Dynamika układów podstawy analizy i symulacji. Wstęp. Oznaczenia i symbole

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Dynamika układów podstawy analizy i symulacji. Wstęp. Oznaczenia i symbole"

Transkrypt

1 Dymik ukłdów podstwy lizy i symulcji Wstęp Oprcowie zwier prktycze wprowdzeie do lizy i symulcji włsości dymiczych prostych ukłdów fizyczych. Zkres mteriłu ogricz się do przedstwiei podstwowych metod, które wprowdzją Czytelik w typowe prolemy utomtyki, czyli die rekcji oiektów zchodzące zmiy w celu przygotowi do projektowi odpowiedich ukłdów sterowi. Duży cisk położoo fizyczą iterpretcję i prktycze zstosowie opisywych metod w odiesieiu do zjwisk, które zchodzą w typowych procesch techologiczych. Poprzez studium prostych przypdków Czytelik m szsę yć pewego doświdczei, które pomoże zdefiiowć potyke prolemy, wyrć jrdziej skuteczą metodę postępowi i rozwiązywć rdziej złożoe zdi. W prezetcji poszczególych temtów zwrc się szczególą uwgę możliwości weryfikcji wyików (smokotrol. Zkłd się, że Czytelik posid podstwowe widomości temt rówń lgericzych i różiczkowych, przeksztłcei Lplce, zjwisk z fizyki klsyczej orz pewe doświdczeie w pisiu prostych progrmów. Njistotiejsze iformcje z tego zkresu przedstwioo we wprowdzeiu. Podręczik zwier krótkie wprowdzei do zgdień lityczych zilustrowe modelmi dymiki jprostszych oiektów z różych dziedzi (czego?. Uzupełieiem jest opis zstosowi modeli w dich symulcyjych w środowisku Mtl (lu Scil. - ozczei w ogólych wzorch: t czs, s u, u( fukcj wejściow (wejście/poudzeie, ( rozwiązie r.różiczkowego (odpowiedź ukłdu, ( zmie stu (czsem tkże wyjście y, y( wyjście ( skok jedostkowy δ( impuls Dirc h( odpowiedź skokow (rekcj ( g( - odpowiedź impulsow (rekcj δ( - ozczei prmetrów fizyczych: A powierzchi, m współczyik tłumiei (trci, Ns/m C pojemość elektrycz, FC/V C v pojemość ciepl, W/K c współczyik sztywości, N/m c p ciepło włściwe mteriłu, J/(kg K F sił, N f przepływ ojętościowy, m /s g przyspieszeie ziemskie, 9,8m/s h wysokość, m i tężeie prądu, A K c współczyik przewodzei, W/K L idukcyjość, HVs/A Ozczei i symole w zkresie szkoły średiej i pierwszego roku studiów techiczych j jedostk urojo s zmie zespolo K wzmocieie T, T stłe czsowe, s T d czs różiczkowi, s T i czs cłkowi, s α część rzeczywist pierwistk β część urojo liczy zespoloej φ przesuięcie fzowe, rd lu λ iegu ukłdu, pierwistek wielomiu ξ tłumieie (współczyik tłumiei ω pulscj (πf, rd lu m ms, kg p ciśieie, P Q ciepło, JWs q strumień ciepł, moc, W q łduek elektryczy, C R rezystcj, ΩV/A T tempertur, K lu C u pięcie, V V ojętość, m v prędkość, m/s przesuięcie, m Z impedcj, ΩV/A ρ gęstość mteriłu, kg/m Poiewż w progrmch symulcyjych ie m możliwości dokłdego odwzorowi wszystkich zw zmieych (ie m ideksów, więc przyjęto stępującą zsdę, że symol główy jest pisy dużą literą ideks młymi litermi. N przykłd zmieej T wew we wzorze odpowid zmie Twew w progrmie symulcyjym. Ozczei w rooczej wersji oprcowi: ieieskie pojęci/defiicje egzmim, w szczególości te pojęci wyróżioe oldem młe, szre uzupełiei, p. dowody, przeksztłcei (ltertyw - w treści tylko tytuły, rozwiięcie w złączikch? Do uzupełiei, sprwdzei lu poprwiei Kometrze (p. listy, pomysły uzupełieie/rozszerzeie! RĘKOPIS PWr

2 Dymik ukłdów podstwy lizy i symulcji I. Wprowdzeie Przedmiotem opisywych dń jest mtemtyczy opis ukłdu fizyczego (p. elektryczego, mechiczego, hydruliczego, cieplego, który ędzie moż wykorzystć do lizy i symulcji tego ukłdu. W szczególości omwie zgdiei mją zstosowie do di włsości dymiczych oiektów (procesów techologiczych i ukłdów sterowi (utomtyki dl tych oiektów. Podstwą dl rozwżń jest poiższe, krótkie wprowdzeie (powtórk podstwowych pojęć i zgdień z mtemtyki, fizyki i wyrego progrmu symulcyjego.. Podstwowe pojęci i rzędzi mtemtycze (powtórk z mtemtyki Opis i die dymiki oiektów (ukłdów wymg podstwowych umiejętości z różych dziłów mtemtyki elemetrej i lizy mtemtyczej. Rozdził I. jest swoistym zestwem słów kluczowych do zweryfikowi i uzupełiei wiedzy koieczej do prowdzei dń lityczych oiektów... Model oiektu (ukłdu Formy modeli Model oiektu opisuje zchowie wyrego ukłdu (fizyczego, chemiczego, iologiczego, ekoomiczego, z pomocą zmieych, które reprezetują pewe włsości ukłdu. Zmiee te moż podzielić : - zmiee wejściowe (wymuszei ich wrtość jest wymusz zewątrz (ie zleży od tego się dzieje w ukłdzie, - zmiee wyjściowe (rozwiązi ich wrtość jest rezulttem dziłi ukłdu. Stłe włsości ukłdów zywe są prmetrmi. Kostrukcj modelu przeprowdz podstwie opisu procesów zchodzących oiekcie zyw się modelowiem. Wyikiem tego procesu jest model lityczy (wyrżeie/wyrżei mtemtycze. Jeśli ze są wrtości prmetrów fukcji, to podstwie modelu lityczego moż rysowć różego typu wykresy (chrkterystyki. Wykresy mogą yć rówież zdejmowe eksperymetlie rzeczywistych oiektch. Odtworzeie modelu lityczego podstwie wykresu zywmy idetyfikcją (Rys. I-. Oiekt fizyczy Modelowie Wykresy Model Idetyfikcj Rys. I-. Modelowie i idetyfikcj Wykresy Model Fukcj mtemtycz opisując zchowie ukłdu może występowć w postci jwej f i (u,, u m lu uwikłej F(u,, u m,,, u (Rys. I-.. Jwą postć fukcji uzyskuje się drodze przeksztłceń lityczych - rozwiązi fukcji uwikłej. Progrmy symulcyje pozwlją oliczyć (rysowć wykres zrówo podstwie postci jwej, jk i uwikłej. u i f i (u,, u m u m Rys. I-. Model ukłdu Modele moż podzielić modele sttycze (u, opisujące ukłd w stie rówowgi orz modele dymiki, przedstwijące rekcję ukłdu ( zmiee wymuszei u(. Podstwowe zdie w dziedziie utomtyki dotyczy di dymiki ukłdów i poleg wyzczeiu fukcji opisujących przeieg zmieych wyjściowych oiektu podstwie modelu dymiki w postci ukłdu rówń lgericzych i/lu różiczkowych orz zej (zdej fukcji opisującej sty/zmiy zmieych wejściowych. Wzór, który jest rozwiąziem tkiego zdi po pierwsze m złożoą postć, po drugie może yć rdzo trudy lu wręcz iemożliwy do wyzczei (model występuje w postci uwikłej. Tymczsem w prktyce iżyierskiej zzwyczj te wzór ie jest potrzey - wystrczy zjomość chrkterystyczych cech rozwiązi, te moż określić w prostszy sposó, stosując przeksztłcei i włsości fukcji ze przykłd z lgery czy trygoometrii (Rys. I ! RĘKOPIS PWr

3 model: F(u, wejści: u ( Dymik ukłdów podstwy lizy i symulcji wyzczeie rozwiązi (zdy prolem przeksztłcei wyjści: ( zdie/zdi róworzęde die przeiegu zmieości fukcji ( metody lizy zsdy wioskowi Rys. I-. Aliz włsości dymiczych oiektu cechy rozwiązi Jedym z pierwszych elemetów lizy włsości, jest prost klsyfikcj typu modelu (rówń i fukcji, któr pozwl określić od rzu iektóre cechy oiektu i wyrć metodę dlszych dń. Podstwow klsyfikcj dotyczy liiowości fukcji, owiem zdecydow większość metod lityczych dotyczy modeli liiowych. Podczs kostrukcji i lizy modeli ukłdów stosowe są stępujące rzędzi mtemtycze: fukcje lgericze, p. wielomiy, fukcje wymiere i iewymiere, fukcje przestępe (wykłdicze, logrytmicze, trygoometrycze i cyklometrycze, rchuek różiczkowy i cłkowy (p. rówi różiczkowe,, rchuek opertorowy (p. przeksztłceie Lplce i Fourier, szeregi fukcyje (p. Fourier, Tylor, Lure. Przegląd podstwowych iformcji z tego zkresu zwrto w kolejych puktch rozdziłu. Włsości sttycze i dymicze Model sttyczy to jprostszy opis włsości oiektu (ukłdu. Przedstwi o zleżości pomiędzy zmieymi wejściowymi i wyjściowymi ukłdu w wrukch rówowgi, to zczy gdy wrtości zmieych wejściowych i wyjściowych stłe. Modele sttycze, opisywe w iiejszym oprcowiu, mją postć rówń lgericzych (r... Grficz reprezetcj włsości sttyczych chrkterystyk sttycz (Rys. I-4 pozwl odczytć wrtości wyjść podstwie wrtości wejść, p. (u p, (u k. W jprostszych przypdkch są to fukcje liiowe (p.: u. W rzeczywistych wrukch (u k (u p u zleżości liiowe prktyczie ie występują, le są rdzo często u p u k stosowe jko przyliżeie opisu rzeczywistych oiektów. Rys. I-4. Chrkterystyk sttycz Model dymiki ukłdu opisuje sposó rekcji ukłdu zmię sygłu wejściowego. W dich stosuje się rdzo proste sygły wejściowe, przykłd wymuszeie skokowe (Rys. I-5. Njprostszą reprezetcją grficzą opisu dymiki są chrkterystyki czsowe, przedstwijące rekcje oiektu określoe wymuszeie, przykłd odpowiedź skokową zmię wymuszei (Rys. I-6. Włsości dymicze sprwiją, że rekcj oiektu ie jest tychmistow, czsem może mieć chrkter oscylcyjy, co jwżiejsze ie zwsze kończy się dojściem do stu rówowgi, co zywmy rkiem stilości. Stąd wyik koieczość di dymiki oiektów. u k u p u Rys. I-5. Wymuszeie skokowe t (u k (u p t (u k (u p Rys. I-6. Rekcje ukłdu stilego i iestilego wymuszeie skokowe Model sttyczy opisuje ukłd w wrukch rówowgi, to zczy gdy wszystkie zmiee wejściowe i wyjściowe mją stłe wrtości. Ntomist model dymiki opisuje co się dzieje w ukłdzie gdy stąpi zmi wrtości wejściowych czy i jk ukłd osiągie owy st rówowgi. Podstwową lityczą formą modelu dymiki jest rówi różiczkowe (jczęściej zwyczje, gdzie zmieą iezleżą jest czs (r..4. Fukcj, któr jest rozwiąziem rówi różiczkowego dl określoego wymuszei i określoych wruków początkowych, odpowid chrkterystyce czsowej ukłdu (oiektu. Chrkterystyki sttycze i czsowe (dymicze ukłdu są wyzcze zrówo podstwie modelu mtemtyczego (di litycze i symulcyje, jk i zdejmowe rzeczywistym oiekcie przez przeprowdzeie odpowiediego eksperymetu (pomiry i di doświdczle. t - 7 -! RĘKOPIS PWr

4 Dymik ukłdów podstwy lizy i symulcji Stąd wyikją możliwości modelowi i idetyfikcji modeli mtemtyczych (Rys. I-7. Ntomist porówie zgodości chrkterystyk otrzymych podstwie modelu i chrkterystyk doświdczlych moż wykorzystć do weryfikcji i ocey dokłdości modelu. Oiekt fizyczy Doświdczei Chrkterystyk (sttycz/dymicz Weryfikcj Chrkterystyk (sttycz/dymicz Modelowie Idetyfikcj Aliz Symulcj Model mtemtyczy Rys. I-7. Kostrukcj, die i weryfikcj modelu W kolejych rozdziłch oprcowi przedstwioo podstwowe metody kostrukcji modeli rzeczywistych oiektów (modelowie, idetyfikcj orz di włsości (liz, symulcj, doświdczei modeli/oiektów. Może umery podrozdziłów????.. Rówi i wyre opercje lgericze Wielomiy rzeczywiste Szczególą rolę w lizie dymiki oiektów pełią wyrżei lgericze w postci wielomiów o rzeczywistych współczyikch. Kluczowe zczeie w tych dich mją pierwistki wielomiu (miejsc zerowe, czyli rozwiązi rówi: (I- Pierwistki wielomiu mogą yć liczmi rzeczywistymi (λ lu prmi licz zespoloych sprzężoych (α ± jω. Wielomi rzeczywisty -tego stopi m pierwistków, przy czym mogą to yć pierwistki wielokrote. Wielomi rzeczywisty (I- moż rozłożyć iloczy wielomiów rzeczywistych stopi co jwyżej drugiego: ( λ ( λ ( (I- gdzie dwumiy liiowe (wielomiy pierwszego stopi są związe z pierwistkmi rzeczywistymi λ i, trójmiy kwdrtowe, to wielomiy o ujemym wyróżiku i zespoloych pierwistkch. Trójmi o ujemym wyróżiku moż rówież rozłożyć iloczy wielomiów pierwszego stopi, le o zespoloych współczyikch: ( ( α jω ( ( α jω. (I- Tym smym kżdy wielomi rzeczywisty moż przedstwić w postci iloczyu wielomiów liiowych: λ λ λ (I-4 ( ( ( przy czym, w tym wypdku, pierwistki λ i mogą yć rzeczywiste i/lu zespoloe. Dostępe są róże metody rozwiązywi rówń wielomiowych. Pierwistki wielomiów stopi od do 4 moż wyzczyć lityczie z pomocą powszechie zych wzorów pierwistki (p. Zł. A.. Powyżej stopi 4 wzory pierwistki ie istieją koiecze są ie metody rozwiązywi. Jeśli współczyiki wielomiu mją postć liczową, to moż zstosowć przyliżoe, umerycze wyzczie pierwistków. W progrmch symulcyjych metody umerycze są stosowe iezleżie od stopi wielomiu (p. Zł. D.. N podstwie rówowżości postci ogólej (I- i iloczyowej (I-4: λ λ λ ( ( ( (I-5 moż sprwdzić poprwość wyzczoych pierwistków λ λ. Rówie (I-5 pozwl też wyprowdzić ogóle wzory Viéte, czyli zleżości pomiędzy współczyikmi wielomiu jego pierwistkmi: λ λ λ / λλ λλ λλ λλ λλ / (I-6 M λλ λ ( / Pierwistki we wzorch (I-6 mogą yć zrówo rzeczywiste jk i zespoloe. Koiecze jest złożeie, że, le wzory są prwdziwe tkże dl wielomiów o współczyikch zespoloych ! RĘKOPIS PWr

