramki sekcyjnej. oszczególne punkty osnowy poziomej są nanoszone na arkusze ze współrzęnych, zaś po połączeniu na mapie liniami prostymi sąsienich punktów osnowy uzyskujemy położenie boków osnowy, z których w następnym etapie wykonania pierworysu jest prowazone kartowanie szczegółów sytuacyjnych. +x prostokąt ramki sekcyjnej X X N N X R =X M X M xm y M Y Y M M N Y R =Y N Y y N y Rys unkty przecięcia z ramką sekcyjną x N x +y Często zarza się, że bok osnowy przecina jeną lub nawet wie ramki sekcyjne (rys. 8.1), toteż aby możliwe było wykreślenie na arkuszu mapy linii tego boku, należy obliczyć współrzęne punktu jego przecięcia z ramką, a następnie nanieść jego położenie na ramce. Z poobieństwa trójkątów, NN, MM, wiocznych na rys. 8.1, wynikają związki: y y M y N tg (8.19) x x x unkty przecięcia M lub N z racji położenia na ramce posiaają zawsze jeną współrzęną znaną, równą stałej oległości anej ramki o jenej z osi ukłau. Dla wszystkich punktów leżących na ramce poziomej, równoległej o osi y, jest to wartość X R, natomiast la punktów ramki pionowej, równoległej o osi x, stałą i znaną współrzęną jest Y R. Można więc zapisać: X M =X R oraz Y N =Y R. o wprowazeniu tych oznaczeń o wzoru (8.19) i prostych przekształceniach otrzymamy: 1 y M = tg (X R X ) oraz x N = YR Y tg Ostateczny wzór la przecięcia z ramką poziomą przybierze postać: M N Y M = Y + (X R X ) tg (8.0) Szukana współrzęna X N la punktu przecięcia boku z ramką pionową wyniesie: X N = X + (Y R Y ) ctg (8.1) Występujące we wzorach (8.0) i (8.1) funkcje: tg oraz ctg obliczymy z przyrostów boku :

16 YR=5000, Obliczenie współrzęnych punktu przecięcia się wu prostych y tg ; x ctg x y Kontrola naniesienia punktu przecięcia boku osnowy z ramką sekcyjną polega na graficznym sprawzeniu oległości ocinków M lub N wyliczonych uprzenio ze współrzęnych. rzykła: Obliczyć współrzęne punktów M, N przecięcia boku z obiema ramkami sekcyjnymi. 14 N M N N 15 XR=4000,00 N N unkt X Y , , , ,00 x = +10,00 ; y =+110,00 ; tg = 0, ;ctg = 1, Y M = ( ) 0, = 5 004,76 m X N = ( ) 1, = 3 990,91 m 8.8. Obliczenie współrzęnych punktu przecięcia się wu prostych Zaganienie wymienione w powyższym nagłówku występuje często przy geoezyjnym opracowaniu inwestycji lub planów zagospoarowania przestrzennego. rostymi, la których poszukiwane są punkty przecięcia, bywają: osie róg, ulic, buowli, linie obrysów buynków, granice ziałek itp. roste te są najczęściej zaane przez wa punkty o znanych współrzęnych. Na rys wioczne są wie proste: i CD, C przecinające się w punkcie, wspólnym la obywu prostych. unkty:,, C, D mają znane współrzęne: X, Y. I sposób: Na postawie wzoru (8.4) możemy zapisać równania prostych: D Dla prostej 1 (): Y Y Y Y Y Y tg X X X X X X Rys rzecięcie prostych (8.) Dla prostej (CD): tg CD YD YC Y YC YD Y (8. a) X X X X X X D C Funkcje tg = oraz tg CD = nazywamy współczynnikami kierunkowymi prostych. Z przekształceń równań (8.) i (8. a) można uzyskać cztery związki na określenie współrzęnej Y, wyrażone w oparciu o wielkości znane i niewiaomą X : oraz C D Y = Y + (X X ) ; Y = Y C + (X X C ) (8.3) Y = Y + (X X ) ; Y = Y D + (X X D ) (8.3 a)

17 Rozz. 8: ostawowe zaania geoezyjne z rachunku współrzęnych 199 wzoru: o zrównaniu stronami pierwszej pary równań i wyliczeniu X otrzymamy: X Y Y X X C C nalogiczne czynności wykonane na rugiej parze równań (8.3 a) ostarczają X Y Y X X D D (8.4) (8.4 a) Obliczenie współrzęnych punktu przecięcia się wóch prostych w oparciu o powyższe zależności rozpoczynamy o obliczenia współczynników kierunkowych prostych, CD:,, po czym obliczamy współrzęną X za pomocą wzoru (8.4) i kontrolujemy poprawność obliczenia korzystając z rugiego wzoru (8.4 a). Współrzęną Y obliczamy i kontrolujemy za pomocą jenej z par wzorów (8.3) lub (8.3 a), wstawiając o nich wyliczoną wcześniej wartość X. II sposób: Wychoząc ze wzorów: (8.) i (8. a) możemy także zapisać związki: Y λ X = Y λ X Y μ X = Y C μ X C Wyrażenia występujące po prawych stronach powyższych równań zawierają znane wielkości, toteż przyjmiemy la nich oznaczenia: Y λ X = c 1 (8.5) Y C μ X C = c o wprowazeniu tych oznaczeń zapisany uprzenio ukła wóch równań (8.5) o niewiaomych X, Y przyjmie więc postać: Y λ X = c 1 Y μ X = c o ojęciu powyższych równań stronami ostaniemy zależność na współrzęną X, zaś po jej postawieniu o pierwszego równania współrzęną Y. c c X 1 (8.6) c c Y 1 III sposób: oczas obliczania większej ilości przecięć wygoniej jest posługiwać się znanymi z geometrii analitycznej, ogólnymi równaniami prostych w postaci: la prostej 1 (): a 1 X + b 1 Y + c 1 = 0 (8.7) la prostej (CD): a X + b Y + c = 0 (8.7 a)

18 Obliczenie współrzęnych punktu przecięcia się wu prostych Równania prostych (8.) i (8. a) przechozących przez wa znane punkty można zapisać w postaci wyznacznikowej: Y Y y X X x 0 (8.8) Y Y y CD C X X x CD C 0 (8.8 a) rzejście o ogólnych równań prostych 1, uzyskamy po częściowym rozwinięciu powyższych wyznaczników: Y X Y X C C Y x X y Y xcd X ycd y x 0 oraz y x 0 Wynikają stą wzory na współczynniki ogólnych równań (8.7), (8.7 a) obu prostych: CD CD a 1 = y ; b 1 = + x ; c 1 Y y a = y CD ; b = + x CD ; c = Y y C CD X x X x C CD (8.9) (8.9 a) Współrzęne punktu obliczymy po rozwiązaniu ukłau równań (8.7), (8.7 a) np. metoą przeciwnych współczynników. Wzory na niewiaome: X, Y w postaci algebraicznej i wyznacznikowej przyjmą postać: X b c b c b b (8.30) ; Y (8.30 a) a1 b a b1 a1 b1 a1 b a b1 a1 b1 a c c b 1 a c a c Kontrola obliczenia współrzęnych punktu przecięcia się wóch prostych polega na postawieniu obliczonych wartości: X, Y o równań (8.7), (8.7 a) lub (8.8), (8.8 a) i sprawzeniu ich spełnienia, czyli zerowania się pary równań algebraicznych lub obu wyznaczników. Rozbieżności o zera la poprawnych wyników są związane z okłanością obliczenia współrzęnych punktu. Jeśli wynik zaokrąglono o 0,01 m, wtey rozbieżności zerowania równań są rzęu 1 m, zaś przy zaokrągleniach o 0,001 m ochyłki o zera nie przekraczają na ogół 0,1 m. Zaletą opisanego wyżej sposobu obliczenia jest uzyskiwanie obywu niewiaomych X, Y niezależnie o siebie, a nie jak w sposobie I niewiaomej Y za pośrenictwem niewiaomej X, obarczonej błęem zaokrąglenia wyniku. IV sposób: Zaanie obliczenia współrzęnych punktu przecięcia się wu prostych można rozwiązać w wyniku zastosowania konstrukcji kątowego wcięcia w przó (rys. 8.14). W tym celu ze współrzęnych punktów:,, C, D należy obliczyć przynajmniej jeną parę kątów: 1, ; 3, 4; 5, 6 lub 7, 8. Każa z nich umożliwia wykonanie obliczenia zaania a a a 1 c c b 1

