WYKŁAD 4 TRANSFORMATOR JEDNOFAZOWY

Transkrypt

1 WYKŁAD 4 TASFOMATO JEDOFAZOWY 4.. Struktury transformatorów jednofazowych. ys.4.. Transformatory jednofazowe o rdzeniu płaszczowym E ys.4.. Transformatory jednofazowe o rdzeniu płaszczowym zwijanym.

2 ys.4.3. Typowe kształtki rdzeni transformatorów jednofazowych. a. b. ys.4.4. Przykładowe uzwojenia transformatorów jednofazowych a. rurowe, b. krążkowe.

3 4.. Moc pozorna transformatora jednofazowego. ozpatrzmy transformator jednofazowy z rdzeniem płaszczowym pokazany na rys.4.5. Przekrój kolumny rdzenia wynosi S a w obwodzie magnetycznym wytyczono zamknięty kontur l. l S ys.4.5. Geometria transformatora jednofazowego. a podstawie prawa Faraday a (.) otrzymano zależność pomiędzy SEM indukowanymi w obydwu uzwojeniach E E Zastosujmy obecnie prawo Ampe a do konturu l f (4.) l H dl l Bdl 0 r i ( t) i ( t) (4.) Okazuje się, że wartość lewej strony równania (.3) jest równa dla współczesnych blach zimnowalcowanych około 00*l, natomiast amperozwoje strony G bądź D jednostek o mocy od kilkudziesięciu kva w warunkach znamionowych są rzędu Można więc zapisać i ( t) i ( t) 0 (4.3) Przyjmując, że iloraz napięć znamionowych praktycznie nie odbiega od wartości przekładni fazowej uzyskuje się z wymnożenia stronami równań (4.)(4.3)

4 S S S (4.4) S moc znamionowa (pozorna) transformatora jednofazowego, [ VA ]. Stan jałowy i zwarcia są granicznymi stanami pracy transformatora, w których moc pozorna wyjściowa S jest równa zeru. Oznaczając stronę zasilaną indeksem () mamy - w stanie jałowym S 0 ponieważ 0 (4.5) ys.4.6. Transformator w stanie jałowym zasilany od strony G - w stanie zwarcia S 0 ponieważ 0 (4.6) k k k ys.4.7. Transformator w stanie zwarcia zasilany od strony G

5 4.3. Stan jałowy transformatora jednofazowego Jedno z uzwojeń transformatora (G bądź D) jest zasilane napięciem t sinωt u 0 (4.7) Pod wpływem tego napięcia w zamkniętym obwodzie zasilanego uzwojenia o zwojach płynie prąd, który wytwarza strumień magnetyczny w rdzeniu t m sin ωt (4.8) gdzie - luktancja obwodu magnetycznego. Strumień ten jest skojarzony z uzwojeniem zasilającym i wytwarza w nim siłę elektromotoryczną (SEM) e(t) t d (4.9) e Bilans napięć w obwodzie (w opisie odbiornikowym) daje t d e(t) i0(t) (4.0) u Jak pokazują obliczenia rzeczywistych obiektów, pominięcie w (4.0) spadku napięcia na zystancji daje znikomy błąd rzędu części procenta. Całkując to równanie otrzymuje się Φt u t dt 0 cosωt C (4.) π f Stała całkowania w stanie ustalonym równa się zeru. Ostatecznie przebieg czasowy strumienia wynosi Φ t 0 π sinωt (4.) π f Porównując (4.8) i (4.) widzimy, że prąd, zwany prądem magnesującym, jest opóźniony w stosunku do napięcia o kąt, a amplituda strumienia jest równa Φ m π f 0 0 (4.3) 4.44 f We wzorze (4.3) 0 jest wartością skuteczną.

