Porównanie algorytmów kontaktu w aspekcie generacji energii cieplnej w sprz onej analizie termomechanicznej

Transkrypt

1 Porównanie algorytmów kontaktu w aspekcie generacji energii cieplnej w sprz onej analizie termomechanicznej Comparison of contact algorithms in the aspect of heat generation in a coupled thermo-mechanical analysis KRZYSZTOF DAMAZIAK JERZY MA ACHOWSKI Streszczenie: Niniejsza praca przedstawia porównanie ró nych metod modelowania zjawiska kontaktu. Autorzy od pewnego czasu zajmujà si problematykà modelowania hamulców uk adu, w którym kontakt i towarzyszàce mu tarcie majà podstawowe znaczenie. Zdobyte dotychczas doêwiadczenia zwiàzane z porównaniem wyników analiz numerycznych z wynikami badaƒ stanowiskowych sk oni y autorów do dok adniejszego przyjrzenia si ró nym metodom modelowania zjawiska kontaktu. Ze wzgl du na mo liwoêç przetestowania kilku sposobów modelowania tego zjawiska, skupiono si na ró nych formach algorytmu kontaktu zaimplementowanych w programie LS Dyna. W artykule wyniki analizy referencyjnego modelu hamulca poddane sà dyskusji, ze szczególnym uwzgl dnieniem ró nic w wartoêciach ciep a generowanego przez si y tarcia. S owa kluczowe: analizy sprz one, sprz enie termomechaniczne, modelowanie kontaktu, b dy numeryczne Abstract: This paper presents a comparison of different methods of contact phenomenon modeling. For some time now, authors are investigating the problem of modeling the brakes a system in which contact and associated friction are of primary importance. Experience gained so far, related to a comparison of analytical results with results collected in real live tests have prompted the authors to scrutinize the different methods of modeling the contact. In view of the possibility to test several ways of modeling this phenomenon, the focus was on various forms of contact algorithm implemented in the LS Dyna. In the article, the results of analysis of the brake reference model are subject to discussion, with particular emphasis on differences in values of the heat generated by friction. Keywords: coupled analysis, thermo-mechanical coupling, contact modeling, numerical errors W metodzie elementów skoƒczonych zjawisko kontaktu jest jednym z trzech podstawowych êróde nieliniowoêci, okreêlanym jako nieliniowoêç warunków brzegowych. Najcz Êciej jest ono modelowane przy u yciu algorytmów wykorzystujàcych tzw. funkcj kary [1]. Ze wzgl du na fakt, e podejêcie to jest znane od lat i dobrze opisane, niewiele osób zajmujàcych si modelowaniem numerycznym zwraca uwag na sposób ich dzia ania. Bardzo cz sto ocena sposobu modelowania kontaktu sprowadza si do sprawdzenia, czy jest to zadanie pracoch onne, a weryfikacja wyników do stwierdzenia braku wyst powania penetracji pomi dzy stykajàcymi si cia ami. Tymczasem uzyskanie metodà analizy numerycznej wartoêci napr eƒ kontaktowych zgodnych z badaniami stanowiskowymi nie jest atwym zadaniem. Wymaga du ego doêwiadczenia, oraz zazwyczaj utworzenia wymagajàcych sprz towo modeli numerycznych. Uzyskanie wiarygodnych wartoêci temperatury wytworzonej przez si y tarcia jest jeszcze trudniejsze. W niniejszej pracy przedstawiono prosty Mgr in. Krzysztof Damaziak Wydzia Mechaniczny, Wojskowa Akademia Techniczna, ul. Gen. S. Kaliskiego 2, Warszawa, kdamaziak@wat.edu.pl; dr hab. in. Jerzy Ma achowski Wydzia Mechaniczny, Wojskowa Akademia Techniczna, ul. Gen. S. Kaliskiego 2, Warszawa, Jerzy.Malachowski@wat.edu.pl. uk ad mechaniczny par ciernà pracujàcà podobnie jak para w samochodowym hamulcu