ZŁOŻONY MIESZANY ROZKŁAD POISSONA ZASTOSOWANIA UBEZPIECZENIOWE
|
|
- Laura Kruk
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Studa Ekonomczne. Zeszyty Naukowe Unwersytetu Ekonomcznego w Katowcach ISSN Nr Mchał Trzęsok Unwersytet Ekonomczny w Katowcach Wydzał Zarządzana Katedra Analz Gospodarczych Fnansowych mchal.trzesok@ue.katowce.pl Alcja Wolny-Domnak Unwersytet Ekonomczny w Katowcach Wydzał Ekonom Katedra Metod Statystyczno-Matematycznych w Ekonom alcja.wolny-domnak@ue.katowce.pl ZŁOŻONY MIESZANY ROZKŁAD POISSONA ZASTOSOWANIA UBEZPIECZENIOWE Streszczene: Celem nnejszej pracy jest zaproponowane pewnego złożonego meszanego rozkładu Possona, korzystając z tego, że złożony rozkład Posson gamma jest szczególnym przypadkem rozkładu Tweede. Wykorzystujemy fakt, ż z kole rozkład Tweede należy do dyspersyjnej rodzny rozkładów wykładnczych. W tym celu w perwszej częśc pracy rozważamy meszany rozkład Possona, w którym uwzględnamy zmenną neobserwowalną. Następne charakteryzujemy złożony meszany rozkład Possona. W drugej częśc przedstawamy możlwość wykorzystana tego rozkładu w szacowanu oczekwanej łącznej wartośc szkód dla pojedynczego ryzyka w masowym portfelu ryzyk. Słowa kluczowe: meszany rozkład Possona, złożony meszany rozkład Possona, ubezpeczena, taryfkacja, estymacja. Wprowadzene Rozkład Possona odgrywa bardzo znaczącą rolę w modelowanu zjawsk uwzględnających zmenne zlczające. Przyczyny tego faktu tkwą w szczególnej przydatnośc tego rozkładu w przypadkach, kedy modelowana zmenna ma charakter strcte losowy, a rozpatrywana populacja jest jednorodna. Nestety w przypadku welu rzeczywstych zborów danych przyjmowane takch założeń jest nerealstyczne. Dla danych nejednorodnych alternatywą do modelowana z wykorzystanem klasycznego rozkładu Possona jest zastosowane meszanych rozkładów Possona. Na szczególną uwagę zasługuje przypadek, w którym badana populacja w stoce składa sę ze skończonej lczby jednorodnych podpopulacj. Rozkład prawdopodobeństwa zmennej w całej badanej populacj można wówczas trakto-
2 86 Mchał Trzęsok, Alcja Wolny-Domnak wać jako meszannę rozkładu Possona oraz rozkładu pewnej zmennej neobserwowalnej θ. Przykładem jest najpopularnejsza meszanna Posson gamma. Szczególnym przypadkem jest analza danych ubezpeczenowych dotyczących krótkotermnowych ubezpeczeń majątkowych, takch jak ubezpeczena komunkacyjne czy ubezpeczena neruchomośc (meszkań, domów td.). Problem neobserwowalnej (ukrytej) nejednorodnośc w danych ubezpeczenowych w ubezpeczenach komunkacyjnych wynka na przykład z faktu, że aktuarusz ne ma dostępu do danych dotyczących różnc w zachowanach oraz stylu prowadzena pojazdów poszczególnych kerowców. Jedną ze znanych konsekwencj owej nejednorodnośc w danych dla zmennych zlczających jest tzw. efekt nadmernej dyspersj, który oznacza, że warancja tej zmennej zlczającej jest wększa nż jej wartość przecętna. Oprócz wspomnanych konsekwencj wystąpena nejednorodnośc dla wartośc momentów nskch rzędów badanej zmennej, ta ukryta nejednorodność wpływa równeż stotne na postać estymowanego rozkładu. Dla welu zborów danych ubezpeczenowych charakterystyczne jest (wynkające właśne z ukrytej nejednorodnośc) występowane bardzo welu wartośc zerowych, jak równeż bardzo slna asymetra prawostronna (gruby prawy ogon rozkładu). Ukrytą nejednorodność uwzględna sę w modelowanu przez nałożene dodatkowego założena, że wartość przecętna (parametr) rozkładu Possona ne jest stały, lecz jest zmenną losową o pewnym rozkładze (w modelowanu mówmy wtedy o uwzględnenu tzw. efektu losowego). Budowane w ten sposób modele nazywamy modelam meszanek Possona. Na przykład w modelowanu szkód roczna oczekwana frakcja pols zwązanych z wypłatą odszkodowana może być traktowana jako zmenna losowa. Celem nnejszego artykułu jest zaproponowane zastosowana złożonego meszanego rozkładu Possona w krótkotermnowych ubezpeczenach majątkowych, w których dysponujemy masowym portfelem ryzyk. Pojedyncze ryzyko w portfelu rozumemy tu jako zmenną losową o określonym rozkładze prawdopodobeństwa. Może to być np. lczba szkód, wartość pojedynczej szkody czy łączna wartość szkód dla pojedynczego ryzyka. W perwszej częśc defnujemy rozkłady: meszany Possona, złożony Possona, złożony meszany Possona. Defnujemy wektor parametrów rozkładów, wyznaczamy perwsze dwa momenty oraz omawamy możlwe metody estymacj parametrów tych rozkładów. W drugej częśc pracy przedstawamy przykład empryczny. Oblczena wykonujemy korzystając z programu R [zob. R Core Team, 014].
3 Złożony meszany rozkład Possona Meszany rozkład Possona (MPOIS) Rozważmy dyskretną zmenną losową N o rozkładze Possona z parametrem λ (ozn. POIS). Dobrze znana wartość funkcj prawdopodobeństwa ma wtedy postać: k λ exp( ) [ ] λ P N = k =, k = 0,1,,K (1) k! Łatwo można wykazać, że dla rozkładu Possona zachodz następująca równość: E [ N ] = Var[ N ] = λ. () W welu zagadnenach, równeż ubezpeczenowych, specyfka danych powoduje, ż często równane () ne jest spełnone. Występuje wtedy, wspomnany we wprowadzenu, efekt nadmernej dyspersj. Efekt ten jest tłumaczony najczęścej faktem, ż ne uwzględna sę pewnej neobserwowalnej zmennej Θ wpływającej na zmenną N. Aby uwzględnć tę zmenną, randomzuje sę parametr λ rozkładu Possona poprzez wprowadzene zmennej losowej Θ, która może meć zarówno rozkład dyskretny, jak równeż cągły. Uzyskuje sę wtedy meszany rozkład Possona (ozn. MPOIS), będący szczególnym przypadkem meszanny rozkładów [zob. Wnkelmann, 003, s. 33, 134]. Brzegowa funkcja prawdopodobeństwa dana jest wtedy wzorem: P[ N = k] = P[ N = k θ ] fθ ( θ ) dθ, (3) c θ Θ gdze P [ N = k θ ] jest funkcją prawdopodobeństwa rozkładu Possona zmennej N θ ~ POIS( λθ ), fθ ( ) jest gęstoścą rozkładu zmennej neobserwowalnej θ, natomast Θ jest zborem wszystkch możlwych zmennych Θ. c Zachodz węc równość: E [ N θ ] = Var[ N θ ] = λ. (4) Wtedy wartość oczekwana warancja rozkładu MPOIS wynoszą: E [ = E[ E[ N θ ]] = E[ λθ ] = λe[ θ ] (5) Var[ = E[ Var[ N θ ]] + Var[ E[ N θ ]] = E[ λθ ] + Var[ λθ ] =. (6) = λe[ θ ] + λ Var[ θ ] Wektor parametrów ρ rozkładu MPOIS składa sę zatem z parametru λ warunkowego rozkładu zmennej N θ oraz parametrów rozkładu zmennej θ.