19 Rozz. 8: ostawowe zaania geoezyjne z rachunku współrzęnych 01 pojeynczego wcięcia w przó, którego rozwiązanie (patrz ust ) ostarcza współrzęnych punktu. Dla kontroli rachunku wskazane jest obliczenie wóch wcięć, których wyniki końcowe powinny być jenakowe. rzykła: Obliczyć współrzęne punktu 3 powstałego na przecięciu się prostych 11-1 i C D Rys Kąty wcięć w przó (C) 3100,00 940, (D) 900, ,00 I sposób: 1. Obliczenie przyrostów: x = +50,00 ; y = +959,60 ; x 11-1 = -00,00 ; y 11-1 = +859,60. Obliczenie współczynników kierunkowych:, : = 959, , 60 50, 00 19, ; 00, 00 4, Obliczenie X 3 i kontrola obliczenia:,,, 159, 6019, , ,76 3, 49 0 ; X 3 3, , Obliczenie Y 3 i kontrola obliczenia: Y 3 = ,19(3015, ) = 330,46 6 ; Y 3 = 940,40 4,98(3015, ) = 330,46 4 X II sposób: 1. Jak w poprzenim sposobie obliczenia. 3. Obliczenie współczynników c 1, c na postawie wzorów (8.5): c 1 =Y λ X = 3000,00 19, ,00 = 54576,00 c =Y C μ X C = 940,40 + 4, ,00 = +1664,0 4. Obliczenie współrzęnych punktu 3 w oparciu o wzory (8.6): c c , c c ,8784 X 3 = = 3015,76 3, 49 0 ; Y 3 = = 330,46 3, 49 4 III sposób: 1. Obliczenie współczynników równań prostych: a 1 = -959,60 ; b 1 = +50,00 ; c = ,60 50 a = -859,60 ; b = -00,00 ; c = 940, = , Obliczenie niewiaomych: X 3 = = 3015, m ; Y 3 = 46 unkt X Y 45 () 3000, ,00 46 () 3050, , = 330,46 4 m

20 Obliczanie ciągów sytuacyjnych 3. Kontrola: 30, , 760 = -0,096 m 0 ; 959, , , 40 = -0,096 m 0 859, Obliczanie ciągów sytuacyjnych oligonizacja jako metoa zakłaania osnów poziomych Ciąg poligonowy jest wielobokiem otwartym lub zamkniętym, w którym zostały pomierzone kąty wierzchołkowe i ługości boków. Mogą one występować pojeynczo lub tworzyć sieci poligonowe. Ciągi poligonowe po wzglęem kształtu wieloboków zielą się na ciągi zamknięte i otwarte. Sieć poligonowa stanowi zespół powiązanych z sobą ciągów poligonowych łączących się w tzw. punktach węzłowych, czyli punktach wspólnych la kilku ciągów, w których schozą się co najmniej trzy równorzęne ciągi poligonowe. Ciągi sytuacyjne są ciągami poligonowymi spełniającymi wymagania okłanościowe przewiziane la poziomej osnowy pomiarowej. oligonizacja stanowi metoę i technologię zakłaania osnowy poziomej, której punkty zwane punktami poligonowymi, są wierzchołkami wieloboków zamkniętych lub otwartych, w których mierzy się kąty i ługości boków. Wyniki tych pomiarów oraz znane współrzęne punktów nawiązania ciągów lub sieci poligonowych umożliwiają określenie współrzęnych X, Y punktów poligonowych. Dawniej w zależności o ługości boków i ciągów oraz okłaności pomiaru rozróżniano: poligonizację techniczną i precyzyjną. Obecnie po wprowazeniu jenolitej klasyfikacji osnowy poziomej tego poziału już się nie używa. oligonizacja precyzyjna, zastępująca niegyś triangulację niższych rzęów, była głównie wykorzystywana o realizowania okłaniejszych sieci osnów szczegółowych. O poligonizacji technicznej różniła się wysoką okłanością pomiaru kątów i ługości, wyłużonymi bokami poligonowymi oraz obliczeniem współrzęnych punktów poligonowych na roze wyrównania ścisłego. oligonizacja techniczna jest stosowana la niższej klasy osnowy szczegółowej i osnowy pomiarowej. Do obliczania współrzęnych punktów ciągów sytuacyjnych można wykorzystywać omówione alej metoy przybliżone Obliczenie ciągów otwartych, wiszących W ciągu poligonowym, otwartym wyznaczane punkty poligonowe są jenostronnie lub obustronnie połączone z punktami nawiązania za pośrenictwem elementów nawiązujących: boków i kątów nawiązania. ok nawiązania (rys. 8.15) jest ocinkiem zawartym pomięzy punktem nawiązania anego ciągu a najbliższym punktem poligonowym, zaś kąt nawiązania (rys. 8.15) jest kątem mierzonym na bliższym punkcie nawiązania. Jego jeno ramię stanowi bok nawiązania, zaś rugie ramię tzw. bok kierunkowy (orientacyj- punkt kierunkowy kąt nawiązania (lewy) bok kierunkowy 1-1 bok nawiązania kierunek obliczenia Rys Ciąg poligonowy, wiszący 1 punkt nawiązania ciągu punkt poligonowy kąt wierzchołkowy ciągu (lewy) bok poligonowy 1-

21 Rozz. 8: ostawowe zaania geoezyjne z rachunku współrzęnych 03 ny) utworzony przez punkt nawiązania (wierzchołek tego kąta) i sąsieni punkt osnowy wyższej klasy lub rzęu w stosunku o anego ciągu poligonowego. Nawiązanie ciągu poligonowego zawierające obywa elementy nawiązujące nosi nazwę nawiązania pełnego. Jako obowiązującą regułę należy la ciągów otwartych przyjąć pełne nawiązanie obustronne, tzn. wymienione pary elementów nawiązujących powinny znajować się po obu stronach ciągu. W trunych warunkach terenowych opuszcza się jenak w ramach osnowy pomiarowej zakłaanie ciągów otwartych, nawiązanych jenostronnie (jenopunktowo), zwanych także ciągami wiszącymi (rys. 8.15). Ciąg wiszący nie zapewnia kontroli pomiaru ani obliczeń, ponieważ nie zawiera obserwacji naliczbowych. Z tego powou ilość punktów i boków tego ciągu (łącznie z bokiem nawiązania) nie może być większa o wóch. W zależności o położenia kątów wierzchołkowych po określonej stronie ciągu i przyjętego kierunku obliczenia, wyróżniamy w ciągach poligonowych kąty wierzchołkowe: lewe i prawe. Zakłaając, że la ciągu przestawionego na rys bęziemy prowazić obliczenie w kierunku zgonym z następstwem punktów:, 1,, wtey zaznaczone kąty występują po lewej stronie ciągu, a więc są kątami lewymi. Obliczenie ciągu wiszącego ma przebieg poobny o obliczania współrzęnych punktu zjętego metoą biegunową. Kolejność czynności rachunkowych jest następująca: 1. Obliczenie azymutu boku ze współrzęnych (z kontrolą).. Obliczenie azymutów boków: -1, 1-. Z rysunku 8.16 wynika, że: n = p oraz = 180, stą la kątów lewych azymuty boków oblicza się weług formuły: n = p (8.31) 180 Jest to wzór na obliczenie azymutu boku następnego n na postawie azymutu boku poprzeniego p i kąta lewego zawartego mię- Rys Określenie azymutu n zy tymi bokami. Kąt prawy jest opełnieniem kąta lewego o 360, czyli: = 360, toteż po postawieniu tej zależności za, otrzymamy wzór na obliczenie azymutów na postawie kątów prawych: n = p (8.3) 3. Obliczyć przyrosty boków -1 i - na postawie wzorów (8.6): x = cos ; y = sin 4. rzeprowazić kontrolę obliczenia przyrostów. Obliczone przyrosty x,y należy sprawzić za pomocą jenego z wielu możliwych o zastosowania sposobów. Jenym z nich jest ponowne obliczenie przyrostów w oparciu o wzory kontrolne: przy czym: x = S + C y= S C p n p =p-n 1 (8.33)