6 Łącząc (4.8) i (4.) otrzymuje się 0 πf (4.4) co daje wyrażenie na tzw. aktancję magnesującą 0 πf ωlμ Xμ μ (4.5) zwojenie wtórne jest skojarzone z tym samym strumieniem i wartość skuteczna napięcia indukowanego w tym uzwojeniu wynosi (4.6) 0 π f Φm apięcia 0 oraz 0 są ze sobą w fazie, ponieważ są związane z przebiegiem czasowym tego samego strumienia magnetycznego d u0( t ) dt u0( t ) (4.7) 0 = jl 0 = L ys.4.8. Wyks wskazowy transformatora w idealnym stanie jałowym Własności magnetyczne blach rdzenia są silnie nieliniowe i zależą znacznie od stopnia zaawansowania technologii jej wykonania. Dla małych transformatorów decyduje poziom kosztów wielkoseryjnej produkcji, w jednostkach największych mocy istotne są poziom strat oraz gabaryty transformatora.

7 B [ T ].5 M MVA 00 VA M H [ A m ] ys.4.9. Charakterystyka magnesowania blachy transformatorowej M9 z zaznaczonym zaksem typowych punktów pracy dla różnych mocy transformatorów. ndukcja magnetyczna B i natężenie pola magnetycznego H są proporcjonalne do strumienia skojarzonego i natężenia prądu w obwodzie, który wytworzył strumień i Ψ S l 0 H dl Hl B ds S B (4.8) Z kolei strumień skojarzony jest proporcjonalny do napięcia (3.7), przy czym jest opóźniony w fazie o. W większości wypadków napięcie zasilające jest sinusoidalne w czasie, stąd dla nieliniowej charakterystyki magnesowania prąd magnesujący musi być odkształcony w stopniu zależnym od amplitudy wymuszającego napięcia. i (B m =.5 T) i (B m =0.75 T) (B m =.5 T) (B m =0.75 T) 0 T u(b m =0.75 T) u(b m =.5 T) ys.4.0. Przebiegi czasowe napięcia u, strumienia skojarzonego oraz prądu magnesującego i dla nieliniowego obwodu magnetycznego transformatora

8 4.4. Straty mocy w rdzeniu transformatora. ozpatrzmy fragment elementarnego obwodu magnetycznego, w którym wzbudzono oksowy strumień magnetyczny przy pomocy skupionej cewki o zwojach i pomijalnie małej zystancji. Dysponujemy pomiarami mocy, napięcia zasilającego i prądu wykonanymi dla różnych częstotliwości od znikomo małej do sieciowej. B= 0 r H S i l d Ψ u dt a. b. ys.4.. Zasada wyznaczania strat w ferromagnetykach a. szkic układu pomiarowego, b. wyks wskazowy Przesunięcie fazowe pomiędzy prądem i napięciem jest mniejsze od, tak więc przy pomijalnej zystancji uzwojenia, moc czynna pobrana ze źródła jest związana ze zjawiskami w rdzeniu a oblicza się ją (dla przebiegów sinusoidalnych) ze wzoru P cos 0 (4.9) lub w przypadku przebiegów odkształconych z ogólnej zależności P T u t it dt (4.0) T 0 0 Moc elektryczna jest związana z energią ogólną zależnością stąd elementarna zmiana energii W dw P (4.) d i t i (4.)

9 Całkowita energia pobrana ze źródła i zmagazynowana w polu magnetycznym przy zmianie strumienia skojarzonego od zera do m wynosi W względniając definicyjne zależności m 0 i d (4.3) i d S l 0 Hdl db H l (4.4) Wyrażenie (4.3) przekształca się do Bm B M m W l S H db H db (4.5) 0 ρ 0 gdzie M jest masą rdzenia a jego gęstością. Elementarne zmiany energii przypadające na jednostkę objętości w [Jm 3 ] δ w H δ B (4.6) mogą być dodatnie (w opisie odbiornikowym - energia pobrana ze źródła) lub ujemne energia zwrócona do źródła. ozpatrzmy obecnie przypadek, kiedy strumień skojarzony jest opóźniony o niewielki kąt (z guły kilka stopni) a amplituda strumienia jest na tyle mała, że przebiegi B(t) oraz H(t) są sinusoidalne. B H B pq qr rs sp H>0, B>0 H>0, B<0 H<0, B<0 H<0, B>0 q r s p r q 0 p H s energia pobrana (pq) oraz (rs) energia zwrócona (qr) oraz (sp) ys.4.. Powstawanie strat histezowych w ferromagnetykach a. przebiegi czasowe indukcji B i natężenia pola magnetycznego H, b. ilustracja wymiany energii ze źródłem