4 88 Mchał Trzęsok, Alcja Wolny-Domnak Najbardzej popularnym w zagadnenach ubezpeczenowych rozkładem MPOIS jest meszanna Posson gamma, w której uzyskuje sę rozkład ujemny dwumanowy z wektorem parametrów ρ = ( λ, α) (ozn. NB ). W rozkładze NB zakłada sę, ż zmenna neobserwowalna θ ma rozkład gamma, dla którego E [ θ ] = 1, natomast Var [ θ ] = α. Łatwo wykazać, ż tak skonstruowany rozkład NB charakteryzuje sę zawsze efektem nadmernej dyspersj. Korzystając z założena o rozkładze warunkowym N θ ~ POIS( λθ ), brzegowa wartość oczekwana brzegowa warancja zmennej N wynoszą: E [ = λ, (7) Var [ = λ + λ Var[ θ ] = λ(1 + λα ). (8) Podobną konstrukcją jak wyżej charakteryzują sę równeż nne popularne meszanny, w których zakłada sę różnorodne rozkłady dla zmennej neobserwowalnej. Tab. 1 zawera stosowne zestawene. Tab. 1. Zestawene wybranych meszanek rozkładów Possona Nazwa rozkładu MPOIS ze wskazanem rozkładu zmennej neobserwowalnej Hermte a (Posson normalny) Posson Odwrotny normalny Lndleya (Posson Lndley) Posson Ujemny dwumanowy Neymana (Posson Posson) Posson Logarytmczno normalny Źródło: Na podstawe: [Karls, 001]. Estymacja parametrów ρ meszanego rozkładu Possona MPOIS jest mnej lub bardzej skomplkowana w zależnośc od założonego rozkładu zmennej θ. W przypadku gdy dla konkretnej meszanny całkę (3) można oblczyć analtyczne, jak np. w przypadku rozkładu ujemnego dwumanowego, bezpośredne zastosowane znajduje metoda najwększej warygodnośc. Jeśl natomast całka ta ne ma swojej analtycznej postac, można wykorzystać take algorytmy, jak algorytm EM (Expectaton Maxmzaton algorthm) [Dempster, Lard, Rubn, 1977] czy algorytm H IWSL (Herarchcal Iteratve Weghted Least Square) [Lee, Nelder, 1996]. Przedstawony powyżej rozkład MPOIS znajduje bezpośredne zastosowane w zagadnenu taryfkacj (grupowana ryzyk) w krótkotermnowych ubezpeczenach majątkowych, takch jak ubezpeczena komunkacyjne czy ubezpe-
5 Złożony meszany rozkład Possona czena domów/meszkań. Istotne jest wtedy szacowane wartośc E N ], gdze N oznacza lczbę szkód wygenerowaną przez -te ryzyko w portfelu ryzyk [Denut n., 007; Antono, Valdez, 01; Wolny-Domnak, 013]. W punkce 3. rozważamy lczbę szkód dla portfela ryzyk, gdze parametry rozkładu MPOIS szacujemy metodą EM, gdze postać E-kroku oraz M-kroku została zaczerpnęta z pracy Karlsa [001]. [. Złożony meszany rozkład Possona (CMPOIS) Rozważmy zmenną losową Y skonstruowaną następująco: N V k k = 1 Y =, (9) gdze N jest zmenną dyskretną o rozkładze Possona, zmenne V k, k = 1, K, N są nezależnym zmennym losowym o tych samych rozkładach oraz nezależnym od N. Ponadto Y = 0, jeśl N = 0. Wtedy zmenna Y posada złożony rozkład Possona (ozn. CPOIS). Wartość oczekwana E [Y ] oraz warancja Var [Y ] są dane wzorem: E [ Y ] = E[ V1 ] E[, (10) Var Y ] = E [ V ] Var[ + E[ Var[ V ]. (11) [ 1 1 Oczywśce równeż w tym przypadku może wystąpć efekt nadmernej dyspersj dla zmennej N, tłumaczony występowanem neobserwowalnej zmennej θ. W celu uwzględnena tego efektu w rozkładze zmennej Y, przyjmuje sę węc założene, ż N ma meszany rozkład Possona N ~ MPOIS. Uzyskuje sę wtedy złożony meszany rozkład Possona (ozn. CMPOIS ). Korzystając z tego, ż N θ ~ POIS( λθ ), można wyprowadzć wartość oczekwaną warancję zmennej Y ~ CMPOIS : E Y ] = E[ V ] E[ = E[ V ] E[ E[ N θ ]] = λe[ V ] E[ ], (1) [ θ Var[ Y ] = E [ V1 ] Var[ + E[ Var[ V1 ] =. (13) = λ{ E [ V1 ]( E[ θ ] + λvar[ θ ]) + Var[ V1 ] E[ θ ]} Wektor parametrów ρ rozkładu CMPOIS, analogczne jak dla MPOIS, zawera parametr λ warunkowego rozkładu zmennej N θ oraz parametru rozkładu zmennej θ.
6 90 Mchał Trzęsok, Alcja Wolny-Domnak Funkcja gęstośc rozkładu złożonego ne ma swojej analtycznej postac, co prowadz do komplkacj estymacj parametrów tego rozkładu. Bezpośredne zastosowane znajduje tutaj metoda PQL [Breslow, Clayton, 1993]. Wynka to z faktu, ż w metodze tej korzysta sę jedyne z dwóch perwszych momentów rozkładu. W zastosowanach ubezpeczenowych często przyjmuje sę rozkład gamma dla zmennych V k. Wtedy alternatywnym rozwązanem może być wykorzystane pewnej własnośc złożonego rozkładu Posson gamma. W pracy [Jorgensen, Paes De Souza, 1994] autorzy przedstawl ten rozkład jako szczególny przypadek rozkładu Tweede z parametrem 1 < p <. Rozkład Tweede należy do dyspersyjnej rodzny rozkładów wykładnczych charakteryzuje sę tym, ż funkcja p warancj V ( μ ) = μ. Rozkład ten posada zatem trzy parametry: ρ = ( μ, φ, p)', gdze φ jest parametrem dyspersj (o dyspersyjnej rodzne rozkładów wykładnczych zob. [Jorgensen, 1987]). Przyjmując, że: 1) N jest zmenną lcznkową o rozkładze Possona z parametrem λ, ) zmenne Y k, k = 1, K, N są nezależne o rozkładze gamma z parametrem skal α ' parametrem kształtu β ' oraz nezależne od N, parametry złożonego rozkładu Posson gamma jako przypadku rozkładu Tweede mają postać: 1 p p β ' + λ ( α' β ') μ = λα ' β ', p =, φ =. (14) β ' + 1 p p Wtedy E [Y ] = μ oraz Var[ Y ] = φμ. Łatwo dalej uzyskać złożony rozkład meszany CMPOIS poprzez randomzację parametru μ, przyjmując, ż zmenna N ma rozkład MPOIS oraz N θ ~ POIS( λθ ). Wektor parametrów rozkładu CMPOIS składa sę z: wektora ( p, φ)', parametru λ warunkowego rozkładu zmennej N θ oraz parametrów rozkładu zmennej θ. Istotą powyższego podejśca jest fakt, ż wektor parametrów ρ rozkładu CPOIS można szacować, wykorzystując klasyczny algorytm IWSL stosowany w modelach regresyjnych klasy GLM [Mccullagh, Nelder, 1989]. W przypadku rozkładu CMPOIS można z kole wykorzystać wspomnany już wcześnej algorytm PQL lub herarchczny algorytm H IWSL [Lee, Nelder, 1996; Wolny- -Domnak, 013]. W każdej z tych metod ne jest wymagana znajomość postac funkcj gęstośc, a jedyne dwóch perwszych momentów. Alternatywne można bezpośredno zastosować funkcję brzegowej warygodnośc, co wymaga całkowana numerycznego [Zhang, 013].
7 Złożony meszany rozkład Possona Omówony rozkład CMPOIS (w szczególnośc jako przypadek rozkładu Tweede), podobne jak rozkład MPOIS, znajduje bezpośredne zastosowane w taryfkacj. W tym przypadku poszukuje sę wartośc E [ Y ], gdze Y oznacza łączną wartość szkód wygenerowaną przez -te ryzyko w portfelu ryzyk [Smyth, 00; Wolny-Domnak, 014]. Rozkład ten jest równeż stosowany w zagadnenu szacowana rezerwy szkodowej [Peters n., 009]. W punkce 3. rozważamy problem szacowana E [ Y ]. Do estymacj parametrów rozkładu CMPOIS stosujemy funkcję brzegowej warygodnośc całkowane metodą Laplace a. 3. Zastosowana MPOIS oraz CMPOIS w krótkotermnowych ubezpeczenach majątkowych Rozważmy portfel ryzyk w krótkotermnowych ubezpeczenach majątkowych. Każdemu ryzyku w portfelu są przypsane zmenne losowe N oraz Y, oznaczające odpowedno: lczbę szkód oraz łączną wartość szkód dla -tego ryzyka. Zakładamy jednakową ekspozycję na ryzyko dla całego portfela. W celu uwzględnena zmennej neobserwowalnej θ przyjmujemy odpowedno: meszany rozkład Possona N ~ MPOIS oraz złożony meszany rozkład Possona Y ~ CMPOIS. Zmenna θ jest nterpretowana jako zmenna neobserwowalna, opsująca osobste cechy osoby ubezpeczającej sę, wpływające na szkodowość danego ryzyka (rsk profle). Jest ona zatem charakterystyczna dla ndywdualnego ryzyka. W oblczenach wykorzystujemy portfel zaczerpnęty z paketu nsurancedata [Wolny-Domnak, Trzęsok, 014] programu R o nazwe ClamsLong. Ponżej przedstawamy przykłady proponowanych zastosowań rozkładów MPOIS oraz CMPOIS w ubezpeczenach. Przykład 1. Szacowane oczekwanej lczby szkód dla pojedynczego ryzyka w portfelu Zakładamy rozkład MPOIS lczby szkód dla pojedynczego ryzyka w portfelu. Lczba szkód ma alternatywne rozkład MPOIS meszanna Posson gamma lub MPOIS meszanna Posson Lndley. Oczywśce można to rozważać jako rozkład ujemny dwumanowy szacować parametry rozkładu, korzystając z metody MLE. My przedstawamy nne rozwązane, w którym korzystamy z algorytmu EM. Algorytm ten jest elastyczny daje możlwość zmany rozkładu zmennej neobserwowalnej.