tarczowym. Na przyk adzie analizy tego uk adu pokazano jak du y rozrzut wyników mo na uzyskaç, stosujàc ró ne algorytmy dost pne w jednym programie obliczeniowym. Pokazano tak e typowy proces weryfikacji wyników analiz numerycznych, pozwalajàcy na skutecznà ocen jakoêci stosowanych procedur obliczeniowych. Obiekt badaƒ Od pewnego czasu autorzy pracujà nad numerycznym modelem odwzorowujàcym prac pary ciernej. Niniejszy artyku pokazuje ma y fragment prac, który polega na wyborze narz dzi odpowiednich do wykonania tego zadania. Na podstawie wczeêniejszych doêwiadczeƒ autorzy zdecydowali, e analizy b dà prowadzone przy u yciu komercyjnego programu LS-Dyna. Program ten oferuje ca à gam procedur modelujàcych kontakt. Dlatego te zdecydowano si na przeprowadzenie analiz porównawczych majàcych na celu wybór najlepszej z nich. Testy przeprowadzono przy u yciu uproszczonego modelu hamulca tarczowego. Zewn trzne wymiary modelu odpowiada y wymiarom rzeczywistego hamulca [1, 2], natomiast sam model zosta ograniczony do trzech cia : tarczy i dwóch klocków. Tarczy ROK WYD. LXXI ZESZYT 7-8/

2 nadano sta à pr dkoêç obrotowà, a klocki dociskano sta ym co do wartoêci ciênieniem. WartoÊci pr dkoêci i ciênienia by y porównywalne do tych, realizowanych na stanowisku badawczym. Zdefiniowano te temperatur poczàtkowà T 0 = 0. Wszystkim elementom przypisano w asnoêci materia owe opisujàce biliniowy model materia u: modu Younga: E = 1,70E+5; modu styczny: E T = 1014,00; granic plastycznoêci R e = 275,00; wsp. Poissona: ν = 0,275; wsp. rozszerzalnoêci cieplnej α = 1,25E-5; ciep o w aêciwe c p = 6,00E+8; wsp. przewodnoêci cieplnej k = 36,20. Obliczenia prowadzono w uk adzie jednostek: si a [N], d ugoêç [mm], czas [s]. Model MES uproszczonego hamulca przedstawiony jest na rys. 1. Rys. 1. Model numeryczny u yty do testów Nale y wyjaêniç, e opisywany model pomimo tego, e by wzorowany na rzeczywistym uk adzie zbudowany zosta z myêlà o testach procedur numerycznych w programie LS-Dyna i w zwiàzku z tym maksymalnie uproszczony. Dlatego wszystkie opisane wczeêniej parametry, choç podobne, nie by y takie same jak w rzeczywistych testach, a uzyskane wyniki analiz nie mogà byç bezpoêrednio porównywane z wynikami pomiarów stanowiskowych. Zadanie rozwiàzywane by o metodà bezpoêredniego ca kowania równaƒ ruchu. Przy stabilnym kroku ca kowania na poziomie t = 5, s. Analiz prowadzono do osiàgni cia czasu koƒcowego t k = 6 s. Rozwiàzanie analityczne Proste rozwiàzania analityczne by y i sà podstawowym sposobem weryfikacji modeli numerycznych. Niestety, metoda ta jest coraz cz Êciej pomijana przez osoby zajmujàce si analizà konstrukcji. Rozwój metod numerycznych powoduje, e badane przy ich u yciu zagadnienia sà coraz bardziej skomplikowane. Dlatego wielu u ytkowników systemów komputerowych bazujàcych na metodzie elementów skoƒczonych, jeêli w ogóle weryfikuje swoje wyniki, czyni to jedynie przez porównanie z danymi doêwiadczalnymi. Nic nie ujmujàc takiemu podejêciu, trzeba jednak zauwa yç, e wysoki stopieƒ z o onoêci badanych zagadnieƒ jest takim samym wyzwaniem dla eksperymentatorów, jak dla analityków. Prawid owe przeprowadzenie pomiarów wymaga du ej wiedzy, bieg oêci w obs udze wyspecjalizowanego sprz tu i wyeliminowania êróde b dów. Poza tym, przedmiotem analiz numerycznych jest model matematyczny, a nie rzeczywisty obiekt fizyczny i nie zawsze da si jednoznacznie odnieêç je do siebie. Dlatego znalezienie prostego rozwiàzania analitycznego, z definicji opartego równie na modelu matematycznym, mo e byç wa