10 Jak wynika z rys.4., w ciągu jednego cyklu przemagnesowania ulega rozproszeniu na ciepło pewna ilość energii W o wielkości proporcjonalnej do pola pętli histezy B(H). Śdnie za oks napięcia zasilającego straty mocy P h wynoszą M W H db (4.7) ρ pqrsp M P W f f h H db (4.8) ρ pqrsp gdzie f jest częstotliwością napięcia zasilania. W przypadku, kiedy indukcja w ferromagnetyku jest na tyle duża, że prąd magnesujący jest odkształcony, kształt pętli histezy ulega zmianie. Metodyka wyznaczania strat histezowych jest taka sama i również obowiązuje wzór (4.8). H pq H>0, B>0 qr H>0, B<0 rs H<0, B<0 sp H<0, B>0 B s p 0 q r B q r 0 p H s energia pobrana (pq) oraz (rs) energia zwrócona (qr) oraz (sp) ys.4.3. Powstawanie strat histezowych w ferromagnetykach nasyconych a. przebiegi czasowe indukcji B i natężenia pola magnetycznego H, b. ilustracja wymiany energii ze źródłem W zastosowaniach praktycznych wzór (4,8) jest podawany w nieco innej postaci n f B Ph ph,b M f B (4.9) p h,b stratność blachy [ Wkg ], pomierzona przy indukcji o amplitudzie B (zwykle B =.5 lub.75 T) i częstotliwości f, M jest masą badanego obiektu. Wartość wykładnika n zmienia się od.8 do.. Typowe wartości stratności wynoszą: - dla blach transformatorowych (zimnowalcowanych, wzdłuż kierunku walcowania) p h,.5 = Wkg, - dla blach prądnicowych (gorącowalcowanych,) p h,.5 =.6.3 Wkg

11 Oprócz strat histezowych w przemagnesowywanym pakiecie blach elektrotechnicznych występują również straty związane z przepływem prądów wirowych w pojedynczych blachach. ch wyznaczenie otrzymać można na drodze następującego rozumowania zakłada się, że kolejne blachy o grubości d są od siebie odizolowane elektrycznie a w każdej z nich występuje równomierne pole indukcji o amplitudzie B (założenie jest poprawne tylko dla cienkich blach, w których akcja prądów wirowych nie deformuje istotnie pola źródłowego). Przyjmuje się też, że wszystkie przebiegi są sinusoidalne w czasie. y B O -d E y E d x B O x ys.4.4. kład współrzędnych do wyznaczania akcji prądów wirowych w cienkich blachach Dla pewnego zamkniętego konturu o rozmiarach x, y całkowa postać prawa Kirchoffa jest następująca l d E dl B ds (4.30) dt gdzie E jest wektom natężenia pola elektrycznego. Dla dostatecznie cienkich blach droga całkowania w kierunku 0x jest pomijalnie mała. względniając ponadto zależność pomiędzy gęstością prądu J a natężeniem E poprzez konduktywność elektryczną otrzymuje się S(l) J γ E (4.3) J Δ y π f B Δ y(x) (4.3) γ Ostatecznie rozkład gęstości prądu wzdłuż grubości blachy jest linią prostą J(x) π fγ B x (4.33)

12 J B O y x B O J a. b. ys.4.5. ozkład prądów wirowych w cienkich blachach a. fragment pojedynczej blachy, b. pakiet izolowanych blach Objętościowa gęstość strat mocy [Wm 3 ] wynosi pec x J x (4.34) γ Gęstość tę można uśdnić na grubości blachy jako p ec av d 0.5d 0.5d J x γ dx π 3 f B γ d (4.35) Całkowite straty w pakiecie o masie M są równe γ Pec π f B d M 3 ρ (4.36) Do zastosowań praktycznych wykorzystywana jest zależność podobna do równania okślającego straty histezowe f B Pec pec,b M f B (4.37) p ec,b stratność blachy (dla prądów wirowych) [Wkg], pomierzona przy indukcji o amplitudzie B (zwykle B =.5 lub.75 T) i częstotliwości f. W katalogach często podaje się łączną stratność p B = p h,b + p ec,b. Przy rozdziale strat można w takim przypadku założyć, że dla f=50 Hz p h,b = p ec,b. ależy pamiętać, że prosta struktura wzorów (4.9)