22 Oznaczenia punktow Oznaczenia punktow Obliczanie ciągów sytuacyjnych S = sin 45 oraz C = 45 Uzasanienie powyższych wzorów jest następujące: cos (8.34) sin ( + 45) = sin + cos oraz cos ( + 45) = cos sin o oaniu i ojęciu tych równań stronami otrzymamy: sin ( + 45) + cos ( + 45) = cos oraz sin ( + 45) cos ( + 45) = sin, o obustronnym pomnożeniu obywu powyższych równań przez uzyskamy wzory na przyrosty: sin ( + 45) + cos ( + 45) = cos = x oraz sin ( + 45) cos ( + 45) = sin = y, o wprowazeniu o powyższych związków wielkości S, C wyrażonych wzorami (8.34), ostaniemy wzory (8.33). 5. Obliczyć współrzęne X N, Y N punktów następnych na postawie współrzęnych X, Y punktów poprzenich i przyrostów mięzy tymi punktami wg wzorów (8.3): X N = X + x -N ; Y N = Y + y -N rzykłaowe obliczenie ciągu wiszącego, przestawionego rys zamieszczono w tabeli 8.8. rzykła: Obliczyć współrzęne punktów 1, ciągu wiszącego, nawiązanego o punktu, na postawie następujących anych: Kąty poziome - lewe, - prawe X = Y = 1000,00 m ; X = 850,30 m, Y = 150,40 m; = 149,857 g, 1 = 30,140 g ; -1 = 11,50 m, 1- = 04,1 m. zymuty Tabela 8.8. Obliczenie ciągu sytuacyjnego wiszącego Długości boków rzyrosty Kontrola przyrostów Współrzęne Uwagi szkice S x=s+c x y X Y g c cc g c cc +50 g C y=s C , , ,30 150,40 85, ,50 +30, ,49 +74,3 +30,98 133, ,5 +117, ,8 1367, ,1-43, ,39 144, ,85-43,69 163, , ,39 837, ,8 Obliczenie azymutu ze współrzęnych: tg = (+50,40):( -149,70) II ćw. =65,6969 g =134,3031 g Kontrola: tg(+50 g )= 100, , 10 II ćw. =15,6969 g +50 g =184,3031 g

23 Rozz. 8: ostawowe zaania geoezyjne z rachunku współrzęnych Obliczenie ciągów otwartych, obustronnie nawiązanych Obliczenie ciągu wiszącego jest zaaniem jenoznacznie rozwiązywalnym ponieważ ilość spostrzeżeń n, czyli łączna liczba pomierzonych boków i kątów w tym ciągu, jest równa ilości niewiaomych u, którymi są szukane współrzęne X, Y punktów poligonowych. W przeciwieństwie o ciągu wiszącego, zaanie obliczenia ciągu obustronnie nawiązanego (z nawiązaniem pełnym) oznacza się trzema spostrzeżeniami naliczbowymi. Ciąg pokazany na rys zawiera łącznie 9 elementów pomierzonych (5 kątów i 4 ługości), zaś 3 punkty poligonowe ostarczają sześciu niewiaomych (X, Y). Ilość spostrzeżeń naliczbowych n u jest więc równa 3 i otyczy to każego ciągu z pełnym nawiązaniem kątowym i liniowym, niezależnie o liczby boków. Trzy obserwacje naliczbowe ostarczają trzech warunków, a te z kolei trzech ochyłek pomięzy wartościami pomierzonymi i teoretycznymi. oczas przybliżonego wyrównania tego ciągu ochyłki te otyczą sumy kątów oraz sum obywu przyrostów. Ciąg poligonowy otwarty, z pełnym nawiązaniem obustronnym posiaa z każej strony po wa elementy nawiązania (kąt i bok), którymi jest geometrycznie połączony z punktami osnowy wyższej klasy lub rzęu. Ciąg pokazany na rys ma zaznaczone pełne nawiązanie o punktów:, C za pomocą elementów, -1 i C, 3-C. Możliwe jest również obliczenie ciągu poligonowego z obustronnym nawiązaniem niepełnym, w którym brak jenego lub nawet wóch kątów nawiązania. W tym ostatnim przypaku obserwacje ciągu zawierają i tak jeno spostrzeżenie naliczbowe, zapewniające kontrolę wyników pomiaru i obliczeń. kierunek obliczenia C 3 1 C C D Rys Ciąg poligonowy otwarty, obustronnie nawiązany oany alej sposób obliczenia ciągu otwartego, nawiązanego obustronnie stanowi wyrównanie przybliżone, opuszczalne o stosowania tylko la osnowy pomiarowej. Dla sieci osnów szczegółowych wymagane jest wyrównanie ścisłe, którego zasay zostaną poane na zajęciach z rachunku wyrównawczego. Czynności związane z wyznaczeniem współrzęnych punktów ciągu otwartego, obustronnie nawiązanego zawierają omówione wcześniej elementy postępowania związanego z obliczaniem ciągu wiszącego, lecz ze wzglęu na trzy warunki wynikające z tej samej ilości obserwacji naliczbowych, obejmują także obliczenie ochyłki kątowej f kt i wóch ochyłek przyrostów f x, f y oraz rozrzucenie tych ochyłek na wspomniane elementy, zapewniając po roze wielostopniową kontrolę rachunkową większości etapów obliczeń. Wartości ochyłek umożliwiają również weryfikację wyników pomiaru na postawie porównania ochyłek otrzymanych z opuszczalnymi (maksymalnymi), poanymi w opowienich instrukcjach technicznych. W celu obliczenia współrzęnych punktów poligonowych ciągu otwartego, obustronnie nawiązanego metoą przybliżoną trzeba wykonać następujące czynności: 1. Na postawie zienników pomiarowych, szkicu osnowy i wykazów współrzęnych wpisać o formularza obliczeniowego (tabela 8.9) ane wyjściowe: oznaczenia

24 Obliczanie ciągów sytuacyjnych punktów, śrenie wartości kątów wierzchołkowych, zreukowane ługości boków i współrzęne punktów nawiązania ciągu. W formularzu należy też zaznaczyć jenostki, w których wyrażone są kąty (stopnie lub gray) i rozaj kątów przyjętych o obliczenia (kąty prawe albo lewe). W kol. 13 Uwagi można też wykonać szkic ciągu.. Obliczyć (wraz z kontrolą) azymuty boków kierunkowych: azymut początkowy ( ) i azymut końcowy K ( CD ), a następnie wpisać je w opowienich pozycjach w kol. 3 formularza. Obliczenie azymutów kierunkowych można zamieścić w kol. 13 Uwagi, szkice. 3. Obliczyć sumę praktyczną kątów poziomych: lewych [ ] p lub prawych [ ] p i wpisać ją w kol. po wartościami kątów. 4. Obliczyć sumę teoretyczną kątów [ ] t lub [ ] t na postawie opowieniego wzoru: la kątów lewych: [ ] t = K + n180 (8.35) la kątów prawych: [ ] t = K + n180 (8.36) gzie: n liczba pomierzonych kątów. Wyprowazenie tych wzorów poamy w oparciu o oznaczenia z rys Zgonie ze wzorem (8.9) azymuty kolejnych boków ciągu wyniosą: -1 = = = C = CD = 3-C + C 180 Suma: CD = +[ ] n180 o posumowaniu powyższych równań stronami i uporząkowaniu zapisu uzyskamy reukcję większości azymutów z wyjątkiem azymutów nawiązujących. o wprowazeniu oznaczeń: oraz CD K,. otrzymamy wzór: K = + [ ] t n180, z którego po niewielkim przekształceniu wynika wzór (8.35). Dla kątów prawych zapiszemy zależność: a stą związek: [ ] = [ 360 ] = n360 [ ], K = + n360 [ ] n180, który po przekształceniu aje wzór (8.36) na sumę teoretyczną kątów prawych. 5. Obliczenie ochyłki kątowej f kt otrzymanej jako różnica sumy praktycznej i sumy teoretycznej kątów ciągu. f kt = [ ] p [ ] t (8.37) f kt = [ ] p [ ] t (8.37 a)

