Rozkłady Przegląd. Tadeusz M.Molenda Instytut Fizyki, Uniwersytet Szczeciński

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Rozkłady Przegląd. Tadeusz M.Molenda Instytut Fizyki, Uniwersytet Szczeciński"

Transkrypt

1 Rozkłdy Przegląd Tdeusz M.Molend Instytut Fizyki, Uniwersytet Szczeciński

2 Międzynrodow Norm Oceny Niepewności Pomiru (Guide to Epression of Uncertinty in Mesurements-Międzynrodow Orgnizcj Normlizcyjn ISO) ANALIZA NIEPEWNOŚCI POMIARU Guide to the Epression of Uncertinty in Mesurement, ISO, Switzerlnd Wyrżnie niepewności pomiru: Przewodnik, Główny Urząd Mir, Wrszw The NIST Reference on Constnts, Units, nd Uncertinty, H. Szydłowski, Niepewności w pomirch. Międzynrodowe stndrdy w prktyce. Wyd. Nukowe UAM, Poznń 001. A. Zięb, Anliz dnych w nukch ścisłych i technicznych. PWN, Wrszw, 014. P. Bilski, M. Dobies, A. Kozk, M. Mkrock-Rydzyk: Mteriły do ćwiczeń ze wstępu do prcowni fizycznej. Normy ISO i mtemtyk w lbortorium. Wyd. Nukowe UAM; 014. R. Jniczek Metody oceny niepewności pomirów. Wyd. Prcowni Komp. J. Sklmierskiego, Gliwice 008.

3 Podził błędów pomiru (przypomnienie) Wyniki pomirów podlegją pewnym prwidłowościom, tzw. rozkłdom typowym dl zmiennej losowej. Z tego względu błędy dzielimy n: Błędy przypdkowe (zwne też losowymi), które podlegją prwom sttystyki i rchunku prwdopodobieństw, wynikją z wielu losowych przyczynków i nie dją się wyeliminowć (zmieniją się w sposób nieprzewidziny). Błędy systemtyczne, które możn ogrniczyć udoskonljąc pomir. (Cechą chrkterystyczną jest ich powtrznie się przy wielu pomirch tej smej wielkości w stłych wrunkch pomiru.) Błąd gruby (zwny omyłką) - różni się, n ogół drstycznie, od wrtości rzeczywistej, nleży strć się wykryć i odrzucić. Błędy ndmierne - pomyłki wynikjące z brdzo różnych przesłnek, niekiedy spowodowne systemtycznymi nieprwidłowościmi w procesie przeliczeniowym. Pomiry tkie nie są w pełni wirygodne. Błąd (niepewność) grniczn dopuszczln kls dokłdności, specyfikcj techniczn przyrządu Błędy cyfrowych przyrządów pomirowych

4 Typy oceny niepewności wg kodyfikcji ISO Interntionl Orgniztion for Stndriztion Przewodnik Niepewność stndrdow typu A oznczn literą u A () ( symbol wielkości mierzonej) Metody wykorzystujące sttystyczną nlizę serii pomirów: wymg odpowiednio dużej liczby powtórzeń pomiru m zstosownie do błędów przypdkowych Błędy przypdkowe modeluje się (model losowy) z pomocą rozkłdu prwdopodobieństw zwykle rozkłdu normlnego

5 Uwg Błędy z ntury są systemtyczne: określon przyczyn powoduje określony skutek Kiedy błędy trktuje się jko przypdkowe - przykłdy: Widomo, że zjwisko rozszerzlności termicznej (cieplnej) powoduje błędy temperturowe le nie jest możliwe doprowdzenie do wyrównni tempertury w cłej objętości przedmiotu Tempertur pomieszczeni w którym wykonuje się pomir, tempertur przyrządu i tempertur przedmiotu ciągle się zmieniją Spodziewjąc się, że błąd temperturowy nie będzie mił istotnego wpływu n błąd pomiru rezygnujemy z pomiru tempertur i stosowni korekcji

6 Typy oceny niepewności wg kodyfikcji ISO Interntionl Orgniztion for Stndriztion Przewodnik Niepewność stndrdow typu B oznczn literą u B () ( symbol wielkości mierzonej) Opier się n nukowym osądzie eksperymenttor wykorzystującym wszystkie informcje o pomirze i źródłch jego niepewności stosuje się gdy sttystyczn nliz nie jest możliw dl błędu systemtycznego lub dl jednego wyniku pomiru

7 Metod B różne rozkłdy Niepewność stndrdową u oblicz się według wzoru: u = /k gdzie 1/k zleży od rodzju rozkłdu i wynosi: dl rozkłdu jednostjnego 0,58, dl rozkłdu trójkątnego 0,41, dl rozkłdu ntymodlnego V 0,71, dl rozkłdu ntymodlnego U 0,77, dl rozkłdu trpezowego 0,46.

8 Rozkłd jednostjny 0,58 f, ( dl 1 ) ( - s , d X D

9 Rozkłd trpezowy 0,46 f () f, dl , dl 3 4 ), ( dl ) ( s , 4 5 Złożenie dwóch rozkłdów prostokątnych o różnej szerokości dje rozkłd trpezowy

10 Rozkłd trójkątny 0, ) 0, dl 0, ( dl ) ( f d X D ,408 s Złożenie dwóch rozkłdów prostokątnych o tej smej szerokości dje rozkłd trójkątny

11 Rozkłd ntymodlny V 0, f 0, dl,0 ( dl ) ( d X D s 707 0,

12 Rozkłdy ntymodlne U dl f, 3 ) ( 3 - dl f, ) ( f, dl 1 1 π 1 ) ( - - s 3 5 s 3 s

13 Złożenie różnych typów rozkłdów r. + r. (równ szerokość) r. (rozkłd trójkątny) r. + r. (różn szerokość) rozkłd trpezowy r. + r. + r. + r. (min. 4 równej szerokość) r. normlny r. 7 (min. 7, o różnej szerokości) rozkłd normlny r. normlny + r. (trzykrotnie węższy) rozkłd normlny r. normlny + r. normlny rozkłd normlny r. normlny + r. (podobn szerokość) r. niesymetryczny (r. normlny) rozkłd niesymetryczny r. - ozn. rozkłd prostokątny

14 Centrlne twierdzenie grniczne Sum dużej liczby zmiennych losowych (o dowolnych rozkłdch) jest zmienną losową o rozkłdzie normlnym. Prmetr wynikowego rozkłdu normlnego jest równy sumie wrtości oczekiwnych prmetr jest równy pierwistkowi z sumy wrincji skłdowych zmiennych losowych Centrlne twierdzenie grniczne wyjątkowe znczenie rozkłdu normlnego

15 Rozkłd normlny f ( ;, ) 1 ( - ) - ep π f () - gęstość prwdopodobieństw wystąpieni wielkości lub jej błędu podleg rozkłdowi Guss - wrtością oczekiwn (może nią być średni rytmetyczn), - odchylenie stndrdowe, - wrincj rozkłdu Rozkłd normlny oznczmy też N(;, )

16 Skorzystno z: A.Mjhofer Anliz niepewności pomirowych i prcowni wstępn. UW. Rozkłd normlny Guss f ( ;, ) 1 ( - ) - ep π Pomir o większym σ chrkteryzuje się większym rozrzutem wyników wokół wrtości średniej ztem mniejszą precyzją Skorzystno z: A.Mjhofer Anliz niepewności pomirowych i prcowni wstępn. UW.

17 Rozkłd normlny Guss Źródło: Wikipedi

18 Stndrdowy rozkłd normlny rozkłd znormlizownyny Guss jeśli = 0 i = 1 (możemy dokonć podstwieni: z - ) jego funkcj gęstości opisn jest wzorem f ( ; 1 0, 1) f ( ) ep 0,1 - π Uwg: Funkcje gęstości spełniją wrunek unormowni do 1. Funkcje są z tblicowne, wbudowne do rkusz klkulcyjnego, np. Ecel.

19 Wnioskownie n podstwie próby o momentch, czyli prmetrch rozkłdu prwdopodobieństw nzywmy wnioskowniem prmetrycznym. Rodzje wnioskowni prmetrycznego Wyróżni się trzy rodzje wnioskowni prmetrycznego: 1. Estymcj punktow;. Estymcj przedziłow; 3. Testownie hipotez.

20 Wrtość prwdopodobieństw W celu wyznczeni prwdopodobieństw tego, że wrtość znjduje się w przedzile (, b ), możn zstosowć metodę grficznego cłkowni lub wyznczyć prwdopodobieństwo nlitycznie lub skorzystć z wrtości dystrybunty rozkłdu normlnego stndryzownego (tblice wrtości, funkcje są z tblicowne, wbudowne do rkusz klkulcyjnego, np. Ecel).

21 Przedził ufności W przypdku estymcji przedziłowej, n podstwie wyników z wylosownej próby, konstruowny jest przedził liczbowy, który z określonym z góry prwdopodobieństwem pokryw wrtość prmetru estymownego. Przedził ten jest określny minem przedziłu ufności, ntomist prwdopodobieństwo poziomem (współczynnikiem) ufności. Poziom ufności (oznczny dlej jko ) możn zdefiniowć jko prwdopodobieństwo, że skonstruowny przedził ufności zwier wrtość prmetru estymownego. Przyjmuje się, że prwdopodobieństwo to spełni wrunek: 0,90. Istnieje określon relcj między wielkością poziomu ufności precyzją szcowni prmetru estymownego: im wyższy jest poziom ufności, tym mniejsz precyzj szcowni (większy błąd szcunku, większ rozpiętość przedziłu ufności).