5 Dymik ukłdów podstwy lizy i symulcji! RĘKOPIS PWr Poz różymi metodmi wyzczi wrtości pierwistków stosowe są rówież tk zwe kryteri położei pierwistków płszczyźie zespoloej (Rys. I-8. Kryteri pozwlją podstwie prostych opercji współczyikch wielomiu stwierdzić czy wszystkie pierwistki leżą w lewej półpłszczyźie. Im(λ Re(λ Rys. I-8. Płszczyz zespolo Njrdziej ze to kryteri Hurwitz i Routh. Kryterium Hurwitz stwierdz, że wszystkie pierwistki rówi λ λ leżą w lewej półpłszczyźie, jeśli wszystkie współczyiki wielomiu są róże od zer i mją jedkowy zk, wszystkie miory główe wielomiu są dodtie. Miory główe to koleje wyzcziki.., kostruowe według wzoru:,, 4 5, , itd. ż do (I-7 Kryterium ie określ ile jest pierwistków dodtich jeśli ie są spełioe wszystkie wruki. Podstwową wdą kryterium jest koieczość liczei dużych wyzczików Według kryterium Routh wszystkie pierwistki rówi λ λ leżą w lewej półpłszczyźie, jeśli wszystkie współczyiki wielomiu są róże od zer i mją jedkowy zk, wszystkie współczyiki pierwszej kolumy tlicy Routh są dodtie. Tlic (mcierz Routh jest kostruow w stępujący sposó:, 5 4, (I-8 c, 5 c 5 4 d d d c c c ; gdzie c c c d,.. Jeśli wruki kryterium ie są spełioe, to moż wyzczyć ilość pierwistków w prwej półpłszczyźie jest o rów liczie zmi zku w pierwszej tlicy Routh. Ukłdy rówń Model oiektu często oejmuje kilk rówń, które pozwlją wyzczyć kilk iezleżych zmieych wyjściowych. Ukłd rówń może yć ozczoy (skończo ilość rozwiązń lu ieozczoy (ieskończo ilość rozwiązń, le ie powiie yć sprzeczy (rk rozwiązń. Modele w postci ukłdu rówń liiowych mogą yć zpisywe przy pomocy wektorów i mcierzy, i lizowe metodmi z zkresu lgery liiowej. Podstwą metod są opercje lgericze mcierzch orz oliczie wyzczik i wrtości włsych mcierzy. Sformułowie prolemu w postci mcierzowej jest szczególie preferowe podczs stosowi metod symulcyjych (p.. Aliz włsości modeli wielowymirowych wymg często rozwiązywi ukłdów rówń liiowych typu: (I-9 Metody rozwiązywi ukłdów rówń są róże poiżej przedstwioo trzy podstwowe: - metod mcierzow, - wzory Crmer, - podstwiie i elimiowie kolejych zmieych.

6 Dymik ukłdów podstwy lizy i symulcji Metod mcierzow. Ukłd (I-9 moż przedstwić w zpisie mcierzowym: A (I- gdzie wektory/mcierze współczyików i zmieych mją postć: A,,. Ukłd (I- moż rozwiązć z pomocą opercji mcierzowych: A - (I- Ogóly wzór mcierz odwrotą m postć: D T A ( A det( A (I- gdzie: A D mcierz dopełień lgericzych, (A D T trspoow mcierz A D (mcierz dołączo, det(a wyzczik mcierzy A. Przykłd (może stopień. Rozpisć? A, ( ( A D, D ( ( ( A T ( ( ( ( Wzory Crmer. Ukłd rówń (I-9 moż też zpisć w postci wektorowej: gdzie współczyiki i zmiee są reprezetowe przez wektory kolumowe: i i i,,, i i rozwiązć wzormi Crmer: Wi det(,, i,, i,, i W det(,,, (I-5 Przykłd (może stopień. Rozpisć? (I-6 det det det(,, det(, det(, det(, det det Podstwiie i elimiowie kolejych zmieych. Jeśli rozwiązie jest wyzcze lityczie, to czsem jprostszą metodą rozwiązi ukłdu (I-9 jest metod podstwii i elimiowi kolejych zmieych, przykłd gdy ilość rówń jest iewielk ( współczyiki rówń są prmetrmi ukłdu (symole lu wyrżei. Przykłd (może stopień. Rozpisć? (I- (I-4 - -! RĘKOPIS PWr

7 Dymik ukłdów podstwy lizy i symulcji.. Zmiee zespoloe i fukcje trygoometrycze Liczę zespoloą j stowi uporządkow pr Im [j] licz rzeczywistych (, zpisyw z użyciem jedostki zj urojoej j. Dwie podstwowe postcie licz zespoloych r koicz i trygoometrycz wyikją wprost z iterpretcji geometryczej liczy płszczyźie φ Re zespoloej (Rys. I-9. Są to postci rówowże, które moż stosowć zmieie: Rys. I-9. Płszczyz zespolo postć krtezjńsk (koicz postć trygoometrycz postć wykłdicz (część rzeczywist i urojo (moduł r i rgumet φ z j z r( cosϕ j siϕ jϕ z re r cosϕ, r siϕ Uzupełić iterpretcję ϕ rc tg(/ r, ϕ rc tg Korzystjąc z tych postci i iterpretcji geometryczej łtwo jest zilustrowć podstwowe dziłi liczch zespoloych: z z ( j ( j ( j( z z j j j ( ( ( ( jϕ ( [ cos( ( ] jϕ j ϕ ϕ r e r r e r r ϕ ϕ j ϕ ϕ jϕ / / / [ cos ] jϕ j ϕ ϕ r e r e r r e r r ϕ ϕ j ϕ ϕ z r e si / z z ( ( ( ( ( z si W te sposó moż rówież wprost uzsdić związki pomiędzy fukcjmi wykłdiczymi i trygoometryczymi, czyli wzory Euler w postci: jϕ jϕ e cosϕ j siϕ e j, (I-7 jϕ e cosϕ lu w postci: cosϕ siϕ j siϕ e jϕ jϕ ( e e / jϕ jϕ ( e e /( j jϕ j, gdzie: cosϕ, siϕ Wzory Euler są podstwą do udowodiei różych relcji dl fukcji trygoometryczych, tkich jk (p. Zł. A.4: si( α ± β siα cosβ ± cosα siβ (I-9 cos( α ± β cosα cosβ m siα siβ Wzory (I-7 (I-9 pozwlją udowodić zleżości, które pojwiją się w rozwiązich rówń różiczkowych (p..4: orz j B cos B si Ae Ae j ( ϕ A ( ϕ (I-8 (I- B cos B si Asi cos (I- gdzie: A ( B jb /, A ( B jb /, A B B, ϕ rctg( B / B, rctg( B / B ϕ. Dowód rówości (I- c poleg zstosowiu wzorów Euler (I-8: B j j B j j (I- B cos B si ( e e ( e e j i uporządkowiu otrzymego wyrżei: B B j B B j B B j B B (I- j e e j e j e j j Stąd wyik zleżość (I-, któr jest stosow w ou kierukch : j j B cos B si A e Ae, gdzie: A ( B jb /, A ( B jb / lu B A A, B j( A A (I-4 Wrto zwrócić uwgę, że współczyiki B i B są liczmi rzeczywistymi, współczyiki A i A są liczmi zespoloymi. - -! RĘKOPIS PWr

8 Dymik ukłdów podstwy lizy i symulcji Dowód rówości (I- wykorzystuje przedstwieie wyrżeń B jb i B jb w postci wykłdiczej: jϕ B jb Ae, gdzie A B B orz ϕ rctg( B /B. jϕ B jb Ae jϕ jϕ Stąd B A( e e / jϕ jϕ B A( e e /( j, po zstosowiu wzorów Euler (I-8 jest B B Acosϕ Asiϕ Po podstwieiu B i B w zleżości (I- i wykorzystiu wzorów trygoometryczych (I-9 otrzymujemy: B cos B si Acosϕ cos Asiϕ si Acos( ϕ Acos( ϕ (I-5 co odpowid zleżości (I- B cos B si Acos( ϕ (I-6 Stosując wzory redukcyje (p. Zł. A.4, otrzymujemy: o o Acos( ϕ Asi(9 ( ϕ Asi( (9 ϕ Asi( ϕ, (I-7 gdzie o o ϕ 9 ϕ. Skoro ϕ rctg( B / B,to B / B tg( ϕ tg(9 ϕ ctg( ϕ / tg( ϕ. Więc ϕ rctg( B / B. - -! RĘKOPIS PWr

9 Dymik ukłdów podstwy lizy i symulcji.4. Liiowe rówi różiczkowe zwyczje (LISTA.4.. Klsyfikcj rówń różiczkowych Rówi zwyczje i cząstkowe, liiowe i ieliiowe, stcjore i iestcjore. W dich dymiki oiektów (procesów techologiczych podstwowe zczeie mją rówi różiczkowe zwyczje, gdzie zmieą iezleżą jest czs (. Rozwżmy rówie różiczkowe zwyczje -tego rzędu postci: ( ( ( m & ( mu u& u( (I-8 gdzie i i i to prmetry, uu( - wymuszeie, ( - rozwiązie. W przypdku gdy wszystkie współczyiki i i i są stłe, otrzymujemy rówie liiowe, stcjore, które moż rozwiązć róże sposoy..4.. Ogóly lgorytm lityczego rozwiązywi liiowego rówi różiczkowego Rozwżmy liiowe rówie różiczkowe postci: ( ( ( m & ( mu u& u( (I-9 gdzie wszystkie i i i są stłe, wymuszeie uu(, rozwiązie (. Rozwiązie rówi, czyli fukcj ( skłd się rozwiązi swoodego s ( i rozwiązi wymuszoego w (: s w( (I- Algorytm rozwiązywi opier się zsdzie superpozycji i skłd się z czterech etpów. I. Wyzczeie rozwiązi swoodego (skłdowej swoodej s ( ( Ustlić postć rówi jedorodego: ( ( s s & s( s (I- ( Złożyć, że rozwiąziem jest fukcj ekspotecjl o dwóch prmetrch A i λ: λt s Ae (I- ( Podstwić złożoe rozwiązie do rówi jedorodego: λt λt λt λt λ Ae λ Ae λae Ae (I- (4 Podzielić rówie przez Ae λt, co prowdzi do rówi chrkterystyczego (wielomiu chrkterystyczego: λ λ λ (I-4 (5 Rozwiązć lgericze rówie chrkterystycze - wyzczyć pierwistków λ λ. (6 Pierwistki mogą yć rzeczywiste i zespoloe, jedo- i wielokrote. Stąd wyik postć s (: ( Jeśli wszystkie pierwistki rówi λ λ są rzeczywiste i róże, to λ t s( t A e λt A e ( Jeśli któryś z pierwistków jest wielokroty, p. k-ty pierwistek λ k jest m-kroty (λ k λ k λ km-, to s ( zwier m skłdików postci: ( A A k k t Ak t A m k mt ( Jeśli pierwistki są zespoloe (pr licz sprzężoych, p. λ αjω orz λ α-jω, to s ( zwier skłdiki, które moż zpisć trzy rówowże sposoy (I-, (I-: ( α jω t ( α jω t α t jω t jω t ( Ae A e e ( Ae A e e λ t α e t B cosω t B siωt B j A A. α t α t siωt ϕ Ae cosωtϕ ( ( gdzie: B A A, ( (c Ae ( ( gdzie: A B B, ϕ rctg( B, ϕ rctg( B / B / B Uwg: W rozwiązich rówń różiczkowych współczyiki A i A są liczmi zespoloymi, współczyiki B i B, oliczoe ich podstwie, są liczmi rzeczywistymi [Zł.B., Rozwiązie ]. W literturze występuje dość często ieprecyzyjy (i mylący zpis relcji B A A, B A A. Z włsości fukcji, które są skłdikmi rozwiązi swoodego wyik, że jeśli wszystkie pierwistki są ujeme lu mją ujemą część rzeczywistą, to rozwiązie swoode zik z czsem. Jeśli któryś z pierwistków jest dodti lu m dodtią część rzeczywistą dodtią, to rozwiązie s k (I-5 (I-6 (I-7 (I-8 (I-9 - -! RĘKOPIS PWr

10 Dymik ukłdów podstwy lizy i symulcji dąży do ieskończoości (±. Z tych włsości rozwiązi swoodego wyik stilość lu iestilość ukłdu (p.... II. Wyzczeie rozwiązi wymuszoego (skłdowej wymuszoej w ( Dl dowolej (różiczkowlej fukcji f(, któr jest podw jko wymuszeie u(: ( Wypisć fukcję wymuszjącą f( i jej koleje pochode (różego typu: f, f&, & f, (I-4 Wyrżei, które występują tkże w skłdowej swoodej s ( leży pomożyć przez t k, gdzie k jest jmiejszym wykłdikiem, który zpewi, że wyrżei ędą się różić od skłdików skłdowej swoodej. ( Złożyć, że rozwiązie wymuszoe w ( jest sumą tych skłdików, postci : C f C f& w.. (I-4 ( Podstwić wymuszeie f( i złożoe rozwiązie w ( do rówi różiczkowego (I-4: ( ( ( m w w & w( w( m f f& f (I-4 (4 Porówć współczyiki przy tkich smych fukcjch po ou stroch rówi. (5 Rozwiązć otrzymy ukłd rówń względem stłych C, C, Z kostrukcji w ( wyik, że jeśli fukcj wymuszjąc f( jest ogriczo, to skłdow wymuszo w ( też jest ogriczo. W prktyce iżyierskiej stosuje się zwykle wymuszeie stłe, skokowe, impulsowe i siusoidle. W przypdku stłego wymuszei u(u k mmy dl t >: ( u uk, u&, u&, ( w C uk & w, & w(, ( C uk uk (4 Cu k uk (5 C w uk Rozwiązie to moż otrzymć skróty, jko rozwiązie rówi sttyczego: u Przy stłym wymuszeiu wejściu u( u k, rozwiązie wymuszoe w ( też jest stłe: w( uk k (I-4 Rozwiązie (I-44 jest puktem rówowgi ( k ukłdu przy stłym wymuszeiu (u k. III. Ogóle rozwiązie rówi różiczkowego (cłk ogól, czyli sum rozwiązi swoodego (z prmetrmi A i i wymuszoego: λ A e t λ t A e ( (I-45 w t W rozwiąziu występują ieze prmetry A A, które moż wyzczyć dopiero przy kokretych wrukch początkowych. Jeśli skłdow swood zik z czsem, to iezleżie od wrtości A i rozwiązie ( dąży do rozwiązi wymuszoego w, tę włsość zyw się stilością. Jeśli skłdow swood ie zik, to rozwiązie ( jest iestile. IV. Rozwiązie szczególe (cłk szczegól wymg wyzczei wrtości prmetrów A i podstwie wrtości wruków początkowych, czyli dowolych spośród wrtości: ( ( t,, & ( t, ( t (I-46 N podstwie wruków początkowych orz wrtości fukcji wymuszjącej f(t i jej pochodych występujących w rozwiąziu ( powstje ukłd rówń do wyzczei prmetrów A A. Często wrukmi początkowymi jest st rówowgi, to zczy, że wszystkie pochode są rówe : ( ( (, (,., & (, Po podstwieiu tych wruków do rówi (I-, moż to wyrzić w rówowżej postci jko: ( (,., & (, ( p, gdzie p up (I ! RĘKOPIS PWr

