Afiniczne krzywe algebraiczne
|
|
|
- Michalina Mazurek
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Afiniczne krzywe algebraiczne Obrona pracy doktorskiej Maciej Borodzik Instytut Matematyki, Uniwersytet Warszawski
2 Zagadnienie Badanie krzywych algebraicznych na płaszczyźnie zespolonej C 2.
3 Zagadnienie Badanie krzywych algebraicznych na płaszczyźnie zespolonej C 2. Krzywą algebraiczną w C 2 nazwiemy zbiór zer pewnego wielomianu F (x, y). Stopniem krzywej nazwiemy stopień wielomianu F.
4 Zagadnienie Badanie krzywych algebraicznych na płaszczyźnie zespolonej C 2. Krzywą algebraiczną w C 2 nazwiemy zbiór zer pewnego wielomianu F (x, y). Stopniem krzywej nazwiemy stopień wielomianu F. Warunki topologiczne:
5 Zagadnienie Badanie krzywych algebraicznych na płaszczyźnie zespolonej C 2. Krzywą algebraiczną w C 2 nazwiemy zbiór zer pewnego wielomianu F (x, y). Stopniem krzywej nazwiemy stopień wielomianu F. Warunki topologiczne: genus krzywej,
6 Zagadnienie Badanie krzywych algebraicznych na płaszczyźnie zespolonej C 2. Krzywą algebraiczną w C 2 nazwiemy zbiór zer pewnego wielomianu F (x, y). Stopniem krzywej nazwiemy stopień wielomianu F. Warunki topologiczne: genus krzywej, ilość miejsc w nieskończoności,
7 Zagadnienie Badanie krzywych algebraicznych na płaszczyźnie zespolonej C 2. Krzywą algebraiczną w C 2 nazwiemy zbiór zer pewnego wielomianu F (x, y). Stopniem krzywej nazwiemy stopień wielomianu F. Warunki topologiczne: genus krzywej, ilość miejsc w nieskończoności, ilość samoprzecięć.
8 Zagadnienie Badanie krzywych algebraicznych na płaszczyźnie zespolonej C 2. Krzywą algebraiczną w C 2 nazwiemy zbiór zer pewnego wielomianu F (x, y). Stopniem krzywej nazwiemy stopień wielomianu F. Warunki topologiczne: genus krzywej, ilość miejsc w nieskończoności, ilość samoprzecięć. ilość i typ punktów osobliwych.
9 Znane wyniki
10 Znane wyniki Twierdzenie Abyahkhara Moha Suzuki ego Każda gładka krzywa wymierna z jednym punktem w nieskończoności jest izomorficzna z prostą.
11 Znane wyniki Twierdzenie Abyahkhara Moha Suzuki ego Każda gładka krzywa wymierna z jednym punktem w nieskończoności jest izomorficzna z prostą. Twierdzenie Zajdenberga Lina Każda krzywa wymierna z jednym punktem w nieskończoności jest izomorficzna z krzywą postaci x(t) = t p, y(t) = t q.
12 Znane wyniki Twierdzenie Abyahkhara Moha Suzuki ego Każda gładka krzywa wymierna z jednym punktem w nieskończoności jest izomorficzna z prostą. Twierdzenie Zajdenberga Lina Każda krzywa wymierna z jednym punktem w nieskończoności jest izomorficzna z krzywą postaci x(t) = t p, y(t) = t q. p i q są, oczywiście, względnie pierwsze.
13 Znane wyniki cd. M. Koras i B. Russel. Gładkie krzywe wymierne z dwoma miejscami w nieskończoności.
14 Znane wyniki cd. M. Koras i B. Russel. Gładkie krzywe wymierne z dwoma miejscami w nieskończoności. Flenner, Orevkov, Zajdenberg et al. Krzywe ostrzowe: wymierne, bez samoprzecięć w CP 2.
15 Znane wyniki cd. M. Koras i B. Russel. Gładkie krzywe wymierne z dwoma miejscami w nieskończoności. Flenner, Orevkov, Zajdenberg et al. Krzywe ostrzowe: wymierne, bez samoprzecięć w CP 2. m.in. Greuel, Lossen, Shustin. Badanie krzywych dowolnego genusu z ustalonymi osobliwościami.
16 Znane wyniki cd. M. Koras i B. Russel. Gładkie krzywe wymierne z dwoma miejscami w nieskończoności. Flenner, Orevkov, Zajdenberg et al. Krzywe ostrzowe: wymierne, bez samoprzecięć w CP 2. m.in. Greuel, Lossen, Shustin. Badanie krzywych dowolnego genusu z ustalonymi osobliwościami. inni: Kaliman, Cassou Nouguès...
17 Obiekt zainteresowań Krzywe algebraiczne,
18 Obiekt zainteresowań Krzywe algebraiczne, wymierne (takie, które daje się przedstawić jako (x(t), y(t)), gdzie x i y są funkcjami wymiernymi od t).
19 Obiekt zainteresowań Krzywe algebraiczne, wymierne (takie, które daje się przedstawić jako (x(t), y(t)), gdzie x i y są funkcjami wymiernymi od t). Jedno lub dwa miejsca w nieskończoności
20 Obiekt zainteresowań Krzywe algebraiczne, wymierne (takie, które daje się przedstawić jako (x(t), y(t)), gdzie x i y są funkcjami wymiernymi od t). Jedno lub dwa miejsca w nieskończoności oraz zero lub jedno samoprzecięcie
21 Obiekt zainteresowań Krzywe algebraiczne, wymierne (takie, które daje się przedstawić jako (x(t), y(t)), gdzie x i y są funkcjami wymiernymi od t). Jedno lub dwa miejsca w nieskończoności oraz zero lub jedno samoprzecięcie
22 Obiekt zainteresowań Krzywe algebraiczne, wymierne (takie, które daje się przedstawić jako (x(t), y(t)), gdzie x i y są funkcjami wymiernymi od t). Jedno lub dwa miejsca w nieskończoności oraz zero lub jedno samoprzecięcie
23 Obiekt zainteresowań Krzywe algebraiczne, wymierne (takie, które daje się przedstawić jako (x(t), y(t)), gdzie x i y są funkcjami wymiernymi od t). Jedno lub dwa miejsca w nieskończoności oraz zero lub jedno samoprzecięcie Prosty rachunek pokazuje, że krzywe takie (jako krzywe w C 2 ) mają charakterystykę Eulera równą zero.
24 Przykłady A więc interesują mnie takie krzywe,
25 Przykłady A więc interesują mnie takie krzywe,
26 Przykłady A więc interesują mnie takie krzywe, ale takie już nie:
27 Patrzenie na krzywa wymierna Pierwszy sposób: równanie
28 Patrzenie na krzywa wymierna Pierwszy sposób: równanie C = {(x, y) C 2 : f(x, y) = 0}
29 Patrzenie na krzywa wymierna Pierwszy sposób: równanie C = {(x, y) C 2 : f(x, y) = 0} Nie kontrolujemy genusu.
30 Patrzenie na krzywa wymierna Pierwszy sposób: równanie C = {(x, y) C 2 : f(x, y) = 0} Nie kontrolujemy genusu. Punkty osobliwe: f x(x 0, y 0 ) = f y(x 0, y 0 ) = 0
31 Patrzenie na krzywa wymierna Pierwszy sposób: równanie C = {(x, y) C 2 : f(x, y) = 0} Nie kontrolujemy genusu. Punkty osobliwe: f x(x 0, y 0 ) = f y(x 0, y 0 ) = 0 Widzimy samoprzecięcia jako punkty osobliwe.
32 Patrzenie na krzywa wymierna Pierwszy sposób: równanie C = {(x, y) C 2 : f(x, y) = 0} Nie kontrolujemy genusu. Punkty osobliwe: f x(x 0, y 0 ) = f y(x 0, y 0 ) = 0 Widzimy samoprzecięcia jako punkty osobliwe. Drugi sposób: parametryzacja
33 Patrzenie na krzywa wymierna Pierwszy sposób: równanie C = {(x, y) C 2 : f(x, y) = 0} Nie kontrolujemy genusu. Punkty osobliwe: f x(x 0, y 0 ) = f y(x 0, y 0 ) = 0 Widzimy samoprzecięcia jako punkty osobliwe. Drugi sposób: parametryzacja C = {(x(t), y(t)) C 2,t CP 1 }
34 Patrzenie na krzywa wymierna Pierwszy sposób: równanie C = {(x, y) C 2 : f(x, y) = 0} Nie kontrolujemy genusu. Punkty osobliwe: f x(x 0, y 0 ) = f y(x 0, y 0 ) = 0 Widzimy samoprzecięcia jako punkty osobliwe. Drugi sposób: parametryzacja C = {(x(t), y(t)) C 2,t CP 1 } Kontrolujemy genus.
35 Patrzenie na krzywa wymierna Pierwszy sposób: równanie C = {(x, y) C 2 : f(x, y) = 0} Nie kontrolujemy genusu. Punkty osobliwe: f x(x 0, y 0 ) = f y(x 0, y 0 ) = 0 Widzimy samoprzecięcia jako punkty osobliwe. Drugi sposób: parametryzacja C = {(x(t), y(t)) C 2,t CP 1 } Kontrolujemy genus.
36 Patrzenie na krzywa wymierna Pierwszy sposób: równanie C = {(x, y) C 2 : f(x, y) = 0} Nie kontrolujemy genusu. Punkty osobliwe: f x(x 0, y 0 ) = f y(x 0, y 0 ) = 0 Widzimy samoprzecięcia jako punkty osobliwe. Drugi sposób: parametryzacja C = {(x(t), y(t)) C 2,t CP 1 } Kontrolujemy genus. Punkty osobliwe: x (t 0 ) = y (t 0 ) = 0
37 Krzywe parametryczne Krzywe wymierne z jednym punktem w nieskończoności dadzą się sparametryzować wielomianami. Możemy zapisać je jako
38 Krzywe parametryczne Krzywe wymierne z jednym punktem w nieskończoności dadzą się sparametryzować wielomianami. Możemy zapisać je jako { x(t) = t a + α 1 t a α a y(t) = t c + β 1 t c β c.
39 Krzywe parametryczne Krzywe wymierne z jednym punktem w nieskończoności dadzą się sparametryzować wielomianami. Możemy zapisać je jako { x(t) = t a + α 1 t a α a y(t) = t c + β 1 t c β c. Krzywe z dwoma punktami w nieskończoności można zapisać jako wielomiany od t i t 1,
40 Krzywe parametryczne Krzywe wymierne z jednym punktem w nieskończoności dadzą się sparametryzować wielomianami. Możemy zapisać je jako { x(t) = t a + α 1 t a α a y(t) = t c + β 1 t c β c. Krzywe z dwoma punktami w nieskończoności można zapisać jako wielomiany od t i t 1, a więc { x(t) = t a + α 1 t a α a+b t b y(t) = t c + β 1 t c β c+d t d.