8 9 Mchał Trzęsok, Alcja Wolny-Domnak Przyjmjmy dalej, że lczba szkód ma rozkład warunkowy N θ ~ POIS( θ ). Zmenna neobserwowalna ma z kole rozkład θ ~ Gamma ( α, β ) o funkcj gęsto- α 1 α x exp( βx) β α śc f θ ( x) =, x > 0, α, β > 0 oraz E [ θ ] = 1, Var [ θ ] =. Γ( α) β Do szacowana parametrów α, β stosujemy algorytm EM, w którym dla danych wartośc α oraz β teracyjne są wykonywane następujące krok [por. Karls, 001, s. 11]: 1. Krok E: wyznaczene wartośc: t = E x + α ( θ x ) = oraz s = Ψ( + x ) ln( β + 1) 1+ β α, dla = 1, K, n, gdze Ψ ( ) oznacza funkcję dgamma.. Krok M: etap maksymalzacj, który w przypadku tego rozkładu sprowadza sę do oblczena nowych wartośc parametrów α β, zgodne z wzoram: α β new = oraz α t new Ψ( α ) + ln( β new ) s = α, Ψ ( α ) 3 dψ gdze Ψ 3 ( x) = oznacza funkcję trgamma. dx Dalej zmenono założene odnośne do rozkładu zmennej neobserwowalnej przyjęto rozkład Lndleya θ ~ LD( p) o funkcj gęstośc p p + fθ ( x) = ( x + 1) exp( px), x, p > 0. Wtedy E[ θ ] = oraz p + 1 p( p + 1) ( p + 3) Var[ θ ] =. Podobne jak w przypadku meszanny Posson gamma, p ( p + 1) do szacowana parametru p stosujemy algorytm EM, w którym dla danej wartośc p teracyjne są wykonywane następujące krok [por. Karls, 001, s. 8]: 1. Krok E: wyznaczene wartośc: ( p + x + 3)( x + 1) t = E( θ x ) =, dla = 1, K, n. ( p + x + )( p + 1)
9 Złożony meszany rozkład Possona Krok M: etap maksymalzacj, który w przypadku tego rozkładu sprowadza sę do oblczena nowej wartośc parametru p zgodne ze wzorem ( t 1) + t + 6t + 1 p new =. t W oblczenach wykorzystujemy mplementację własną algorytmu EM w programe R. Zmenną N jest lczba szkód dla pojedynczego ryzyka (clam.num), dla którego zarejestrowano przynajmnej jedną szkodę. Jako wartośc początkowe oszacowywanych metodą EM parametrów przyjęto: dla meszank Posson gamma α = 1, β = 0,3, zaś dla meszank Posson Lndley p = 0, 1. Prostym metodam symulacyjnym sprawdzono równeż wrażlwość na zadane wartośc początkowe przyjęte do oszacowana metodą EM stwerdzono brak stotnych różnc w wyznaczonych ocenach parametrów. Zakończene teracyjnej procedury estymacj metodą EM, opsanej powyżej, następowało wtedy, gdy oszacowana nowych wartośc parametrów w kroku M różnły sę od wartośc wyznaczonych w poprzednej teracj o ne węcej nż ε > 0. Przyjęto ε = Oszacowane parametry dla Posson gamma wynoszą ˆ α = 1, 8 oraz ˆ β = 1, 03, natomast parametr p w rozkładze Lndleya p ˆ = 0, 86. Wtedy wartość oczekwana lczby szkód dla pojedynczego ryzyka w portfelu wynos: E [ = 1, 744 (Posson gamma) oraz E [ = 1, 7736 (Posson Lndley). W tym bardzo uproszonym podejścu jest ona taka sama dla wszystkch ryzyk w portfelu, jednak sytuację zmen wprowadzene regresorów (czynnków wpływających na lczbę szkód, opsujących osobę ubezpeczającą sę, przedmot ubezpeczena oraz obszar geografczny). Regresory spowodują zróżncowane portfela w wynku otrzymamy ne jedną wartość E [, ale klka wartośc w zależnośc od lczby regresorów oraz lczby ch kategor. Przykład. Szacowane łącznej wartośc szkód dla pojedynczego ryzyka w portfelu Zakładamy rozkład CMPOIS łącznej wartośc szkód dla pojedynczego ryzyka w portfelu, w którym lczba szkód dla pojedynczego ryzyka ma warunkowy rozkład N θ ~ POIS( λθ ) oraz zmenna neobserwowalna wynos θ = exp(θ '), gdze θ ' ma rozkład N (0, σ θ ' ). Szacujemy zatem wektor parametrów ( λ, p, φ, σ θ ' )'. Z zależnośc (14) można dalej łatwo wyznaczyć parametry α ', β ' rozkładu zmennej neobserwowalnej. W oblczenach wykorzystujemy funkcję cpglmm{cplm} oraz całkowane metodą Laplace a. Dane dotyczą pols zawartych w kolejnych trzech okresach.
10 94 Mchał Trzęsok, Alcja Wolny-Domnak Zmenną Y jest łączna wartość szkód dla pojedynczego ryzyka (clam.cost), dla którego zarejestrowano przynajmnej jedną szkodę w przecągu trzech okresów. Oszacowane parametry rozkładu CMPOIS są równe: λ = 0, 7, p = 1,51 φ = 87,77, α '= 0, 97, β '= 1498, 48. Wyznaczona oczekwana łączna wartość szkód dla pojedynczego ryzyka jest równa E [ Y ] = 1013, 11. Podobne jak w przykładze 1., jest to przypadek prosty, w którym ne różncujemy w żaden sposób ryzyk w portfelu poprzez np. wprowadzene regresorów. Podsumowane W modelowanu welu zjawsk o charakterze społeczno-ekonomcznym wymagane jest uwzględnene neobserwowalnej nejednorodnośc (heterogencznośc) występującej w danych. W pracy przedstawono podejśce, w którym ta nejednorodność jest reprezentowana przez pewną neobserwowalną zmenną losową o zadanym przez nas rozkładze prawdopodobeństwa. Wykorzystane meszanego rozkładu Possona, przedstawanego bezpośredno jako pewna neskończona meszanna, jest zdecydowane bardzej elastycznym podejścem daje znaczne wększe możlwośc uwzględnana neobserwowalnej nejednorodnośc w danych poprzez różne założena odnośne do rozkładu zmennej θ. O le parametry rozkładu MPOIS można w marę łatwo oszacować za pomocą algorytmu EM, o tyle dla rozkładu CMPOIS jest to cągle problem złożony. Zaproponowane przez nas rozwązane, wykorzystujące rozkład Tweede, daje praktyczne możlwośc modelowana łącznej wartośc szkód dla pojedynczego ryzyka w portfelu z uwzględnenem neobserwowalnej nejednorodnośc. Lteratura Antono K., Valdez E.A. (01), Statstcal Concepts of a pror and a posteror Rsk Classfcaton n Insurance, Advances n Statstcal Analyss, 96(), s Breslow N.E., Clayton D.G. (1993), Approxmate Inference n Generalzed Lnear Mxed Models, Journal of the Amercan Statstcal Assocaton, 88(41), s Dempster A.P., Lard N.M., Rubn D.B. (1977), Maxmum Lkelhood from Incomplete Data Va the EM Algorthm, Journal of the Royal Statstcal Socety. Seres B (Methodologcal), 39(1), s Denut M., Maréchal X., Ptrebos S., Walhn J.F. (007), Actuaral Modellng of Clam Counts: Rsk Classfcaton, Credblty and Bonus Malus Systems, John Wley&Sons, Chchester.