11 .5. Modele opertorowe Dymik ukłdów podstwy lizy i symulcji.5.. Przeksztłcei Lplce i Fourier Modele opise liiowymi rówimi różiczkowymi moż poddć przeksztłceiom cłkowym Lplce (L lu Fourier (F i otrzymć w wyiku lgericze modele opertorowe [, dodć]. Zstosowie cłkowego opertor Lplce L powoduje, że fukcje zleże od czsu zostją przeksztłcoe w fukcje zmieej zespoloej s (trsformty fukcji, zmist pochodych fukcji występują potęgi zmieej s, czyli fukcje lgericze (A.5. W prktyce rzdko zchodzi koieczość oliczi trsformty Lplce z defiicji przez cłkowie, poiewż zestw fukcji wykorzystywych do opisu przeiegu zmieych i modeli oiektów jest dość ogriczoy i wystrczy korzystć się z gotowych tlic (A.5: T. VIII-. Ntomist oliczie trsformt Fourier w prktyce iżyierskiej odyw się główie podstwie ierozerwlego związku pomiędzy przeksztłceiem Lplce i Fourier: s jω (I-47 Włsości przeksztłceń cłkowych zczie uprszczją lizowie dymiki oiektu. T. I-. Wyre włsości przeksztłceń cłkowych Twierdzeie o Przeksztłceie L Przeksztłceie F liiowości L i fi i fi ( s F i fi i i i f i (ω i i trsformcie cłki t L f ( τ dτ f ( s s L[ (] F t sf F [ (] f ( τ dτ ( ω jω f trsformcie f pochodej & ( s f ( f & j ω f (ω wrtości lim f lim sf ( s, jeśli gric f( istieje końcowej t s wrtości lim f lim sf ( s, jeśli gric f( istieje początkowej t s Zmie s w przeksztłceiu Lplce ie m iterpretcji fizyczej, le zmie ω w przeksztłceiu Fourier m iterpretcję fizyczą. Związek z odpowiedzią częstotliwościową (p..6. Szeregi fukcyje Typowym przykłdem zstosowi szeregów fukcyjych jest szereg Tylor, wykorzystywy do lieryzowi fukcji ieliiowych, czy szereg Fourier stosowy w lizie częstotliwościowej ukłdów. Ptrz: szereg (potęgowy Tylor (szereg Mcluri, szereg (trygoometryczy Fourier - 5 -! RĘKOPIS PWr

12 .7. Pyti i zdi Dymik ukłdów podstwy lizy i symulcji.7.. Klsyfikcj i prmetry wyrżeń mtemtyczych º Określ typ stępujących fukcji elemetrych: 4 y 5 d y g y log y h y e si e y i y c y rctg f y si j y si º Przedstwioe poiżej rówi leżą do różych dziłów mtemtyki (jkich? i mogą yć przykłdem opisu włsości oiektów & && & ( u( u& d 5 ku & &&( ( u( u& e ku( c & ( u( u( f & & ( u( Określ typ rówi (lgericze/różiczkowe Określ rząd (lu stopień, liiowość, stcjorość Czym jest rozwiązie rówi ziorem, wrtością, fukcją,? Jk zyw się procedur wyzczi tego rozwiązi?.7.. Wielomiy i ukłdy rówń º Czy pierwistki i są tkie sme? º Wyzcz pierwistki stępujących wielomiów: ( ( 5(, ( (, c 8 8. º Czy wzory Viéte moż wykorzystć do wyzczi pierwistków zespoloych? 4º Wyierz dowole wrtości współczyików wielomiów: ;. Określ położeie pierwistków płszczeie zespoloej (zstosuj kryterium. Wyzcz wrtości pierwistków lityczie (sprwdź symulcyjie. 5º Przedstw wielomi, który: m jede podwójy pierwistek, m pierwistki zespoloe. Podj współczyiki wielomiu (I- orz jego rozkłd czyiki (I-. Wyierz dowolą mcierz kwdrtową A stopi. Olicz wyzczik, odwróć mcierz i podj wrtości włse mcierzy. Zpisz pody model w postci mcierzowej, wektorowej. Podj wektor rozwiązń. u u u u Rozwiąż rówi z poprzediego zdi metodą elimiowi zmieych ! RĘKOPIS PWr

13 Dymik ukłdów podstwy lizy i symulcji. Elemetre przykłdy kostrukcji modeli dymiki ukłdów (powtórk z fizyki.. Ogóle zsdy kostrukcji modeli dymiki Jedą z metod kostruowi modeli dymiki oiektów opis oiektu podstwie mkroskopowych rówń ilsowych wielkości podlegjących prwom zchowi, czyli tkich jk p. ojętość, ms, eergi. Bilse są kostruowe dl wszystkich zczących mgzyów, czyli oszrów ukłdu, które mją zdolość mgzyowi określoej wielkości. Kżdy ils opisuje zmię zwrtości mgzyu w czsie: dx ± fi ± f g (I-48 dt gdzie: X( wielkość podlegjąc ilsowiu, f i ( strumieie ilsowej wielkości dopływjące/odpływjące z mgzyu, f g ( strumień ilsowej wielkości geerowy/zużywy wewątrz mgzyu (p. w wyiku procesów chemiczych. Model tworzą więc rówi różiczkowe zwyczje pierwszego rzędu. Wielkości X( opisujące st mgzyów są zywe zmieymi stu i zzwyczj są to rówocześie zmiee wyjściowe ukłdu. Model jest jedozczie określoy (komplety jeśli zwier tyle rówń ile jest zmieych wyjściowych (zmieych stu, pozostłe zmiee są zmieymi wejściowymi modelu (co ozcz, że ich wrtość jest wymusz/zdw z zewątrz i ie zleży od stu ukłdu. Model dymiki ukłdu stowi komplet rówń różiczkowych, opisujących ilse mgzyów tego ukłdu. Uproszczeie modelu dymiki, polegjące wyzerowiu wszystkich pochodych prowdzi do modelu sttyczego. Ukłd rówń stowiący model sttyczy może yć ozczoy lu ieozczoy (w szczególych przypdkch le ie może yć sprzeczy. Kostrukcj modelu oejmuje rówież idetyfikcję wrtości prmetrów modelu. W tym celu moż wykorzystywć iformcje o wymirch geometryczych i włsościch sustcji lu o pomirch zmieych wejściowych i wyjściowych. O zgodości jedostek. Więcej o kostrukcji [].. Zioriki otwrte ukłdy hydrulicze Kostrukcj modeli Njprostsze modele dymiki kostruowe dl oiektów hydruliczych występują w przypdku ukłdów skłdjących się z otwrtych ziorików przez które przepływ ciecz o stłej gęstości, przykłd wod. Kostrukcj modeli opier się dymiczym ilsie ojętości cieczy (V w kżdym zioriku zmi ojętości w czsie jest wyikiem ilsu strumiei wpływjących i wypływjących (f i : dv ± f i, [m /s] (I-49 dt Opisywe modele ędą dotyczyć ziorików o płskim die o powierzchi A i pioowych ścich, to zczy, że w ilsie (I-49 zmist ojętości V może występowć wysokość h: dh( A ± f i (I-5 dt Model dymiki pojedyczego ziorik (Rys. I- wymg jedego rówi różiczkowego : Ah f f f we h f wy A A Rys. I-. Ziorik: z pompą, ze swoodym wypływem f we h A w f wy & we wy (I-5 Wypływ cieczy f wy w zioriku ( zleży od pompy, więc wzór (I-5 stowi komplety (jedozczie określoy model ziorik (. Ntomist w zioriku ( wypływ cieczy f wy stępuje przez swoody wypływ przez otwór w die (lisko d, więc zleży od powierzchi otworu A w i wysokości cieczy w zioriku h: f A gh( h( (I-5 wy w Dokłdy wzór swoody wypływ jest ieliiowy, więc często ędzie stosowe liiowe przyliżeie (sposó wyzczei współczyik zostie opisy w p W dlszej części stąpi formle rozróżieie zmieych stu i zmieych wyjściowych modelu Ukłd rówń ozczoy jedo rozwiązie, ieozczoy wiele rozwiązń, sprzeczy rk rozwiązń ciecz iezyt lepk, iezyt gęst, jedorod, - 7 -! RĘKOPIS PWr

14 Dymik ukłdów podstwy lizy i symulcji Jeśli w zleżości (I-5 uwzględimy dokłdy wzór f wy, to uzyskujemy ieliiowy model ziorik: Ah f we Aw gh( (I-5 wykorzystując wzór przyliżoy model liiowy: Ah& fwe( h( (I-54 W ou przypdkch ktul wysokość cieczy h jest zmieą stu (zmieą wyjściową, tomist strumień wpływu f we jest zmieą wejściową ukłdu. W przypdku kskdy ziorików (Rys. I-, model dymiki zwier tyle rówń różiczkowych ile jest ziorików: f we A h& ( fwe( fwy( (I-55 h Ah& f ( fwy( fwy( A wy w Komplety, dokłdy model dymiki kskdy m postć: A A h& ( f we Aw gh h A f wy w A h& ( Aw gh Aw gh (I-56 A z jedą zmieą wejściową f we. Rys. I-. Zioriki iepołączoe Opisując swoody wypływ ze ziorików przyliżoą liiową zleżością (I-5 moż uzyskć model liiowy. Jeśli swoody wypływ cieczy ze ziorik stępuje ie zewątrz le przez połączeie rurowe do kolejego ziorik (Rys. I-, to strumień swoodego wypływu zleży od powierzchi otworu i różicy wysokości pomiędzy połączoymi ziorikmi: f we f A g h h h h ( (I-57 f wy h A w h f wy A w Rys. I-. Zioriki połączoe przewodem ( ( wy( w t (dotyczy to tylko przepływu pomiędzy ziorikmi, o wypływ f wy odyw się zewątrz. Model dymiki tego ukłdu opier się rówież rówich ilsowych (I-55, le w tym wypdku komplety, dokłdy model m postć: A h& ( f we Aw g( h h (I-58 A h& Aw g( h h Aw gh Model ukłdu ędzie liiowy jeśli zostą zstosowe przyliżoe, liiowe zleżości do opisu swoodego wypływu (I-5, (I-57 Przepływ cieczy może yć rówież wymuszy z pomocą pomp o sterowej wydjości, iezleżej od poziomu cieczy w ziorikch. Tki przepływ jest trktowy jko zmie wejściow ukłdu. Stąd komplety model kolejego ukłdu (Rys. I- m postć: f we A h& ( f we Aw g( h h h f wy f h wy Ah& Aw g( h h f wy (I-59 A w gdzie f we i f wy są zmieymi wejściowymi. Rys. I-. Zioriki z pompą N podstwie powyższych przykłdów moż wioskowć, że przy dl typowych otwrtych ukłdów hydruliczych leży się spodziewć ukłdów rówń pierwszego rzędu i są to zzwyczj rówi ieliiowe. Więcej o zjwiskch fizyczych w otwrtych ukłdch hydruliczych []. g h h ( h h ( Dodć uwgi: Przypdek h ( < h ( dl A w (, ( t Jedostki i idetyfikcj wrtości prmetrów ( t Idetyfikcję wrtości prmetrów modeli hydruliczych łtwo jest wykoć podstwie wymirów geometryczych ziorików i otworów. Przykłdy - Zł. C Jedostki zmieych i prmetrów: V [m ], f [m /s], Jedostką rówi ilsowego jest m /s, co moż potwierdzić wykoując podstwieie: A h & f A g h( we w - 8 -! RĘKOPIS PWr

15 Dymik ukłdów podstwy lizy i symulcji m m m m m m s s s s Zdi. Dyspoując ziorikmi orz pompmi o sterowej wydjości moż kostruowć oiekty o różych włsościch. m f f f f we f f f we f we f we h f wy f we c f d h f wy.. Oiekty cieple ukłdy termokietycze... Kostrukcj modeli Pierwszym krokiem w kostrukcji prostych modeli oiektów cieplych jest wskzie jrdziej zczących mgzyów ciepł (Q w ukłdzie. Opisywe modele wykorzystują złożeie o doskołym miesziu, to zczy, że cł ojętość mgzyu ędzie opisyw z pomocą jedej tempertury T. Wówczs zwrtość ciepł w mgzyie wyosi: Q c ρ VT C T( (I-6 p gdzie C V ozcz pojemość cieplą mgzyu stły prmetr zleży od ciepł włściwego c p, gęstości ρ i ojętości V sustcji wypełijącej mgzy. Drugi krok w kostrukcji modelu to opis zmiy zwrtości mgzyu w czsie w postci ilsu źródeł i strt ciepł (q i : dq( dt CV ± qi, [W] (I-6 dt dt Njprostszym źródłem ciepł w mgzyie jest grzłk elektrycz o określoej mocy (q g, zwykle z możliwością sterowi, tomist główą przyczyą strt jest zwykle przewodzeie ciepł przez ściy (Rys. I-4. Zkłdjąc, że domiującym mgzyem ciepł w tym ukłdzie jest powietrze w pomieszczeiu, to model dymiki zwier jedo rówie różiczkowe: C T & q K T T (I-6 q g K c T w,c v T zew Rys. I-4. Pomieszczeie z grzejikiem elektryczym v Ukłd cieply zwierjący kilk zczących mgzyów wymg ułożei kilku rówń ilsowych model zwier tyle rówń różiczkowych ile jest zczących mgzyów ciepł. Wyór - 9 -! RĘKOPIS PWr w V g c ( gdzie współczyik przewodzei (str K c zleży od powierzchi (A, gruości ( g orz współczyik przewodości cieplej mteriłu ści (λ: K λa / (I-6 w c g Zmieą wyjściową modelu jest tempertur T w chrkteryzując ktuly st mgzyu (zmie stu. Pozostłe zmiee moc q g i tempertur zewątrz T zew są zmieymi wejściowymi, poiewż ich wrtość ie zleży od procesów oiekcie. Iym typowym sposoem ogrzewi jest przeoszeie ciepł przez medium (ośik ciepł, przykłd wiew ciepłego powietrz do pomieszczei, dopływ gorącej wody do grzejik. Rys. I-5 przedstwi przykłd tkiego oiektu z wiewem ciepłego powietrz. Przy złożeiu, że tylko powietrze kumuluje ciepło, model oiektu m postć: T C T & v w c pρ f Tz c pρ f Tw T (I-64 w, C p T w v f f gdzie c pρ f Tz to ciepło dostrcze przez ciepłe powietrze, T z c pρ f Tw ciepło wyprowdze przez wypływjące powietrze. Rys. I-5. Pomieszczeie z wiewem N podstwie złożei o doskołym miesziu uzje się, że tempertur ośik wypływjącego z mgzyu (T p jest rów temperturze ośik w mgzyie (T w. zew