41 Liczba Milnora Gdy w punkcie osobliwym x 0, krzywa C zadaje się lokalnie jako {f 0}, określamy liczbę Milnora jako µ def = dim O x /(f x, f y ).
42 Liczba Milnora Gdy w punkcie osobliwym x 0, krzywa C zadaje się lokalnie jako {f 0}, określamy liczbę Milnora jako Własności: µ def = dim O x /(f x, f y ).
43 Liczba Milnora Gdy w punkcie osobliwym x 0, krzywa C zadaje się lokalnie jako {f 0}, określamy liczbę Milnora jako Własności: Wpływa na genus, µ def = dim O x /(f x, f y ).
44 Liczba Milnora Gdy w punkcie osobliwym x 0, krzywa C zadaje się lokalnie jako {f 0}, określamy liczbę Milnora jako Własności: Wpływa na genus, µ def = dim O x /(f x, f y ). Wymiar przestrzeni deformacji wersalnych kiełka osobliwości,
45 Liczba Milnora Gdy w punkcie osobliwym x 0, krzywa C zadaje się lokalnie jako {f 0}, określamy liczbę Milnora jako Własności: Wpływa na genus, µ def = dim O x /(f x, f y ). Wymiar przestrzeni deformacji wersalnych kiełka osobliwości, Dobra do badania własności krzywych zadanych przez równanie.
46 Ilość punktów podwójnych Dla punktu osobliwego z liczbą Milnora µ i r gałęziami określamy wielkość
47 Ilość punktów podwójnych Dla punktu osobliwego z liczbą Milnora µ i r gałęziami określamy wielkość 2δ = µ + r 1.
48 Ilość punktów podwójnych Dla punktu osobliwego z liczbą Milnora µ i r gałęziami określamy wielkość 2δ = µ + r 1. Jeśli (x 0, y 0 ) jest punktem osobliwym krzywej (x(t), y(t)), to
49 Ilość punktów podwójnych Dla punktu osobliwego z liczbą Milnora µ i r gałęziami określamy wielkość 2δ = µ + r 1. Jeśli (x 0, y 0 ) jest punktem osobliwym krzywej (x(t), y(t)), to 2δ jest ilością rozwiązań równania
50 Ilość punktów podwójnych Dla punktu osobliwego z liczbą Milnora µ i r gałęziami określamy wielkość 2δ = µ + r 1. Jeśli (x 0, y 0 ) jest punktem osobliwym krzywej (x(t), y(t)), to 2δ jest ilością rozwiązań równania { x(s1 ) x(s 2 ) s 1 s 2 = 0 y(s 1 ) y(s 2 ) s 1 s 2 = 0 takich, że x(s 1 ) = x 0 i y(s 1 ) = y 0.
51 Ilość punktów podwójnych Dla punktu osobliwego z liczbą Milnora µ i r gałęziami określamy wielkość 2δ = µ + r 1. Jeśli (x 0, y 0 ) jest punktem osobliwym krzywej (x(t), y(t)), to 2δ jest ilością rozwiązań równania { x(s1 ) x(s 2 ) s 1 s 2 = 0 y(s 1 ) y(s 2 ) s 1 s 2 = 0 takich, że x(s 1 ) = x 0 i y(s 1 ) = y 0. Jeśli (x 0, y 0 ) jest prostym punktem podwójnym, to 2δ = 2.
52 Przykład
53 Przykład y 2 = x 3 + λx 2,
54 Przykład y 2 = x 3 + λx 2, λ = 2.
55 Przykład y 2 = x 3 + λx 2, λ = 1.
56 Przykład y 2 = x 3 + λx 2, λ = 1 2.
57 Przykład y 2 = x 3 + λx 2, λ = 0. Jeden punkt podwójny chowa się w punkcie osobliwym. 2δ = 2.
58 Inny przykład Krzywa zależna od parametru λ. { xλ (t) = t 3 15λ 2 t y λ (t) = t 5 30λ 2 t λ 3 t λ 4 t,
59 Inny przykład Krzywa zależna od parametru λ. { xλ (t) = t 3 15λ 2 t y λ (t) = t 5 30λ 2 t λ 3 t λ 4 t, λ = 1
60 Inny przykład Krzywa zależna od parametru λ. { xλ (t) = t 3 15λ 2 t y λ (t) = t 5 30λ 2 t λ 3 t λ 4 t, λ = 0.99
61 Inny przykład Krzywa zależna od parametru λ. { xλ (t) = t 3 15λ 2 t y λ (t) = t 5 30λ 2 t λ 3 t λ 4 t, λ = 0.98
62 Inny przykład Krzywa zależna od parametru λ. { xλ (t) = t 3 15λ 2 t y λ (t) = t 5 30λ 2 t λ 3 t λ 4 t, λ = 0.97
63 Inny przykład Krzywa zależna od parametru λ. { xλ (t) = t 3 15λ 2 t y λ (t) = t 5 30λ 2 t λ 3 t λ 4 t, λ = 0.96
64 Inny przykład Krzywa zależna od parametru λ. { xλ (t) = t 3 15λ 2 t y λ (t) = t 5 30λ 2 t λ 3 t λ 4 t, λ = 0.95
65 Inny przykład Krzywa zależna od parametru λ. { xλ (t) = t 3 15λ 2 t y λ (t) = t 5 30λ 2 t λ 3 t λ 4 t, λ = 0.94
66 Inny przykład Krzywa zależna od parametru λ. { xλ (t) = t 3 15λ 2 t y λ (t) = t 5 30λ 2 t λ 3 t λ 4 t, λ = 0.93
67 Inny przykład Krzywa zależna od parametru λ. { xλ (t) = t 3 15λ 2 t y λ (t) = t 5 30λ 2 t λ 3 t λ 4 t, λ = 0.92
68 Inny przykład Krzywa zależna od parametru λ. { xλ (t) = t 3 15λ 2 t y λ (t) = t 5 30λ 2 t λ 3 t λ 4 t, λ = 0.91
69 Inny przykład Krzywa zależna od parametru λ. { xλ (t) = t 3 15λ 2 t y λ (t) = t 5 30λ 2 t λ 3 t λ 4 t, λ = 0.89
70 Inny przykład Krzywa zależna od parametru λ. { xλ (t) = t 3 15λ 2 t y λ (t) = t 5 30λ 2 t λ 3 t λ 4 t, λ = 0.87
71 Inny przykład Krzywa zależna od parametru λ. { xλ (t) = t 3 15λ 2 t y λ (t) = t 5 30λ 2 t λ 3 t λ 4 t, λ = 0.85
72 Inny przykład Krzywa zależna od parametru λ. { xλ (t) = t 3 15λ 2 t y λ (t) = t 5 30λ 2 t λ 3 t λ 4 t, λ = 0.83
73 Inny przykład Krzywa zależna od parametru λ. { xλ (t) = t 3 15λ 2 t y λ (t) = t 5 30λ 2 t λ 3 t λ 4 t, λ = 0.81
74 Inny przykład Krzywa zależna od parametru λ. { xλ (t) = t 3 15λ 2 t y λ (t) = t 5 30λ 2 t λ 3 t λ 4 t, λ = 0.79
75 Inny przykład Krzywa zależna od parametru λ. { xλ (t) = t 3 15λ 2 t y λ (t) = t 5 30λ 2 t λ 3 t λ 4 t, λ = 0.75
76 Inny przykład Krzywa zależna od parametru λ. { xλ (t) = t 3 15λ 2 t y λ (t) = t 5 30λ 2 t λ 3 t λ 4 t, λ = 0.7
77 Inny przykład Krzywa zależna od parametru λ. { xλ (t) = t 3 15λ 2 t y λ (t) = t 5 30λ 2 t λ 3 t λ 4 t, λ = 0.65
78 Inny przykład Krzywa zależna od parametru λ. { xλ (t) = t 3 15λ 2 t y λ (t) = t 5 30λ 2 t λ 3 t λ 4 t, λ = 0.6
79 Inny przykład Krzywa zależna od parametru λ. { xλ (t) = t 3 15λ 2 t y λ (t) = t 5 30λ 2 t λ 3 t λ 4 t, λ = 0.55
80 Inny przykład Krzywa zależna od parametru λ. { xλ (t) = t 3 15λ 2 t y λ (t) = t 5 30λ 2 t λ 3 t λ 4 t, λ = 0.5
81 Inny przykład Krzywa zależna od parametru λ. { xλ (t) = t 3 15λ 2 t y λ (t) = t 5 30λ 2 t λ 3 t λ 4 t, λ = 0.45
82 Inny przykład Krzywa zależna od parametru λ. { xλ (t) = t 3 15λ 2 t y λ (t) = t 5 30λ 2 t λ 3 t λ 4 t, λ = 0.4
83 Inny przykład Krzywa zależna od parametru λ. { xλ (t) = t 3 15λ 2 t y λ (t) = t 5 30λ 2 t λ 3 t λ 4 t, λ = 0 Tutaj cztery punkty podwójne ukrywają się w punkcie osobliwym (t 3, t 5 ). Dlatego 2δ = 8.
84 Formuła Serre a Dla krzywej stopnia d mamy
85 Formuła Serre a Dla krzywej stopnia d mamy g = (d 1)(d 2) 2 δ i
86 Formuła Serre a Dla krzywej stopnia d mamy g = (d 1)(d 2) 2 δ i g genus krzywej.
87 Formuła Serre a Dla krzywej stopnia d mamy g = (d 1)(d 2) 2 δ i g genus krzywej. d stopień krzywej.
88 Formuła Serre a Dla krzywej stopnia d mamy g = (d 1)(d 2) 2 δ i g genus krzywej. d stopień krzywej. δ i liczba punktów podwójnych ukrytych w danym punkcie osobliwym.
89 Formuła Serre a Dla krzywej stopnia d mamy g = (d 1)(d 2) 2 δ i g genus krzywej. d stopień krzywej. δ i liczba punktów podwójnych ukrytych w danym punkcie osobliwym. suma przebiega po wszystkich punktach osobliwych i podwójnych krzywej.
90 Formuła Serre a II W naszym przypadku g = 0. A więc 2δi = (d 1)(d 2).
91 Formuła Serre a II W naszym przypadku g = 0. A więc 2δi = (d 1)(d 2). Dla typowej krzywej wszystkie δ i odpowiadają punktom podwójnym.
92 Formuła Serre a II W naszym przypadku g = 0. A więc 2δi = (d 1)(d 2). Dla typowej krzywej wszystkie δ i odpowiadają punktom podwójnym. Jeśli zatem krzywa nie ma punktów podwójnych (albo ma jeden), to pozostałe muszą być schowane w punktach osobliwych.
93 Formuła Serre a II W naszym przypadku g = 0. A więc 2δi = (d 1)(d 2). Dla typowej krzywej wszystkie δ i odpowiadają punktom podwójnym. Jeśli zatem krzywa nie ma punktów podwójnych (albo ma jeden), to pozostałe muszą być schowane w punktach osobliwych. Mało punktów podwójnych dużo punktów osobliwych.
