Metoda analizy polioptymalnych rozwiàzaƒ konstrukcji mechanicznych

Transkrypt

1 Metoda analizy polioptymalnych rozwiàzaƒ konstrukcji mechanicznych KRZYSZTOF BIA AS-HELTOWSKI RYSZARD ROHATY SKI W pracy opisano nowà metod post powania przy wyborze rozwiàzania konstrukcyjnego ze zbioru jego rozwiàzaƒ polioptymalnych. Metoda uwzgl dnia wra liwoêç rozwiàzaƒ polioptymalnych na odchylenia zmiennych konstrukcyjnych od wartoêci optymalnych. Do oceny wra liwoêci zaproponowano wiele narz dzi matematycznych i obrazowanie graficzne, co znacznie u atwia konstruktorowi interpretacj wyników i podejmowanie w aêciwych decyzji. Zastosowanie metody pokazano na przyk adzie optymalizacji reduktora. Schemat metody Metoda analizy rozwiàzaƒ polioptymalnych (rys. 1), która zosta a zaproponowana w rozprawie doktorskiej jednego z autorów [1], zawiera: Formalizacj problemu polioptymalizacji: wybór zmiennych decyzyjnych (ZD) i ich zakresów, ustalenie kryteriów oceny konstrukcji (K) oraz utworzenie modelu matematycznego charakteryzujàcego badany obiekt techniczny, Optymalizacj wielokryterialnà; wynikiem optymalizacji jest zbiór rozwiàzaƒ Pareto-optymalnych, Grupowanie rozwiàzaƒ polioptymalnych w celu zmniejszenia ich liczby, Planowanie eksperymentu numerycznego w celu oceny rozwiàzaƒ optymalnych, Dr in. Krzysztof Bia as-heltowski jest pracownikiem Wydzia u Mechanicznego Uniwersytetu Zielonogórskiego, a prof. dr hab. in. Ryszard Rohatyƒski jest emerytowanym profesorem Wydzia u Ekonomii i Zarzàdzania Uniwersytetu Zielonogórskiego. Tworzenie metamodeli aproksymujàcych zale noêci K = f(zd) równaniami powierzchni odpowiedzi (RPO), Ocen statystycznà otrzymanych RPO, Tworzenie wykresów Pareto dla poszczególnych kryteriów w poszczególnych rozwiàzaniach optymalnych oraz wykresów profili odpowiedzi (dla wszystkich kryteriów w poszczególnych rozwiàzaniach optymalnych), Tworzenie wykresów gradientów równaƒ powierzchni odpowiedzi (dla poszczególnych kryteriów we wszystkich punktach optymalnych) oraz mapy wp ywów (dla wszystkich kryteriów we wszystkich punktach optymalnych), Analiz uzyskanych informacji, Wybór spoêród rozwiàzaƒ polioptymalnych takiego, które jest najmniej wra liwe na zmiany wartoêci ZD. Przyk ad zastosowania Metoda zosta a zastosowana do optymalizacji reduktora z batego walcowego trzystopniowego (rys. 2), który by równie przedmiotem badaƒ innych autorów [2, 3]. Model matematyczny zadania optymalizacyjnego zaczerpni ty zosta z rozprawy Torzyƒskiego [2]. Model ten sk ada si z 46 równaƒ, 1 ograniczenia równoêciowego, 10 nierównoêci funkcyjnych i 12 nierównoêci sta ych (ograniczeƒ sztywnych). Sformu owanie problemu. WielkoÊci wejêciowe (zmienne decyzyjne ZD) zosta y przedstawione w tab. Na wyjêciu przyj to trzy kryteria (K): (i) K1 stosunek

2 Typ i zakres zmiennych decyzyjnych Symbol Nazwa zmiennej decyzyjnej ψ 2 ψ 3 z batego stopnia I przek adni z batego stopnia II przek adni z batego stopnia III przek adni Typ Przedzia zmiennoêci ϕ 3 Kàt odchylenia linii àczàcej osie Ciàg a 0,0002 kó II i III stopnia przek adni 0,5236 rad u 2 Prze o enie cz Êciowe II stopnia Dys- 1,06 12,5 przek adni kretna (wg R40) * u 3 Prze o enie cz Êciowe III stopnia Dys- 1,06 12,5 przek adni kretna (wg R40) *) ciàg liczb normalnych o wskaêniku n = 40 wg PN-60/N masy przek adni do wyjêciowego momentu obrotowego (wzgl dna materia och onnoêç reduktora), g/nm; (ii) K2 obj toêç ca kowita reduktora z batego, m 3 ; (iii) K3 stosunek wzgl dnych kosztów wytwarzania