13 (4.37) została uzyskana dzięki szegu założeń upraszczających, dlatego też ich zastosowanie jest ograniczone dla indukcji i częstotliwości niezbyt odległych (0% - 30%)od B i f Stan zwarcia transformatora. Zwarcie zacisków strony wtórnej przy pełnym napięciu zasilania po stronie pierwotnej grozi nieodwracalnymi uszkodzeniami cieplnymi i dielektrycznymi uzwojeń. ie dotyczy to wąskiej klasy transformatorów specjalnych (np. piecowych), lecz dla znakomitej większości jednostek jest to stan awaryjny i musi być natychmiast wyłączony przez zabezpieczenia. Zagadnienia te nie będą tu omawiane, natomiast tzw. zwarcie pomiarowe, kiedy napięcie zasilania jest znacznie (kilku- a nawet czasem kilkunastokrotnie) obniżone jest typową próbą podczas badań transformatorów energetycznych. Ze względu na obniżone napięcie można przyjąć, że prąd magnesujący jest znikomy i zachodzi tzw. pełna kompensacja amperozwojów Θ (4.38) h X X B(x) x a a a. b. ys.4.6. ozkład linii strumienia podczas zwarcia transformatora a. rzeczywisty kształt strumienia magnetycznego, b. idealizowany kształt strumienia magnetycznego w oknie transformatora. Przyjmując uproszczony prostoliniowy przebieg linii pola w oknie transformatora, amplituda czasowa indukcji B m w obszarze uzwojeń zależeć będzie od miejsca

14 Θ x Bm(x) μ0 k, (4.39) h a k gdzie x jest mierzone od skraju uzwojenia (przy powierzchni kolumny rdzenia). Zgodnie z zależnościami (4.3)(4.6) energia zmagazynowana w polu magnetycznym wynosi W Bm Bm H db dv dv 0 (4.40) μ V V 0 Wykonując całkowanie kolejno dla trzech obszarów o szerokościach a,, a otrzymuje się lsr a a μ0 Θ k δ (4.4) h 3 3 W gdzie l śr jest śdnią długością zwoju obydwu uzwojeń, a k, nazywany współczynnikiem ogowskiego, szacuje zmiany indukcji wzdłuż wysokości kolumny w rzeczywistym transformatorze. Dla typowych uzwojeń cylindrycznych wynosi on a δ a (4.4) π h k Wykorzystując energetyczną definicję indukcyjności, wynikającą wprost z (4.3) mamy L k j W j j, (4.43) Θ W zależności któ uzwojenie zostanie wykorzystane w obliczeniach (4.43) do wyznaczenia L kj, mówimy o indukcyjności sprowadzonej na stronę pierwotną lub wtórną. Straty mocy w stanie zwarcia wydzielają się w większości w obszarach uzwojeń i wynoszą P k k k (4.44) d d gdzie, są zystancjami uzwojeń mierzonymi prądem stałym, a współczynniki k d, k d > ujmują tzw. straty dodatkowe wynikające z indukowanych prądów wirowych zarówno w poszczególnych drutach cewek jak i w obwodach równoległych uzwojenia.