16 Dymik ukłdów podstwy lizy i symulcji mgzyów stępuje podstwie ich pojemości cieplych i jest ustly etpie formułowi złożeń dl modelu. Zmieymi wyjściowymi modelu są zmiee stu, to zczy zmiee opisujące st (tempertury poszczególych mgzyów. Pozostłe zmiee modelu powiy mieć chrkter wejść, czyli zmieych, które ie zleżą od stu oiektu, tylko są wymusze z zewątrz. Przykłdem tkiego oiektu może yć pomieszczeie z grzejikiem cetrlego ogrzewi (Rys. I-6 - przez grzejik przepływ gorąc i oddje ciepło do pomieszczei, pomieszczeie trci ciepło przez ściy. Ciepło jest mgzyowe przez wodę w grzejiku i powietrze w pomieszczeiu, w ou mgzych zkłdmy wruki doskołego mieszi. Stąd wyik model oiektu, skłdjący się z dwóch rówń: C T& vg gp c pwρ pw f Tgz c pwρ pw f Tgp K g T C T & vw wew K g( Tgp Twew( Kc( Twew Tzew T gp T gz f K c T zew T w,c vw C vg K g Rys. I-6. Pomieszczeie z grzejikiem ( T Z przedstwioej zsdy kostrukcji ukłdów cieplych wyik, że modele mją postć ukłdów rówń pierwszego rzędu. Modele są ieliiowe jeśli w ukłdzie występuje przeoszeie ciepł przez medium o zmieym tężeiu przepływu. Więcej o zjwiskch fizyczych występujących w ukłdch termokietyczych w []. Dodć uwgi: Zkłdy kieruek przewodzei ciepł... Jedostki i idetyfikcj wrtości prmetrów Wrtości prmetrów w modelch cieplych moż wyzczyć podstwie wymirów geometryczych mgzyów ciepł i włsości fizyczych sustcji, p. pojemości cieple (I-6, współczyiki przewodzei (I-6. Część z ich moż rówież wyliczyć wykorzystując rówi sttycze modelu orz iformcje temt mocy cieplej i tempertur, przykłd dostępe w projektch udowlych lu z pomirów ([6]. Przykłdy - Zł. C. Wrto zwrócić uwgę to, że jeśli we w rówiu ilsowym występuje tempertur, to zwsze jest to różic tempertur. To ozcz, że zmist stosowi K, moż stosowć C. Jedostki zmieych i prmetrów: Q [JW s], C v [J/K], T [ C], c p [J/(kg K], ρ [kg/m ]. Jedostką rówi ilsowego jest W, co moż sprwdzić: C T & q K T T v w g c ( w J kg K W m W ( C C W kg K m s C Zdi. Oiekty przedstwioe poiżej mją jedą wspólą cechę zwierją dw mgzyy ciepł. Jedk ich włsości ędą się różić ze względu relcje pomiędzy mgzymi ciepł orz złożei ustle etpie plowi dń. q g K p Tp K c K T wew K c T zew zew K c K f p T we T zew gp K c T K c q e wew K c T zew f p,t wy T zew (I-65 f p T we c fp,t wy f p T we d K w fp,t wy Jeśli zmieych wyjściowych ędzie więcej iż rówń różiczkowych (ie wszystkie zmiee poz zmieymi stu moż uzć z wejści leży wówczs szukć dodtkowych zleżości i wyelimiowć dmirowe zmiee. - -! RĘKOPIS PWr

17 .4. Oiekty mechicze liiowe Dymik ukłdów podstwy lizy i symulcji.4.. Kostrukcj modeli Modele dymiki ukłdów mechiczych opierją się ilsie sił i mometów sił. Njprostsze modele występują w przypdkch gdy ruch odyw się wzdłuż jedego kieruku orót wokół jedej osi. Pierwszy etp kostrukcji modelu poleg wykoiu schemtu, który opisuje dziłie ukłdu z pomocą idelych elemetów podstwowych: sprężyy, tłumik i msy orz zewętrzych sił. Spręży reprezetuje siły sprężystości siły rekcji elemetu proporcjole do przesuięci końców : A FcA c( A( B c B (I-66 FcB c( B A gdzie A przesuięcie końc A, B przesuięcie drugiego końc, F ca F A F cb F B c współczyik sztywości (zleży od kostrukcji i mteriłu. Rys. I-7. Spręży Tłumik reprezetuje zjwisko trci podczs ruchu cił w cieczy lu gzie (trcie lepkie, które powoduje ieodwrcle przeksztłcie eergii mechiczej w ciepło. Siły rekcji tłumik zleżą do prędkości poruszjących się końców : A B FA ( & A & B (I-67 F & & F A F A F B Rys. I-8. Tłumik F B B ( B gdzie & A ( prędkość końc A, & B ( prędkość końc B, współczyik tłumiei (zleży od kostrukcji i mteriłu. Ms jest włsością cił, któr przeciwdził zmiie prędkości wymuszej przez zewętrzą siłę. Sił rekcji F m jest proporcjol do przyspieszei (: F m m & (I-68 m gdzie & &(t przyspieszeie (, m ms. Opisywy elemet ie uwzględi ksztłtu cił i puktu przyłożei siły F m F cł ms cił jest skupio w jedym pukcie. Rys. I-9. Ms Kostrukcj modeli ukłdów mechiczych poruszjących się wzdłuż jedego kieruku poleg ułożeiu ilsu sił dl wszystkich puktów, które łączą elemety schemtu i mją róże przesuięci lu iczej mówiąc poruszją się z różymi prędkościmi (pukty ilsowe. Po jedej stroie ilsu występują wszystkie zewętrze siły kcji, po drugiej stroie siły rekcji wszystkich elemetów połączoych z dym puktem. Zjwisk fizycze i kostrukcję rdziej złożoych modeli mechiczych opiso przykłd w []. Njprostsze przykłdy ukłdów mechiczych zwierją jede ruchomy pukt model zwier jedo rówie ilsowe. N przykłd połączeie sprężyy i tłumik reprezetującego opory trci (Rys. I- jest opise przez rówie ilsowe, w którym występuje zewętrz sił F i sum sił rekcji c sprężyy i tłumik z jedym usztywioym końcem: c & c( F( (I-69 F F Zmieą wejściową modelu jest sił zewętrz F, Rys. I-. Spręży z tłumikiem wyjściem przesuięcie. Ntomist dl podoego ukłdu sprężyy i tłumik, w którym występuje dodtkowo ms puktow (Rys. I- rówie ilsowe sił m postć: m & & c( F( (I-7 F c Komplety model oejmuje dl jedo rówie, le tym m rzem drugiego rzędu. A w ogólym przypdku trze uwzględić fkt, że siły i momety sił są wielkościmi wektorowymi zewętrz sił kcji (F A wywołuje przesuięci ż do zrówowżei przez siłę rekcji elemetu (F ca zewętrz sił kcji (F A jest zrówowżo przez siłę rekcji elemetu (F A przy pewych prędkościch - -! RĘKOPIS PWr

18 Dymik ukłdów podstwy lizy i symulcji Pukty ilsowe, dl których leży ułożyć rówi różiczkowe często zjdują się w puktch reprezetujących msy, tk jk to prezetuje przykłd Rys. I-, opisy przez ukłd rówń: F F m&& & c ( (I-7 m&& & c c ( m m c Ukłd m jedą zmieą wejściową (F dwie zmiee wyjściowe (,. c Rys. I-. Ukłd z dwom puktmi i msmi Występowie ms w puktch ilsowych ie jest koiecze. Brdziej ogólie moż powiedzieć, że istote są pukty gdzie łączą się końce spręży i tłumików, jk Rys. I-. F m&& & c ( (I-7 & c c ( m c W modelu ie występuje zewętrze wymuszeie c (ie m zmieej wejściowej, le moż dć zchowie ukłdu od zdych wruków Rys. I-. Ukłd z dwom puktmi początkowych, wyikjących przykłd z ciągięci/ściśięci spręży. N podstwie powyższych przykłdów moż wioskowć, że prezetow metod kostrukcji dje w wyiku ukłdy rówń liiowych mksymlie drugiego rzędu. Dodć uwgi: Zkłdy kieruek przesuięci i siły rekcji Może whdło (dokłde i uproszczoe?.4.. Jedostki i idetyfikcj wrtości prmetrów Wyzczeie wrtości prmetrów modeli mechiczych podstwie wymirów i mteriłu może stowić pewie prolem. cd. Przykłdy - Zł. C. Jedostki zmieych i prmetrów: F [Nkg m/s ], c [N/m], [Ns/m], m [kg] Jedostką rówń ilsowych jest N, co zjduje potwierdzeie p. w modelu: m & & c ( F( m Ns m N kg m N N s m s m Zdi. Ukłdy przedstwioe poiżej mją wspólą cechę zwierją dw pukty o różych przesuięcich (,, czyli wymgją ułożei dwóch rówń ilsowych. F F c m c c c m F c m c c c F d m c c - -! RĘKOPIS PWr

19 .5. Ukłdy elektrycze Dymik ukłdów podstwy lizy i symulcji.5.. Kostrukcj modeli Modele dymiki ukłdów mechiczych opierją się ilsie pięć w oczkch owodu i prądów lu łduków w węzch. W prktyce używ się do opisu owodów spdków pięć (u i tężeń prądów (i, poiewż są to wielkości, które łtwo jest zmierzyć. Jedk z defiicji tężei prądu: i q& (I-7 wyik, że moż wykorzystywć rówież opis ukłdów z pomocą pięć (u i łduków (q. Podstwowe elemety ukłdów elektryczych to rezystor, kodestor i cewk orz idele źródł pięciowe lu prądowe. Rezystor reprezetuje strty eergii elektryczej ciepło. Relcj pomiędzy tężeiem prądu i orz spdkiem pięci rezystorze jest proporcjol: R i u Ri( u Rq& (I-74 gdzie R rezystcj (zleż od wymirów geometryczych elemetu u i mteriłu, q& ( zmi łduku w czsie i(. Rys. I-4. Rezystor Kodestor opisuje zdolość ukłdu do gromdzei łduków, którą opisuje zleżość: C i du( i C q Cu( (I-75 dt u gdzie C pojemość elektrycz (zleż od udowy i mteriłu Rys. I-5. Kodestor kodestor, q ( łduek. Cewk jest elemetem ezwłdościowym, który przeciwdził zmiie tężei prądu przez smoidukcję siły elektromotoryczej e, któr jest proporcjol do zmiy prądu: e L di( L i e L L e L Lq& (I-76 dt u gdzie L idukcyjość włs (zleż od ksztłtu i mteriłu cewki. Rys. I-6. Cewk T. I- zwier zleżości (I-74 (I-76 orz przeksztłcei tych zleżości używe przy ukłdiu rówń różymi metodmi, w tym postć opertorową (p..5, często stosową w prktyce ze względu przygotowie do dlszej lizy. T. I-. Stosowe opisy podstwowych elemetów elektryczych Opis pięciowo-prądowy O.prąd.-pięciowy Impedcje u(i i(u u(q Z(s Z(jω rezystor (R u Ri( u ( s Ri( s i Gu( u Rq& R R kodestor (C cewk (L du( u i( dt u ( s i( s i C u q( C sc dt C sc jωc di( e L L u ( s sli( s i u( dt u Lq& dt L sl jω L Rozwżmy prosty owód złożoy ze źródł pięci, cewki i rezystor (Rys. I-7. Bils pięć w oczku moż przedstwić w postci stępującego rówi różiczkowego: L w R w i w u w Rys. I-7. Owód wzudzei silik L diw Rwiw uw (I-77 dt w Zmieą wejściową modelu jest pięcie zsiljące u w, zmieą wyjściową tężeie prądu w owodzie i w. Prktyczym przykłdem rozwżego oiektu yć może yć owód wzudzei silik, w którym uwzględioo idukcyjość zwojów i ich rezystcję. Kolejy prosty owód elektryczy zwier elemety RLC (Rys. I-8. Do opisi rówież wystrczy jedo rówie ilsowe: z defiicji tężeie prądu jest pochodą łduku w czsie: i( dq( / dt - -! RĘKOPIS PWr

20 R L i C Rys. I-8. Ukłd oscylcyjy RLC u Dymik ukłdów podstwy lizy i symulcji di( L Ri( i( dt u( dt C (I-78 Opisując ukłd z pomocą pięć i prądów uzyskuje się rówie cłkowo-różiczkowe. Uzyskie modelu w postci rówi różiczkowego wymg opisu z pomocą pięć i łduków: L q& Rq& q( u( (I-79 C W prktyce iżyierskiej jczęściej stosuje się rówie (I-78, które zostło przeksztłcoe (lu od rzu skostruowe do postci opertorowej: sli ( s Ri( s i( s u( s (I-8 sc Jedą z metod ukłdi rówń dl złożoych owodów elektryczych jest metod oczkow. Pierwszy etp metody poleg wyzczeiu odpowiediej liczy iezleżych oczek. W ukłdzie przedstwioym Rys. I-9 moż wyróżić dw iezleże oczk. Rówi ilsowe dl wyzczoych oczek jwygodiej jest zpisć w postci opertorowej: R L L e i i e sli Ri ( s sc (I-8 i i i i R sli Ri C C i sc sc i i Rys. I-9. Ukłd dwuowodowy Rówiom opertorowym (I-8 odpowidją rówi różiczkowo-cłkowe: di i i e L Ri dt dt C (I-8 di i i i L Ri dt dt dt C C i rówi różiczkowe: q q e Lq&& Rq& C (I-8 q q q Lq&& Rq& C C Przedstwio metod kostrukcji prowdzi do modeli, które zwierją ukłdy rówń liiowych w postci rówń opertorowych lu różiczkowo-cłkowych lu różiczkowych mksymlie drugiego rzędu. Wyór formy modelu zleży od jego dlszego wykorzysti. Rozwiięcie przedstwioych zsd zwier przykłd podręczik []. Dodć uwgi: Zkłdy kieruek prądu i spdku pięci.5.. Jedostki i idetyfikcj wrtości prmetrów Prmetry modeli elektryczych wyikją główie z elemetów RLC o zych wrtościch. Przykłdy - Zł. C Jedostki zmieych i prmetrów: u [V], i [AC/s], R [ΩV/A], C [FC/V], L [HW/AVs/A]; Jedostką rówi ilsowego w metodzie oczkowej jest V, co moż sprwdzić, p. dl: L q& R q& q( u( C C C H Ω F C V s s Eergi (prc [JVAs] V A / s A s V A A F C V Sposó wyzczei iezleżych oczek może yć róży przykłd moż po wyzczeiu kżdego oczk wyłączć z dlszego wyoru jedą z głęzi tego oczk - 4 -! RĘKOPIS PWr

21 Dymik ukłdów podstwy lizy i symulcji Zdi. Wspólą cechą poiższych ukłdów jest możliwość zdefiiowi dwóch oczek orz jed zmie wejściow R L R C R R C i C i u L i L i u Dodć przykłd gdy zmieą wyjściową jest ie prąd, tylko pięcie elemecie.6. Ukłdy hydrulicze i peumtycze.7. Ie (w tym ukłdy iologicze Model v der Pol? Lotki-Volterry.8. Alogie Porówie opisu oiektów różego typu pozwl sformułowć kilk logii (T.I ! RĘKOPIS PWr