kó z batych przek adni (odniesionych do znanych kosztów ko a wzorcowego). Tak sformu owany problem jest zadaniem typu: wiele wejêç wiele wyjêç. Celem analizy by o znalezienie takich wartoêci zmiennych decyzyjnych, dla których kryteria Ki (i = 1, 2, 3), przy spe nieniu ograniczeƒ, przyjmujà wartoêci minimalne oraz zbadanie zachowania si wielkoêci kryterialnych w otoczeniu wybranych rozwiàzaƒ Pareto-optymalnych. Polioptymalizacja zosta a wykonana dla nast pujàcych danych: (i) moment obrotowy na wyjêciu Tw = 1000 Nm; (ii) prze o enie ca kowite ic = 45; (iii) pr dkoêç obrotowa na wejêciu n1 = 1500 obr/min. Rys. 1. Schemat metody oceny i wyboru rozwiàzaƒ polioptymalnych Optymalizacja wielokryterialna. Powierzchnia Pareto-optymalna [4] dla 3 kryteriów (rys. 3) wyznaczona zosta a za pomocà algorytmu genetycznego optymalizacji wielokryterialnej (MOGA, Multiobjective Genetic Algorithm) [5]. Algorytm pracowa przy nast pujàcych parametrach: (i) liczba iteracji 1000; (ii) rozmiar populacji 200 chromosomów; (iii) stopieƒ mutacji 0,3. Zastosowano krzy owanie poêrednie (Intermediate Cross-over) oraz selekcj opartà na sortowaniu rozwiàzaƒ Pareto-optymalnych (Pareto-optimal sorting method). Analiza skupieƒ. Ze wzgl du na dyskretne zmienne decyzyjne (u 2, u 3 ) otrzymany zbiór Pareto nie jest ciàg y. Poniewa analiza wszystkich Rys. 2. Schemat trzystopniowego reduktora z batego [2] 20

3 Rys. 3. Zbiór rozwiàzaƒ Pareto-optymalnych dla reduktora otrzymanych rozwiàzaƒ by aby bardzo pracoch onna, zgrupowano je wed ug kryterium sàsiedztwa (miarà sàsiedztwa by a odleg oêç punktów od siebie) i wytypowano rozwiàzania reprezentatywne dla poszczególnych grup (rys. 4). Wykonano to metodà analizy skupieƒ [6]. Doprowadzi o to do wytypowania trzech rozwiàzaƒ reprezentatywnych o nast pujàcych wspó rz dnych i odpowiadajàcych im wartoêciach kryteriów: Punkt 1 [ ; K1; K2; K3] = [1,3033; 1,0919; 0,7863; 0,5213; 5; 5,3; 25,7315; 0,0119; 2,0958], Punkt 2 [ ; K1; K2; K3] = [1,2318; 1,1989; 0,7873; 0,5222; 4,75; 5,3; 24,7303; 0,0113; 2,0972], Punkt 3 [ ; u 2 ; K1; K2; K3] = [0,4949; 1,2253; 0,8358; 0,516; 4; 5; 23,383; 0,0101; 2,1506]. Te rozwiàzania zosta y poddane dalszej analizie. Tworzenie metamodeli i ich ocena statystyczna. W celu zbadania wra liwoêci kryteriów oceny reduktora na odchylenia wartoêci zmiennych decyzyjnych od optymalnych, wyznaczono powierzchnie odpowiedzi [7] aproksymujàce te zale noêci. Aby zmniejszyç liczb obliczeƒ niezb dnà do uzyskania dobrych aproksymacji, zastosowano plan centralny kompozycyjny [8]. Planowanie eksperymentu przeprowadzono tylko dla 4 zmiennych decyzyjnych (, ψ 2, ψ 3, ϕ 3 ), poniewa zmienne (u 2, u 3 ) przyjmujà wartoêci dyskretne wg PN-76/M Ârodek planu pokrywa si z badanym punktem optymalnym. Rys. 4. Wyselekcjonowane do dalszego badania 3 rozwiàzania Pareto-optymalne Rys. 5. Wykres Pareto dla kryterium K1 (dla rozwiàzania 1) Powierzchnie aproksymujàce by y wielomianami stopnia drugiego. Ogó em otrzymano 9 równaƒ powierzchni odpowiedzi (po 3 równania dla ka dego z 3 rozwiàzaƒ optymalnych), które poddano ocenie statystycznej: obliczono wspó czynnik determinacji R 2 oraz b àd Êredniokwadratowy RMSE. Wyniki otrzymanych statystyk by y ca kowicie zadowalajàce. Na przyk ad, w punkcie optymalnym 1 dla kryterium K1 (wzgl dna materia och onnoêç) R 2 = 1, a RMSE = 0, Zatem otrzymane powierzchnie odpowiedzi zosta y zaakceptowane do dalszej analizy. Wykresy Pareto. Graficzne przedstawienie wyników za pomocà wykresu