niejsze dla osiàgni cia wiarygodnych wyników ni onglowanie parametrami analizy w celu dopasowywania wykresów. W rozpatrywanym problemie najwa niejszà wielkoêcià weryfikujàcà poprawnoêç rozwiàzania numerycznego jest temperatura. Prawid owe, uwzgl dniajàce wymian ciep a, podejêcie wymaga oby wyliczenia wartoêci ciep a wytwarzanego w parze kontaktowej, a nast pnie wyznaczenie wartoêci temperatury na podstawie prawa Fouriera. Nam jednak zale y jedynie na oszacowaniu efektów dzia ania procedur numerycznych. Dlatego te powinniêmy znaleêç prostszà metod analitycznego wyznaczenia temperatury w badanym uk adzie. Najlepszym sposobem na osiàgni cie tego celu jest wed ug autorów przyj cie kilku za o eƒ upraszczajàcych. Przede wszystkim przyj cie za o enia, e ca a energia mechaniczna wytwarzana w parze ciernej jest zamieniana na ciep o, które odprowadzane jest w równych proporcjach do obydwu cia kontaktowych. Poza tym za o enie, e pr dkoêç wzgl dna tràcych cia (równa pr dkoêci obwodowej tarczy) jest sta a, czyli nie zale y od promienia tarczy. Przy takich za o eniach mo na uznaç, e ciep o wytwarzane w uk adzie jest równe pracy si tarcia, a praca si y tarcia wykonana w jednostce czasu jest proporcjonalna do zmiany temperatury w jednostce czasu, zgodnie z równaniem (1). v o = c p m T (1) t si a tarcia, v o pr dkoêç obwodowa (uêredniona), c p ciep o w aêciwe, m masa, T Êrednia temperatura w ciele, t czas. Z kolei si tarcia mo emy wyraziç wzorem (2), opisujàcym model Coulomba: = µ d pa (2) si a tarcia, µ d wspó czynnik tarcia kinematycznego, p ciênienie dociskajàce klocki hamulcowe, A pole powierzchni styku klocka z tarczà. Po podstawieniu danych otrzymujemy si normalnà µ d p 30546,00 N, si tarcia 9163,00 N i przyrost temperatury jednego klocka T 252 /s. W ten sposób uzyskaliêmy trzy parametry umo liwiajàce weryfikacj wyników numerycznych, przy czym nie nale y zapomnieç, e wyliczony analitycznie przyrost temperatury dotyczy Êredniej temperatury w ca ej obj toêci klocka hamulcowego. Procedury numeryczne Najbardziej popularnym modelem zjawiska kontaktu jest model nazywany cz sto modelem z funkcjà kary. W modelu tym si a normalna dzia ajàca 16 ROK WYD. LXXI ZESZYT 7-8/2012

3 w parze kontaktowej wyliczana jest z zale noêci (3), lub podobnej [3]. F n = u n H( u n ) (3) H( ) funkcja Heaviside a, = 1/K, K wspó czynnik funkcji kary, u n wzgl dne przemieszczenie na kierunku normalnym cia pozostajàcych w kontakcie. W przypadku najprostszym przemieszczenie u n oznacza wzgl dne przemieszczenie dwóch w z ów na kierunku normalnym do powierzchni styku. W przypadku podejêcia powierzchnia w ze, u n oznacza wzgl dne przemieszczenie segmentu powierzchni oraz w z a i wymaga wyznaczenia wektora normalnego do segmentu, przechodzàcego przez dany w ze (rys. 2). Z kolei w podejêciu segment segment sprawdza si penetracj ca ych segmentów. Ró nice aplikacyjne pojawiajà si przy definiowaniu parametru, odpowiadajàcego za sztywnoêç pary kontaktowej. W programie LS-Dyna u ywanych jest kilka metod definiowania tego parametru. W opisywanych analizach pozostawiono ustawienia domyêlne. Najpierw algorytm sprawdza sztywnoêç obu wchodzàcych w kontakt elementów (w z a, segmentu lub dwóch segmentów). SztywnoÊç pary kontaktowej definiowana jest jako równa mniejszej z tych wartoêci. Rys. 2. Para kontaktowa w ze segment W analizach zastosowano jeden model tarcia: model Coulomba, opisany wzorem (4) si a styczna, F n si a normalna, µ d wspó czynnik tarcia kinematycznego, µ s wspó czynnik tarcia statycznego, c sta a, e