25 Rozz. 8: ostawowe zaania geoezyjne z rachunku współrzęnych Obliczenie ochyłki kątowej opuszczalnej (maksymalnej) f kt max. zgonie z wymaganiami instrukcji G-4 i porównanie z nią ochyłki otrzymanej f kt. Ochyłka otrzymana nie może przekraczać ochyłki opuszczalnej, czyli: f kt f kt max (8.38) rzekroczenie ochyłki maksymalnej świaczy o namiernych błęach pomiaru, który w tym wypaku należy powtórzyć. rzy zakłaaniu osnowy pomiarowej na większym obszarze la ok. 30% ciągów sytuacyjnych można zwiększyć tolerancję i uwzglęnić ochyłki ochozące o wartości f kt max. Weług instrukcji G-4 opuszczalna ochyłka kątowa la ciągów sytuacyjnych jest obliczana na postawie wzoru: f kt max = m 0 n (8.39) gzie: m 0 śreni błą pomiaru kąta, który przyjmuje się jako: m 0 = 60 (180 cc ) la ciągów o ługości o 1, km, m 0 = 30 (90 cc ) la ciągów o ługości pona 1, km. Długość ciągu L jest sumą ługości wszystkich pomierzonych boków tego ciągu (łącznie z bokami nawiązania). Wartość opuszczalnej ochyłki kątowej można również określić z tabeli znajującej się w załącznikach na końcu instrukcji G Rozrzucić równomiernie otrzymaną ochyłkę kątową na poszczególne kąty. Każy pomierzony kąt poziomy uzyska poprawkę v kt wyrażoną w sekunach lub ecymiligraach, wynoszącą: f kt vkt (8.40) n Jeśli zielenie (-f kt ):n powouje powstanie reszty, czyli obliczone poprawki zawierają część całkowitą i ułamek ziesiętny, to zaokrąglamy poprawki raz w górę a rugi raz w ół o pełnych sekun (lub cc ), lecz przy tym należy oprowazić sumę poprawek okłanie o wartości f kt (patrz przykła w tab. 8.9). oprawki wpisujemy kolorem czerwonym na wartościami kątów w kol.. 8. Obliczenie weług wzoru (8.9) lub (8.30) azymutów boków na postawie wartości azymutu początkowego i poprawionych kątów. Kontrolą obliczenia azymutów jest uzyskanie na końcu rachunku niezmienionego azymutu końcowego K. 9. Obliczenie przyrostów współrzęnych x, y poszczególnych boków na postawie wzorów (8.6) 10. Kontrola obliczenia przyrostów w oparciu o wzory (8.33) i (8.34). 11. Obliczenie sum przyrostów: praktycznych: [x] p, [y] p i teoretycznych: [x] t, [y] t. Sumy teoretyczne przyrostów są równe różnicy współrzęnych punktów nawiązania (punkty, C na rys. 8.17) końcowego K i początkowego. [x] t = X K X (8.41) [y] t = Y K Y 1. Obliczenie ochyłek przyrostów: f x, f y oraz ochyłki liniowej f L. Ochyłki przyrostów są różnicami pomięzy sumami praktycznymi i teoretycznymi opowienich przyrostów współrzęnych:

26 Obliczanie ciągów sytuacyjnych f x = [x] p [x] t (8.4) f y = [y] p [y] t Ochyłka liniowa otrzymana w anym ciągu jest równa pierwiastkowi z sumy kwaratów ochyłek przyrostów: f L = f f (8.43) x 13. Obliczenie ochyłki liniowej opuszczalnej f L max. i porównanie z nią ochyłki f L otrzymanej. Ochyłka ta nie może przekroczyć ochyłki opuszczalnej, czyli: y f L f L max (8.44) Zgonie z instrukcją G-4 ochyłkę opuszczalną f L max należy obliczyć na postawie wzoru: f L max = u m0 L n 1n b 1n b b L c (8.45) gzie: L ługość ciągu wyrażona w metrach, u współczynnik błęów przypakowych pomiarów liniowych (wg G-4 u = 0,0059), n b ilość boków ciągu, c wpływ błęów położenia punktów nawiązania (wg instr. G-4 c = 0,10 m). Dla ok. 30% ciągów można opuścić ochyłki ochozące o wartości f L max. Wartości ochyłek liniowych maksymalnych są zestawione w tabeli znajującej się w załącznikach o instrukcji G Rozrzucenie ochyłek przyrostów proporcjonalnie o ługości boków. oprawki przyrostów wyniosą: v x i f x i L f y y (8.46) oraz vi i L (8.46 a) gzie: L ługość ciągu w metrach, i ługość i tego boku, la którego obliczana jest poprawka przyrostu. oprawki należy zaokrąglić o pełnych centymetrów, zaś ich suma musi być okłanie równa ochyłce przyrostów ze znakiem przeciwnym. Wartości poprawek wpisuje się kolorem czerwonym na przyrostami. Wartości poprawek przyrostów można też obliczać proporcjonalnie o bezwzglęnej wartości przyrostów 15. Obliczenie współrzęnych punktów poligonowych: X N, Y N na postawie współrzęnych punktów poprzenich: X, Y i przyrostów poprawionych: x -N, y -N : X N = X + x -N Y N = Y + y -N rzykła: Obliczyć współrzęne punktów: 1,, 3 w ciągu sytuacyjnym otwartym, nawiązanym obustronnie o punktów:, C (rys. 8.17).

27 Ozn. punktu Ozn. punktu Rozz. 8: ostawowe zaania geoezyjne z rachunku współrzęnych 09 Tabela 8.9. Obliczenie ciągu sytuacyjnego otwartego, nawiązanego obustronnie Kąty lewe prawe g c cc zymuty oki rzyrosty Kontrola przyrostów Współrzęne Uwagi, obliczenia S x=s+c x y +50 g X Y C y=s -C g c cc , , , ,80 C D []p []t fkt fkt max , , , ,88 L =736,30 03 fx= 0, fl= 0, , , , ,43 p=-90,60 p=+63,64 t=-90,50 t=+63,75 fy= 0,11 fl max=0,1 106, ,89 193, ,51 141, ,41 147, ,46 14,097 0,5951-5,06-13,99 149, ,77 17, ,66-94,6 +116,40 +6, ,87-19, ,93-73, ,43 000, ,00 Obliczenie azymutu ze współrzęnych: tg = (+300,00):( 010, , , , , ,3 1793, , ,50 393,75 C 141, ,10 D +10,00) I ćw. = =97,8787 g Kontrola: tg (+50g ) = 310, 00 90, 00 =5,113 g +50 g = 147,8787 g tgcd=(+66,35):(-98,40) II ćw. =46,3910 g CD=153,6090 g Kontrola: tg (+50 g ) = 3, , 75 =3,6090 g +50 g = 03,6090g

28 Oznaczenia punktow Oznaczenia punktow Obliczanie ciągów sytuacyjnych Obliczenie ciągów poligonowych zamkniętych Ciąg poligonowy zamknięty jest wielobokiem zamkniętym, w którym zostały pomierzone kąty wierzchołkowe i ługości boków. rzeważnie stanowi on osnowę niezależną, czyli nie nawiązaną o osnowy wyższej klasy lub rzęu, zakłaaną la pomiaru sytuacyjnego małego obszaru np. ziałki, kompleksu buynków itp., Jest też osnową barzo często wykorzystywaną o celów yaktycznych. Danymi wyjściowymi o obliczenia ciągu zamkniętego oprócz pomierzonych w terenie kątów i ługości są współrzęne jenego wierzchołka i azymut owolnego boku. W ciągu zamkniętym pokazanym na rys i przykłazie obliczonym w tabeli 8.10 ane są współrzęne punktu 1 i azymut boku 1-. rzebieg obliczeń ciągu zamkniętego jest poobny o obliczenia ciągu otwartego, nawiązanego obustronnie. Różnice występują tylko na etapie określania sum teoretycznych kątów i przyrostów. W ciągu zamkniętym oprócz otyczącego wszystkich rozajów ciągów poligonowych poziału kątów na lewe i prawe można też wyróżnić kąty wewnętrzne i zewnętrzne. Sumy teoretyczne kątów wewnętrznych i zewnętrznych wieloboku zamkniętego wynoszą opowienio: Suma kątów wewnętrznych = (n ) 180 (8.47) Kąty poziome - lewe, - prawe N zymuty -3 kierunek obliczenia ciągu Rys Ciąg poligonowy zamknięty Suma kątów zewnętrznych = (n + ) 180 (8.47 a) Tabela Obliczenie ciągu sytuacyjnego, zamkniętego Długości boków rzyrosty Kontrola przyrostów Współrzęne x y S C x=s+c y=s C X Y , , ,199-84,36-198, ,10-198,83 +30, ,47 +30, , , , ,06-199, ,30-199,1-8, ,16-8, , , ,17-81,51-1, ,50-1,00-151, ,51-151, , , ,5 +10,44-40,1 151, ,1 +10, ,33-40, , , , ,6 +190,0 194, ,8 +199, , ,0 1 1 L=1043,75 p=+0,0 p=0,00 []p t = 0 t =0 []t fx =+ 0,0 fy = 0,00 fkt +0 5 fl =0,0 flmax=0,5 fkt max 14 Uwagi szkice