94 Kowymiar I Niezmiennikiem punktu osobliwego, który opisuje deformacje krzywej parametrycznej
95 Kowymiar I Niezmiennikiem punktu osobliwego, który opisuje deformacje krzywej parametrycznej kowymiar.
96 Kowymiar I Niezmiennikiem punktu osobliwego, który opisuje deformacje krzywej parametrycznej kowymiar. Jeśli w otoczeniu punktu osobliwego z jedną gałęzią x(t) t p, y(t) t q, możemy zapisać y = c 1 x 1/p + c 2 x 2/p + + c i x i/p +....
97 Kowymiar I Niezmiennikiem punktu osobliwego, który opisuje deformacje krzywej parametrycznej kowymiar. Jeśli w otoczeniu punktu osobliwego z jedną gałęzią x(t) t p, y(t) t q, możemy zapisać y = c 1 x 1/p + c 2 x 2/p + + c i x i/p c 1, c 2,..., c i,... współczynniki Puiseux.
98 Kowymiar I Niezmiennikiem punktu osobliwego, który opisuje deformacje krzywej parametrycznej kowymiar. Jeśli w otoczeniu punktu osobliwego z jedną gałęzią x(t) t p, y(t) t q, możemy zapisać y = c 1 x 1/p + c 2 x 2/p + + c i x i/p c 1, c 2,..., c i,... współczynniki Puiseux. Kowymiarem lokalnym ν nazywamy ilość istotnych współczynników Puiseux, które się zerują.
99 Kowymiar I Niezmiennikiem punktu osobliwego, który opisuje deformacje krzywej parametrycznej kowymiar. Jeśli w otoczeniu punktu osobliwego z jedną gałęzią x(t) t p, y(t) t q, możemy zapisać y = c 1 x 1/p + c 2 x 2/p + + c i x i/p c 1, c 2,..., c i,... współczynniki Puiseux. Kowymiarem lokalnym ν nazywamy ilość istotnych współczynników Puiseux, które się zerują. ν zależy wyłącznie od ciągu charakterystycznego osobliwości.
100 Kowymiar II Dla osobliwości z jedną gałęzią i x(t) t p, y(t) t q mamy: µ pν.
101 Kowymiar II Dla osobliwości z jedną gałęzią i x(t) t p, y(t) t q mamy: µ pν.
102 Kowymiar II Dla osobliwości z jedną gałęzią i x(t) t p, y(t) t q mamy: µ pν. Gdzie µ jest liczbą Milnora (2 ilość punktów podwójnych ukrytych w punkcie osobliwym), zaś
103 Kowymiar II Dla osobliwości z jedną gałęzią i x(t) t p, y(t) t q mamy: µ pν. Gdzie µ jest liczbą Milnora (2 ilość punktów podwójnych ukrytych w punkcie osobliwym), zaś ν jest dopiero co zdefiniowanym kowymiarem.
104 Kowymiar II Dla osobliwości z jedną gałęzią i x(t) t p, y(t) t q mamy: µ pν. Gdzie µ jest liczbą Milnora (2 ilość punktów podwójnych ukrytych w punkcie osobliwym), zaś ν jest dopiero co zdefiniowanym kowymiarem.
105 Kowymiar II Dla osobliwości z jedną gałęzią i x(t) t p, y(t) t q mamy: µ pν. Gdzie µ jest liczbą Milnora (2 ilość punktów podwójnych ukrytych w punkcie osobliwym), zaś ν jest dopiero co zdefiniowanym kowymiarem. Można znaleźć wszystkie przypadki, dla których zachodzi równość.
106 Kowymiar zewnętrzny Określamy kowymiar zewnętrzny jako
107 Kowymiar zewnętrzny Określamy kowymiar zewnętrzny jako ext ν = ν + p 2.
108 Kowymiar zewnętrzny Określamy kowymiar zewnętrzny jako ext ν = ν + p 2. Interpretacja. Kowymiar zewnętrzny można związać z deformacjami kiełka krzywej osobliwej zadanej parametrycznie, inaczej mówiąc z deformacjami, które nie zmieniają genusu normalizacji...
109 Kowymiar zewnętrzny Określamy kowymiar zewnętrzny jako ext ν = ν + p 2. Interpretacja. Kowymiar zewnętrzny można związać z deformacjami kiełka krzywej osobliwej zadanej parametrycznie, inaczej mówiąc z deformacjami, które nie zmieniają genusu normalizacji ale z tego w pracy nie korzystamy.
110 Nierówność Żoładka W przypadku jednego punktu w nieskończoności, wymiar przestrzeni krzywych parametrycznych wynosi
111 Nierówność Żoładka W przypadku jednego punktu w nieskończoności, wymiar przestrzeni krzywych parametrycznych wynosi a + c.
112 Nierówność Żoładka W przypadku jednego punktu w nieskończoności, wymiar przestrzeni krzywych parametrycznych wynosi a + c. W przypadku dwóch puntków
113 Nierówność Żoładka W przypadku jednego punktu w nieskończoności, wymiar przestrzeni krzywych parametrycznych wynosi a + c. W przypadku dwóch puntków a + b + c + d.
114 Nierówność Żoładka W przypadku jednego punktu w nieskończoności, wymiar przestrzeni krzywych parametrycznych wynosi a + c. W przypadku dwóch puntków a + b + c + d. Niech g oznacza wymiar grupy automorfizmów.
115 Nierówność Żoładka W przypadku jednego punktu w nieskończoności, wymiar przestrzeni krzywych parametrycznych wynosi a + c. W przypadku dwóch puntków a + b + c + d. Niech g oznacza wymiar grupy automorfizmów. Wówczas zachodzi ext νi a + c g
116 Nierówność Żoładka W przypadku jednego punktu w nieskończoności, wymiar przestrzeni krzywych parametrycznych wynosi a + c. W przypadku dwóch puntków a + b + c + d. Niech g oznacza wymiar grupy automorfizmów. Wówczas zachodzi ext νi a + c g Suma przebiega po wszystkich punktach osobliwych, wraz z nieskończonością
117 Nierówność Żoładka W przypadku jednego punktu w nieskończoności, wymiar przestrzeni krzywych parametrycznych wynosi a + c. W przypadku dwóch puntków a + b + c + d. Niech g oznacza wymiar grupy automorfizmów. Wówczas zachodzi ext νi a + c g Suma przebiega po wszystkich punktach osobliwych, wraz z nieskończonością ext ν i oznaczają kowymiary zewnętrzne.
118 Nierówność Żoładka W przypadku jednego punktu w nieskończoności, wymiar przestrzeni krzywych parametrycznych wynosi a + c. W przypadku dwóch puntków a + b + c + d. Niech g oznacza wymiar grupy automorfizmów. Wówczas zachodzi ext νi a + c g Suma przebiega po wszystkich punktach osobliwych, wraz z nieskończonością ext ν i oznaczają kowymiary zewnętrzne.
119 Nierówność Żoładka W przypadku jednego punktu w nieskończoności, wymiar przestrzeni krzywych parametrycznych wynosi a + c W przypadku dwóch puntków a + b + c + d. Niech g oznacza wymiar grupy automorfizmów. Wówczas zachodzi ext νi a + c g Suma przebiega po wszystkich punktach osobliwych, wraz z nieskończonością ext ν i oznaczają kowymiary zewnętrzne.
120 Nierówność Żoładka W przypadku jednego punktu w nieskończoności, wymiar przestrzeni krzywych parametrycznych wynosi a + c. W przypadku dwóch puntków a + b + c + d. Niech g oznacza wymiar grupy automorfizmów. Wówczas zachodzi ext νi a + b + c + d g Suma przebiega po wszystkich punktach osobliwych, wraz z nieskończonością ext ν i oznaczają kowymiary zewnętrzne.
121 Nierówność Żoładka W przypadku jednego punktu w nieskończoności, wymiar przestrzeni krzywych parametrycznych wynosi a + c. W przypadku dwóch puntków a + b + c + d. Niech g oznacza wymiar grupy automorfizmów. Wówczas zachodzi ext νi a + b + c + d g Suma przebiega po wszystkich punktach osobliwych, wraz z nieskończonością ext ν i oznaczają kowymiary zewnętrzne. Krzywa ograniczonego stopnia nie może mieć za dużo punktów osobliwych.
122 Oszacowania na krotność Dla krzywej zadanej wzorem
123 Oszacowania na krotność Dla krzywej zadanej wzorem { x(t) = t a + α 1 t a α a y(t) = t c + β 1 t c β c. Widzimy, że ẋ jest wielomianem stopnia a 1.
124 Oszacowania na krotność Dla krzywej zadanej wzorem { x(t) = t a + α 1 t a α a y(t) = t c + β 1 t c β c. Widzimy, że ẋ jest wielomianem stopnia a 1. Jeśli teraz t 0 jest punktem osobliwym krzywej (x(t), y(t)), oraz
125 Oszacowania na krotność Dla krzywej zadanej wzorem { x(t) = t a + α 1 t a α a y(t) = t c + β 1 t c β c. Widzimy, że ẋ jest wielomianem stopnia a 1. Jeśli teraz t 0 jest punktem osobliwym krzywej (x(t), y(t)), oraz to x(t) (t t 0 ) p 0
126 Oszacowania na krotność Dla krzywej zadanej wzorem { x(t) = t a + α 1 t a α a y(t) = t c + β 1 t c β c. Widzimy, że ẋ jest wielomianem stopnia a 1. Jeśli teraz t 0 jest punktem osobliwym krzywej (x(t), y(t)), oraz x(t) (t t 0 ) p 0 to ẋ musi dzielić się przez (t t 0 ) p 0 1.
127 Oszacowania na krotność II Powyższe rozumowanie daje (pi 1) a 1. Suma przebiega wszystkie skończone punkty osobliwe krzywej x, y.
128 Oszacowania na krotność II Powyższe rozumowanie daje (pi 1) a 1. Suma przebiega wszystkie skończone punkty osobliwe krzywej x, y. Podobne oszacowanie można wypisać dla krzywych z dwoma punktami w nieskończoności.
129 Połaczenie oszacowań Łączymy teraz znane oszacowania (dla krzywych wielomianowych)
130 Połaczenie oszacowań Łączymy teraz znane oszacowania (dla krzywych wielomianowych) Serre a 2δi = (c 1)(c 2)
131 Połaczenie oszacowań Łączymy teraz znane oszacowania (dla krzywych wielomianowych) 2δi = (c 1)(c 2) µ pν 2δ i = µ i p i (ext ν i p i + 2).