22 Przedził ufności Przedziłem ufności o współczynniku ufności 1 α nzywmy tki przedził (, b ), który spełni wrunek: P 1- b Współczynnik ufności 1 α jest wielkością, którą możn interpretowć w nstępujący sposób: jest to prwdopodobieństwo wyznczeni tkiego przedziłu, że rzeczywist wrtość prmetru w populcji znjdzie się w tym przedzile. Im większ wrtość tego współczynnik, tym szerszy przedził ufności, więc mniejsz dokłdność estymcji prmetru. Im mniejsz wrtość 1 α, tym większ dokłdność estymcji, le jednocześnie tym większe prwdopodobieństwo popełnieni błędu. Wybór odpowiedniego współczynnik jest więc kompromisem pomiędzy dokłdnością estymcji ryzykiem błędu. W prktyce przyjmuje się zzwyczj wrtości: 0,99; 0,95 lub 0,90, zleżnie od prmetru.

23 Przedził ufności Prwdopodobieństwo α nzywne jest poziomem istotności odpowidjący mu obszr nzyw się obszrem krytycznym UWAGA: W Pordniku jko odpowiednik trdycyjnych pojęć, GUM przyjął konwencję, gdzie stosuje się: przedził objęci zmist przedził ufności prwdopodobieństwo objęci zmist poziom (współczynnik) ufności Rys. wykonno n podstwie rys. A3 z: A. Zięb: Anliz dnych. PWN, Wrszw 014.

24 Rys. wykonny n podstwie rys. A3 z: A.Zięb: Anliz dnych. PWN, Wrszw 014. Ilustrcj różnych prmetrów skli odchylenie grniczne U połow szerokości przedziłu objęci, odpowid: niepewność rozszerzon Dl kżdego rozkłdu symetrycznego, dl którego istnieje odchylenie stndrdowe, przedził objęci (, b ) możemy określić jko Jeśli k = to P 0,95. ( - k, + k)

25 Źródło: W przedzile wszystkich wyników 3 zwier się zwier się zwier się 68,69 % 95,450 % 99,994 % Punkt przegięci krzywej znjduje się w odległości 1 od średniej

26 NIEPEWNOŚĆ ROZSZERZONA przypomnienie N potrzeby wnioskowni o zgodności wyniku pomiru z innymi rezulttmi Międzynrodow Norm wprowdz pojęcie NIEPEWNOŚCI ROZSZERZONEJ U() i WSPÓŁCZYNNIKA ROZSZERZENIA k. NIEPEWNOŚĆ ROZSZERZONA wynosi U() = k u() i określ przedził ± U() otczjący wynik pomiru, w którym zwier się duż, z góry określon część wyników, jkie możn przypisć wielkości mierzonej. Typowe wrtości współczynnik rozszerzeni k mieszczą się w przedzile między 3.

27 Szcownie prmetrów metodą przedziłową Ogólny schemt postępowni w procedurze szcowni prmetrów metodą przedziłową możn ująć w nstępujących punktch: 1) z populcji generlnej losown jest prób sttystyczn, ) n podstwie wyników uzysknych z próby ustln jest wrtość estymtor odpowiedniego dl szcownego prmetru estymownego, 3) zkłdny jest poziom ufności uwzględnijący wynikjące z tego fktu konsekwencje w postci określonej precyzji szcowni prmetru estymownego, 4) z tblic sttystycznych odpowiedniego rozkłdu odczytywn jest włściw dl przyjętego poziomu ufności wrtość sttystyki teoretycznej, 5) uzyskne dl próby wrtości odpowiednich prmetrów orz odczytn z tblic wielkość sttystyki teoretycznej wstwine są do odpowiedniej formuły szcowni przedziłu ufności dl określonego prmetru estymownego; przedził ten zostje określony poprzez wyznczenie jego dolnej i górnej grnicy.

28 Rozkłd Student (rozkłd t lub rozkłd t-student) Rozkłd normlny nie stnowi dobrego przybliżeni rozkłdu wyników w przypdku młych prób (n < 30). Odchyleni od wrtości rzeczywistej w tkiej próbie są większe niż te przewidywne rozkłdem normlnym. Dobry rozkłd wyników pomirów opisuje tzw. funkcj rozkłdu t-student. Przy oprcowniu wyników pomirów często powstje zgdnienie oszcowni przedziłu, w którym leży, z określonym prwdopodobieństwem, rzeczywist wrtość mierzon, jeśli dysponujemy tylko wynikmi n pomirów, dl których możemy wyznczyć tkie prmetry, jk średni i odchylenie stndrdowe lub wrincj ( z próby ), nie znmy ntomist odchyleni stndrdowego w populcji. Zgdnienie to rozwiązł (w 1908 r.) W. S. Gosset (pseudonim Student) podjąc funkcję zleżną od wyników pomirów i, niezleżną od.

29 Rozkłd Student (rozkłd t lub rozkłd t-student) Źródło: Wikipedi

30 Model dl młej próby Mł prób - przyjmuje się trktowć próbę o liczebności n < 30. Estymtorem dl oszcowni wrtości średniej w populcji generlnej jest średni z próby Przyjmuje się złożenie, że rozkłd bdnej zmiennej w populcji generlnej m chrkter rozkłdu normlnego. Z populcji tej losown jest prób i n podstwie uzysknych z niej dnych wyznczn jest wrtość średni i odchylenie stndrdowe. Z góry zkłdny jest poziom ufności. Przedził ufności dl wrtości średniej w populcji generlnej szcowny jest według wzoru: - t t s E n -1 t t s n -1 Występując w powyższym wzorze wielkość t t jest wrtością sttystyki odczytywną z tblic rozkłdu t-student dl v = n 1 orz 1. Uzyskny przedził z prwdopodobieństwem równym poziomowi ufności pokryw nieznną wrtość średnią w populcji generlnej. Wrto zwrócić uwgę, iż otrzymny przedził jest symetryczny względem średniej z próby.

31 Model dl młej próby Przedził ufności dl wrtości średniej w populcji generlnej szcowny jest też według wzoru: -t s v, s E tv, gdzie współczynnik t v, - wrtości krytyczne rozkłdu t-student (tblice, rkusz klk.). UWAGA: Błędn byłby interpretcj, że szcown średni znjduje się w uzysknym przedzile z prwdopodobieństwem równym, poniewż to przedził jest zmienny, nie szcown wrtość średni (on jest wielkością stłą). Uwg t dotyczy estymcji wszelkich prmetrów szcownych metodą przedziłową.

32 Rys. Porównnie rozkłdu t-student z rozkłdem Guss. (W nwisch v liczb stopni swobody.) Rys. zczerpnięto z: P. Bilski, M. Dobies, A. Kozk, M. Mkrock-Rydzyk, Mteriły do ćwiczeń ze wstępu do prcowni fizycznej. Normy ISO i mtemtyk w lbortorium. Wyd. Nukowe UAM; 014.

33 Rys. Przedziły ufności dl różnych wrtości rozkłdu t-student Rys. znleziony w sieci.

34 v 1 0,8 0,6 0,4 0, 0,1 0,05 0,0 0,01 0, ,35 0,77 1,376 3,078 6,314 1,706 31,81 63, ,578 0,89 0,617 1,061 1,886,9 4,303 6,965 9,95 31,6 3 0,77 0,584 0,978 1,638,353 3,18 4,541 5,841 1,94 4 0,71 0,569 0,941 1,533,13,776 3,747 4,604 8,61 5 0,67 0,559 0,9 1,476,015,571 3,365 4,03 6, ,65 0,553 0,906 1,44 1,943,447 3,143 3,707 5, ,63 0,549 0,896 1,415 1,895,365,998 3,499 5, ,6 0,546 0,889 1,397 1,86,306,896 3,355 5, ,61 0,543 0,883 1,383 1,833,6,81 3,5 4, ,6 0,54 0,879 1,37 1,81,8,764 3,169 4, ,58 0,536 0,866 1,341 1,753,131,60,947 4, ,57 0,533 0,86 1,35 1,75,086,58,845 3,85 5 0,56 0,531 0,856 1,316 1,708,06,485,787 3, ,56 0,53 0,854 1,31 1,697,04,457,75 3, ,55 0,59 0,85 1,306 1,69,03,438,74 3, ,55 0,59 0,851 1,303 1,684,01,43,704 3,551 Tblic. Współczynniki rozkłdu t-student

35 Znjąc estymtory punktowe rozkłdu wrtości średniej, otrzymne z próby o młej liczebności (tj. E i s ) orz korzystjąc z wrtości krytycznych rozkłdu t-student Przedził ten określ się nstępująco P { -tv, s E tv, s} 1- gdzie -t s v, s E tv, przedził objęci (przedził ufności) 1 - prwdopodobieństwo objęci (poziom (współczynnik) ufności) - poziom istotności Zgodnie z zlecenimi norm ISO estymcję przedziłow wykonuje się n poziomie ufności 1 - = 0,9545, czyli dl poziomu istotności = 0,0455, dl którego wsp. t, 0,0455 = (obszr ).

36 Przykłd N wdze lbortoryjnej zwżono 9 rzy msę metlowego wlc. Wyniki pomirów msy wlc zpisne są w tbeli Lp m, g 54,9 54, 54,6 54,7 54, 54,7 54,4 54,6 54, m 54,5 g, s m 0,598 g, s 0,0866 g m Wykonć estymcję przedziłową dl wrtości średniej ms wlców, przyjmując nstępujący przedził ufności: 1 - = 0,8. Rozwiąznie Z tblicy zwierjącej wrtości krytyczne współczynników rozkłdu t-student odczytujemy współczynniki t v, dl liczby stopni swobody v = n 1 = 9 1 = 8 orz poziomu ufności 1 - = 0,8 czyli poziomu istotności = 0, który wynosi t 8; 0, = 1,397.