22 Dymik ukłdów podstwy lizy i symulcji Alogie opierją się podoieństwie opisu zjwisk. Jk moż zuwżyć podstwie teli jrdziej podoe są do sieie opisy ukłdów elektryczych i mechiczych spdki pięć - 6 -! RĘKOPIS PWr

23 Dymik ukłdów podstwy lizy i symulcji odpowidją siłom łduki przesuięciom i. Poz tym w ou ukłdch występują elemety gromdzące eergię (kodestor, spręży i rozprszjące eergię (rezystor, tłumik orz elemety ezwłdościowe przeciwdziłjące zmiom (cewk, ms. Alogie tę moż rozszerzyć o ukłdy hydrulicze zmkięte, czyli ukłdy w których rozptruje się przepływ medium wymuszoy przez różicę ciśień, przy czym to medium wykzuje pewą msę i jest ściśliwe zkłd się, że moż pomiąć termodymicze przemiy gzu i 4. Drugą prę rdzo podoych opisów stowią modele oiektów cieplych i ukłdów hydruliczych otwrtych (zioriki ciepłu odpowidją ojętości strumieiom ciepł (mocy przepływy medium. W ou przypdkch ilsuje się zwrtość pewego rodzju mgzyów (ciepł, ojętości, ich st chrkteryzują zmiee stu (tempertur, wysokość. W porówiu do ukłdów mechiczych i elektryczych ie występuje tu odpowiedik zjwisk ezwłdości 5. W oiektch cieplych moż z to wskzć chrkterystycze przykłdy elemetów opóźijących (, które występują przy wykorzystiu przepływjącego medium jko ośik przykłd ciepł (Rys. I-. Jeśli ściy przewodu są dorze izolowe (przewodzeie ciepł przez ściy jest pomijle to m miejsce jedyie opóźieie trsportowe opise rówiem: T wy T T ( t T T we f l Rys. I-. Opóźieie trsportowe f wy ( we o (I-84 gdzie T o czs opóźiei zleży od odległości i prędkości przepływu. Kżd logi m swoje ogriczei zkres zstosowi, przykłd złożeie o liiowości zstosowego opisu. Alogie ułtwiją m przeoszeie wiedzy pomiędzy dziedzimi i pokzują zczeie rozwiji i zstosowi uiwerslych metod lizy, oprtych rówich różiczkowych i trsmitcjch..9. Modele rzeczywistych oiektów - złożei i ogriczei modeli Elemetre liiowe ukłdy dymiki i rzędu mją duże zczeie teoretycze, le ie występują w rzeczywistych wrukch. Zstosowie tk prostych modeli zwsze jest efektem przyjętych złożeń, które pozwlją uprościć opis, kosztem ogriczei dokłdości modelu. Prostszy model to ie tylko łtwiejsze oliczei, le tkże miejsz ilość prmetrów, których wrtości trze wyzczyć. Tk więc w prktyce iżyierskiej kluczową rolę odgryw przygotowie dorego i w mirę prostego modelu. Dodć rzytw Ockhm?? Podstwowe zczeie mją złożei uprszczjące dotyczące zkresu stosowi modelu, jego rzędu orz liiowości opisu. Zzwyczj kżdy model jest kostruowy przy złożeiu, że zmiee opisujące przeieg procesów ie przekroczą turlych ogriczeń czy dopuszczlych wrtości, przykłd ie zdrzy się ujemy poziom cieczy, tempertur ie spowoduje odksztłcei lu ziszczei elemetu, itp. Jeśli jedk model miły yć wykorzystywy gricy zkresu wrtości zmieych, to uzupełi się go lokmi sycei, które ogriczją wrtości zmieych (Rys. I-. model dymiki Rys. I-. Ogriczeie wrtości zmieych Prktyczie rówież zwsze stosuje się złożei, które ogriczją rząd modelu. W przypdku modeli liiowych odpowid to wprost uwzględieiu tylko tych ieguów ukłdu, które mją istote zczeie dl stilości, czsu rekcji, oscylcji (. Doświdczei z kostrukcji modeli podstwie opisu zjwisk fizyczych ( wskzują, że elemet (proces m tym większy wpływ dymikę im stowi większy mgzy wielkości (msy, eergii, w ukłdzie. Rówie wże są złożei zpewijące liiowość modelu (o ile to możliwe. Włściwie to występują oe zwsze o kżd liiow zleżość stosow do opisu rzeczywistości jest jedyie jej przyliżeiem. Wymiei się więc jistotiejsze złożei, decydujące o dokłdości uprszczego modelu, któr zleży rówież od przewidywego zkresu zmi wrtości zmieych. u y mi m y i Ptrz: logie eletromechicze, p. [4] elemety mechicze mją miejszy zkres liiowości opisu iż elemety elektrycze Przy przepływie cieczy uwzględi się msę zwykle pomij ściśliwość. Ntomist przy przepływie gzu leży uwzględić ściśliwość msę moż pomiąć. i 4 Ptrz: mechik gzów, przemiy gzowe, p. [ (r.] 5 Bezwłdość przepływjącej cieczy rozptruje się w ukłdch hydruliczych zmkiętych - 7 -! RĘKOPIS PWr

24 Dymik ukłdów podstwy lizy i symulcji. Bdi symulcyje (powtórk z podstw Mtl.. Wprowdzeie elemety [5] Zmiee Progrmy symulcyje tkie jk Mtl i jemu podoe są przystosowe w szczególy sposó do wykoywi opercji wektorch i mcierzch. Tę włsość wykorzystuje się ie tylko do wykoywi opercji mcierzch (p.: AB, A-B, A*B, A/B, le tkże jko sposó relizcji szykich pętli progrmowych wówczs używe są opertory z kropką dziłjące elemetch mcierzy (p. A.B, A.-B, A.*B, A./B. W kżdym przypdku wrukiem wykoi opercji jest zgodość wymirów mcierzy odpowiedi dl opercji. Wektory i mcierze są rówież typowym sposoem defiiowi zestwu współczyików, przykłd dl wielomiów. Włściwie kżd prost zmie (licz, zmie logicz, zk lfumeryczy, teks może yć trktow jko mcierz o określoych wymirch, iezleżie od tego jk zostł zdefiiow. Zmiee (mcierze mogą yć defiiowe przez: - podstwieie wrtości, p.:, [ ; 4], c'cos', d['';'';'ccc'], - zstosowie specjlistyczych fukcji, p.: zeros(, oes(, eye(, - wygeerowe z pomocą opertor ':', p.: ::. Przy defiicji zwrtości mcierzy stosowe są wisy [], przy odwoływiu się do elemetów mcierzy wisy (. Wiersze i kolumy mcierzy są umerowe od. Podstwowe fukcje mtemtycze i tekstowe Pkiety symulcyje udostępiją rdzo wiele fukcji relizujących różorode zdi. Dokumetcj oprogrmowi jest rdzo oszer i choć jest podzielo typowe dziły to prolemem może yć szykie wyszukie zwy odpowiediej fukcji. Wrto więc zwrócić uwgę to, że w opisie kżdej fukcji są zzwyczj odośiki (zwy do iych fukcji z ią związych ( See lso. W przypdku Mtl, oprócz pełej dokumetcji dostępej w przeglądrce, dostępe są krótkie, podręcze opisy wyświetle w okie komed. Poleceie help wyświetl zwy zistlowych iliotek, tomist help zw_ilioteki wyświetl zwy wszystkich fukcji w iej zwrtych. N przykłd zwrtość podstwowych iliotek: - help ops opertory i zki specjle, - help elfu elemetre fukcje mtemtycze (si, ep, sqrt, s, mod, rel, img,, - help elmt podstwowe opercje mcierzch (zeros, oes, size, if,,, - help strfu opercje tekstch (strct, umstr, itstr, spritf,.... Wykresy Włsości oiektów utomtyki rdzo często są prezetowe i de podstwie różego typu wykresów. Zzwyczj stosowe są rodziy wykresów w ukłdzie -y, de do wykresów zwrte są w zmieych typu wektor lu mcierz. Do utworzei wykresów wystrcz podstwow fukcj typu plot, któr umożliwi rysowie wykresów w różych kolorch i różymi typmi liii. Dodtkowe możliwości zpewiją fukcje do defiiowi różych włsości wykresu lu ok grficzego, w którym te wykres jest wyświetly, przykłd tytuł, opis osi, leged, sklowie, itp. Zrówo fukcj plot, jk i fukcje pomocicze dziłją w ktywym okie grficzym...4. Skrypty Bdi symulcyje polegją zzwyczj wygeerowiu wielu serii wyików, otrzymywych przykłd dl różych wrtości wyrych prmetrów. Pojwi się więc prolem sposou dokumetowi prowdzoych dń. Moż to w prosty sposó osiągąć z pomocą skryptów, w których ędą zpise pełe progrmy dń od zdefiiowi zmieych, przez wykoie symulcji, do oprcowi wyików. Skrypt zpewi ie tylko dokumetowie le tkże możliwość powtórzei dń, poprwiei łędów, zmodyfikowi zkresu, itd. W skryptch często wykorzystuje się elemety progrmowi, tkie jk istrukcje wrukowe czy pętle (T. I-. T. I-. Elemety progrmowi Mtl Scil Octve kometrz liiowy % // # lu % kometrz lokowy #{ #} lu %{ %} wruek if WL, OP, else OP, ed if WL, OP, else OP, ed if WL OP else OP edif - 8 -! RĘKOPIS PWr

WYKŁAD 7. UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH Macierzowa Metoda Rozwiązywania Układu Równań Cramera

WYKŁAD 7. UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH Macierzowa Metoda Rozwiązywania Układu Równań Cramera /9/ WYKŁ. UKŁY RÓWNŃ LINIOWYCH Mcierzow Metod Rozwiązywi Ukłdu Rówń Crmer Ogól postć ukłdu rówń z iewidomymi gdzie : i i... ozczją iewidome; i R k i R i ik... ;... efiicj Ukłdem Crmer zywmy tki ukłd rówń

Bardziej szczegółowo

Dynamika układów podstawy analizy i symulacji. Wstęp. Oznaczenia i symbole

Dynamika układów podstawy analizy i symulacji. Wstęp. Oznaczenia i symbole Dymik ukłdów podstwy lizy i symulcji Wstęp Moogrfi zwier prktycze wprowdzeie do lizy i symulcji włsości dymiczych prostych ukłdów fizyczych. Zkres mteriłu ogricz się do przedstwiei podstwowych metod, które

Bardziej szczegółowo

Algebra WYKŁAD 5 ALGEBRA 1

Algebra WYKŁAD 5 ALGEBRA 1 lger WYKŁD 5 LGEBR Defiicj Mcierzą ieosoliwą zywmy mcierz kwdrtową, której wyzczik jest róży od zer. Mcierzą osoliwą zywmy mcierz, której wyzczik jest rówy zeru. Defiicj Mcierz odwrot Mcierzą odwrotą do

Bardziej szczegółowo

Wykład 1 Pojęcie funkcji, nieskończone ciągi liczbowe, dziedzina funkcji, wykres funkcji, funkcje elementarne, funkcje złożone, funkcje odwrotne.

Wykład 1 Pojęcie funkcji, nieskończone ciągi liczbowe, dziedzina funkcji, wykres funkcji, funkcje elementarne, funkcje złożone, funkcje odwrotne. Wykłd Pojęcie fukcji, ieskończoe ciągi liczbowe, dziedzi fukcji, wykres fukcji, fukcje elemetre, fukcje złożoe, fukcje odwrote.. Fukcje Defiicj.. Mówimy, że w zbiorze liczb X jest określo pew fukcj f,

Bardziej szczegółowo

ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 1 POZIOM ROZSZERZONY

ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 1 POZIOM ROZSZERZONY ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR POZIOM ROZSZERZONY Nr zdi Nr czyości Etpy rozwiązi zdi Liczb puktów Uwgi I metod rozwiązi ( PITAGORAS ): Sporządzeie rysuku w ukłdzie współrzędych: p C A y 0

Bardziej szczegółowo

ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 1 POZIOM ROZSZERZONY

ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 1 POZIOM ROZSZERZONY Przykłdowy zestw zdń r z mtemtyki Odpowiedzi i schemt puktowi poziom rozszerzoy ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR POZIOM ROZSZERZONY Nr zdi Nr czyości Etpy rozwiązi zdi Liczb puktów Uwgi I metod

Bardziej szczegółowo

Macierze w MS Excel 2007

Macierze w MS Excel 2007 Mcierze w MS Ecel 7 Progrm MS Ecel umożliwi wykoywie opercji mcierzch. Służą do tego fukcje: do możei mcierzy MIERZ.ILOZYN do odwrci mcierzy MIERZ.ODW do trspoowi mcierzy TRNSPONUJ do oliczi wyzczik mcierzy

Bardziej szczegółowo

MATHCAD 2000 - Obliczenia iteracyjne, macierze i wektory

MATHCAD 2000 - Obliczenia iteracyjne, macierze i wektory MTHCD - Obliczei itercyje, mcierze i wektory Zmiee zkresowe. Tblicowie fukcji Wzór :, π.. π..8.9...88.99..8....8.98. si().9.88.89.9.9.89.88.9 -.9 -.88 -.89 -.9 - Opis, :,, przeciek, Ctrl+Shift+P, /,, ;średik,

Bardziej szczegółowo

i interpretowanie reprezentacji wykorzystanie i tworzenie reprezentacji wykorzystanie wykorzystanie i tworzenie reprezentacji

i interpretowanie reprezentacji wykorzystanie i tworzenie reprezentacji wykorzystanie wykorzystanie i tworzenie reprezentacji KLUCZ ODPOWIEDZI I ZASADY PUNKTOWANIA PRÓBNEGO EGZAMINU MATURALNEGO Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY Nr zdi Odpowiedzi Pukty Bde umiejętości Obszr stdrdu. B 0 pluje i wykouje obliczei liczbch rzeczywistych,

Bardziej szczegółowo

Programowanie z więzami (CLP) CLP CLP CLP. ECL i PS e CLP

Programowanie z więzami (CLP) CLP CLP CLP. ECL i PS e CLP Progrmowie z więzmi (CLP) mjąc w PROLOGu: p(x) :- X < 0. p(x) :- X > 0. i pytjąc :- p(x). dostiemy Abort chcelibyśmy..9 CLP rozrzeszeie progrmowi w logice o kocepcję spełii ogriczeń rozwiązie = logik +

Bardziej szczegółowo

I. CIĄGI I SZEREGI FUNKCYJNE. odwzorowań zbioru X w zbiór R [lub C] nazywamy ciągiem funkcyjnym.

I. CIĄGI I SZEREGI FUNKCYJNE. odwzorowań zbioru X w zbiór R [lub C] nazywamy ciągiem funkcyjnym. I. CIĄGI I SZEREGI FUNKCYJNE 1. Zbieżość puktow i jedostj ciągów fukcyjych Niech X będzie iepustym podzbiorem zbioru liczb rzeczywistych R (lub zbioru liczb zespoloych C). Defiicj 1.1. Ciąg (f ) N odwzorowń

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych Macierze rzadkie

Układy równań liniowych Macierze rzadkie 5 mrzec 009 SciLb w obliczeich umeryczych - część Sljd Ukłdy rówń liiowych Mcierze rzdkie 5 mrzec 009 SciLb w obliczeich umeryczych - część Sljd Pl zjęć. Zdie rozwiązi ukłdu rówń liiowych.. Ćwiczeie -