132 Połaczenie oszacowań Łączymy teraz znane oszacowania (dla krzywych wielomianowych) 2δi = (c 1)(c 2) 2δ i = µ i p i (ext ν i p i + 2). Żołądka ext νi a + c g
133 Połaczenie oszacowań Łączymy teraz znane oszacowania (dla krzywych wielomianowych) 2δi = (c 1)(c 2) 2δ i = µ i p i (ext ν i p i + 2). ext νi a + c g oraz krotności (p i 1) a 1
134 Połaczenie oszacowań Łączymy teraz znane oszacowania (dla krzywych wielomianowych) 2δi = (c 1)(c 2) 2δ i = µ i p i (ext ν i p i + 2). ext νi a + c g oraz (pi 1) a 1 Mamy więc pewien zestaw nierówności.
135 Połaczenie oszacowań Łączymy teraz znane oszacowania (dla krzywych wielomianowych) 2δi = (c 1)(c 2) 2δ i = µ i p i (ext ν i p i + 2). ext νi a + c g oraz (pi 1) a 1 Mamy więc pewien zestaw nierówności.
136 Połaczenie oszacowań Łączymy teraz znane oszacowania (dla krzywych wielomianowych) 2δi = (c 1)(c 2) 2δ i = µ i p i (ext ν i p i + 2). ext νi a + c g oraz (pi 1) a 1 Mamy więc pewien zestaw nierówności.
137 Połaczenie oszacowań Łączymy teraz znane oszacowania (dla krzywych wielomianowych) 2δi = (c 1)(c 2) 2δ i = µ i p i (ext ν i p i + 2). ext νi a + c g oraz (pi 1) a 1 Mamy więc pewien zestaw nierówności.
138 Połaczenie oszacowań Łączymy teraz znane oszacowania (dla krzywych wielomianowych) 2δi = (c 1)(c 2) 2δ i = µ i p i (ext ν i p i + 2). ext νi a + c g oraz (pi 1) a 1 Mamy więc pewien zestaw nierówności. Szukamy wszystkich krzywych, które je spełniają.
139 Metoda Metoda poszukiwań składa się z trzech elementów:
140 Metoda Metoda poszukiwań składa się z trzech elementów: rachunki,
141 Metoda Metoda poszukiwań składa się z trzech elementów: rachunki, rachunki,
142 Metoda Metoda poszukiwań składa się z trzech elementów: rachunki, rachunki, rachunki.
143 Rezultat W przypadku krzywych z jednym punktem w nieskończoności uzyskujemy
144 Rezultat W przypadku krzywych z jednym punktem w nieskończoności uzyskujemy 16 serii
145 Rezultat W przypadku krzywych z jednym punktem w nieskończoności uzyskujemy 16 serii i 5 przypadków szczególnych.
146 Rezultat W przypadku krzywych z jednym punktem w nieskończoności uzyskujemy 16 serii i 5 przypadków szczególnych. Dla krzywych z dwoma punktami w nieskończoności mamy
147 Rezultat W przypadku krzywych z jednym punktem w nieskończoności uzyskujemy 16 serii i 5 przypadków szczególnych. Dla krzywych z dwoma punktami w nieskończoności mamy 18 serii
148 Rezultat W przypadku krzywych z jednym punktem w nieskończoności uzyskujemy 16 serii i 5 przypadków szczególnych. Dla krzywych z dwoma punktami w nieskończoności mamy 18 serii i 5 przypadków szczególnych,
149 Rezultat W przypadku krzywych z jednym punktem w nieskończoności uzyskujemy 16 serii i 5 przypadków szczególnych. Dla krzywych z dwoma punktami w nieskończoności mamy 18 serii i 5 przypadków szczególnych, przy czym jedna seria ma ciągłe parametry.
150 Rezultat W przypadku krzywych z jednym punktem w nieskończoności uzyskujemy 16 serii i 5 przypadków szczególnych. Dla krzywych z dwoma punktami w nieskończoności mamy 18 serii i 5 przypadków szczególnych, przy czym jedna seria ma ciągłe parametry. Ponadto w tych 23 przypadkach zawiera się
151 Rezultat W przypadku krzywych z jednym punktem w nieskończoności uzyskujemy 16 serii i 5 przypadków szczególnych. Dla krzywych z dwoma punktami w nieskończoności mamy 18 serii i 5 przypadków szczególnych, przy czym jedna seria ma ciągłe parametry. Ponadto w tych 23 przypadkach zawiera się 7 serii
152 Rezultat W przypadku krzywych z jednym punktem w nieskończoności uzyskujemy 16 serii i 5 przypadków szczególnych. Dla krzywych z dwoma punktami w nieskończoności mamy 18 serii i 5 przypadków szczególnych, przy czym jedna seria ma ciągłe parametry. Ponadto w tych 23 przypadkach zawiera się 7 serii i 2 przypadki szczególne
153 Rezultat W przypadku krzywych z jednym punktem w nieskończoności uzyskujemy 16 serii i 5 przypadków szczególnych. Dla krzywych z dwoma punktami w nieskończoności mamy 18 serii i 5 przypadków szczególnych, przy czym jedna seria ma ciągłe parametry. Ponadto w tych 23 przypadkach zawiera się 7 serii i 2 przypadki szczególne gładkich zanurzeń C C 2.
154 Odwzorowania C C 2 (a) x = t 2, y = (t 2 1) k t 2l+1, k = 1, 2,..., l = 0, 1,... ;
155 Odwzorowania C C 2 (a) x = t 2, y = (t 2 1) k t 2l+1, k = 1, 2,..., l = 0, 1,... ; (b) x = t 3, y = t 3k+2 t 3k+1, k = 1, 2,... ;
156 Odwzorowania C C 2 (a) x = t 2, y = (t 2 1) k t 2l+1, k = 1, 2,..., l = 0, 1,... ; (b) x = t 3, y = t 3k+2 t 3k+1, k = 1, 2,... ; (c) x = t 4, y = t 4k+2 t 4k+1, k = 1, 2,... ;
157 Odwzorowania C C 2 (a) x = t 2, y = (t 2 1) k t 2l+1, k = 1, 2,..., l = 0, 1,... ; (b) x = t 3, y = t 3k+2 t 3k+1, k = 1, 2,... ; (c) x = t 4, y = t 4k+2 t 4k+1, k = 1, 2,... ; (d) x = t 4, y = t 4k+3 t 4k+2, k = 0, 1,... ;
158 Odwzorowania C C 2 (a) x = t 2, y = (t 2 1) k t 2l+1, k = 1, 2,..., l = 0, 1,... ; (b) x = t 3, y = t 3k+2 t 3k+1, k = 1, 2,... ; (c) x = t 4, y = t 4k+2 t 4k+1, k = 1, 2,... ; (d) x = t 4, y = t 4k+3 t 4k+2, k = 0, 1,... ; (e) x = t 6, y = t 6k+3 t 6k+2, k = 1, 2,... ;
159 Odwzorowania C C 2 (a) x = t 2, y = (t 2 1) k t 2l+1, k = 1, 2,..., l = 0, 1,... ; (b) x = t 3, y = t 3k+2 t 3k+1, k = 1, 2,... ; (c) x = t 4, y = t 4k+2 t 4k+1, k = 1, 2,... ; (d) x = t 4, y = t 4k+3 t 4k+2, k = 0, 1,... ; (e) x = t 6, y = t 6k+3 t 6k+2, k = 1, 2,... ; (f) x = t 6, y = t 6k+4 t 6k+3, k = 0, 1,... ;
160 Odwzorowania C C 2 (a) x = t 2, y = (t 2 1) k t 2l+1, k = 1, 2,..., l = 0, 1,... ; (b) x = t 3, y = t 3k+2 t 3k+1, k = 1, 2,... ; (c) x = t 4, y = t 4k+2 t 4k+1, k = 1, 2,... ; (d) x = t 4, y = t 4k+3 t 4k+2, k = 0, 1,... ; (e) x = t 6, y = t 6k+3 t 6k+2, k = 1, 2,... ; (f) x = t 6, y = t 6k+4 t 6k+3, k = 0, 1,... ; (g) x = t a (t 1) kb, y = t c (t 1) kd, κ = ad bc = 1, k = 1, 2,..., 2 < a + kb < c + kd;
161 Odwzorowania C C 2 (h) x = t 2a (t 1) 2b, y = t 2c (t 1) 2d, κ = 1, 2 < ka < kc;
162 Odwzorowania C C 2 (h) x = t 2a (t 1) 2b, y = t 2c (t 1) 2d, κ = 1, 2 < ka < kc; (i) x = t ka b (t 1) b, y = t kc d (t 1) d, κ = 1, k = 1, 2,... ;
163 Odwzorowania C C 2 (h) x = t 2a (t 1) 2b, y = t 2c (t 1) 2d, κ = 1, 2 < ka < kc; (i) x = t ka b (t 1) b, y = t kc d (t 1) d, κ = 1, k = 1, 2,... ; (j) x = t 2 (t 1), y = t 2k+1 (t 1) k (t 4 3 ), k = 1, 2,... ;
164 Odwzorowania C C 2 (h) x = t 2a (t 1) 2b, y = t 2c (t 1) 2d, κ = 1, 2 < ka < kc; (i) x = t ka b (t 1) b, y = t kc d (t 1) d, κ = 1, k = 1, 2,... ; (j) x = t 2 (t 1), y = t 2k+1 (t 1) k (t 4 3 ), k = 1, 2,... ; (k) x = t 3 (t 1), y = t 3k+1 (t 1) k (t 3 2 ), k = 1, 2,... ;
165 Odwzorowania C C 2 (h) x = t 2a (t 1) 2b, y = t 2c (t 1) 2d, κ = 1, 2 < ka < kc; (i) x = t ka b (t 1) b, y = t kc d (t 1) d, κ = 1, k = 1, 2,... ; (j) x = t 2 (t 1), y = t 2k+1 (t 1) k (t 4 3 ), k = 1, 2,... ; (k) x = t 3 (t 1), y = t 3k+1 (t 1) k (t 3 2 ), k = 1, 2,... ; (l) x = [t(t 1)] 2k, y = [t(t 1)] (2l+1)k (t 1 2 ), k = 1, 2,..., l = 0, 1,... ;
166 Odwzorowania C C 2 (m) x = [t(t 1)] 2k+1, y = x l [t(t 1)] k (t 1 2 ), k = 0, 1,..., l = 0, 1,..., (k, l) (0, 0), (0, 1);
167 Odwzorowania C C 2 (m) x = [t(t 1)] 2k+1, y = x l [t(t 1)] k (t 1 2 ), k = 0, 1,..., l = 0, 1,..., (k, l) (0, 0), (0, 1); (n) x = t k (t 1) k+1 (t 1 2 )yl, y = t 2k (t 1) 2k+2, k = 1, 2,..., l = 0, 1,... ;
168 Odwzorowania C C 2 (m) x = [t(t 1)] 2k+1, y = x l [t(t 1)] k (t 1 2 ), k = 0, 1,..., l = 0, 1,..., (k, l) (0, 0), (0, 1); (n) x = t k (t 1) k+1 (t 1 2 )yl, y = t 2k (t 1) 2k+2, k = 1, 2,..., l = 0, 1,... ; (o) x = t 2k 1 (t 1) 2k+1, y = x l t k 1 (t 1) k (t 1 2 ), k = 1, 2,..., l = 1,... ;
169 Odwzorowania C C 2 (m) x = [t(t 1)] 2k+1, y = x l [t(t 1)] k (t 1 2 ), k = 0, 1,..., l = 0, 1,..., (k, l) (0, 0), (0, 1); (n) x = t k (t 1) k+1 (t 1 2 )yl, y = t 2k (t 1) 2k+2, k = 1, 2,..., l = 0, 1,... ; (o) x = t 2k 1 (t 1) 2k+1, y = x l t k 1 (t 1) k (t 1 2 ), k = 1, 2,..., l = 1,... ; (p) x = t 3 (t 1) 3, y = t(t 1)(t i 3)x k, k = 1, 2,....