Pareto daje obraz zale noêci K = f(zd) w okolicy wybranego rozwiàzania optymalnego. Dla przyk adu, na rys. 5 przedstawiono wykres Pareto dla kryterium K1 (wzgl dna materia och onnoêç) w rozwiàzaniu 1. Widaç, e wzgl dna materia och onnoêç K1 jest najbardziej wra liwa na zmian kàta odchylenia linii àczàcej osie kó II i III stopnia przek adni ϕ 3, a zatem w procesie konstruowania nale y tej zmiennej przydzieliç w sze tolerancje. Ponad trzykrotnie mniejszy wp yw wykazujà zmienne ψ 2 (wspó czynnik szerokoêci wieƒca z batego stopnia II) oraz (wspó czynnik szerokoêci wieƒca z batego stopnia I). Zmienna ψ 3 wykazuje bardzo niewielki wp yw na kryterium K1, a zatem mo na jej przydzieliç wi ksze pole tolerancji. Profile odpowiedzi. Umo liwiajà one przeêledzenie zachowania si wszystkich kryteriów w rozpatrywanym rozwiàzaniu optymalnym. Na rys. 6 pokazano takie profile dla rozwiàzania 1. Porównujàc wykresy w kolumnach, widzimy, e najwi kszy wp yw na kryteria K1 i K2 ma zmienna decyzyjna ϕ 3. Jej przyrost powoduje zmniejszenie wartoêci tych kryteriów. Na kryterium K3 najwi kszy wp yw wykazuje zmienna ψ 3. Jej wzrost powoduje wzrost K3, co nie jest korzystne. Porównanie wykresów w wierszach pokazuje, e zachowanie si kryteriów K1 oraz K2 jest podobne oraz e zmiana wartoêci zmiennej (wspó czynnik szerokoêci wieƒca z batego stopnia I) wywo uje zmian wartoêci wszystkich trzech kryteriów. Jej wzrost wywo uje wzrost K1 i K2, ale zmniejszenie wartoêci K3. Wykresy Pareto i profile odpowiedzi wykonano, stosujàc pakiet statystyczny JMP [9]. Wykresy gradientów. Równania powierzchni odpowiedzi (RPO) umo liwiajà tak e wyznaczenie pochodnych czàstkowych funkcji celu, a wi c wspó rz dnych gradientu okreêlajàcego wp yw zmiennych 21

4 = [0,4949; 1,2253; 0,8358; 0,516; 4; 5]. Nale y jednak zwróciç uwag, e wzgl dna materia och onnoêç K1, obj toêç reduktora K2 oraz wzgl dny koszt wytwarzania kó z batych K3 sà szczególnie wra liwe na wspó czynnik szerokoêci wieƒca z batego stopnia I. Wybrane rozwiàzanie charakteryzuje si najmniejszà masà i obj toêcià, ale jest najdro sze z rozpatrywanych rozwiàzaƒ. Wykorzystujàc wartoêci otrzymanych zmiennych decyzyjnych, mo na jednoznacznie ustaliç wartoêci wielkoêci wymiarowych reduktora (Êrednice z bników i kó z batych, d ugoêç, wysokoêç, szerokoêç reduktora itp.). Rys. 6. Profile odpowiedzi dla rozwiàzania 1 decyzyjnych na kryteria. Na rys. 7 przedstawiono wykres gradientów dla kryterium K1 (wzgl dna materia och onnoêç) we wszystkich trzech rozpatrywanych rozwiàzaniach Pareto-optymalnych. WartoÊci gradientów zosta y unormowane dla celów porównawczych. Wykres pokazuje, e rozwiàzanie Pareto-optymalne 3 wykazuje najmniejszà wra liwoêç kryterium wzgl dnej materia och onnoêci reduktora (K1) na zmienne decyzyjne ψ 2 (wspó czynnik szerokoêci wieƒca z batego stopnia II), ψ 3 i ϕ 3 (kàt odchylenia linii àczàcej osie kó II i III stopnia). Najwi kszy wp yw na to kryterium w tym rozwiàzaniu ma zmienna decyzyjna. W pozosta ych rozwiàzaniach wp yw tej zmiennej jest znacznie mniejszy. W podobny sposób reaguje kryterium K1 w rozwiàzaniach 1 i 2. Mapa wp ywów. Mapa wp ywów (rys. 8) przedstawia zale noêç wszystkich wielkoêci kryterialnych (K) od wszystkich zmiennych decyzyjnych (ZD) we wszystkich rozwiàzaniach optymalnych, zatem daje pe ny obraz sytuacji problemowej. Linià kreskowà oznaczono 95% przedzia y ufnoêci. W przypadku rozwiàzania Pareto-optymalnego 1 widaç podobne zachowanie si wielkoêci kryterialnych K1 i