Bardziej szczegółowo

Zadania z analizy matematycznej - sem. II Całki oznaczone i zastosowania

Zadania z analizy matematycznej - sem. II Całki oznaczone i zastosowania Zdi z lizy mtemtyczej - sem. II Cłki ozczoe i zstosowi Defiicj. Niech P = x x.. x będzie podziłem odcik [ b] części ( N przy czym x k = x k x k gdzie k δ(p = mx{ x k : k } = x < x

Bardziej szczegółowo

Metoda szeregów potęgowych dla równań różniczkowych zwyczajnych liniowych. Równanie różniczkowe zwyczajne liniowe drugiego rzędu ma postać

Metoda szeregów potęgowych dla równań różniczkowych zwyczajnych liniowych. Równanie różniczkowe zwyczajne liniowe drugiego rzędu ma postać met_szer_potegowyh-.doowyh Metod szeregów potęgowyh dl rówń różizkowyh zwyzjyh liiowyh Rówie różizkowe zwyzje liiowe drugiego rzędu m postć d u d f du d gu h ( Złóżmy, że rozwiązie rówi ( może yć przedstwioe

Bardziej szczegółowo

ELEMENTÓW PRĘTOWYCH. Rys.D3.1

ELEMENTÓW PRĘTOWYCH. Rys.D3.1 DODATEK N. SZTYWNOŚĆ PZY SKĘANIU ELEMENTÓW PĘTOWYH Zgdieie skręci prętów m duże zczeie prktycze. Wyzczeie sztywości pręt przy skręciu jest iezęde do określei skłdowych mcierzy sztywości prętów rmy przestrzeej

Bardziej szczegółowo

1. Określ monotoniczność podanych funkcji, miejsce zerowe oraz punkt przecięcia się jej wykresu z osią OY

1. Określ monotoniczność podanych funkcji, miejsce zerowe oraz punkt przecięcia się jej wykresu z osią OY . Określ ootoiczość podch fukcji, iejsce zerowe orz pukt przecięci się jej wkresu z osią OY ) 8 ) 8 c) Określjąc ootoiczość fukcji liiowej = + korzst z stępującej włsości: Jeżeli > to fukcj liiow jest

Bardziej szczegółowo

Scenariusz lekcji matematyki w klasie II LO

Scenariusz lekcji matematyki w klasie II LO Autor: Jerzy Wilk Sceriusz lekcji mtemtyki w klsie II LO oprcowy w oprciu o podręczik i zbiór zdń z mtemtyki utorów M. Bryński, N. Dróbk, K. Szymński Ksztłceie w zkresie rozszerzoym Czs trwi: jed godzi

Bardziej szczegółowo

Wybrane zagadnienia. Wykład 2a. Metoda simpleks rozwiązywania zadań programowania liniowego.

Wybrane zagadnienia. Wykład 2a. Metoda simpleks rozwiązywania zadań programowania liniowego. Wybre zgdiei bdń opercyjych Wykłd Metod simpleks rozwiązywi zdń progrmowi liiowego Prowdzący: dr iiż.. Zbiigiiew TARAPATA De kotktowe: e-mil: WWW: Zbigiew.Trpt@wt.edu.pl http://trpt.stref.pl tel. : 83-94-3,

Bardziej szczegółowo

Główka pracuje - zadania wymagające myślenia... czyli TOP TRENDY nowej matury.

Główka pracuje - zadania wymagające myślenia... czyli TOP TRENDY nowej matury. Główk prcuje - zdi wymgjące myślei czyli TOP TRENDY owej mtury W tej pordzie 0 trudiejszych zdń Wiele z ich to zdi, których temt zczy się od wykż, udowodij, czyli iezbyt lubiych przez mturzystów Zdie Widomo,

Bardziej szczegółowo

Ciągi liczbowe podstawowe definicje i własności

Ciągi liczbowe podstawowe definicje i własności Ciągi liczbowe podstwowe defiicje i włsości DEF *. Ciągiem liczbowym (ieskończoym) zywmy odwzorowie zbioru liczb turlych w zbiór liczb rzeczywistych, tj. :. Przyjęto zpis:,,...,,... Przy czym zywmy -tym

Bardziej szczegółowo

Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne.

Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne. Zsd idukcji mtemtyczej. Dowody idukcyje. W rozdzile sformułowliśmy dl liczb turlych zsdę miimum. Bezpośredią kosekwecją tej zsdy jest brdzo wże twierdzeie, które umożliwi i ułtwi wiele dowodów twierdzeń

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie III A i III B Liceum Plastycznego 2019/2020

Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie III A i III B Liceum Plastycznego 2019/2020 Wymgi edukcyje z mtemtyki w klsie III A i III B Liceum Plstyczego 019/00 Zkres rozszerzoy Kryteri Zjomość pojęć, defiicji, włsości orz wzorów objętych progrmem uczi. Umiejętość zstosowi wiedzy teoretyczej

Bardziej szczegółowo

MATLAB PODSTAWY. [ ] tworzenie tablic, argumenty wyjściowe funkcji, łączenie tablic

MATLAB PODSTAWY. [ ] tworzenie tablic, argumenty wyjściowe funkcji, łączenie tablic MTLB PODSTWY ZNKI SPECJLNE symbol przypisi [ ] tworzeie tblic, rgumety wyjściowe fukcji, łączeie tblic { } ideksy struktur i tblic komórkowych ( ) wisy do określi kolejości dziłń, do ujmowi ideksów tblic,

Bardziej szczegółowo

I. DZIAŁANIA W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH ZBIORY LICZBOWE: liczby całkowite C : C..., 3, 2, 1,

I. DZIAŁANIA W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH ZBIORY LICZBOWE: liczby całkowite C : C..., 3, 2, 1, I. DZIAŁANIA W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH ZBIORY LICZBOWE: liczy turle N : N 0,,,,,,..., N,,,,,... liczy cłkowite C : C...,,,, 0,,,,... Kżdą liczę wymierą moż przedstwić z pomocą ułmk dziesiętego skończoego

Bardziej szczegółowo

- macierz o n wierszach i k kolumnach. Macierz jest diagonalna jeśli jest kwadratowa i po za główną przekątną (diagonala) są

- macierz o n wierszach i k kolumnach. Macierz jest diagonalna jeśli jest kwadratowa i po za główną przekątną (diagonala) są Powtórzeie z Algebry 1. Mcierz A k 1 11 1 1k 1 k k - mcierz o wierszch i k kolumch Mcierz est kwdrtow eśli m tyle smo wierszy co kolum ( = k). Mcierz est digol eśli est kwdrtow i po z główą przekątą (digol)

Bardziej szczegółowo

3.1. Ciągi liczbowe - ograniczoność, monotoniczność, zbieżność ciągu. Liczba e. Twierdzenie o trzech ciągach.

3.1. Ciągi liczbowe - ograniczoność, monotoniczność, zbieżność ciągu. Liczba e. Twierdzenie o trzech ciągach. WYKŁAD 6 3 RACHUNEK RÓŻNICZKOWY I CAŁKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ 31 Ciągi liczbowe - ogriczoość, mootoiczość, zbieżość ciągu Liczb e Twierdzeie o trzech ciągch 3A+B1 (Defiicj: ieskończoość) Symbole,,

Bardziej szczegółowo

1 Kryterium stabilności. 2 Stabilność liniowych układów sterowania

1 Kryterium stabilności. 2 Stabilność liniowych układów sterowania Kryterium stbilości Stbilość liiowych ukłdów sterowi Ukłd zmkięty liiowy i stcjory opisy rówiem () jest stbily, jeŝeli dl skończoej wrtości zkłócei przy dowolych wrtościch początkowych jego odpowiedź ustlo

Bardziej szczegółowo

Wykład 8: Całka oznanczona

Wykład 8: Całka oznanczona Wykłd 8: Cłk ozczo dr Mriusz Grządziel grudi 28 Pole trójkt prboliczego Problem. Chcemy obliczyć pole s figury S ogriczoej prostą y =, prostą = i wykresem fukcji f() = 2. Rozwizie przybliżoe. Dzielimy

Bardziej szczegółowo

7. Szeregi funkcyjne

7. Szeregi funkcyjne 7 Szeregi ukcyje Podstwowe deiicje i twierdzei Niech u,,,, X o wrtościch w przestrzei Y będą ukcjmi określoymi zbiorze X Mówimy, że szereg ukcyjy u jest zbieży puktowo do sumy, jeżeli ciąg sum częściowych

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W 3 LETNIM LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM klasa 2F 1. FUNKCJA LINIOWA

WYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W 3 LETNIM LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM klasa 2F 1. FUNKCJA LINIOWA WYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W 3 LETNIM LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM kls 2F 1. FUNKCJA LINIOWA Uczeń otrzymuje oceę dopuszczjącą, jeśli: rozpozje fukcję liiową podstwie wzoru lub wykresu rysuje

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA Przed próbną maturą. Sprawdzian 2. (poziom rozszerzony) Rozwiązania zadań

MATEMATYKA Przed próbną maturą. Sprawdzian 2. (poziom rozszerzony) Rozwiązania zadań MATEMATYKA Przed próbą mturą Sprwdzi (poziom rozszerzoy) Rozwiązi zdń Zdie ( pkt) P Uczeń oblicz potęgi o wykłdikc wymieryc i stosuje prw dziłń potęgc o wykłdikc wymieryc 5 ( ) 7 5 Odpowiedź: C Zdie (

Bardziej szczegółowo

Algebra macierzowa. Akademia Morska w Gdyni Katedra Automatyki Okrętowej Teoria sterowania. Mirosław Tomera 1. ELEMENTARNA TEORIA MACIERZOWA

Algebra macierzowa. Akademia Morska w Gdyni Katedra Automatyki Okrętowej Teoria sterowania. Mirosław Tomera 1. ELEMENTARNA TEORIA MACIERZOWA kdei Morsk w Gdyi Ktedr utotyki Okrętowej Teori sterowi lgebr cierzow Mirosłw Toer. ELEMENTRN TEORI MCIERZOW W owoczesej teorii sterowi brdzo często istieje potrzeb zstosowi otcji cierzowej uprszczjącej

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA MACIERZY. UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH.

ALGEBRA MACIERZY. UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH. AGEBRA MACIERZY. UKŁADY RÓWNAŃ INIOWYCH. MACIERZE Mcierzą o wymirch m (m ) zywmy prostokątą tblicę której elemetmi jest m liczb rzeczywistych mjącą m wierszy i kolum postci A m m kolumy wiersze m Stosujemy

Bardziej szczegółowo

4. Rekurencja. Zależności rekurencyjne, algorytmy rekurencyjne, szczególne funkcje tworzące.

4. Rekurencja. Zależności rekurencyjne, algorytmy rekurencyjne, szczególne funkcje tworzące. 4. Reurecj. Zleżości reurecyje, lgorytmy reurecyje, szczególe fucje tworzące. Reurecj poleg rozwiązywiu problemu w oprciu o rozwiązi tego smego problemu dl dych o miejszych rozmirch. W iformtyce reurecj

Bardziej szczegółowo

Wymagania na poszczególne oceny z matematyki w Zespole Szkół im. St. Staszica w Pile Kl. II poziom rozszerzony

Wymagania na poszczególne oceny z matematyki w Zespole Szkół im. St. Staszica w Pile Kl. II poziom rozszerzony Wymgi poszczególe ocey z mtemtyki w Zespole Szkół im. St. Stszic w Pile Kl. II poziom rozszerzoy 1. WIELOMIANY podje przykłdy wielomiów, określ ich stopień i podje wrtości ich współczyików zpisuje wielomi

Bardziej szczegółowo

METODY NUMERYCZNE. Wykład 6. Rozwiązywanie układów równań liniowych. dr hab. inż. Katarzyna Zakrzewska, prof. AGH. Met.Numer.

METODY NUMERYCZNE. Wykład 6. Rozwiązywanie układów równań liniowych. dr hab. inż. Katarzyna Zakrzewska, prof. AGH. Met.Numer. ETODY NUERYCZNE Wykłd 6. Rozwiązywie ukłdów rówń liiowych dr hb. iż. Ktrzy Zkrzewsk, prof. AGH et.numer. wykłd 6 Pl etody dokłde etod elimicji Guss etod Guss-Seidl Rozkłd LU et.numer. wykłd 6 Ukłd rówń

Bardziej szczegółowo

Całka oznaczona. długość k-tego odcinka podziału P. średnica podziału P. punkt pośredni k-tego odcinka podziału P

Całka oznaczona. długość k-tego odcinka podziału P. średnica podziału P. punkt pośredni k-tego odcinka podziału P Cł ozczo. De.. Podziłem odci części, N, zywmy ziór przy czym. Wprowdzmy ozczei: długość -tego odci podziłu P średic podziłu P put pośredi -tego odci podziłu P De. sum cłow Niech ucj ędzie ogriczo przedzile

Bardziej szczegółowo

Collegium Novum Akademia Maturalna

Collegium Novum Akademia Maturalna Collegium Novum Akdemi Mturl wwwcollegium-ovumpl 0- -89-66 Mtemtyk (GP dt: 00008 sobot Collegium Novum Akdemi Mturl Temt 5: CIĄGI Prowdzący: Grzegorz Płg Termi: 0007 godzi 9:00-:0 8 Zdie Które wyrzy ciągu

Bardziej szczegółowo

1.1 Pochodna funkcji w punkcie

1.1 Pochodna funkcji w punkcie Pochod fukcji w pukcie BLOK I RACHUNEK RÓŻNICZKOWY I CAŁKOWY Zkłdmy, że fukcj f jest określo w przedzile, ) orz, że, ), jest liczą, dl której + ), ) Liczę zywmy przyrostem rgumetu w pukcie, tomist różicę

Bardziej szczegółowo

Wykład 12: Sumowanie niezależnych zmiennych losowych i jego związek ze splotem gęstości i transformatami Laplace a i Fouriera. Prawo wielkich liczb.

Wykład 12: Sumowanie niezależnych zmiennych losowych i jego związek ze splotem gęstości i transformatami Laplace a i Fouriera. Prawo wielkich liczb. Rchuek prwdopodobieństw MA064 Wydził Elektroiki, rok kd. 2008/09, sem. leti Wykłdowc: dr hb. A. Jurlewicz Wykłd 2: Sumowie iezleżych zmieych losowych i jego związek ze splotem gęstości i trsformtmi Lplce

Bardziej szczegółowo

KONKURS MATEMATYCZNY dla uczniów gimnazjów w roku szkolnym 2012/13 III etap zawodów (wojewódzki) 12 stycznia 2013 r.