170 Odwzorowania C C 2 (q) x = t 3 3t, y = t 4 2t 2 ;
171 Odwzorowania C C 2 (q) x = t 3 3t, y = t 4 2t 2 ; (r) x = t 3 3t, y = t 5 2 2t t t;
172 Odwzorowania C C 2 (q) x = t 3 3t, y = t 4 2t 2 ; (r) x = t 3 3t, y = t 5 2 2t t t; (s) x = t 3 3t, y = t t t 2 205t;
173 Odwzorowania C C 2 (q) x = t 3 3t, y = t 4 2t 2 ; (r) x = t 3 3t, y = t 5 2 2t t t; (s) x = t 3 3t, y = t t t 2 205t; (t) x = t 3 3t, y = t t4 + 5t 2 5t;
174 Odwzorowania C C 2 (q) x = t 3 3t, y = t 4 2t 2 ; (r) x = t 3 3t, y = t 5 2 2t t t; (s) x = t 3 3t, y = t t t 2 205t; (t) x = t 3 3t, y = t t4 + 5t 2 5t; (u) x = t 3 3t, y = t t4 t t.
175 Odwzorowania C C 2 (a) x = t m, y = t n + γ 1 t m + γ 2 t 2m + + γ k t mk, gdzie m > 0, NW D(m, n ) = 1, k = 0, 1,..., γ j C, γ k = 1 (jeśli k > 0) oraz k > 0 jeśli n > 0. oraz co najmniej jedno γ i 0 jeśli m > 0.
176 Odwzorowania C C 2 (a) x = t m, y = t n + γ 1 t m + γ 2 t 2m + + γ k t mk, gdzie m > 0, NW D(m, n ) = 1, k = 0, 1,..., γ j C, γ k = 1 (jeśli k > 0) oraz k > 0 jeśli n > 0. oraz co najmniej jedno γ i 0 jeśli m > 0. (b) x = t(t 1), y = (x )m x n R l (1/t), gdzie m, n = 0, 1,... a R l jest wielomianem spełniającym R l (1/t) R l (1/(1 t)) = (2t 1)t l (1 t) l, l = 1, 2,....
177 Odwzorowania C C 2 (a) x = t m, y = t n + γ 1 t m + γ 2 t 2m + + γ k t mk, gdzie m > 0, NW D(m, n ) = 1, k = 0, 1,..., γ j C, γ k = 1 (jeśli k > 0) oraz k > 0 jeśli n > 0. oraz co najmniej jedno γ i 0 jeśli m > 0. (b) x = t(t 1), y = (x )m x n R l (1/t), gdzie m, n = 0, 1,... a R l jest wielomianem spełniającym R l (1/t) R l (1/(1 t)) = (2t 1)t l (1 t) l, l = 1, 2,.... (c) x = t mn (t 1), y = S + k (1/t), gdzie mn 2, k = 1, 2,.... S k są wielomianami zdefiniowanymi rekurencyjnie przez S 0 + (u) = un, S + k+1 (u) = [S+ k (u) S+ k (1)]umn+1 /(u 1).
178 Odwzorowania C C 2 (d) x = t mn 1 (t 1), y = T + k (1/t), gdzie mn 2, k = 1, 2,.... T + k są wielomianami określonymi rekurencyjnie przez T 0 + (u) = umn, T + k+1 (u) = [T + k (u) T + k (1)]umn /(u 1).
179 Odwzorowania C C 2 (d) x = t mn 1 (t 1), y = T + k (1/t), gdzie mn 2, k = 1, 2,.... T + k są wielomianami określonymi rekurencyjnie przez T 0 + (u) = umn, T + k+1 (u) = [T + k (u) T + k (1)]umn /(u 1). (e) x = t mn (t 1), y = S k (1/t), gdzie mn 2, k = 1,..., a Sm jest określone przez warunki: S0 (u) = u mn, S k+1 (u) = [S k (u) S k (1)]umn+1 /(u 1).
180 Odwzorowania C C 2 (d) x = t mn 1 (t 1), y = T + k (1/t), gdzie mn 2, k = 1, 2,.... T + k są wielomianami określonymi rekurencyjnie przez T 0 + (u) = umn, T + k+1 (u) = [T + k (u) T + k (1)]umn /(u 1). (e) x = t mn (t 1), y = S k (1/t), gdzie mn 2, k = 1,..., a Sm jest określone przez warunki: S0 (u) = u mn, S k+1 (u) = [S k (u) S k (1)]umn+1 /(u 1). (f) x = t mn 1 (t 1), y = T k (1/t), gdzie mn 2, k = 1, 2,... a Tm zadaje się rekurencyjnie przez: T0 (u) = u mn, T k+1 (u) = [T k (u) T k (1)]umn /(u 1).
181 Odwzorowania C C 2 (g) x = t 2 (t 1), y = U k (1/t), k = 1, 2,..., U 1 (u) = 3u + u 2, U k+1 (u) = [U k (u) U k (1)]u 3 /(u 1).
182 Odwzorowania C C 2 (g) x = t 2 (t 1), y = U k (1/t), k = 1, 2,..., U 1 (u) = 3u + u 2, U k+1 (u) = [U k (u) U k (1)]u 3 /(u 1). (h) x = t 3 (t 1), y = V k (1/t), V 1 (u) = 2u 2 u 3, V k+1 (u) = [V k (u) V k (1)]u 4 /(u 1).
183 Odwzorowania C C 2 (g) x = t 2 (t 1), y = U k (1/t), k = 1, 2,..., U 1 (u) = 3u + u 2, U k+1 (u) = [U k (u) U k (1)]u 3 /(u 1). (h) x = t 3 (t 1), y = V k (1/t), V 1 (u) = 2u 2 u 3, V k+1 (u) = [V k (u) V k (1)]u 4 /(u 1). (i) x = t 3 (t 1), y = W k (1/t), gdzie k = 1, 2,..., W 1 (u) = 2u 2 + u 3, W k+1 (u) = [W k (u) W k (1)]u 4 /(u 1).
184 Odwzorowania C C 2 (g) x = t 2 (t 1), y = U k (1/t), k = 1, 2,..., U 1 (u) = 3u + u 2, U k+1 (u) = [U k (u) U k (1)]u 3 /(u 1). (h) x = t 3 (t 1), y = V k (1/t), V 1 (u) = 2u 2 u 3, V k+1 (u) = [V k (u) V k (1)]u 4 /(u 1). (i) x = t 3 (t 1), y = W k (1/t), gdzie k = 1, 2,..., W 1 (u) = 2u 2 + u 3, W k+1 (u) = [W k (u) W k (1)]u 4 /(u 1). (j) x = t + t 1, y = Z(t) jest wielomianem spełniającym y(t) + y(1/t) = (t 1) 2m+1 (t + 1) n+1 /t m+n+1, gdzie 0 m n i m + n > 0.
185 Odwzorowania C C 2 (k) x = (t 1) 3 t 2, y = x k (t 1)(t 4)t 1, k = 1, 2,....
186 Odwzorowania C C 2 (k) x = (t 1) 3 t 2, y = x k (t 1)(t 4)t 1, k = 1, 2,.... (l) x = (t 1) m t pn, y = (t 1) k t pl, ml nk = 1, p = 1, 2,....
187 Odwzorowania C C 2 (k) x = (t 1) 3 t 2, y = x k (t 1)(t 4)t 1, k = 1, 2,.... (l) x = (t 1) m t pn, y = (t 1) k t pl, ml nk = 1, p = 1, 2,.... (m) x = (t 1) pm t n, y = (t 1) pk t l, ml nk = 1, p = 1, 2,....
188 Odwzorowania C C 2 (k) x = (t 1) 3 t 2, y = x k (t 1)(t 4)t 1, k = 1, 2,.... (l) x = (t 1) m t pn, y = (t 1) k t pl, ml nk = 1, p = 1, 2,.... (m) x = (t 1) pm t n, y = (t 1) pk t l, ml nk = 1, p = 1, 2,.... (n) x = (t 1) 2m t 2n, y = (t 1) 2k t 2l, ml nk = 1.
189 Odwzorowania C C 2 (k) x = (t 1) 3 t 2, y = x k (t 1)(t 4)t 1, k = 1, 2,.... (l) x = (t 1) m t pn, y = (t 1) k t pl, ml nk = 1, p = 1, 2,.... (m) x = (t 1) pm t n, y = (t 1) pk t l, ml nk = 1, p = 1, 2,.... (n) x = (t 1) 2m t 2n, y = (t 1) 2k t 2l, ml nk = 1. (o) x = (t 1) 4l t 1 2l, y = x k (t 1) 2l (t + 1)t l, k = 0, 1,..., l = 1, 2, 3,....
190 Odwzorowania C C 2 (k) x = (t 1) 3 t 2, y = x k (t 1)(t 4)t 1, k = 1, 2,.... (l) x = (t 1) m t pn, y = (t 1) k t pl, ml nk = 1, p = 1, 2,.... (m) x = (t 1) pm t n, y = (t 1) pk t l, ml nk = 1, p = 1, 2,.... (n) x = (t 1) 2m t 2n, y = (t 1) 2k t 2l, ml nk = 1. (o) x = (t 1) 4l t 1 2l, y = x k (t 1) 2l (t + 1)t l, k = 0, 1,..., l = 1, 2, 3,.... (p) x = (t 1) 4 t 3, y = x k (t 1) 2 (t 3)t 2, k = 1, 2,....
191 Odwzorowania C C 2 (q) x = (t 1) 4m 2 t 1 2m, y = x k (t 1) 2m 1 (t + 3)t m, m = 2, 3,..., k = 0, 1,....
192 Odwzorowania C C 2 (q) x = (t 1) 4m 2 t 1 2m, y = x k (t 1) 2m 1 (t + 3)t m, m = 2, 3,..., k = 0, 1,.... (r) x = (t 1) 3 (t + e iπ/3 )t 2 y k, y = (t 1) 6 t 3, k = 0, 1,....