37 Aby określić przedził ufności dl wrtości średniej msy wlc, nleży znleźć wrtości grniczne tego przedziłu, które n podstwie wzoru P możn zpisć jko { { -tv, s E tv, s} 1- m t 8;0, m Obliczmy wrtość liczbową Wrtość oczekiwn średniej msy wlc E m zwier się z prwdopodobieństwem 1 - = 0,8 w przedzile s. t8 ;0, sm} 1,3970,0866 0,1098 0,1 Znjdujemy grnice przedziłu ufności dolną { m -t ; 0, sm} 54,50-1,397 0, ,379 i górną m t s } 54,50 1,397 0, ,61 8 { 8; 0, m Możemy to zwięźle zpisć 54,38 g E m 54,6 g m 54,6 g} 0,8 P{ 54,38 g E 54,38 54,6

38 Przedziłowe kryterium zgodności wyników pomirów Budujemy przedził domknięty dl wyniku eksperymentlnego w postci -U( ); U( ) Budujemy przedził domknięty dl wrtości tblicowej w postci T T -U( T ); T U( T ) Sprwdzmy, czy istnieje część wspóln obu przedziłów. Jeżeli istnieje to wyniki są zgodne, wówczs spełnion jest nstępując nierówność - T U( ) U( T ) T relcj to: kryterium zgodności wyników pomirów Uwg: zdrz się, że t nierówność jest spełnion dl niepewności stndrdowych. Wówczs nie m potrzeby sprwdzć dl niepewności stndrdowej rozszerzonej.

39 Przegląd - podsumownie Model losowy Przewodnik wprowdz dw podstwowe prmetry niepewności. Są to: niepewność stndrdow (stndrd uncertinty) - zdefiniown przez niepewność wyniku pomiru wyrżoną jko odchylenie stndrdowe"; niepewność rozszerzon (epnded uncertinty) - zdefiniown przez wielkość określjącą przedził wokół wyniku pomiru, tki że możn oczekiwć, iż obejmie on dużą część wrtości, które w uzsdniony sposób możn przyporządkowć wielkości mierzonej.".3.1 stndrd uncertinty - uncertinty of the result of mesurement epressed s stndrd devition.3.5 epnded uncertinty - quntity defining n intervl bout the result of mesurement tht my be epected to encompss lrge frction of 39 the distribution of vlues tht could resonbly be ttributed to the mesurnd

40 Przegląd - podsumownie Model losowy Istotnym problemem przy szcowniu niepewności pomirów w modelu losowym jest łączenie skłdników niepewności. Proces ten przebieg w nstępujących etpch: oszcownie niepewności stndrdowej typu A (rozkłd gussowski), przy wykorzystniu odchyleni stndrdowego próbki nie mniejszej niż 10 pomirów; oszcownie skłdowej niepewności stndrdowej typu B (rozkłd niegussowski); połączenie niepewności typu A i B, by dć niepewność rozszerzoną przy określonym poziomie ufności: U k s m 3 40

41 Przegląd - podsumownie Model losowy Niepewność rozszerzoną oblicz się przez pomnożenie pierwistk sumy kwdrtów niepewności typu A * (rozkłd gussowski) i typu B ** (nie-gussowski) przez współczynnik rozszerzeni k, określonego dl konkretnego poziomu ufności. * Przewodnik, 4. ** Przewodnik, 4.3 wsp. k (zleżny od liczby pomirów orz poziomu ufności ) 41

42 Przegląd - podsumownie Model losowy W prktyce lbortoryjnej będziemy stosowć nstępujące zleżności: -odchylenie stndrdowe poszczególnego wyniku pomiru (Przewodnik, 4..): n 1 S S - - i i i n 1 i1 - odchylenie stndrdowe średniej rytmetycznej (Przewodnik, 4..3): S n 1 S i - n n-1 S i1 S i n 4

43 Przegląd - podsumownie Model losowy Tk więc, dl skończonej serii pomirów mmy: ˆ n, t S gdzie: 1 n i n i 1 n 1 S i - n n-1 i1 43

44 Przegląd podsumownie Szcownie błędów i niepewności pomirów pośrednich Kompletny wynik pomiru skłd się z: - estymty wrtości wielkości mierzonej, - miry niedokłdności, - mnożnik (jeżeli jest potrzebny), - jednostki wielkości mierzonej. 44

45 Zpisnie kompletnego wyniku pomiru Nleży stosowć się do nstępujących zsd: - estymt wrtości i jej grniczny błąd bezwzględny wyrż się w tym smym formcie, przyjmując dl błędu (niepewności) jedną lub dwie cyfry znczące; - przyjmujemy dwie cyfry znczące niepewności w przypdku gdy jej zokrąglenie do jednej cyfry znczącej spowodowłoby wzrost wrtości tej niepewności o więcej niż 10 %; - grniczny błąd bezwzględny zokrąglmy zwsze w górę ; - wynik pomiru zokrąglmy w sposób klsyczny ; - Osttni cyfr zncząc w kżdym wyniku powinn być tego smego rzędu (stć n tym smym miejscu dziesiętnym) co błąd. 45

46 Przykłd: Zpisnie kompletnego wyniku pomiru R = (135,57489 ± 0,046963) - źle!!! R = (135,57 ± 0,05) - dobrze!!! m = (1, ± 0, ) kg - źle!!! m = (1,590 ± 0,014) kg - dobrze!!! d = (0, ± 0, ) m źle!!! d = (3,769 ± 0,01)10-3 m dobrze!!! 46

47 PRZYKŁAD ZALECANEGO SPOSOBU ZAPISU NIEPEWNOŚCI NIEPEWNOŚĆ STANDARDOWA g = 9,781 m/s u(g) = 0,076 m/s g = 9,781(76) m/s NIEPEWNOŚĆ ROSZERZONA g = 9,78 m/s U(g) = 0,15 m/s g = (9,78 ± 0,15) m/s

48 Przegląd podsumownie Pomiry w Prcowni Fizycznej Kżdy pomir w lbortorium jest obrczony niepewnością pomirową, którą eksperymenttor musi określić zgodnie z pewnymi zsdmi. W pierwszej kolejności nleży przenlizowć źródł błędów, pmiętjąc, by wyeliminowć wyniki obrczone błędem grubym. W lbortorium studenckim błędy systemtyczne z reguły przewyższją błędy przypdkowe. Wielokrotne powtrznie pomirów, gdy dominuje błąd systemtyczny, nie m sensu. W tkim przypdku dokonujemy tylko 3-5 pomirów w tych smych wrunkch w celu sprwdzeni powtrzlności.

49 Powtórzeni Niepewność stndrdow pomiru Niepewność stndrdow u niepewność wyrżon w formie odchyleni stndrdowego. Niepewność stndrdow złożon u c niepewność stndrdow wyniku pomiru, gdy wynik ten jest otrzymny z wrtości pewnej liczby innych wielkości (w pomirze pośrednim). Niepewność rozszerzon U to wielkość powiązn z pewnym poziomem ufności U = k u

50 OCENA NIEPEWNOŚCI TYPU A W POMIARACH BEZPOŚREDNICH 1. Wykonujemy serię (skończoną) pomirów. Wielkością njbrdziej prwdopodobną jest średni rytmetyczn : n i 1 n i 3. Niepewność stndrdow pojedynczego pomiru u() (tzw. odchylenie stndrdowe pojedynczego pomiru S ) u( ) S 1 n -1 n - i i1

51 Eksperymenttor brdziej interesuje niepewność wyniku czyli wrtości średniej Niepewność stndrdow średniej: u S S n n i1 n i n - -1

52 OCENA NIEPEWNOŚCI METODĄ TYPU B Njczęstszym przykłdem oceny niepewności metodą typu B jest wyznczenie niepewności wynikjącej z dokłdności przyrządu (niepewności wzorcowni). Przyrząd pomirowy powinien gwrntowć tką dokłdność by wynik pomiru różnił się od wrtości rzeczywistej nie więcej niż o dziłkę elementrną - p. Wiemy, że odchylenie wyniku pomiru od wrtości rzeczywistej nie wykrcz poz przedził ± p tzn. wrtość rzeczywist zwier się n pewno w przedzile ( - p, + p ). W njprostszym przypdku możemy przyjąć, że prwdopodobieństwo uzyskni dowolnej wrtości z tego przedziłu jest tkie smo tzn. opisuje je rozkłd równomierny (jednorodny). Jeżeli skorzystmy ze wzoru n dyspersję rozkłdu równomiernego to otrzymmy nstępujące wyrżenie n niepewność stndrdową: u( ) Δp 3

53 OCENA NIEPEWNOŚCI METODĄ TYPU B NIEPEWNOŚĆ CAŁKOWITA Przyczynkmi niepewności pomirów są niepewność wzorcowni d, niepewność eksperymenttor e orz niepewności wyników zczerpniętych z litertury, tblic mtemtycznych lub klkultor t. Wówczs niepewność stndrdow powinn być obliczon ze wzoru u( ) ( d) 3 ( e) 3 ( t ) 3

54 NIEPEWNOŚĆ STANDARDOWA POMIARÓW POŚREDNICH k i i i c u f y u 1 ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ) ( k i k i j j i j i j i k i i i c r u u f f u f y u Niepewność stndrdową dl pomirów pośrednich nieskorelownych oblicz się ze wzoru: Ntomist w celu wyznczeni niepewność stndrdowej dl pomirów pośrednich skorelownych nleży uwzględnić korelcje zchodzące pomiędzy wielkościmi mierzonymi bezpośrednio:

55 NIEPEWNOŚĆ CAŁKOWITA W przypdku gdy występują obydw typy niepewności równocześnie wyznczmy STANDARDOWĄ NIEPEWNOŚĆ CAŁKOWITĄ (złożoną) wykorzystując prwo propgcji niepewności. u u ( ) u ( c ( ) A B ) gdzie: u c () niepewność cłkowit, u A () niepewność obliczon z rozrzutu sttystycznego serii wyników pomirów, u B () niepewność obliczon inną drogą niż z rozrzutu wyników. Prwo propgcji niepewności w powyższej formie wynik z prw propgcji wrincji. Pondto powyższy wzór zkłd, że czynniki odpowiedzilne z ob typy niepewności są od siebie niezleżne.