KONKURS MATEMATYCZNY dla uczniów gimnazjów w roku szkolnym 2012/13 III etap zawodów (wojewódzki) 12 stycznia 2013 r. KONKURS MTEMTYCZNY dl ucziów gimzjów w roku szkolym 0/ III etp zwodów (wojewódzki) styczi 0 r. Propozycj puktowi rozwiązń zdń Uwg Łączie uczeń może zdobyć 0 puktów. Luretmi zostją uczesticy etpu wojewódzkiego,

Bardziej szczegółowo

Rachunek wektorowo-macierzowy w programie SciLab

Rachunek wektorowo-macierzowy w programie SciLab Rchuek wektorowo-mcierzowy w progrmie Scib Rchuek wektorowo-mcierzowy w progrmie Scib Dziłi liczbch Dodwie i odejmowie + b 3 + = 5 b = + (-b) 3 = 3 + (-) = + 0 = + (-) = 0 Rchuek wektorowo-mcierzowy w

Bardziej szczegółowo

Analiza obwodów elektrycznych z przebiegami stochastycznymi. Dariusz Grabowski

Analiza obwodów elektrycznych z przebiegami stochastycznymi. Dariusz Grabowski Aliz obwodów elekryczych z przebiegmi sochsyczymi Driusz Grbowski Pl wysąpiei Sochsycze modele sygłów Procesy sochsycze Przekszłcei procesów sochsyczych przez ukłdy liiowe Ciągłość i różiczkowlość sochsycz

Bardziej szczegółowo

3, leŝącym poniŝej punktu P. Wartości funkcji f są

3, leŝącym poniŝej punktu P. Wartości funkcji f są Odpowiedzi i schemty oceii Arkusz Zdi zmkięte Numer zdi Poprw odpowiedź Wskzówki do rozwiązi D ( 0 x )( x + b) x 0 + b 0 x xb x + ( 0 b) x + b 0 x + ( 0 b) x + b 0 0x + 0 0 WyrŜei po obu stroch rówości

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie układów równań liniowych (1)

Rozwiązywanie układów równań liniowych (1) etody Numerycze i Progrmowie Stro z Wykłd. Rozwiązywie ukłdów rówń liiowych () etody dokłde rozwiązywi ukłdów rówń liiowych etody dokłde pozwlą uzyskie rozwiązi w skończoe liczbie kroków obliczeiowych.

Bardziej szczegółowo

ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 1 POZIOM ROZSZERZONY

ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 1 POZIOM ROZSZERZONY Nr zdi Nr czyoci Przykdowy zestw zd r z mtemtyki Odpowiedzi i schemt puktowi poziom rozszerzoy ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR POZIOM ROZSZERZONY Etpy rozwizi zdi I metod rozwizi ( PITAGORAS

Bardziej szczegółowo

Zadania i rozwiązania prac domowych z Analizy Matematycznej 1.2 z grupy pana Ryszarda Kopieckiego, semestr letni 2011/2012.

Zadania i rozwiązania prac domowych z Analizy Matematycznej 1.2 z grupy pana Ryszarda Kopieckiego, semestr letni 2011/2012. Zdi i rozwiązi prc domowych z Alizy Mtemtyczej. z grupy p Ryszrd Kopieckiego, semestr leti / Ntli Skowsk . seri UWAGA: wykresów oczywiście rysowć ie trzeb. Co więcej, wykres ie jest dowodem żdego stwierdzei.

Bardziej szczegółowo

Wykład 9: Różne rodzaje zbieżności ciągów zmiennych losowych. Prawa wielkich liczb.

Wykład 9: Różne rodzaje zbieżności ciągów zmiennych losowych. Prawa wielkich liczb. Rchuek prwopoobieństw MA1181 Wyził T, MS, rok k. 2013/14, sem. zimowy Wykłowc: r hb. A. Jurlewicz Wykł 9: Róże rozje zbieżości ciągów zmieych losowych. rw wielkich liczb. Zbieżość z prwopoobieństwem 1:

Bardziej szczegółowo

Dorota Ponczek, Karolina Wej. MATeMAtyka 2. Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki w klasie drugiej. Zakres podstawowy i rozszerzony

Dorota Ponczek, Karolina Wej. MATeMAtyka 2. Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki w klasie drugiej. Zakres podstawowy i rozszerzony Dorot oczek, roli Wej MATeMAtyk 2 Szczegółowe wymgi edukcyje z mtemtyki w klsie drugiej Zkres podstwowy i rozszerzoy Ozczei: wymgi koiecze; wymgi podstwowe; R wymgi rozszerzjące; D wymgi dopełijące; W

Bardziej szczegółowo

CIĄGI LICZBOWE N 1,2,3,... zbiór liczb naturalnych. R zbiór liczb rzeczywistych (zbiór reprezentowany przez punkty osi liczbowej).

CIĄGI LICZBOWE N 1,2,3,... zbiór liczb naturalnych. R zbiór liczb rzeczywistych (zbiór reprezentowany przez punkty osi liczbowej). Ciągi i szeregi - Lucj owlski CIĄGI LICZBOWE N,,,... zbiór liczb turlych. R zbiór liczb rzeczywistych (zbiór reprezetowy przez pukty osi liczbowej). Nieskończoy ciąg liczbowy to przyporządkowie liczbom

Bardziej szczegółowo

[ ] I UKŁAD RÓWNAŃ Definicja 1 Układ m równań liniowych z n niewiadomymi x 1, x 2,., x n : II ROZW. UKŁADU RÓWNAŃ PRZY POMOCY MACIERZY ODWROTNEJ

[ ] I UKŁAD RÓWNAŃ Definicja 1 Układ m równań liniowych z n niewiadomymi x 1, x 2,., x n : II ROZW. UKŁADU RÓWNAŃ PRZY POMOCY MACIERZY ODWROTNEJ I UKŁAD RÓNAŃ Defiicj Ukłd rówń liiowych z iewidoyi,,., : Defiicj Postć cierzow ukłdu rówń: A, lu krócej A, gdzie: A,,. Mcierz A zywy cierzą ukłdu rówń, wektor zywy wektore wyrzów wolych (koluą wyrzów

Bardziej szczegółowo

Szeregi o wyrazach dowolnych znaków, dwumian Newtona

Szeregi o wyrazach dowolnych znaków, dwumian Newtona Poprwi lem 9 czerwc 206 r, godz 20:0 Twierdzeie 5 kryterium Abel Dirichlet Niech be dzie ieros cym ci giem liczb dodtich D Jeśli 0 i ci g sum cze ściowych szeregu b jest ogriczoy, to szereg b jest zbieży

Bardziej szczegółowo

Całka oznaczona. długość k-tego odcinka podziału P. punkt pośredni k-tego odcinka podziału P. Niech funkcja f będzie ograniczona na przedziale

Całka oznaczona. długość k-tego odcinka podziału P. punkt pośredni k-tego odcinka podziału P. Niech funkcja f będzie ograniczona na przedziale Cł ozczo. De.1. Podziłem odci części, N, zywmy ziór przy czym. Wprowdzmy ozczei: długość -tego odci podziłu P średic podziłu P put pośredi -tego odci podziłu P De.2 sum cłow Niech ucj ędzie ogriczo przedzile

Bardziej szczegółowo

Całka oznaczona. długość k-tego odcinka podziału P. punkt pośredni k-tego odcinka podziału P. Niech funkcja f będzie ograniczona na przedziale

Całka oznaczona. długość k-tego odcinka podziału P. punkt pośredni k-tego odcinka podziału P. Niech funkcja f będzie ograniczona na przedziale Cł ozczo. De.1. Podziłem odci części, N, zywmy ziór przy czym. Wprowdzmy ozczei: długość -tego odci podziłu P średic podziłu P put pośredi -tego odci podziłu P De.2 (sum cłow) Niech ucj ędzie ogriczo przedzile

Bardziej szczegółowo

Literatura do ćwiczeń: Program zajęć: dr Krzysztof Żyjewski Informatyka; rok I, I o.inż. 17 listopada 2015

Literatura do ćwiczeń: Program zajęć: dr Krzysztof Żyjewski Informatyka; rok I, I o.inż. 17 listopada 2015 dr Krzysztof Żyjewski Iformtyk; rok I, I o.iż. 17 listopd 015 Kotkt: e-mil: krzysztof.zyjewski@uwm.edu.pl kosultcje: po 18 listopd 7.55-8.55, pok. A0/19 (ie termiy możliwe po uprzedim kotkcie milowym)

Bardziej szczegółowo

Matematyka wybrane zagadnienia. Lista nr 4

Matematyka wybrane zagadnienia. Lista nr 4 Mtemty wyre zgdiei List r 4 Zdie Jeżeli ułd wetorów v, v przestrzei liiowej V ie jest liiowo iezleży, to mówimy, że wetory v, v są liiowo zleże Udowodić stępujące twierdzeie: Ułd wetorów v, v ( ) jest

Bardziej szczegółowo

Ciągi i szeregi funkcyjne

Ciągi i szeregi funkcyjne Mteriły do ćwiczeń Aliz Mtemtycz II 7/8 Mri Frotczk, Ludwik Kczmrek, Ktrzy Klimczk, Mri Michlsk, Bet Osińsk-Ulrych, Tomsz Rodk, Adm Różycki, Grzegorz Sklski, Stisłw Spodziej Teori pod przed ćwiczeimi pochodzi

Bardziej szczegółowo

CIĄGI LICZBOWE N = zbiór liczb naturalnych. R zbiór liczb rzeczywistych (zbiór reprezentowany przez punkty osi liczbowej).

CIĄGI LICZBOWE N = zbiór liczb naturalnych. R zbiór liczb rzeczywistych (zbiór reprezentowany przez punkty osi liczbowej). MATEMATYKA I - Lucj Kowlski {,,,... } CIĄGI LICZBOWE N zbiór liczb turlych. R zbiór liczb rzeczywistych (zbiór reprezetowy przez pukty osi liczbowej. Nieskończoy ciąg liczbowy to przyporządkowie liczbom

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa MAP1151 Wydział Elektroniki, rok akad. 2011/12, sem. letni Wykładowca: dr hab. A. Jurlewicz

Rachunek prawdopodobieństwa MAP1151 Wydział Elektroniki, rok akad. 2011/12, sem. letni Wykładowca: dr hab. A. Jurlewicz Rchuek prwdopodobieństw MA5 Wydził Elektroiki, rok kd. 20/2, sem. leti Wykłdowc: dr hb. A. Jurlewicz Wykłd 7: Zmiee losowe dwuwymirowe. Rozkłdy łącze, brzegowe. Niezleżość zmieych losowych. Momety. Współczyik

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 7

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 7 RÓWNANIA RÓŻNIZKOWE WYKŁAD 7 Deiicj Ukłdem rówń różiczkowch rzędu pierwszego w posci ormlej zwm ukłd rówń o iewidomch > zmie iezleż. Uwg Jeżeli = o zzwczj piszem x zmis orz g zmis jeżeli = o piszem x z

Bardziej szczegółowo

a a = 2 S n = 2 = r - constans > 0 - ciąg jest malejący q = b1, dla q 1 S n 1 CIĄGI jest rosnący (niemalejący), jeżeli dla każdego n a n

a a = 2 S n = 2 = r - constans > 0 - ciąg jest malejący q = b1, dla q 1 S n 1 CIĄGI jest rosnący (niemalejący), jeżeli dla każdego n a n CIĄGI ciąg jest rosący (iemlejący), jeżeli dl kżdego < ( ) ciąg jest mlejący (ierosący), jeżeli dl kżdego > ( ) ciąg zywmy rytmetyczym, jeżeli dl kżdego r - costs - r > 0 - ciąg rosący - r 0 - ciąg stły

Bardziej szczegółowo

GENEZA WYZNACZNIKA. Układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi. Rozwiązania układu metodą eliminacji Gaussa

GENEZA WYZNACZNIKA. Układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi. Rozwiązania układu metodą eliminacji Gaussa / WYKŁD. Wyzzik mierzy: defiij idukyj i permutyj. Włsośi wyzzików, rozwiięie Lple', wzór Srrus. Mierz odwrot i sposoy jej wyzzi. GENEZ WYZNCZNIK Ukłd rówń liiowyh z dwiem iewidomymi, y x y x Rozwiązi ukłdu

Bardziej szczegółowo

SYSTEM WIELKOŚCI CHARAKTERYZUJĄCY POTENCJALNĄ I ODDZIELONĄ CZĄSTKĘ ZUŻYCIA TRIBOLOGICZNEGO

SYSTEM WIELKOŚCI CHARAKTERYZUJĄCY POTENCJALNĄ I ODDZIELONĄ CZĄSTKĘ ZUŻYCIA TRIBOLOGICZNEGO 6-0 T B O L O G 8 Piotr SDOWSK * SYSTEM WELKOŚC CKTEYZUĄCY POTECLĄ ODDZELOĄ CZĄSTKĘ ZUŻYC TBOLOGCZEGO SYSTEM OF VLUES CCTEZED POTETL D SEPTED WE PTCLE Słow kluczowe: prc trci, zużywie ściere, cząstk zużyci,

Bardziej szczegółowo

SYNTEZA STRUKTURALNA PŁASKICH MANIPULATORÓW

SYNTEZA STRUKTURALNA PŁASKICH MANIPULATORÓW SYTEZ STRKTRL PŁSKCH MPLTORÓW Etp sytezy strukturlej jest jedym z pierwszych rdzo istotych etpów w procesie projektowi. Po sformułowiu jwżiejszych złożeń i wymgń dotyczących projektowego ukłdu (złożei

Bardziej szczegółowo

Powtórka dotychczasowego materiału.

Powtórka dotychczasowego materiału. Powtórk dotychczsowego mteriłu. Zdi do smodzielego rozwiązi. N ćwiczeich w środę 7.6.7 grupy 4 leży wskzć zdi, które sprwiły jwięcej problemów. 43. W kżdym z zdń 43.-43.5 podj wzór fukcję różiczkowlą f

Bardziej szczegółowo

Struna nieograniczona

Struna nieograniczona Rówie sry Rówie okreś rch sry sprężysej kórą ie dziłją siły zewęrze Sł okreśo jes przez włsości izycze sry Zkłdmy że w położei rówowgi sr pokryw się z pewym przedziłem osi OX Fkcj okreś wychyeie z położei

Bardziej szczegółowo

TABLICE WZORÓW I TWIERDZEŃ MATEMATYCZNYCH zakres GIMNAZJUM

TABLICE WZORÓW I TWIERDZEŃ MATEMATYCZNYCH zakres GIMNAZJUM TABLICE WZORÓW I TWIERDZEŃ MATEMATYCZNYCH zkres GIMNAZJUM LICZBY Lizy turle: 0,1,,,4, Koleje lizy turle zwsze różią się o 1, zpis, +1, +, gdzie to dowol liz turl ozz trzy koleje lizy turle, Lizy pierwsze:

Bardziej szczegółowo

Ciągi i szeregi liczbowe

Ciągi i szeregi liczbowe Ciągi i szeregi liczbowe Defiicj. Jeżeli kżdej liczbie turlej przyporządkow zostł jkś liczb rzeczywist, to mówimy, że zostł określoy ciąg liczbowy (ieskończoy). Formlie ozcz to, że ciąg liczbowy jest fukcją

Bardziej szczegółowo

CIĄGI LICZBOWE. Naturalną rzeczą w otaczającym nas świecie jest porządkowanie różnorakich obiektów, czyli ustawianie ich w pewnej kolejności.

CIĄGI LICZBOWE. Naturalną rzeczą w otaczającym nas świecie jest porządkowanie różnorakich obiektów, czyli ustawianie ich w pewnej kolejności. CIĄGI LICZBOWE Nturlą rzeczą w otczjącym s świecie jest porządkowie różorkich obiektów, czyli ustwiie ich w pewej kolejości. Dl przykłdu tworzymy różego rodzju rkigi, p. rkig jlepszych kierowców rjdowych.