11 Złożony meszany rozkład Possona Jorgensen B. (1987), Exponental Dsperson Models, Journal of the Royal Statstcal Socety. Seres B (Methodologcal), 49(), s Jørgensen B., Paes De Souza M.C. (1994), Fttng Tweede's Compound Posson Model to Insurance Clams Data, Scandnavan Actuaral Journal, 1994(1), s Karls D. (001), A General EM Approach for Maxmum Lkelhood Estmaton n Mxed Posson Regresson Models, Statstcal Modellng, 1(4), s Lee Y., Nelder J.A. (1996), Herarchcal Generalzed Lnear Models, Journal of the Royal Statstcal Socety. Seres B (Methodologcal), 58(4), s McCullagh P., Nelder J.A. (1989), Generalzed Lnear Models, Chapman and Hall, London. Peters G.W., Shevchenko P.V., Wüthrch M.V. (009), Model Uncertanty n Clams Reservng wthn Tweede's Compound Posson Models, Astn Bulletn, 39(1), s R Core Team (014), R, A Language and Envronment for Statstcal Computng, R Foundaton for Statstcal Computng, Venna, Austra, URL project.org/ Smyth G.K. (00), Fttng Tweede's Compound Posson Model To Insurance Clams Data: Dsperson Modelng, Astn Bulletn, 3(1), s Wnkelmann R. (003), Econometrc Analyss of Count Data, Sprnger, New York. Wolny-Domnak A. (013), Modelng Clam Severty va h lkelhood [w:] H. Vojackova, red., Proceedngs of 31st Internatonal Conference Mathematcal Methods n Economcs 013, College of Polytechncs Jhlava, Jhlava. Wolny-Domnak A. (014), Taryfkacja w ubezpeczenach majątkowych z wykorzystanem model meszanych, Wydawnctwo UE, Katowce. Wolny-Domnak A., Trzęsok M. (014), nsurancedata: A Collecton of Insurance Datasets Useful n Rsk Classfcaton n Non lfe Insurance, R package verson 1.0. Zhang Y. (013), Lkelhood-based and Bayesan Methods for Tweede Compound Posson Lnear Mxed Models, Statstcs and Computng, 3(6), s COMPOUND MIXED POISSON DISTRIBUTION AND ITS APPLICATION IN INSURANCE Summary: The paper presents compound mxed Posson dstrbutons n the context of Tweede dstrbuton, snce e.g. the compound Posson-gamma dstrbuton s ts specal case. We use the fact, that Tweede dstrbuton belongs to overdspersed exponental famly of dstrbutons. In the frst part of the paper the problem of overdsperson s addressed by consderng mxed Posson dstrbuton, where the unobserved varable s ntroduced. Then we specfy compound mxed Posson dstrbuton. In the second part we present the possbltes of makng use of ths dstrbuton n estmatng the total clam costs for the ndvdual rsk n the automoble nsurance portfolo. Keywords: mxed Posson, compound mxed Posson, non lfe nsurance, ratemakng, estmaton.
MODELOWANIE LICZBY SZKÓD W UBEZPIECZENIACH KOMUNIKACYJNYCH W PRZYPADKU WYSTĘPOWANIA DUŻEJ LICZBY ZER, Z WYKORZYSTANIEM PROCEDURY KROSWALIDACJI
Alcja Wolny-Domnak Unwersytet Ekonomczny w Katowcach MODELOWANIE LICZBY SZKÓD W UBEZPIECZENIACH KOMUNIKACYJNYCH W PRZYPADKU WYSTĘPOWANIA DUŻEJ LICZBY ZER, Z WYKORZYSTANIEM PROCEDURY KROSWALIDACJI Wprowadzene
Bardziej szczegółowoJEDNOMODELOWA TARYFIKACJA A PRIORI W KRÓTKOTERMINOWYCH UBEZPIECZENIACH MAJĄTKOWYCH
EKONOMERIA ECONOMERICS 4(46 204 ISSN 507-3866 Alcja Wolny-Domnk Unwersytet Ekonomczny w Katowcach e-mal: alcja.wolny-domnak@e.katowce.pl JEDNOMODELOWA ARYFIKACJA A PRIORI W KRÓKOERMINOWYCH UBEZPIECZENIACH
Bardziej szczegółowoEKONOMETRIA ECONOMETRICS 4(46) 2014
EKONOMERIA ECONOMERICS 4(46) 2014 Wydawnctwo Unwersytetu Ekonomcznego we Wrocławu Wrocław 2014 Redaktor Wydawnctwa: Aleksandra Ślwka Redaktor technczny: Barbara Łopusewcz Korektor: Barbara Cbs Łamane:
Bardziej szczegółowoPobrane z czasopisma Annales H - Oeconomia Data: 01/06/ :19:23
Pobrane z czasopsma Annales H - Oeconoma http://oeconoma.annales.umcs.pl DOI:0.795/h.206.50.4.497 ANNALES UNIVERSITATIS MARIAE CURIE-SKŁODOWSKA LUBLIN POLONIA VOL. L, 4 SECTIO H 206 Unwersytet Łódzk. Wydzał
Bardziej szczegółowo) będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie normalnym z następującymi parametrami: nieznaną wartością 1 4
Zadane. Nech ( X, Y ),( X, Y ), K,( X, Y n n ) będą nezależnym zmennym losowym o tym samym rozkładze normalnym z następującym parametram: neznaną wartoścą oczekwaną EX = EY = m, warancją VarX = VarY =
Bardziej szczegółowoFunkcje i charakterystyki zmiennych losowych
Funkcje charakterystyk zmennych losowych Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Intelgencj Metod Matematycznych Wydzał Informatyk Poltechnk Szczecńskej 5. Funkcje zmennych losowych
Bardziej szczegółowo( ) ( ) 2. Zadanie 1. są niezależnymi zmiennymi losowymi o. oraz. rozkładach normalnych, przy czym EX. i σ są nieznane. 1 Niech X
Prawdopodobeństwo statystyka.. r. Zadane. Zakładamy, że,,,,, 5 są nezależnym zmennym losowym o rozkładach normalnych, przy czym E = μ Var = σ dla =,,, oraz E = μ Var = 3σ dla =,, 5. Parametry μ, μ σ są
Bardziej szczegółowo0 0,2 0, p 0,1 0,2 0,5 0, p 0,3 0,1 0,2 0,4
Zad. 1. Dana jest unkcja prawdopodobeństwa zmennej losowej X -5-1 3 8 p 1 1 c 1 Wyznaczyć: a. stałą c b. wykres unkcj prawdopodobeństwa jej hstogram c. dystrybuantę jej wykres d. prawdopodobeństwa: P (
Bardziej szczegółowoSZACOWANIE NIEPEWNOŚCI POMIARU METODĄ PROPAGACJI ROZKŁADÓW
SZACOWANIE NIEPEWNOŚCI POMIARU METODĄ PROPAGACJI ROZKŁADÓW Stefan WÓJTOWICZ, Katarzyna BIERNAT ZAKŁAD METROLOGII I BADAŃ NIENISZCZĄCYCH INSTYTUT ELEKTROTECHNIKI ul. Pożaryskego 8, 04-703 Warszawa tel.
Bardziej szczegółowoMODEL REGRESYJNY WARTOŚCI POJEDYNCZEJ SZKODY UWZGLĘDNIAJĄCY POLISY BEZSZKODOWE
Studa Ekonomczne Zeszyty Naukowe Unwersytetu Ekonomcznego w Katowcach ISSN 083-86 Nr 4 05 Ekonoma 3 Alcja Wolny-Domnak Unwersytet Ekonomczny w Katowcach Wydzał Ekonom Katedra Metod Statystyczno-Matematycznych
Bardziej szczegółowoStatystyka. Zmienne losowe
Statystyka Zmenne losowe Zmenna losowa Zmenna losowa jest funkcją, w której każdej wartośc R odpowada pewen podzbór zboru będący zdarzenem losowym. Zmenna losowa powstaje poprzez przyporządkowane każdemu
Bardziej szczegółowoMikroekonometria 10. Mikołaj Czajkowski Wiktor Budziński
Mkroekonometra 10 Mkołaj Czajkowsk Wktor Budzńsk Jak analzować dane o charakterze uporządkowanym? Dane o charakterze uporządkowanym Wybór jednej z welkośc na uporządkowanej skal Skala ne ma nterpretacj
Bardziej szczegółowoMikroekonometria 10. Mikołaj Czajkowski Wiktor Budziński
Mkroekonometra 10 Mkołaj Czajkowsk Wktor Budzńsk Wybór uporządkowany Wybór uporządkowany (ang. ordered choce) Wybór jednej z welkośc na podanej skal Skala wartośc są uporządkowane Przykłady: Oceny konsumencke
Bardziej szczegółowoN ma rozkład Poissona z wartością oczekiwaną równą 100 M, M M mają ten sam rozkład dwupunktowy o prawdopodobieństwach:
Zadanie. O niezależnych zmiennych losowych N, M M, M 2, 3 wiemy, że: N ma rozkład Poissona z wartością oczekiwaną równą 00 M, M M mają ten sam rozkład dwupunktowy o prawdopodobieństwach: 2, 3 Pr( M = )
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń majątkowych r.