193 Odwzorowania C C 2 (q) x = (t 1) 4m 2 t 1 2m, y = x k (t 1) 2m 1 (t + 3)t m, m = 2, 3,..., k = 0, 1,.... (r) x = (t 1) 3 (t + e iπ/3 )t 2 y k, y = (t 1) 6 t 3, k = 0, 1,.... (s) x = t 6 + t t4, y = t 6 t t 8.
194 Odwzorowania C C 2 (q) x = (t 1) 4m 2 t 1 2m, y = x k (t 1) 2m 1 (t + 3)t m, m = 2, 3,..., k = 0, 1,.... (r) x = (t 1) 3 (t + e iπ/3 )t 2 y k, y = (t 1) 6 t 3, k = 0, 1,.... (s) x = t 6 + t t4, y = t 6 t t 8. (t) x = (t 4 2t 3 + t 2 )t 4k, y = (t 4 + 2t 5 + t 6 )t 4k, k = 0, 1, 2,....
195 Odwzorowania C C 2 (q) x = (t 1) 4m 2 t 1 2m, y = x k (t 1) 2m 1 (t + 3)t m, m = 2, 3,..., k = 0, 1,.... (r) x = (t 1) 3 (t + e iπ/3 )t 2 y k, y = (t 1) 6 t 3, k = 0, 1,.... (s) x = t 6 + t t4, y = t 6 t t 8. (t) x = (t 4 2t 3 + t 2 )t 4k, y = (t 4 + 2t 5 + t 6 )t 4k, k = 0, 1, 2,.... (u) x = (t 1) 2 (t + 2)t 1, y = (t 1) 4 (t )t 2.
196 Odwzorowania C C 2 (v) x = (t 1) 2 (t )t 1, y = (t 1) 4 (t ( ))t 2.
197 Odwzorowania C C 2 (v) x = (t 1) 2 (t )t 1, y = (t 1) 4 (t ( ))t 2. (w) x = (t 1) 2 (t + 2)t 1, y = (t 1) 2 (t )t 2.
198 Co dalej? Dla krzywych wymiernych o mniejszej charakterystyce Eulera można spodziewać się ciągłych rodzin...
199 Co dalej? Dla krzywych wymiernych o mniejszej charakterystyce Eulera można spodziewać się ciągłych rodzin oraz dodatkowo dużo więcej rachunków.
200 Co dalej? Dla krzywych wymiernych o mniejszej charakterystyce Eulera można spodziewać się ciągłych rodzin oraz dodatkowo dużo więcej rachunków. Dla krzywych o genusie 1 trudno znaleźć dobre oszacowanie dla kowymiarów.
201 Co dalej? Dla krzywych wymiernych o mniejszej charakterystyce Eulera można spodziewać się ciągłych rodzin oraz dodatkowo dużo więcej rachunków. Dla krzywych o genusie 1 trudno znaleźć dobre oszacowanie dla kowymiarów. Można próbować analizować tzw. krzywe ostrzowe (cuspidal curves) w CP 2, ale problem jest rachunkowo beznadziejny.
202 Co dalej? Dla krzywych wymiernych o mniejszej charakterystyce Eulera można spodziewać się ciągłych rodzin oraz dodatkowo dużo więcej rachunków. Dla krzywych o genusie 1 trudno znaleźć dobre oszacowanie dla kowymiarów. Można próbować analizować tzw. krzywe ostrzowe (cuspidal curves) w CP 2, ale problem jest rachunkowo beznadziejny. Znaleźć zgrabną formułę całkową na kowymiar.
203 ZA UWAG E
VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa.
VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa. W rozdziale tym zajmiemy się dokładniej badaniem stabilności rozwiązań równania różniczkowego. Pojęcie stabilności w
Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz
Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współczynnikach Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 12 maja 2016 Równanie liniowe n-tego rzędu Definicja Równaniem różniczkowym liniowym
Krzywe Freya i Wielkie Twierdzenie Fermata
Krzywe Freya i Wielkie Twierdzenie Fermata Michał Krzemiński 29 listopad 2006 Naukowe Koło Matematyki Politechnika Gdańska 1 1 Krzywe algebraiczne Definicja 1.1 Krzywą algebraiczną C nad ciałem K nazywamy
Kryptografia - zastosowanie krzywych eliptycznych
Kryptografia - zastosowanie krzywych eliptycznych 24 marca 2011 Niech F będzie ciałem doskonałym (tzn. każde rozszerzenie algebraiczne ciała F jest rozdzielcze lub równoważnie, monomorfizm Frobeniusa jest
Matematyka dyskretna
Matematyka dyskretna Wykład 12: Krzywe eliptyczne Gniewomir Sarbicki Rozważać będziemy przestrzeń K n Definicja: x y λ K x = λy. Relację nazywamy różnieniem się o skalar Przykład: [4, 10, 6, 14] [6, 15,
n=0 (n + r)a n x n+r 1 (n + r)(n + r 1)a n x n+r 2. Wykorzystując te obliczenia otrzymujemy, że lewa strona równania (1) jest równa
Równanie Bessela Będziemy rozważać następujące równanie Bessela x y xy x ν )y 0 ) gdzie ν 0 jest pewnym parametrem Rozwiązania równania ) nazywamy funkcjami Bessela rzędu ν Sprawdzamy, że x 0 jest regularnym
Układy równań i równania wyższych rzędów
Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem
Równania różniczkowe liniowe rzędu pierwszego
Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 21 kwietnia 2016 Wstęp Definicja Równanie różniczkowe + p (x) y = q (x) (1) nazywamy równaniem różniczkowym liniowym pierwszego rzędu. Jeśli q (x) 0, to
Matematyka II. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 2018/2019 wykład 13 (27 maja)
Matematyka II Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 208/209 wykład 3 (27 maja) Całki niewłaściwe przedział nieograniczony Rozpatrujemy funkcje ciągłe określone na zbiorach < a, ),
Definicje i przykłady
Rozdział 1 Definicje i przykłady 1.1 Definicja równania różniczkowego 1.1 DEFINICJA. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie F (t, x, ẋ, ẍ,..., x (n) ) = 0. (1.1) W równaniu tym t jest
1 Macierz odwrotna metoda operacji elementarnych
W tej części skupimy się na macierzach kwadratowych. Zakładać będziemy, że A M(n, n) dla pewnego n N. Definicja 1. Niech A M(n, n). Wtedy macierzą odwrotną macierzy A (ozn. A 1 ) nazywamy taką macierz
WSTĘP DO KRZYWYCH ALGEBRAICZNYCH.
WSTĘP DO KRZYWYCH ALGEBRAICZNYCH. 1. Wprowadzenie Definicja 1. Krzywą algebraiczną w C 2 nazywamy zbiór {f(x, y) = 0}, gdzie f jest wielomianem, dla uproszczenia nierozkładalnym. Definicja 2. Stopniem
Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja), Równania różniczkowe, wartości własne, funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L
Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja) Równania różniczkowe wartości własne funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L Wszelkie pytania oraz uwagi o błędach proszę kierować na przemek.majewski@gmail.com
Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria Środowiska w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era
O geometrii semialgebraicznej
Inauguracja roku akademickiego 2018/2019 na Wydziale Matematyki i Informatyki Uniwersytetu Łódzkiego O geometrii semialgebraicznej Stanisław Spodzieja Łódź, 28 września 2018 Wstęp Rozwiązywanie równań
Metody numeryczne I Równania nieliniowe
Metody numeryczne I Równania nieliniowe Janusz Szwabiński szwabin@ift.uni.wroc.pl Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.1/66 Równania nieliniowe 1. Równania nieliniowe z pojedynczym pierwiastkiem
Matematyka 2. Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego
Matematyka 2 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego Równania różniczkowe liniowe rzędu II Równanie różniczkowe w postaci y + a 1 (x)y + a 0 (x)y = f(x) gdzie a 0 (x), a 1 (x) i f(x) są funkcjami
ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ
ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH RZECZYWISTYCH Definicja 1. Niech A będzie dowolnym niepustym zbiorem. Metryką w zbiorze A nazywamy funkcję rzeczywistą
Algebra liniowa II. Lista 1. 1 u w 0 1 v 0 0 1
Algebra liniowa II Lista Zadanie Udowodnić, że jeśli B b ij jest macierzą górnotrójkątną o rozmiarze m m, to jej wyznacznik jest równy iloczynowi elementów leżących na głównej przekątnej: det B b b b mm
Analiza matematyczna dla informatyków 3 Zajęcia 14
Analiza matematyczna dla informatyków 3 Zajęcia 14 Metoda rozwiązywania (Jednorodne równanie różniczkowe liniowe rzędu n o stałych współczynnikach). gdzie a 0,..., a n 1 C. Wielomian charakterystyczny:
Całki krzywoliniowe skierowane
Całki krzywoliniowe skierowane Zamiana całki krzywoliniowej skierowanej na całkę pojedyńcza. Twierdzenie Greena. Zastosowania całki krzywoliniowej skierowanej. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział
Prace Koła Matematyków Uniwersytetu Pedagogicznego w Krakowie (2017)
Prace Koła Mat. Uniw. Ped. w Krak. 4 (2017), 1 11 edagogicznego w Krakowie PKoło Matematyków Uniwersytetu Prace Koła Matematyków Uniwersytetu Pedagogicznego w Krakowie (2017) Magdalena Gwóźdź 1 Afiniczna
Algebra liniowa. Macierze i układy równań liniowych
Algebra liniowa Macierze i układy równań liniowych Własności wyznaczników det I = 1, det(ab) = det A det B, det(a T ) = det A. Macierz nieosobliwa Niech A będzie macierzą kwadratową wymiaru n n. Mówimy,
Sekantooptyki owali i ich własności
Sekantooptyki owali i ich własności Magdalena Skrzypiec Wydział Matematyki, Fizyki i Informatyki Uniwersytet Marii Curie-Skłodowskiej 19 października 2009r. Informacje wstępne Definicja Owalem nazywamy
Rozwiązywanie zależności rekurencyjnych metodą równania charakterystycznego
Rozwiązywanie zależności rekurencyjnych metodą równania charakterystycznego WMS, 2019 1 Wstęp Niniejszy dokument ma na celu prezentację w teorii i na przykładach rozwiązywania szczególnych typów równań
Przykładowe zadania z teorii liczb
Przykładowe zadania z teorii liczb I. Podzielność liczb całkowitych. Liczba a = 346 przy dzieleniu przez pewną liczbę dodatnią całkowitą b daje iloraz k = 85 i resztę r. Znaleźć dzielnik b oraz resztę
2. Kombinacja liniowa rozwiązań zeruje się w pewnym punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy zeruje się w każdym punkcie.