zmiana odleg oêci, t krok ca kowania. (4) Na podstawie wyliczonej si y stycznej wyznaczany by przyrost temperatury, przy za o eniu bezstratnej zamiany pracy si tarcia w energi cieplnà, zgodnie ze wzorem (5) [4]. Wzór ten jest ró niczkowà postacià wykorzystanej wczeêniej zale noêci (1): si a styczna, S droga hamowania, t czas, m masa, c p ciep o w aêciwe, T temperatura. SpoÊród wszystkich dost pnych w programie LS-Dyna, wybrano do testu pi ç nast pujàcych podejêç: 1. surface to surface, smooth, segment 2. surface to surface, smooth 3. surface to surface, segment 4. node to surface, smooth 5. node to surface (na rys. 5 7, przedstawionych w cz Êci dotyczàcej dyskusji wyników, stosowana jest ta sama numeracja). Wybór podyktowany by koniecznoêcià dobrania narz dzia najlepiej nadajàcego si do przeprowadzenia symulacji procesu hamowania, a wi c procesu, w którym tràce powierzchnie sà relatywnie p askie i nie zmieniajà znaczàco swojego kszta tu w trakcie trwania ca ego procesu. Ponadto, algorytm wykorzystujàcy podejêcie surface to surface, segment jest szczególnie polecany przez producenta programu. Parametry sterujàce procedurà kontaktu mia y wartoêci domyêlne, ustawione przez producenta. Wszystkie poddane testowi algorytmy kontaktu wykorzystywa y opisane wy ej zale noêci do wyznaczenia wartoêci si y normalnej, si y tarcia i temperatury na powierzchni styku tarczy i klocków. Ró ni y si jedynie opisem kinematycznym zagadnienia kontaktu, czyli sposobem znajdowania par kontaktowych. W podejêciu surface to surface algorytm poszukuje w z a i odpowiadajàcego mu segmentu. Procedura wykonywana jest dwa razy, zmieniajàc kierunek dzia ania (najpierw jedno z cia definiowane jest jako master czyli jest ograniczone segmentami, potem drugie). W podejêciu surface to surface, segment parà kontaktowà sà segmenty, a nie w ze i segment. Z kolei node to surface dzia a podobnie jak surface to surface, z tym e procedura poszukiwania w z a i segmentu uruchamiana jest raz (nie jest symetryczna). Szczegó owy opis kinematyki kontaktu zawarty jest w [3]. Wyniki Na rys. 3 przedstawiono przyk adowy rozk ad napr eƒ zredukowany wed ug hipotezy Hubera- Misesa-Hencky ego (HMH) w tarczy (a) i w klocku (b) w chwili t = 2 s. Wprawdzie wartoêç tych napr eƒ nie jest bezpoêrednim przedmiotem zainteresowania, jednak ich analiza jest jednym z podstawowych elementów weryfikacji zachowania procedur numerycznych. Na przedstawionym rysunku widaç, e rozk ad napr eƒ w klocku nie jest równomierny. Tymczasem, poza krótkim momentem na poczàtku (5) ROK WYD. LXXI ZESZYT 7-8/

4 a) a) b) b) Rys. 3. Rozk ad napr eƒ zredukowanych HMH dla t = 2 s w tarczy (a) i w klocku (b) Rys. 4. Rozk ad temperatury dla t = 2 s w tarczy (a) i w klocku (b) analizy, ciênienie dzia ajàce na klocek jest niezmienne w czasie. Jego wartoêç jest te sta a na ca ej powierzchni klocka. Wynika z tego, e rozk ad napr eƒ w klocku powinien byç równomierny. Pojawienie si obszarów o ró nej wartoêci napr enia jest pierwszym sygna em wskazujàcym na problemy ze zbie noêcià rozwiàzania. Na rys. 4 przedstawiony jest rozk ad temperatury w tarczy (a) i klocku (b). Obszary o ujemnej temperaturze, wyst pujàce tu obok najcieplejszych miejsc na powierzchni klocka, to bardzo jednoznaczny sygna wskazujàcy na to, e termiczna cz Êç zadania jest rozwiàzywana niedok adnie. Zazwyczaj brak zbie noêci w za- Rys. 5. Przebieg w czasie wypadkowej si y normalnej; 1 surface to surface, smooth, segment, 2 surface to surface, smooth, 3 surface to surface, segment, 4 node to surface, smooth, 5 node to surface 18 ROK WYD. LXXI ZESZYT 7-8/2012