Bardziej szczegółowo

EAIiIB- Informatyka - Wykład 1- dr Adam Ćmiel zbiór liczb wymiernych

EAIiIB- Informatyka - Wykład 1- dr Adam Ćmiel zbiór liczb wymiernych EAIiIB- Iortyk - Wykłd - dr Ad Ćiel ciel@.gh.edu.pl dr Ad Ćiel (A3-A4 p.3, tel. 3-7, ciel@gh.edu.pl ; http://hoe.gh.edu.pl/~ciel/) Podręcziki Gewert M, Skoczyls Z. Aliz tetycz i. Deiicje twierdzei i wzory,

Bardziej szczegółowo

WEKTORY skalary wektory W ogólnym przypadku, aby określić wektor, należy znać:

WEKTORY skalary wektory W ogólnym przypadku, aby określić wektor, należy znać: WEKTORY Wśród wielkości fizycznych występujących w fizyce możn wyróżnić sklry i wektory. Aby określić wielkość sklrną, wystrczy podć tylko jedną liczbę. Wielkościmi tkimi są ms, czs, tempertur, objętość

Bardziej szczegółowo

WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ

WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ ĆWICZENIE 9 WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ Opis kł pomirowego A) Wyzzie ogiskowej sozewki skpijąej z pomir oległośi przemiot i obrz o sozewki Szzególie proste, rówoześie

Bardziej szczegółowo

Niech dany będzie układ równań postaci. Powyższy układ równań liniowych z n niewiadomymi można zapisać w postaci macierzowej

Niech dany będzie układ równań postaci. Powyższy układ równań liniowych z n niewiadomymi można zapisać w postaci macierzowej Rozwiązywie ułdów rówń liiowych Metod elimicji Guss 2 Postwieie zgdiei Niech dy będzie ułd rówń postci b x x x b x x x b x x x 2 2 2 2 2 22 2 2 2 Powyższy ułd rówń liiowych z iewidomymi moż zpisć w postci

Bardziej szczegółowo

METODY NUMERYCZNE. Wykład 5. Całkowanie numeryczne. dr hab. inż. Katarzyna Zakrzewska, prof. AGH. Met.Numer. wykład 5 1

METODY NUMERYCZNE. Wykład 5. Całkowanie numeryczne. dr hab. inż. Katarzyna Zakrzewska, prof. AGH. Met.Numer. wykład 5 1 METODY NUMERYCZNE Wykłd 5. Cłkowie umeryze dr. iż. Ktrzy Zkrzewsk, pro. AGH Met.Numer. wykłd 5 Pl Wzór trpezów Złożoy wzór trpezów Metod ekstrpolji Rirdso Metod Romerg Metod Simpso wzór prol Metod Guss

Bardziej szczegółowo

Operacje elementarne na macierzach. Rozwiązywanie układów równań metodą eliminacji Gaussa. Badanie rozwiązalności układów równań

Operacje elementarne na macierzach. Rozwiązywanie układów równań metodą eliminacji Gaussa. Badanie rozwiązalności układów równań WYKŁAD 3 Opecje elemete mciezch Rozwiązywie ukłdów ówń metodą elimicji Guss Bdie ozwiązlości ukłdów ówń Wcmy tez do ukłdów ówń liiowych lgeiczych A53 (Defiicj) Ukłdem m ówń liiowych z iewidomymi zywmy

Bardziej szczegółowo

ZADANIA NA POCZA n(n + 1) = 1 3n(n + 1)(n + 2).

ZADANIA NA POCZA n(n + 1) = 1 3n(n + 1)(n + 2). ZADANIA NA POCZA TEK Udowodić, że dl kżdej liczby turlej zchodzi wzór: 3 3 4 = 3 Udowodić, że dl kżdej liczby turlej zchodzi wzór: 3 3 4 = 4 3 3 Udowodić, że dl kżdej liczby turlej zchodzi wzór: 3 3 4

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone i wielomiany

Liczby zespolone i wielomiany /5 Liczby zespoloe i wielomiy Rówie x ie m rozwiązi w zbiorze liczb rzeczywistych. Tk więc ie kżdy wielomi o współczyikch leżących do posid miejsce zerowe (zwe iczej pierwistkiem) w tym zbiorze. Okzuje

Bardziej szczegółowo

Równania i nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą

Równania i nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą 50 REPETYTORIUM 31 Równni i nierówności kwdrtowe z jedną niewidomą Równnie wielominowe to równość dwóch wyrżeń lgebricznych Kżd liczb, któr po podstwieniu w miejscu niewidomej w równniu o jednej niewidomej

Bardziej szczegółowo

6. Układy równań liniowych

6. Układy równań liniowych 6. Ukłdy rówń liiowych 6. Podstwowe określei Defiicj 6.. (ukłd rówń liiowych rozwiązie ukłdu rówń) Ukłde rówń liiowych z iewidoyi gdzie N zywy ukłd rówń postci:...... (6..) O... gdzie ij R to tzw. współczyiki

Bardziej szczegółowo

2. Ciągi liczbowe. Definicja 2.1 Funkcję a : N R nazywamy ciągiem liczbowym. Wartość funkcji a(n) oznaczamy symbolem a

2. Ciągi liczbowe. Definicja 2.1 Funkcję a : N R nazywamy ciągiem liczbowym. Wartość funkcji a(n) oznaczamy symbolem a Ciągi liczbowe Defiicj Fukcję : N R zywmy iem liczbowym Wrtość fukcji () ozczmy symbolem i zywmy -tym lub ogólym wyrzem u Ciąg Przykłdy Defiicj róŝic zpisujemy rówieŝ w postci { } + Ciąg liczbowy { } zywmy

Bardziej szczegółowo

ZADANIA Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ dla I roku kierunku informatyka WSZiB

ZADANIA Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ dla I roku kierunku informatyka WSZiB pro. dr hb. Stisłw Biłs ZADANIA Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I roku kieruku iormtyk WSZiB I. ELEMENTARNE WŁASNOŚCI FUNKCJI. Wyzczyć dziedzię ukcji: 5 7 log[ log 5 6. b c ] d. Wyzczyć przeciwdziedzię ukcji:

Bardziej szczegółowo

Realizacje zmiennych są niezależne, co sprawia, że ciąg jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych,

Realizacje zmiennych są niezależne, co sprawia, że ciąg jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych, Klsyczn Metod Njmniejszych Kwdrtów (KMNK) Postć ć modelu jest liniow względem prmetrów (lbo nleży dokonć doprowdzeni postci modelu do liniowości względem prmetrów), Zmienne objśnijące są wielkościmi nielosowymi,

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY BAZ DANYCH Wykład 3 2. Pojęcie Relacyjnej Bazy Danych

PODSTAWY BAZ DANYCH Wykład 3 2. Pojęcie Relacyjnej Bazy Danych PODSTAWY BAZ DANYCH Wykłd 3 2. Pojęcie Relcyjnej Bzy Dnych 2005/2006 Wykłd "Podstwy z dnych" 1 Rozkłdlno dlność schemtów w relcyjnych Przykłd. Relcj EGZ(U), U := { I, N, P, O }, gdzie I 10 10 11 N f f

Bardziej szczegółowo

Wspomaganie obliczeń za pomocą programu MathCad

Wspomaganie obliczeń za pomocą programu MathCad Wprowdzenie do Mthcd' Oprcowł:M. Detk P. Stąpór Wspomgnie oliczeń z pomocą progrmu MthCd Definicj zmiennych e f g h 8 Przykłd dowolnego wyrŝeni Ay zdefinowc znienną e wyierz z klwitury kolejno: e: e f

Bardziej szczegółowo

METODY NUMERYCZNE. Wykład 4. Całkowanie numeryczne. dr hab. inż. Katarzyna Zakrzewska, prof. AGH

METODY NUMERYCZNE. Wykład 4. Całkowanie numeryczne. dr hab. inż. Katarzyna Zakrzewska, prof. AGH METODY NUMERYCZNE Wykłd. Cłkowie umeryze dr h. iż. Ktrzy Zkrzewsk, pro. AGH Pl Wzór trpezów Złożoy wzór trpezów Metod ekstrpolji Rihrdso Metod Romerg Metod Simpso wzór prol Metod Guss Cłkowie umeryze -

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna ISIM I

Analiza matematyczna ISIM I Aliz mtemtycz ISIM I Ryszrd Szwrc Spis treści Ciągi liczbowe. Zbieżość ciągów......................... 3. Liczb e.............................. 0 Szeregi liczbowe 3. Łączość i przemieość w sumie ieskończoej.........

Bardziej szczegółowo

Algorytmy graficzne. Filtry wektorowe. Filtracja obrazów kolorowych

Algorytmy graficzne. Filtry wektorowe. Filtracja obrazów kolorowych Algorytmy grficzne Filtry wektorowe. Filtrcj orzów kolorowych Filtrcj orzów kolorowych Metody filtrcji orzów kolorowych możn podzielić n dwie podstwowe klsy: Metody komponentowe (component-wise). Cechą

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2 zakres podstawowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2 zakres podstawowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Wymgni edukcyjne mtemtyk kls 2 zkres podstwowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY AUTOMATYKI 7. Stabilność

PODSTAWY AUTOMATYKI 7. Stabilność Poliechik Wrzwk Iyu Auomyki i Roboyki Prof. dr hb. iż. J Mciej Kościely PODSTAWY AUTOMATYKI 7. Sbilość Sbilość Sbilość je cechą ukłdu, polegjącą powrciu do u rówowgi łej po uiu dziłi zkłócei, kóre wyrąciło

Bardziej szczegółowo

MACIERZE I WYZNACZNIKI

MACIERZE I WYZNACZNIKI MCIERZE I WYZNCZNIKI Defiicj Mcierą o współcyikch recywistych (espoloych) i wymire m x ywmy pryporądkowie kżdej pre licb turlych (i,k), i,,, m, k,,,, dokłdie jedej licby recywistej ik [ ik ] mx (espoloej)

Bardziej szczegółowo

SKRYPT DO ZAJĘĆ WYRÓWNAWCZYCH Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW I ROKU AKADEMII MORSKIEJ W SZCZECINIE

SKRYPT DO ZAJĘĆ WYRÓWNAWCZYCH Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW I ROKU AKADEMII MORSKIEJ W SZCZECINIE Publikcj współfisow ze środków Uii Europejskiej w rmch Europejskiego Fuduszu Społeczego SKRYPT DO ZAJĘĆ WYRÓWNAWCZYCH Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW I ROKU AKADEMII MORSKIEJ W SZCZECINIE dr iż Ryszrd Krupiński

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA KLASA II K i rozszerzonym WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA POSZCZEGÓLNYCH ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH

MATEMATYKA KLASA II K i rozszerzonym WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA POSZCZEGÓLNYCH ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Zespół Szkół im Jrosłw Iwszkiewicz w Sochczewie MATEMATYKA KLASA II K i rozszerzoym WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA POSZCZEGÓLNYCH ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH oprcowe podstwie

Bardziej szczegółowo

Macierz. Wyznacznik macierzy. Układ równań liniowych

Macierz. Wyznacznik macierzy. Układ równań liniowych Temt wykłdu: Mcierz. Wyzncznik mcierzy. Ukłd równń liniowych Kody kolorów: żółty nowe pojęcie pomrńczowy uwg kursyw komentrz * mterił ndobowiązkowy Ann Rjfur, Mtemtyk Zgdnieni. Pojęci. Dziłni n mcierzch.

Bardziej szczegółowo

I. DZIAŁANIA W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH

I. DZIAŁANIA W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH pitgors.d.pl I. DZIAŁANIA W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH ZBIORY LICZBOWE: licz turle N : N 0,,,,,,..., N,,,,,... licz cłkowite C : C...,,,, 0,,,,... Kżdą liczę wierą oż przedstwić z poocą ułk dziesiętego

Bardziej szczegółowo

n 3 dla n = 1,2,3,... Podać oszacowania

n 3 dla n = 1,2,3,... Podać oszacowania Zestw r : Ciągi liczbowe włsości i gric.. Niech dl =.... Sprwdzić cz jest ciągiem mootoiczm rtmetczm... Sprwdzić cz stępując ciąg jest ciągiem geometrczm. Wpisć pierwszch pięć wrzów ciągu stępie dl ciągu

Bardziej szczegółowo

W tym wykładzie zapoznamy się z podstawowymi metodami przybliżonego obliczania całek oznaczonych funkcji jednej zmiennej, tj.

W tym wykładzie zapoznamy się z podstawowymi metodami przybliżonego obliczania całek oznaczonych funkcji jednej zmiennej, tj. WYKŁAD 3 CAŁKOWANIE NUMERYCZNE Motywcj Wiele spotykych w prktyce cłek ie może być obliczo lityczie lub ich ścisłe obliczeie jest brdzo prcochłoe. Z drugiej stroy, brdzo często wystrczy zć jedyie przybliżoą

Bardziej szczegółowo

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętc i scemt ocenini zdń otwrtc Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętc 4 7 9 0 4 7 9 0 D D D Scemt ocenini zdń otwrtc Zdnie (pkt) Rozwiąż nierówność x x 0 Oliczm wróżnik i miejsc

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1. Ciągi liczbowe, granica ciągu

Rozdział 1. Ciągi liczbowe, granica ciągu Rozdził. Ciągi liczbowe, gric ciągu. Rodzje i włsości ciągów liczbowych W życiu codzieym często moż spotkć się z ciągmi: ciąg smochodów ulicy (pierwszy, drugi, trzeci ), ciąg ludzi w kolejce (zerowy chwilę

Bardziej szczegółowo

PODEJMOWANIE OPTYMALNYCH DECYZJI PRODUKCYJNYCH W WARUNKACH NIEPEWNOŚCI. E. ZIÓŁKOWSKI 1 Wydział Odlewnictwa AGH, ul. Reymonta 23, Kraków

PODEJMOWANIE OPTYMALNYCH DECYZJI PRODUKCYJNYCH W WARUNKACH NIEPEWNOŚCI. E. ZIÓŁKOWSKI 1 Wydział Odlewnictwa AGH, ul. Reymonta 23, Kraków 5/ Archives o Foudry Yer 6 Volume 6 Archiwum Odlewictw Rok 6 Roczik 6 Nr PAN Ktowice PL ISSN 6-58 PODEJMOWANIE OPTYMALNYCH DECYZJI PRODUKCYJNYCH W WARUNKACH NIEPEWNOŚCI E. ZIÓŁKOWSKI Wydził Odlewictw AGH

Bardziej szczegółowo

Algebra Boola i podstawy systemów liczbowych. Ćwiczenia z Teorii Układów Logicznych, dr inż. Ernest Jamro. 1. System dwójkowy reprezentacja binarna

Algebra Boola i podstawy systemów liczbowych. Ćwiczenia z Teorii Układów Logicznych, dr inż. Ernest Jamro. 1. System dwójkowy reprezentacja binarna lger Bool i podstwy systemów liczowych. Ćwiczeni z Teorii Ukłdów Logicznych, dr inż. Ernest Jmro. System dwójkowy reprezentcj inrn Ukłdy logiczne operują tylko n dwóch stnch ozncznymi jko zero (stn npięci

Bardziej szczegółowo