Zadanie. W pewnej populacji kierowców każdego jej członka charakteryzują trzy zmienne: K liczba przejeżdżanych kilometrów (w tysiącach rocznie) NP liczba szkód w ciągu roku, w których kierowca jest stroną
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń majątkowych r.
Maemayka ubezpeczeń mająkowych 7.05.00 r. Zadane. Pewne ryzyko generuje jedną szkodę z prawdopodobeńswem q, zaś zero szkód z prawdopodobeńswem ( q). Ubezpeczycel pokrywa nadwyżkę szkody ponad udzał własny
Bardziej szczegółowoNatalia Nehrebecka. Zajęcia 3
St ł Cchock Stansław C h k Natala Nehrebecka Zajęca 3 1. Dobroć dopasowana równana regresj. Współczynnk determnacj R Dk Dekompozycja warancj zmennej zależnej ż Współczynnk determnacj R. Zmenne cągłe a
Bardziej szczegółowo65120/ / / /200
. W celu zbadana zależnośc pomędzy płcą klentów ch preferencjam, wylosowano kobet mężczyzn zadano m pytane: uważasz za lepszy produkt frmy A czy B? Wynk były następujące: Odpowedź Kobety Mężczyźn Wolę
Bardziej szczegółowodla t ściślejsze ograniczenie na prawdopodobieństwo otrzymujemy przyjmując k = 1, zaś dla t > t ściślejsze ograniczenie otrzymujemy przyjmując k = 2.
Zadanie. Dla dowolnej zmiennej losowej X o wartości oczekiwanej μ, wariancji momencie centralnym μ k rzędu k zachodzą nierówności (typu Czebyszewa): ( X μ k Pr > μ + t σ ) 0. k k t σ *
Bardziej szczegółowoPrognozowanie w zarządzaniu firmą
Prognozowane w zarządzanu frmą Redaktorzy naukow Paweł Dttmann Aleksandra Szpulak Wydawnctwo Unwersytetu Ekonomcznego we Wrocławu Wrocław 2011 Senacka Komsja Wydawncza Zdzsław Psz (przewodnczący), Andrzej
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka r.
Prawdopodobeństwo statystya.05.00 r. Zadane Zmenna losowa X ma rozład wyładnczy o wartośc oczewanej, a zmenna losowa Y rozład wyładnczy o wartośc oczewanej. Obe zmenne są nezależne. Oblcz E( Y X + Y =
Bardziej szczegółowoWeryfikacja hipotez dla wielu populacji
Weryfkacja hpotez dla welu populacj Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Intelgencj Metod Matematycznych Wydzał Informatyk Poltechnk Szczecńskej 5. Parametryczne testy stotnośc w
Bardziej szczegółowoParametr Λ w populacji ubezpieczonych ma rozkład dany na półosi dodatniej gęstością: 3 f
Zadanie. W kolejnych latach t =,,,... ubezpieczony charakteryzujący się parametrem ryzyka Λ generuje N t szkód. Dla danego Λ = λ zmienne N, N, N,... są warunkowo niezależne i mają (brzegowe) rozkłady Poissona:
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń majątkowych r.
Matematyka ubezpieczeń majątkowych 4.04.0 r. Zadanie. Przy danej wartości λ parametru ryzyka Λ liczby szkód generowane przez ubezpieczającego się w kolejnych latach to niezależne zmienne losowe o rozkładzie
Bardziej szczegółowoStanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Wykład 6
Stansław Cchock Natala Nehrebecka Wykład 6 1 1. Zastosowane modelu potęgowego Przekształcene Boxa-Coxa 2. Zmenne cągłe za zmenne dyskretne 3. Interpretacja parametrów przy zmennych dyskretnych 1. Zastosowane
Bardziej szczegółowoPattern Classification
attern Classfcaton All materals n these sldes were taken from attern Classfcaton nd ed by R. O. Duda,. E. Hart and D. G. Stork, John Wley & Sons, 000 wth the permsson of the authors and the publsher Chapter
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń majątkowych r.
Matematyka ubezpieczeń majątkowych 5.0.00 r. Zadanie. Dla dowolnej zmiennej losowej X o wartości oczekiwanej µ wariancji oraz momencie centralnym µ k rzędu k zachodzą nierówności (typu Czebyszewa): ( X
Bardziej szczegółowoMikroekonometria 5. Mikołaj Czajkowski Wiktor Budziński
Mkroekonometra 5 Mkołaj Czajkowsk Wktor Budzńsk Uogólnone modele lnowe Uogólnone modele lnowe (ang. Generalzed Lnear Models GLM) Różną sę od standardowego MNK na dwa sposoby: Rozkład zmennej objaśnanej
Bardziej szczegółowoModele wieloczynnikowe. Modele wieloczynnikowe. Modele wieloczynnikowe ogólne. α β β β ε. Analiza i Zarządzanie Portfelem cz. 4.
Modele weloczynnkowe Analza Zarządzane Portfelem cz. 4 Ogólne model weloczynnkowy można zapsać jako: (,...,,..., ) P f F F F = n Dr Katarzyna Kuzak lub (,...,,..., ) f F F F = n Modele weloczynnkowe Można
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń majątkowych r.
Matematyka ubezpieczeń majątkowych 0.0.005 r. Zadanie. Likwidacja szkody zaistniałej w roku t następuje: w tym samym roku z prawdopodobieństwem 0 3, w następnym roku z prawdopodobieństwem 0 3, 8 w roku
Bardziej szczegółowoRozkład dwupunktowy. Rozkład dwupunktowy. Rozkład dwupunktowy x i p i 0 1-p 1 p suma 1
Rozkład dwupunktowy Zmenna losowa przyjmuje tylko dwe wartośc: wartość 1 z prawdopodobeństwem p wartość 0 z prawdopodobeństwem 1- p x p 0 1-p 1 p suma 1 Rozkład dwupunktowy Funkcja rozkładu prawdopodobeństwa
Bardziej szczegółowoZaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 1. Układy równań liniowych
Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analza zagadneń różnczkowych 1. Układy równań lnowych P. F. Góra http://th-www.f.uj.edu.pl/zfs/gora/ semestr letn 2006/07 Podstawowe fakty Równane Ax = b, x,
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń majątkowych r.
Zadanie. W pewnej populacji kierowców każdego jej członka charakteryzują trzy zmienne: K liczba przejeżdżanych kilometrów (w tysiącach rocznie) NP liczba szkód w ciągu roku, w których kierowca jest stroną
Bardziej szczegółowoSzacowanie optymalnego systemu Bonus-Malus przy pomocy Pseudo-MLE. Joanna Sawicka
Szacowanie optymalnego systemu Bonus-Malus przy pomocy Pseudo-MLE Joanna Sawicka Plan prezentacji Model Poissona-Gamma ze składnikiem regresyjnym Konstrukcja optymalnego systemu Bonus- Malus Estymacja
Bardziej szczegółowoStatystyka Inżynierska
Statystyka Inżynerska dr hab. nż. Jacek Tarasuk AGH, WFIS 013 Wykład DYSKRETNE I CIĄGŁE ROZKŁADY JEDNOWYMIAROWE Zmenna losowa, Funkcja rozkładu, Funkcja gęstośc, Dystrybuanta, Charakterystyk zmennej, Funkcje
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 5 WERYFIKACJA HIPOTEZ NIEPARAMETRYCZNYCH
STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 5 WERYFIKACJA HIPOTEZ NIEPARAMETRYCZNYCH 1 Test zgodnośc χ 2 Hpoteza zerowa H 0 ( Cecha X populacj ma rozkład o dystrybuance F). Hpoteza alternatywna H1( Cecha X populacj
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń majątkowych r.