5 daniu termicznym dotyczy tylko obszarów z najwi kszym gradientem temperatury. Dlatego wyniki uzyskane np. z ca ej powierzchni kontaktowej nie powinny byç obarczone a tak du ym b dem. Niemniej jest to wyraêny sygna, e nale y zmieniç parametry rozwiàzania termicznego. Na rys. 5 przedstawiono wartoêç wypadkowej si y normalnej dzia ajàcej na powierzchni klocka, a na rys. 6 wartoêç wypadkowej si y stycznej. Poniewa wyniki dotyczà w pe ni dynamicznej analizy w czasie, niefiltrowane przebiegi by- yby nieczytelne. Dlatego te, w celu poprawienia czytelnoêci, na wykresach przedstawiono ruchomà Êrednià z 20 okresów. Pierwszà istotnà informacjà, jakà mo na odczytaç z wykresu si y normalnej, jest jej wartoêç. Widaç wyraênie, e oscyluje wokó wartoêci wyznaczonej analitycznie. Poza tym mo na zauwa yç, e algorytmy z rodziny surface to surface (krzywe 1 3) wyznaczajà znacznie mniej stabilnà wartoêç tej si y. W aêciwie nie jest ona ustalona przez ca y czas analizy. Jak ju wspomniano wczeêniej, poza momentem docisku klocków, warunki brzegowe sà niezmienne. Nale a oby wi c oczekiwaç, e po oscylacjach wywo anych zetkni ciem klocków z tarczà nast puje stabilizacja wartoêci si y normalnej, a do ustalenia w okolicach wartoêci analitycznej. Takie w aênie zachowanie mo na zaobserwowaç w przypadku algorytmów z rodziny node to surface (krzywe 4, 5). Wykresy si y stycznej nie ró nià si charakterem od omawianych poprzednio. WartoÊç si y zgadza si z obliczeniami analitycznymi. Równie tutaj ró nice Rys. 6. Przebieg w czasie wypadkowej si y stycznej (si y tarcia); 1 surface to surface, smooth, segment, 2 surface to surface, smooth, 3 surface to surface, segment, 4 node to surface, smooth, 5 node to surface w wartoêciach si wyznaczonych przez ró ne podejêcia nie sà du e. Ogólnie, analiza wykresów si na powierzchni kontaktowej wskazuje na znacznie stabilniejsze zachowanie algorytmów node to surface. Co wa ne, zachowanie to jest zgodne z oczekiwaniami, wynikajàcymi z mechaniki rozpatrywanego problemu. Dla porzàdku nale y te dodaç, e w modelu nie wprowadzono t umienia. WczeÊniejsze testy wykaza y, e w przypadku analizowanego problemu wprowadzenie t umienia nie wp ywa znaczàco na charakter uzyskiwanych wyników. Na rys. 7 przedstawiono przebieg zmian Êredniej temperatury na powierzchni styku klocka z tarczà. Tym razem ró nice w uzyskanych wynikach nie sà pomijalne. O ile jeszcze algorytmy z tej samej rodziny dajà podobne wyniki, o tyle ró nica pomi dzy podejêciem surface surface (krzywe 1 3) i node to Rys. 7. Przebieg w czasie Êredniej temperatury na powierzchni kontaktowej klocka; 1 surface to surface, smooth, segment, 2 surface to surface, smooth, 3 surface to surface, segment, 4 node to surface, smooth, 5 node to surface ROK WYD. LXXI ZESZYT 7-8/

6 Rys. 8. Przebieg w czasie Êredniej temperatury w klocku surface (krzywe 4, 5) jest 3-, 4-krotna. W tym miejscu pojawia si pytanie o wiarygodnoêç wyników, zw aszcza e krzywe 3 i 4 pokazujà wzrost temperatury o prawie 900 stopni. Odpowiedê na to pytanie mo na uzyskaç, porównujàc zmiany Êredniej temperatury w ca ej obj toêci klocka (a nie tylko na powierzchni styku) wyznaczonych numerycznie i analitycznie. Wykres taki przedstawiony jest na rys. 8. Prostà rozwiàzania analitycznego uzyskano, mno àc wyznaczonà wczeêniej wartoêç przyrostu temperatury T 252 /s przez liczb sekund analizy. Dla zwi kszenia czytelnoêci zamieszczono na nim tylko po jednej krzywej dla ka dej rodziny algorytmów