15 4.6. dea schematu zastępczego. stotą elektrycznego schematu zastępczego dowolnego urządzenia, będącego z punktu widzenia teorii obwodów dwójnikiem lub czwórnikiem, jest dobranie takich elementów, L, C podłączonych pomiędzy zaciski wejściawyjścia, któ pozwolą na odtworzenie rzeczywistego układu zasilających prądów i napięć oraz przepływu mocy. Schematycznie pokazano to na rys.5.. W A A W V V a. W A L A W V C C V b. ys.4.7. dea schematu zastępczego a. rzeczywisty obiekt, b. schemat zastępczy typu. ależy pamiętać, że elementy LC nie muszą odtwarzać układu rzeczywistych połączeń galwanicznych wewnątrz urządzenia, ich zadaniem jest prawidłowa pzentacja zjawisk energetycznych. tak obecność zystora przedstawia występowanie zamiany energii elektrycznej na inny rodzaj energii (najczęściej dyssypację cieplną), a indukcyjność i pojemność przedstawiają akumulację energii - odpowiednio w polu magnetycznym lub polu elektrycznym występujących wewnątrz urządzenia. ajbardziej rozpowszechnione są schematy o stałych parametrach, pozwalające na stosowanie zasady superpozycji. Występowanie nieliniowości materiałowych w elementach ferromagnetycznych wymusza wprowadzenie zależności funkcyjnych, któ z jednej strony pozwalają na dokładniejsze odwzorowanie zachodzących zjawisk, jednak jednocześnie ograniczają zastosowanie tak wyznaczonego schematu do konktnego rodzaju urządzenia.

16 4.6.. Schemat zastępczy transformatora w stanie jałowym. Proces magnesowania transformatora w stanie jałowym jest opisany zależnością (4.5), 0 π f ω Lμ X μ m μ (4.45) natomiast straty mocy P 0, któ są związane ze wzrostem temperatury rdzenia, okślono równaniami (4.9)(4.37). f f B P0 Δ ph,b Δ pec,b M f f B (4.46) Zastępując iloraz indukcji stosunkiem napięć zasilanej strony transformatora B B f f (4.47) oraz przekształcając formalnie straty mocy P 0 za pomocą prawa Ohma otrzymuje się 0 f Δ ph,b Δ pec,b M f (4.48) Stąd zystancja 0 odwzorowująca straty w żelazie równa jest 0 Δ p h,b f f Δ p ec, B M (4.49) Zarówno 0 jak i X 0 są wyznaczane na podstawie wartości napięcia zasilającego, więc elementy te w schemacie zastępczym są połączone równolegle i pozwalają na dokładne odwzorowanie prądu i mocy pobieranych z sieci. 0 W A V 0 X = 0 ys.4.8. Schemat zastępczy transformatora w stanie jałowym

17 Strona wtórna transformatora nie jest połączona galwanicznie z pierwotną, jednak w celu ułatwienia analizy obwodowej wprowadza się fikcyjne połączenia zacisków uzwojenia pierwotnego i wtórnego. Tak uzyskane napięcie, nazywane napięciem wtórnym sprowadzonym na stronę pierwotną, jest związane z rzeczywistym napięciem poprzez prawo Faraday a 0 0 (4.50) Schemat zastępczy transformatora w stanie zwarcia. Omawiane dalej zagadnienia dotyczą wyłącznie tzw. zwarcia pomiarowego, kiedy transformator jest zasilany napięciem obniżonym kilku a nawet kilkunastokrotnie mniejszym od napięcia znamionowego zasilanego uzwojenia. W takiej sytuacji strumień w rdzeniu jest również wielokrotnie mniejszy od strumienia znamionowego i w konsekwencji prąd magnesujący może być uznany za zerowy. Prądy w uzwojeniach, zarówno zasilanym jak i zwartym nie przekraczają wielkości znamionowych i ich przepływy się równoważą (4.38). Można formalnie wprowadzić fikcyjny prąd strony wtórnej k definicyjnie równy prądowi zasilania i związany z rzeczywistym prądem w zwartym uzwojeniu lacją wynikającą z prawa Ampe a k k k (4.5) Całkowite straty w stanie zwarcia okślone w (4.44) obejmują zarówno straty w obu uzwojeniach jak i w masywnych metalowych elementach konstrukcji transformatora (kadź, belki jarzmowe) przez któ płynie strumień rozproszenia. Łącząc (4.44) i (4.5) mamy P k k d k d (4.5) ównanie (4.8) przekształca się do postaci P k k k (4.53) gdzie k jest równe