Zadanie 1. W pewnej populacji podmiotów każdy podmiot narażony jest na ryzyko straty X o rozkładzie normalnym z wartością oczekiwaną równą μ i wariancją równą. Wszystkie podmioty z tej populacji kierują
Bardziej szczegółowoProcedura normalizacji
Metody Badań w Geograf Społeczno Ekonomcznej Procedura normalzacj Budowane macerzy danych geografcznych mgr Marcn Semczuk Zakład Przedsęborczośc Gospodark Przestrzennej Instytut Geograf Unwersytet Pedagogczny
Bardziej szczegółowoProjekt 6 6. ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH CAŁKOWANIE NUMERYCZNE
Inormatyka Podstawy Programowana 06/07 Projekt 6 6. ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH CAŁKOWANIE NUMERYCZNE 6. Równana algebraczne. Poszukujemy rozwązana, czyl chcemy określć perwastk rzeczywste równana:
Bardziej szczegółowoZadanie 1. Liczba szkód N w ciągu roku z pewnego ryzyka ma rozkład geometryczny: k =
Matematyka ubezpieczeń majątkowych 0.0.006 r. Zadanie. Liczba szkód N w ciągu roku z pewnego ryzyka ma rozkład geometryczny: k 5 Pr( N = k) =, k = 0,,,... 6 6 Wartości kolejnych szkód Y, Y,, są i.i.d.,
Bardziej szczegółowoRezerwa IBNR w ubezpieczeniach majątkowych
Rezerwa IBNR w ubezpeczenach maątkowych metody e kalkulac mgr Agneszka Pobłocka Unwersytet Gdańsk RTU ogółem (Dzał I Dzał II) ch udzał w PKB (w mld zł, %) 9,0% 7,5 % 7,7 % 7,6 % 120,00 8,0% 7,3 % 6,6 %
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń majątkowych r.
Matematyka ubezpieczeń majątkowych..00 r. Zadanie. Proces szkód w pewnym ubezpieczeniu jest złożonym procesem Poissona z oczekiwaną liczbą szkód w ciągu roku równą λ i rozkładem wartości szkody o dystrybuancie
Bardziej szczegółowoInwestycje finansowe i ubezpieczenia tendencje światowe a rynek polski
PRACE NAUKOWE Unwersytetu Ekonomcznego we Wrocławu RESEARCH PAPERS of Wrocław Unversty of Economcs 254 Inwestycje fnansowe ubezpeczena tendencje śwatowe a rynek polsk Redaktorzy naukow Krzysztof Jajuga
Bardziej szczegółowoStanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Wykład 6
Stansław Cchock Natala Nehrebecka Wykład 6 1 1. Interpretacja parametrów przy zmennych objaśnających cągłych Semelastyczność 2. Zastosowane modelu potęgowego Model potęgowy 3. Zmenne cągłe za zmenne dyskretne
Bardziej szczegółowoZastosowanie hierarchicznej estymacji bayesowskiej w szacowaniu wartości dochodów ludności dla powiatów
Zastosowane herarchcznej estymacj bayesowskej w szacowanu wartośc dochodów ludnośc dla powatów Jan Kuback Ośrodek Statystyk Matematycznej, Urząd Statystyczny w Łodz Herarchczna estymacja bayesowska - wprowadzene
Bardziej szczegółowoSZTUCZNA INTELIGENCJA
SZTUCZNA INTELIGENCJA WYKŁAD 15. ALGORYTMY GENETYCZNE Częstochowa 014 Dr hab. nż. Grzegorz Dudek Wydzał Elektryczny Poltechnka Częstochowska TERMINOLOGIA allele wartośc, waranty genów, chromosom - (naczej
Bardziej szczegółowoAgata Boratyńska Statystyka aktuarialna... 1
Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna... 1 ZADANIA NA ĆWICZENIA Z TEORII WIAROGODNOŚCI Zad. 1. Niech X 1, X 2,..., X n będą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu wykładniczego o wartości oczekiwanej
Bardziej szczegółowoProblemy jednoczesnego testowania wielu hipotez statystycznych i ich zastosowania w analizie mikromacierzy DNA
Problemy jednoczesnego testowana welu hpotez statystycznych ch zastosowana w analze mkromacerzy DNA Konrad Furmańczyk Katedra Zastosowań Matematyk SGGW Plan referatu Testowane w analze mkromacerzy DNA
Bardziej szczegółowoNatalia Nehrebecka. Zajęcia 4
St ł Cchock Stansław C h k Natala Nehrebecka Zajęca 4 1. Interpretacja parametrów przy zmennych zerojedynkowych Zmenne 0 1 Interpretacja przy zmennej 0 1 w modelu lnowym względem zmennych objaśnających
Bardziej szczegółowoStanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka Katarzyna Rosiak-Lada. Zajęcia 3
Stansław Cchock Natala Nehrebecka Katarzyna Rosak-Lada Zajęca 3 1. Dobrod dopasowana równana regresj. Współczynnk determnacj R 2 Dekompozycja warancj zmennej zależnej Współczynnk determnacj R 2 2. Zmenne
Bardziej szczegółowoPortfele zawierające walor pozbawiony ryzyka. Elementy teorii rynku kapitałowego
Portel nwestycyjny ćwczena Na podst. Wtold Jurek: Konstrukcja analza rozdzał 5 dr chał Konopczyńsk Portele zawerające walor pozbawony ryzyka. lementy teor rynku kaptałowego 1. Pożyczane penędzy amy dwa
Bardziej szczegółowoZadanie 1. Ilość szkód N ma rozkład o prawdopodobieństwach spełniających zależność rekurencyjną:
Zadanie. Ilość szkód N ma rozkład o prawdopodobieństwach spełniających zależność rekurencyjną: Pr Pr ( = k) ( N = k ) N = + k, k =,,,... Jeśli wiemy, że szkód wynosi: k= Pr( N = k) =, to prawdopodobieństwo,
Bardziej szczegółowoStanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Wykład 7
Stansław Cchock Natala Nehrebecka Wykład 7 1 1. Zmenne cągłe a zmenne dyskretne 2. Interpretacja parametrów przy zmennych dyskretnych 1. Zmenne cągłe a zmenne dyskretne 2. Interpretacja parametrów przy
Bardziej szczegółowo1.1. Uprość opis zdarzeń: 1.2. Uprościć opis zdarzeń: a) A B A Uprościć opis zdarzeń: 1.4. Uprościć opis zdarzeń:
.. Uprość ops zdarzeń: a) A B, A \ B b) ( A B) ( A' B).. Uproścć ops zdarzeń: a) A B A b) A B, ( A B) ( B C).. Uproścć ops zdarzeń: a) A B A B b) A B C ( A B) ( B C).4. Uproścć ops zdarzeń: a) A B, A B
Bardziej szczegółowoĆwiczenie 10. Metody eksploracji danych
Ćwczene 10. Metody eksploracj danych Grupowane (Clusterng) 1. Zadane grupowana Grupowane (ang. clusterng) oznacza grupowane rekordów, obserwacj lub przypadków w klasy podobnych obektów. Grupa (ang. cluster)
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń majątkowych r.
Matematyka ubezpieczeń majątkowych 3..007 r. Zadanie. Każde z ryzyk pochodzących z pewnej populacji charakteryzuje się tym że przy danej wartości λ parametru ryzyka Λ rozkład wartości szkód z tego ryzyka
Bardziej szczegółowoAnaliza rodzajów skutków i krytyczności uszkodzeń FMECA/FMEA według MIL STD - 1629A
Analza rodzajów skutków krytycznośc uszkodzeń FMECA/FMEA według MIL STD - 629A Celem analzy krytycznośc jest szeregowane potencjalnych rodzajów uszkodzeń zdentyfkowanych zgodne z zasadam FMEA na podstawe
Bardziej szczegółowoZestaw zadań 4: Przestrzenie wektorowe i podprzestrzenie. Liniowa niezależność. Sumy i sumy proste podprzestrzeni.