Wniosek 1 Rozpatrzmy układ równań postaci: y 1 = a 11 (x)y 1 + + a 1n (x)y n y 2 = a 21 (x)y 1 + + a 2n (x)y n y n = a n1 (x)y 1 + + a nn (x)y n (1) o współczynnikach ciągłych w przedziale J 1 Rozwiązanie
SIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa
SIMR 06/07, Analiza, wykład, 07-0- Przestrzeń wektorowa Przestrzeń wektorowa (liniowa) - przestrzeń (zbiór) w której określone są działania (funkcje) dodawania elementów i mnożenia elementów przez liczbę
Met Me ody numer yczne Wykład ykład Dr inż. Mic hał ha Łanc Łan zon Instyt Ins ut Elektr Elektr echn iki echn i Elektrot Elektr echn olo echn
Metody numeryczne Wykład 3 Dr inż. Michał Łanczont Instytut Elektrotechniki i Elektrotechnologii E419, tel. 4293, m.lanczont@pollub.pl, http://m.lanczont.pollub.pl Zakres wykładu Pojęcia podstawowe Algebra
Wstęp do równań różniczkowych
Wstęp do równań różniczkowych Wykład 1 Lech Sławik Instytut Matematyki PK Literatura 1. Arnold W.I., Równania różniczkowe zwyczajne, PWN, Warszawa, 1975. 2. Matwiejew N.M., Metody całkowania równań różniczkowych
Całki krzywoliniowe. SNM - Elementy analizy wektorowej - 1
SNM - Elementy analizy wektorowej - 1 Całki krzywoliniowe Definicja (funkcja wektorowa jednej zmiennej) Funkcją wektorową jednej zmiennej nazywamy odwzorowanie r : I R 3, gdzie I oznacza przedział na prostej,
III. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań.
III. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań. Analiza stabilności rozwiązań stanowi ważną część jakościowej teorii równań różniczkowych. Jej istotą jest poszukiwanie odpowiedzi
Matematyka dyskretna dla informatyków
Matematyka dyskretna dla informatyków Część I: Elementy kombinatoryki Jerzy Jaworski Zbigniew Palka Jerzy Szymański Uniwersytet im. Adama Mickiewicza Poznań 2007 4 Zależności rekurencyjne Wiele zależności
Pokazać, że wyżej zdefiniowana struktura algebraiczna jest przestrzenią wektorową nad ciałem
Zestaw zadań 9: Przestrzenie wektorowe. Podprzestrzenie () Wykazać, że V = C ze zwykłym dodawaniem jako dodawaniem wektorów i operacją mnożenia przez skalar : C C C, (z, v) z v := z v jest przestrzenią
Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.
Zastosowania twierdzeń o punktach stałych
16 kwietnia 2016 Abstrakt Niech X będzie przestrzenią topologiczną. Ustalmy odwzorowanie ciągłe f : X X. Twierdzeniem o punkcie stałym nazywamy prawdę matematyczną postulującą pod pewnymi warunkami istnienie
Wektor, prosta, płaszczyzna; liniowa niezależność, rząd macierzy
Wektor, prosta, płaszczyzna; liniowa niezależność, rząd macierzy Justyna Winnicka Na podstawie podręcznika Matematyka. e-book M. Dędys, S. Dorosiewicza, M. Ekes, J. Kłopotowskiego. rok akademicki 217/218
Wykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V to zachodzi wzór: dim(u + W ) = dim U + dim W dim(u
Wykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V to zachodzi wzór: dim(u + W ) = dim U + dim W dim(u W ) Rzeczywiście U W jest podprzetrzenią przestrzeni
Baza w jądrze i baza obrazu ( )
Przykład Baza w jądrze i baza obrazu (839) Znajdź bazy jądra i obrazu odwzorowania α : R 4 R 3, gdzie α(x, y, z, t) = (x + 2z + t, 2x + y 3z 5t, x y + z + 4t) () zór ten oznacza, że α jest odwzorowaniem
1 Działania na zbiorach
Algebra liniowa z geometrią /4 Działania na zbiorach Zadanie Czy działanie : R R R określone wzorem (x x ) (y y ) := (x y x y x y + x y ) jest przemienne? Zadanie W dowolnym zbiorze X określamy działanie
ALGEBRA z GEOMETRIA, ANALITYCZNA,
ALGEBRA z GEOMETRIA, ANALITYCZNA, MAT00405 PRZEKSZTAL CANIE WYRAZ EN ALGEBRAICZNYCH, WZO R DWUMIANOWY NEWTONA Uprościć podane wyrażenia 7; (b) ( 6)( + ); (c) a 5 6 8a ; (d) ( 5 )( 5 + ); (e) ( 45x 4 y
Wektory i wartości własne
Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń W V nazywamy niezmienniczą
Aproksymacja. j<k. L 2 p[a, b] l 2 p,n X = Lemat 1. Wielomiany ortogonalne P 0,P 1,...,P n tworza przestrzeni liniowej Π n. Dowód.
![Aproksymacja. j<k. L 2 p[a, b] l 2 p,n X = Lemat 1. Wielomiany ortogonalne P 0,P 1,...,P n tworza przestrzeni liniowej Π n. Dowód.](/thumbs/98/135408382.jpg "Aproksymacja. j<k. L 2 p[a, b] l 2 p,n X = Lemat 1. Wielomiany ortogonalne P 0,P 1,...,P n tworza przestrzeni liniowej Π n. Dowód.")
Metody numeryczne Paweł Zieliński p. 1/19 Lemat 1. Wielomiany ortogonalne P 0,P 1,...,P n tworza bazę przestrzeni liniowej Π n. Dowód. Lemat 2. Dowolny wielomian Q j stopnia j niższego od k jest prostopadły
Wstęp do równań różniczkowych
Wstęp do równań różniczkowych Wykład 1 Lech Sławik Instytut Matematyki PK Literatura 1. Arnold W.I., Równania różniczkowe zwyczajne, PWN, Warszawa, 1975. 2. Matwiejew N.M., Metody całkowania równań różniczkowych
n=0 Dla zbioru Cantora prawdziwe są wersje lematu 3.6 oraz lematu 3.8 przy założeniu α = :
4. Zbiory borelowskie. Zbiór wszystkich podzbiorów liczb naturalnych będziemy oznaczali przez ω. Najmniejszą topologię na zbiorze ω, w której zbiory {A ω : x A ω \ y}, gdzie x oraz y są zbiorami skończonymi,
y(t) = y 0 + R sin t, t R. z(t) = h 2π t
SNM - Elementy analizy wektorowej - 1 Całki krzywoliniowe Definicja (funkcja wektorowa jednej zmiennej) Funkcją wektorową jednej zmiennej nazywamy odwzorowanie r : I R 3, gdzie I oznacza przedział na prostej,
II. Równania autonomiczne. 1. Podstawowe pojęcia.
II. Równania autonomiczne. 1. Podstawowe pojęcia. Definicja 1.1. Niech Q R n, n 1, będzie danym zbiorem i niech f : Q R n będzie daną funkcją określoną na Q. Równanie różniczkowe postaci (1.1) x = f(x),
Dział I FUNKCJE I ICH WŁASNOŚCI
MATEMATYKA ZAKRES PODSTAWOWY Rok szkolny 01/013 Klasa: II Nauczyciel: Mirosław Kołomyjski Dział I FUNKCJE I ICH WŁASNOŚCI Lp. Zagadnienie Osiągnięcia ucznia. 1. Podstawowe własności funkcji.. Podaje określenie
Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1
Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Równania różniczkowe pierwszego rzędu Równaniem różniczkowym zwyczajnym pierwszego rzędu nazywamy równanie postaci (R) y = f(x, y). Najogólniejszą
Ćwiczenia nr 7. TEMATYKA: Krzywe Bézier a
TEMATYKA: Krzywe Bézier a Ćwiczenia nr 7 DEFINICJE: Interpolacja: przybliżanie funkcji za pomocą innej funkcji, zwykle wielomianu, tak aby były sobie równe w zadanych punktach. Poniżej przykład interpolacji
5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu
5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu 5.1. Wstęp. Definicja 5.1. Niech V R 3 będzie obszarem oraz F : V R. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu pierwszego nazywamy równanie postaci Równanie
1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną?
1. Liczby zespolone 1.1. Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną? 1.2. Doprowadzić do postaci a + ib liczby zespolone (i) (1 13i)/(1 3i),
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie strona główna Spis treści 1 Wyrażenia algebraiczne indukcja matematyczna 1 Geometria analityczna w R 3 3 Liczby zespolone
Wektory i wartości własne
Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń
Nierówności symetryczne
Nierówności symetryczne Andrzej Nowicki Uniwersytet Mikołaja Kopernika, Wydział Matematyki i Informatyki, ul Chopina 1 18, 87 100 Toruń (e-mail: anow@matunitorunpl) Sierpień 1995 Wstęp Jeśli x, y, z, t
1. Liczby zespolone Zadanie 1.1. Przedstawić w postaci a + ib, a, b R, następujące liczby zespolone (1) 1 i (2) (5)
. Liczby zespolone Zadanie.. Przedstawić w postaci a + ib, a, b R, następujące liczby zespolone () i +i, () 3i, (3) ( + i 3) 6, (4) (5) ( +i ( i) 5, +i 3 i ) 4. Zadanie.. Znaleźć moduł i argument główny
Kolorowa płaszczyzna zespolona
Kolorowa płaszczyzna zespolona Marta Szumańska MIMUW/IX LO w Warszawie Sielpia, 27 października 2018 p. 1 of 64 Liczby zespolone Przez i oznaczamy jednostkę urojoną. Jest to obiekt spełniający warunek
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ CIAŁO FUNKCJI WYMIERNYCH
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ 1/10 CIAŁO FUNKCJI WYMIERNYCH Piotr M. Hajac Uniwersytet Warszawski Wykład 7, 13.11.2013 Typeset by Jakub Szczepanik. Ułamki pierścienia całkowitego Cel: Wprowadzenie pojęcia funkcji
Przestrzenie wektorowe
Rozdział 4 Przestrzenie wektorowe Rozważania dotyczące przestrzeni wektorowych rozpoczniemy od kilku prostych przykładów. Przykład 4.1. W przestrzeni R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} wprowadzamy dwa działania:
VI. Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów
VI. 1. Równanie różniczkowe liniowe n-tego rzędu o zmiennych współczynnikach Niech podobnie jak w poprzednim paragrafie K = C lub K = R. Podobnie jak w dziedzinie rzeczywistej wprowadzamy pochodne wyższych
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ Maciej Burnecki opracowanie strona główna Spis treści I Zadania Wyrażenia algebraiczne indukcja matematyczna Geometria analityczna na płaszczyźnie Liczby zespolone 4 Wielomiany
Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Biotechnologia w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era inżyniera
Funkcje analityczne. Wykład 12
Funkcje analityczne. Wykład 2 Szeregi Laurenta. Osobliwości funkcji zespolonych. Twierdzenie o residuach Paweł Mleczko Funkcje analityczne (rok akademicki 206/207) Plan wykładu W czasie wykładu omawiać
Rozwiązywanie równań nieliniowych
Rozwiązywanie równań nieliniowych Marcin Orchel 1 Wstęp Przykłady wyznaczania miejsc zerowych funkcji f : f(ξ) = 0. Wyszukiwanie miejsc zerowych wielomianu n-tego stopnia. Wymiar tej przestrzeni wektorowej
III. Funkcje rzeczywiste
. Pojęcia podstawowe Załóżmy, że dane są dwa niepuste zbiory X i Y. Definicja. Jeżeli każdemu elementowi x X przyporządkujemy dokładnie jeden element y Y, to mówimy, że na zbiorze X została określona funkcja
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ PIERŚCIEŃ WIELOMIANÓW
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ 1/10 PIERŚCIEŃ WIELOMIANÓW Piotr M. Hajac Uniwersytet Warszawski Wykład 6, 6.11.2013 Typeset by Jakub Szczepanik. Plan 2/10 1 Co to są wielomiany i jak się je mnoży? 2 Co to jest stopień
Elementy metod numerycznych
Wykład nr 5 i jej modyfikacje. i zera wielomianów Założenia metody Newtona Niech będzie dane równanie f (x) = 0 oraz przedział a, b taki, że w jego wnętrzu znajduje się dokładnie jeden pierwiastek α badanego
LI Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 3 kwietnia 2000 r. (pierwszy dzień zawodów)
LI Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 3 kwietnia 2000 r. (pierwszy dzień zawodów) Zadanie 1. Dana jest liczba całkowita n 2. Wyznaczyć liczbę rozwiązań (x 1,x
Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \
Wykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni.