K2. Kryterium K3 reaguje natomiast inaczej na zmiany wartoêci zmiennych decyzyjnych. Rozwiàzanie 2 zachowuje si podobnie. W przypadku rozwiàzania Pareto-optymalnego 3 wszystkie trzy kryteria zachowujà si podobnie (zw aszcza K1 i K2). Wybór rozwiàzania najlepszego. Bioràc pod uwag (na podstawie otrzymanych wykresów Pareto, profili odpowiedzi, unormowanych gradientów i mapy wp ywów), e kryteria K1, K2 i K3 wykazujà najmniejszà wra liwoêç w otoczeniu rozwiàzania 3, nale a oby wybraç to rozwiàzanie: [K1; K2; K3] = [23,383; 0,0101; 2,1506], dla którego [ ] Rys. 7. Wykres unormowanych sk adowych gradientów dla kryterium K1 Wnioski Konkluzje ogólne. W praktyce in ynierskiej potrzebna jest wiedza na temat zachowania si wielkoêci kryterialnej/ych w otoczeniu rozwiàzania optymalnego. ZnajomoÊç taka prowadzi do wyboru okreêlonego rozwiàzania ze zbioru rozwiàzaƒ Pareto-optymalnych. Staje si ona równie wa nym czynnikiem w procesie przydzia u tolerancji, które istotnie wp ywajà na koszt wytwarzania i niezawodnoêç wyrobu. Brak reakcji kryterium prowadzi do tego, e tolerancje mo na rozluêniç, czego efektem sà oszcz dnoêci finansowe. Konkluzje szczegó owe. 1) Zachowanie si kryteriów oceny K1 i K2 jest zbli- one we wszystkich rozpatrywanych punktach. Kryterium K3 zachowuje si inaczej ni kryteria K1 i K2. 2) Najwi kszy wp yw na wzgl dnà materia och onnoêç K1 i obj toêç reduktora K2 ma kàt odchylenia linii àczàcej osie kó drugiego i trzeciego stopnia ϕ 3. Jego wzrost wp ywa na zmniejszenie wartoêci K1 i K2. Najwi kszy wp yw na koszt wytwarzania kó K3 ma wspó czynnik szerokoêci wieƒca z batego stopnia pierwszego. Jego wzrost wp ywa zasadniczo na zmniejszenie kosztu, choç w punkcie 3 relacja ta ma charakter krzywoliniowy. 3) Najmniejsza wra liwoêç wielkoêci kryterialnych K1, K2 i K3 wyst puje dla rozwiàzania 3. Jednak e wszystkie kryteria sà w tym punkcie szczególnie wra liwe na wspó czynnik szerokoêci wieƒca z batego stopnia pierwszego. Rys. 8. Obraz zale noêci mi dzy K1, K2 i K3 a ZD w rozpatrywanych rozwiàzaniach Pareto-optymalnych 22

5 Dokoƒczenie z 22 str. 4) W sze tolerancje nale a oby przydzieliç zmiennym decyzyjnym i ϕ 3. LITERATURA 1. Bia as-heltowski K.: Wyznaczanie i ocena rozwiàzaƒ polioptymalnych na przyk adzie wybranego uk adu technicznego. Rozprawa doktorska, Zielona Góra Torzyƒski D.: Metoda zintegrowanego projektowania z batych reduktorów przemys owych. Rozprawa doktorska, Politechnika Poznaƒska, Poznaƒ, 2000, s Branowski B., Rogala M., Torzyƒski D.: Reduktor z baty ogólnego przeznaczenia jako obiekt optymalizacji. X Konferencja MiÂPWK, Warszawa 1995, s Ostwald M.: Podstawy optymalizacji konstrukcji. Wydawnictwo Politechniki Poznaƒskiej, Poznaƒ 2003, ss Popov A.: Genetic algorithms for optimization. Programs for MATLAB, User Manual, Hamburg Kucharczyk J.: Algorytmy analizy skupieƒ w j zyku ALGOL 60. PWN, Warszawa Draper N. R., Smith H.: Applied regression analysis. New York 1998, pp Maƒczak K.: Technika planowania eksperymentu. WNT, Warszawa 1976, ss SAS Institute Inc. Pakiet statystyczny JMP 5.1., TABELA I. Struktura podstawowego procesu dydaktycznego wspomaganego komputerowo dla kierunku studiów Mechanika prowadzonego przez Katedr Podstaw Konstrukcji Maszyn WMRiT PP Sem. Nazwa L. L. przedmiotu egz. zal. Razem wyk. çw. lab. proj. W C L P Grafika in ynierska 1 Geometria wykreêlna Rysunek techniczny Grafika komputerowa Podstawy konstrukcji maszyn 3 PKM I PKM II PKM III Komputerowe wspomaganie projektowania 23