ROZWIĄZANIE POWŁOKI HIPERBOLOIDALNEJ W PARAMETRYZACJI PROSTOKREŚLNEJ

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "ROZWIĄZANIE POWŁOKI HIPERBOLOIDALNEJ W PARAMETRYZACJI PROSTOKREŚLNEJ"

Monika Sadowska
6 lat temu
Przeglądów:

1 Wesław BARA Bronsław JĘDRASZAK ROZWIĄZAIE POWŁOKI HIPERBOLOIDALEJ W PARAMETRYZACJI PROSTOKREŚLEJ. Wstęp Budowle nżynerske występujące w budownctwe przemysłowym moą być projektowane w kształce hperbolody jednopowłokowej. Przykładam zrealzowanych obektów są chłodne komnowe (rys. ) komny lub nne konstrukcje. Powłok prostokreślne w lteraturze zostały wyróżnone wśród konstrukcj powłokowych [] ze wzlędów konstrukcyjnych podzelono je na trzy rupy: rozwalne śrubowe pozostałe. Podstawy teor oraz analzę pracy statycznej w ujęcu analtycznym numerycznym cenkoścennych konstrukcj powłokowych zostały przedstawone w oromnej lczbe publkacj których obszerne zestawene w lczbe ponad sześcuset pozycj zestawono w pracy [6]. Podjęto tam równeż próbę całoścoweo przedstawena teor analzy numerycznej zadań statyk statecznośc dynamk welopłatowych konstrukcj powłokowych. W nnejszej pracy dla zaproponowaneo opsu eometryczneo powerzchn środkowej powłok w parametryzacj prostokreślnej podano analtyczne rozwązane opsujące uoólnone sły przekrojowe oraz równana opsujące składowe wektora przemeszczena dla stanu błonoweo. Wykorzystano podejśce wyprowadzone [6] w którym powłoka jest traktowana jako cało trójwymarowe o szczeólnej eometr kształtu w której jeden z wymarów (rubość) jest znaczne mnejszy od dwóch pozostałych [5]. W celu uzyskana rozwązana analtyczneo zastosowano hpotezy upraszczające zaproponowane w pracach Belaka [ ]. Rys.. Chłodna komnowa Dr nż. Wydzał Budownctwa Poltechnka Opolska

2 . Ops powerzchn środkowej Powerzchne środkowe powłok prostokreślnych są utworzone przez proste zwane tworzącym prostolnowym (rys. ). W celu podana opsu welkośc eometrycznych nezbędnych do uzyskana analtyczneo rozwązana statyk wykorzystano wektorowy ops powerzchn środkowej pewnej rupy powłok w postac: r a cos( u ) sn( u ) j u cos( u ) sn( u ) j cos sn k u dze (rys. ): - u u - współrzędne krzywolnowe określające położene punktu na powerzchn - - parametr kątowy - kąt zawarty pomędzy rzutem tworzącej na płaszczyznę podstawy XY a promenem podstawy a - - parametr kątowy kąt określający nachylene tworzącej do płaszczyzny XY - a - promeń podstawy - L - wysokość powłok merzona w jednostkach dłuośc zodne ze współrzędną Z. () Rys.. Powerzchna w parametryzacj prostokreślnej W zależnośc od przyjętych wartośc kątowych powerzchne środkowe możemy uzyskać w kształce: hperbolody jednopowłokowej ( / ) stożka ( / ) lub walca ( / ). Współczynnk perwszej druej trzecej formy różnczkowej wyprowadzono w postac: a sn sn ( u ) cos u a cos cos ( a) b c ()