56 NIEPEWNOŚĆ CAŁKOWITA Jeśli obydw typy niepewności, A i B, występują równocześnie, to nleży posłużyć się nstępującym wzorem n niepewność stndrdową (cłkowitą): 3 ) ( 3 ) ( 3 ) ( ) ( 1) ( 1 ) ( ) ( ) ( t e d 1 B A n n u u u n i i - -

57 NIEPEWNOŚĆ ROZSZERZONA N potrzeby wnioskowni o zgodności wyniku pomiru z innymi rezulttmi Międzynrodow Norm wprowdz pojęcie NIEPEWNOŚCI ROZSZERZONEJ i WSPÓŁCZYNNIKA ROZSZERZENIA k. NIEPEWNOŚĆ ROZSZERZONA wynosi U() = k u() U() i określ przedził ± U() otczjący wynik pomiru, w którym zwier się duż, z góry określon część wyników, jkie możn przypisć wielkości mierzonej. Typowe wrtości współczynnik rozszerzeni k mieszczą się w przedzile między 3.

58 Bibliogrfi podstwow i uzupełnijąc wybrn 1. Guide to the Epression of Uncertinty in Mesurement, ISO, Switzerlnd The NIST Reference on Constnts, Units, nd Uncertinty, Wyrżnie niepewności pomiru: Przewodnik, Główny Urząd Mir, Wrszw A. Zięb, Anliz dnych w nukch ścisłych i technicznych. PWN, Wrszw, P. Bilski, M. Dobies, A. Kozk, M. Mkrock-Rydzyk, Mteriły do ćwiczeń ze wstępu do prcowni fizycznej. Normy ISO i mtemtyk w lbortorium. Wyd. Nukowe UAM; H.Szydłowski, Niepewności w pomirch. Międzynrodowe stndrdy w prktyce. Wydwnictwo Nukowe UAM, Poznń R. Jniczek, Metody oceny niepewności pomirów. Wyd. Prc. Komputerowej Jck Sklmierskiego. Ktowice-Gliwice E.Dębowsk, MĘDZYNARODOWE NORMY OCENY NIEPEWNOŚCI POMIARÓW. IFD UWr., Wrocłw 003 (plik). 7. H. Szydłowski (red), Teori pomirów. PWN, Wrszw H. Szydłowski, Prcowni fizyczn. PWN, Wrszw J.R.Tylor, Wstęp do nlizy błędu pomirowego. PWN, Wrsz G. L.Squires, Prktyczn fizyk, Wydwnictwo Nukowe PWN, Wrszw, J.L. Kcperski, Oprcownie dnych pomirowych, Wyd. UŁ, Łódź Elektroniczny Podręcznik Sttystyki PL, Krków, SttSoft (006). WEB:

59 Odnośniki do stron www Andrzej Zięb: Rozdz. 1. Oprcownie dnych pomirowych: Rozdz. 1. Oprcownie dnych pomirowych; Rozdz.. Pomir: liczby i obliczeni liczbowe R.Jniczek, Metody oceny niepewności pomirów. Wyd. Prc. komputerowej Jck Sklmierskiego, Ktowice-Gliwice 008 Rys. 6. Ogólne zleceni określeni wrtości współczynnik rozszerzeni k

Fizyka. Kurs przygotowawczy. na studia inżynierskie. mgr Kamila Haule

Fizyka. Kurs przygotowawczy. na studia inżynierskie. mgr Kamila Haule Fizyk Kurs przygotowwczy n studi inżynierskie mgr Kmil Hule Dzień 3 Lbortorium Pomir dlczego mierzymy? Pomir jest nieodłączną częścią nuki. Stopień znjomości rzeczy często wiąże się ze sposobem ich pomiru.

Bardziej szczegółowo

Realizacje zmiennych są niezależne, co sprawia, że ciąg jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych,

Realizacje zmiennych są niezależne, co sprawia, że ciąg jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych, Klsyczn Metod Njmniejszych Kwdrtów (KMNK) Postć ć modelu jest liniow względem prmetrów (lbo nleży dokonć doprowdzeni postci modelu do liniowości względem prmetrów), Zmienne objśnijące są wielkościmi nielosowymi,

Bardziej szczegółowo

Niepewność rozszerzona Procedury szacowania niepewności pomiaru. Tadeusz M.Molenda Instytut Fizyki, Uniwersytet Szczeciński

Niepewność rozszerzona Procedury szacowania niepewności pomiaru. Tadeusz M.Molenda Instytut Fizyki, Uniwersytet Szczeciński Niepewność rozszerzona Procedury szacowania niepewności pomiaru Tadeusz M.Molenda Instytut Fizyki, Uniwersytet Szczeciński Międzynarodowa Konwencja Oceny Niepewności Pomiaru (Guide to Expression of Uncertainty

Bardziej szczegółowo

< f g = fg. f = e t f = e t. U nas: e t (α 1)t α 2 dt = 0 + (α 1)Γ(α 1)

< f g = fg. f = e t f = e t. U nas: e t (α 1)t α 2 dt = 0 + (α 1)Γ(α 1) Zdnie X,..., X 5 N(6, 5 ) Y,..., Y 6 N(7, 5 ) X N(6, 5 6 ) Ȳ N(7, 5 6 ) Przy złożeniu niezleżności zmiennych mmy: X Ȳ N(, ) po stndryzcji otrzymmy: Ȳ X N(, ) Pr(Ȳ X < ) = Pr(Ȳ X < ) = φ(, 3) = φ(, 3) =,

Bardziej szczegółowo

Zastosowanie multimetrów cyfrowych do pomiaru podstawowych wielkości elektrycznych

Zastosowanie multimetrów cyfrowych do pomiaru podstawowych wielkości elektrycznych Zstosownie multimetrów cyfrowych do pomiru podstwowych wielkości elektrycznych Cel ćwiczeni Celem ćwiczeni jest zpoznnie się z możliwościmi pomirowymi współczesnych multimetrów cyfrowych orz sposobmi wykorzystni

Bardziej szczegółowo

N(0, 1) ) = φ( 0, 3) = 1 φ(0, 3) = 1 0, 6179 = 0, 3821 < t α 1 e t dt α > 0. f g = fg. f = e t f = e t. U nas: g = t α 1 g = (α 1)t α 2

N(0, 1) ) = φ( 0, 3) = 1 φ(0, 3) = 1 0, 6179 = 0, 3821 < t α 1 e t dt α > 0. f g = fg. f = e t f = e t. U nas: g = t α 1 g = (α 1)t α 2 Zdnie X,..., X 5 N(6, 5 ) Y,..., Y 6 N(7, 5 ) X N(6, 5 6 ) Ȳ N(7, 5 6 ) Przy złożeniu niezleżności zmiennych mmy: X Ȳ N(, ) po stndryzcji otrzymmy: Ȳ X N(, ) Pr(Ȳ X < ) = Pr(Ȳ X < ) = φ(, 3) = φ(, 3) =,

Bardziej szczegółowo

POMIAR, JEGO OPRACOWANIE I INTERPRETACJA

POMIAR, JEGO OPRACOWANIE I INTERPRETACJA POMIAR, JEGO OPRACOWANIE I INTERPRETACJA N wynik kżdego pomiru wpływ duż ilość czynników. Większość z nich jest nieidentyfikowln, sił ich oddziływni zmieni się w sposób przypdkowy. Z tego względu, chociż

Bardziej szczegółowo

Wykład 2. Granice, ciągłość, pochodna funkcji i jej interpretacja geometryczna

Wykład 2. Granice, ciągłość, pochodna funkcji i jej interpretacja geometryczna 1 Wykłd Grnice, ciągłość, pocodn unkcji i jej interpretcj geometryczn.1 Grnic unkcji. Grnic lewostronn i grnic prwostronn unkcji Deinicj.1 Mówimy, że liczb g jest grnicą lewostronną unkcji w punkcie =,

Bardziej szczegółowo

Wykład 2. Pojęcie całki niewłaściwej do rachunku prawdopodobieństwa

Wykład 2. Pojęcie całki niewłaściwej do rachunku prawdopodobieństwa Wykłd 2. Pojęcie cłki niewłściwej do rchunku prwdopodobieństw dr Mriusz Grządziel 4 mrc 24 Pole trpezu krzywoliniowego Przypomnienie: figurę ogrniczoną przez: wykres funkcji y = f(x), gdzie f jest funkcją

Bardziej szczegółowo

Zadania. I. Podzielność liczb całkowitych

Zadania. I. Podzielność liczb całkowitych Zdni I. Podzielność liczb cłkowitych. Pewn liczb sześciocyfrow kończy się cyfrą 5. Jeśli tę cyfrę przestwimy n miejsce pierwsze ze strony lewej to otrzymmy nową liczbę cztery rzy większą od poprzedniej.

Bardziej szczegółowo

Modelowanie i obliczenia techniczne. Metody numeryczne w modelowaniu: Różniczkowanie i całkowanie numeryczne

Modelowanie i obliczenia techniczne. Metody numeryczne w modelowaniu: Różniczkowanie i całkowanie numeryczne Modelownie i obliczeni techniczne Metody numeryczne w modelowniu: Różniczkownie i cłkownie numeryczne Pochodn unkcji Pochodn unkcji w punkcie jest deiniown jko grnic ilorzu różnicowego (jeżeli istnieje):

Bardziej szczegółowo

CAŁKOWANIE NUMERYCZNE

CAŁKOWANIE NUMERYCZNE Wprowdzenie Kwdrtury węzły równoodległe Kwdrtury Guss Wzory sumcyjne Trnsport, studi niestcjonrne I stopni, semestr I rok kdemicki 01/013 Instytut L-5, Wydził Inżynierii Lądowej, Politechnik Krkowsk Ew

Bardziej szczegółowo

1 Definicja całki oznaczonej

1 Definicja całki oznaczonej Definicj cłki oznczonej Niech dn będzie funkcj y = g(x) ciągł w przedzile [, b]. Przedził [, b] podzielimy n n podprzedziłów punktmi = x < x < x

Bardziej szczegółowo

Kodowanie liczb. Kodowanie stałopozycyjne liczb całkowitych. Niech liczba całkowita a ma w systemie dwójkowym postać: Kod prosty