numerycznych na tle rozwiàzania analitycznego. Znowu widoczna jest bardzo du a ró nica mi dzy podejêciem surface to surface i node to surface. Wprawdzie nie a taka jak poprzednio, ale te obszar uêredniania (liczba w z ów) jest znacznie wi kszy. Istotniejszy jest fakt, e temperatura wyliczona przez algorytm node to surface prawie pokrywa si z rozwiàzaniem analitycznym, co jednoczeênie wskazuje na to, e wartoêci wyznaczane przez algorytmy surface to surface nie sà poprawne. èród o problemu widoczne jest na rys. 4 i 5. Oscylacje si normalnej i stycznej wskazujà na to, e warunki kontaktu nie sà stabilne, co najprawdopodobniej objawia si tym, e niektóre fragmenty powierzchni styku wychodzà poza tolerancj kontaktu i przestajà wytwarzaç si stycznà, a co za tym idzie energi cieplnà. Mówiàc obrazowo, klocek nie przesuwa si po tarczy, tylko na niej podskakuje. Warty podkreêlenia jest fakt, e wszystkie testowane algorytmy dajà wartoêci si nieró niàce si od siebie o wi cej ni ok. 20%, a przebiegi w czasie nie wskazujà na mo liwoêç wystàpienia tak du ych ró nic w wartoêciach temperatur. Podsumowanie W prezentowanej pracy przeanalizowano efekty dzia ania ró nych algorytmów opisujàcych zjawisko kontaktu w aspekcie wytwarzania ciep a przez si y tarcia. Podstawowym celem porównania by wybór najlepszego narz dzia do zamodelowania procesu hamowania. Na podstawie uzyskanych wyników mo na wysnuç nast pujàce wnioski: Wszystkie rozpatrywane algorytmy wyliczajà zbli one wartoêci si normalnych i stycznych w parach kontaktowych, natomiast wyznaczone wartoêci temperatury wykazujà bardzo du à rozbie noêç, nawet do 400% ró nicy w wartoêci temperatury na powierzchni kontaktu. Wynika z tego, e ograniczenie weryfikacji wyników do sprawdzenia wartoêci si w parach kontaktowych nie by oby wystarczajàcym kryterium wyboru najlepszego sposobu modelowania kontaktu. Tylko dzi ki analitycznemu oszacowaniu wartoêci temperatury mo liwe by o znalezienie procedury najlepiej opisujàcej badane zjawisko. Polecany przez producentów programu algorytm surface to surface okaza si ma o dok adny. Problemy z ustabilizowaniem zadania oraz bardzo du a rozbie noêç pomi dzy analitycznà i wyliczonà wartoêcià temperatury pokazujà, e w przypadku rozpatrywanego zadania znacznie lepiej sprawdza si podejêcie nodes to surface. Zaskakujàcy jest fakt, e problemy dotyczà w równym stopniu klasycznego podejêcia, gdzie parà kontaktowà jest segment i w ze, jak i podejêcia segment segment. Analiza wyników wykaza a kilka innych êróde niedok adnoêci. Nierównomierne rozk ady napr eƒ i temperatury wyraênie wskazujà na koniecznoêç zmiany parametrów analizy. W artykule pomini to rozwa anie tych problemów, gdy nie mia y one wp ywu na podstawowy cel porównania. LITERATURA 1. Damaziak K., Jachimowicz J., Ma achowski J.: Numeryczny model hamulca tarczowego. Mechanik, nr 1, 2011, s Damaziak K., Jachimowicz J., Ma achowski J., Sybilski K.: Analiza numeryczna obszaru wspó pracy pomi dzy ok adzinà i b bnem hamulcowym. Górnictwo Odkrywkowe nr 4, 2010, 51, ss Hallquist J.O.: LS-DYNA theoretical manual. Livemore Software Technology Corporation, Baranowski P., Damaziak K., Malachowski J.: Analysis of a brake including thermomechanical coupling. Proc. of the 19th Int. Conf. On Computer Methods in Mechanics. Eds. A. Borkowski, T. Lewinski & G. Dzierzanowski. Warsaw University of Technology, Warsaw 2011, pp Zienkiewicz O.C. and Taylor R.L.: The Finite Element Method, Vol. 1: The Basis. fifth ed., Butterworth-Heinemann, Oxford, ROK WYD. LXXI ZESZYT 7-8/2012