3 dze: - krzywzna łówna określona w zależnośc: sn H H K. () Pozostałe welkośc lobalne jak: krzywzna średna ( H ) ampltuda ( ) krzywzna Gaussa (K) lub symbole Chrstoffela ( k ) moą być wyznaczone [ ] na podstawe znanych współczynnków form różnczkowych. Uoólnone sły przekrojowe:. Równana równowa - składowe tensora sł przekrojowych dzałające w płaszczyźne stycznej do powerzchn środkowej M - składowe tensora momentów przekrojowych znających skręcających j Q - składowe tensora sł poprzecznych (tnących) dzałających prostopadle do powerzchn środkowej będące składowym tensora naprężena wyznaczamy z równań równowa. Możemy je zapsać w postac następująceo układu równań różnczkowych cząstkowych: j j Q b P j b Q j P j M Q k j M bk (4) dze: jest antysymetrycznym obektem przyjmującym wartośc jak wyżej. 4. Uoólnone sły przekrojowe Momenty znające towarzyszące uoólnonym słom przekrojowym w stane błonowym możemy wyznaczyć [ ] z zależnośc: dze: M sn a z eometrą powłok zależnoścą: n n P (5) jest współczynnkem wążącym cechy materałowe 4. (6) h

4 Sły tnące wyznaczymy z czwarteo równana układu równań (4): Q Q P P P (7) P P P dze: P P P - składowe wektora obcążena P w bazach lokalnych które można wyznaczyć z równośc: P X Y j Z k P r P r P m. (8) Po uproszczenu perwszych trzech równań układu (4) poleającym na pomnęcu członów j zawerających składnk z Q jako małe sły przekrojowe możemy wyznaczyć z układu równań stanu podstawoweo w postac: P j (9) b P. W celu rozwązana układu równań (9) zastosowano do perwszeo równana podstawene: j P P () a po przyjęcu że rozwązane równana () będze spełnała pewna funkcja f : d f f P () końcowa forma równana perwszeo układu równań (9) będze: f. () Po rozpsanu równana () dla j= uporządkowanu otrzymamy dwa równana: f f f f f () f f f f które po przekształcenach wykorzystanu trzeceo równana oólneo układu równań równowa (9) oraz przy wykorzystanu zależnośc () dadzą równane rozwązujące różnczkowe cząstkowe perwszeo rzędu w postac:

5 f f HP P HP P Po rozwązanu równana (4) sły przekrojowe wyznaczymy z zależnośc ():. (4) f P. (5) Dalsze rozważana doprowadzają do rozwązana opsująceo sły przekrojowe które w ujęcu fzycznym jako końcowej forme przyjmowanej do wymarowana zapszemy: P J J P J J P sn J (6) dze: J J J - to całk zapsane w następujący sposób: u u J HP P du l l u HP P du J J J J du l (7) natomast P to funkcja wyznaczona z równana (). Uzyskane rozwązane (6) opsujące sły przekrojowe dla pewnej klasy powłok prostokreślnych w tym równeż hperbolody jednopowłokowej jest pełnym analtycznym rozwązanem zamknętym dla dowolnych obcążeń dla których wektor obcążena zapsany w oólny sposób przedstawa zależność (8). 5. Przemeszczena Przemeszczenowy układ równań różnczkowych napszemy wykorzystując zwązk eometryczne które zapsane w wersj lnowej [ 4] w odnesenu do tensora odkształcena błonoweo będą: w k j k k w jk bw (8) dze: w k w - składowa wektora przemeszczena - składowe kowarantneo tensora odkształcena błonoweo powerzchn środkowej dla stanu lnoweo które możemy wyznaczyć wykorzystując zwązk fzyczne określone wzorem:

6 Eh kl k jl kl. (9) Po wyznaczenu pochodnych kowarantnych składowych wektora przemeszczena oraz przekształcenach układ równań (8) zapszemy w postac: w w w w w w bw w w w b w w k w () dze prawe strony równań () po rozpsanu zwązków fzycznych określone zostaną zależnoścam (9). Dalsze rozważana doprowadzają do nejednorodneo równana różnczkoweo cząstkoweo o współczynnkach funkcyjnych [ ]. Rozwązane takeo równana sprawa duże trudnośc oblczenowe [ 4] można je przeprowadzć jedyne uproszczonym metodam w sposób numeryczny. 6. Przykład lczbowy Dla powłok hperbolodalnej kształtowanej z przeznaczenem na chłodnę komnową przedstawono rozwązane stanu błonoweo dla symetryczneo antysymetryczneo obcążena. Przyjęto obcążene od cężaru własneo które przy dowolnym ustawenu powłok wzlędem kerunku rawtacj (kąt ) opsują składowe wektora obcążena: P q a P sn cos snu A cos sn qa sn a A cos snu cos sn a qa P sn sn A cos a () dze: A acos cos cosu cosu. Ze wzlędu na małą smukłość analzowanej w przykładze powłok w celu pokazana wpływu obcążena antysymetryczneo (składnk z mnożnkem sn ( ) ) na przebe sł przekrojowych przyjęto. Inne wykonane oblczena pokazały że dla powłok smukłych wpływ częśc antysymetrycznej już przy małych wartoścach kąta jest znaczny. W referace zameszczono jedyne wykresy przestrzenne sł przekrojowych fzycznym (rys. 4). Pozostałe sły uoólnone wyznaczyć z podanych zależnośc (5) (7). M Q jako funkcje w ujęcu P P można