Kodowanie liczb. Kodowanie stałopozycyjne liczb całkowitych. Niech liczba całkowita a ma w systemie dwójkowym postać: Kod prosty Kodownie licz Kodownie stłopozycyjne licz cłkowitych Niech licz cłkowit m w systemie dwójkowym postć: nn 0 Wtedy może yć on przedstwion w postci ( n+)-itowej przy pomocy trzech niżej zdefiniownych kodów

Bardziej szczegółowo

usuwa niewymierność z mianownika wyrażenia typu

usuwa niewymierność z mianownika wyrażenia typu Wymgni edukcyjne n poszczególne oceny z mtemtyki Kls pierwsz zkres podstwowy. LICZBY RZECZYWISTE podje przykłdy liczb: nturlnych, cłkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych orz przyporządkowuje

Bardziej szczegółowo

Całkowanie metodą Monte Carlo

Całkowanie metodą Monte Carlo Cłkownie metodą Monte Crlo Pln wykłdu:. Podstwow metod Monte Crlo. Metody MC o zwiększonej efektywności ) losowni wżonego b) zmiennej kontrolnej c) losowni wrstwowego d) obniżni krotności cłki Przypomnienie

Bardziej szczegółowo

CAŁKOWANIE NUMERYCZNE

CAŁKOWANIE NUMERYCZNE Wprowdzenie Kwdrtury węzły równoodległe Kwdrtury Guss Wzory sumcyjne Trnsport, studi niestcjonrne I stopni, semestr I Instytut L-5, Wydził Inżynierii Lądowej, Politechnik Krkowsk Ew Pbisek Adm Wostko Wprowdzenie

Bardziej szczegółowo

Notatki z Analizy Matematycznej 4. Jacek M. Jędrzejewski

Notatki z Analizy Matematycznej 4. Jacek M. Jędrzejewski Nottki z Anlizy Mtemtycznej 4 Jcek M. Jędrzejewski ROZDZIAŁ 7 Cłk Riemnn 1. Cłk nieoznczon Definicj 7.1. Niech f : (, b) R będzie dowolną funkcją. Jeżeli dl pewnej funkcji F : (, b) R spełnion jest równość

Bardziej szczegółowo

Całkowanie metodą Monte Carlo

Całkowanie metodą Monte Carlo Cłkownie metodą Monte Crlo Pln wykłdu: 1. Podstwow metod Monte Crlo 2. Metody MC o zwiększonej efektywności ) losowni wżonego b) zmiennej kontrolnej c) losowni wrstwowego d) obniżni krotności cłki Przypomnienie

Bardziej szczegółowo

2. Tensometria mechaniczna

2. Tensometria mechaniczna . Tensometri mechniczn Wstęp Tensometr jk wskzywłby jego nzw to urządzenie służące do pomiru nprężeń. Jk jednk widomo, nprężeni nie są wielkościmi mierzlnymi i stnowią jedynie brdzo wygodne pojęcie mechniki

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK CAŁKOWY. Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I R, jeżeli. F (x) = f (x), dla każdego x I.

RACHUNEK CAŁKOWY. Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I R, jeżeli. F (x) = f (x), dla każdego x I. RACHUNEK CAŁKOWY Funkcj F jest funkcją pierwotną funkcji f n przedzile I R, jeżeli F (x) = f (x), dl kżdego x I. Przykłd. Niech f (x) = 2x dl x (, ). Wtedy funkcje F (x) = x 2 + 5, F (x) = x 2 + 5, F (x)

Bardziej szczegółowo

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LIX Egzamin dla Aktuariuszy z 12 marca 2012 r. Część I Matematyka finansowa

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LIX Egzamin dla Aktuariuszy z 12 marca 2012 r. Część I Matematyka finansowa Mtemtyk finnsow 12.03.2012 r. Komisj Egzmincyjn dl Akturiuszy LIX Egzmin dl Akturiuszy z 12 mrc 2012 r. Część I Mtemtyk finnsow WERSJA TESTU A Imię i nzwisko osoby egzminownej:... Czs egzminu: 100 minut

Bardziej szczegółowo

WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ

WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ Ćwiczenie 9 WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ 9.. Opis teoretyczny Soczewką seryczną nzywmy przezroczystą bryłę ogrniczoną dwom powierzchnimi serycznymi o promienich R i

Bardziej szczegółowo

Grażyna Nowicka, Waldemar Nowicki BADANIE RÓWNOWAG KWASOWO-ZASADOWYCH W ROZTWORACH ELEKTROLITÓW AMFOTERYCZNYCH

Grażyna Nowicka, Waldemar Nowicki BADANIE RÓWNOWAG KWASOWO-ZASADOWYCH W ROZTWORACH ELEKTROLITÓW AMFOTERYCZNYCH Ćwiczenie Grżyn Nowick, Wldemr Nowicki BDNIE RÓWNOWG WSOWO-ZSDOWYC W ROZTWORC ELETROLITÓW MFOTERYCZNYC Zgdnieni: ktywność i współczynnik ktywności skłdnik roztworu. ktywność jonów i ktywność elektrolitu.

Bardziej szczegółowo

Matematyka stosowana i metody numeryczne

Matematyka stosowana i metody numeryczne Ew Pbisek Adm Wostko Piotr Pluciński Mtemtyk stosown i metody numeryczne Konspekt z wykłdu 0 Cłkownie numeryczne Wzory cłkowni numerycznego pozwlją n obliczenie przybliżonej wrtości cłki: I(f) = f(x) dx

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna.

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna. Rchunek rwdoodobieństw i sttystyk mtemtyczn. Zd 8. {(, : i } Zleżność tą możn rzedstwić w ostci nstęującej interretcji grficznej: Arkdiusz Kwosk Rfł Kukliński Informtyk sem.4 gr. Srwdźmy, czy odne zmienne

Bardziej szczegółowo

Równania i nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą

Równania i nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą 50 REPETYTORIUM 31 Równni i nierówności kwdrtowe z jedną niewidomą Równnie wielominowe to równość dwóch wyrżeń lgebricznych Kżd liczb, któr po podstwieniu w miejscu niewidomej w równniu o jednej niewidomej

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA NA OCENĘ DOPUSZCZAJĄCĄ DLA UCZNIÓW KLASY Ia TECHNIKUM

WYMAGANIA NA OCENĘ DOPUSZCZAJĄCĄ DLA UCZNIÓW KLASY Ia TECHNIKUM WYMAGANIA NA OCENĘ DOPUSZCZAJĄCĄ DLA UCZNIÓW KLASY I TECHNIKUM Egzmin poprwkowy n ocenę dopuszczjącą będzie obejmowł zdni zgodne z poniższymi wymgnimi n ocenę dopuszczjącą. Egzmin poprwkowy n wyższą ocenę

Bardziej szczegółowo

Całki niewłaściwe. Rozdział Wprowadzenie Całki niewłaściwe I rodzaju

Całki niewłaściwe. Rozdział Wprowadzenie Całki niewłaściwe I rodzaju Rozdził 3 Cłki niewłściwe 3. Wprowdzenie Omwine w poprzednim rozdzile cłki oznczone są cłkmi funkcji ciągłych n przedzile domkniętym, więc funkcji ogrniczonych n przedzile skończonym. Wiele zgdnień prktycznych

Bardziej szczegółowo

Wektor kolumnowy m wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze n=1 Wektor wierszowy n wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze m=1

Wektor kolumnowy m wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze n=1 Wektor wierszowy n wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze m=1 Rchunek mcierzowy Mcierzą A nzywmy funkcję 2-zmiennych, któr prze liczb nturlnych (i,j) gdzie i = 1,2,3,4.,m; j = 1,2,3,4,n przyporządkowuje dokłdnie jeden element ij. 11 21 A = m1 12 22 m2 1n 2n mn Wymirem

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2 zakres podstawowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2 zakres podstawowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Wymgni edukcyjne mtemtyk kls 2 zkres podstwowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych

Bardziej szczegółowo

VI. Rachunek całkowy. 1. Całka nieoznaczona

VI. Rachunek całkowy. 1. Całka nieoznaczona VI. Rchunek cłkowy. Cłk nieoznczon Niech F : I R i f : I R będą funkcjmi określonymi n pewnym przedzile I R. Definicj. Funkcję F nzywmy funkcją pierwotną funkcji f n przedzile I, gdy F (x) = f(x) dl x

Bardziej szczegółowo

2. FUNKCJE WYMIERNE Poziom (K) lub (P)

2. FUNKCJE WYMIERNE Poziom (K) lub (P) Kls drug poziom podstwowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych redukuje wyrzy

Bardziej szczegółowo

3. F jest lewostronnie ciągła

3. F jest lewostronnie ciągła Def. Zmienną losową nzywmy funkcję X: tką, że x R : { : X( ) < x }. Ozn.: zmist pisd A = { : X( ) < x } piszemy A = { X < x } zdrzenie poleg n tym, że X( )

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka 3 inf. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony. Dorota Ponczek, Karolina Wej

MATeMAtyka 3 inf. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony. Dorota Ponczek, Karolina Wej Dorot Ponczek, Krolin Wej MATeMAtyk 3 inf Przedmiotowy system ocenini wrz z określeniem wymgń edukcyjnych Zkres podstwowy i rozszerzony Wyróżnione zostły nstępujące wymgni progrmowe: konieczne (K), podstwowe

Bardziej szczegółowo

Wyrównanie sieci niwelacyjnej

Wyrównanie sieci niwelacyjnej 1. Wstęp Co to jest sieć niwelcyjn Po co ją się wyrównje Co chcemy osiągnąć 2. Metod pośrednicząc Wyrównnie sieci niwelcyjnej Metod pośrednicząc i metod grpow Mmy sieć skłdjącą się z szereg pnktów. Niektóre

Bardziej szczegółowo

Materiały pomocnicze do ćwiczeń z przedmiotu: Ogrzewnictwo, wentylacja i klimatyzacja II. Klimatyzacja

Materiały pomocnicze do ćwiczeń z przedmiotu: Ogrzewnictwo, wentylacja i klimatyzacja II. Klimatyzacja Mteriły pomocnicze do ćwiczeń z przedmiotu: Orzewnictwo, wentylcj i klimtyzcj II. Klimtyzcj Rozdził 1 Podstwowe włsności powietrz jko nośnik ciepł mr inż. Anieszk Sdłowsk-Słę Mteriły pomocnicze do klimtyzcji.