29 Rozz. 8: ostawowe zaania geoezyjne z rachunku współrzęnych 11 Jeśli kierunek obliczenia jest zgony z ruchem wskazówek zegara, wtey kąty wewnętrzne ciągu zamkniętego są jenocześnie kątami prawymi (rys. 8.18). o zmianie tego kierunku kąty wewnętrzne staną się kątami lewymi. Obliczanie przyrostów boków rozpoczyna się i kończy w tym samym punkcie, toteż sumy teoretyczne obywu rozajów przyrostów są w ciągu zamkniętym równe zero, toteż ich sumy praktyczne stanowią jenocześnie ochyłki przyrostów: [x ] t = 0 ; [y ] t = 0 oraz [x ] p = f x ; [y ] p = f y (8.48) Kontrolą obliczenia azymutów boków ciągu zamkniętego jest otrzymanie azymutu końcowego ientycznego z anym azymutu boku wyjściowego po wcześniejszym wyznaczeniu wszystkich szukanych azymutów i ojściu z obliczeniem o boku początkowego. oobnie przebiega sprawzenie obliczenia współrzęnych punktów poligonowych, ponieważ po okonaniu procesu obliczeniowego la wszystkich punktów szukanych ochozimy z obliczeniem o punktu wyjścia o znanych współrzęnych, które na tym etapie powinniśmy uzyskać w postaci niezmienionej. Wykrycie przy tej kontroli niewielkiej rozbieżności jest najczęściej spowoowane nieuwzglęnieniem poprawki kąta lub przyrostu. Ciąg zamknięty może być osnową niezależną lub stanowić konstrukcję geometryczną nawiązaną jenopunktowo z orientacją. W rugim przypaku o wieloboku zamkniętego włącza się punkt nawiązania, oraz mierzy kąt nawiązania zawarty pomięzy bokiem ciągu a bokiem kierunkowym (rys. 8.19). Obliczenie takiego ciągu można przeprowazić na zasazie obliczenia ciągu obustronnie nawiązanego o tego samego punktu nawiązania i boku kierunkowego. Rys Nawiązanie jenopunktowe z orientacją Symbole rachunkowe Stefana Hausbranta Wiele zaań z rachunku współrzęnych wykazuje pewne powtarzające się ziałania, możliwe o ujenolicenia i usprawnienia w wyniku zastosowania symboli rachunkowych wprowazonych w tym celu przez Stefana Hausbranta. Symbole te znacznie ułatwiają i systematyzują obliczenia wykonywane za pomocą kalkulatora. ostawowym pojęciem w symbolice Hausbranta jest forma rachunkowa prosta, stanowiąca czteroelementowy zespół liczb, ujętych w prostokątną tabelę: f a b (8.49) c Forma rachunkowa jest tylko sposobem zapisu liczb i nie określa żanych ziałań matematycznych prowazących o wyznaczenia konkretnej liczby. Są one możliwe jeynie po ustaleniu określonej funkcji formy rachunkowej. Forma rachunkowa złożona skłaa się z wóch lub większej ilości form rachunkowych prostych zapisanych obok siebie np. F a c b a c b an bn... (8.50) c W rachunkach geoezyjnych stosowane są następujące funkcje obliczane z form rachunkowych: n n

30 Symbole rachunkowe Stefana Hausbranta F F (1) [1] 1) Funkcja pierwsza (iloczyn wyznacznikowy) jest to suma wyznaczników rugiego stopnia obliczonych z poszczególnych form rachunkowych prostych: F 1 = a 1 1 b 1 c 1 +a b c +...+a n n b n c n = (a i i - b i c i ) (8.51) ) Funkcja ruga (iloczyn kolumnowy) jest to suma iloczynów par elementów znajujących się w poszczególnych kolumnach formy rachunkowej: F = a 1 c 1 +b 1 1 +a c +b +...+a n c n +b n n = (a i c i +b i i ) (8.5) 3) Funkcja zerowa (iloraz główny) jest to stosunek funkcji pierwszej o rugiej: F1 F0 (8.53) F 4) Funkcje wzglęne proste stanowią ilorazy funkcji pierwszej lub rugiej przez sumę elementów olnego lub górnego wiersza formy rachunkowej. W zależności o tego który wiersz polega sumowaniu, symbol funkcji: (1) lub () umieszcza się u ołu lub u góry symbolu formy: F1 ; F ( c ) i i () F ; F ( c ) i i (1) F1 ; F ( a b ) i i () F ( a b ) i i (8.54) 5) Funkcje wzglęne kwaratowe są ilorazami funkcji pierwszej lub rugiej przez sumę kwaratów elementów olnego lub górnego wiersza formy. oobnie jak poprzenio w zależności o tego, czy sumujemy kwaraty elementów olnego, czy górnego wiersza, opowieni symbol funkcji jeynkę lub wójkę w nawiasie kwaratowym lub małym kwaracie umieszczamy u ołu lub u góry symbolu formy: F ( c 1 i i ; F ) [] F ( c i i ; F ) [1] F ( a b 1 i i ; F ) [] F ( a b i i ) (8.55) Należy pamiętać, że oznaczenie formy rachunkowej np. f, g, F,, itp. oznacza pewien zapis zespołu liczb lub symboli algebraicznych, zaś ziałania matematyczne wykonuje się na nich opiero po wpisaniu symbolu opowieniej funkcji, który można poawać zarówno przy oznaczeniu formy, jak również poza jej tabelą. Za pomocą zefiniowanych symboli możemy więc zapisać wzory la wcześniej omówionych wóch zaań z rachunku we współrzęnych: a) Wzory (8.15) na obliczenie przyrostów współrzęnych punktu na omiarze prostokątnym: l h x ; y (8.56) sin cos Zapis obok siebie wóch symboli funkcji ozielonych przecinkiem oznacza, że pierwsza z nich onosi się o x, zaś następna o y. b) Wzór (8.18) na obliczenie kąta ze współrzęnych: tg x CL ycl (8.57) xc yc 0 1,

31 Rozz. 8: ostawowe zaania geoezyjne z rachunku współrzęnych Obliczanie wcięć pojeynczych Wcięcia pojeyncze są prostymi, jenoznacznie wyznaczalnymi zaaniami geoezyjnymi, mającymi na celu określenie współrzęnych X, Y najczęściej jenego N N lub znacznie rzaziej wóch punktów (w zaaniach Hansena i Mareka). Wynika stą, że przy obliczaniu wcięć pojeynczych nie występują spostrzeżenia naliczbowe, a tym samym problem wyrównania. Zawierają one tyle spostrzeżeń n, ile jest to konieczne o jenoznacznego określenia u niewiaomych (n = u), którymi są współrzęne punktu wcinanego. Ilość obserwacji przekraczają- ca ilość niewiaomych występuje natomiast Rys Kątowe wcięcie w przó w konstrukcjach wcięć wielokrotnych. Główne zaania wcięć to zagęszczanie poziomej osnowy geoezyjnej, wyznaczenie położenia punktów ostępnych i nieostępnych w pracach inwentaryzacyjnych i poczas pomiarów okształceń i przemieszczeń Kątowe wcięcie w przó Kątowe wcięcie w przó polega na określeniu współrzęnych punktu wcinanego na postawie pomiaru kątów poziomych:, w trójkącie (rys. 8.0) ze stanowisk, o znanych współrzęnych. Ocinek nazywa się bazą wcięcia, zaś celowe łączące punkty znane z punktem szukanym, noszą nazwę celowych w przó, o której wywozi się nazwa tego wcięcia. Rozwiązanie zaania ma charakter jenoznaczny, ponieważ w trójkącie znane są tylko trzy elementy: ługość bazy określona przez współrzęne punktów, oraz wie obserwacje kątowe:,. Kolejność czynności prowazących o obliczenia współrzęnych punktu wcinanego jest następująca: 1. Obliczyć azymut i ługość boku ze współrzęnych.. Obliczyć azymuty boków wcinających,. Zgonie z rys. 8.0 azymuty te wynoszą: = + oraz =. 3. Obliczyć ługości boków, na postawie twierzenia sinusów: sin ; = sin sin ( ) sin ( ) 4. Obliczyć przyrosty boków wcinających: x = cos, y = sin y = cos, y = cos. 5. Dwukrotnie obliczyć współrzęne punktu na postawie: a) współrzęnych punktu i przyrostów boku : X = X + x ; Y = Y + y, b) współrzęnych punktu i przyrostów boku : X = X + x ; Y = Y + y.