Wykład 4 Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Twierdzenie 1 Niech m, n Z. Jeśli n > 0 to istnieje dokładnie jedna para licz q, r, że: m = qn + r, 0 r < n. Liczbę r nazywamy resztą z dzielenia
Zestaw zadań 5: Sumy i sumy proste podprzestrzeni. Baza i wymiar. Rzędy macierzy. Struktura zbioru rozwiązań układu równań.
Zestaw zadań : Sumy i sumy proste podprzestrzeni Baza i wymiar Rzędy macierzy Struktura zbioru rozwiązań układu równań () Pokazać, że jeśli U = lin(α, α,, α k ), U = lin(β, β,, β l ), to U + U = lin(α,
Indukcja matematyczna. Zasada minimum. Zastosowania.
Indukcja matematyczna. Zasada minimum. Zastosowania. Arkadiusz Męcel Uwagi początkowe W trakcie zajęć przyjęte zostaną następujące oznaczenia: 1. Zbiory liczb: R - zbiór liczb rzeczywistych; Q - zbiór
Zadania egzaminacyjne
Rozdział 13 Zadania egzaminacyjne Egzamin z algebry liniowej AiR termin I 03022011 Zadanie 1 Wyznacz sumę rozwiązań równania: (8z + 1 i 2 2 7 iz 4 = 0 Zadanie 2 Niech u 0 = (1, 2, 1 Rozważmy odwzorowanie
G. Plebanek, MIARA I CAŁKA Zadania do rozdziału 1 28
G. Plebanek, MIARA I CAŁKA Zadania do rozdziału 1 28 1.9 Zadania 1.9.1 Niech R będzie pierścieniem zbiorów. Zauważyć, że jeśli A, B R to A B R i A B R. Sprawdzić, że (R,, ) jest także pierścieniem w sensie
Wykład 3 Równania rózniczkowe cd
7 grudnia 2010 Definicja Równanie różniczkowe dy dx + p (x) y = q (x) (1) nazywamy równaniem różniczkowym liniowym pierwszego rzędu. Jeśli q (x) 0, to równanie (1) czyli równanie dy dx + p (x) y = 0 nazywamy
Zadania do Rozdziału X
Zadania do Rozdziału X 1. 2. Znajdź wszystkie σ-ciała podzbiorów X, gdy X = (i) {1, 2}, (ii){1, 2, 3}. (b) Znajdź wszystkie elementy σ-ciała generowanego przez {{1, 2}, {2, 3}} dla X = {1, 2, 3, 4}. Wykaż,
Wykład z modelowania matematycznego.
Załóżmy, że równanie różniczkowe x (t) = f (t, x) (1) ma rozwiązanie ogólne x(t) = ϕ(t, c). (2) Załóżmy, że równanie różniczkowe x (t) = f (t, x) (1) ma rozwiązanie ogólne x(t) = ϕ(t, c). (2) Rodzina funkcji
5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego
5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego Definicja 5.1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu drugiego nazywamy równanie postaci F ( x, y, y, y ) = 0, (12) w którym niewiadomą jest funkcja y =
Równania różniczkowe. Notatki z wykładu.
Równania różniczkowe Notatki z wykładu http://robert.brainusers.net 17.06.2009 Notatki własne z wykładu. Są niekompletne, bez bibliografii oraz mogą zawierać błędy i usterki. Z tego powodu niniejszy dokument
ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 2 POZIOM PODSTAWOWY. Etapy rozwiązania zadania
Przykładowy zestaw zadań nr z matematyki ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR POZIOM PODSTAWOWY Nr zadania Nr czynności Etapy rozwiązania zadania Liczba punktów Uwagi. Podanie dziedziny funkcji f:
4 Równania różniczkowe w postaci Leibniza, równania różniczkowe zupełne
Równania w postaci Leibniza 4 1 4 Równania różniczkowe w postaci Leibniza, równania różniczkowe zupełne 4.1 Równania różniczkowe w postaci Leibniza Załóżmy, że P : D R i Q: D R są funkcjami ciągłymi określonymi
Lista nr 1 - Liczby zespolone
Lista nr - Liczby zespolone Zadanie. Obliczyć: a) ( 3 i) 3 ( 6 i ) 8 c) (+ 3i) 8 (i ) 6 + 3 i + e) f*) g) ( 3 i ) 77 ( ( 3 i + ) 3i 3i h) ( + 3i) 5 ( i) 0 i) i ( 3 i ) 4 ) +... + ( 3 i ) 0 Zadanie. Przedstawić
O pewnych związkach teorii modeli z teorią reprezentacji
O pewnych związkach teorii modeli z teorią reprezentacji na podstawie referatu Stanisława Kasjana 5 i 12 grudnia 2000 roku 1. Elementy teorii modeli Będziemy rozważać język L składający się z przeliczalnej
1 Zbiory i działania na zbiorach.
Matematyka notatki do wykładu 1 Zbiory i działania na zbiorach Pojęcie zbioru jest to pojęcie pierwotne (nie definiuje się tego pojęcia) Pojęciami pierwotnymi są: element zbioru i przynależność elementu
ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ
ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ WSHE, O/K-CE 10. Homomorfizmy Definicja 1. Niech V, W będą dwiema przestrzeniami liniowymi nad ustalonym ciałem, odwzorowanie ϕ : V W nazywamy homomorfizmem
FUNKCJE ZESPOLONE Lista zadań 2005/2006
FUNKJE ZESPOLONE Lista zadań 25/26 Opracowanie: dr Jolanta Długosz Liczby zespolone. Obliczyć wartości podanych wyrażeń: (2 + ) ( ) 2 4 i (5 + i); b) (3 i)( 4 + 2i); c) 4 + i ; d) ( + i) 4 ; e) ( 2 + 3i)
Wykład z równań różnicowych
Wykład z równań różnicowych 1 Wiadomości wstępne Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp. Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp.
Matematyka dyskretna
Matematyka dyskretna Wykład 6: Ciała skończone i kongruencje Gniewomir Sarbicki 2 marca 2017 Relacja przystawania Definicja: Mówimy, że liczby a, b Z przystają modulo m (co oznaczamy jako a = b (mod m)),
Liczby zespolone. x + 2 = 0.
Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą
Endomorfizmy liniowe
Endomorfizmy liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 8. wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2011 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad 2011 1 / 16 Endomorfizmy
Skończone rozszerzenia ciał
Skończone rozszerzenia ciał Notkę tę rozpoczniemy od definicji i prostych własności wielomianu minimalnego, następnie wprowadzimy pojecie rozszerzenia pojedynczego o element algebraiczny, udowodnimy twierdzenie
W. Krysicki, L.Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach cz. 1 i cz. 2. Pomocnicze symbole. Spójniki logiczne: Symbole kwantyfikatorów:
dr Urszula Konieczna-Spychała Instytut Matematyki i Fizyki UTP imif.utp.edu.pl Literatura: M. Lassak, Matematyka dla studiów technicznych. M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1. M. Gewert, Z.
2 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych
2. Równania o rozdzielonych zmiennych 2 1 2 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych Równaniem różniczkowym zwyczajnym pierwszego rzędu o rozdzielonych zmiennych nazywamy równanie różniczkowe
Twierdzenie Eulera. Kongruencje wykład 6. Twierdzenie Eulera
Kongruencje wykład 6 ... Euler, 1760, Sankt Petersburg Dla każdego a m zachodzi kongruencja a φ(m) 1 (mod m). Przypomnijmy: φ(m) to liczba reszt modulo m względnie pierwszych z m; φ(m) = m(1 1/p 1 )...
Ciała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a);
Ciała i wielomiany 1 Ciała i wielomiany 1 Definicja ciała Niech F będzie zbiorem, i niech + ( dodawanie ) oraz ( mnożenie ) będą działaniami na zbiorze F. Definicja. Zbiór F wraz z działaniami + i nazywamy
Granice funkcji. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 1 / 21
Granice funkcji XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 1 / 21 Granica funkcji Definicje Granica właściwa funkcji w punkcie wg Heinego Liczbę g nazywamy granicą właściwą funkcji f w punkcie
1. Wielomiany Podstawowe definicje i twierdzenia
1. Wielomiany Podstawowe definicje i twierdzenia Definicja wielomianu. Wielomianem stopnia n zmiennej rzeczywistej x nazywamy funkcję w określoną wzorem w(x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0, przy
(4) W zbiorze R R definiujemy działania i wzorami. (a, b) (c, d) =(a + c, b + d),
Zestaw zadań 2: Ciało liczb zespolonych Układy równań liniowych () Ile działań można określić na zbiorze n-elementowym? Ile z nich to działania przemienne? (2) Zbadaj własności działania różnicy symetrycznej
Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, 2019 Zadania 1-100
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2019 andrzej.lachwa@uj.edu.pl Zadania 1-100 Udowodnij, że A (B C) = (A B) (A C) za pomocą diagramów Venna. Udowodnij formalnie, że (A B i A C) A B C oraz że (A
Uniwersyteckie Koło Matematyczne - Tajemnicza liczba e.
Uniwersyteckie Koło Matematyczne - Tajemnicza liczba e. Filip Piękniewski Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytetu Mikołaja Kopernika http://www.mat.umk.pl/ philip 17 grudnia 2009 Filip Piękniewski,