Bardziej szczegółowo

Macierz. Wyznacznik macierzy. Układ równań liniowych

Macierz. Wyznacznik macierzy. Układ równań liniowych Temt wykłdu: Mcierz. Wyzncznik mcierzy. Ukłd równń liniowych Kody kolorów: żółty nowe pojęcie pomrńczowy uwg kursyw komentrz * mterił ndobowiązkowy Ann Rjfur, Mtemtyk Zgdnieni. Pojęci. Dziłni n mcierzch.

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2b, 2c, 2e zakres podstawowy rok szkolny 2015/2016. 1.Sumy algebraiczne

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2b, 2c, 2e zakres podstawowy rok szkolny 2015/2016. 1.Sumy algebraiczne Wymgni edukcyjne mtemtyk kls 2b, 2c, 2e zkres podstwowy rok szkolny 2015/2016 1.Sumy lgebriczne N ocenę dopuszczjącą: 1. rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne 2. oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych

Bardziej szczegółowo

Prace Koła Matematyków Uniwersytetu Pedagogicznego w Krakowie (2014)

Prace Koła Matematyków Uniwersytetu Pedagogicznego w Krakowie (2014) Prce Koł Mt. Uniw. Ped. w Krk. 1 014), 1-5 edgogicznego w Krkowie PKoło Mtemtyków Uniwersytetu Prce Koł Mtemtyków Uniwersytetu Pedgogicznego w Krkowie 014) Bet Gwron 1 Kwdrtury Newton Cotes Streszczenie.

Bardziej szczegółowo

Kombinowanie o nieskończoności. 4. Jak zmierzyć?

Kombinowanie o nieskończoności. 4. Jak zmierzyć? Kombinownie o nieskończoności.. Jk zmierzyć? Projekt Mtemtyk dl ciekwych świt spisł: Michł Korch 9 kwietni 08 Trochę rzeczy z wykłdu Prezentcj multimediln do wykłdu. Nieskończone sumy Będzie nm się zdrzć

Bardziej szczegółowo

4. RACHUNEK WEKTOROWY

4. RACHUNEK WEKTOROWY 4. RACHUNEK WEKTOROWY 4.1. Wektor zczepiony i wektor swoodny Uporządkowną prę punktów (A B) wyznczjącą skierowny odcinek o początku w punkcie A i końcu w punkcie B nzywmy wektorem zczepionym w punkcie

Bardziej szczegółowo

Zaokrąglanie i zapisywanie wyników obliczeń przybliżonych

Zaokrąglanie i zapisywanie wyników obliczeń przybliżonych Edwrd Musił Oddził Gdński SEP Zokrąglnie i zpisywnie wyników obliczeń przybliżonych Inżynier wykonuje nieml wyłącznie obliczeni przybliżone i powinien mieć nieustnnie n względzie dokłdność, jką chce uzyskć

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IIc ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IIc ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IIc ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY. JĘZYK MATEMATYKI oblicz wrtość bezwzględną liczby rzeczywistej stosuje interpretcję geometryczną wrtości bezwzględnej liczby

Bardziej szczegółowo

POMIAR MODUŁU SPRĘŻYSTOŚCI STALI PRZEZ POMIAR WYDŁUŻENIA DRUTU

POMIAR MODUŁU SPRĘŻYSTOŚCI STALI PRZEZ POMIAR WYDŁUŻENIA DRUTU POMIAR MODUŁU SPRĘŻYSTOŚCI STALI PRZEZ POMIAR WYDŁUŻENIA DRUTU I. Cel ćwiczeni: zpoznnie z teorią odksztłceń sprężystych cił stłych orz z prwem Hooke.Wyzncznie modułu sprężystości (modułu Young) metodą

Bardziej szczegółowo

KONKURS MATEMATYCZNY dla uczniów gimnazjów w roku szkolnym 2012/13. Propozycja punktowania rozwiązań zadań

KONKURS MATEMATYCZNY dla uczniów gimnazjów w roku szkolnym 2012/13. Propozycja punktowania rozwiązań zadań KONKURS MATEMATYCZNY dl uczniów gimnzjów w roku szkolnym 0/ II etp zwodów (rejonowy) 0 listopd 0 r. Propozycj punktowni rozwiązń zdń Uwg: Z kżde poprwne rozwiąznie inne niż przewidzine w propozycji punktowni

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 2014/2015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A2, A3, A4, A6, A7)

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 2014/2015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A2, A3, A4, A6, A7) EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 01/015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A, A, A, A6, A7) GRUDZIEŃ 01 Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętych Nr zdni 1 5 Odpowiedź

Bardziej szczegółowo

ZADANIA OTWARTE. Są więc takie same. Trzeba jeszcze pokazać, że wynoszą one 2b, gdyż taka jest długość krawędzi dwudziestościanu.

ZADANIA OTWARTE. Są więc takie same. Trzeba jeszcze pokazać, że wynoszą one 2b, gdyż taka jest długość krawędzi dwudziestościanu. ZADANIA OTWARTE ZADANIE 1 DWUDZIESTOŚCIAN FOREMNY Wiemy, że z trzech złotych prostokątów możn skonstruowć dwudziestościn foremny. Wystrczy wykzć, że długości boków trójkąt ABC n rysunku obok są równe.

Bardziej szczegółowo

Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy)

Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy) Propozycj przedmiotowego systemu ocenini wrz z określeniem wymgń edukcyjnych (zkres podstwowy) Proponujemy, by omwijąc dne zgdnienie progrmowe lub rozwiązując zdnie, nuczyciel określł do jkiego zkresu

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY BAZ DANYCH Wykład 3 2. Pojęcie Relacyjnej Bazy Danych

PODSTAWY BAZ DANYCH Wykład 3 2. Pojęcie Relacyjnej Bazy Danych PODSTAWY BAZ DANYCH Wykłd 3 2. Pojęcie Relcyjnej Bzy Dnych 2005/2006 Wykłd "Podstwy z dnych" 1 Rozkłdlno dlność schemtów w relcyjnych Przykłd. Relcj EGZ(U), U := { I, N, P, O }, gdzie I 10 10 11 N f f

Bardziej szczegółowo

Katedra Chemii Fizycznej Uniwersytetu Łódzkiego. Energia aktywacji jodowania acetonu. opracowała dr B. Nowicka, aktualizacja D.

Katedra Chemii Fizycznej Uniwersytetu Łódzkiego. Energia aktywacji jodowania acetonu. opracowała dr B. Nowicka, aktualizacja D. Ktedr Chemii Fizycznej Uniwersytetu Łódzkiego Energi ktywcji jodowni cetonu oprcowł dr B. Nowick, ktulizcj D. Wliszewski ćwiczenie nr 8 Zkres zgdnień obowiązujących do ćwiczeni 1. Cząsteczkowość i rzędowość

Bardziej szczegółowo

OBLICZANIE DŁUGOŚCI UZWOJENIA W SŁUPACH ŻELBETOWYCH

OBLICZANIE DŁUGOŚCI UZWOJENIA W SŁUPACH ŻELBETOWYCH OBLICZANIE DŁUGOŚCI UZWOJENIA W SŁUPACH ŻELBETOWYCH Ryszrd J. GRABOWSKI Wydził Budownictw i Inżynierii Środowisk, Politechnik Biłostock, ul. Wiejsk 5A, 5-35 Biłystok Streszczenie: Oprcowno sposoby obliczni

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 10.03.2014 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXVI Egzamin dla Aktuariuszy z 10 marca 2014 r. Część I

Matematyka finansowa 10.03.2014 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXVI Egzamin dla Aktuariuszy z 10 marca 2014 r. Część I Mtemtyk finnsow.03.2014 r. Komisj Egzmincyjn dl Akturiuszy LXVI Egzmin dl Akturiuszy z mrc 2014 r. Część I Mtemtyk finnsow WERSJA TESTU A Imię i nzwisko osoby egzminownej:... Czs egzminu: 0 minut 1 Mtemtyk

Bardziej szczegółowo

Temat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia

Temat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia ln wynikowy kls 2c i 2e - Jolnt jąk Mtemtyk 2. dl liceum ogólnoksztłcącego, liceum profilownego i technikum. sztłcenie ogólne w zkresie podstwowym rok szkolny 2015/2016 Wymgni edukcyjne określjące oceny:

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna (część II)

Analiza Matematyczna (część II) Anliz Mtemtyczn (część II) Krzysztof Trts Witold Bołt n podstwie wykłdów dr. Piotr Brtłomiejczyk 25 kwietni 24 roku 1 Rchunek cłkowy jednej zmiennej. 1.1 Cłk nieoznczon. Definicj 1.1.1 (funkcj pierwotn)

Bardziej szczegółowo

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć Ktlog wymgń progrmowych n poszczególne stopnie szkolne Mtemtyk. Poznć, zrozumieć Ksztłcenie w zkresie podstwowym. Kls 2 Poniżej podjemy umiejętności, jkie powinien zdobyć uczeń z kżdego dziłu, by uzyskć

Bardziej szczegółowo

METODYKA OCENY WŁAŚCIWOŚCI SYSTEMU IDENTYFIKACJI PARAMETRYCZNEJ OBIEKTU BALISTYCZNEGO

METODYKA OCENY WŁAŚCIWOŚCI SYSTEMU IDENTYFIKACJI PARAMETRYCZNEJ OBIEKTU BALISTYCZNEGO MODELOWANIE INŻYNIERSKIE ISNN 1896-771X 32, s. 151-156, Gliwice 2006 METODYKA OCENY WŁAŚCIWOŚCI SYSTEMU IDENTYFIKACJI PARAMETRYCZNEJ OBIEKTU BALISTYCZNEGO JÓZEF GACEK LESZEK BARANOWSKI Instytut Elektromechniki,

Bardziej szczegółowo

temperatura

temperatura tempertur 2.3 3.3 Rys. 9. Przestrzenny rozkłd dnych: powierzchni geosttystyczn (rozkłd tempertury powierzchni morz zrejestrowny przez stelitę jest rezulttem dziłni prw fizyki; powierzchni sttystyczn (zwierjąc

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie 42 Wyznaczanie ogniskowych soczewek

Ćwiczenie 42 Wyznaczanie ogniskowych soczewek Ćwiczenie 4 Wyzncznie ogniskowych soczewek Wstęp teoretyczny: Krzyszto Rębils. utorem ćwiczeni w Prcowni izycznej Zkłdu izyki Uniwersytetu Rolniczego w Krkowie jest Józe Zpłotny. ZJWISK ZŁMNI ŚWITŁ Świtło,

Bardziej szczegółowo

Macierz. Wyznacznik macierzy. Układ równań liniowych

Macierz. Wyznacznik macierzy. Układ równań liniowych Temt wykłdu: Mcierz. Wyzncznik mcierzy. Ukłd równń liniowych Kody kolorów: Ŝółty nowe pojęcie pomrńczowy uwg kursyw komentrz * mterił ndobowiązkowy Ann Rjfur, Mtemtyk n kierunku Biologi w SGGW Zgdnieni.