32 Obliczanie wcięć pojeynczych Zgoność obywu par wyników stanowi kontrolę rachunkową. 5. Dokonać kontroli współrzęnych punktu polegającej na wukrotnym określeniu trzeciego kąta trójkąta : a) jako opełnienie kątów pomierzonych o 180 pom. = 180 (+ ) b) na postawie współrzęnych punktów:,,. Oba wyniki powinny być z sobą zgone. Ten stosunkowo przejrzysty przebieg obliczeń, polegający na rozwiązaniu trójkąta jest jenak wieloetapowy i ość pracochłonny. Zaanie obliczenia wcięcia w przó można rozwiązać szybciej stosując wzór oparty na pomocniczych symbolach rachunkowych Hausbranta: X Y X Y ( X, Y ) 1 ctg 1 ctg 1, ( ) (8.58) Zaletą obliczeń za pomocą wzoru (8.58) jest otrzymywanie wyników po postawieniu anych wyjściowych o formy rachunkowej i wykonaniu jenego ciągu obliczeń, bez potrzeby notowania rezultatów etapów pośrenich. o przekształceniu symboli rachunkowych Hausbranta na postać algebraiczną otrzymamy: X Y X ctg Y X ctg Y ctg ctg X Y X Y ctg ctg ctg ctg (8.59) Zestawiając formę rachunkową poaną we wzorze (8.58) należy przypisać punktom znanym i pomierzonym kątom,, prawiłową konfigurację zgoną z rys. 8.0, weług której punkt i kąt muszą znajować się po prawej stronie bazy wcięcia. Zmiana konfiguracji (punkt z lewej strony) powouje otrzymanie błęnego wyniku obliczeń. Kontrolę wcięcia przeprowazamy tak jak w poprzenim sposobie tj. poprzez wukrotne obliczenie kąta : a) z opełnienia kątów, pom. = 180 (+ ), b) ze współrzęnych punktów,, po ostosowaniu wzoru (8.57): tg Δx Δy obl. Δx Δy 0 Trójkąt powinien być tak zbuowany, aby kąt zawierał się w przeziale o 30 o 150. Wynik wcięcia w przó jest najokłaniejszy, gy boki wcinające, przecinają się po kątem prostym, a więc gy: =90. Zaletą kątowego wcięcia w przó jest możliwość określania współrzęnych punktów nieostępnych. Z uwagi na to, że omawiane zaanie jest jenoznacznie wyznaczalne, a więc nie zapewnia kontroli obserwacji, zaleca się pomiar elementu kontrolnego np. oatkowego kąta, boku, wysokości trójkąta. Jeśli wcina się jenocześnie kilka punktów, wtey elementami sprawzającymi mogą być zmierzone w terenie i obliczone ze współrzęnych oległości mięzy punktami wyznaczanymi.

33 Rozz. 8: ostawowe zaania geoezyjne z rachunku współrzęnych Wcięcie liniowe Wcięcie liniowe jest konstrukcją jenoznacznie wyznaczalną, polegającą na określeniu współrzęnych punktu wcinanego, na postawie wu oległości pomierzonych pomięzy punktem a woma punktami znanymi,. Konstrukcję wcięcia liniowego stanowi trójkąt (rys. 8.1), którego postawą jest baza wcięcia utworzona przez punkty, o znanych współrzęnych, wierzchołkiem punkt wyznaczany, zaś ramionami są boki wcinające o pomierzonych ługościach : = b oraz = a (rys. 8.1). Wcięcie liniowe jest wykorzystywane o zagęszczania osnowy pomiarowej i zejmowania szczegółów sytuacyjnych poprzez same pomiary liniowe, bez potrzeby użycia węgielnicy i teoolitu. Obliczenie wcięcia liniowego można zrealizować poprzez jego zamianę na wcięcie kątowe w przó. o obliczeniu ługości ocinka (c=) ze współrzęnych, wyznaczymy kąty, (oraz kąt - la kontroli) z twierzenia Carnota (cosinusów) na postawie znanych ługości boków trój- kąta : cos a b c Ca a bc bc b h cos a b c Cb (8.60) ac ac cos a b p q c Cc c=p+q ab ab Rys Wcięcie liniowe Kontrola: + + = 180 Wyrażenia C a, C b, C c noszą nazwę karnotianów, zaś ich suma jest równa sumie kwaratów boków trójkąta, co można wykorzystać o kontroli ich obliczenia: C a +C b +C c = a +b +c (8.61) Nieco łatwiej można wyznaczyć wartości kątów trójkąta,,, stosując twierzenie Carnota tylko la określenia jenego z nich, zaś la pozostałych wóch twierzenie sinusowe. Wygonym sposobem rozwiązania wcięcia liniowego w przó jest zastosowanie pomocniczych symboli rachunkowych Hausbranta i obliczenie współrzęnych punktu w oparciu o wzór: X Y X Y ( X, Y ) (8.6) 4 Cb 4 Ca ( 1,) o oprowazeniu wzoru (8.61) o postaci algebraicznej otrzymamy: Y X X Cb Y 4 X Ca Y 4 C C X Y C X Y C 4 4 C C a b a a b b

34 Wyraz 4 jest poczwórnym polem trójkąta, które obliczymy na postawie karnotianów ze wzoru: 4 Ca Cb Ca Cc Cb Cc (8.63) Dokłaność określenia współrzęnych punktu za pomocą wcięcia liniowego w przó zależy o okłaności pomiaru boków i kształtu trójkąta. Najkorzystniejsze wcięcie ma miejsce wtey, gy boki, przecinają się po kątem prostym Obliczenie omiarów prostokątnych ze współrzęnych Główne elementy planów realizacyjnych prze wyznaczeniem w terenie muszą być opracowane geoezyjnie poprzez jenoznaczne określenie ich położenia za pomocą współrzęnych. Ze współrzęnych oblicza się następnie miary potrzebne o wyniesienia projektu w teren i wprowaza je o szkiców okumentacyjnych, wykorzystywanych poczas tyczenia obiektów. Jeśli metoą tyczenia bęzie metoa ortogonalna, to należy przeliczyć współrzęne lokalizujące obiekty na mapie projektu na omiary prostokątne. Zaanie to jest owrotnością zaania, polegającego na obliczeniu współrzęnych punktów na omiarach prostokątnych, omówionego w ust Do wytyczenia metoą rzęnych i ociętych punktu o znanych współrzęnych, należy określić omiary prostokątne l, h wzglęem boku osnowy realizacyjnej, wyznaczonego przez wa punkty, o znanych współrzęnych. Zgonie z wzorami (8.15) i (8.55) przyrosty współrzęnych na ocinku wyniosą: x = l cos h sin y = l sin + h cos omnóżmy obustronnie powyższe równania najpierw przez cos, a następnie przez ( sin ). Otrzymamy wtey wie pary równań, które oamy stronami: x cos = l cos h sin cos y sin = l sin + h sin cos x cos + y sin = l x sin = l sin cos + h sin +y cos = +l sin cos + h cos x sin + y cos = h o uporząkowaniu równań sumowych wzory na omiary prostokątne obliczone ze współrzęnych punktów:,, przyjmą postać: l = y sin + x cos h = y cos x sin Wzory (8.64) można zapisać za pomocą symboli rachunkowych S. Hausbranta: (8.64) y x ( h, l) sin cos 1, (8.65) Oznaczenia przyrostów występujących we wzorach (8.64), (8.65) wskazują na ich obliczanie wzglęem punktu wyjściowego. rzyrosty x, y można zastąpić przyrostami: x -N, y -N pomięzy sąsienimi punktami rzutowanymi na aną prostą, przy