7 - L =. [ - E = 7. [GPa] - L = 9. [ - =.667 [ - ]. - a = 47.5 [ - a = 6. [ - rubość h. Rys.. Dane do oblczeń Oblczena wykonano przy użycu własnych proramów napsanych w języku Fortran oraz wykorzystując system oblczenowy Mathematca. a) a) z [ z [ [k/ Max ( [65[ ]) = -4.4 [k/ Mn ( [ [ ]) = [k/ 6 b) b) z [ z [ 5 75 [k/ Max ( [ 5 [ ]) =.69 [k/ Mn ( [ 95[ ]) = -6. [k/ 6

8 c) c) z [ z [ u [ ] [k/ Max (75 [ [ ]) = 7. [k/ Mn ( [ 85[ ]) = [k/ 6 Rys. 4. Sły przekrojowe: a) b) c) wykresy przestrzenne w rozwnęcu a) b) c) wdok na płaszczyznę podstawy z punktu o współrzędnej z = 4 m 7. Podsumowane Przedmotem referatu jest powłoka hperbolodalna którą możemy zalczyć do rupy powłok prostokreślnych. Ops powerzchn środkowej przedstawono dla parametryzacj prostokreślnej. Sformułowano równana równowa oraz podano rozwązane statyk dla stanu błonoweo. W pracy podano praktyczne zastosowane uzyskanych wynków. Lteratura [] BIELAK S. Powłok prostokreślne. Opole Zeszyty aukowe Wyższej Szkoły Inżynerskej w Opolu Budownctwo zeszyt 976. [] BIELAK S. elnowa teora powłok cz. II. Opole Wyższa Szkoła Inżynerska w Opolu Studa Monorafe zeszyt [] BARA W. Analza statyczna powłok hperbolodalnej. Ujęce nelnowośc eometrycznej Praca doktorska. Opole Poltechnka Opolska 998. [4] BARA W. JĘDRASZAK B. Przemeszczena powłok hperbolodalnej. XLIX Konferencja aukowa KILW PA K PZITB. Krynca T. s. -8. [5] WOŹIAK Cz. elnowa teora powłok. Warszawa PW 966. [6] CHRÓŚCIELEWSKI J. MAKOWSKI J. PIETRASZKIEWICZ W. Statyka dynamka powłok welopłatowych. elnowa teora metoda elementów skończonych. Warszawa IPPT PA 4. SOLUTIO FOR HYPERBOLOIDAL SHELL OBTAIED APPLYIG STRAIGHT LIE PARAMETRIZATIO Hyperbolodal shell s consdered. Its central surface s descrbed usn straht lne parametrzaton whch s also vald for descrpton of cones and drums. Equatons of balance for the shell are presented. Formulas descrbn values of nternal forces for bendless state have been derved. In paper are presented exmples of applcaton of obtaned results.

Podobne dokumenty

1. Wprowadzenie. Streszczenie: W pracy opisano rodzaje analiz obliczeniowych przy projektowaniu. analitycznymi.

1. Wprowadzenie. Streszczenie: W pracy opisano rodzaje analiz obliczeniowych przy projektowaniu. analitycznymi. Budownctwo Archtektura 3() (04) 43-5 Możlwośc oblczenowe a wymagana wg Eurokodu 3 przy wyznaczanu sł przekrojowych konstrukcj powłokowych Wesław Baran Katedra Konstrukcj Budowlanych Inżynerskch, Wydzał