18 k kd kd (4.54) nazywane jest zystancją zwarcia sprowadzoną na stronę pierwotną. Moc bierna pobierana z sieci w stanie zwarcia wynika z energii magazynowanej w polu rozproszenia i pzentowanej przez indukcyjność L k (4.43). Sprowadzając jak poprzednio wyrażenia energetyczne do strony pierwotnej otrzymuje się Q dw d W d k Lk k ωlkk X kk (4.55) k eaktancja X k nazywana jest aktancją zwarcia sprowadzoną na stronę pierwotną. k W A k = k k X k V k k = 0 ys.4.9. Transformator w stanie zwarcia zasilany od strony G Schemat zastępczy transformatora w stanie obciążenia. W stanie obciążenia strumienie skojarzone z uzwojeniami transformatora są zależne od prądów płynących w obydwu uzwojeniach. u u i L i L d i L d i L d i d i (4.56) Jeżeli w analizie stanu zwarcia (np. u =0) zaniedbamy zystancję, to otrzymuje się d i d i 0 L L (4.57) Zastępując w (4.56) pochodną di dt wyrażeniem wynikającym z (4.57) otrzymuje się

19 d i L L u k i L (4.58) LL Wyrażenie w nawiasie jest bezwymiarowe i nosi nazwę współczynnika Heylanda L L H (4.59) LL któgo wartość jest najczęściej rzędu kilku procent. W celu uzyskania schematu zastępczego dla stanu obciążenia przekształcimy równania (5.) wykorzystując pojęcie przekładni zwojowej (fazowej) transformatora Otrzymujemy kolejno u i u i (4.60) u u i L i L d i L d i L i d L i d L d i L d i i d L i d (4.6) Wprowadzając wyrażenia na tzw. wielkości sprowadzona na stronę pierwotną u L i u i L (4.6) i pamiętając, że L = L zależności (4.6) przyjmują wzajemnie symetryczną postać d i u i u i d L L L i i d i d L L L i i (4.63) na podstawie których można zbudować schemat zastępczy pokazany na rys.4.0.

20 + () L -L L -L L () ys.4.0. Schemat zastępczy transformatora Parametry schematu zastępczego wyznacza się z dostateczną dokładnością z prób stanu jałowego i zwarcia L L k k L L L L (4.64) a podstawie pokazanego wyżej schematu można narysować odpowiadający mu wyks wskazowy j X -j X j X - ys.4.. Wyks wskazowy transformatora (bez zachowania skali)

21 W transformatorach o mocy powyżej 00 VA prąd magnesujący jest rzędu (-)% i dlatego w praktycznych obliczeniach przyjmuje się zazwyczaj 0 a schematy zastępcze w warunkach obciążenia i zwarcia są wtedy takie same. Bilans napięć dla transformatora można w takim przypadku zapisać jako k j X k Wprowadzając pojęcie impedancji znamionowej (4.65) Z (4.66) i dzieląc obustronnie (4.65) przez (4.66) otrzymuje się bilans napięć w jednostkach względnych (bądź procentowych) u % u % j u X % u% (4.67) gdzie składniki wewnętrznego procentowego spadku napięć w transformatorze wynoszą u u % X % Z k X Z k 00% 00% (4.68) Moduł tego spadku napięć nosi nazwę procentowego napięcia zwarcia u k% i okśla w procentach napięcia znamionowego wielkość napięcia po stronie pierwotnej, któ przy zwartej stronie wtórnej spowoduje przepływ znamionowego prądu w obydwu uzwojeniach. u u u (4.69) k% % X % apięcie po stronie wtórnej w warunkach obciążenia można obliczyć z zależności (4.70), która została wyprowadzona na podstawie wyksu wskazowego przy założeniu, że przesunięcie fazowe pomiędzy SEM jx a napięciem pierwotnym jest równe zeru 00 % u % % cos( ) u X % sin( ) (4.70) gdzie kąt obciążenia po stronie wtórnej rys.5.4.