35 Rozz. 8: ostawowe zaania geoezyjne z rachunku współrzęnych 17 czym symbole,n oznaczają: punkt poprzeni, N punkt następny. W ten sposób zamiast omiarów l, h otrzymamy w wyniku obliczeń ich przyrosty: h -N, l -N, czyli: Δy N ΔxN (ΔhN,Δl N ) (8.66) sin cos Zaletą takiego sposobu rachunku są kontrole obliczanych przyrostów oparte na następujących poznanych w ust zależnościach: [l] =, czyli suma przyrostów miar bieżących jest równa ługości ocinka prostej, na którą rzutujemy punkty, leżące poza prostą, [h] = 0, czyli suma przyrostów rzęnych jest równa zero (rzęna w prawo +, rzęna w lewo ), [x] = X X oraz [y] = Y Y, czyli suma przyrostów współrzęnych la poszczególnych, bliskich punktów rzutowanych na prostą, poobnie jak w ciągu obustronnie nawiązanym, jest równa różnicom współrzęnych (przyrostom) obliczonym la punktów końcowych prostej Zastosowanie programu WinKalk o obliczeń geoezyjnych Informacje ogólne o programie Spośró popularnych programów komputerowych wykorzystywanych o obliczeń geoezyjnych można wymienić: Geo89, C-Geo, Geonet, WinKalk. Ich wspólną cechą jest realizacja typowych geoezyjnych zaań, głównie z rachunku współrzęnych, w tym wszystkich obliczeń poanych w niniejszym poręczniku. rogram WinKalk, rozpowszechniany przez firmę informatyczną Coer, z siezibą w Komorowie k. Warszawy, jest programem służącym o przeprowazania postawowych obliczeń geoezyjnych. o okonaniu zakupu programu firma ostarcza yskietki instalacyjne, za pomocą których instaluje się program w systemie Winows. Zaletami tego programu są: łatwa i prosta obsługa, praca w śroowisku Winows (3.1, 95/98, NT), uże możliwości prezentacji graficznej na ekranie monitora i rukarce w postaci szkiców wykonywanych w skali zaeklarowanej przez użytkownika. rogram skłaa się z wersji bazowej la obliczeń typowych i moułów o zaań specjalnych takich jak: tyczenie tras, współpraca z rejestratorami polowymi, wyrównanie sieci płaskich i niwelacyjnych, obliczanie objętości mas ziemnych. Zasaa ziałania opiera się na użyciu wielu formularzy (okienek) z których każy realizuje inną funkcje obliczeniową (omiary, tachimetria it.). Każa funkcja umożliwia sporzązenie raportu z obliczeń i szkicu obliczanej konstrukcji geoezyjnej. Oprócz wersji bazowej użytkownik może za opłatą zamówić kilka moułów specjalnych: Mouł Trasy wspomagający tyczenie łuków i krzywych przejściowych. Mouł Rejestrator zawierający pakiet funkcji o współpracy z rejestratorami polowymi. Mouł Wyrównanie pozwalający na przeprowazenie wyrównania ścisłego niewielkich sieci płaskich i niwelacyjnych. a) b) 1,

36 Zastosowanie programu WinKalk o obliczeń geoezyjnych Rys. 8.. Zaania geoezyjne programu WinKalk zawarte w menu: omiary i Obliczenia Wersja bazowa programu WinKalk zawiera obliczenie następujących geoezyjnych zaań zawartych w menu omiary (rys. 8. a) i Obliczenia (rys. 8. b): współrzęnych punktów na prostej i omiarach prostokątnych, współrzęnych prostokątnych punktów na omiarach biegunowych, przecięcia prostych, przecięcia z ramką sekcyjną, ciągów sytuacyjnych i busolowych, wcięć pojeynczych (kątowego, liniowego, przestrzennego, wstecz, kombinowanego, w bok i stanowiska swobonego), zienników niwelacji technicznej, precyzyjnej i trygonometrycznej, objętości mas ziemnych, anych o wyniesienia punktów o znanych współrzęnych metoą ortogonalną, anych o analogicznego wyniesienia metoą biegunową, azymutów i ługości ze współrzęnych, kątów ze współrzęnych, pól ze współrzęnych, transformacji współrzęnych. projektowania ziałek na zaaną powierzchnię i wymiary, tworzenia bazy ziałek anego obiektu pomiarowego. a) b) Rys Okno Wybór obiektu w programie WinKalk o instalacji programu, której przebieg opisany jest szczegółowo w instrukcji obsługi, można rozpocząć użytkowanie programu, uruchamiając go kliknięciem myszką w ikonę programu na pulpicie lub w folerze Geoezja założo-

37 Rozz. 8: ostawowe zaania geoezyjne z rachunku współrzęnych 19 nym poczas instalacji. Wszystkie ane, wyniki pomiarów i obliczeń oraz szkice są grupowane w ramach obiektu pomiarowego o nazwie wybranej przez użytkownika. o pierwszym uruchomieniu programu lista obiektów jest pusta (rys. 8.3 a), a więc pierwszą czynnością jest utworzenie nowego obiektu. o naciśnięciu Rys Wprowazenie nazwy obiektu przycisku pojawia się pole ialogowe (rys. 8.4), w którym wpisujemy nazwę obiektu np. Kraków i naciskamy na klawiaturze komputera klawisz [Enter]. Obiekt zostaje utworzony i następuje wyświetlenie głównego okna programu z wybraną nazwą obiektu na pasku tytułowym oraz pozycjami menu (rys. 8.5). Rys Opcja Wpis punktów Rys Główne menu programu WinKalk Z reguły prace wykonywane za pomocą programu rozpoczynamy o wpisania o bazy anych numerów i współrzęnych punktów znanych np. należących o osnowy wykorzystywanej o nawiązania pomiarów. Chcąc wprowazić nowe punkty o bazy anych obiektu wybieramy z menu unkty opcję Wpis (rys. 8.6). Następuje wówczas wyświetlenie tabeli Nowy punkt (rys. 8.7), w komórkach której wpisuje się numer punktu, współrzęne i ewentualny ko. rzegląanie anych otyczących punktów w oknie unkty może nastąpić po uruchomieniu polecenia: unkty/eycja (rys. 8.8). W oknie tym znajuje się szereg przycisków, przy użyciu których można okonać następujących operacji: Raport eycja punktów w postaci stabelaryzowanego pliku RTF lub rukowanie wykazu współrzęnych punktów, szkic położenia punktów w wybranej skali, wstawianie, usuwanie i oświeżanie anych, kasowanie wszystkich punktów, zamykanie okna, filtrowanie punktów na postawie ich numerów, koów lub typów, wyświetlanie punktów bliskich, mieszczących się w kole o zaanym promieniu, poszukiwanie punktu o wybranym numerze, zmiana atrybutów: numeru, kou lub typu punktu, statystyka punktów (ilość i zakresy współ- Rys Eycja punktów wpisanych o bazy anych obiektu Rys Okienko wpisu nowego punktu o bazy anych

38 14,56 78,1 187,50 1,40 3,94 47,93 34,75 0, Zastosowanie programu WinKalk o obliczeń geoezyjnych rzęnych), przeglą punktów w oatkowej bazie anych (po jej połączeniu) Obliczenie współrzęnych punktów posiłkowych Spośró licznych zaań z rachunku współrzęnych, o rozwiązania których możemy wykorzystać program WinKalk, ograniczymy się o przykłau obliczenia współrzęnych grupy punktów posiłkowych poanego w ust Dane: unkt X Y ,1 751, , ,95 3,47 15, Rys Okno Domiary o wpisu anych i obliczenia współrzęnych punktów posiłkowych o utworzeniu obiektu i zapisaniu współrzęnych punktów nawiązania 541, 54 w bazie anych, w menu omiary otwieramy zaanie Domiary, po czym w tabeli pokazanej na rys. 8.9 wpisujemy oznaczenia punktów: początkowego i końcowego wyznaczających linię pomiarową. Każorazowe wprowazenie numeru punktu i naciśnięcie klawisza [Enter] powouje automatyczne ukazanie się w żółtych polach się jego współrzęnych pobranych z bazy. Jeśli nie ma innego punktu zaczepienia (z miarą bieżącą 0,00), to zostaje nim omyślnie punkt początkowy. o wpisaniu symbolu punktu końcowego i naciśnięciu klawisza [Enter] zostanie obliczona ługość boku ze współrzęnych. Należy także wpisać obok pomierzoną ługość boku ( w przykłazie: 187,50 m). o wprowazeniu w komórkach tabeli la każego punktu posiłkowego numeru punktu, miary bieżącej i omiaru z opowienim znakiem (w prawo +, w lewo ), następuje obliczenie współrzęnych anego punktu. Dla punktów na prostej nie musimy przy tym wpisywać rzęnej 0,00. Ostateczne obliczenie zaania nastąpi po naciśnięciu przyci-