Bardziej szczegółowo

Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki oznaczone. lim δ n = 0. σ n = f(ξ i ) x i. (1)

Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki oznaczone. lim δ n = 0. σ n = f(ξ i ) x i. (1) Mciej Grzesik Instytut Mtemtyki Politechniki Poznńskiej Cłki oznczone. Definicj cłki oznczonej Niech dn będzie funkcj f ciągł w przedzile [, b]. Przedził [, b] podziey n n podprzedziłów punktmi = x < x

Bardziej szczegółowo

INSTRUKCJA. - Jak rozwiązywać zadania wysoko punktowane?

INSTRUKCJA. - Jak rozwiązywać zadania wysoko punktowane? INSTRUKCJA - Jk rozwiązywć zdni wysoko punktowne? Mturzysto! Zdni wysoko punktowne to tkie, z które możesz zdobyć 4 lub więcej punktów. Zdni z dużą ilość punktów nie zwsze są trudniejsze, często ich punktcj

Bardziej szczegółowo

Załącznik nr 3 do PSO z matematyki

Załącznik nr 3 do PSO z matematyki Złącznik nr 3 do PSO z mtemtyki Wymgni n poszczególne oceny szkolne z mtemtyki n poziomie podstwowym Chrkterystyk wymgń n poszczególne oceny: Wymgni n ocenę dopuszczjącą dotyczą zgdnień elementrnych, stnowiących

Bardziej szczegółowo

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętych orz schemt ocenini sierpień 0 Poziom Podstwowy Schemt ocenini sierpień Poziom podstwowy Klucz punktowni zdń zmkniętych Nr zdni 4 5 6 7 8 9 0 4 5 6 7 8 9 0 4 5 Odpowiedź

Bardziej szczegółowo

PRZEGLĄD FUNKCJI ELEMENTARNYCH. (powtórzenie) y=f(x)=ax+b,

PRZEGLĄD FUNKCJI ELEMENTARNYCH. (powtórzenie) y=f(x)=ax+b, WYKŁAD 0 PRZEGLĄD FUNKCJI ELEMENTARNYCH (powtórzenie) 1. Funkcje liniowe Funkcją liniową nzywmy funkcję postci y=f()=+b, gdzie, b są dnymi liczbmi zwnymi odpowiednio: - współczynnik kierunkowy, b - wyrz

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY ALGEBRY MACIERZY. Operacje na macierzach

PODSTAWY ALGEBRY MACIERZY. Operacje na macierzach PODSTWY LGEBRY MCIERZY WIERSZ i, KOLUMN (j) Mcierz m,n, gdzie m to ilość wierszy, n ilość kolumn i,j element mcierzy z itego wiersz, jtej kolumny Opercje n mcierzch Równość mcierzy m,n = B m,n. def i,j

Bardziej szczegółowo

Struktura energetyczna ciał stałych-cd. Fizyka II dla Elektroniki, lato

Struktura energetyczna ciał stałych-cd. Fizyka II dla Elektroniki, lato Struktur energetyczn cił stłych-cd Fizyk II dl Elektroniki, lto 011 1 Fizyk II dl Elektroniki, lto 011 Przybliżenie periodycznego potencjłu sieci krystlicznej model Kronig- Penney potencjł rzeczywisty

Bardziej szczegółowo

Modelowanie 3 D na podstawie fotografii amatorskich

Modelowanie 3 D na podstawie fotografii amatorskich Edwrd Nowk 1, Jonn Nowk Modelownie D n podstwie fotogrfii mtorskich 1. pecyfik fotogrmetrycznego oprcowni zdjęć mtorskich wynik z fktu, że n ogół dysponujemy smymi zdjęcimi - nierzdko są to zdjęci wykonne

Bardziej szczegółowo

WEKTORY skalary wektory W ogólnym przypadku, aby określić wektor, należy znać:

WEKTORY skalary wektory W ogólnym przypadku, aby określić wektor, należy znać: WEKTORY Wśród wielkości fizycznych występujących w fizyce możn wyróżnić sklry i wektory. Aby określić wielkość sklrną, wystrczy podć tylko jedną liczbę. Wielkościmi tkimi są ms, czs, tempertur, objętość

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W 3 LETNIM LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM

WYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W 3 LETNIM LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM WYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W 3 LETNIM LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM Kls drug A, B, C, D, E, G, H zkres podstwowy 1. FUNKCJA LINIOWA rozpoznje funkcję liniową n podstwie wzoru lub wykresu rysuje

Bardziej szczegółowo

zestaw DO ĆWICZEŃ z matematyki

zestaw DO ĆWICZEŃ z matematyki zestaw DO ĆWICZEŃ z mtemtyki poziom rozszerzony rozumownie i rgumentcj krty prcy ZESTAW I Zdnie 1. Wykż, że odcinek łączący środki dwóch dowolnych oków trójkąt jest równoległy do trzeciego oku i jest równy

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA KWADRATOWA. Moduł - dział -temat Lp. Zakres treści. z.p. z.r Funkcja kwadratowa - powtórzenie PLANIMETRIA 1

FUNKCJA KWADRATOWA. Moduł - dział -temat Lp. Zakres treści. z.p. z.r Funkcja kwadratowa - powtórzenie PLANIMETRIA 1 FUNKCJA KWADRATOWA Moduł - dził -temt Funkcj kwdrtow - powtórzenie Lp Lp z.p. z.r. 1 1 Równni kwdrtowe 2 Postć iloczynow funkcji kwdrtowej 3 Równni sprowdzlne do równń kwdrtowych Nierówności kwdrtowe 5

Bardziej szczegółowo

Klasa druga: II TK1, II TK2 Poziom podstawowy 3 godz. x 30 tyg.= 90 nr programu DKOS /07 I. Funkcja kwadratowa

Klasa druga: II TK1, II TK2 Poziom podstawowy 3 godz. x 30 tyg.= 90 nr programu DKOS /07 I. Funkcja kwadratowa Kls drug: II TK1, II TK2 Poziom podstwowy 3 godz. 30 tyg.= 0 nr progrmu DKOS-5002-7/07 I. Funkcj kwdrtow Moduł - dził - L.p. temt Wykres 1 f()= 2 2 Zkres treści Pojęcie Rysownie wykresów Związek współczynnik

Bardziej szczegółowo

Wykład 6 Dyfrakcja Fresnela i Fraunhofera

Wykład 6 Dyfrakcja Fresnela i Fraunhofera Wykłd 6 Dyfrkcj Fresnel i Frunhofer Zjwisko dyfrkcji (ugięci) świtł odkrył Grimldi (XVII w). Poleg ono n uginniu się promieni świetlnych przechodzących w pobliżu przeszkody (np. brzeg szczeliny). Wyjśnienie

Bardziej szczegółowo

Oznaczenia: K wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające

Oznaczenia: K wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające Wymgni edukcyjne z mtemtyki ls 2 b lo Zkres podstwowy Oznczeni: wymgni konieczne; wymgni podstwowe; R wymgni rozszerzjące; D wymgni dopełnijące; W wymgni wykrczjące Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY BAZ DANYCH Wykład 2 2. Pojęcie Relacyjnej Bazy Danych

PODSTAWY BAZ DANYCH Wykład 2 2. Pojęcie Relacyjnej Bazy Danych PODSTAWY BAZ DANYCH Wykłd 2 2. Pojęcie Relcyjnej Bzy Dnych 2005/2006 Wykłd "Podstwy bz dnych" 1 Pojęcie krotki - definicj Definicj. Niech dny będzie skończony zbiór U := { A 1, A 2,..., A n }, którego

Bardziej szczegółowo

Podstawy opracowania wyników pomiarów z elementami analizy niepewności pomiarowych. Wykład tutora na bazie wykładu prof. Marka Stankiewicza

Podstawy opracowania wyników pomiarów z elementami analizy niepewności pomiarowych. Wykład tutora na bazie wykładu prof. Marka Stankiewicza Podstawy opracowania wyników pomiarów z elementami analizy niepewności pomiarowych Wykład tutora na bazie wykładu prof. Marka Stankiewicza Po co zajęcia w I Pracowni Fizycznej? 1. Obserwacja zjawisk i

Bardziej szczegółowo

( ) Lista 2 / Granica i ciągłość funkcji ( z przykładowymi rozwiązaniami)

( ) Lista 2 / Granica i ciągłość funkcji ( z przykładowymi rozwiązaniami) List / Grnic i ciągłość funkcji ( z przykłdowymi rozwiąznimi) Korzystjąc z definicji grnicy (ciągowej) funkcji uzsdnić podne równości: sin ) ( + ) ; b) ; c) + 5 Obliczyć grnice funkcji przy orz : + ) f