Zestaw zadań : Przestrzene wektorowe podprzestrzene. Lnowa nezależność. Sumy sumy proste podprzestrzen. () Wykazać, że V = C ze zwykłym dodawanem jako dodawanem wektorów operacją mnożena przez skalar :
Bardziej szczegółowoStanisław Cichocki Natalia Nehrebecka. Zajęcia 4
Stansław Cchock Natala Nehrebecka Zajęca 4 1. Interpretacja parametrów przy zmennych zerojedynkowych Zmenne 0-1 Interpretacja przy zmennej 0 1 w modelu lnowym względem zmennych objaśnających Interpretacja
Bardziej szczegółowoA C T A U N I V E R S I T A T I S N I C O L A I C O P E R N I C I EKONOMIA XXXIX NAUKI HUMANISTYCZNO-SPOŁECZNE ZESZTYT 389 TORUŃ 2009.
A C T A U N I V E R S I T A T I S N I C O L A I C O P E R N I C I EKONOMIA XXXIX NAUKI HUMANISTYCZNO-SPOŁECZNE ZESZTYT 389 TORUŃ 2009 Unwersytet Mkołaja Kopernka w Torunu Katedra Ekonometr Statystyk Elżbeta
Bardziej szczegółowoStatystyka aktuarialna i teoria ryzyka, model indywidualny i zespołowy, rozkłady złożone
Statystyka aktuarialna i teoria ryzyka, model indywidualny i zespołowy, rozkłady złożone Agata Boratyńska SGH, Warszawa Agata Boratyńska (SGH) SAiTR wykład 3 i 4 1 / 25 MODEL RYZYKA INDYWIDUALNEGO X wielkość
Bardziej szczegółowoStanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Wykład 6
Stansław Cchock Natala Nehrebecka Wykład 6 1 1. Zastosowane modelu potęgowego Model potęgowy Przekształcene Boxa-Coxa 2. Zmenne cągłe za zmenne dyskretne 3. Interpretacja parametrów przy zmennych dyskretnych
Bardziej szczegółowoWPŁYW PARAMETRÓW DYSKRETYZACJI NA NIEPEWNOŚĆ WYNIKÓW POMIARU OBIEKTÓW OBRAZU CYFROWEGO
Walenty OWIECZKO WPŁYW PARAMETRÓW DYSKRETYZACJI A IEPEWOŚĆ WYIKÓW POMIARU OBIEKTÓW OBRAZU CYFROWEGO STRESZCZEIE W artykule przedstaono ynk analzy nepenośc pomaru ybranych cech obektu obrazu cyfroego. Wyznaczono
Bardziej szczegółowoEvaluation of estimation accuracy of correlation functions with use of virtual correlator model
Jadwga LAL-JADZIAK Unwersytet Zelonogórsk Instytut etrolog Elektrycznej Elżbeta KAWECKA Unwersytet Zelonogórsk Instytut Informatyk Elektronk Ocena dokładnośc estymacj funkcj korelacyjnych z użycem modelu
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń majątkowych 1.10.2012 r.
Zadanie. W pewnej populacji każde ryzyko charakteryzuje się trzema parametrami q, b oraz v, o następującym znaczeniu: parametr q to prawdopodobieństwo, że do szkody dojdzie (może zajść co najwyżej jedna
Bardziej szczegółowoStanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Wykład 7
Stansław Cchock Natala Nehrebecka Wykład 7 1 1. Interakcje 2. Przyblżane model nelnowych 3. Założena KMRL 1. Interakcje 2. Przyblżane model nelnowych 3. Założena KMRL W standardowym modelu lnowym zakładamy,
Bardziej szczegółowoParametry zmiennej losowej
Eonometra Ćwczena Powtórzene wadomośc ze statysty SS EK Defncja Zmenną losową X nazywamy funcję odwzorowującą przestrzeń zdarzeń elementarnych w zbór lczb rzeczywstych, taą że przecwobraz dowolnego zboru
Bardziej szczegółowoMikroekonometria 12. Mikołaj Czajkowski Wiktor Budziński
Mkroekonometra 12 Mkołaj Czajkowsk Wktor Budzńsk Modele bnarne heterogenczność parametrów Heterogenczność stałej (model efektów stałych) lub warancj składnka losowego (model efektów losowych) można uznać
Bardziej szczegółowoKrzywa wieża w Pizie. SAS Data Step. Przykład (2) Wykład 13 Regresja liniowa
Bonformatyka - rozwój oferty edukacyjnej Unwersytetu Przyrodnczego we Wrocławu projekt realzowany w ramac Programu Operacyjnego Kaptał Ludzk współfnansowanego ze środków Europejskego Funduszu Społecznego
Bardziej szczegółowoSYSTEMY UCZĄCE SIĘ WYKŁAD 7. KLASYFIKATORY BAYESA. Dr hab. inż. Grzegorz Dudek Wydział Elektryczny Politechnika Częstochowska.
SYSTEMY UCZĄCE SIĘ WYKŁAD 7. KLASYFIKATORY BAYESA Częstochowa 4 Dr hab. nż. Grzegorz Dudek Wydzał Elektryczny Poltechnka Częstochowska TWIERDZENIE BAYESA Wedza pozyskwana przez metody probablstyczne ma
Bardziej szczegółowoZESZYTY NAUKOWE INSTYTUTU POJAZDÓW 2(88)/2012
ZESZYTY NAUKOWE INSTYTUTU POJAZDÓW (88)/01 Hubert Sar, Potr Fundowcz 1 WYZNACZANIE ASOWEGO OENTU BEZWŁADNOŚCI WZGLĘDE OSI PIONOWEJ DLA SAOCHODU TYPU VAN NA PODSTAWIE WZORU EPIRYCZNEGO 1. Wstęp asowy moment
Bardziej szczegółowoZASTOSOWANIE METOD EKONOMETRYCZNYCH DO BADANIA HETEROGENICZNOŚCI OBIEKTÓW
STUDIA I PRACE WYDZIAŁU NAUK EKONOMICZNYCH I ZARZĄDZANIA NR 31 Marusz Doszyń Unwersytet Szczecńsk ZASTOSOWANIE METOD EKONOMETRYCZNYCH DO BADANIA HETEROGENICZNOŚCI OBIEKTÓW Streszczene W artykule scharakteryzowano
Bardziej szczegółowo5. Pochodna funkcji. lim. x c x c. (x c) = lim. g(c + h) g(c) = lim
5. Pocodna funkcj Defncja 5.1 Nec f: (a, b) R nec c (a, b). Jeśl stneje granca lm x c x c to nazywamy ją pocodną funkcj f w punkce c oznaczamy symbolem f (c) Twerdzene 5.1 Jeśl funkcja f: (a, b) R ma pocodną
Bardziej szczegółowoLaboratorium ochrony danych
Laboratorum ochrony danych Ćwczene nr Temat ćwczena: Cała skończone rozszerzone Cel dydaktyczny: Opanowane programowej metody konstruowana cał skończonych rozszerzonych GF(pm), poznane ch własnośc oraz
Bardziej szczegółowoNatalia Nehrebecka. Wykład 2
Natala Nehrebecka Wykład . Model lnowy Postad modelu lnowego Zaps macerzowy modelu lnowego. Estymacja modelu Wartośd teoretyczna (dopasowana) Reszty 3. MNK przypadek jednej zmennej . Model lnowy Postad
Bardziej szczegółowoMikroekonometria 13. Mikołaj Czajkowski Wiktor Budziński
Mkroekonometra 13 Mkołaj Czajkowsk Wktor Budzńsk Symulacje Analogczne jak w przypadku cągłej zmennej zależnej można wykorzystać metody Monte Carlo do analzy różnego rodzaju problemów w modelach gdze zmenna
Bardziej szczegółowoModelowanie przepływu cieczy przez ośrodki porowate Wykład IX
Modelowane przepływu ceczy przez ośrodk porowate Wykład IX Metody rozwązywana metodam analtycznym równań hydrodynamk wód podzemnych płaskch zagadneń fltracj. 9.1 Funkcja potencjału zespolonego. Rozważana
Bardziej szczegółowoKRZYWA BÉZIERA TWORZENIE I WIZUALIZACJA KRZYWYCH PARAMETRYCZNYCH NA PRZYKŁADZIE KRZYWEJ BÉZIERA
KRZYWA BÉZIERA TWORZENIE I WIZUALIZACJA KRZYWYCH PARAMETRYCZNYCH NA PRZYKŁADZIE KRZYWEJ BÉZIERA Krzysztof Serżęga Wyższa Szkoła Informatyk Zarządzana w Rzeszowe Streszczene Artykuł porusza temat zwązany
Bardziej szczegółowo01. dla x 0; 1 2 wynosi:
Matematyka ubezpieczeń majątkowych 0.0.04 r. Zadanie. Ryzyko X ma rozkład z atomami: Pr X 0 08. Pr X 0. i gęstością: f X x 0. dla x 0; Ryzyko Y ma rozkład z atomami: Pr Y 0 07. Pr Y 0. i gęstością: fy