39 Rozz. 8: ostawowe zaania geoezyjne z rachunku współrzęnych 1 sku Oblicz wszystko, zaś po uruchomieniu przycisku Raport zostanie wyświetlone zestawienie rozwiązań zaania w postaci pliku RTF (załącznik 1). Wśró wyników obliczeń poawana jest także ochyłka pomięzy oległością pomierzoną i obliczoną ze współrzęnych i ochyłka opuszczalna. W razie przekroczenia ochyłki maksymalnej na ekranie pojawia się opowienie ostrzeżenie. Załącznik 1: Raport zaania Domiary w postaci pliku RTF Data: Obiekt C:\WINKLK\Kraków Strefa ukłau 65: 1 OLICZENIE UNKTÓW OMIERZONYCH METODĄ DOMIRÓW unkt początkowy: 541 X=4950,1 Y=751,84 unkt końcowy: 54 X=4964,44 Y=7064,95 unkt zaczepienia: 541 X=4950,1 Y=751,84 Długość linii pomiarowej 187,50 Ochyłka rzeczywista fl=-0,06 Ochyłka opuszczalna fmax=0,13 Nr ieżąca Domiar X Y 1 34,75 495,77 717,0 47,93-15, ,15 70, ,93 -, ,38 70, ,1 3, , , ,56 1, ,99 718, Obliczanie ciągów poligonowych pp Dla przykłau obliczmy ciąg sytuacyjny, obustronnie nawiązany (o tego samego boku kierunkowego) pokazany na rys Ciąg został pomierzony na obiekcie o nazwie Zerwana. W menu pp p 5 System wybieramy polecenie Zmiana obiektu, przez co pojawi się znane okienko Wybór obiektu. Na liście alfabetycznej p p 4 wybieramy obiekt (rys. 8.3 b) i kursorem myszki naciskamy przycisk [OK.], przechoząc o głównego okna p programu. o wprowazeniu w menu p 3 unkty/wpis numerów i współrzęnych Rys Szkic ciągu punktów nawiązania ciągu (1055, 1056) wchozimy o menu omiary, po czym uruchamiamy polecenie oligon (rys. 8. a). W tabeli, która się wówczas pojawi (rys. 8.3), wybieramy opcję Nawiązanie -stronne oraz rozaj kątów Lewe. Na tabelą jako nawiązanie początkowe (punkt nawiązania kierunkowego) poajemy numer punktu 1056, zaś po nią symbol 1055 jako punkt kierunkowego nawiązania końcowego ciągu. Naciśnięcie klawisza [Enter] po wprowazeniu oznaczenia punktu powouje każorazowo

40 8.13. Zastosowanie programu WinKalk o obliczeń geoezyjnych automatyczny wpis jego współrzęnych z bazy anych. Obecnie przystępujemy o wpisania anych w tabeli, rozpoczynając zapis o punktu wierzchołkowego (1056) pierwszego kąta (98,467 g ), który zapisujemy obok w tym samym wierszu oraz ługość boku (1056-p 1) 104,8 m. oobnie zapisy la pozostałych anych wprowazamy o kolejnych wierszy tabeli. Ostatnim zapisanym punktem jest punkt 1055 z wpisanym kątem 104,100 g, lecz bez wpisu boku. o wprowazeniu powyższych anych kursorem myszki naciskamy znajujący się na tabelą przycisk Oblicz wszystko otrzymując ochyłki i pytanie czy należy je rozrzucić. (z wizerunkiem kalkulatora), Rys Określenie ochyłki kątowej i liniowej ciągu oraz potwierzenie jej rozrzucenia o wukrotnym potwierzeniu uzyskamy wyrównane współrzęne punktów poligonowych. Zaanie można także wyrukować w postaci stabelaryzowanego pliku RTF (patrz załącznik ), który łatwo można skopiować o eytora tekstu Wor, zaś za pomocą klawisza wyświetlić szkic ciągu w wybranej skali (rys. 8.33). Szkic jest kartometryczny i istnieje możliwość wprowazania na jego rysunek innych punktów ze współrzęnych oraz rysowania oatkowych elementów sytuacyjnych. Służą o tego celu przyciski narzęziowe pojawiające się po naciśnięciu klawisza. Zmiany wprowazone na stanarowym szkicu trzeba zapisać na ysku, obierając la nowego szkicu opowienią nazwę. onowny ostęp o zmoyfikowanego szkicu uzyskujemy po uruchomieniu ciągu poleceń: System/Szkic/Szkic/Otwórz. Rys Okno wprowazania anych i obliczenia ciągu poligonowego

41 Rozz. 8: ostawowe zaania geoezyjne z rachunku współrzęnych 3 Oprócz ciągów obustronnie nawiązanych program może również obliczać ciągi wiszące oraz ciągi bez nawiązania kierunkowego (bez kątów nawiązania na końcach ciągu), przy zastosowaniu metoy wliczeniowej. Zmiany opcji nawiązania okonuje się w polu Typ nawiązania okna pokazanego na rys Załącznik : Raport zaania oligon w postaci pliku RTF Data: Obiekt C:\WINKLK\Zerwana Strefa ukłau 65: 1 OLICZENIE WSÓŁRZĘDNYCH UNKTÓW OLIGONU Nawiązanie początku ciągu: 1055 X=541895,7 Y=455976,48 Nawiązanie końca ciągu : 1056 X= ,91 Y= ,76 Kąty: Lewe Ochyłka kątowa: fk = 0,013 Ochyłki liniowe: fx = -0,01 fy= -0,08 fl=0,08 Liczba kątów = 7 Suma boków = 965,85 Dopuszczalna ochyłka kątowa: fk max = 0,0490 Dopuszczalna ochyłka liniowa: fl max = 0,4 Nr Kąt ok X Y , , , ,76 p1 187, , , ,87 p 190,830 1, , ,86 p3 65, , , ,6 p4 194, , , ,00 p5 159,640 5, , , , , ,48 Rys Szkic obliczonego ciągu poligonowego (skala 1:5000)

42 Zastosowanie programu WinKalk o obliczeń geoezyjnych Obliczanie współrzęnych punktów pomierzonych metoą biegunową (tachimetria) o wybraniu menu omiary/tachimetria program oblicza współrzęne prostokątne i wysokości punktów (pikiet) pomierzonych metoą biegunową (np. tachimetrami elektronicznymi) na postawie np. kąta poziomego Hz, oległości poziomej lub skośnej i kąta pionowego V. ole wyboru opowieniej opcji znajuje się u góry okna (rys. 8.35). Rys ole wyboru wprowazania anych la pomiarów sytuacyjno-wysokościowych Należy również poać wysokość instrumentu i la anego stanowiska oraz wysokość celu s ( H celu ) la poszczególnych pikiet. Ich numery, współrzęne i wysokości zostają po obliczeniu wpisane o bazy punktów, ską mogą być pobrane o wykonania mapy sporzązanej za pomocą innego programu np. MikroMap. Jeśli w terenie wykonano tylko pomiar sytuacyjny, wtey zaznaczamy za pomocą myszki opcję bez H, co powouje zniknięcie z tabeli kolumn związanych z pomiarem wysokościowym. Rys Okno Tachimetria Rozpoczynając obliczenie pikiet w ramach określonego obiektu z pomiaru biegunowego, wybieramy menu omiary, a w nim polecenie Tachimetria, po czym wprowazamy ane efiniujące elementy nawiązania osnowy pomiarowej tj. stanowisko i jeen lub wa punkty sąsienie, na które wykonano orientację stanowiska. Wpisane zostają: oznaczenia tych punktów, ich współrzęne X, Y oraz wartości kierunków nawiązań. W przypaku wóch takich kierunków program poaje ochyłkę pomięzy kątem otrzymanym z kierunków orientacyjnych a kątem obliczonym ze współrzęnych punktów osnowy pomiarowej. Następnie zapisujemy w tabeli numery kolejnych pikiet i ich omiary biegunowe: kierunek Hz i oległość zreukowaną, co powouje sukcesywne obliczanie współrzęnych prostokątnych zejmowanych punktów.