5.4. ROZKŁAD WIELOMIANU NA CZYNNIKI

Transkrypt

1 5.4. ROZKŁAD WIELOMIANU NA CZYNNIKI KaŜdy wielomian moŝna rozłoŝyć na czynniki co najwyŝej drugiego. Metody rozkładu wielomianu na czynniki a) rozkład wielomianu, korzystając z postaci iloczynowej funkcji kwadratowej: Znak > 0 0 < 0 Postać iloczynowa y a( )( ) funkcji kwadratowej b) wyciąganie czynnika przed nawias; ( ) c) zastosowanie wzorów : b ab - kwadrat sumy ( ) b) a ab a b b)( b) b) a b + ab b) a a b + ab b - kwadrat róŝnicy - róŝnica kwadratów + - sześcian sumy - sześcian róŝnicy ( a ab b ) b)( ab b ) - suma sześcianów b - róŝnica sześcianów d) grupowanie wyrazów y a 0 nie ma postaci iloczynowej Przykład Wielomian 4 rozłóŝ na czynniki wyciągając czynnik przed nawias. W ( ) 4 ( ) Przed nawias wyciągamy czynnik.

2 4 Przykład Wielomian rozłóŝ na czynniki stosując wzory ( ) ( ) + W ( ) [( )( ) ] ( ) ( ) ( ) + + Do rozkładu wielomianu W zastosujemy wzór b) a ab Do rozkładu czynnika stosujemy wzór b a b ( ) b) 4 Przykład Wielomian + rozłóŝ na czynniki wykorzystując postać iloczynową funkcji kwadratowej ( ) t W ( t) t t + a ; b ; c b 4ac ( ) 4 ( ) 9 ( ) 9 ( ) 4 b t a Wprowadzając zmienną pomocniczą t wielomian W() zapisujemy jako trójmian kwadratowy. Doprowadzamy trójmian kwadratowy W ( t) t t + do postaci iloczynowej. W tym celu obliczamy. > 0, dlatego obliczamy t i,t y a t t wykorzystujemy wzór ( )( t ) t ( ) + ( ) b t a 4 W ( t ) t ( t + ) ( + ) Powracamy do zmiennej, za t podstawiamy Czynnik ( ) ( + ) + nie moŝna rozłoŝyć na czynniki W pierwszego stopnia,bo < 0. Do rozkładu czynnika stosujemy wzór ( + ) + a b b)( b)

3 Przykład Wielomian rozłóŝ na czynniki metodą grupowania wyrazów Grupujemy wyrazy wielomianu. ( 5 + ) + ( 5 + ) W pierwszej grupie wyciągamy przed nawias czynnik, a w drugiej czynnik. ( 5 + )( + ) 5 + wyłączamy przed nawias. W ( ) Czynnik + nie moŝna rozłoŝyć na czynniki pierwszego stopnia,bo < 0. W ( Powtarzający się czynnik ) Odp. ( )( ) Przykład Wielomian + rozłóŝ na czynniki moŝliwie najniŝszego ( ) + ( ) + ( ) Wielomian W() rozłoŝymy na czynniki metodą grupowania wyrazów. ZauwaŜmy, Ŝe jednym z pierwiastków wielomianu W() jest liczba ( W() 0 ). Zatem wielomian zapisujemy w takiej postaci, aby po zastosowaniu metody grupowania wyrazów jednym z czynników był. Grupujemy wyrazy wielomianu. W pierwszej grupie wyciągamy przed nawias czynnik, w drugiej czynnik, a w trzeciej ( )( + + ) czynnik. Powtarzający się czynnik wyłączamy przed nawias. + + Czynnik + + nie moŝna rozłoŝyć na czynniki pierwszego stopnia,bo < 0. Odp. ( )( )

4 4 Przykład Wielomian 8 rozłóŝ na czynniki moŝliwie najniŝszego 4 8 W ( ) ( 8) ( ) ( + ) ( )( + + 4) a ; b ; c 4 b 4ac 4 4 Odp. ( )( + + 4) Wyciągamy czynnik przed nawias Do rozkładu czynnika 8 stosujemy wzór b)( ab b ) a b + Czynnik nie moŝna rozłoŝyć na Przykład Wielomian W ( ) rozłóŝ na czynniki moŝliwie najniŝszego W ( ) ( ) 4 ( ) ( + ) ( ) ( + )( + + ) ( + )( + + ) Odp. ( ) ( + )( + + ) Wielomian W() zapisujemy w postaci róŝnicy kwadratów. Stosując wzór b ab wyraŝenie ( ) zapisujemy jako kwadrat sumy. Stosujemy wzór a b a b b ( )( ) W Czynnik + + nie moŝna rozłoŝyć na Czynnik + nie moŝna rozłoŝyć na

5 ĆWICZENIA Ćwiczenie Wielomiany rozłóŝ na czynniki moŝliwie najniŝszego stopnia: a) (pkt.) 4 + b) (pkt.) c) (pkt.) W ( ) 5 Ćwiczenie Wielomiany rozłóŝ na czynniki moŝliwie najniŝszego stopnia: a) (pkt.) RozłoŜenie na czynnik czwartego stopnia i czynnik pierwszego b) (pkt.) RozłoŜenie na czynnik drugiego stopnia i czynnik pierwszego c) (pkt.) RozłoŜenie na czynnik trzeciego stopnia i czynnik pierwszego