Bardziej szczegółowo

Wyznaczanie stałych kwasowości p-nitrofenolu i glicyny metodą pehametryczną

Wyznaczanie stałych kwasowości p-nitrofenolu i glicyny metodą pehametryczną Wyzncznie stłych kwsowości p-nitrofenolu i glicyny metodą pehmetryczną 1 Wyzncznie stłych kwsowości p-nitrofenolu i glicyny metodą pehmetryczną 1. Cel ćwiczeni Celem pomirów jest ilościowe schrkteryzownie

Bardziej szczegółowo

Wykład z matematyki dla studentów Inżynierii Środowiska. Wykład 1. Literatura PRZEGLĄD FUNKCJI ELEMENTARNYCH

Wykład z matematyki dla studentów Inżynierii Środowiska. Wykład 1. Literatura PRZEGLĄD FUNKCJI ELEMENTARNYCH Wykłd z mtemtyki dl studentów Inżynierii Środowisk Wykłd. Litertur. Gewert M., Skoczyls Z.: Anliz mtemtyczn, Oficyn Wydwnicz GiS, Wrocłw, 0.. Jurlewicz T., Skoczyls Z.: Algebr liniow, Oficyn Wydwnicz GiS,

Bardziej szczegółowo

Wymagania na ocenę dopuszczającą z matematyki klasa II Matematyka - Babiański, Chańko-Nowa Era nr prog. DKOS 4015-99/02

Wymagania na ocenę dopuszczającą z matematyki klasa II Matematyka - Babiański, Chańko-Nowa Era nr prog. DKOS 4015-99/02 Wymgni n ocenę dopuszczjącą z mtemtyki kls II Mtemtyk - Bbiński, Chńko-Now Er nr prog. DKOS 4015-99/02 Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci uczni WIELOMIANY 1. Stopień i współczynniki wielominu 2. Dodwnie

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VIII w roku szkolnym 2015/2016

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VIII w roku szkolnym 2015/2016 WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VIII w roku szkolnym 015/016 oprcowł: Dnut Wojcieszek n ocenę dopuszczjącą rysuje wykres funkcji f ( ) i podje jej włsności sprwdz lgebricznie, czy dny punkt

Bardziej szczegółowo

ĆWICZENIE ANALIZA SITOWA I PODSTAWY OCENY GRANULOMETRYCZNEJ SUROWCÓW I PRODUKTÓW

ĆWICZENIE ANALIZA SITOWA I PODSTAWY OCENY GRANULOMETRYCZNEJ SUROWCÓW I PRODUKTÓW 1 ĆWICZENIE ANALIZA SITOWA I PODSTAWY OCENY GANULOMETYCZNEJ SUOWCÓW I PODUKTÓW 1. Cel zkres ćwczen Celem ćwczen jest opnowne przez studentów metody oceny mterłu sypkego pod względem loścowej zwrtośc frkcj

Bardziej szczegółowo

PEWNIK DEDEKINDA i jego najprostsze konsekwencje

PEWNIK DEDEKINDA i jego najprostsze konsekwencje PEWNIK DEDEKINDA i jego njprostsze konsekwencje W rozdzile ósmym stwierdziliśmy, że z podnych tm pewników nie wynik istnienie pierwistków z liczb rzeczywistych. Uzupe lnimy terz liste pewników jeszcze

Bardziej szczegółowo

Pochodne i całki, macierze i wyznaczniki

Pochodne i całki, macierze i wyznaczniki Cłk oznczon Cłk niewłściw Wzór Tylor Mcierze Pochodne i cłki, mcierze i wyznczniki Stnisłw Jworski Ktedr Ekonometrii i Sttystyki Zkłd Sttystyki Stnisłw Jworski Pochodne i cłki, mcierze i wyznczniki Cłk

Bardziej szczegółowo

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA Mteriły do wykłdu MATEMATYKA DYSKRETNA dl studiów zocznych cz. Progrm wykłdu: KOMBINATORYKA:. Notcj i podstwowe pojęci. Zlicznie funkcji. Permutcje. Podziory zioru. Podziory k-elementowe. Ziory z powtórzenimi

Bardziej szczegółowo

Od lewej: piramida Chefrena, Wielki Sfinks, piramida Cheopsa.

Od lewej: piramida Chefrena, Wielki Sfinks, piramida Cheopsa. 1. Pirmidiotologi. W obfitej literturze przedmiotu podje się, że pirmid Ceops, lub też z ngielsk Wielk Pirmid (te Gret Pyrmid), zwier w swej konstrukcji pełną i szczegółową istorię rodzju ludzkiego od

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna i algebra liniowa

Analiza matematyczna i algebra liniowa Anliz mtemtyczn i lgebr liniow Mteriły pomocnicze dl studentów do wykłdów Mcierze liczbowe i wyznczniki. Ukłdy równń liniowych. Mcierze. Wyznczniki. Mcierz odwrotn. Równni mcierzowe. Rząd mcierzy. Ukłdy

Bardziej szczegółowo

Wymagania kl. 2. Uczeń:

Wymagania kl. 2. Uczeń: Wymgni kl. 2 Zkres podstwowy Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci uczni. SUMY ALGEBRAICZNE. Sumy lgebriczne definicj jednominu pojęcie współczynnik jednominu porządkuje jednominy pojęcie sumy lgebricznej

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy system oceniania z matematyki wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy) Klasa II LO

Przedmiotowy system oceniania z matematyki wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy) Klasa II LO I Postnowieni ogólne Przedmiotowy system ocenini z mtemtyki wrz z określeniem wymgń edukcyjnych (zkres podstwowy) Kls II LO 1. Wrunkiem uzyskni pozytywnej oceny semestrlnej z mtemtyki jest: ) zliczenie

Bardziej szczegółowo

KOMPENDIUM MATURZYSTY Matematyka poziom podstawowy

KOMPENDIUM MATURZYSTY Matematyka poziom podstawowy KOMPENDIUM MATURZYSTY Mtemtyk poziom podstwowy Publikcj dystrybuown bezpłtnie Dostępn n stronie: Kompendium do pobrni n stronie: SPIS TREŚCI. Potęgi i pierwistki... W tym:. Wykorzystnie wzorów;. Przeksztłcnie

Bardziej szczegółowo

Algebra macierzowa. Akademia Morska w Gdyni Katedra Automatyki Okrętowej Teoria sterowania. Mirosław Tomera 1. ELEMENTARNA TEORIA MACIERZOWA

Algebra macierzowa. Akademia Morska w Gdyni Katedra Automatyki Okrętowej Teoria sterowania. Mirosław Tomera 1. ELEMENTARNA TEORIA MACIERZOWA kdemi Morsk w Gdyni Ktedr utomtyki Okrętowej Teori sterowni lger mcierzow Mirosłw Tomer. ELEMENTRN TEORI MCIERZOW W nowoczesnej teorii sterowni rdzo często istnieje potrze zstosowni notcji mcierzowej uprszczjącej

Bardziej szczegółowo

SZTUCZNA INTELIGENCJA

SZTUCZNA INTELIGENCJA SZTUCZNA INTELIGENCJA WYKŁAD 9. ZBIORY ROZMYTE Częstochow 204 Dr hb. inż. Grzegorz Dudek Wydził Elektryczny Politechnik Częstochowsk ZBIORY ROZMYTE Klsyczne pojęcie zbioru związne jest z logiką dwuwrtościową

Bardziej szczegółowo

f(x)dx (1.7) b f(x)dx = F (x) = F (b) F (a) (1.2)

f(x)dx (1.7) b f(x)dx = F (x) = F (b) F (a) (1.2) Cłk oznczon Cłkę oznczoną będziemy zpisywli jko f(x)dx (.) z fnkcji f(x), któr jest ogrniczon w przedzile domkniętym [, b]. Jk obliczyć cłkę oznczoną? Obliczmy njpierw cłkę nieoznczoną z fnkcji f(x), co

Bardziej szczegółowo

Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu

Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysłw Smorwińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kliszu Wymgni edukcyjne niezbędne do uzyskni poszczególnych śródrocznych i rocznych ocen klsyfikcyjnych z obowiązkowych zjęć

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna v.1.6 egzamin mgr inf niestacj 1. x p. , przy założeniu, że istnieją lim

Analiza matematyczna v.1.6 egzamin mgr inf niestacj 1. x p. , przy założeniu, że istnieją lim Anliz mtemtyczn v..6 egzmin mgr inf niestcj Oznczeni: f, g, h : J R funkcje rzeczywiste określone n J R J przedził, b),, b], [, b), [, b], półprost, b),, b],, ), [, ) lub prost R α, β [min{α, β}, m{α,

Bardziej szczegółowo

R + v 10 R0, 9 k v k. a k v k + v 10 a 10. k=1. Z pierwszego równania otrzymuję R 32475, 21083. Dalej mam: (R 9P + (k 1)P )v k + v 10 a 10

R + v 10 R0, 9 k v k. a k v k + v 10 a 10. k=1. Z pierwszego równania otrzymuję R 32475, 21083. Dalej mam: (R 9P + (k 1)P )v k + v 10 a 10 Zdnie. Zkłd ubezpieczeń n życie plnuje zbudownie portfel ubezpieczeniowego przy nstępujących złożenich: ozwiąznie. Przez P k będę oznczł wrtość portfel n koniec k-tego roku. Szukm P 0 tkie by spełnił:

Bardziej szczegółowo

KOMPLEKSOWE POMIARY FREZÓW OBWIEDNIOWYCH

KOMPLEKSOWE POMIARY FREZÓW OBWIEDNIOWYCH KOMPLEKSOWE POMIARY FREZÓW OBWIEDNIOWYCH Michł PAWŁOWSKI 1 1. WSTĘP Corz większy rozwój przemysłu energetycznego, w tym siłowni witrowych stwi corz większe wymgni woec producentów przekłdni zętych jeśli

Bardziej szczegółowo