Bardziej szczegółowoTEORIA PORTFELA MARKOWITZA
TEORIA PORTFELA MARKOWITZA Izabela Balwerz 28 maj 2008 1 Wstęp Teora portfela została stworzona w 1952 roku przez amerykańskego ekonomstę Harry go Markowtza Opera sę ona na mnmalzacj ryzyka nwestycyjnego
Bardziej szczegółowoBADANIA OPERACYJNE. Podejmowanie decyzji w warunkach niepewności. dr Adam Sojda
BADANIA OPERACYJNE Podejmowane decyzj w warunkach nepewnośc dr Adam Sojda Teora podejmowana decyzj gry z naturą Wynk dzałana zależy ne tylko od tego, jaką podejmujemy decyzję, ale równeż od tego, jak wystąp
Bardziej szczegółowo2012-10-11. Definicje ogólne
0-0- Defncje ogólne Logstyka nauka o przepływe surowców produktów gotowych rodowód wojskowy Utrzyywane zapasów koszty zwązane.n. z zarożene kaptału Brak w dostawach koszty zwązane.n. z przestoje w produkcj
Bardziej szczegółowo6. ROŻNICE MIĘDZY OBSERWACJAMI STATYSTYCZNYMI RUCHU KOLEJOWEGO A SAMOCHODOWEGO
Różnce mędzy obserwacjam statystycznym ruchu kolejowego a samochodowego 7. ROŻNICE MIĘDZY OBSERWACJAMI STATYSTYCZNYMI RUCHU KOLEJOWEGO A SAMOCHODOWEGO.. Obserwacje odstępów mędzy kolejnym wjazdam na stację
Bardziej szczegółowoRozdział 2: Metoda największej wiarygodności i nieliniowa metoda najmniejszych kwadratów
Rozdział : Metoda największej wiarygodności i nieliniowa metoda najmniejszych kwadratów W tym rozdziale omówione zostaną dwie najpopularniejsze metody estymacji parametrów w ekonometrycznych modelach nieliniowych,
Bardziej szczegółowoModelowanie struktury stóp procentowych na rynku polskim - wprowadzenie
Mgr Krzysztof Pontek Katedra Inwestycj Fnansowych Ubezpeczeń Akadema Ekonomczna we Wrocławu Modelowane struktury stóp procentowych na rynku polskm - wprowadzene Wprowadzene Na rynku stóp procentowych analzowana
Bardziej szczegółowoMacierz prawdopodobieństw przejścia w pojedynczym kroku dla łańcucha Markowa jest postaci
Zadane. Macerz radoodobeńst rzejśca ojedynczym kroku dla łańcucha Markoa...... o trzech stanach { } jest ostac 0 n 0 0 (oczyśce element stojący -tym erszu j -tej kolumne tej macerzy oznacza P( = j. Wtedy
Bardziej szczegółowoI. Elementy analizy matematycznej
WSTAWKA MATEMATYCZNA I. Elementy analzy matematycznej Pochodna funkcj f(x) Pochodna funkcj podaje nam prędkość zman funkcj: df f (x + x) f (x) f '(x) = = lm x 0 (1) dx x Pochodna funkcj podaje nam zarazem
Bardziej szczegółowoProces narodzin i śmierci
Proces narodzn śmerc Jeżel w ewnej oulacj nowe osobnk ojawają sę w sosób losowy, rzy czym gęstość zdarzeń na jednostkę czasu jest stała w czase wynos λ, oraz lczba osobnków n, które ojawły sę od chwl do
Bardziej szczegółowoMikroekonometria 7. Mikołaj Czajkowski Wiktor Budziński
Mkroekonometra 7 Mkołaj Czajkowsk Wktor Budzńsk Testowane hpotez 4 podstawowe testy Przedzał ufnośc Parametry mają asymptotyczny rozkład normalny Znamy błąd standardowy Czy parametr jest statystyczne różny
Bardziej szczegółowoKomputerowe generatory liczb losowych
. Perwszy generator Komputerowe generatory lczb losowych 2. Przykłady zastosowań 3. Jak generuje sę lczby losowe przy pomocy komputera. Perwszy generator lczb losowych L. H. C. Tppet - 927 Ksąż ążka -
Bardziej szczegółowoEKONOMETRIA. Zastosowanie matematyki w ekonomii. Redaktor naukowy Janusz Łyko
EKONOMETRIA 26 Zastosowane matematyk w ekonom Redaktor naukowy Janusz Łyko Wydawnctwo Unwersytetu Ekonomcznego we Wrocławu Wrocław 2009 Sps treśc Wstęp... 7 Beata Bal-Domańska, Ekonometryczna analza sgma
Bardziej szczegółowoMETODY ESTYMACJI PUNKTOWEJ. nieznanym parametrem (lub wektorem parametrów). Przez X będziemy też oznaczać zmienną losową o rozkładzie
METODY ESTYMACJI PUNKTOWEJ X 1,..., X n - próbka z rozkładu P θ, θ Θ, θ jest nieznanym parametrem (lub wektorem parametrów). Przez X będziemy też oznaczać zmienną losową o rozkładzie P θ. Definicja. Estymatorem
Bardziej szczegółowoAnaliza danych. Analiza danych wielowymiarowych. Regresja liniowa. Dyskryminacja liniowa. PARA ZMIENNYCH LOSOWYCH
Analza danych Analza danych welowymarowych. Regresja lnowa. Dyskrymnacja lnowa. Jakub Wróblewsk jakubw@pjwstk.edu.pl http://zajeca.jakubw.pl/ PARA ZMIENNYCH LOSOWYCH Parę zmennych losowych X, Y możemy
Bardziej szczegółowoZadanie 1. O rozkładzie pewnego ryzyka X posiadamy następujące informacje: znamy oczekiwaną wartość nadwyżki ponad 20:
Zadanie 1. O rozkładzie pewnego ryzyka X posiadamy następujące informacje: znamy oczekiwaną wartość nadwyżki ponad 20: E X 20 8 oraz znamy następujące charakterystyki dotyczące przedziału 10, 20 : 3 Pr
Bardziej szczegółowoAnaliza danych OGÓLNY SCHEMAT. http://zajecia.jakubw.pl/ Dane treningowe (znana decyzja) Klasyfikator. Dane testowe (znana decyzja)
Analza danych Dane trenngowe testowe. Algorytm k najblższych sąsadów. Jakub Wróblewsk jakubw@pjwstk.edu.pl http://zajeca.jakubw.pl/ OGÓLNY SCHEMAT Mamy dany zbór danych podzelony na klasy decyzyjne, oraz
Bardziej szczegółowoAnaliza modyfikacji systemów bonus-malus w ubezpieczeniach komunikacyjnych AC na przykładzie wybranego zakładu ubezpieczeń
Analza modyfkacj systemów bonus-malus Ewa Łazuka Klauda Stępkowska Analza modyfkacj systemów bonus-malus w ubezpeczenach komunkacyjnych AC na przykładze wybranego zakładu ubezpeczeń Tematyka przedstawonego
Bardziej szczegółowoUogolnione modele liniowe
Uogolnione modele liniowe Jerzy Mycielski Uniwersytet Warszawski grudzien 2013 Jerzy Mycielski (Uniwersytet Warszawski) Uogolnione modele liniowe grudzien 2013 1 / 17 (generalized linear model - glm) Zakładamy,
Bardziej szczegółowoKomórkowy model sterowania ruchem pojazdów w sieci ulic.
Komórkowy model sterowana ruchem pojazdów w sec ulc. Autor: Macej Krysztofak Promotor: dr n ż. Marusz Kaczmarek 1 Plan prezentacj: 1. Wprowadzene 2. Cel pracy 3. Podsumowane 2 Wprowadzene Sygnalzacja śwetlna
Bardziej szczegółowoPrognozowanie i Symulacje. Wykład I. Matematyczne metody prognozowania
Prognozowanie i Symulacje. Wykład I. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści Szeregi czasowe 1 Szeregi czasowe 2 3 Szeregi czasowe Definicja 1 Szereg czasowy jest to proces stochastyczny z czasem dyskretnym
Bardziej szczegółowobędą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu o gęstości
Prawdopodobeństwo statystyka 4.0.00 r. Zadae Nech... będą ezależym zmeym losowym z rozkładu o gęstośc θ f ( x) = θ xe gdy x > 0. Estymujemy dodat parametr θ wykorzystując estymator ajwększej warogodośc
Bardziej szczegółowo